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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

Lista 1 - Bases Matem´

aticas

Elementos de L´ogica e Linguagem Matem´atica

1 — Dˆe exemplos ou contra-exemplos, se exis-tirem, para as seguintes afirma¸c˜oes:

a) Para todo x ∈ R, x + 1 > 2.

b) Todas as letras da palavra “banana” s˜ao vogais.

c) Para todo x ∈ R, x2< x.

d) Para todos m, n ∈ N pares, temos que n + m´e par.

2 — O que as seguintes afirma¸cões significam? Elas são universais ou particulares? Elas são ver-dadeiras? O universo de discurso em todos os casos é os números naturais.

a) ∀x∃y(x < y) b) ∃y∀x(x < y) c) ∃x∀y(x < y) d) ∀y∃x(x < y) e) ∃x∃y(x < y) f) ∀x∀y(x < y)

3 — O que as seguintes afirma¸cões significam? Elas são verdadeiras? Dê exemplos e contra-exemplos quando poss´ıvel. O universo de discurso em todos os casos é os números naturais.

a) ∀x∃y(2x − y = 0) b) ∃y∀x(2x − y = 0) c) ∃y∃z(y + z = 100)

4 — Negue as seguintes proposi¸c˜oes: a) 3 > 4 e 2 ´e par.

b) Não é verdade que (3 é par ou que 5 é impar).

c) 2 é um número par e 3k + 1 é um número ´ımpar.

d) 2 é número par e não é verdade que 3 é um número ´ımpar.

e) Todo elemento do conjunto A ´e elemento do conjunto B.

f) Não é verdade que (5 é um número primo e 4 é um número ´ımpar).

g) (Não é verdade que 5 é um número primo) ou 4 é um número ´ımpar.

5 — Nas seguintes proposi¸cões abertas o dom´ınio de discurso é o conjunto dos reais. Para essas proposi¸cões esboce na reta real o seu con-junto verdade.

a) x > 2 e x < 4 b) x > 2 ou x < 3

c) x > 2 ou ( x < 5 e x > 3)

d) n˜ao ´e verdade que (x > 2 e x < 4)

6 — Ache a contrapositiva, a rec´ıproca e a in-versa das seguintes frases:

a) não p⇒ q. b) não p⇒ não q.

c) p⇒ n˜ao q.

d) Se chove então eu não vou trabalhar. e) Se x é par, então 2x + 1 é ´ımpar.

f) Se minha mãe é um trator então eu sou uma moto-serra.

g) Se 2k+ 1é primo, então k é uma potência de 2.

h) Se x2+ y2= 0ent˜ao x e y s˜ao iguais a 0.

7 — Atribua um valor verdade as seguintes proposi¸c˜oes:

a) Se 2 é par, então 3 é ´ımpar. b) Se 2 não é par, então 3 é ´ımpar.

c) Se 3 não é par, então 3 não é ´ımpar. d) Se minha mãe é um trator então eu sou

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8 — Para os pares de proposi¸cões p e q diga se p é condi¸cão necessária e\ou suficiente para q. Em todos os exemplos considere x um número natural.

a) p= “x ´e maior que 2” q =“x ´e maior que 3”.

b) p=“x ´e maior que 2” q =“x ´e maior igual a 2”.

c) p=“x é maior que 0 e x é menor que 2” q =“x é menor que 2”.

d) p=“x ´e maior que 0 e x ´e menor que 2” q =“x = 1”.

e) p=“∆ é um triângulo isósceles” q =“∆ é um triângulo equilátero”.

f) p=“M ´e uma matriz com determinante diferente de 0” q =“M ´e uma matriz in-vert´ıvel”.

9 — Transcreva as seguintes proposi¸c˜oes para a forma simb´olica:

a) Existe um número real n tal que n2= 2. b) Não existe número racional x tal que x2₌

2.

c) Existe x tal que x2 é par e divis´ıvel por 3. d) Não existe número inteiro x tal que x2 é

primo ou x2 ´e negativo.

e) Existe um ´umero inteiro x tal que x2_´_{e par}

ou x2´e ´ımpar.

f) Para cada n´umero real x existe um n´umero real y tal que x + y = 0.

g) Todo elemento do conjunto A ´e elemento do conjunto B.

h) Para todo , existe δ() tal que se 0 < |x − a| < δ ent˜ao |f(x) − f(l))| < ε.

i) Todo n´umero natural ´e divis´ıvel por 2, 3, 5 ou 7.

j) Para todo n´umero racional x, x ´e menor que 1/x.

k) Se a e b são dois números primos, então abé primo.

l) Existem dois números cuja soma é 1000. m) Não existe número racional cujo quadrado

´ e 2.

n) Para todos números a e b reais, há um número c que é menor que b e maior que a.

10 — Para cada uma das proposi¸cões ante-riores, escreva a nega¸cão simbólica e “em

por-tuguˆes”.

11 — Reescreva cada afirma¸cão a seguir em l´ıngua natural, sem usar nota¸cão simbólica.

a) ∀n ∈ R, n < n2. b) ∃n ∈ R, n2= n. c) ∃!n ∈ R, n2= n. d) ∃n ∈ R, n2= n3. e) ∀n ∈ N, ∃k ∈ N : k < n. f) ∀a, b ∈ R, ∃c, d ∈ R : a < c + d < b. g) ∀a, b ∈ Z, ∃c ∈ Z : (a/b)c ∈ Z. h) ∀a, ∈ R, ∃b ∈ R : ∀c ∈ R, ab = c i) ∀a, ∈ R, ∀c ∈ R, ∃b ∈ R : ab = c

12 — A fórmula de Bhaskara é uma proposi¸cão universal. Descreva-a simbolicamente.

