rodrigo.uﬀ.math@gmail.com RodrigoCarlosSilvadeLima Ideais

(1)

Rodrigo Carlos Silva de Lima

^‡

rodrigo.uff.math@gmail.com

‡

(2)

(3)

1 Ideais 3

1.0.1 Dom´ınio principal . . . 7

1.1 Dom´ınios principais e fatora¸c˜ao ´unica . . . 14

1.1.1 Fatora¸c˜ao ´unica em dom´ınios principais . . . 18

1.2 Propriedades do dom´ınio principal Z.. . . 20

2

(4)

Ideais

Iremos considerar aqui A um anel comutativo com unidade.

m

Defini ¸c ˜ao 1 (Ideal). Um subconjunto I de A ´e um ideal de A ⇔

1. 0A ∈I

2. Se a, b∈I então a+b∈I, isto é a adi¸cão é fechada em I.

3. Se a∈A e b∈I então a.b ∈I. Chamaremos essa propriedade de absor ¸c ão. Onde 0A é o elemento neutro da adi¸cão do anel A.

b

Propriedade 1. {0} ´e um ideal de A.

ê Demonstra ¸c ão. Seja B = {0}, então 0 ∈ B, Se a, b ∈ B, então a = b = 0 e 0+0 = 0 ∈ B. Sendo a ∈ A e b ∈ B temos a.b ∈ B pois for¸cosamente b = 0 e a.0 =0∈B. Logo satisfaz as três propriedades, então é um ideal de A.

$

Corol ário 1. A é um ideal de A. Pois 0 ∈ A, a adi¸cão no anel é fechada e para todos elementos a, b ∈ A tem-se a.b ∈ A, o produto é fechado, logo vale a propriedade de absor¸cão.

3

(5)

m

Defini ¸c ˜ao 2 (Ideal gerado por a). Fixe a∈A. O conjunto I(a) ={a.x |x ∈A}

´e chamado de ideal gerado por a.

b

Propriedade 2. O ideal gerado por um elemento a∈A é um ideal de A. ê Demonstra ¸c ão. 0 ∈I(a) pois 0∈A e a.0 =0∈I(a). Sejam c e d elementos de I(a) então existem x₁ e x₂ em A, tais que c=ax₁ e d=ax₂, sua soma é

c+d=ax₁+ax₂ =a(x| {z }₁+x₂

=x₃∈A

) =ax₃∈I(a).

Logo sece dsão elementos de I(a)entãoc+d∈I(a). Por fim temos que mostrar que se c∈A e b∈I(a) então c.b∈I(a), temos b=ax₁ para algum x₁∈A, multiplicando por c segue cb = cax₁ = acx₁ pois o produto é comutativo, mas como c e x₁ são elementos de A, segue que cx₁ =x₂ ∈ A logo cb = ax₂ ∈ I(a) assim cb pertence ao ideal I(a).

m

Defini ¸c ˜ao 3 (Ideal gerado por (a_k)^s₁). Sejam os elementos (a_k)^s₁ ∈A fixos e s natural. O conjunto

I(a_k)^s₁ ={ Xs

k=1

a_k.x_k | (x_k)^s₁ ∈A}

´e um ideal de A chamado de ideal gerado por (a_k)^s₁. ê Demonstra ¸c ˜ao. Se s= 0 a soma

X0 k=1

a_k.x_k =0 é vazia, logo o conjunto contém apenas o elemento 0 e vimos que {0} é um ideal de A. Seja então s > 0 natural.

Podemos tomar cada x_k=0 e teremos Xs

k=1

a_k.0=0

logo o zero pertence ao ideal. Suponha que a e b sejam elementos de I, vamos mostrar que (a+b)∈I. Se a∈I existem elementos (x_k)^s₁ tal que

a= Xs

k=1

a_k.x_k

(6)

se b∈I existem elementos (y_k)^s₁ tal que b=

Xs k=1

ak.yk

, somando ambos, segue a+b=

Xs k=1

a_k.x_k+ Xs

k=1

a_k.y_k= Xs

k=1

(a_k.x_k+a_k.y_k) = Xs

k=1

a_k(x_k+y_k)

| {z }

=zk

= Xs

k=1

a_k.z_k

pois cada y_k ∈A e x_k ∈A implica (x_k+y_k)∈A pois a adi¸cão é fechada emA, então tomamos xk+yk=zk. Seja c∈A e a∈I, vamos mostrar que c.a∈I, temos que a é da forma

a= Xs

k=1

a_k.y_k

com os elementos y_k∈A, multiplicando por c, segue ca=c

Xs

k=1

a_k.y_k= Xs

k=1

ca_k.y_k = Xs

k=1

a_k. cy|{z}_k

=zk∈A

= Xs

k=1

a_k.z_k

como o produto ´e fechado em A e temos c∈A e y_k∈A logo c.y_k∈A, assim ca∈I e mostramos que I ´e um ideal.

