NORMALIZAÇÃO FORTE PARA A LÓGICA INTUICIONISTA DE 1ª ORDEM COM REDUÇÕES PERMUTATIVAS

NORMALIZAçÃO FORTE PARA

A

LÓGICA

INTUICIONISTA

DE

IA

ORDEM

coM

REDUçÕBs

pnRuurATrvAS

LUIZ CARLOS P. D, PEREIRA Universidade Estadual de Campinas

. Podemos distinguir três tipos de resultados fundamentais em Teoria da Prova:

l.

Teorenw

da

Forma Normal:

Estabelece para

um

certo

sistema

formal

S que,

se

f F

A,

então existe uma proi'a normal de

A

g f

F

A.

2.

Teorema

da

Normolização:

Estabelece

que, dada uma

derivação

I1 de

f

F

A,

então

Il

pode ser

efetivamente transformada

em

uma

derivaçaio

normal

de

A c f

l-

A.

Em outras palavras, temos um conjunto de operações, usualmente chamadas

de

reduções,

com

as quais podemos

construir uma

seqüência

de

deri-vações

IIr,,..,[n

tal

que:

(i)

IIr

= n

(iÐ

Vi

(l

_-<

i

(

n),

II¡

reduz-se a

[t

_+t

(iii) IIn

é normal.

3.

Teorema da Normalizaçõo

Forte:

Estabelece que, se

Iì

é uma derivação de

f

F

A,

então qualquer seqüência de reduções para

II

termina em uma forma normal única. Isso significa que não

importa o

modo

(ou

a ordem) como efetuamos as reduções; o resultado após um número

finito

de passos será sempre o mesmo.

A

quantidade de informação

contida

em resultados de

tipo 2

é obviamente maior

do

que

a

contida

em resultados de

tipo

l,

e

o

mesmo vale para resultados.de

tipo

3 em relação a resultados de

tipo

2.

Temos resultados

de

Normalização

Forte

para os mais diversos sistemas formais

(cf.

Prawitz (8), Girard

(2),

Iæivant

(5)

e Stenlund

(9)),

e as provas tradicionais seguem as seguintes idéias:

l.

Definimos urna propriedade P aplicável às derivações de um certo sistema

formal

S.

2.

Mostramos,

então,

que

nossa propriedade

P

é

mais

forte do

que

a

propriedade de ser normalizável fortemente (de agora em diante, SN), ou seja,

qur:

vrl

(P

(D

+

_sN

_(D)

3.

Provamos, então,

que

VfI

P

(n).

Existe

de

imediato

ao

menos

uma

objeção

a

este

tipo

de

prova (algumas vezes

erradamente chamada

de

semântica): uma vez

que

a finitude

das seqüências

de

re-duções poderia ser expressa por uma

fórmula

II!,

nós não estaríamo

Cadernos de História e Filovtfia da Ciência 7 (1984), pp. 103-l I g.

lO4

Luiz

Carlos P'D. Pereira

a l'orça da interpretação

intuicionista

dos quantificadores,

no

sentido da possíbilidade

de se

extrair um limite

pata o comprimento das seqi.iêttcias de reduçÕes para uma dada

.O

Sistema

14,

A

linguag'em

do

sistema

lap

ê a

usual

(ver, p.ex., Prawitz

(9)). Além

das regras de inferência usuais, temos em

I¡"

dois esquemas de axiomas:

Axl

:

A

-+ VXr

...

V*'

(P

(x,

,..,,

xn)

-

P

(x,

,.'.,

xn))

Ax2:

Y

x,

...

Vx,,

(P

(x,

_,...,

xn)

t

P

(x1 ,.'., x,,))

Antes

de

apfesentarmos

as

reduções

para

I4p,

defìniremos certas

contruções

APn,s

e

APg,

chamadas ðe ampliøções, por indução sobre B.

Base:B é a

fórmula

atômica P

(t,

_{, ...,}

t,r).

Sejam

II4,"

e

IIg

as seguintes derivações:

A A +

Vxr

...

Vxn(P(xr,...,xn)

-

P(xr,...,x,r))

Vxr

...

V*n

(P("t,...,xn)

-->

P(xt,...,xn))

II

_A,ll

Vx,

...

V*n

(P(tr,'.

_{',xn) -}

P(tr,...,xn))

P(t,,...,tn) -

P(tr,...,tn)

Vx, ...

