Apostila Geometria Descritiva(Sarah Rabelo)

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Geometria Descritiva – Professora Sarah Rabelo

G

e

o

m

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r

i

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D

e

s

c

r

i

t

i

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a

Professora: Sarah Rabelo

1 – Introdução

A GD tem por objetivos:

– A representação de figuras do espaço, a fim de...

– ...estudar sua forma, dimensão e posição.

- GD é a base teórica de numerosas aplicações profissionais, que vão da Engenharia à

Arquitetura, bem como Desenho Industrial, Pintura, Escultura...

- A GD desenvolve a habilidade de imaginar objetos ou projetos no espaço, e não

apenas a leitura ou interpretação de desenhos.

- A GD utiliza um sistema de projeções elaborado por Garpard Monge, conhecido como

sistema mongeano, ortogonal ou diédrico:

o

Sistema de representação: Épura

o

Método de projetividade: um dado ente (figura) e sua imagem em

correspondência

o

Técnica: linha de terra, convenção de traços, notação...

o

Processo: dupla imagem por projeções ortogonais

2 – Teoria Geral das Projeções

2.1 – Definição

A noção mais intuitiva é imaginarmos um objeto (ente) e sua imagem (representação).

 Projeção vem de PROJETAR: atirar longe,

arremessar, lançar algo sobre uma superfície...

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2.2 – Sistemas de Projeção

Como já dito, o objetivo da GD é representar no plano, através de projeções, as figuras

do espaço. Há duas formas principais de projetar uma figura F em um plano :

(a)

Utilizando um sistema de projeção central:

 A projeção de cada ponto

P 

F

é o ponto obtido da

interseção de  com a reta

OP

.

 O é o ponto fixo, o centro de projeção.

(b)

Utilizando um sistema de projeção cilíndrica:

 A projeção de cada ponto

P 

F

é o ponto obtido da

interseção de  com a reta que passa por P e é paralela

a uma direção fixa , a direção de projeção.

O sistema de projeção utilizado na GD é a projeção cilíndrica ortogonal (a direção de

projeção é perpendicular ao plano de projeção):

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3. MÉTODO DE MONGE

Gaspard Monge, criador da Geometria Descritiva, a definiu como sendo a parte da Matemática que tem por fim representar sobre um plano as figuras do espaço, de modo a poder resolver, com o auxílio da Geometria Plana, os problemas em que se consideram as três dimensões.

O QUE É A PROJEÇÃO DE UM PONTO?

Projeção de um ponto sobre um plano é o “pé” da perpendicular ao plano conduzido pelo ponto. O plano é dito plano de projeção e a reta é a reta projetante do ponto. Porém, no espaço um ponto não está bem determinado apenas com uma projeção. Então mostramos como se determina um ponto A através do método das projeções de Monge.

PLANOS DE PROJEÇÃO

Planos de projeção são dois planos perpendiculares entre si; um deles chama-se plano horizontal e o outro plano vertical. Os dois planos são ilimitados em todos os sentidos.

Chama-se Linha de Terra - LT a interseção dos dois planos.



O 1° diedro é formado pelos semi-planos: Vertical Superior (VS) e Horizontal Anterior (HA).



O 2° diedro é formado pelos semi-planos: Vertical Superior (VS) e Horizontal Posterior (HP).



O 3° diedro é formado pelos semi-planos: Vertical Inferior (VI) e Horizontal Posterior (HP). O 4° diedro é formado pelos semi-planos: Vertical Inferior (VI) e Horizontal Anterior (HA).

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ÉPURA

Épura é a representação de uma figura do espaço pelas suas projeções no plano. O interessante da épura é observar a figura no plano e imaginar como essa figura se apresenta no espaço.

OBTENÇÃO DA ÉPURA

Para obter a épura, gira-se o Plano Vertical de Projeção (PV) em torno da Linha de Terra no sentido

horário, de tal forma que este coincida com o Plano Horizontal de Projeção (PH). Esta nova representação recebe o nome de épura.