13 — Para todas as afirma¸cões a seguir n de-nota um número natural. Determine o conjunto verdade das seguintes proposi¸cões abertas:

a) n2< 12 b) 3n + 1 < 25

c) 3n + 1 < 25 e n + 1 > 4 d) n < 5 ou n > 3

e) n é primo e não é verdade que n > 17 f) (n − 2)(n − 3)(n − 4)(n − 5) = 0

14 — Para cada demonstra¸cão, diga que tipo de técnica de prova foi usada, e explique como a técnica foi aplicada (o s´ımbolo | significa “di-vide”):

a) a|b e a|c → a|(b + c). Prova: se a|b, ∃k1:

ak₁ = b; mas porque a|c, ∃k2 : ak2 = c.

Assim, b + c = ak1+ ak2 = a(k1+ k2), e

mostramos que ∃k : b + c = ak. 2 b) log₂3 é irracional. Prova: suponha que existem a e b tais que log₂3 = a/b com a, b_{∈ Z. Então, 2}a/b= 3, e (2a/b)n= 3b. Mas como (2a/b)b = 2, ter´ıamos que 2a = 3b. Mas 2 elevado a qualquer inteiro deve ser par, e 3 elevado a qualquer inteiro deve ser ´ımpar. Como um número não pode ser par e ´ımpar ao mesmo tempo, temos que concluir que log₂3é irracional. 2 c) Se a e b são reais e ab é irracional, então pelo menos um dentre a e b deve ser ir-racional. Prova: se tanto a como b forem 2

F E

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racionais, ent˜ao h´a k1, k2, k3, k4 ∈ Z tais

que a = k1/k2 e b = k3/k4. Ent˜ao,

ab = (k₁/k₂)(k₃/k₄) = (k1k3)

(k2k4) – o que sig-nifica que ab poderia ser escrito como quo-ciente de dois inteiros. Portanto, se ab ´e irracional, ou a ou b deve ser irracional. 2

d) Se a é irracional, então √a também é irracional. Prova: Se √a for racional, então existem inteiros m e n tais que √

a = m/n. Elevando ambos os lados ao quadrado, temos a = m2/n2. Como m2 e n2 _s˜_{ao inteiros, a ´}_{e racional.} ₂

e) Para qualquer triângulo retângulo não de-generado (ou seja, com todos os lados de comprimento maior que zero), sejam a e b os comprimentos de seus catetos e c o comprimento de sua hipotenusa. Então, a + b > c. Prova: Suponha qye a + b ≤ c. Elevando ambos lados ao quadrado temos (a + b)2 ≤ c2_{, ou ainda, a}2_{+ 2ab + b}2_≤

c2_{. Como o triˆ}_{angulo n˜}_{ao ´}_{e degenerado}

(todos os lados s`ao maiores que zero), a2+ b2< a2+ 2ab + b2 ≤ c2_{, e portanto}

a2_{+ b}2 _{< c}2_{. No entanto, o Teorema de}

Pit´agoras afirma que a2 + b2 = c2, e a

prova est´a completa. 2

15 — As demonstra¸c˜oes a seguir est˜ao incor-retas. Aponte o erro em cada uma delas.

a) 1 < 0. Prova: Seja um número real x < 1. Aplicando o logaritmo em ambos os lados da desigualdade, temos log x < log 1. Como sabemos que log 1 = 0, então log x < 0. Agora dividimos ambos os lados por log x e obtemos 1 < 0. A b) Todo número inteiro tem raiz quadrada in-teira. Prova: Provamos a contrapositiva de “∀n ∈ Z,√n _{∈ Z”. Seja a =} √n. Temos que a2 = n, e como o quadrado de um inteiro é sempre outro inteiro, n

tamb´em ´e inteiro. A

c) Se 5|ab então 5|a ou 5|b. Prova: Se 5|ab então ab é da forma 5k para algum k. Por-tanto, ou a = 5m ou b = m para algum m. Assim, conclu´ımos que 5|a ou 5|b. A d) 1 = 2. Prova: Sejam a e b dois números iguais. Multiplicando ambos os lados de “a = b0” por a obtemos a2 = ab.

Sub-traindo b2 dos dois lados, a2− b2= ab − b2_{. Fatorando, (a + b)(a − b) = b(a − b).}

Subtraindo (a − b) temos a + b = b. Quando a e b valem 1, temos que 1+1 = 1, e est´a conclu´ıda a prova. A

16 — Demonstre as seguintes afirma¸c˜oes: a) Se a divide b e a divide c ent˜ao a divide

b + c.

b) Se p, q são números racionais, então p + q ´

e um n´umero racional.

17 — Use o método de redu¸cão ao absurdo para provar cada uma das seguintes proposi¸cões.

a) A raiz c´ubica de 2 ´e irracional.

b) Dados a, b, c inteiros. Mostre que se a não divide bc, então a não divide b.

18 — Prove cada uma das seguintes

proposi¸c˜oes pelo m´etodo contra-positivo.

a) Se x e y são dois números inteiros cujo produto é ´ımpar, então ambos têm de ser impar.

b) Se a e b são números reais tais que o pro-duto ab é um número irracional, então ou a ou b deve ser um número irracional.

19 — Mostre que o produto de um número racional não nulo com um número irracional é irracional.

20 — Dados a, b, c n´umeros inteiros com c 6= 0. Mostre que a divide b se e somente se ac di-vide bc.

