Preparação para a. Prova de Aferição. Matemática. 8.º ano

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Preparação para a

Prova

de Aferição

Matemátic

a

O

o

8.º ano

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Índice

Parte I

Desenvolvimento do programa dos 7.° e 8.° anos

Capítulo 1

Números racionais. Números reais

1. Dízimas finitas e infinitas periódicas 9

2. Operações com números racionais 15

3. Potências de expoente inteiro 20

4. Dízimas infinitas e números reais 27

Exercícios e problemas complementares 32

Capítulo 2

Teorema de Pitágoras

1. Semelhanças 39

2. Decomposição de um triângulo retângulo pela altura relativa à hipotenusa 46

3. Teorema de Pitágoras 47

4. Teorema recíproco do Teorema de Pitágoras 49

Exercícios e problemas complementares 52

Capítulo 3

Figuras geométricas. Sólidos geométricos

1. Figuras geométricas 57

2. Sólidos geométricos 62

Capítulo 4

Vetores, translações e isometrias

1. Segmentos de reta orientados. Vetores 69

2. Soma de um ponto com um vetor. Translação associada a um vetor 70

3. Composição de translações e soma de vetores 71

4. Reflexão deslizante 73

5. Isometrias no plano. Propriedades 74

6. Simetrias de translação, de rotação, de reflexão axial e de reflexão deslizante 76

Capítulo 5

Funções e sequências

1. Introdução ao estudo das funções 85

2. Operações com funções 88

3. Função de proporcionalidade direta 90

(3)

4. Função afim 91

5. Equação de uma reta 97

6. Sequências e regularidades 101

Capítulo 6

Monómios e polinómios. Equações

1. Monómios 111

2. Polinómios 114

3. Casos notáveis da multiplicação de polinómios 117

4. Equações do 1.° grau 120

5. Fatorização de polinómios 123

6. Equações incompletas do 2.° grau 126

Capítulo 7

Equações literais e sistemas

1. Equações literais 143

2. Sistemas de equações do 1.° grau com duas incógnitas 146

Capítulo 8

Organização e tratamento de dados

1. Variáveis estatísticas 161

2. Tabelas de frequências. Gráficos 162

3. Medidas de localização 163

4. Medidas de dispersão 166

5. Diagramas de extremos e quartis 167

Parte II

Provas-modelo de Aferição de Matemática

Prova-modelo 1 176

Prova-modelo 2 184

Prova-modelo 3 192

Prova-modelo 4 200

(4)

62 63

2. Sólidos geométricos

Áreas e volumes

Sólidos geométricos Área Volume

Cubo a

A lateral = 4 a 2

A total = 6 a 2

a é a medida da aresta do cubo

V _{= a × a × a = a}3

Paralelepípedo retângulo

b a

c A lateral = P base × altura = (2a + 2b) × c

A total = A lateral + 2 A base = (2a + 2b) × c + 2ab

V _{= A}base × altura =

= a × b × c

Prisma quadrangular

a

h A lateral = P base × altura = 4a × h

A total = A lateral + 2 A base = 4a × h + 2 a 2

V _{= A}base × altura =

= a 2

× h

Cilindro

r

h A lateral = P base × altura = 2πr × h

A total = A lateral + 2 A base = 2πrh + 2π r 2

V _{= A}base × altura = = π × r 2_{× h} Pirâmide h ap A lateral = P base _ ₂ _{× apótema}

A total = A lateral + A base

V = ___________ A base × altura 3 Cone r g h A lateral = P base _ ₂ _{× geratriz = πr × g}

A total = A lateral + A base = πrg + π r 2

V ₌___________ A base × altura

3 =

= π r _ 2₃ × h

Legenda:

A lateral : Área lateral ; A total : Área total ; A base : Área da base P base : Perímetro da base

V : Volume ap : apótema CP PA -M8 © P ort o E di tora

Parte I · Desenvolvimento do programa dos 7.° e 8.° anos

(5)

62 63

Exercício resolvido 5

Do cone representado na figura, sabe-se que o raio da base mede 5 cm e a altura 12 cm .

Relativamente ao cone da figura, determina:

5.1. o volume.

5.2. a área total, com uma casa decimal.

Considera _{π = 3,141 59 .} Proposta de resolução 5.1. V =

___________

A base × altura 3 = π r 2 × h

_______

3 V ₌3,141 59 × 5 2 _{× 12}

________________

3 = 314,159 cm 3

5.2. A total = A lateral + A base

A lateral =

P base

____

2 × geratriz = πr × g Cálculo da geratriz do cone: g 2

= 12 2

+ 5 2

⇔ g 2

= 169 ⇔ g = ± √_169 Como g é uma medida de comprimento, g _{= 13 .} A lateral = 3,141 59 × 5 × 13 = 204,203 35 cm 2

A base = π r 2

A base = 3,141 59 × 5 2 = 78,539 75 cm 2

A total = 204,203 35 + 78,539 75 ≈ 282,7 cm 2

Exercício resolvido 6

Considera um cilindro de altura 5 cm e raio da base 2 cm .