3.1. ESTUDO DO PONTO

Para determinar a posição de um ponto (A) é necessário projetá-lo sobre os dois planos de projeção. A projeção horizontal designa-se por A ou (A1) e a projeção vertical por (A’) ou (A2).

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3.1.1. COORDENADAS

Um ponto no espaço é determinado por três coordenadas: altitude (eixo Z), longitude (eixo X) e latitude (eixo Y).

Plano de perfil: plano perpendicular aos planos de projeções passando por O. Um ponto tem abscissa positiva se está à frente do plano de perfil e negativa se estiver atrás.

__________

(6)

Linha de chamada é o segmento que une as duas projeções de um ponto e é sempre perpendicular à LT.

Abscissa de um ponto P é a, distância da Linha de chamada do ponto P até o Plano de Perfil. Assim, abscissa é a coordenada do eixo X.

Afastamento de um ponto P é a distância deste ponto ao plano vertical de projeção. Assim, afastamento é a coordenada do eixo Y.

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Cota de um ponto P é a distância deste ponto ao plano horizontal de projeção. Assim cota é a coordenada do eixo Z.

DETERMINAÇÃO DE UM PONTO

Um ponto P está determinado quando se conhece abscissa, afastamento e cota. Exemplo: P(-2,4,2).

3.1.2. POSIÇÕES DO PONTO

O ponto pode ocupar nove posições diferentes em relação aos planos de projeção. São elas: 1. Ponto no 1° diedro

Depois do rebatimento, o (’S) ficará em coincidência com o (P) e a projeção vertical A’ acompanhará o plano (’S) no seu deslocamento. As projeções são separadas pela linha de terra, estando a projeção vertical A’ acima e a horizontal A abaixo da referida linha.

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2. Ponto no 2° diedro

Depois do rebatimento, a projeção B’ vem colocar-se no (P), sobre BB0 (ou seu prolongamento) conforme a cota seja maior ou menor que o afastamento. Na épura correspondente verificamos que ambas as projeções estão acima da linha de terra, fato este que caracteriza o ponto no 2° diedro.

Depois do rebatimento, o (’S) ficará em coincidência com o (P) e o (’I) ficará em coincidência com o (A), então a projeção vertical C’ irá cair em C’1 no prolongamento de CC0. Na épura correspondente verificamos que as projeções são separadas pela linha de terra, estando a projeção horizontal C acima e a vertical C’ abaixo dessa linha.

Depois do rebatimento, a projeção vertical D’ vem cair sobre DD0 (ou seu prolongamento). Na épura correspondente verificamos que ambas as projeções estão abaixo da linha de terra, fato este que caracteriza que o ponto está no 4° diedro.

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5. Ponto no plano vertical superior (’S)

Estando o ponto (E) no (’S) o seu afastamento será nulo, coincidindo, então sua projeção vertical E’ com o próprio ponto (E), e a projeção horizontal E estará sobre a linha de terra. Depois do rebatimento, a projeção E’ cairá em E’1 sobre o (P). Na épura, a projeção vertical E’ está acima da linha de terra e a horizontal E, está sobre essa linha.

6. Ponto no plano vertical inferior (’I)

Estando o ponto (F) no (’I) o seu afastamento será nulo. Sua projeção vertical F’ coincide com o próprio ponto (F), e a projeção horizontal F estará sobre a linha de terra. Depois do rebatimento, a projeção F’ cairá em F’1 sobre o (A). Na épura, a projeção vertical F’ está abaixo da linha de terra e a horizontal F, permanece sobre essa linha.

7. Ponto no plano horizontal anterior (A)

Estando o ponto (G) no (A) sua cota será nula, coincidindo, então sua projeção horizontal G com o próprio ponto (G), e a projeção vertical G’ estará sobre a linha de terra. Na épura, a projeção horizontal G está abaixo da linha de terra e a vertical G’, está sobre essa linha.

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8. Ponto no plano horizontal posterior (P)

Estando o ponto (J) no (P) sua cota será nula, coincidindo, então sua projeção horizontal J com o próprio ponto (J), e a projeção vertical J’ estará sobre a linha de terra. Na épura, a projeção horizontal J está acima da linha de terra e a vertical J’, está sobre essa linha.