Exerc´ıcios Complementares

21 — Use o método de redu¸cão ao absurdo para provar cada uma das seguintes proposi¸cões. a) Não há solu¸cões inteiras positivas para a

equa¸c˜ao x2− y2= 10.

b) Não há solu¸cão racional para a equa¸cão x5+ x4+ x3+ x2+ 1 = 0.

3

(MZMHMRHS TSV

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Respostas dos Exerc´ıcios

1 a.)Exemplos: qualquer número real maior que 1. Contra-exemplos: qualquer número real menor igual a 1. b.)Exemplos: letra a. Contra-exemplos: letras b,n e.)Exemplos m = 2 e n = 4 ou m = 6 e n = 8. Contra-exemplos: não possui, pois como provaremos em ?? essa afirma¸cão é verdadeira.

2 a.)Para todo número natural x existe um y tal que x < y. Ou seja, para qualquer número natural x existe um número natural y tal que y é maior que x. Ver-dadeira. Afirma¸cão Universal. Exemplo x = 1 seja y = 2. b.)Existe um y tal que para todo x, x é menor que y. Afirma¸cão particular. Afirma¸cão falsa, pois para qualquer número natural y, y + 1 não é menor que y.

e.)Existem x e y tais que x < y. Afirma¸c˜ao partic-ular. Verdadeira.

3 a.)Verdadeira. b.)Existe y tal que para todo x, 2x − y = 0. Falsa, pois se x = 0 ent˜ao y = 0, e se x = 1ent˜ao y = 2. c.)Verdadeira.

4 a.)3 ≤ 4 ou 2 é impar. e.)Existe um elemento no conjunto A que não é elemento do B.

6 b.)Contrapositiva: q ⇒ p. Reciproca: não q ⇒ não p. Inversa: p⇒ q. d.)Contrapositiva: “Se vou trabalhar então não chove”. Reciproca: “Se não vou trabalhar então chove”. Inversa: “Se não chove então vou trabalhar.

7 a.)verdadeiro b.)verdadeiro c.)falso d.)verdadeiro 8 a.)Condi¸cão necessária, mas não suficiente. b.)Condi¸cão suficiente, mas não necessária. e.)Condi¸cão necessária, mas não suficiente. f.)Condi¸cão necessária e suficiente.

9 a.)∃n ∈ R | n2= 2b.)n˜ao∃x ∈ Q | x2_{= 2}_{f.)∀x ∈}

R, ∃y ∈ R | x + y = 0

10 a.)∀n ∈ Rn2_{6= 2. Para todo n´}_{umero real n, n}2₆₌

2_{. b.)∃x ∈ Q | x}2 _{= 2. Existe um n´}_{umero racional x}

tal que x2_{= 2}

. f.)∃x ∈ R | ∀y ∈ R | x + y = 0. Existe um n´umero real x tal que para todo n´umero real y, x + y = 0.

11 a.)Todo número real é menor que seu quadrado. b.)Existe um único número real que é igual a seu próprio quadrado. c.)Para todo número real a existe algum outro real b tal que para qualquer c real, ab é igual a c.

12 A fórmula diz que as solu¸cões para ax2+ bx + c = 0são dadas por (−b±√b2_{− 4ac)/(2a).}

Sim-bolicamente, ∀a, b, c, x, (ax2+ bx + c = 0) → x = −b + √ b2_{− 4ac} 2a ou x = −b − √ b2_{− 4ac} 2a ! 13 a.){0, 1, 2, 3} c.){4, 5, 6, 7} e.){2, 3, 5, 7, 11, 13} 14 d.)A proposi¸c˜ao provada ´e nao R(a) →

nao R(√a); a prova apresentada é a da contrapos-itiva R(√a) → R(a). e.)Redu¸cão ao absurdo. A proposi¸cão diz que a + b > c, e a prova consiste em demonstrar que a nega¸cão da proposi¸cão, “a + b ≤ c”, leva ao absurdo.

15 a.)A própria demonstra¸cão diz que log x < log 1, portanto log x < 0. No entanto, ao multiplicar uma inequa¸cão a < b por algum número negativo, tem-se que −ak > −bk. b.)A proposi¸cão provada não ´

e a contrapositiva do que se queria provar, e sim a rec´ıproca. c.)A proposi¸cão é “Se 5|ab então 5|a ou 5|b”, e foi usada para provar a si mesma: “ab é da forma 5k . . . Portanto ou a = 5m ou b = m para algum m”.

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Lista 2 - Bases Matem´

aticas

Conjuntos I

1 — Considere o conjunto universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e sejam os seguintes subcon-juntos

A = {1, 2, 3, 4}

B = {x ∈ U : (x − 2)2(x − 3) = 0} C = {x ∈ U : x ´e par}

Para esses subconjuntos determine: a) A ∪ B b) A ∩ (B ∪ C) c) C ∪ AC d) (A ∪ C)C e) AC_{∩ C}C f) ℘(B)

2 — Dados A, B, C conjuntos. Prove as seguintes afirma¸c˜oes

a) A ∩ A = A b) A ∪ A = A c) A ∩ B ⊂ B d) A ⊂ A ∪ B e) A ∩ B ⊂ A ∪ B f) A ∪ ∅ = A g) A ∩ ∅ = ∅ h) A ∪ (A ∩ B) = A i) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) j) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) k) ℘(A) ∩ ℘(B) = ℘(A ∩ B)

3 — Dado um conjunto U, sejam A e B subcon-juntos quaisquer de U. Tomando o complementar relativamente a U, mostre que:

a) A ⊂ BC _{se e somente se A ∩ B = ∅} b) AC_{∩ B = B}\A

c) A ∪ BC_{= (B}\A)C d) (AC₎C_{= A}

e) (A ∩ B)C_{= A}C_{∪ B}C

4 — Dados A, B, C, D subconjuntos. Prove as seguintes afirma¸c˜oes:

a) Se A ⊂ B e B ⊂ C ent˜ao A ⊂ C.

b) Se A ⊂ B e C ⊂ D ent˜ao A ∪ C ⊂ B ∪ D. c) A ⊂ B se e somente se A ∪ B = B.

