Teoria de corpos de classe e aplicações

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Teoria de corpos de classe e aplicações

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Teoria de corpos de classe e aplicações

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Luan Alberto Ferreira

Orientador: Prof. Dr. Oziride Manzoli Neto

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências - Matemática . VERSÃO REVISADA

USP – São Carlos Setembro de 2012

*_{O autor teve suporte financeiro da FAPESP.}

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

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com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

F383t

Ferreira, Luan Alberto

Teoria de corpos de classe e aplicações / Luan Alberto Ferreira; orientador Oziride Manzoli Neto. São Carlos, 2012.

96 p.

Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2012.

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Agradecimentos

´

E sempre dif´ıcil escrever uma se¸c˜ao de agradecimentos. Pe¸co desculpas aque-les que julguei mal, seja por excesso, seja por falta - n˜ao quero cometer injusti¸cas.

Agrade¸co inicialmente `a FAPESP pelo apoio financeiro e ao professor Edu-ardo Tengan, que foi quem propˆos este belo tema de estudo.

Agrade¸co aos meus amigos e colegas do ICMC, em especial `a Camila Ma-riana Ruiz, Danilo Franchini de Souza, Felipe Alves da Louza, Fernando de Mello

Trevisani, Henrique Barbosa da Costa, João Paulo Poli, José Augusto Fioruci, Júlia

Silva Silveira Borges, Juliana Rodrigues Dion´ısio Pereira, Leandro Mattiolli, Lucas Esperancini Moreira e Moreira, Marcelo Silveira Querino, Markus Diego Sampaio da Silva Dias, Matheus Dorival Leonardo Bombonato Menes, Raquel Filippi de Souza e Rodolfo Collegari. Obrigado pelas horas de estudo em grupo, pelas risadas, pelas conversas, pelos conselhos e por sempre acreditarem em mim.

Agrade¸co a todos os professores que, de uma forma ou de outra, contribu´ıram em minha forma¸cão, seja profissional ou pessoal. Cabe aqui um agradecimento ao Instituto Embraer de Educa¸cão e Pesquisa, a sua iniciativa social e ao seu excelente corpo docente. Devo muito de minha forma¸cão a eles. Quanto aos professores do ICMC, gostaria de agradecer em especial a Carlos Biasi, Eduardo Alex Hernández Morales, Janete Crema, Sérgio Henrique Monari Soares, Valdir Antonio Menegatto e Wagner Vieira Leite Nunes por todos terem contribu´ıdo de forma significativa na minha forma¸cão.

Agrade¸co aos funcion´arios do ICMC, que sempre me trataram com muita cordialidade e respeito.

Agrade¸co à minha fam´ılia que me apoiou. Em especial, agrade¸co muit´ıssimo às quatro mulheres que, sem as quais, eu não seria nada do que sou hoje: às minhas mamães Maria Isabel Ferreira Claudio e Valda Maria Ferreira e às minhas irmãs Bianca Ferreira de Jesus e Tha´ıs Fernanda Ferreira Claudio. Muito obrigado por vocês sempre acreditarem em mim, no meu potecial e no meu futuro!

Agrade¸co especialmente a três professores do ICMC: ao professor Luiz Au-gusto da Costa Ladeira, não sei como posso expressar o reconhecimento e o respeito que tenho pelo senhor, professor, por todos os conselhos que me deu e por sempre acreditar no meu potencial! Ao meu orientador e professor Oziride Manzoli Neto, sou eternamente grato pelo voto de confian¸ca que recebi e por ter me acolhido de bra¸cos abertos! Agrade¸co pelas conversas que tivemos, pelos momentos de des-contra¸cão e trabalho árduo juntos, por compartilhar comigo seus problemas com o

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grupo P72 e por me ouvir falando sobre o que os números primos têm a ver com os espa¸cos métricos! Sou muito grato e fico muito feliz de ter conhecido e poder ter trabalhado com o senhor, professor! Quanto à professora Ires Dias, bem, não tenho palavras para descrever tudo o que ela fez por mim durante meus anos em São Carlos. Possivelmente tudo seria diferente se eu não a tivesse conhecido, professora. Só saiba que a senhora foi como uma mãe para mim aqui em São Carlos.

Agrade¸co especialmente tamb´em aos meus amigos do Vale do Para´ıba: Brau-lio Augusto Freire, Denise Clarice Caputo de Souza, Fanny Sene Fidelis de Oliveira,

Fernando Luiz Bustamante Bueno Oliveira, GabrielO. Godoy, Luana Menezes

Nu-nes, Lucas Renan Coelho Teixeira, Luis Fernando da Costa Oliveira, Luiz Rafael dos Santos Leite, Miriam Silva Freitas Dias, Nilson Henrique Chagas Oliveira, Orlando Pasqual Filho (sim, Landinho, você é do Vale também!), Paula Salles Gória, Priscila Aparecida Gon¸calves e Thiago Augusto dos Santos Silva. Não sei o que seria de mim sem vocês, pessoal. Se fosse listar tudo o que vocês já fizeram por mim gastaria mais tempo nisso do que escrevendo esta disserta¸cão! Vocês são como irmãos e irmãs para mim. Muito obrigado por tudo!

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Resumo

Neste projeto, propomos estudar a chamada “Teoria de Corpos de Classe,” que oferece uma descri¸cão simples das extensões abelianas de corpos locais e globais, bem como algumas de suas aplica¸cões, como os teoremas de Kronecker-Weber e Scholz-Reichardt.

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Abstract

In this work, we study the so called “Class Field Theory”, which give us a simple description of the abelian extension of local and global fields. We also study some applications, like the Kronecker-Weber and Scholz-Reichardt theorems.

