3.3 Retrato de fase de sistemas lineares de 1a ordem

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MAP 2310 - Análise Numérica e Equa¸cões Diferenciais I Continua¸cão - 25/05/2006 1o Semestre de 2006

3.3 Retrato de fase de sistemas lineares de 1a ordem

O espa¸co de fase de um sistema da forma

˙

y=Ay,

onde A ∈ Mn×n é o Rⁿ, ou seja, é o conjunto de estados (ou condi¸cões iniciais) desse sistema.

Seφ:R →Rⁿ ´e uma solu¸c˜ao desse sistema, o conjunto Im(φ) = {φ(t)∈Rⁿ | t∈R}

´

e dito uma trajet´oria do sistema.

O retrato de fase de um sistema é seu espa¸co de fase juntamente com suas trajetórias, que devem estar orientadas no sentido de percurso quando a varável independente cresce.

Exerc´ıcio 52 Esboce o retrato de fase dos seguintes sistemas:

(a) y˙ =

2 0 0 3

y (e) y˙ =

2 0 0 2

y (b) y˙ =

−2 0

0 −3

y (f) y˙ =

2 1 0 2

y (c) y˙ =

2 0 0 −3

y (g) y˙ =

3 1

−1 3

y (d) y˙ =

0 1

−1 0

y (h) y˙ =

−3 1

−1 −3

y

Exerc´ıcio 53 Esboce o retrato de fase dos seguintes sistemas:

(a) y˙ =

2 −1

0 3

y (d) y˙ =

0 2

−1 0

y (b) y˙ =

−2 1

0 −3

y (e) y˙ =

4 2

−1 2

y (c) y˙ =

2 5 0 −3

y (f) y˙ =

−2 2

−1 −4

y

(2)

4 Mais sobre estudo qualitativo

4.1 Estabilidade de Liapunov

Seja F : Ω = Ω^◦ ⊂Rⁿ→Rⁿ, de classe C¹ e considere

˙

y=F(y). (26)

Como F não depende da variável independente t, essa equa¸cão é dita autônoma.

Defini¸cão 11 Um pontoy₀ ∈Ωé um ponto de equil´ıbrio de (26) se a fun¸cão constante φ(t) =y₀, t∈R, é solu¸cão dessa equa¸cão.

Proposi¸c˜ao 11 y₀ ∈ Ω ´e um ponto de equil´ıbrio de (26) se e somente se F(y₀) =O.

Exerc´ıcio 54 Prove a proposi¸c˜ao anterior.

Exerc´ıcio 55 Ache os pontos de equil´ıbrio de

˙

y=F(y), onde F :R² →R² ´e dada por

(a) F(y) = F(y1, y2) = (2y1+y2, y1−y2).

(b) F(y) = F(y₁, y₂) = (2y₁+y₂, y₁−y₂ −2).

(c) F(y) = F(y₁, y₂) = (y₁²+y₂²−1, y₁−y₂).

(d) F(y) = F(y₁, y₂) = (y₁²+y₂²−1,0).

(e) F(y) = F(y₁, y₂) = (e^y¹cosy₂, e^y¹siny₂).

Nota¸cão: Dadoy ∈Ω, denotaremos por φ(t, y), t ∈I_y, a solu¸cão maximal de (26) que em t₀ = 0 passa pelo ponto y. Assim, I_y denota o intervalo maximal dessa solu¸cão.

Defini¸cão 12 Um ponto de equil´ıbrioy₀ ∈Ω de (26) é estável segundo Lia- punov se

(3)

(i) existe δ₀ >0 tal que se y ∈Ωe ky−y₀k< δ₀ ent˜ao [0,∞[⊂I_y,

(ii) para cada ε > 0, existe δ >0 (δ ≤δ₀) tal que se y∈ Ω e ky−y₀k < δ ent˜ao kφ(t, y)−φ(t, y₀)k< ε, ∀t ∈[0,∞[.

Caso contrário, dizemos que y₀ é instável segundo Liapunov.

Defini¸cão 13 Um ponto de equil´ıbrioy₀ ∈Ωde (26) é dito atrator se existe δ₁ >0 tal que se y∈Ω e ky−y₀k< δ₁ então

(i) [0,∞[⊂I_y,

(ii) limt→∞φ(t, y) = y0.

Defini¸cão 14 Um ponto de equil´ıbrio y0 ∈ Ω de (26) é assintoticamente estável segundo Liapunov se for estável segundo Liapunov e atrator.