Exerc´ıcios Complementares

5 — Dados A, B, C, D subconjuntos. Prove as seguintes afirma¸c˜oes:

a) Se ℘(A) = ℘(B) ent˜ao A = B.

b) Se A ∩ B = A ∩ C e A ∪ B = A ∪ C ent˜ao B = C.

c) A\B ⊂ B se e somente se A\B = ∅.

6 — Suponha A, B, C n˜ao vazios. Mostre que: a) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

b) Se B ∩ C 6= ∅, ent˜ao A × (B ∩ C) = (A× B) ∩ (A × C)

c) Se B\C 6= ∅, ent˜ao A × (B\C) = (A × B)\(A × C)

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Respostas dos Exerc´ıcios

1 a.){1, 2, 3, 4} b.){2, 3, 4} e.){5, 7}

2 a.)Demonstra¸c˜ao que A ∩ A ⊂ A: se x ∈ A ∩ A ent˜ao x ∈ A e x ∈ A logo x ∈ A.

Demonstra¸c˜ao que A ⊂ A ∩ A: se x ∈ A ent˜ao x ∈ A e x ∈ A logo x ∈ A ∩ A.

d.)Se x ∈ A então x ∈ A ou x ∈ B, logo x ∈ A ∪ B. g.)Demonstra¸cão que A ∩ ∅ ⊂ ∅: se x ∈ A ∩ ∅, então x∈ A e x ∈ ∅ logo x ∈ ∅.

Demonstra¸c˜ao que ∅ ⊂ A ∩ ∅: se x ∈ ∅, ent˜ao por vacuidade temos que x ∈ A e x ∈ ∅. Logo x ∈ A ∩ ∅.

h.)Demonstraremos apenas uma das conten¸cões, que A ∪ (A ∩ B) ⊂ A: se x ∈ A ∪ (A ∩ B) então x ∈ A ou x ∈ A ∩ B. Dois casos: ou x ∈ A ou x ∈ A ∩ B, no segundo caso temos então x ∈ A e x ∈ B e logo x ∈ A. Em ambos os casos x ∈ A.

k.)Demonstraremos apenas uma das conten¸cões, que ℘(A) ∩ ℘(B) ⊂ ℘(A ∩ B). Se C ∈ ℘(A) ∩ ℘(B) então C ∈ ℘(A) e C ∈ ℘(B) e pela defini¸cão de con-junto potência, C ⊂ A e C ⊂ B, logo se c ∈ C temos

que c ∈ A e c ∈ B, ou seja c ∈ A∩B, ou seja C ⊂ A∩B, e logo C ∈ ℘(A ∩ B).

4 a.)Se x ∈ A então, como A ⊂ B, x ∈ B. Como por hipótese B ⊂ C. se x ∈ B então x ∈ C.

c.)Demonstraremos primeiramente que se A ⊂ B então A ∪ B = B. Nesse caso provaremos que se A ⊂ B então A ∪ B ⊂ B e que se A ⊂ B então B ⊂ A ∪ B.

Se x ∈ A ∪ B, ent˜ao x ∈ A ou x ∈ B. No caso em que x ∈ A, usando que por hip´otese A ⊂ B temos que x∈ B.

Se x ∈ B então x ∈ B ou x ∈ A, e assim x ∈ A ∪ B. Agora demonstraremos que se A ∪ B = B então A⊂ B. Seja x ∈ A, então x ∈ A ∪ B e como A ∪ B = B então x ∈ B.

6 a.)Seja C ∈ ℘(A) ∪ ℘(B) ent˜ao C ⊂ A ou C ⊂ B. Desta forma se c ∈ C, ent˜ao c ∈ A ou c ∈ B, ou seja c∈ A ∪ B. Logo C ⊂ A ∪ B, ou seja C ∈ ℘(A ∪ B).

c.)Falso.

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Lista 3 - Bases Matem´

aticas

Indu¸c˜ao

1 — Calcule :

a) a soma dos n primeiros n´umeros pares. b) a soma dos n primeiros n´umeros ´ımpares.

2 — Prove que para todo inteiro positivo n vale:

= 12+ 22+ 32+· · · + n2₌ n(2n + 1)(n + 1)

6 .

3 — Porque a seguinte demonstra¸c˜ao est´a in-correta:

Teorema Todas as pessoas tˆem a mesma cor dos olhos.

Demonstra¸cão Faremos a demonstra¸cão por indu¸cão: para isso demonstraremos a afirma¸cão ”Todos os membros de qualquer conjunto de pessoas têm a mesma cor dos olhos ”.

Este afirma¸c˜ao ´e claramente verdadeiro para qualquer conjunto com apenas uma pessoa.

Agora, suponha que temos um conjunto S de pessoas, e que a hipótese indutiva é ver-dadeiro para todos os conjuntos com um número menor de elementos. Seja então S1

o conjunto formado removendo uma pes-soa de S, e S2ser o conjunto formado pela

remo¸c˜ao de outra pessoa de S.