m

Defini ¸c ˜ao 4 (Ideal principal). Seja I ideal de um anel comutativo com unidade. Dizemos que I ´e principal sse existe a∈A tal que I=I(a).

$

Corol ário 2. O ideal I gerado por um elemento a é um ideal principal, pois pela defini¸cão existe a tal que I =I(a).

b

Propriedade 3. Seja I um ideal. Se a∈I ent˜ao −a∈I.

ê Demonstra ¸c ão. Se a∈I por propriedade de absor¸cão temos que ca∈I para todo c∈A, tomamos então c= −1, onde 1 é a unidade do anel. logo −a∈I.

(7)

$

Corol ário 3. Se (a, b) ∈ I então a−b ∈ I pois b ∈ I implica −b ∈ I pela propriedade anterior e pela propriedade de de fechamento pela adi¸cão segue que (a−b)∈I

$

Corol ´ario 4. I=0 ´e um ideal principal. Pois I=I(0), no caso I(0) ={0.x=0 |x ∈A}={0}.

b

Propriedade 4. Sejam I um ideal de A e (c_k)|ⁿ_k=1 elementos de I ent˜ao Xn

k=1

c_k∈I.

ê Demonstra ¸c ão. Por indu¸cão sobre n, se n = 0 a soma é vazia e 0 ∈ I, se n=1 temos c₁∈I. Suponha a validade para n

Xn k=1

ck =d∈I ent˜ao vamos provar que

Xn+1 k=1

c_k ∈I temos que

Xn+1 k=1

c_k= Xn

k=1

c_k+c_n+1=d+c_n+1

como ambos elementos s˜ao de I pela propriedade de fechamento pela adi¸c˜ao segue que

n+1

X

k=1

c_k∈I, logo por indu¸c˜ao Xn

k=1

c_k ∈I para todo n natural.

b

Propriedade 5. Seja I um ideal de A e d um elemento desse ideal ent˜ao I(d)⊂I.

ê Demonstra ¸c ão. I(d) = {dx | x ∈ A}, pela propriedade absor¸cão do ideal I, como d∈I temos que dx∈I, logo todo elemento de I(d) que é da forma dx também

´e elemento de I, logo I(d)⊂I.

Generalizamos o resultado anterior

(8)

b

Propriedade 6. Seja I um ideal de A e os elementos (dk)|ⁿ_k=1 pertencentes ao ideal, ent˜ao

I(dk)|ⁿ_k=1 ⊂I.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

I(d_k)|ⁿ_k=1={ Xn

k=1

d_kx_k | x_k∈A∀k∈I_n}

como cada d_k ∈ I e x_k ∈ A, por absor¸c˜ao vale d_kx_k = c_k ∈ I e por adi¸c˜ao Xn

k=1

c_k ∈ I. Logo vale a propriedade. Obsersamos que se a soma ´e vazia tamb´em vale a propriedade.

F Teorema 1 (Todo ideal I de Z ´e principal. ).

ê Demonstra ¸c ão. Se I = {0} então I é principal. Suponha então que I 6= {0}, então existe a6=0∈I e −a∈I , com a ou −a positivo, então o conjunto

S={x∈I | x >0}

´e n˜ao vazio.

Pelo principio da boa ordena¸cãoS tem m´ınimo, tomaremos d=minS. Temos que I(d) ⊂ I pela propriedade que já provamos, agora vamos provar que I ⊂ I(d). Seja então a∈I, pela divisão euclidiana por d tem-se que a=qd+r com 0≤ r≤d−1, como a∈I e qd∈I segue que a−qd=r∈I , r não pode ser nenhum valor positivo menor que d pois d é o menor positivo de I então segue que r = 0 implicando que a = qd, isto é a ∈ I(a) logo todo elemento de I também é elemento de I(d), mostrando a inclusão I⊂I(d). Como I⊂I(d) e I(d)⊂I segue que I=I(d).