9. Ponto na linha de terra

Nessa posição, o ponto não terá cota nem afastamento. Nada se altera com o rebatimento, já que a linha de terra é fixa. A épura do ponto nessa posição é representada na figura ao lado.

“Tudo quanto te vier às mãos para fazer, faze-o conforme as tuas forças, pois na

sepultura para onde tu vais não há ciência, nem indústria, nem sabedoria alguma.”

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3.1.3. PLANOS BISSETORES

Denomina-se plano bissetor de um ângulo diedro, o plano que divide este diedro em dois iguais, nesse caso, o plano bissetor forma um ângulo de 45° com os planos vertical e horizontal.

Existem dois planos bissetores:

O primeiro divide os diedros I e III, chamado de bissetor impar e denotado por



I.



O segundo divide os diedros II e IV, chamado de bissetor par e denotado por



P.

OBS.: Um ponto pertence ao plano bissetor se a cota e o afastamento tiverem o mesmo valor.

3.1.4. SIMETRIA DE PONTOS

Dois pontos (A) e (B) são simétricos em relação a um plano (), quando este plano é o mediador do segmento formado pelos dois pontos, isto é, quando o plano é perpendicular ao segmento formado por esses dois pontos e contendo o seu ponto médio, onde o segmento (A)(M) é igual ao segmento (M)(B).

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Consideremos a simetria de um ponto em relação: a) aos planos de projeção

Um ponto (B) é simétrico a um ponto (A) em relação ao plano horizontal de projeção () quando possui a mesma abscissa, o mesmo afastamento em grandeza e sentido, e a cota da mesma grandeza, porém de sentido contrário.

Como nos mostra a épura abaixo, os afastamentos dos pontos (A) e (B) são iguais e ambos positivos (mesmo sentido) e cotas iguais de sentido contrário.

Um ponto (D) é simétrico a um ponto (C) em relação ao plano vertical de projeção (’) quando possui a mesma abscissa, a mesma cota em grandeza e sentido, e o afastamento da mesma grandeza, porém de sentido contrário.

Na épura observamos que os pontos têm projeções verticais coincidentes C’D’ e projeções horizontais C e D simétricas em relação à linha de terra.

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b) aos planos bissetores

Seja (A) e a reta que representa o 1º bissetor (



I). Verifica-se que a figura (A)A’MA é um retângulo igual ao formado por (B)B’MB, e, como (A) e (B) são simétricos (portanto mesma abscissa), a cota de um dos pontos é igual ao afastamento do outro e vice-versa.

A épura se caracteriza por abscissas iguais, afastamento e cota de um dos pontos iguais respectivamente a cota e afastamento do outro, isto é, as projeções de nomes contrários simétricas em relação à linha de terra.

Seja o ponto (A) e a reta que representa o 2° bissetor (



P). Por razões análogas ao caso anterior, verifica-se que as abscissas são iguais e que a cota de um é simétrica ao afastamento do outro.

A épura se caracteriza por abscissas iguais e cota de (A) igual ao afastamento de (B) e cota de (B) igual ao afastamento de (A). Portanto, as projeções de nomes contrários são coincidentes.

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c) à linha de terra

Se a figura (a) onde a linha de terra

’ é a mediatriz do segmento (A)(B), então são iguais os

retângulos que se observam na figura e os pontos simétricos em relação à linha de terra possuem abscissas iguais e cotas e afastamentos simétricos.

A épura (b) é caracterizada pelas projeções de mesmo nome dos dois pontos (A) e (B), simétricas em relação à linha de terra.

Obs.: A simetria em relação à linha terra

’ é o produto das simetrias em relação aos planos ()

horizontal e (’) vertical e, assim, para obter o simétrico de um ponto dado em relação à linha de terra, pode-se efetuar a simetria em relação a um dos planos de projeção e a seguir a simetria desse último em relação ao outro plano.