Por hip´otese indutiva todos os membros da S1 tem a mesma cor dos olhos, o que

tamb´em ´e verdadeiro para S2. Como S1∩

S2 tem elementos de ambos os conjuntos,

logo todos os elementos de S possuem a

mesma cor dos olhos. A

4 — Demonstre que para todo inteiro positivo n vale: a) 13_{+ 2}3₊_{· · · + n}3₌ 1 2n(n + 1) 2 . b) 1 + 2(1₂) + 3(1₂)2+· · · + n(1 2) n−1_{= 4 −} n+2 2n−1. c) (1 −1₂)(1 −1₃)· · · (1 − 1 n+1) = 1 n+1. d) 1 + 2 + 22+· · · + 2n−1 _{= 2}n_{− 1.} e) n < 2n. f) 12 − 22 + 32 − 42 + · · · + (−1)n+1_n2 ₌ (−1)n+1 n(n+1)₂ .

5 — Dados a e r dois n´umeros inteiros, r 6= 1. A sequˆencia a1 = a, a2 =

ra, a₃ = r2a,· · · , a_n = rn−1a,· · · é denominada progressão geométrica de razão r. Prove que a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é:

Sn=

rna − a r − 1 .

6 — Prove que 2n + 1 < 2n para todo n > 3.

7 — Seja x um inteiro positivo. Demonstre que:

(1 + x)n> 1 + nx,para todo n ≥ 2.

8 — Ache os valores num´ericos das seguintes somas: a) 5 X k=1 k b) 3 X r=0 22r+1 c) 4 X n=1 nn

9 — Prove por indu¸c˜ao as seguintes pro-priedades do somat´orio:

a) n X k=1 (a_k+ b_k) = n X k=1 a_k+ n X k=1 b_k (aditividade) b) n X k=1 ca_k= c n X k=1 a_k (homogeneidade)

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c) n X k=1 (a_k− a_k−1) = a_n− a₀ (telesc´opica)

10 — Use as propriedades do exerc´ıcio anterior para mostrar que:

a)

n

X

k=1

(2k − 1) = n2

(Dica: Use que 2k − 1 = k2_{− (k − 1)}2₎

b) n X k=1 k = n 2 2 + n 2

(Dica: Use o item anterior) c) n X k=1 k2= n 3 3 + n2 2 + n 6 (Dica: k3− (k − 1)3= 3k2− 3k + 1) 11 — Prove que 1 1· 2 + 1 2· 3 +· · · + 1 n(n + 1) = n n + 1.

12 — Prove que para qualquer inteiro positivo n o n´umero 22n− 1´e divis´ıvel por 3.

13 — Prove que um caixa eletrˆonico pode en-tregar ao usu´ario qualquer valor maior ou igual a R$4 usando apenas notas de dois e de cinco reais.

* 14 — Mostre que a soma dos ˆangulos inter-nos de um pol´ıgono convexo com n lados (n ≥ 3) ´ e (n − 2)π.

Exerc´ıcios Complementares

15 — Prove que a) n X k=1 2k= 2n+1− 2 b) n X k=1 k2= n(n + 1)(2n + 1) 6 c) n X i=1 1 (2i − 1)(2i + 1) = n 2n + 1 d) n X j=1 j(j + 1) = n(n + 1)(n + 2) 3 e) n X j=1 (2j − 1) = n2 f) n X i=1 i(i!) = (n + 1)! − 1

16 — Use indu¸c˜ao para mostrar que um con-junto finito com n elementos possui 2n subcon-juntos.

* 17 — Prove que para todo n ≥ 9, n!≥ (2n)2

* 18 — Prove para todo n ≥ 1,

n X i=1 1 i2 < 2 − 1 n 2

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Respostas dos Exerc´ıcios

1 b.)Comecemos com verificar a condi¸c˜ao PIF 1. P(1) =”1 = 12”

Logo, P(1) é verdadeira. Para verificar a condi¸cão PIF 2, devemos tomar um número natural positivo qualquer k ∈ N e mostrar que vale a implica¸cão P(k)⇒ P(k + 1). Em outras palavras, devemos supor que P(k) é verdadeira (hipótese indutiva) e mostrar que P(k + 1) é verdadeira. Logo, a nossa hipótese indutiva é

1 + 3 + 5 +· · · + (2k − 1) = k2

Reescrevendo P(k + 1) e usando a hip´otese indutiva temos :

1 + 3 + 5 +· · · + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k2+ 2k + 1

= (k + 1)2

Assim, verificamos que, se P(k) é verdadeira, também o é P(k + 1). Donde, pelo PIF, conclu´ımos que P(n) é verdadeira para todo natural n ≥ 1, i.e. para todo natural positivo.

2 Comecemos com verificar a condi¸cão PIF 1. P(1) = ‘‘1 + 2 = 21+1− 100 (1) P(1) = ‘‘3 = 300 verdadeira (2) Logo, P(1) é verdadeira. Para verificar a condi¸cão PIF 2, devemos tomar um número nat-ural positivo qualquer k ∈ N e mostrar que vale a implica¸cão P(k)⇒ P(k+1). Em outras palavras, devemos supor que P(k) é verdadeira (hipótese indutiva) e mostrar que P(k + 1) é verdadeira. Logo, a nossa hipótese indutiva é

1 + 2 + 22+ 23+· · · + 2k= 2k+1− 1 Reescrevendo P(k + 1) e usando a hip´otese in-dutiva:

1 + 2 + 22+· · · + 2k+ 2k+1 = 2k+1− 1 + 2k+1 = 2(2k+1) − 1 = (2k+2) − 1

Assim, verificamos que, se P(k) é verdadeira, também o é P(k + 1). Donde, pelo PIF, con-clu´ımos que P(n) é verdadeira para todo natural n≥ 1, i.e. para todo natural positivo.