Considerando _{π = 3,1416 , determina a sua área} total.

Apresenta o resultado arredondado às unidades.

Proposta de resolução

A total = A lateral + 2 A base = 2πrh + 2π r 2

A lateral = P base × h = 2πr × h A lateral = 2 × 3,1416 × 2 × 5 = 62,832 cm 2 A base = π × r 2 A base = 3,1416 × 2 2 = 12,5664 cm 2 A total = 62,832 + 2 × 12,5664 = 87,9648 cm 2 A total ≈ 88 cm 2 6 A figura representa a pirâmide quadrangular [ABCDE] . D _C E G F B A Sabe-se que: • ‾ AB = 16 cm • ‾ EG = 17 cm Relativamente à pirâmide da figura, determina: 6.1. o volume; 6.2. a área total. 12 cm 5 cm 7 Na figura estão representados um cilindro e um cone com a mesma base e a mesma altura.

r h

Sabendo que a capacidade do cone é de 3 litros, o volume do cilindro é de: (A) 9 cm 3 _{(B) 9000 cm}3 (C) 1000 cm 3 _{(D) 6000 cm}3 2 cm 5 cm CP PA -M8 © P or to E di to ra

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65 64

6 Num polígono regular, a soma das amplitu-des dos ângulos internos é igual a 2340_{° .}

6.1. Quantos lados tem esse polígono? Indica a opção correta.

(A) 10 lados (B) 12 lados

(C) 13 lados (D) 15 lados

6.2. Determina a amplitude de cada ângulo ex-terno do referido polígono.

7 Na figura seguinte, [ABC] é um triângulo equilátero e E D

̂

F _{= 45° .} C A B D F E 45°

7.1. A amplitude do ângulo BCD é igual a:

(A) 120_° (B) 60_°

(C) 45_° (D) 15_°

7.2. Classifica o triângulo [ACD] quanto ao comprimento dos lados. Justifica.

8 Em cada caso, determina a amplitude do ângulo assinalado por x .

8.1. x 125° 65° 8.2. x 160° 97° 111° 108° 150°

1 Completa as frases que se seguem, com as palavras das etiquetas que podem ser utilizadas apenas uma única vez.

Trapézio

Paralelogramo

Retângulo Losango

(A) Um quadrilátero é um quando (e apenas quando), as suas diagonais se bissetam.

(B) Um paralelogramo é um quando (e apenas quando), as suas diagonais são iguais.

(C) Um paralelogramo é um quando (e apenas quando), as suas diagonais são per-pendiculares.

(D) Qualquer paralelogramo é .

2 Considera um pentágono regular. Calcula:

2.1. a soma das amplitudes dos ângulos internos;

2.2. a soma das amplitudes dos ângulos externos;

2.3. a amplitude de cada ângulo interno;

2.4. a amplitude de cada ângulo externo.

3 Determina a amplitude de cada ângulo ex-terno de um polígono regular com nove lados.

4 A figura mostra parte de um polígono regular, em que a amplitude de cada ângulo interno é 135_{° .}

Quantos lados tem esse polígono?

5 Determina a amplitude de cada ângulo in-terno de um polígono regular com 18 lados.

Exercícios e problemas complementares

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65 64

13 Calcula a área do quadrilátero [LUCK] da figura. A medida do lado da quadrícula corres-ponde à unidade.

L K

U C

Sugestão: começa por desenhar um retângulo que contenha os vértices do quadrilátero.

14 Na figura seguinte está representado o tra-pézio isósceles [ABCD] e o triângulo retângulo [AEC] . A E C D B Sabe-se que: • ‾ AB _{= 12 cm} • ‾ DC _{= 5 cm} • ‾ CE _{= 4 cm}

Calcula a área da parte colorida da figura.

15 Observa o trapézio [ABCD] , retângulo em A . 12 m 20 m 10 m A B D C 15.1. Mostra que ‾ AD = 6 m .

15.2. Qual das seguintes expressões representa a área, em m² , do trapézio?

(A) 20 × 12 _______

2 × 6 (B) 20 + 12 _______ 2 × 10

(C) 20 + 12 _______ ₂ × 6 (D) 20 × 12 _______ ₂ + 6

Adaptado de provas oficiais

9 O quadrilátero [ABCD] é um losango em que A B E

̂

= 30° . Determina:

9.1. A D

̂

C

9.2. B C

̂

D

10 No paralelogramo [CAIO] da figura, o ân-gulo OCS tem 130° de amplitude.

S C A

O I

Calcula:

10.1. A I

̂

O

10.2. C A

̂

I

11 Na figura estão representados quatro qua-driláteros. A B C 1 cm 1 cm D

Calcula a área de cada quadrilátero apresentado.

12 A figura representa o paralelogramo [ABCD] em que:

• ‾ BC _{= 25 mm}

• ‾ EB _{= 7 mm}

• ‾ AE _{= 10 mm}