Teorema 9 Se φ(., y) : I_y → Rⁿ é solu¸cão de (26) e sua imagem para t ∈I_y ∩[0,∞[ está contida num compacto de Ω, então [0,∞[⊂I_y.

Exerc´ıcio 56 Mostre que, em consequência do teorema anterior, podemos dispensar a exigência (i) da defini¸cão 12 e a exigência (i) da defini¸cão 13.

Exerc´ıcio 57 Reveja os retratos de fase dos sistemas lineares dados no exerc´ıcio 52.

Em cada caso, decida se o ponto de equil´ıbrio (0,0) é ou não estável segundo Liapunov.

Em quais casos temos estabilidade assint´otica?

4.2 Duas t´ ecnicas para estudar estabilidade de Lia- punov

Duas técnicas são bastante usadas para o estudo da estabilidade de Liapunov de pontos de equil´ıbrio e para estudar o comportamento de solu¸cões perto de pontos de equil´ıbrio. Uma delas faz uso de fun¸cões auxiliares convenientes, outra faz uso da lineariza¸cão da equa¸cão perto do ponto de equil´ıbrio em questão.

A seguir apresentaremos alguns resultados para ilustrar esses m´etodos.

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4.2.1 Uso de fun¸c˜oes auxiliares

Proposi¸c˜ao 12 (fun¸c˜ao de Liapunov p/ estabilidade) Seja y₀ um ponto de equil´ıbrio de (26).

Sejam U ⊂Ω aberto tal que y₀ ∈U e V :U →R de classe C¹. Suponha que V satisfaz:

(i) V(y)> V(y₀), ∀y∈U, y 6=y₀, (ii) V˙(y) :=J V(y)F(y)≤0, ∀y∈U. Então y₀ é estável segundo Liapunov.

Exerc´ıcio 58 Considere o sistema

˙

y=F(y) onde F(y) = (−2y₁,−4y₂).

(a) Mostre que a origem (0,0) ´e um ponto de equil´ıbrio desse sistema.

(b) Mostre que a origem (0,0) ´e um ponto de equil´ıbrio est´avel segundo Liapunov.

Sugest˜ao: V(y) = y₁²+ 2y₂². Exerc´ıcio 59 Considere o sistema

˙

y =F(y) onde F(y) = (−2y₁ +y₁y₂,−4y₂+ 3y₁, y₂).

˙

y =F(y) onde F(y) = (y2,−y1).

Sugest˜ao: V(y) = ¹₂(y₁²+y₂²).

(5)

Proposi¸cão 13 (fun¸cão de Liapunov p/ estabilidade assintótica) Seja y₀ um ponto de equil´ıbrio de (26).

Sejam U ⊂Ω aberto tal que y0 ∈U e V :U →R de classe C¹. Suponha que V satisfaz:

(i) V(y)> V(y₀), ∀y∈U, y 6=y₀,

(ii) V˙(y) :=J V(y)F(y)<0, ∀y ∈U, y 6=y₀.

Então y₀ é assintoticamente estável segundo Liapunov.

Exerc´ıcio 61 Considere o sistema dado no exerc´ıcio 58. Mostre que a origem ´e um ponto de equil´ıbrio assintoticamente est´avel .

Exerc´ıcio 62 Considere o sistema dado no exerc´ıcio 59. Mostre que a origem ´e um ponto de equil´ıbrio assintoticamente est´avel .

Proposi¸c˜ao 14 (fun¸c˜ao de Liapunov p/ instabilidade) Seja y₀ um ponto de equil´ıbrio de (26).

Sejam U ⊂Ω aberto tal que y₀ ∈U e V :U →R de classe C¹. Suponha que V satisfaz:

(i) V(y)> V(y0), ∀y∈U, y 6=y0,

(ii) V˙(y) :=J V(y)F(y)>0, ∀y ∈U, y 6=y₀. Então y0 é instável segundo Liapunov.

Exerc´ıcio 63 Considere o sistema

˙

y=F(y) onde F(y) = (2y₁,4y₂).

(b) Mostre que a origem (0,0) ´e um ponto de equil´ıbrio inst´avel segundo Liapunov.

˙

y=F(y) onde F(y) = (2y1 +y1y2,4y2+ 3y1, y2).

(b) Mostre que a origem (0,0) ´e um ponto de equil´ıbrio inst´avel segundo Liapunov.

Sugest˜ao: V(y) = y₁²+ 2y₂².

