Preparação para a
Prova
de Aferição
Matemátic
a
O
o
8.º ano
Índice
Parte I
Desenvolvimento do programa dos 7.° e 8.° anos
Capítulo 1
Números racionais. Números reais
1. Dízimas finitas e infinitas periódicas 9
2. Operações com números racionais 15
3. Potências de expoente inteiro 20
4. Dízimas infinitas e números reais 27
Exercícios e problemas complementares 32
Capítulo 2
Teorema de Pitágoras
1. Semelhanças 39
2. Decomposição de um triângulo retângulo pela altura relativa à hipotenusa 46
3. Teorema de Pitágoras 47
4. Teorema recíproco do Teorema de Pitágoras 49
Exercícios e problemas complementares 52
Capítulo 3
Figuras geométricas. Sólidos geométricos
1. Figuras geométricas 57
2. Sólidos geométricos 62
Exercícios e problemas complementares 64
Capítulo 4
Vetores, translações e isometrias
1. Segmentos de reta orientados. Vetores 69
2. Soma de um ponto com um vetor. Translação associada a um vetor 70
3. Composição de translações e soma de vetores 71
4. Reflexão deslizante 73
5. Isometrias no plano. Propriedades 74
6. Simetrias de translação, de rotação, de reflexão axial e de reflexão deslizante 76
Exercícios e problemas complementares 79
Capítulo 5
Funções e sequências
1. Introdução ao estudo das funções 85
2. Operações com funções 88
3. Função de proporcionalidade direta 90
4. Função afim 91
5. Equação de uma reta 97
6. Sequências e regularidades 101
Exercícios e problemas complementares 104
Capítulo 6
Monómios e polinómios. Equações
1. Monómios 111
2. Polinómios 114
3. Casos notáveis da multiplicação de polinómios 117
4. Equações do 1.° grau 120
5. Fatorização de polinómios 123
6. Equações incompletas do 2.° grau 126
Exercícios e problemas complementares 132
Capítulo 7
Equações literais e sistemas
1. Equações literais 143
2. Sistemas de equações do 1.° grau com duas incógnitas 146
Exercícios e problemas complementares 155
Capítulo 8
Organização e tratamento de dados
1. Variáveis estatísticas 161
2. Tabelas de frequências. Gráficos 162
3. Medidas de localização 163
4. Medidas de dispersão 166
5. Diagramas de extremos e quartis 167
Exercícios e problemas complementares 170
Parte II
Provas-modelo de Aferição de Matemática
Prova-modelo 1 176
Prova-modelo 2 184
Prova-modelo 3 192
Prova-modelo 4 200
62 63
2. Sólidos geométricos
Áreas e volumes
Sólidos geométricos Área Volume
Cubo a
A lateral = 4 a 2
A total = 6 a 2
a é a medida da aresta do cubo
V = a × a × a = a 3
Paralelepípedo retângulo
b a
c A lateral = P base × altura = (2a + 2b) × c
A total = A lateral + 2 A base = (2a + 2b) × c + 2ab
V = A base × altura =
= a × b × c
Prisma quadrangular
a
h A lateral = P base × altura = 4a × h
A total = A lateral + 2 A base = 4a × h + 2 a 2
V = A base × altura =
= a 2
× h
Cilindro
r
h A lateral = P base × altura = 2πr × h
A total = A lateral + 2 A base = 2πrh + 2π r 2
V = A base × altura = = π × r 2 × h Pirâmide h ap A lateral = P base _ 2 × apótema
A total = A lateral + A base
V = ___________ A base × altura 3 Cone r g h A lateral = P base _ 2 × geratriz = πr × g
A total = A lateral + A base = πrg + π r 2
V = ___________ A base × altura
3 =
= π r _ 23 × h
Legenda:
A lateral : Área lateral ; A total : Área total ; A base : Área da base P base : Perímetro da base
V : Volume ap : apótema CP PA -M8 © P ort o E di tora
Parte I · Desenvolvimento do programa dos 7.° e 8.° anos
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Exercício resolvido 5
Do cone representado na figura, sabe-se que o raio da base mede 5 cm e a altura 12 cm .
Relativamente ao cone da figura, determina:
5.1. o volume.
5.2. a área total, com uma casa decimal.
Considera π = 3,141 59 . Proposta de resolução 5.1. V =
___________
A base × altura 3 = π r 2 × h_______
3 V = 3,141 59 × 5 2 × 12________________
3 = 314,159 cm 35.2. A total = A lateral + A base
A lateral =
P base
____
2 × geratriz = πr × g Cálculo da geratriz do cone: g 2
= 12 2
+ 5 2
⇔ g 2
= 169 ⇔ g = ± √_169 Como g é uma medida de comprimento, g = 13 . A lateral = 3,141 59 × 5 × 13 = 204,203 35 cm 2
A base = π r 2
A base = 3,141 59 × 5 2 = 78,539 75 cm 2
A total = 204,203 35 + 78,539 75 ≈ 282,7 cm 2
Exercício resolvido 6
Considera um cilindro de altura 5 cm e raio da base 2 cm .