1.0.1 Dom´ınio principal

m

Defini ¸c ão 5 (Dom´ınio principal). Seja A um dom´ınio, A é um dom´ınio principal sse todo ideal de A é um ideal principal.

(9)

$

Corol ´ario 5. Z ´e um Dom´ınio principal.

b

Propriedade 7. Sejam a∈A e I(a) um ideal de A, ent˜ao a∈I(a).

ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos que 1.a=a∈I por propriedade de absor¸c˜ao.

b

Propriedade 8. Sejam a e b n˜ao nulos de A ent˜ao I(a) =I(b)

sse a|b e b|a.

ê Demonstra ¸c ão. Com a e b não nulos e I(a) =I(b) temos que a∈ I(a) logo a∈I(b), como I(b) é conjunto com elementos do tipo b.x com x∈ A, então existirá s ∈ A tal que bs = a logo b|a, da mesma maneira como b ∈ I(b) segue b ∈ I(a) como os elementos de I(a) são da forma a.x com x ∈ A segue que existe t ∈ A tal que at=b da´ı a|b.

Agora supondo quea|be b|a. Como a|btemos queb=as para algum s6=0 em A e como b|a tem-se que a=bt para algum t 6=0 ∈A. Tomemos então I(a) e I(b), os elementos de I(a) são da forma ax com x∈ A e os elementos de I(b) são da forma by com y ∈ A. Como a = bt segue que os elementos de I(a) são ax = btx = by logo pertencem a I(b) e como b=as segue que os elementos de I(b) são da forma by= a(sy) = ax logo pertencem a I(a). Tem-se então que I(a)⊂ I(b) e I(b)⊂ I(a) logo I(a) =I(B).

$

Corol ário 6. Com a e b não nulos, temos que I(a) = I(b) sse a e b são associados.

$

Corol ´ario 7. Em Z temos que I(a) =I(b) sse a=±b.

(10)

b

Propriedade 9. Sejam (ak)|^s_k=1 ∈ A e o ideal I(ak)|^s_k=1 ent˜ao cada ak ∈ I(a_k)|^s_k=1.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Um elemento x do ideal I(a_k)|^sk=1 ´e da forma x =

Xs k=1

xkak

para x_k ∈A. Seja t um indice arbitrário em I_s então abrimos o somatório z=

Xt−1 k=1

x_ka_k+x_ta_t+ Xs k=t+1

x_ka_k

tomamos todos valores 0 apra x_k no primeiro somatório e o mesmo para o último so- matório, tomamos também x_t=1 logo z=x_t∈I(a_k)|^s_k=1 provando que esse elemento arbitrário pertence ao ideal.

b

Propriedade 10. Sejam A um dom´ınio principal e (a_k)|^s_k=1 ∈ A com pelo menos um elemento não nulo. Existed∈Aum máximo divisor comum de (ak)|^s_k=1 e vale d∈I(a_k)|^s_k=1, isto é , existem x_k∈A tal que

d= Xs

k=1

x_ka_k.

ê Demonstra ¸c ão. Como o dom´ınio é principal tomando o ideal I(a_k)|^s_k=1 segue que existe d ∈ A tal que I(a_k)|^s_k=1 =I(d). Além disso d6= 0, pois temos um gerador do ideal não nulo e ele está no ideal, assim d tem que ser diferente de zero, pois caso contrário o ideal seria o ideal {0} e não o é.

d= Xs

k=1

x_ka_k= Xs

k=1

x_ku_k.c=c( Xs

k=1

x_ku_k)

| {z }

=p∈A.

logo c|d implicando que c|d, assim d ´e um mdc de (a_k)|^s_k=1.

(11)

$

Corol ário 8 (Existência de MDC). Dados (a_k)|^s_k=1 ∈Z com pelo menos um não nulo, existe o MDC(a_k)|^s_k=1.

b

Propriedade 11. Sejam I e J ideais de A. Então I∩J é um ideal de A. ê Demonstra ¸c ão. 0∈I∩J pois 0∈I e 0∈J logo pertence a interseçcão. Sejam a e b∈I∩J então a e b∈I e a e b ∈J, da´ı a+b∈I e a+b∈J de onde segue que a+b∈I∩J.