(6)

4.2.2 Uso da lineariza¸c˜ao

Se y₀ é um ponto de equil´ıbrio de (26) então podemos desenvolver F(y) ao redor de y₀ usando seu polinômio de Taylor de 1a ordem:

F(y) =F(y₀) +J F(y₀)(y−y₀) +R(y) = J F(y₀)(y−y₀) +R(y), onde _y−y^R(y)

0 →0 quandoy →y₀,

Portanto podemos aproximar F(y) ao redor de y0 pelo seu polinˆomio de Taylor de 1a ordem:

F(y) _e F(y₀) +J F(y₀)(y−y₀) =J F(y₀)(y−y₀).

Uma pergunta natural ´e se o sistema linear

˙

y=J F(y₀)(y−y₀) (27)

aproxima bem o sistema (26) perto de y₀.

Mais explicitamente, gostar´ıamos de saber se o comportamento das solu¸c˜oes de (27) que come¸cam perto de y₀ representam bem o comportamento das solu¸c˜oes de (26) que come¸cam perto de y₀.

E claro que podemos chamar´ z =y−y₀, reescrever (27) como

˙

z =J F(y₀)z (28)

e passar a perguntar se o comportamento das solu¸c˜oes de (28) que come¸cam perto dez₀ =O representam bem o comportamento das solu¸c˜oes de (26) que come¸cam perto de y₀.

Os resultados a seguir respondem parcialmente essas perguntas.

Proposi¸c˜ao 15 (lineariza¸c˜ao) Seja y₀ um ponto de equil´ıbrio de (26).

(a) Se todos os autovalores de J F(y₀) têm parte real <0 então y₀ é assintoticamente estável segundo Liapunov.

(b) Se J F(y0) tem um autovalor com parte real > 0 então y0 é instável segundo Liapunov.

3,4,8,9

Exerc´ıcio 65 Use a proposi¸c˜ao anterior para estudar a estabilidade da origem dos sistemas dos exerc´ıcios 58, 59, 63 e 64.

(7)

Exerc´ıcio 66 Use a proposi¸c˜ao anterior para estudar a estabilidade da origem do sistema

˙

y=F(y) onde F(y) = (−2y1 +y1y2,4y2+ 3y1, y2).

Proposi¸c˜ao 16 (parte do teorema de Hartman) Seja y₀ um ponto de equil´ıbrio de (26).

Se todos os autovalores de J F(y₀) têm parte real 6= 0 então o retrato de fase de (26) perto de y0 é essencialmente igual ao retrato de fase de (28) perto de z₀ =O no seguinte sentido:

(a) o conjunto das condi¸cões iniciais y cujas solu¸cões de (26) tendem para o ponto de equil´ıbrio y0 no futuro tem como espa¸co tangente em y0 o espa¸co das condi¸cões iniciaisz cujas solu¸cões de (28) tendem a z₀ = 0 no futuro, e

(b) o conjunto das condi¸cões iniciais y cujas solu¸cões de (26) tendem para o ponto de equil´ıbrio y₀ no passado tem como espa¸co tangente em y₀ o espa¸co das condi¸cões iniciaisz cujas solu¸cões de (28) tendem a z₀ = 0 no passado.

(8)

Complemento: Pontos de m´ aximo, de m´ınimo, de sela

Em muitas situa¸cões, teremos candidatas a fun¸cão auxiliarV a serem usadas como nas proposi¸cões 12, 13 e 14, e precisaremos descobrir se V satisfaz a propriedade (i), e se ˙V satisfaz a propriedade (ii) de uma dessas proposi¸cões.

Em qualquer dos casos, o problema pode ser resumido em: como descobrir se um certo ponto y₀ é ponto cr´ıtico de uma fun¸cãoG(G=V ouG= ˙V) e, em caso afirmativo, como descobrir se ele é um ponto de máximo, de m´ınimo ou de sela (i.é, nem máximo nem m´ınimo) de G.

Ser um ponto cr´ıtico de G significa anular o gradiente de G, ou seja, y0 ´e ponto cr´ıtico deG ⇐⇒ ∇G(y0) = O ⇐⇒ J G(y0) = [0 0 · · · 0].

Para descobrir se um determinado ponto cr´ıtico ´e ponto de m´aximo, de m´ınimo ou de sela de G podemos usar algumas ferramentas apresentadas a seguir.

Formas Quadr´aticas

SejaA uma matriz real n×n, sim´etrica.