Vxn(P(xt,...,xn)

+

P(xr,...,xn))

n

Vx, ... V*n(P(t,,...,xn)'

P(tr,.'.,*,'))

B

P(t,,...,tn) +

P(tr,

,

t,,)

Norrnalízação Forte para a I'ógica

Intuicionista

105 de

l.a

Ordem com Reduções Permutativas

Æo,,

e

AP,

são então defìnidas da seguinte forma

Ä

II

_A,B

A

BB->BTI

_A,B

A

B->BTI

APo,t

APB

:

B B TIB

BB->BrIB

B B

+

B

TIB

B-+B

B A,B

B +B

B

Denotaremos

APo,,

por

B

A

e

AP,

por

B

B

Passodelndução:BéCvD

B

Cv D

C

v

D

B

(c)

A

(D)

A

c

D

Æo,cvo

₌

CD

CvD

(Ð

to7

As redugões

para

Io,

_,

chamadas de AP-reduções, são definidas da seguinte maneira:

;;

AnB

A

reduz-se

a A

B

(ii)

reduzrse a

BA

A^B

(iíÐ reduz-se a

(A)

A

A+B

B

BA

Normalizøção Forte para ø Lögica

Intuicionista

de

I.ø

Ordèm com

Reduþes

Perrnutatiws

A

A

B B B

(A)

;

]_

B

108

Luiz

Carlos P.D. Pereira

(iv)

A

AvB

(v)

(B)

c

A

C B

c

C

;

B

c

t

Forte

pøa

a Lógica

Intuicíonista

co m Redu çõ e s Pçr¡a/tøt iva s

A(t)

reduz.se

a

(A

(t))

109 (viÐ (viiÐ B

(A)

(B)

3xA

(x)

B

(A(t))

.(alt)

B

AvB

cc

reduzse a

(A)

(B)

cDc

D

E

c

D

AvB

_E E _E

3xA (x)

D

onde

Cé

a premissa maior de uma regra de eliminação.

(ix)

(A(a)

reduz-se a

3xA(x)

B B

D

(A(a))

c

c

B

c

\-onde B é a premissa _{maior de urna regra de eliminação.}

rl

. Resultados

(3)

para

Iap o

teorema da

Normali

rch

forma nórmal), dos quais se segue

âå

Il

reduz-se a

[I,,

então o compri_

'

Definição:

uma

derivação

II'

é

chamada uma ampliaçõo imedfuta de

II

se

[I,

pode ser

obtido

de

[I

através da substituição de algumas oconências de fórmulas

A

em

Ii

por

A

I

l0

Luiz

Carlos P.D. Pereira

Definiçõo:

o

comprimento de uma derivação

Il,

denotado por

I

(II),

é igual ao número de ocorrências de fórmulas em

II.

AB

AA

A

noção geral de ampliação

pode

ser

obtida

através do fechamento

transitivo

da noção de ampliação

imediat

.

. Lema: Sejam

Il

e

II'

derivações no sistema usual

I

para aLógica

dela

ordem

Intuicio-nista, tais que

II

se

reduz

a

It'.

seja

)

uma amphãção de

r.

Então,

existe uma

am-pliação

2'de

Il'

tal que Ð reduz-se a

)'.

Frova:

Por

indução

sobre

o

comprimento

de Ð.

consideraremos somente alguns casos representativos. ou

l.

ilé

l.l. >

é

e

II'

é

Ilr

AvB

n,

II.

C

n"

AvB

il'"

Il'3

c

C

c

c

C \r þl

AvB

tt

"2

p3

cc

C

Normglização Forte para a Lógica

Intuicionista

de 1.u Ordem com Redu@es Permutativas

lll

Pela hipótese de indução, existe uma

_ì'i

(i

:

1,2)

tal que

)¡

reduz-se a

2'¡

e

Ð'i

é

uma ampliação de

II'¡

. Podemos tomar

X'

como:

E"

AvB

2'z

2'a

c

L2.>é

E,

AvB

AvB

c

Podemos

tomar

X'

como

E'I

AvB

cc

(A)

(B)

>2

>3

cc

(A)

(B)

2',

)'¡

cc

AvB

c

I

c

>2

c

Nornalização Forte para a Lôgica

Intuicianista

de 1,4 Ordem com

Reduþes

Permttativøs 113

2.1.

Ð

é

>r

AvB

AvB

Pela defìnição

dr

ÆD,A

g

,

E

se reduz a

(B)

D

g

+

(AvB)

D

D

c

21

A

A

AvB

c

T"

114

Luiz

Carlos P.D. Pereira Podemos então

tomar

Ð'

como:

5"=

3. il

ê

(B)

t3

c

+

A

(A)

B

-+Ç

e

Il'é

z2

c

llr

AvB

(A)

(B)

n2

II3

C+D

C

-->

(A)

(B)

II+ n2 n4

[I3

C C-+D C C+D

D

D

C-+D

D

II4

Ilr

AvB

c

3.1.

)

é

D

tr

AvB

C D

(A)

t

--) _D

_c

_D

(B)

>3

-)

c

--> _{D E} >4 C D

l:.