Assim, na figura (c), determina-se o ponto (C) simétrico de (A) em relação a () e depois o ponto (B) simétrico de (C) em relação a (’) ou o ponto (D) em relação a (’) e depois o ponto (B) em relação a ().

EXERCÍCIOS:

1) Determinar as posições dos pontos (A), (B), (C), (D), (E), (F) e (G), dados por suas projeções na figura abaixo:

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Geometria Descritiva – Professora Sarah Rabelo 2) Representar a épura dos pontos abaixo e determinar suas posições:

(A) [-1; -2; -1] (B) [0; 1,5; -2] (C) [1,5; 1; 1,5] (D) [3; 0; -2] (E) [-2; 2; 0] (F) [2; -1; 0] (G) [4,5; 2; 0] (H) [-3; 0; 0] (I) [6; -1,5; 0] (J) [8; -1; 1]

3) Representar a épura de um ponto (A) no 2° diedro com cota igual a 1/3 do afastamento:

4) São dados os pontos (A) [1; 1; 1,5] e (B) [3; -1; 2]. Pede-se determinar as projeções de um ponto:

(a) simétrico a (A) em relação ao (



I)

(b) simétrico a (B) em relação ao (



P)

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3.2 – ESTUDO DA RETA 3.2.1 – Projeção da reta

A projeção de uma reta sobre um plano é o lugar das posições de todos os seus pontos sobre esse plano.

Seja na figura abaixo a reta (A)(B) e o plano (). Baixando em todos os pontos da reta perpendiculares ao plano, os pés dessas perpendiculares dão lugar a projeção ortogonal da reta.

Essas perpendiculares formam um plano () perpendicular ao plano () e que é o plano projetante da reta. A projeção de uma reta sobre um plano só deixa de ser uma reta, quando ela lhe for perpendicular, pois neste caso, a projeção será um ponto, já que a projetante de todos os seus pontos se confundem com a própria reta.

Quando uma reta for paralela a um plano a sua projeção sobre este plano é igual e paralela à própria reta (Figura abaixo (a)). Se a reta (A)(B) for paralela ao plano (), sua projeção nesse plano é a reta AB. As duas retas (A)(B) e AB formam com as projetantes (A)A e (B)B um paralelogramo no qual (A)(B)=AB. Diz-se então que a reta Diz-se projeta em verdadeira grandeza (V.G.).

Quando uma reta for oblíqua a um plano (Figura (b)) a projeção é menor que a reta do espaço, pois ela forma com sua projeção e as projetantes um trapézio retângulo, em que a projeção do plano, sendo perpendicular às bases é menor que a reta do espaço.

O comprimento da projeção de uma reta sobre um plano varia com a inclinação dela sobre o plano. Ela passa por todos os valores, de zero (caso do ponto quando a reta é perpendicular ao plano) até o limite máximo igual ao comprimento da reta (caso da reta paralela ao plano).

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Determinação de uma reta:

A posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são conhecidas as projeções dessa reta sobre dois planos ortogonais.

Sejam na figura (a) os dois planos () e (’) perpendiculares e AB e A’B’ respectivamente, as projeções da reta (A)(B) cuja posição queremos determinar. Por AB faz-se passar um plano perpendicular ao plano (), o mesmo acontecendo com A’B’ em relação a (’). Cada um dos planos que são os planos projetantes da reta nos respectivos planos de projeção, deve conter a reta do espaço, que será, então, a interseção desses dois planos projetantes.

Para se designar a reta cujas projeções são AB e A’B’ escreve-se; reta (A)(B) (figura (b)). A reta pode também ser designada por letras minúsculas.

3.2.2 – Pertinência de ponto a reta

Regra geral:

Um ponto pertence a uma reta, quando as projeções desse ponto estão sobre as projeções de mesmo nome da reta, isto é, a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta e projeção vertical do ponto também sobre a projeção vertical da reta.

Na figura abaixo, temos a épura de pontos que pertencem a retas correspondentes, isto é, ponto A’A pertencendo a reta r’r; ponto C’C pertencendo a reta (E)(F) dada pelas projeções E’F’ e EF.

