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PROVA MODELO EXAME

DISCIPLINA: Matemática A

12º Ano de Escolaridade

Duração da Prova: 150 + 30 min

Data: 25/05/2016

VERSÃO 1

 Indique de forma legível a versão da prova.

 A ausência dessa indicação implica a anulação de todos os itens de escolha múltipla.

 Não é permitido o uso de corretor. Deve riscar aquilo que pretende que não seja classificado.  Nos itens de escolha múltipla selecione apenas a alternativa correta ou incorreta conforme o

solicitado. É atribuída a classificação de zero pontos às respostas em que apresente mais do que uma opção.

 Para cada resposta, identifique o grupo e o item.  Apresente apenas uma resposta a cada item.

 Nos itens, em que seja solicitada a escrita de um texto, a classificação das respostas contempla aspetos relativos aos conteúdos, à organização lógico-temática e à terminologia científica.  É permitida a utilização de régua, esquadro, transferidor e calculadora gráfica.

 As cotações dos itens encontram-se na página dois do enunciado da prova.  A prova inclui um formulário em anexo.

Versão 1 Página 2

COTAÇÕES

Questões Cotações

Grupo I

8 questões x 5 pontos Total: 40 pontos Grupo II 1. 1.1...………...……….………. 1.2…….……….……… 1.3…….……….……… 2. 2.1...………...……….………. 2.2…….……….……… 3. 3.1...………...……….………. 3.2…….……….……… 3.3…….……….……… 4. ....………...……….………. 5. 5.1...………...……….………. 5.2…….……….……… 6. ………...……….……….………. 12 pontos 12 pontos 14 pontos Total: 38 pontos 15 pontos 15 pontos Total: 30 pontos 12 pontos 12 pontos 16 pontos Total: 40 pontos 16 pontos Total: 16 pontos 12 pontos 10 pontos Total: 22 pontos 14 pontos Total:14 pontos Total: 160 pontos Total : 200 pontos

Versão 1 Página 3

As cinco questões desta primeira parte são de escolha múltipla. Apresente apenas uma resposta a cada uma das questões. Não apresente cálculos.

Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas de resposta, das quais só uma está correta.

1. Numa turma com 15 raparigas e 7 rapazes, vai ser formada uma comissão com 5 elementos.

Pretende-se que essa comissão seja mista e tenha mais raparigas do que rapazes. Quantas comissões diferentes se podem formar?

(A) 15

A

3



15

A

4

(B) 15C₄ 7 15C₃7C₂

(C) 15C₄ 7 15C₃7C₂

(D) 22C319C2

2. Seja

S

o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B

dois acontecimentos possíveis



A



S

e

B



S



. Sabe-se que

P A 

 

0, 2

e que

 

0, 2

P B A 

. Qual pode ser o valor de P B( )?

(A) 0,1

(B) 0, 3

(C) 0, 5

(D) 0, 7

3. Seja

a

um número real positivo.

Considere o conjunto

S

 



x

:

ln e



x

 

a



0



.

Qual dos conjuntos seguintes é o conjunto

S ?

(A)



_



ln



1



a , ln a







_

(B)



_



ln



1



a , ln a







_

(C)



_

 

, ln



1



a





_

(D)



_



ln



1



a ,







_

4. Sejam

a

e

b



 tal que

a



log x

₂ e

b



log y

₄ . A expressão

 

5 64 ₂ x log xy         é igual a: (A) 2 2 6 a b (B) 4 2 6 a b (C) 3 4 6 a b (D) 2 4 6 a b

Versão 1 Página 4

5. Seja f uma função de domínio



0, 



, definida por:

 

2 9 0 5 1 5         _   x x se x f x _e se x x

Em qual dos intervalos seguintes o Teorema de Bolzano-Cauchy permite garantir a existência de, pelo menos, um zero da função f ?

(A)

 

0,1

(B)

 

1, 4

(C)

 

4, 6

(D)

 

6, 7

6. Seja f uma função cuja derivada, f', de domínio , é dada por

f x

'

( )





4



x



2.

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) O gráfico da função f tem concavidade voltada para cima em .

(B) A função f tem um máximo relativo em

x  

4

. (C) O gráfico da função f não tem pontos de inflexão.