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Sum´

ario

1 Corpos de n´umeros 15

1.1 An´eis noetherianos . . . 15

1.2 Elementos integrais . . . 17

1.3 Dom´ınios integralmente fechados . . . 20

1.4 Dom´ınios de Dedekind . . . 22

1.5 O anel de n´umeros de um corpo de n´umeros . . . 27

1.6 Norma, tra¸co e discriminante . . . 30

1.7 Bases integrais . . . 36

1.8 O anel de n´umeros de Q(ζm) . . . 39

1.9 Apˆendice . . . 42

2 O teorema de Scholz-Reichardt 45 2.1 O problema inverso de Galois . . . 45

2.2 O problema inverso de Galois para grupos abelianos . . . 45

2.3 Ramifica¸c˜ao . . . 47

2.4 Homologia e cohomologia de grupos . . . 50

2.5 O problema de extens˜ao de grupos . . . 55

2.6 O teorema de Scholz-Reichardt . . . 56

2.6.1 O caso Ge_≃G_× Z lZ . . . 57

2.6.2 O caso Ge6≃G× Z lZ . . . 58

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3 Lei de reciprocidade local de Artin 61

3.1 Algumas propriedades do anel A[[X]] . . . 61

3.2 Leis de grupo formais . . . 63

3.3 Leis de grupo de Lubin-Tate . . . 66

3.4 A lei de reciprocidade local . . . 70

3.5 Os teoremas de Kronecker-Weber . . . 74

4 Lei de reciprocidade global de Artin 77 4.1 Cohomologia de grupos c´ıclicos . . . 77

4.2 O quociente de Herbrand de um m´odulo de permuta¸c˜ao . . . 80

4.3 M´odulus e grupo ideal de um corpo de n´umeros . . . 81

4.4 S-unidades . . . 83

4.5 O quociente de Herbrand q(UL) . . . 85

4.6 A norma de um m´odulus . . . 87

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Introdu¸c˜

ao

O objetivo desta disserta¸cão é estudar os fundamentos da teoria algébrica dos

n´umeros. Como parte deste estudo, objetivamos enunciar e demonstrar os teoremas

de Kronecker-Weber, Scholz-Reichardt e a lei de reciprocidade de Artin. Assumimos ainda que o leitor possui um conhecimento em álgebra a n´ıvel de gradua¸cão, o que inclui um pouco de álgebra linear, teoria de grupos, anéis e corpos, e teoria básica de Galois.

O cap´ıtulo 1 apresenta os pré-requisitos básicos da teoria algébrica dos n´

ume-ros, como alguns de seus teoremas e exemplos sobre os corpos quadr´aticos e ci-clotˆomicos.

O cap´ıtulo 2 apresenta, al´em de mais alguns t´opicos acerca dos corpos de

n´umeros, um esbo¸co da demonstra¸c˜ao do teorema de Scholz-Reichardt.

O cap´ıtulo 3 contém o enunciado e a demonstra¸cão da lei de reciprocidade local de Artin, bem como o enunciado e a demonstra¸cão do teorema de Kronecker-Weber.

O cap´ıtulo 4, último desta disserta¸cão, versa sobre alguns pré-requisitos

ne-cess´arios para provar a lei de reciprocidade global de Artin, bem como seu enunciado e demonstra¸c˜ao.

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Cap´ıtulo 1

Corpos de n´

umeros

Neste cap´ıtulo veremos alguns conceitos b´asicos da teoria alg´ebrica dos n´

ume-ros, alguns dos quais serão utilizados por toda esta disserta¸cão. A última se¸cão

deste cap´ıtulo (o apêndice) contém alguns pequenos resultados usados neste cap´ıtulo inicial. Nesta disserta¸cão, a menos de men¸cão contrária, o termo anel será usado

para designar anel comutativo com unidade. SeAfor um anel, denotaremos por A×

o conjunto dos elementos invers´ıveis deA.

1.1 An´

eis noetherianos

Proposi¸cão 1.1.1. Seja A um anel. As seguintes condi¸cões são equivalentes:

1. Todo ideal de A´e finitamente gerado.

2. Toda cadeia ascendente de ideais de A estabiliza, i.e., se i0 ⊆ i1 ⊆i2 ⊆ · · · é uma cadeia ascendente de ideais de A, então existe n0 ∈N tal que se n≥n0, então in =in0.

3. Se S ₆=_∅é um conjunto de ideais de A, então S possui um elemento maximal imax, isto é, se i∈S e imax ⊆i, então i=imax.

Demonstra¸c˜ao: 1)_⇒ 2) Seja i0 ⊆i1 ⊆i2 ⊆. . . uma cadeia ascendente de ideais de

A. Ent˜ao i = S∞

i=0

ii é um ideal que, por hipótese, é finitamente gerado. Escreva i =

(a1, . . . , ar). Ent˜ao∃n0 ∈Ntal que{a1, . . . , ar} ⊆in0 ⇒i=in0 ⇒i=in, ∀n≥n0.

2)_⇒ 3) Pela contra-rec´ıproca. Seja S ₆= _∅ um conjunto de ideais de A que

não possui elemento maximal. Como S ₆= _∅, então existe i0 _∈ S. Como S não

possui elemento maximal, existe i1 ∈ S tal que i0 ( i1. Repetindo este processo

indefinidamente, encontramos uma cadeia ascendente de ideais i0 (i1 (i2 (. . .de

A que n˜ao estabiliza.

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3) ⇒ 1) Seja i um ideal de A e seja S o conjunto de todos os ideais de A

finitamente gerados contidos em i. Ent˜ao S ₆= _∅, pois (0) _∈ S. Por hip´otese, S

possui um elemento maximalimax. Ent˜ao imax ∈S ⇒ imax ⊆i e imax ´e finitamente

gerado, digamos imax = (a1, . . . , ar). Se i =6 imax, ent˜ao existe a ∈ i−imax. Assim

(a1, . . . , ar, a) ∈ S e (a1, . . . , ar, a) ) imax, contradizendo a maximalidade de imax.

Logo i=imax = (a1, . . . , ar).

Defini¸cão 1.1.2. Um anel A que cumpre uma e, portanto, todas as condi¸cões equi-valentes acima é chamado anel noetheriano.