Seja agora a ∈ I∩J e c ∈ A, então vamos mostrar que c.a ∈ I∩J, primeiro, se a∈I∩J então a∈I e a∈J da´ı ca∈I e ca∈J por absor¸cão que implica ca∈I∩J.

b

Propriedade 12. Sejam (I_k)|ⁿ_k=1 ideais de A ent˜ao B=

n

\

k=1

I_k

´e um ideal de A.

ê Demonstra ¸c ão. 0 ∈ B pois (0 ∈I_k)|ⁿ_k=1 . Seja a ∈ B então (a∈ I_k)|ⁿ_k=1 e seja b ∈ B então (b ∈ I_k)|ⁿ_k=1, logo (a+b ∈ I_k)|ⁿ_k=1 por propriedade de fechamento, logo a+b∈B.

Seja a ∈B então (a ∈I_k)|ⁿ_k=1 , temos também que (ca ∈I_k)|ⁿ_k=1 por absor¸cão logo c∈B.

b

Propriedade 13. Sendo I e J ideais de A e definido I+J={x+y|x∈I, y∈J}

ent˜ao I+J ´e um ideal.

ê Demonstra ¸c ˜ao. 0 ∈ I e 0 ∈ J da´ı fazendo x = y = 0 segue 0 ∈ I+J. Seja a ∈ I+J = e b ∈ I+J, temos que mostrar que a+b∈ I+J. Se a ∈ I+J = ent˜ao a=x₁+y₁ com x₁ ∈I e x₂ ∈J e com b∈I+J temos b=x₂+y₂ com x₂ ∈I e y₂ ∈J, somando tem-se

a+b= (x₁+y₁) + (x₂+y₂) = (x₁+x₂)

| {z }

=x₃∈I

+(y₁+y₂)

| {z }

=y₃∈J

=x₃+y₃∈I+J.

(12)

Seja a ∈ I+J e c ∈ A vamos mostrar que ca ∈ I+J, a = x₁+y₁ para x₁ ∈ I e y₁ ∈J, logo

ca=cx₁+cy₁ onde por absor¸c˜ao cx₁∈I e cy₁∈J logo ca∈I+J.

b

Propriedade 14. Sejam Ik ideias de A para k∈[1, n]N e o conjunto Xn

k=1

I_k ={ Xn

k=1

x_k|x_k∈I_k} ent˜ao

Xn k=1

I_k ´e um ideal de A.

ê Demonstra ¸c ˜ao. 0∈ Xn

k=1

Ik pois 0∈Ik para cada k da´ı podemos tomar xk=0 e temos

Xn k=1

0 =0. Seja a∈ Xn

k=1

I_k e b∈ Xn

k=1

I_k, vamos mostrar que a+b∈ Xn

k=1

I_k. Se a∈

Xn k=1

I_k existe uma sequˆencia (x_k∈I_k)|ⁿk=1 tal que

a= Xn

k=1

x_k

e b∈ Xn

k=1

Ik implica que existem (yk∈Ik)|ⁿ_k=1 tal que

b= Xn

k=1

y_k

, somando ambas segue

a+b= Xn

k=1

(yk+xk)

| {z }

=zk∈Ik

= Xn

k=1

zk

|{z}

∈I_k

∈ Xn

k=1

Ik

logo vale a propriedade.

Seja agora a ∈ Xn

k=1

I_k e c ∈ A, vamos mostrar que ca ∈ Xn

k=1

I_k. Como a ∈ Xn

k=1

I_k existe (x_k ∈I_k)|ⁿ_k=1, tal que

a= Xn

k=1

x_k

(13)

multiplicando por c

ca= Xn

k=1

cx_k

|{z}

=yk∈I_k

= Xn

k=1

y_k∈ Xn

k=1

I_k

logo Xn

k=1

I_k ´e ideal de A.

m

Defini ¸c ão 6 (Ideal primo). Seja A um anel comutativo com unidade. Um ideal P de A, P 6=A, é um ideal primo sse, se a, b ∈A e a.b ∈P, então a∈P ou b∈P.

m

Defini ¸c ˜ao 7 (Ideal maximal). Um idealMde A, M6=A, ´e um ideal maximal, sse para qualquer ideal I de A, tal que M⊂I⊂A e M6=I tem-se I=A.