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3.2.3 – Posições da reta (nomenclatura)

Em relação aos planos de projeção, a reta pode ocupar várias posições, as quais determinam nomes e propriedades particulares. São as seguintes retas:

1) Reta qualquer

É a reta oblíqua aos dois planos de projeção. Sua épura é caracterizada por possuir ambas projeções oblíquas à linha de terra.

2) Retas segundo o paralelismo em relação aos planos de projeção Reta horizontal (ou de nível):

É a reta paralela ao plano horizontal () e oblíqua ao vertical (’). Sua épura é caracterizada por possuir a projeção vertical paralela à linha de terra e a projeção horizontal oblíqua à essa mesma linha. A

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Reta frontal (ou de frente):

É a reta paralela ao plano vertical (’) e oblíqua ao horizontal (). Sua épura é caracterizada por possuir a projeção horizontal paralela à linha de terra e a projeção vertical oblíqua a essa mesma linha. A

projeção vertical representa a verdadeira grandeza.

Reta frontohorizontal (paralela à linha de terra):

É a reta paralela simultaneamente aos dois planos de projeção () e (’). Sua épura é caracterizada por possuir ambas as projeções paralelas à linha de terra. Qualquer das projeções (que são iguais)

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3) Retas segundo o perpendicularismo em relação aos planos de projeção Reta vertical:

É a reta perpendicular ao plano horizontal (). Sua épura é caracterizada por possuir a projeção horizontal reduzida a um ponto (chamada projeção pontual) e a vertical perpendicular à linha de terra, e que representa a V.G.

Obs: A reta vertical é sempre paralela ao plano vertical, pois é perpendicular ao plano horizontal.

Reta de topo:

É a reta perpendicular ao plano vertical (’). Sua épura é caracterizada por possuir projeção vertical reduzida a um ponto (chamada projeção pontual) e a horizontal perpendicular à linha de terra, e que representa a V.G.

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Reta de perfil:

É uma reta oblíqua dos dois planos de projeção numa posição particular: perpendicular (ou ortogonal) à linha de terra. A figura abaixo mostra uma reta de perfil situada num plano (I’) que é perpendicular aos dois planos de projeção (plano de perfil). A épura é caracterizada pelas projeções perpendiculares a linha de terra. A reta de perfil não tem verdadeira grandeza.

Como no estudo do ponto, a reta também pode estar contida dentro de qualquer um dos semiplanos ou em coincidência com a linha de terra. No primeiro caso, a reta possuirá sempre uma das projeções sobre a linha de terra e, no segundo, ambas projeções coincidem com essa linha.

Na figura abaixo se observa uma reta situada no plano vertical superior (’S) e sua épura correspondente. Nesse caso, em que a reta coincide com sua própria projeção vertical, apresenta-se (em épura) a projeção vertical acima da linha de terra e a horizontal sobre a mesma.

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Na figura abaixo, observamos uma reta situada no plano vertical inferior (’I) e sua épura correspondente. Nesse caso, em que a reta coincide com sua própria projeção vertical, apresenta-se (em épura) a projeção vertical abaixo da linha de terra e a horizontal sobre a mesma.

Aqui observamos uma reta situada no plano horizontal anterior (A) e sua épura correspondente. Nesse caso, em que a reta coincide com sua própria projeção horizontal, apresenta-se (em épura) a projeção horizontal abaixo da linha de terra e a vertical sobre a mesma.

Na figura a seguir, observamos uma reta situada no plano horizontal posterior (P) e sua épura correspondente. Nesse caso, em que a reta coincide com sua própria projeção horizontal, apresenta-se (em épura) a projeção horizontal acima da linha de terra e a vertical sobre a mesma.