(D) O gráfico da função f tem um ponto de inflexão de coordenadas





4

, f

( 4)





.

7. Qual das condições seguintes define uma reta no plano complexo?

(A)

3

iz

  

1 2

i

0

(B)

 

2 Arg z 



(C)

z

  

1

z i

(D)

z  

1

4

8. Na figura estão representados, no plano complexo, as imagens geométricas dos números complexos 1

z , z₂, z₃e z₄.

Sabendo que

z 

2

, qual deles pode ser igual a

 

3 8 z z  ? (A) z₁ (B) z₂ (C) z₃ (D) z₄.

Versão 1 Página 5

GRUPO II

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato.

1. Resolva os itens seguintes usando processos analíticos. No plano complexo ao lado, considere:

 O ponto P, imagem geométrica do complexo

98

5

20

4

2

3

3

i

i cis

z

i









_

_









 O ponto A, imagem geométrica do complexo 2 11 6

w cis_



_

 

1.1 Mostre que

z

 

2 3 6



i

e represente-o na forma trigonométrica.

1.2 Seja B a imagem geométrica de

w

.

Esboce o triângulo



ABP



e calcule a sua área.

1.3 Considere 2



,



3

v cis_

 

 _ 



 

 

 

Determine



de modo que

v



w

.

2. Seja

S

o espaço de resultados associado a uma experiencia aleatória e sejam A e B dois

acontecimentos possíveis



A



S

e

B



S



. 2.1 Mostre que

 

 

1 1

 

 

 

1 P A P A B P A B P B P B   _  _    

2.2 Uma caixa contém bolas azuis e brancas numeradas com números naturais. Sabe-se que:

 o número de bolas azuis é o dobro do número de bolas numeradas com um número par;

 entre as bolas numeradas com um número ímpar, 70% são azuis;

 entre as bolas numeradas com um número par, dois quintos são brancas;

Escolhendo ao acaso uma bola da caixa, qual é a probabilidade de ela ser azul? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Sugestão: Pode utilizar a igualdade enunciada em 2.1. neste caso, deverá começar por caracterizar claramente os acontecimentos A e B, no contexto da situação apresentada.

Versão 1 Página 6

3. Considere, para um certo número real

k

positivo, a função f , de domínio , definida por

 

2

3

0

1

0

6

0

2

1

x

x

se

x

e

f x

ln k

se

x

x

x

ln

se

x

x



_



_





_





_

_

 

_

_













Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 3.1 Determine

k

de modo que

 

 

0

0

x

lim f x

f

 



.

3.2 Prove que a função g x( ) f x( ) 8 interseta a interseta a bissetriz dos quadrantes pares no

intervalo



 

2, 1



. 3.3 Mostre que

3

e ln_ _

  é um extremo relativo da função f no intervalo



0,



.

4. Considere a função f , de domínio

 

0,

, definida por

f x

 



ln x cos x





1

. Sabe-se que:

 A é um ponto do gráfico de f ;

 a reta tangente ao gráfico de f , no ponto de abcissa A, tem inclinação

4



_radianos;

Determine a abcissa do ponto A, recorrendo à calculadora gráfica.

Na sua resposta, deve:

 equacionar o problema;

 reproduzir o gráfico ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;

 indicar a abcissa do ponto A com arredondamento às centésimas.

5. Na figura está representada em referencial o.n. Oxyz a pirâmide

triangular



ABCD



.

Sabe-se que:

 a face



ABC



está contida no plano xOy

 os pontos A e

C

pertencem ao eixo

Ox

 o ponto D tem coordenadas



1,1,5



 uma equação do plano ABD é 3x  y z 9

 uma equação do plano

BCD

é x3y  z 7

 o ponto de coordenadas



  

1, 2, 10



pertence ao plano

ACD

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5.2 Mostre que uma condição que define o plano

ACD

é 5y z 0

6. Considere duas funções g e

h

, de domínio .

Sabe-se que :

 A reta de equação y2x1 é assintota do gráfico de g;

 A função

h

é definida por

 

 

2 2

1

g x

h x

x

 

_



_



Mostre que o gráfico da função

h

tem uma assintota horizontal, e determine-a.