¡ù*

C -> D

Normalizaçíio Forte para a Lögica

Intuícionista

I I s de

I.o

Ordem com Redu@es Permutativøs

Pela defìnição de

E

se reduz a 24

AvB

C-+D

(A)

>2

C-+D

C-+D

c

D E

(B)

>3 24

c

C'+D

D

Podemos então

tomar

Ð'

como:

tr

AvB

D

D

E D

t4

c

(B)

>4

>3

C C+D

D D E D 24

c

D

T

116

Luiz

Carlos P.D. Pereim Teoremn

Prova:

A

seqüência de reduções pata uma dada

deri-vação

II

seqüência de reduções para uma ampliação

Ð de

II.

amente

do

teorema da Normalização Forte

para

I4p.

Além

disso,

o

comprimento de qualquer seqüência de reduções para

II

será

menoi d-o que

Z(Z'),

onde

)'

é a derivação normal associada a

).

Possíveis extensões

L

Entre

as possíveis extensões da aplicação do método acima, talvez fosse interessante considerar

o

caso da

Aritmética

de Heyting, obtida a

partir

do sistema aqui exposto pela usual adição de uma base atômica

(aritmética)

e da regra de indução,

A(0)

A(a)

tI

A(a')

A(Ð

Talvez

pudéssemos

tomaf

as seguintes reduções,

relativas

a um

sistema

HA¡p,

visando à extensão mencionada acima:

Ill

A(0)

(A(u))

[I,

A(a')

reduz-se

a

[r

(A(a))

II,

A(a')

A(0)

A(a)

_-

A(a')

A(0)

Normnlização

Forte

para a Lógica

Intuicionistø

ll7

de 1.4 Ordem com Reduções Pqrmttativas

Ill

A(0)

(A(a))

fi2

A(a')

n1

A(0)

II2

A(l)

n2

A(2)

reduz-se a

A(n)

A(n)

A(n)

2.

Devido ao número de sistemas aos quais o método é aplicável (ver Gandy

(l)),

passa a ser interessante a questão da existência ou não de algum sistema que satisfaça nor-malização simples

de

Church

&

Rosser

(ou

pelo

menos

um tipo de

"Church

&

Rosser

forte")

e näo satisfaça Normalização Forte.

3.

Se estivêssemos considerando

o

sistema C para

alÁgica

clássica com todososseus

operadores

(i. e.,

{

A

,

V

,

*

,

f

, V

,

3

}),

então as reduções para o absurdo clássico

introduzidas

por R.

Statmam pareceriam satisfazer as condições de monotonicidade.

s

þl

(A) Bt

_,'

tn

8,,

)n

B

(-rB)

(rA)

I

,)r

A

Br,....,8,1

1

(r

A)

il

I

B

A

I

l8

Luiz

Cørlos P.D. Pereira

Agradecimento

Gostaria

de

agradecer ao

Prof.

Jean Yves

Girard por

tornil

acessível seu material

sobre Normalização

Forte

a ser publicado em breve, e onde o tema deste artigo apare-ce como um exercício,

REI.'ERENCIAS

(l)

G¿ndy, R. O.

_-

Prool's of strong Nornralization, em To Haskell Cury:EssøysinCombínatory Logic, Lambda Calculus ønd Formalism, ed, por J. Seldin

ð{

J. R. Hindley, Academy Press, I 980.

(2) Gjra¡d, J. Y.

_-

Une Extension de I'Intetpretation de Gödel a L'Analyse et son Application des Coupures dans I'Analyse et la Theorie des Types, em hoceedings

of

the Second Scandinavian Logic Symposium,ed.por J. E. Fenstad, No¡th-Holland, Amsterdam, 1971.

(3) Girard, J.Y.

_-

Strong Normtlizatíon (a ser publicado).

(4) Jervell,

H. R.

_{- A}

Normal

Form

in

First

O¡der Arithmetic, em hoceedings

of

the Seco¡td Scødituvion Logic Symposium, ed.

por

J.

E.

Fenstad, North-Holland, Amste¡dam, t97 r.

(5) Leivant, D.

_-

S!.¡rong No¡malization for A¡ithmetic, em Proof Theory Symposíum, Kiel 1974,

ed. por J. Diller

&

G. H. Mülle¡, Springer, 1975,

(6) Martin-Löf, P.

_-

Hauptsatz for the Intuitionistic Theory of lnductive Definitions, emProceed-ings

of

the Second Scandinøvían Logic Symposium, ed, por J. E, Fenstad, North-Holland,

Amsterdam,l97l.

(7) Pereira,

L.

C.

_-

On the Estimation

of

the Lenglh of Normal Derivations, Akademilitte¡atu¡, Stockholm, 1982.

(8) P¡awitz, D.

_-

Ideas and Results in Proof Theory, em Proceedings of the Second Scandinavían Log[c Symposium,ed.por J. E. Fenstad, North-Holland, Amste¡dam, 1971.

(9) Stenlund, S.

_-

Combinøtors,

x-

tetms and Proof Theory, D, Reidel, Dordrecht-Holland,1972.