Exemplo 1.1.3. Todo dom´ınio de ideais principais (DIP) é noetheriano, enquanto que Z[x1, x2, . . .] não o é, pois a cadeia ascendente de ideais (x1) ( (x1, x2) (

(x1, x2, x3)(. . . n˜ao estabiliza.

Uma propriedade muito conhecida dos an´eis noetherianos ´e dada pelo

Teorema 1.1.4 (Teorema da base de Hilbert). Se A´e um anel noetheriano, assim o ´eA[x].

Demonstra¸c˜ao: Vamos mostrar que todo ideal ide A[x] ´e finitamente gerado. Para

isto, seja i ideal de A[x]. Seja j o conjunto de todos os coeficientes l´ıderes dos

elementos de i. Então j é um ideal A. Como A é noetheriano, j é finitamente

gerado, isto ´e, j = (a1, . . . an). Para cada i ∈ {1, . . . , n}, seja fi ∈ i um polinˆomio

com coeficiente l´ıderai. Sejam di =∂(fi) e D= max

i∈{1,...,n}{di}.

Agora, para cadak_{∈ {}0, . . . , D₋1_}, sejajko conjunto de todos os coeficientes

l´ıderes dos elementos de i com grau no m´aximo k. De novo, jk ´e um ideal de

A e portanto ´e finitamente gerado, isto ´e, jk = (ak1, . . . , akmk). Como antes, seja

fk

j ∈ i tendo coeficiente l´ıder akj, j ∈ {1, . . . mk}. Seja h o ideal gerado pelos fi,

i∈ {1, . . . , n} e pelos fk

j, k ∈ {0, . . . , D−1}, j ∈ {1, . . . , mk}.

´

E claro que h ⊆ i. J´a se h ( i, ent˜ao existe f ∈ i−h, de grau m´ınimo d

e coeficiente l´ıder a. Como f _∈ i, ent˜ao a _∈ j _⇒ a = r1a1 +. . .+rnan, ri ∈ A,

i ∈ {1, .., n}. Agora, suponha d ≥ D. Se g = r1xd−d1f1 +..+rnxd−dnfn, ent˜ao

∂(g) =d e o coeficiente l´ıder de g ´er1a1+. . .+rnan =a, pois cada parcelaxd−difi

tem graud. Como g _∈h, ent˜ao f₋g _6∈h. Mas ∂(f₋g)< d, pois ∂(f) = ∂(g) =d,

contradizendo a minimalidade do grau de f. J´a se d < D, ent˜ao a _∈ jd e uma

constru¸cão análoga nos levará à mesma contradi¸cão. Logo h = i e, portanto, i é

finitamente gerado.

Corolário 1.1.5. Se A é um anel noetheriano, assim o é A[x1, . . . , xn].

Uma outra propriedade satisfeita pelos anéis noetherianos é dada pela pro-posi¸cão abaixo:

Proposi¸cão 1.1.6. Seja A um anel noetheriano. Então todo ideal próprio de A

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1.2. ELEMENTOS INTEGRAIS 17

Demonstra¸cão: Vamos provar a primeira afirma¸cão; a demonstra¸cão da segunda é

an´aloga. Suponha por absurdo que o resultado seja falso. Ent˜ao existe i um ideal

próprio deAtal queinão contém um produto de primos. SeSé o conjunto de todos

os ideais próprios de A que não contêm um produto de primos, então S 6= ∅, pois

i _∈ S. Como A ´e noetheriano, ent˜ao S possui um elemento maximal imax. Como

imax ∈S, então, imax não é um ideal primo. Como imax 6=A (pois imax (A), então

existem a, b∈A tais que ab∈imax e a, b6∈imax.

Assimimax (imax+ (a) eimax (imax+ (b). Pela maximalidade deimax, ent˜ao

imax+ (a) e imax+ (b) contˆem um produto de ideais primos, digamosP1·. . .·Pn⊆

imax+ (a) e Q1·. . .·Qm ⊆imax+ (b). Dessa forma,

P1·. . .·Pn·Q1·. . .·Qm ⊆(imax+ (a))·(imax+ (b))⊆imax.

Logo imax cont´em um produto de ideais primos, absurdo.

1.2 Elementos integrais

Defini¸cão 1.2.1. Seja B/A uma extensão de anéis. Dizemos que b _∈ B é integral sobre A se existe f(x)_∈A[x] mônico tal que f(b) = 0.

Exemplo 1.2.2. Seja m um inteiro livre de quadrados e considere Z ⊆ Q(√m). Ent˜ao√m ´e integral sobre Z: basta tomar f(x) =x2₋_m_.

Exemplo 1.2.3. Sejam m ∈ N∗_{, ζ}

m =e2πi/m e considere Z ⊆Q(ζm). Ent˜ao ζm ´e

integral sobre Z: basta tomar f(x) = xm₋₁_.

Defini¸cão 1.2.4. Seja B/A uma extensão de anéis. Definimos o fecho integral de

A em B por _OB/A ={b∈B :b ´e integral sobre A}.

´

E claro que seC/B/A são extensões de anéis, então_OC/A∩B =OB/A. Para

demonstrar queOB/A ´e um anel, precisamos antes do seguinte lema t´ecnico:

Lema 1.2.5. Sejam A um anel, M ∈ Mn(A) e x = (x1, . . . , xn) um vetor em An.

Se M _·xt_{= (0)}_{, ent˜ao} _det₍_M₎_·_x

i = 0, ∀ i∈ {1, . . . , n}.

Demonstra¸cão: SeM∗ _{é a matriz adjunta de} _M_{, então} _M∗_M _{= det(}_M₎_I

n, onde In

´e a matriz identidade de ordem n sobre A. Assim, se M _·xt _{= 0, multiplicamos `a}

esquerda porM∗ _{e obtemos}_M∗_M_·_xt_{= (0)}_⇒_det(_M₎_I

n·xt= (0)⇒det(M)·xi =

0, ∀ i∈ {1, . . . , n}.

