MAT5728 Álgebra Lista 7
2009
1. Seja L/Kum corpo de raízes de f ∈K[X]. Mostre que[L: K]≤n!, onden= grauf.
2. Determine um corpo de raízesLde f sobreQe calcule[L :Q]para os seguintes polinômios f ∈Q[X].
(a) f =X4−2 (b) f = X6−2.
3. Determine condições em aebpara que um corpo de raízesLde f = X3+aX+b ∈ Q[X] tenha grau 3 sobreQ. Sob que condições emaebtem-se[L :Q] = 6?
(Sugestão: Escreva f = (X−r1)(X−r2)(X−r3) ∈ L[X]. Calcule odiscriminanteDde f, D = [(r1−r2)(r2−r3)(r3−r1)]2 = −4a3−27b2. Verifique que[L : Q] = 3 se, e somente se, f é irredutível sobreQe√
D∈ Q.)
4. Seja L uma extensão qualquer deQ. Mostre que o polinômio f = X3−3X+1 ou é irre- dutível emL[X]ouLcontém um corpo de raízes de f sobreQ.
5. Mostre que os corposQ(√
2) eQ(√
3)não são isomorfos. Mostre que se α e βsão raízes domesmopolinômioirredutível f ∈K[X], entãoK(α)∼=K(β).
6. Mostre que se[L :K] = 2 entãoL/Ké normal.
7. Seja f ∈ Q[X] um polinômio irredutível de grau ímpar maior que 1 e que possua apenas uma raiz realα. Mostre queQ(α)/Qnão é uma extensão normal.
8. Seja L = Q(r) comr3+r2−2r−1 = 0. Verifique ques = r2−2 também é uma raiz de X3+X2−2X−1=0. Conclua queL/Qé uma extensão normal.
9. Seja F=Q(√
2)eL=Q(√4
2). Mostre queL/Fé normal eF/Qé normal, masL/Qnão é normal.
10. Seja L/K uma extensão finita. Mostre que L/K é normal se, e somente se L é corpo de raízes de um polinômio f ∈ K[X].
11. Seja L/Kuma extensão finita e seja Fum corpo intermediário, isto é, K ⊂ F ⊂ L. Mostre que seL/Ké normal entãoL/Ftambém é normal.
12. Seja L/K uma extensão algébrica e seja F um corpo intermediário. Mostre que se L/K é separável entãoL/FeF/Ksão separáveis.
13. Determine Gal(Q(√ 2,√
3)/Q).
(O grupo de Galois dessa extensão é isomorfo aogrupo de Klein.) 14. Seja f =X4−2 ∈Q[X]e sejaL/Qseu corpo de raízes.
(a) Mostre que existemσ,τ ∈Gal(L/Q)tais que:
σ4 =id,τ2 =id,τστ =σ3.
(O grupo de Galois desse polinômio é isomorfo ao grupodihedralD4.) (b) SejaH =<σ >={id,σ,σ2,σ3}. Determine Inv(H).
(c) SejaK=<τ >={id,τ}. Determine Inv(K). (d) Seja J =<σ2τ >. Determine Inv(J).
15. Seja L=Q(√ 2,√
3,u), comu2 = (√
3+3)(√
2+2). (a) Mostre queL/Qé uma extensão normal.
(b) Mostre que u 6∈ Q(√ 2,√
3). (Sugestão: Considere σ0 ∈ Gal(Q(√ 2,√
3)/Q) tal que σ0(√
2) = −√
2 e σ0(√
3) = √
3 e estenda σ0 a um automorfismoσdeL. Mostre que σ02não seria a função identidade seu∈ Q(√
2,√
3). Para isso, calculeσ0(u2)/u2.) (c) Mostre que existemσ, τ ∈Gal(L/Q)tais que:
σ4 =id,σ2=τ2,τ−1στ =σ3.
(Sugestão: Considere o automorfismo σ da parte (b) e estenda o automorfismo τ0 de Q(√
2,√
3),τ0(√
3) =−√
3 eτ0(√
2) = √
2 a um automorfismoτdeL.) ( O grupo de Galois dessa extensão é isomorfo ao grupo dosquatérnios.)
16. SejaKum corpo de característicap >0 e sejaa ∈K. Mostre queXp−X−anão tem raízes múltiplas, e é irredutível emK[X]se, e somente se,a6=cp−cpara todoc ∈ K.
17. Seja K um corpo de característica p, p > 0. Seja a ∈ Kum elemento que não é da forma cp−c, para nenhumc ∈ K. Seja f = Xp−X−a ∈ K[X] e sejaLum corpo de raízes de f sobreK. Determine Gal(L/K).