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EXERCÍCIO:

1) Representar as épuras das retas (A)(B); (C)(D) e (E)(F) e nomeá-las:

(A) [-2; 3; 5]

(B) [1; 8; 5]

(C) [0; -4; 3]

(D) [3; -4; 0]

(E) [-3; 8; 1]

(F) [3; 1; 6]

3.2.4. Traços de reta

Chama-se traço de uma reta sobre um plano o ponto em que essa reta fura ou atravessa esse plano. Logo, quando uma reta for paralela a um plano, não terá traço sobre esse plano. O traço sobre o plano (’) é o traço vertical e por convenção representa-se por (V), e o traço sobre o plano () é o traço horizontal e por convenção representa-se por (H).

Seja na figura abaixo a reta (u) e o ponto (V) a interseção da reta (u) no plano (’). Para se obter o traço (V) de uma reta, basta determinar o ponto da reta (u) que tem afastamento nulo.

Em épura, para se achar o traço vertical da reta uu’, prolonga-se a projeção horizontal até a linha de terra, onde fica determinada a projeção horizontal V. De V, uma linha de chamada faz conhecer V’ como indica a épura. Esse ponto V’ que coincide com o ponto objetivo (V) é um ponto da reta (u) e seu afastamento é nulo.

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Atenção: a projeção horizontal V do traço vertical (V) e projeção vertical H’ do traço horizontal (H) estão

sempre obrigatoriamente sobre a linha de terra.

Conclui-se então, que uma reta só possui os dois traços quando é oblíqua aos dois planos ()(’) (reta qualquer e reta de perfil). As demais retas, como horizontal, frontal, vertical e de topo, possuem apenas um traço e finalmente, a frontohorizontal, por ser paralela aos dois planos não possui traço nesses planos.

O conhecimento da determinação dos traços de uma reta nos permite traçar retas subordinadas à condição de passarem por diedros dados.

Na figura a seguir, a reta (r) do 1º diedro passa pelo 2º e 4º diedros. Vemos que os traços são obtidos prolongando a reta nos sentidos indicados pelas setas: traço vertical (V) no sentido da seta 1 e traço horizontal (H) no sentido da seta 2. É indiferente determinar-se primeiro um ou outro traço. Em épura, os traços da reta (r) são obtidos prolongando-se as projeções r e r’ em sentidos contrários até a linha de terra.

Na figura da reta (u) no 1º diedro passando pelo 4º e 3º diedros, vemos que ambos os traços são obtidos prolongando a reta (u) num único sentido, indicado pela seta 3. Primeiro, determina-se o traço horizontal (H) e depois o vertical (V). Em épura, os traços da reta (u) são obtidos prolongando-se as projeções u e u’ no mesmo sentido.

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Traços de reta de perfil:

Seja na figura abaixo a reta (A)(B) e (H) e (V) os seus traços respectivamente sobre () e (’). Utiliza-se, na reta de perfil, o rebatimento do plano de perfil que a contém, no caso o triângulo (H)V(V). Esse rebatimento consiste em girá-lo de 90º no sentido-horário, até que fique em coincidência com o plano vertical (’), sendo esse giro feito em torno de sua intersecção com o plano vertical (’), que no caso é (V)V. Com esse rebatimento, os pontos (A) e (B) descreverão no espaço arcos de círculos horizontais e vem coloca-se em (A1) e (B1) respectivamente, sobre retas traçadas por A’ e B’ paralelamente a linha de terra.

No plano horizontal o ponto A descreve um arco de círculo de raio AV e vem cair em A1 do mesmo modo que B vem cair em B1. Desses pontos A1 e B1 traçam-se no plano vertical as paralelas a (V)V que determinam as posições (A1) e (B1) após o rebatimento.

Vejamos a épura. Seja (A)(B) dada por suas projeções A e A’ e B e B’. Faz-se o centro em H’V e descrevem-se os raios de círculo AA1 e BB1 até situa-los em A1 e B1 na linha de terra. Traça-se perpendiculares à linha de terra e tem-se os pontos (A1) e (B1) e, portanto, a reta (A1)(B1) nos encontros com as paralelas a linha de terra traçadas por A’ e B’ respectivamente. Teremos em (A1)(B1) a verdadeira grandeza da reta dada e um V’(V) do seu traço vertical. No plano horizontal, o traço é H e teremos que fazer o alçamento (inverso do rebatimento). Assim prolongando a reta (A1)(B1), teremos em H1 sobre a linha da terra o traço horizontal rebatido, então, com o mesmo centro em H’V e raio H’H1 descreve-se, em sentido anti-horário, o arco H1H, sendo H traço horizontal.