Proposi¸cão 1.2.6. Sejam B/A uma extensão de anéis e b1, . . . , bn ∈B. São

equi-valentes:

1. b1, . . . , bn s˜ao integrais sobre A;

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Demonstra¸cão: (1) ⇒(2) : Por indu¸cão sobre n. Suponha entãon = 1. Como b1 é

integral sobre A, então existe um polinômio mônico f1(x)∈ A[x] de graud ≥1 tal

quef1(b1) = 0. Ent˜ao A[b1] ´e gerado por 1, b1, . . . , b1 d−1.

Suponha então que b1, . . . , bn, bn+1 são integrais sobre Ae que A[b1, . . . , bn] é

umA-módulo fiintamente gerado. Comobn+1é integral sobreA, entãobn+1é integral

sobre A[b1, . . . , bn]. Logo A[b1, . . . , bn, bn+1] ´e um A[b1, . . . , bn]-m´odulo finitamente

gerado. Como, por hipótese de indu¸cão, A[b1, . . . , bn] é um A-módulo finitamente

gerado, entãoA[b1, . . . , bn, bn+1] é um A-módulo finitamente gerado.

(2) _⇒(1) : Suponha que A[b1, . . . , bn] seja um A-m´odulo finitamente gerado

por, digamos, ω1, . . . , ωm ∈ A[b1, . . . , bn]. Seja b ∈ A[b1, . . . , bn]. Expressando cada

b·ωi como uma combina¸c˜ao A-linear, existe uma matriz quadrada M ∈ Mm(A)

tal que 



b_·ω1

· · ·

b_·ωm 

 = M

  ω1 · · · ωm 

. Se Im ´e a matriz identidade de ordem m em

Mm(A) e ω = (ω1, . . . , ωm), ent˜ao (M −b·Im)·ωt= (0).

Pelo lema 1.2.5, det(M ₋ b _·Im)· ωi = 0, ∀ i ∈ {1, . . . , m}. Como 1 ∈

A[b1, . . . , bn], ent˜ao existem c1, . . . , cm ∈ A tais que 1 = c1ω1 +· · ·+cmωm.

Mul-tiplicando cada equa¸c˜ao det(M ₋b _·Im)· ωi = 0 por ci e somando-as, obtemos

det(M ₋b_·Im) = 0, ou seja, obtemos um polinˆomio mˆonico com coeficientes emA

tendob como raiz. Logo b´e integral sobre A.

Note que a demonstra¸c˜ao acima mostra quequalquer elementob∈A[b1, . . . , bn]

´e integral sobreA. Em particular, dados b1, b2 ∈B integrais sobreA, ent˜aob1−b2

eb1b2 tamb´em s˜ao integrais sobre A. Assim, provamos o seguinte

Corolário 1.2.7. Seja B/A uma extensão de anéis. Então _OB/A é um anel que

satisfaz A ⊆ OB/A ⊆ B. Em particular, se A ´e um dom´ınio de integridade e L ´e

um corpo contendo Frac(A), ent˜ao _OL/A ´e um dom´ınio de integridade que satisfaz

A_{⊆ O}L/A⊆L.

A propriedade a seguir, conhecida comotruque do determinante, ser´a usada

mais `a frente.

Lema 1.2.8. Sejam A um dom´ınio noetheriano e γ _∈K =F rac(A). Se existe um ideal i6= (0) em A tal que γi⊆i, ent˜ao, γ ∈ OK/A.

Demonstra¸cão: Como A é noetheriano, então i = (a1, . . . , an) 6= (0). Da rela¸cão

γi⊆i, segue que existe uma matriz M ∈ Mn(A) tal que

γ   a1 . . . an  =M

  a1 . . . an 

_⇒(γIn−M)   a1 . . . an  =   0 . . . 0  .

Pelo lema 1.2.5, det(γIn −M)·ai = 0, ∀ i ∈ {1, . . . , n}. Como A ´e um

dom´ınio de integridade e i₆= (0), então det(γIn−M) = 0⇒γ é raiz do polinômio

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1.2. ELEMENTOS INTEGRAIS 19

Defini¸cão 1.2.9. SejaB/A uma extensão de anéis. Dizemos que B é integral sobre

A (ou que B/A é uma extensão integral de anéis) se _OB/A =B.

Exemplo 1.2.10. Se m é um inteiro positivo livre de quadrados, então Z[√m] é integral sobreZ. De fato, se a+b√m∈Z[√m], então a+b√m é raiz do polinômio mônico p(x) = x2₋₂_ax₊_a2₋_mb2 _∈_Z_[_x_]_.

Exemplo 1.2.11. Se m é um inteiro positivo livre de quadrados, então Z[i√m] é integral sobreZ. De fato, sea+ib√m ∈Z[i√m], entãoa+ib√mé raiz do polinômio mônico p(x) = x2₋₂_ax₊_a2₊_mb2 _∈_Z_[_x_]_.

Vale ressaltar que ser integral ´e uma propriedade transitiva:

Proposi¸cão 1.2.12. Sejam C/B/A extensões de anéis. Se C é integral sobre B e

B é integral sobre A, então C é integral sobre A.

Demonstra¸cão: Sejac∈C. ComoC é integral sobre B, então ∃ b1, . . . , bn ∈B tais

quecn₊_b

1cn−1+· · ·+bn = 0. Segue queA[b1, . . . , bn, c] ´e umA[b1, . . . , bn]-m´odulo

finitamente gerado. Agora, como B e integral sobre A, ent˜ao A[b1, . . . , bn] ´e um

A-módulo finitamente gerado⇒A[b1, . . . , bn, c] é um A-módulo finitamente gerado.

Pela proposi¸c˜ao 1.2.6, c´e integral sobre A.

Proposi¸cão 1.2.13. SejaA um subanel de um dom´ınio de integridade B e suponha queB é integral sobre A. Dessa forma, A é um corpo se, e somente se, B o é.