4 d.)Comecemos com verificar a condi¸c˜ao PIF 1. P(1) = ‘‘1 + 2 = 21+1− 100

P(1) = ‘‘3 = 300 verdadeira

Logo, P(1) é verdadeira. Para verificar a condi¸cão PIF 2, devemos tomar um número natural positivo qualquer k ∈ N e mostrar que vale a implica¸cão P(k)⇒ P(k + 1). Em outras palavras, devemos supor que P(k) é verdadeira (hipótese indutiva) e mostrar que P(k + 1) é verdadeira. Logo, a nossa hipótese indutiva é

1 + 2 + 22+ 23+· · · + 2k= 2k+1− 1

Usando a hipótese de indu¸cão, queremos demon-strar P(k + 1), reescrevendo P(k + 1) e usando a hipótese indutiva temos:

1 + 2 + 22+ 23+· · · + 2k_{+ 2}k_{+ 1} ₌ ₂k+1_{− 1 + 2}k+1

= 2(2k+1) − 1 = (2k+2) − 1

7 Comecemos com verificar a condi¸c˜ao PIF 1. P(2) = ‘‘(1 + x)2> 1 + 2x00 P(2) = ‘‘1 + 2x + x2> 1 + 2x00 como x > 0, P(2) ´e verdadeira

Logo, P(2) é verdadeira. Para verificar a condi¸cão PIF 2, devemos tomar um número nat-ural positivo qualquer k ∈ N e mostrar que vale a implica¸cão P(k)⇒ P(k+1). Em outras palavras, devemos supor que P(k) é verdadeira (hipótese indutiva) e mostrar que P(k + 1) é verdadeira. Logo, a nossa hipótese indutiva é

(1 + x)k> 1 + kx

Usando a hipótese de indu¸cão, queremos demonstrar P(k + 1), reescrevendo P(k + 1) e us-ando a hipótese indutiva temos:

(1 + x)k+1 = (1 + x)((1 + x)k) ≥ (1 + x)(1 + kx) ≥ 1 + kx + x + kx2 ≥ 1 + (k + 1)x

11 Comecemos com verificar a condi¸c˜ao PIF 1. P(1) = ‘‘ 1 1· 2 = 1 1· 2 0 logo P(1) ´e verdadeira

Logo, P(1) é verdadeira. Para verificar a condi¸cão PIF 2, devemos tomar um número nat-ural positivo qualquer k ∈ N e mostrar que vale a implica¸cão P(k)⇒ P(k+1). Em outras palavras, devemos supor que P(k) é verdadeira (hipótese 3

(10)

indutiva) e mostrar que P(k + 1) é verdadeira. Logo, a nossa hipótese indutiva é

1 1· 2 + 1 2· 3 +· · · + 1 k(k + 1) = k k + 1 Usando a hipótese de indu¸cão, queremos demonstrar P(k + 1), reescrevendo P(k + 1) e us-ando a hipótese indutiva temos:

1 1· 2 + 1 2· 3 +· · · + 1 k(k + 1) | {z }

Por hip´otese de indu¸c˜ao =k_/k+1

+ 1 (k + 1)(k + 2) = = k k + 1 + 1 (k + 1)(k + 2) = k + 1 k + 2 12 Queremos demonstrar que para todo n ∈ Z∗+

existe m ∈ Z∗ tal que

22n− 1 = 3m

Comecemos com verificar a condi¸c˜ao PIF 1. P(1) = 22.1− 1 = 3· 1

Vamos assumir que P(k) ´e verdadeira, i.e., ex-iste m ∈ Z∗ tal que

22k− 1 = 3.m ou seja, vamos assumir que

22k= 3.m + 1

Agora vamos demonstrar a implica¸c˜ao P(k)⇒ P(k + 1). Reescrevendo P(k + 1) e usando a hip´otese indutiva temos:

22(k + 1) − 1 = 22k+2− 1 (3) = 4.22k − 1 (4) = 4.(3m + 1) − 1 (5) = 12m + 4 − 1 (6) = 3(4m + 1) (7) (8) E logo 22(k + 1) − 1 ´e divis´ıvel por 3.

(11)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

Lista 4

Bases Matem´

aticas

N´umeros Reais

1 — Considere os seguintes conjuntos. Diga quais s˜ao limitados superiormente e quais s˜ao limitados inferiormente. E se existir encontre o supremo e o ´ınfimo desses conjuntos:

a) A ={1, 2, 4, 8, . . . } b) B ={1 + _n1 : n_{∈ N}∗} c) C ={1 − n! : n ∈ N} d) D ={x ∈ Q : 1 ≤ x} e) E ={x ∈ Q : 1 ≤ x < 2} f) F ={x ∈ Q : x2< 3} g) G ={_1+nn : n_{∈ N}} h) H ={n+2_n+1 : n_{∈ N}} i) I ={_n+11 : n_{∈ N}} j) J ={2n: n_{∈ N}}

2 — A partir dos axiomas A1, ..., A9 dos n´umeros reais prove as seguintes propriedades:

a) O número 0 (zero) é o único elemento neu-tro da soma.

b) O número 1 é o único elemento neutro da multiplica¸cão.

c) Dado qualquer a ∈ R, resulta a.0 = 0 d) Para quaisquer n´umeros reais a e b,

tem-se que:

ab = 0⇒ a = 0 ou b = 0.