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3.2.5. Posições relativas a duas retas

Sejam as retas (r) e (s), o plano () e o ponto (M) comum a reta (s) e ao plano (). Nota-se que, enquanto a reta (r) está situada no plano (), a reta (s) tem nesse plano apenas um ponto (M). Então esse ponto (M) e a reta (r) definem o plano () e a reta (s) a ele não pertence.

Diz-se então, que as retas (r) e (s) são reversas ou não coplanares, ou seja, não estão no mesmo plano.

Se a reta (s) também pertencer ao mesmo plano () da reta (r), as retas são, então, coplanares, isto é, definem um plano, podendo ser concorrentes ou paralelas. Logo, temos as retas (r) e (s) que são concorrentes, pois tem um ponto em comum (M), que se diz próprio, e as retas (r1) e (s1) que são paralelas por não terem ponto comum (diz-se que o ponto é impróprio, isto é, não existe).

Retas concorrentes

Duas retas são concorrentes quando:

1° - O ponto de interseção das projeções verticais e o das projeções horizontais estiverem numa mesma linha de chamada. Observa-se essa situação no espaço e na sua épura correspondente.

2° - Duas projeções de mesmo nome se confundem e as duas outras se cortam. Observa-se essa situação no espaço e na sua épura correspondente. Nesse caso, as duas retas concorrentes admitem um mesmo plano projetante e por isso suas duas projeções de mesmo nome coincidem. A épura mostra ainda, duas projeções horizontais coincidentes e as verticais concorrentes em O’. Poderia ser o inverso, ou seja, as projeções horizontais concorrentes e as verticais coincidentes.

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3° - Uma das projeções de uma das retas se reduz a um ponto situado sobre a projeção de mesmo nome de outra reta. A situação do espaço é definida pela figura abaixo e na sua épura correspondente. No caso, considerou-se uma reta vertical (u) e, portanto, como projeção pontual a horizontal u.

Retas paralelas

Analogamente, aos três casos anteriores, duas retas são paralelas quando:

1° - As duas projeções de mesmo nome são paralelas. Observa-se essa situação no espaço e na sua épura correspondente.

2° - Duas projeções de mesmo nome se confundem e as duas outras são paralelas. É o caso das duas retas paralelas admitirem um mesmo plano projetante. Observa-se essa situação no espaço e na sua épura correspondente. Poderia ser o inverso, ou seja, as projeções horizontais paralelas e as verticais coincidentes, o que não altera a condição de paralelismo das duas retas.

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3° - As duas projeções sobre um mesmo plano se reduzem, cada uma, a um ponto. É o caso de duas retas verticais ou de topo que obrigatoriamente são paralelas entre si. A situação do espaço é definida pela figura abaixo e na sua épura correspondente (retas verticais no caso).

Retas de perfil paralelas ou concorrentes:

No caso de retas de perfil, a condição de paralelismo das projeções correspondentes, apesar de necessária não é suficiente.

Consideremos dois casos:

1°) Retas situadas no mesmo plano de perfil 2°) Retas situadas em planos de perfil distintos

No 1° caso, as retas terão a mesma abscissa, elas poderão ser paralelas ou concorrentes (nunca reversas, pois estão num mesmo plano).

No 2° caso, podem ser paralelas ou reversas e nunca concorrentes, porque estão situadas cada uma em planos paralelos entre si, todas as retas de qualquer deles serão paralelas ao outro, e nesse caso, as abscissas das retas são diferentes.

Duas retas de perfil quando possuem abscissas iguais, logo no mesmo plano de perfil, terão suas projeções de mesmo nome superpostas; quando de abscissas diferentes, terão projeções de mesmo nome paralelas. Observemos as figuras abaixo e suas respectivas épuras.

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