F Teorema 2. Seja k um corpo. K[x] ´e um dom´ınio principal.

ê Demonstra ¸c ão. Se I ={0}, temos que I é principal. Vamos considerar então

que I 6= {0}. Vamos tomar o conjunto S = {δf(x), f(x) 6= 0 | f(x) ∈ I}, pelo principio

da boa ordena¸cão S tem menor elemento que vamos chamar de n, seja p(x)∈S com δp(x) = n, note que p(x) ∈ I e p(x) 6= 0. Proposi¸cão I{p(x)} = I, para demonstrar isso, vamos demonstrar duas inclusões, I{(p(x)}⊂I e I⊂I{(p(x)}.

I{(p(x)} ⊂ I , I{(p(x)} ´e o ideal gerado por P(x), logo I(p(x)) = p(x).g(x) com g(x)∈K[x], como p(x)∈k[x]pela propriedade de absor¸c˜ao do ideal, temosp(x).g(x)∈ I, pois p(x)∈I.

Vamos mostrar agora que I ⊂ I{(p(x)}. Tome f(x) ∈ I e a divis˜ao euclidiana de f(x) porp(x), existindo assim g(x) e r(x) com δp(x)> r(x) tal que f(x) =p(x).g(x) + r(x), assim r(x) = f(x) −p(x).g(x)∈ I, pois p(x).g(x) ∈I por propriedade do ideal e como f(x) ∈ I a soma f(x) −p(x).g(x) ∈ I, assim r(x) ∈ I e r(x) = 0, pois se fosse diferente de zero comprometeria a minimalidade do grau de p(x) que foi tomada a principio, com isso temos f(x) −p(x).g(x) =0 , f(x) =p(x).g(x), logo todo f(x)∈I ´e gerado pelo ideal I[p(x)], assim I⊂I{(p(x)} e I=I[p(x)].

(14)

m

Defini ¸c ão 8 (Elemento primo). Seja A um dom´ınio. Um elemento p ∈ A não-invert´ıvel é dito primo sse a, b∈A e p|a.b então p|a ou p|b.

b

Propriedade 15. p ´e primo, sse o ideal I(p) ´e primo.

b

Propriedade 16. No dom´ınio principal dos inteiros o ideal {0} é primo e não é maximal.

$

Corol ´ario 9. No dom´ınio principal R[x] os ideais maximais s˜ao I(x−a) onde a∈R ou I(x²+bx+c), tais que b, c ∈R e b²−4ac <0.

$

Corol ´ario 10. No dom´ınio principal C[x] os ideais maximais s˜aoI(x−a) onde a∈C.

$

Corol ário 11. Em K[x], onde K é corpo, os ideais I(x−a), com a ∈ K são sempre maximais.

b

Propriedade 17. Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Se M é um ideal maximal, então M é um ideal primo.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja M um ideal maximal de A. Sejam a, b ∈ A, tais que a.b ∈M e a /∈ M. Vamos mostrar que b∈ M. Consideremos o ideal I =M+I(a).

Temos que M ⊂ M+I(a) propriamente, como M ´e maximal ent˜ao A = M+I(a).

Assim existem m∈M e x∈A, tais que

1=m+x.a , multiplicando por b tem-se

b=bm+xa.b∈M

pois ambas parcelas na segunda igualdade s˜ao elementos de M.

(15)

1.1 Dom´ınios principais e fatora ¸c ˜ao ´unica

Vamos considerar sempre A como um anel comutativo com unidade.

m

Defini ¸c ão 9 (Elemento irredut´ıvel). a é irredut´ıvel ⇔ b|a então b∈ A^∗ ou b=ua onde u∈A^∗. Isto é, a é irredut´ıvel ⇔ os únicos elementos que dividema são os elementos invert´ıveis ou associados.