Demonstra¸cão: (_⇒) Suponha que A é um corpo e seja b_∈B_{− {}0_}. ComoA é um

corpo, a proposi¸cão 1.2.6 nos dá queA[b] é umA-espa¸co vetorial de dimensão finita.

Seja f : A[b]_→ A[b] dada por f(z) = bz. Note que f ´e uma transforma¸c˜ao

A-linear que ´e injetora, pois B ´e um dom´ınio de integridade. Pelo Teorema do

N´ucleo e da Imagem, f ´e sobrejetora ⇒ ∃ z0 ∈A[b]⊆ B tal quef(z0) = bz0 = 1.

Logo z0 =b−1 ∈B ⇒B ´e um corpo.

(_⇐) Suponha agora que B seja um corpo e seja a _∈ A_{− {}0_}. Como A _⊆

B, ∃ a−1 _∈ _B_{. Agora,} _B _{´e integral sobre} _A_{, logo existem} _c

1, . . . , cn ∈ A tais que

(a−1₎n ₊_c

1(a−1)n−1 +· · ·+cn = 0. Multiplicando esta equa¸c˜ao por an, obtemos

1 +c1a+· · ·+cnan = 0⇒1 =a(−c1− · · · −cnan−1)

| {z }

=a−1_∈_A

⇒A ´e um corpo.

Corolário 1.2.14. SejaB/Auma extensão integral de anéis. Seja qum ideal primo de B e seja p=q_∩A. Então:

1. p ´e um ideal primo de A e A

p ´e isomorfo a um subanel de

B

q.

2. B

q ´e integral sobre

A

p.

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Demonstra¸cão: 1. Se p = A, então q∩A = A ⇒ A ⊆ q. Como 1 ∈ A, então

1_∈q_⇒q=B, absurdo, poisq´e um ideal primo de B.

Agora, sejam x, y ∈ A tais que xy ∈ p. Ent˜ao xy ∈ q. Como q ´e um ideal

primo de B, podemos supor sem perda de generalidade que x_∈q. Logo x_∈p_⇒p

´e um ideal primo de A.

Por fim, sejaf : A

p →

B

q dada por f(x) =x, onde a barra denota a classe de

equivalência dexem Amódulop e as duas barras denotam a classe de equivalência

dex em B módulo q. Então f está bem definida: de fato, se x= y, entãox₋y_∈

p ⇒ x −y ∈ q ⇒ x = y ⇒ f(x) = f(y). f ´e um homomorfismo injetor. ´E

claro que f ´e um homomorfismo. Para ver sua injetividade, se f(x) = 0, ent˜ao

x= 0_⇒x_∈q_⇒x_∈p_⇒x= 0.

2. Sejax∈ B

q. Como B ´e integral sobreA, ent˜ao existema1, . . . , an ∈Atais

quexn₊_a

1xn−1+· · ·+an = 0⇒x n

+a1 x

n−1

+· · ·+an = 0⇒x´e integral sobre

A

p.

3. É consequência direta da proposi¸cão 1.2.13 e do item anterior.

1.3 Dom´ınios integralmente fechados

Defini¸c˜ao 1.3.1. Seja A um dom´ınio de integridade e K =Frac(A). Dizemos que

A ´e um dom´ınio integralmente fechado (DIF) se OK/A ⊆A.

Proposi¸cão 1.3.2. Todo dom´ınio dom´ınio de fatora¸cão única (DFU) é um DIF.

Demonstra¸c˜ao: Sejam Aum DFU e a

b ∈ OK/A. Como A´e um DFU, podemos supor

que a e b n˜ao tˆem fatores em comum. Como a

b ∈ OK/A, ent˜ao existem a1, . . . ,

an ∈ A tais que

_a

b

n

+a1

_a

b

n−1

+. . .+an = 0. Multiplicando tal equa¸c˜ao por

bn_{, obtemos}

an+a1ban−1+. . .+bnan= 0⇒an=−b(a1an−1+. . .+bn−1an)⇒b | an.

Como a e b não têm fatores em comum, então b _∈ A× _⇒ a

b ∈ A ⇒ A ´e integralmete fechado.

Note então que todo corpo é um dom´ınio euclidiano (DE), todo DE é um DIP, todo DIP é um DFU e todo DFU é um DIF.

(22)

1.3. DOM´INIOS INTEGRALMENTE FECHADOS 21

Exemplo 1.3.4. Seja K um corpo e considere o subanel A = K[x2_{, x}3_] _⊆ _K_[_x_]_. Então A é um dom´ınio de integridade que não é integralmente fechado. De fato,

seja L = Frac(A) = K(x). Ent˜ao x = x

3

x2 ∈ OL/A −A. De fato, x é raiz do polinômio mônico T2₋_x2 _∈_L_[_T_]_.

´

E interessante notar que vale o an´alogo do teorema da base de Hilbert para dom´ınios integralmente fechados. Para demonstrarmos esse resultado, precisamos antes do seguinte

Lema 1.3.5. Sejam A um DIF, K = Frac(A), b ∈ K e g(x) ∈A[x]. Seja f(x) = bxm₊_g₍_x₎_{, onde} _m_∈_{N. Se existem polinˆomios} _p

1(x), . . . , pr(x)∈A[x] tais que

f(x)r+p1(x)f(x)r−1+· · ·+pr(x) = 0,

ent˜ao b_∈A. Em particular, f(x)_∈A[x].

Demonstra¸c˜ao: Da equa¸c˜ao

f(x)r+p1(x)f(x)r−1+· · ·+pr(x) = 0

obtemos

[bxm+g(x)]r+p1(x)[bxm+g(x)]r−1 +· · ·+pr(x) = 0

donde

brxmr+

r X

i=1

r i

br−ixm(r−i)g(x)i+p1(x)[bxm+g(x)]r−1+· · ·+pr(x) = 0.