Considerando π = 3,1416 , determina a sua área total.
Apresenta o resultado arredondado às unidades.
Proposta de resolução
A total = A lateral + 2 A base = 2πrh + 2π r 2
A lateral = P base × h = 2πr × h A lateral = 2 × 3,1416 × 2 × 5 = 62,832 cm 2 A base = π × r 2 A base = 3,1416 × 2 2 = 12,5664 cm 2 A total = 62,832 + 2 × 12,5664 = 87,9648 cm 2 A total ≈ 88 cm 2 6 A figura representa a pirâmide quadrangular [ABCDE] . D C E G F B A Sabe-se que: • ‾ AB = 16 cm • ‾ EG = 17 cm Relativamente à pirâmide da figura, determina: 6.1. o volume; 6.2. a área total. 12 cm 5 cm 7 Na figura estão representados um cilindro e um cone com a mesma base e a mesma altura.
r h
r h
Sabendo que a capacidade do cone é de 3 litros, o volume do cilindro é de: (A) 9 cm 3 (B) 9000 cm 3 (C) 1000 cm 3 (D) 6000 cm 3 2 cm 5 cm CP PA -M8 © P or to E di to ra
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6 Num polígono regular, a soma das amplitu-des dos ângulos internos é igual a 2340° .
6.1. Quantos lados tem esse polígono? Indica a opção correta.
(A) 10 lados (B) 12 lados
(C) 13 lados (D) 15 lados
6.2. Determina a amplitude de cada ângulo ex-terno do referido polígono.
7 Na figura seguinte, [ABC] é um triângulo equilátero e E D
̂
F = 45° . C A B D F E 45°7.1. A amplitude do ângulo BCD é igual a:
(A) 120° (B) 60°
(C) 45° (D) 15°
7.2. Classifica o triângulo [ACD] quanto ao comprimento dos lados. Justifica.
8 Em cada caso, determina a amplitude do ângulo assinalado por x .
8.1. x 125° 65° 8.2. x 160° 97° 111° 108° 150°
1 Completa as frases que se seguem, com as palavras das etiquetas que podem ser utilizadas apenas uma única vez.
Trapézio
Paralelogramo
Retângulo Losango
(A) Um quadrilátero é um quando (e apenas quando), as suas diagonais se bissetam.
(B) Um paralelogramo é um quando (e apenas quando), as suas diagonais são iguais.
(C) Um paralelogramo é um quando (e apenas quando), as suas diagonais são per-pendiculares.
(D) Qualquer paralelogramo é .
2 Considera um pentágono regular. Calcula:
2.1. a soma das amplitudes dos ângulos internos;
2.2. a soma das amplitudes dos ângulos externos;
2.3. a amplitude de cada ângulo interno;
2.4. a amplitude de cada ângulo externo.
3 Determina a amplitude de cada ângulo ex-terno de um polígono regular com nove lados.
4 A figura mostra parte de um polígono regular, em que a amplitude de cada ângulo interno é 135° .
Quantos lados tem esse polígono?
5 Determina a amplitude de cada ângulo in-terno de um polígono regular com 18 lados.
CP PA -M8 © P ort o E di tora
Exercícios e problemas complementares
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13 Calcula a área do quadrilátero [LUCK] da figura. A medida do lado da quadrícula corres-ponde à unidade.
L K
U C
Sugestão: começa por desenhar um retângulo que contenha os vértices do quadrilátero.
14 Na figura seguinte está representado o tra-pézio isósceles [ABCD] e o triângulo retângulo [AEC] . A E C D B Sabe-se que: • ‾ AB = 12 cm • ‾ DC = 5 cm • ‾ CE = 4 cm
Calcula a área da parte colorida da figura.
15 Observa o trapézio [ABCD] , retângulo em A . 12 m 20 m 10 m A B D C 15.1. Mostra que ‾ AD = 6 m .
15.2. Qual das seguintes expressões representa a área, em m² , do trapézio?
(A) 20 × 12 _______
2 × 6 (B) 20 + 12 _______ 2 × 10
(C) 20 + 12 _______ 2 × 6 (D) 20 × 12 _______ 2 + 6
Adaptado de provas oficiais
9 O quadrilátero [ABCD] é um losango em que A B E
̂
= 30° . Determina:9.1. A D
̂
C9.2. B C
̂
D10 No paralelogramo [CAIO] da figura, o ân-gulo OCS tem 130° de amplitude.
S C A
O I
Calcula:
10.1. A I
̂
O10.2. C A
̂
I11 Na figura estão representados quatro qua-driláteros. A B C 1 cm 1 cm D
Calcula a área de cada quadrilátero apresentado.
12 A figura representa o paralelogramo [ABCD] em que:
• ‾ BC = 25 mm
• ‾ EB = 7 mm
• ‾ AE = 10 mm
Determina a área do paralelo-gramo. Apresenta a resposta em cm² . B D C E A 30° D C E B A CP PA -M8 © P or to E di to ra