$

Corol ário 12. Em um corpo todos elementos não nulos são irredut´ıveis, pois dado a não nulo então, todo elemento b6=0 divide a, porém b é invert´ıvel.

m

Defini ¸c ão 10 (Elemento redut´ıvel). a é redut´ıvel ⇔ existem b e c não invert´ıveis tais que a=b.c.

m

Defini ¸c ão 11 (Cadeia crescente). Uma cadeia crescente de conjunto é uma sequência de conjunto (A_n), tal que A_k⊂A_k+1.

m

Defini ¸c ão 12 (Sequência estacionária). Uma sequência de conjunto (A_k) é dita estacionária, se existe m∈N, tal que n > m, vale An =Am.

b

Propriedade 18. Dada uma cadeia crescente de ideais (I_n) ent˜ao I =

∞

[

k=1

I_k

´e um ideal.

• 0 pertence a cada ideal, ent˜ao pertence a uni˜ao.

• Sejam a, b ∈ I, ent˜ao existem n, m ∈ N tal que a ∈ In e b ∈ Im, tomando s > n+m tem-se I_n e I_m como subconjuntos de I_s e da´ı a+b∈I_s implicando que a+b∈I.

(16)

• Sendo a ∈I e c∈ A ent˜ao existe n tal que a∈ I_n e da´ı ca∈ I_n o que implica c.a∈I.

m

Defini ¸c ão 13 (Anel noetheriano). Um anel A é dito notheriano, se toda cadeia crescente de ideais em A é estacionária.

b

Propriedade 19. Em um dom´ınio principal, toda cadeia crescente de ideais

´e estacion´aria.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja I =

∞

[

k=1

I_k a cadeia crescente de ideais (que é um ideal pelo que já demonstramos). Como A é um dom´ınio principal tem-se que I = I(d) para algum d∈I, logo existe n∈N tal que d∈I_n, tem-se também que I_n=I(d), da´ı segue que I(d) = In ⊂ Im∀ m > n como nessas mesmas condi¸cões tem-se Im ⊂ I(d) então I_m =I(d) para todo m > n.

b

Propriedade 20. Todo elemento n˜ao nulo e n˜ao invert´ıvel de um dom´ınio principal possui um divisor irredut´ıvel.

ê Demonstra ¸c ão. Seja a 6= 0 ∈ A não invert´ıvel, se a é irredut´ıvel, ok! pois a|a. Se não a é redut´ıvel logo tem um divisor a₁ tal que a₁ é não invert´ıvel e não associado de a, assim a=a₁.b₁, onde b₁ não é invert´ıvel, logo

I(a)(I(a₁)⊂A

se a₁ é irredut´ıvel terminamos, pois a₁|a, se não então a₁ tem divisor a₂ em A da´ı I(a)(I(a₁)(I(a₂)⊂A

podemos continuar o processo até que para algum n, temos a_n irredut´ıvel e portanto a_n é divisor irredut´ıvel de a, pois se não obter´ıamos uma cadeia infinita crescente de ideais não estacionários o que contradiz a propriedade já demonstrada .

(17)

m

Defini ¸c ão 14 (Dom´ınio de fatora¸cão única). Um dom´ınio A é dito dom´ınio de fatora¸cão única ⇔ todo elemento não nulo e e não invert´ıvel se fatora como produto finito de elementos irredut´ıveis.

m

Defini ¸c ão 15 (Elemento primo). Seja A um anel comutativo com unidade , a∈A não nulo e não invert´ıvel é dito primo ⇔ se a|(b.c) então a|b ou a|c.

$

Corol ário 13. Corpos não possuem elementos primos , pois todo elemento é invert´ıvel ou nulo.

b

Propriedade 21. Seja Aum dom´ınio. Sep∈A é primo entãop é irredut´ıvel.

ê Demonstra ¸c ão. Suponha que a|p, então p=a.c, como p|a.c por p ser primo então p|a ou p|c, supondo ser perda de generalidade que p|a então a = p.t e da´ı p = p.t.c por lei do corte segue t.c = 1 então c é invert´ıvel, o que prova que p é irredut´ıvel.

b

Propriedade 22. Sejam A um dom´ınio principal, p∈ A um elemento irredut´ıvel, ent˜ao p ´e primo.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Suponha que p|b.c e p6|b vamos mostrar que p|c.

Considere o ideal I(b, p) = I p e b pertencem ao ideal, então ele é não vazio e possui elemento não nulo . Como A é principal, existe d 6= 0 tal que I = I(d).