3 — Mostre, utilizando propriedades b´asicas, que:

a) Se ax = a para algum a 6= 0 então x=1. b) x2− y2= (x − y)(x + y). c) Se x2 = y2,então x = y ou x = −y. d) x3− y3= (x − y)(x2+ xy + y2) e) x3+ y3= (x + y)(x2− xy + y2) f) Se a ≤ b e c ≤ d então a + c ≤ b + d. g) Se a ≤ b então −b ≤ −a. h) Se a ≤ b e c ≤ d então a + c ≤ b + d.

(12)

Respostas dos Exerc´ıcios

1 a.)Limitado inferiormente, mas n˜ao superiormente inf A = 1. b.)Limitado inferiormente e superiormente sup B = 2 inf B = 1 d.)Limitado inferiormente, mas n˜ao superiormente inf A = 1.

f.)Limitado inferiormente e superiormente inf F = −√3e supF =√3. g.)Limitado inferiormente e superiormente.

2 a.)Suponha que n˜ao fosse, i.e, existem 0 e 00 distintos tais que: a + 0 = a ∀a a + 00= a ∀a Considere ent˜ao 0 + 00

Como 0 = 0 + 00= 00 Temos um absurdo.

3 a.)Por hip´otese ax = a e como a 6= 0 existe a−1

Logo a−1_{(ax) = x}_{por um lado}

e por outro

a−1(ax) = a−1(a) = 1por outro. Logo x = 1

b.)Calculando (x − y)(x + y) usando a distributiva temos:

(x − y)(x + y) = x(x + y) − y(x + y) = x2+ xy − yx − y2= x2− y2

c.)Se x2_{= y}2_{temos que x}2_{− y}2_{= 0}_{o que implica (x + y)(x − y) = 0 o que implica x = y ou x = −y}

f.)Como a ≤ b temos por A11 que a + c ≤ b + c

Por outro lado como c ≤ d temos por A11 que b + c ≤ b + d logo por transitividade temos: a + c≤ b + d

h.)Como c ≥ d, pelo item b temos −c ≤ −d e logo pelo item a temos: a − c ≤ b − d.

(13)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

Lista 5

Bases Matem´

aticas

Um pouco de ´

Algebra

1 — Expanda: a) (3a + 2b)2 b) (3a + 2b)3 c) (3a − 2b)3 d) (x2_{− 1)(x}2_{+ 1)} e) [(x − y) + 1][(x − y) − 1] f) (a + b + c)2 2 — Se a + _a1 = b determine a2+_a12 em fun¸c˜ao de b 3 — Fatore a) a2_{x + b}2_{y + a}2_{y + b}2_x b) 2x2− x + 4xy − 2y c) 4y2_{− 16} d) (x + b)2_{− a}2 e) x2_{− a}2_{− 2ab − b}2 f) x3₊ 1 x3 g) x6_{+ 1} h) x2_{− 6x + 9 − y}2

4 — Escreva cada express˜ao usando ape-nas um radical e simplifique:

a) p√x b) q p√ x c) p√35x2 d) √x√3_x e) 5 √ xy 3 √ xy f) 5 √ xy 3 √ y√y g) 5 q 81x2_y6√_27a2_b−1

5 — Simplifique as express˜oes: a) a 3/5_a2/7 a1/3 b) a 2/5_b3/4_(3a)2 b3/5_a1/3 c) (x 9_y6₎−1/3 (x6_y4₎−1/2 d) (a 2_b4₎1/2 (81a6_b9₎1/3

6 — Simplifique as express˜oes: a) 4x3_y2 (x−2)4 6x2_y (x−2)3/2 b) x2_−y2 3x2_y5 y+x x+y c) 1 (x+h)2 − 1 x2 h d) 1 a + 1 b b a − a b

(14)

e) (z + w)

−1

(z − w)−1

f) (p−1_{+ q}−1₎−1

7 — Realize as seguintes divis˜oes de polinˆomios: a) 5x2+ 4x + 2÷ 6x + 2 b) x2_{+ x − 2}_{÷ x − 1} c) x2_{− a}2_{÷ x − a} d) x4_{− 256}_{÷ x − 4} e) x4_{− a}4_{÷ x − a} f) x5+ x3− 2÷ x − 1 g) 4x3_{+ 2x + 1}_{÷ x + 1} h) x3÷ x − a

8 — Escrever o seguinte sem utilizar sinais do valor absoluto, separando em ca-sos quando seja necess´ario.

a) ||x| − 1| b) a −|a − |a||

9 — Mostre que |a| = | − a|

10 — Mostre que|a| ≤ b se e somente se −b≤ a ≤ b.

11 — Encontrar todos os n´umeros x tais que a) |x − 3| = 8 b) |x − 1| · |x + 1| = 0 c) |x − 1| · |x + 2| = 3 12 — Mostre que: a) |xy| = |x||y| b) |x| < a se e somente se −a < x < a c) 1 x = 1 |x|, se x 6= 0. d) |x + y| ≤ |x| + |y| e) |x − y| ≤ |x + y| f) |x| − |y| ≤ |x − y| g) ||x| − |y|| ≤ |x − y| h) |x + y + z| ≤ |x| + |y| + |z|. 13 — Mostre que: a) (x + y)2 _{= x}2 _{+ y}2 _{se e somente se} x = 0 ou y = 0 b) (x + y)3 _{= x}3 _{+ y}3 _{se e somente se} x = 0 ou y = 0 ou x = −y