A fun¸cão Q(y) = Q_A(y) := h Ay | y i = y^tAy, y ∈ Rⁿ, é uma forma quadrática.

Ela satisfaz: Q(ty) = t²Q(y), ∀t∈R, ∀y ∈Rⁿ.

SeQ(y) >0, ∀y∈ Rⁿ, Q ´e dita umaforma quadr´atica definida positiva (neste caso, Q tem m´ınimo estrito global em O).

SeQ(y)<0, ∀y∈Rⁿ, Qé dita uma forma quadrática definida negativa (neste caso, Q tem máximo estrito global em O).

Se existem y₊ e y− tais queQ(y₊)>0 e Q(y−)<0,Q´e dita umaforma quadr´atica indefinida (neste caso, Q tem sela em O).

Proposi¸c˜ao 17 Seja S(y) uma fun¸c˜ao definida numa vizinhan¸ca Ω₀ de O, satisfazendo

y→Olim S(y) kyk² = 0.

Ent˜ao

(a) se Q = QA é uma forma quadrática definida positiva, existe δ > 0 tal que B_δ(O) ⊂ Ω₀ e a fun¸cão G = Q+S satisfaz G(y) > 0, ∀y ∈ B_δ(O), y 6=O (isto é, O é ponto de m´ınimo estrito de G em B_δ(O).

(9)

(b) se Q = Q_A é uma forma quadrática definida negativa, existe δ > 0 tal que B_δ(O) ⊂ Ω₀ e a fun¸cão G = Q+S satisfaz G(y) < 0, ∀y ∈ Bδ(O), y 6=O (isto é, O é ponto de máximo estrito de G em Bδ(O).

(c) se Q = Q_A é uma forma quadrática indefinida, então para cada δ >

0 existem y_δ+, yδ− ∈ B_δ(O) tais que a fun¸cão G = Q +S satisfaz G(y_δ+)>0 e G(y_δ−)<0 (isto é, O é ponto de sela de G.

Proposi¸c˜ao 18 Seja A uma matriz real n × n, sim´etrica, e considere as submatrizes

A₁ = [a₁₁], A₂ =

a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂

, . . . , A_k =







a₁₁ a₁₂ · · · a_1k a₂₁ a₂₂ · · · a_2k ... ... . .. ... a_k1 a_k2 · · · a_kk







, . . . , A_n =A.

(a) Se detA_k >0, k = 1,2, . . . , n, ent˜ao Q_A ´e definida positiva.

(b) Se detA₁ < 0,detA₂ > 0, . . . , sgndetA_k = (−1)^k, . . ., ent˜ao Q_A ´e definida negativa.

(c) Se detA_k>0, k= 1,2, . . . , se detA_s+1 <0, ent˜ao Q_A ´e indefinida.

Seja Ω₀ ⊂Rⁿ aberto.

SeG: Ω₀ →Ré de classeC²e tem um ponto cr´ıticoy₀ (isto é,∇G(y₀) = O, ou seja,J G(y₀) = [0 0 · · · 0]), então podemos desenvolverG ao redor de y₀ usando seu polinômio de Taylor de 2a ordem, obtendo

G(y) = G(y₀) +J G(y₀)(y−y₀) + 1

2!(y−y₀)^tHess G(y₀)(y−y₀) +R(y)

= G(y₀) + 1

2!(y−y₀)^tHess G(y₀)(y−y₀) +R(y) onde Hess G(y₀) ´e a matriz hessiana deG no ponto y₀ e

y→ylim₀

R(y)

ky−y₀k² = 0.

Corol´ario 10 Nas condi¸c˜oes acima:

(10)

(a) se Hess G(y₀) é definida positiva então y₀ é um ponto de m´ınimo local estrito de G, isto é, existe δ >0 com B_δ(y₀)⊂Ω₀ tal que

G(y)> G(y0), ∀y ∈Bδ(y0), y 6=y0.

(b) se Hess G(y₀)é definida negativa então y₀ é um ponto de máximo local estrito de G, isto é, existe δ >0 com B_δ(y₀)⊂Ω₀ tal que

G(y)< G(y₀), ∀y ∈B_δ(y₀), y 6=y₀.

Este corolário pode ser usado para mostrar, sob certas circunstâncias, que uma candidata V serve como fun¸cão auxiliar para mostrar estabilidade assintótica de um ponto de equil´ıbrio de (26), ou para mostrar instabilidade.