Tem-se que d|b e d|p, como p é irredut´ıvel os divisores dele são invert´ıveis ou associados. Supondo que d seja associado, então existe u invert´ıvel tal que p=d.u, da´ı b ∈ I = I(d) = I(u.p) logo existe t tal que b = tup, implicando que p|b o que contraria nossa hipótese, então d tem que ser invert´ıvel em A, da´ı I(d) = I(b, p) e 1∈I(b, p) logo existem x e y em A tais que

1=xb+yp

multiplicando porc tem-sec=xcb+cyp, como p|pe p|cb ent˜ao p|ccomo quer´ıamos demonstrar .

(18)

$

Corol ário 14. Então em qualquer dom´ınio elementos primos são irredut´ıveis e em dom´ınios principais um elemento é primo ⇔ é irredut´ıvel, isto é, em dom´ınios principais ser primo e ser irredut´ıvel é equivalente.

b

Propriedade 23.Nos dom´ınios principais, todo ideal gerado por um elemento irredut´ıvel ´e um ideal maximal.

ê Demonstra ¸c ão. Seja M =pA onde p é irredut´ıvel, consideramos I ideal de A tal que M=pA I , vamos mostrar que I =A. Como M=pA I, existe a∈ I tal que a6M=pA, logo a não é múltiplo de p, como p é primo temosmdc(p, a) =1, da´ı existem x, y ∈A tais que

1=xp+ya, xp∈M⊂I, ya∈I da´ı 1∈I e portanto I=A.

Seja A um anel comutativo com unidade

b

Propriedade 24. P ´e um ideal primo de A ⇔ A/P ´e um dom´ınio.

⇒). Seja P ideal primo de A, tem-se P 6= A, então A/P é anel comutativo com unidade. Sejam a, b ∈A tais que a.b=0 então

a.b=a.b=0

⇔ a.b≡0mod P ⇔ a.b ∈P. Como P ´e um ideal primo vale a∈P ou b∈P de onde segue a=0 ou b=0 logo A/P ´e dom´ınio.

⇐). Seja A/P dom´ınio. então A/P é anel comutativo com unidade, logo P ⊂ A propriamente. Sejam a, b ∈ A tais que a.b ∈ P então 0 = ab = ab como A/P é dom´ınio tem-se a=0 ou b=0 implicando a∈P ou b∈P logo P é ideal primo.

b

Propriedade 25. M ´e um ideal maximal de A ⇔ A/M ´e um corpo.

ê Demonstra ¸c ão. ⇒). Seja M um ideal maximal de A assim M é ideal primo e A/M é um dom´ınio. Precisamos mostrar apenas que todo a 6= 0 em A/M tem

(19)

inverso. Como a6=0 segue a /∈M e M⊂M+I(a) propriamente, logoA=M+I(a), assim existe m∈M e x∈A tais que 1=m+xa, em classe m´odulo M segue

1=m+xa=xa implicando que a e invert´ıvel em A/M com inverso x.

⇐). Seja A/Mcorpo, então A/M é dom´ınio e M é ideal primo, logoM6=A. Seja I ideal de A tal que M ⊂ I ⊂ A ,m propriamente, tome x ∈ I tal que x /∈ M então x6=0 e existe y∈A/M tal que

1=xy

logo existe m ∈M tal que 1−xy=m, 1 =m+xy∈I implicando I=A, assim M ´e ideal maximal.

b

Propriedade 26. Se M = {0A} é um ideal maximal de A, então A é um corpo.

ê Demonstra ¸c ão. Esse resultado sai como corolário do resultado anterior pois, no caso mostramos que A/M é corpo, mas

A/M={x+M={x+0A}={x}, x ∈A}={{x}∀x ∈A} se identifica com o pr´oprio anel, que ´e portanto um corpo.

b

Propriedade 27. Sejam p, (p_k)ⁿ₁ elementos primos do dom´ınio A. Se p|(

Yn k=1

p_k) ent˜ao p ´e associado de p_t para algum t.

ê Demonstra ¸c ão. Por indu¸cão sobre n. Para n=1, p|p₁ então existe t tal que p₁ =t.p, como p₁ é irredut´ıvel e p é não invert´ıvel então t é invert´ıvel. Supondo a validade paran, vamos provar para n+1. Se p|(

Yn+1 k=1

p_k) ent˜ao p|( Yn

k=1

p_k) ou p|p_n+1, no primeiro caso algum p_t com t∈I_n ´e associado de p, no segundo p_n+1 ´e associado de

p .