Note que qualquer parcela da soma acima diferente debr_xmr _{tem como}

coefi-ciente do monˆomio de graumr potˆencias de b com expoentes estritamente menores

que r. Como g(x), p1(x), . . . , pr(x) ∈ A[x] e a igualdade acima ocorre em K[x]

(que é um dom´ınio de integridade), segue que b satisfaz um polinômio mônico com

coeficientes em A. Assim, b ´e integral sobre A. ComoA ´e um DIF, b_∈A.

Proposi¸cão 1.3.6. Se A é um DIF, assim o é A[x].

Demonstra¸c˜ao: Seja K = Frac(A) e seja f(x) ∈ Frac(A[x]) = A(x) um elemento

integral sobre A[x]. Como A[x] _⊆ K[x] _⊆ A(x), ent˜ao f(x) ´e integral sobre K[x].

ComoK[x] é um DIF (pois é um DIP), então f(x)_∈K[x]. Escreva

f(x) =anxn+· · ·+a0, onde a0, . . . , an∈K.

Como f(x) ´e integral sobre A[x], existem polinˆomios p1(x), . . . , pr(x)∈A[x]

tais que

f(x)r+p1(x)f(x)r−1+· · ·+pr(x) = 0.

Vamos mostrar por indu¸c˜ao em n =∂(f) que f(x) _∈A[x]. Se n = 0, ent˜ao

o resultado segue do lema anterior aplicado a b = a0, m= 0 e g(x) = 0. Suponha

então o resultado válido para todo polinômio de grau no máximo n−1. Assim, se

∂(f) = n, seja g(x) = f(x)₋anxn ∈ A[x], por hip´otese de indu¸c˜ao. De novo, o

(23)

Corolário 1.3.7. SeAé um dom´ınio integralmente fechado, assim o éA[x1, . . . , xn].

Antes de finalizarmos essa se¸c˜ao, vejamos uma propriedade satisfeita pelos DIFs. Para isso, precisamos antes da seguinte:

Proposi¸cão 1.3.8. Seja A um dom´ınio de integridade, K =F rac(A) e L/K uma extensão de corpos. Seα ∈Lé algébrico sobre K, então existe d ∈A− {0} tal que

dα ´e integral sobre A.

Demonstra¸cão: Por hipótese, α satisfaz uma equa¸cão

αm+a1αm−1+· · ·+am = 0, ai ∈K, i∈ {1, . . . , m}.

Se d_∈ A ´e um denominador comum dos ai, ent˜ao d = 0 e6 d·ai ∈ A, ∀ i∈

{1, . . . , m}. Multiplicando a igualdade acima pordm_{, obtemos}

dmαm+a1dmαm−1+. . .+dmam = 0,

ou seja,

(dα)m+a1d(dα)m−1+..+amdm = 0.

Comoa1d, . . . , amdm ∈A, ent˜ao dα ´e integral sobre A.

Corolário 1.3.9. Seja A um dom´ınio de integridade, K = Frac(A) e L/K uma extensão de corpos. Se Lé algébrico sobre K, então Frac(_OL/A) = L.

Demonstra¸cão: Seja α ∈ L. Como L/K é uma extensão algébrica, então α é

alg´ebrico sobreK. Pela proposi¸c˜ao anterior, existed_∈A_{− {}0_}tal que dα _{∈ O}L/A.

Assimα = dα

d , onde dα ∈ OL/A e d ∈ A− {0} ⊆ OL/A ⇒ L⊆ Frac(OL/A). Como

a outra inclusão é trivial, o corolário está demonstrado.

1.4 Dom´ınios de Dedekind

Defini¸c˜ao 1.4.1. SejaA um dom´ınio de integridade. Dizemos queA´e um dom´ınio de Dedekind se:

1. A ´e noetheriano;

2. A ´e integralmente fechado;

3. Todo ideal primo n˜ao nulo de A ´e maximal.

(24)

1.4. DOM´INIOS DE DEDEKIND 23

Exemplo 1.4.3. SeA é um dom´ınio de Dedekind, então não necessariamenteA[x]

o é. De fato, Z é um dom´ınio de Dedekind, enquanto que Z[x] não o é, pois o ideal

i= (x) é primo mas não é maximal, dado que Z[x]

(x) ≈Z.

Proposi¸cão 1.4.4. Seja K um corpo tal que Q⊆ K ⊆ C. Então OK/Z é um DIF

e todo ideal primo n˜ao nulo p de _OK/Z ´e maximal.

Demonstra¸c˜ao: Primeiramente, devemos mostrar que_OFrac(OK/Z)/OK/Z ⊆ OK/Z. Para

isto, sejax_{∈ O}Frac(OK/Z)/OK/Z ={x∈Frac(OK/Z) : x´e integral sobre OK/Z}. Como

x∈Frac(OK/Z)⊆ K, então x ∈K. Agora, como x é integral sobre OK/Z eOK/Z é

integral sobreZ, segue da proposi¸c˜ao 1.2.12 que x ´e integral sobre Z⇒x_{∈ O}K/Z.

Agora, mostremos que todo ideal primo n˜ao nulopdeOK/Z´e maximal. Ora,

comopé não nulo, existey_∈p_−{0_}. Comoy_{∈ O}K/Z, então existema1, . . . , an∈Z

tais que

yn+a1yn−1+· · ·+an= 0.

Como podemos tomarno menor poss´ıvel, ent˜aoan6= 0. Pelo corol´ario 1.2.14,

p_∩Zé um ideal primo deZque é não nulo, pois,an∈p∩Z. ComoZé um dom´ınio

de Dedekind, então p∩Z é um ideal maximal de Z. De novo pelo corolário 1.2.14,

pé um ideal maximal deOK/Z, e a proposi¸cão está demonstrada.