14 — Resolva as seguintes igualdades: a) x x − 2+ 4 x − 1 = 5 b) 2 x2_{− 1}− x x − 1 = 1 c) |x| = −x + 2 d) |−x + 2| = 2x + 1 e) |x + 1| + |x − 2| = 1 f) 5x − x2_{− 6} = x2− 5x + 6 g) |x − 1| − 2 |x − 2| + 3 |x − 3| = 4 h) x2− 2+ 2x + 1≥ 0 i) 9 |x − 5| − 3 ≥|x − 2| j) √x + 1 = 8 −√3x + 1 k) 1 +√3x + 5 = x l) √4x − 3 +√5x − 1 = √15x + 4 m) √3 x + 34 −√3 x − 3 = 1

15 — Encontrar todos os n´umeros x tais que: a) 4 − x < 3 − 2x b) 5 − x2 _{< 8} c) 5 − x2 _{< −2} d) (x − 1)(x − 3) > 0 2

(15)

e) x2_{− 2x + 2 > 0} f) x2_{− x + 10 > 16} g) 1 x + 1 1 − x > 0 h) x − 1 x + 1 > 0 i) |x − 3| < 8 j) |x + 4| < 2 k) |x − 1| + |x − 2| > 1 l) |x − 1| + |x + 1| < 2 m) |x − 1| + |x + 1| < 1 16 — Mostre que a) Se |x − 3| < 5 1000 e |y − 1| < 5 1000, ent˜ao |(x + y) − 4| < 1 100 e |(x − y) − 2| < 1 100. b) Se |x − x0| < 2 e |y − y0| < 2, ent˜ao |(x + y) − (x0+ y0)| < e |(x − y) − (x0− y0)| < .

17 — Resolva as seguintes desigualdades: a) |x − 2| − |x + 2| > 2 b) |x − 2| − x |x + 2| < 1 c) 1 2 − x+ 5 2 + x < 1 d) 2x − 5 x2_{− 6x − 7} < 1 x − 3 e) (x + 1) (3 − x) (x − 2)2 ≥ 0 f) 2 − x 2 1 − x < x g) √1 − 3x −√5 + x > 1 h) p4 −√1 − x −√2 − x > 0 3

(16)

Respostas dos Exerc´ıcios

1 a.)9a2+12ab+4b2b.)27a3+54a2b+36ab2+ 8b3 c.)27a3− 54a2b + 36ab2− 8b3 d.)−1 + x4 e.)−1 + x2_{− 2xy + y}2 _f.)a2_{+ 2ab + b}2_{+ 2ac +}

2bc + c2

2 a2₊ 1

a2 = b2− 2

3 a.) a2+ b2 (x + y) b.)(−1 + 2x)(x + 2y) c.)4(−2 + y)(2 + y) d.)−(a − b − x)(a + b + x) e.)−(a + b − x)(a + b + x) f.)(1/x3+ x)(1/x6− 1/x2+ x2)ou ((1 + x2)(1 − x2+ x4))/x3g.)(−3 + x − y)(−3 + x + y)

5 a.)a58/105 b.)9a31/15b3/20 d.)1/(331/3ab)

6 a.)(2xy)/(3(−2+x)5/2)c.)−((h+2x)/(x2(h+ x)2)) 11 a.){−5, 11} {−1, 1} c.){−(−1)(_{1/3), (−1)}(_{2/3), 1/2(−1 −} √ 21), 1/2(−1 +√21)}

12 a.)Temos quatro casos a considerar. i) Se x ≥ 0, y ≥ 0 , temos |xy| = xy = |x||y| ii) Se x ≥ 0, y < 0 , temos |xy| = −xy = |x||y| iii) Se x < 0, y ≥ 0 , temos |xy| = −xy = |x||y| iv) Se x < 0, y < 0 , temos |xy| = xy = |x||y|

c.)−|a| ≤ a ≤ |a| e −|b| ≤ b ≤ |b|

Somando as desigualdades temos: −|a|−|b| ≤ a + b ≤ |a| + |b| e logo −(|a| + |b|) ≤ a + b ≤

|a|+|b| De onde podemos concluir que: |a+b| ≤ |a| + |b|

f.)

Usando a desigualdade triangular, temos que:

|a| = |b+(a−b)| ≤ |b|+|a−b| ⇒ |a|−|b| ≤ |a−b| e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a| + |b − a| = |a| + |a − b| ⇒ −|a − b| ≤ |a| − |b|.

logo: −|a − b| ≤ |a| − |b| e |a| − |b| ≤ |a − b|. Segue-se ent˜ao, por

que ||a| − |b|| ≤ |a − b|. 14 a.){3/2, 3} b.)−3/2 c.)1 d.)1/3 e.){ } f.)x ≤ 2 ou x ≥ 3 h.)x ≤ −1 −√2 ou x ≥ −1 j.)8 k.)1/2(5 +√41)l.)1/22(43 + 3√269)m.)30 15 a.)x < −1 b.)R c.)x < −√7 ou x > √7 d.)x < 1 ou x > 3 e.)R f.)x < −2 ou x > 3 g.)0 < x < 1 h.)x < −1 ou x > 1 i.)−5 < x < 11 k.){x < 1 ou x > 2} m.){}

16 Dica: Desigualdade Triangular e as pro-priedades de m´odulo do exerc´ıcio 12

17 a.)x < −1 b.)x > 1₂ −3 +√13 c.)x < −2 ou x > 2 d.)x < −1 ou 3 < x < 7 e.)−1 ≤ x≤ 3 f.)1 < x < 2 4