1.1.1 Fatora ¸c ˜ ao ´unica em dom´ınios principais

(20)

FTeorema 3 (Fatora¸c˜ao ´unica em dom´ınios principais). Todo dom´ınio principal

é um dom´ınio de fatora¸cão única.

ê Demonstra ¸c ão. Sejam A um dom´ınio principal e a ∈ A um elemento não nulo e não invert´ıvel. Pelo que já demonstramos a possui pelo menos um divisor irredut´ıvel p₁ ∈A, logo existe a₁∈A tal que

a=a₁p₁

vale que a₁ 6=0, se a₁ ´e n˜ao invert´ıvel tem-se novamente que a₁=a₂p₂

e da´ı

a=a₂p₂p₁.

Vamos mostrar que tal processo tem que parar ap´os um n´umero finito de passos, isto

é, existe n tal que a_n é invert´ıvel. Se (a_n) fossem não invert´ıveis como a_n+1|a_n então a_n e a_n+1 não seriam associados, ter´ıamos então uma cadeia crescente de ideais I(a_k) I(a_k+1) não estacionária o que contradiz o que já provamos. Portanto para algum n, a_n =u é irredut´ıvel e

a=u Yn

k=1

p_k

com cada fator irredut´ıvel, logo primos.

Vamos demonstrar a unicidade da fatora¸c˜ao por indu¸c˜ao sobre n. Para n = 1, p₁ =

Ym k=1

q_k com p₁, (q_k)^m₁ irredut´ıveis logo primos. Como p₁| Ym

k=1

q_k, então (sem perda de generalidade), p₁ é associado de q₁, logo p₁ =wq₁ com w invert´ıvel, então wq₁ =

Ym k=1

q_k e por cancelamento ter´ıamos w= Ym

k=2

q_k que é imposs´ıvel para m ≥ 2, portanto m=1 e p₁=wq₁. Supondo n≥2 e a unicidade da fatora¸cão válida para n , vamos mostrar para n+1. Suponha

Yn+1 k=1

p_k = Ym

k=1

q_k

(21)

com (p_k)ⁿ₁ e (q_k)^m₁ irredut´ıveis, da´ı segue que p_n+1|

k=1

q_k e (sem perda de generalidade) p_n+1|q_m, isto é, p_n+1=wq_m, como w é invert´ıvel, então

( Yn

k=1

p_k)wq_m = Ym

k=1

q_k⇔

( Yn

k=1

pk)w=

m−1Y

k=1

qk

por hipótese de indu¸cão n=m−1 e da´ı n+1=m. Repetindo procedimento podemos concluir que cada p_k é associado de q_k .

$

Corol ário 15. Todo n úmero inteiro é produto de uma quantidade finita de irredut´ıveis, agrupamos os irredut´ıveis, que são primos sobre o mesmo produtório e chegamos que

z =u Yn

k=1

p^α_k^k onde u=1 ou −1.

1.2 Propriedades do dom´ınio principal Z.

b

Propriedade 28. Dados a = u Yr

k=1

p^α_k^k e b = w Ym

k=1

p^β_k^k onde u e w s˜ao invert´ıveis podemos tomar n=max{r, m} e escrever a=u

Yn k=1

p^α_k^k e b=w Yn

k=1

p^β_k^k , possivelmente completando os produt´orios com expoentes zero. Vale ent˜ao que

mdc(a, b) = Yn

k=1

p^c_k^k

onde c_k =min{α_k, β_k} e

mmc(a, b) = Yn

k=1

p^v_k^k

onde v_k=max{α_k, β_k}. ê Demonstra ¸c ˜ao.

(22)

m

Defini ¸c ão 16 (Primos entre si). Sejam A um dom´ınio principal e a, b ∈ A com pelo menos um deles não nulo. Dizemos que a e b são primos entre se sse mdc(a, b) =u onde u é invert´ıvel. Em z tomamos u=1.

m

Defini ¸c ão 17. N úmeros inteiros n > 1 que não são primos são chamados de compostos.

b

Propriedade 29. Se n é composto então existep primo tal que p|n e n≥p². ê Demonstra ¸c ão. Podemos escrever n = q.m onde q ≤ m e q é primo , da´ı q² ≤qm =n.