´

E interessante notar que para cada uma das trˆes condi¸c˜oes que definem um

dom´ınio de Dedekind, existe um dom´ınioA n˜ao satisfazendo tal condi¸c˜ao e

satisfa-zendo as outras duas. Veja:

• Z[x] satisfaz1 e2, mas n˜ao3. Mais geralmente, seA´e um dom´ınio noetheriano

integralmente fechado, então A[x, y] satisfaz 1 e 2, mas não 3. De fato, (y) é

um ideal primo não-nulo de A[x, y] que não é maximal, pois, A[x, y]

(y) ≈A[x].

• Se K ´e um corpo, o dom´ınio A =K[x2_{, x}3_] _⊆_K_[_x_{] do exemplo 1.3.4 satisfaz}

1 e3 (pois ´e um DIP - veja lema 1.9.1), mas n˜ao 2.

• Mais `a frente daremos um exemplo cl´assico de um dom´ınio que satisfaz 2, 3,

mas n˜ao 1.

Dois ser˜ao os principais resultados acerca dos dom´ınios de Dedekind que demonstraremos nesta se¸c˜ao. Para isso, precisamos antes de alguns lemas.

Lema 1.4.5. Seja i um ideal próprio não nulo de um dom´ınio de Dedekind A com corpo de fra¸cões K. Então existe γ ∈K −A tal que γi⊆A.

Demonstra¸c˜ao: Como i 6= (0), seja a ∈ i− {0}. Note que a 6∈ A×_{, pois} _i ₆₌ _A_.

Pela proposi¸cão 1.1.6, o ideal (a) contém um produto de ideais primos não nulos

(25)

Comoié um ideal próprio deA, o lema 1.9.2 implica a existência de um ideal

maximal (o qual ´e necessariamente primo)ptal quei_⊆p. Ent˜aop1·. . .·pr ⊆(a)⊆

i_⊆p. Como p´e ideal primo, ent˜ao existei_{∈ {}1, . . . r_}tal quepi ⊆p. Suponha sem

perda de generalidade quep1 ⊆p. Como A´e um dom´ınio de Dedekind, p=p1.

Se r = 1, ent˜ao (a) = i = p. Como p ´e um ideal primo, existe b _∈ A₋(a).

Assim, γ = b

a ∈ K−A. Com efeito, se

b

a ∈A, ent˜ao ∃ c∈A tal que

b

a =c⇒b =

ac_∈(a), absurdo. Dessa forma, γi=γ(a) = (b)_⊆A.

Suponha então r _≥ 2. Como r é m´ınimo, (a) não pode conter um produto

de ideais primos que tem menos do quer fatores. Logo existe b∈p2·. . .·pr−(a).

Procedendo como antes, γ = b

a ∈ K − A. Ademais, γi ⊆ A. De fato, bp1 ⊆

p1_·. . ._·pr ⊆(a)⇒bp1 ⊆(a)⇒

b a

p1 _⊆A_⇒γi_⊆γp=γp1 _⊆A.

Lema 1.4.6. Seja i um ideal não nulo de um dom´ınio de DedekindA. Então existe um ideal não nulo j de A tal que ij é principal e não nulo.

Demonstra¸c˜ao: Como i₆= (0), sejam α_∈ i_{− {}0_}e j =_{β _∈A:βi_⊆ (α)_}. Ent˜aoj

´e um ideal n˜ao nulo deA (poisα_∈j) tal que ij_⊆(α). Vamos mostrar que (α)_⊆ij.

Considere o conjunto h = 1

αij ⊆ A, que é também um ideal não nulo de A.

Seh=A, ent˜ao ij= (α). De fato, sex∈(α), ent˜ao ∃ y∈A tal que x=αy. Como

y _∈ A = 1

αij, ent˜ao ∃ z ∈ ij tal que y =

1

αz. Logo x = αy = α·

1

αz = z ∈ ij ⇒

(α)⊆ij.

Caso contrário, h é um ideal próprio, no qual nós podemos aplicar o lema

1.4.5. Ent˜aoγh _⊆A, para algumγ _∈K₋A, comK = Frac(A). Vamos mostrar que

γ ∈ OK/A. ComoA ´e Dedekind, A´e integralmente fechado ⇒ OK/A ⊆A⇒γ ∈A,

absurdo.

Como j _⊆ h (pois α _∈ i), ent˜ao γj _⊆ γh _⊆ A. Afirmo que γj _⊆ j. De

fato, seja j ∈ j. Precisamos mostrar que γji ⊆ (α). Para isso, seja i ∈ i. Ent˜ao

γ1

αij ∈γh ⊆ A ⇒γ 1

αij ∈ A ⇒ ∃ a ∈ A tal que γ

1

αij = a ⇒ γij =αa ∈ (α)⇒

γji∈(α)⇒γji⊆(α). Logo, γj⊆j. Pelo lema 1.2.8, γ ∈ OK/A.

O lema anterior mostra a existˆencia de um ideal principalizador para um

ideal n˜ao nulo de um dom´ınio de Dedekind. Em particular, ele implica a lei do

cancelamento de ideais n˜ao nulos em um dom´ınio de Dedekind:

Corolário 1.4.7. Se i1, i2 e i3 são ideais não nulos em um dom´ınio de Dedekind tais que i1i2 =i1i3, então i2 =i3.

Demonstra¸cão: Sabemos que existej6= (0) um ideal tal quei1jé principal e não nulo.

Sejai1j= (α)₆= (0). Ent˜ao (α)i2 =i1ji2 =ji1i2 =ji1i3 =i1ji3 = (α)i3 _⇒i2 =i3.

(26)

1.4. DOM´INIOS DE DEDEKIND 25

Demonstra¸cão: Pelo lema 1.4.6, existe um ideal não nulo h de A tal que i2h é

principal e n˜ao nulo; digamosi2h = (α), α∈A− {0}. Seja j=

1 αi1h.

Afirmo que j ´e um ideal n˜ao nulo de A. De fato, para ver que j _⊆ A, note

quei1 _⊆i2 _⇒i1h _⊆i2h= (α)_⇒i1h _⊆(α)_⇒j= 1

αi1h⊆A. Ademais,j6= (0), pois

i1, h 6= (0). Por fim, i2j=i2

1

αi1h =i1 1

αi2h =i1 1

α(α) = i1.

O coror´alario 1.4.7 funciona como uma lei do cancelamento para ideais n˜ao

nulos de um dom´ınio de Dedekind. Com ele, obtemos oteorema da fatora¸c˜ao ´unica

de ideais em dom´ınios de Dedekind. Mais precisamente,

Teorema 1.4.9. Todo ideal próprio não nulo i de um dom´ınio de Dedekind A é unicamente representável como um produto de ideais primos.

Demonstra¸cão: Existência: Seja S o conjunto de todos os ideais próprios não nulos

i deA tais que i não é representável como um produto de ideais primos. Se S ₆=_∅,

ent˜ao S admite um elemento maximal imax, pois A´e noetheriano. Pelo lema 1.9.2,

imax ⊆ p, para algum ideal primo p de A (pois todo ideal maximal ´e primo). Pelo

corol´ario 1.4.8, imax = pj, para algum ideal n˜ao nulo j de A. Logo imax ⊆ j, e a

inclusão é estrita. De fato, se imax =j, então Aimax = Apj =pj = pimax ⇒ A = p,

absurdo. Assim imax ( j. Pela maximalidade de imax, j ´e um produto de ideais

primos_⇒imax =pj´e um produto de ideais primos, contradi¸c˜ao.

Unicidade: Suponha que i=p1·. . .·pr =q1·. . .·qs s˜ao duas representa¸c˜oes

de i como um produto de ideais primos. Ent˜ao q1 _· . . ._·qs ⊆ p1. Assim existe

i ∈ {1, . . . , s} tal que qi ⊆ p1. Suponha sem perda de generalidade que q1 ⊆ p1.

ComoA é Dedekind, q1 é um ideal maximal de A. Então p1 =q1, e, pelo corolário

1.4.7,p2_·. . ._·pr =q2·. . .·qs. Continando assim, iremos obter r=s eqi =pi, para

todoi_{∈ {}1, . . . , r=s_}.

Corolário 1.4.10. Seja A um dom´ınio de Dedekind. Então A é um DIP se, e somente se, é um DFU.

Demonstra¸c˜ao: Precisamos apenas provar a rec´ıproca. Mostrarems inicialmente que

todo ideal primo n˜ao nulo de A ´e principal. Assim, seja p₆= (0) um ideal primo de

A e seja a _∈p_{− {}0_}. Como A ´e um DFU, ent˜ao a se fatora como um produto de

elementos irredut´ıveis de A, i.e., a = p1·. . .·pn. Como p ´e um ideal primo de A,

então p contém um desses elementos irredut´ıveis pi. Então (pi) ⊆ p. Agora, como

pi é um elemento irredut´ıvel de A, que é um DFU, então (pi) é um ideal primo de

A. ComoA é Dedekind, então (pi) é um ideal maximal. Como (pi)⊆p(A, então

(pi) = p.

Finalizando, como todo ideal próprio de um dom´ınio de Dedekind pode ser escrito como um produto de ideais primos, então todo ideal próprio de um dom´ınio de Dedekind pode ser escrito como um produto de ideais principais. Agora, como o produto de ideais principais é principal, o corolário está demonstrado.

(27)

Proposi¸cão 1.4.11. Sejaium ideal não nulo de um dom´ınio de DedekindA. Então existe um ideal não nulo j de A tal que ij é principal e não nulo. Se h é qualquer ideal não nulo de A, então j pode ser escolhido coprimo com h.

Demonstra¸cão: Como todo ideal é coprimo com o anel todo, o lema 1.4.6 é o caso

particular h = A. Portanto podemos supor h um ideal n˜ao nulo e pr´oprio de A.

Pelo teorema 1.4.9,h =pα1

1 ·. . .·pαnn, ondep1, . . . ,pn s˜ao ideais primos n˜ao nulos de

A epi 6=pj se i6=j.

1o

caso: n= 1.

Ent˜ao h= pα1

1 , onde α1 ∈ N∗. Afirmo que ip1 (i. De fato, se ip1 =i =iA,

ent˜ao pela lei do cancelamento p1 =A, absurdo. Logo _∃ a_∈i₋ip1. Em particular,

a 6= 0. Como (a) ⊆ i, pelo corol´ario 1.4.8 existe um ideal n˜ao nulo j de A tal que

(a) =ij. Afirmo que j´e coprimo com p1. De fato, suponha por absurdo que j_⊆p1.

Ent˜ao (a) = ij _⊆ ip1 _⇒ a _∈ ip1, absurdo. Logo j * p1. Como A ´e um dom´ınio de

Dedekind, p1 ´e maximal, e logo j´e coprimo com p1, em virtude do lema 1.9.5. Pelo

lema 1.9.4,j+pα1

1 =j+h =A.

2o

caso: n_≥2.

Sejam h0 =p1_·. . ._·pn e qi =

n Y

j=1

j6=i

pj, ∀ i∈ {1, . . . , n}. Note que h0 =qipi ⊆

qi ⇒ih0 ⊆iqi, ∀ i∈ {1, . . . , n}. Afirmo queih0 (iqi, ∀i∈ {1, . . . , n}. Com efeito,

se ih0 = iqi, para algum i ∈ {1, . . . , n}, ent˜ao, pela lei do cancelamento, h0 = qi,

absurdo pelo teorema da fatora¸c˜ao ´unica. Assim, ih0 ( iqi, ∀ i ∈ {1, . . . , n}. Para

cada i _{∈ {}1, . . . , n_}, seja ai ∈ iqi−ih0 e seja a =

n X

i=1

ai. Como ai ∈ iqi ⊆ i, ent˜ao

ai ∈i, ∀ i∈ {1, . . . , n} ⇒a∈i.

Afirmo que a 6∈ ipi, ∀ i ∈ {1, . . . , n}. De fato, suponha que a ∈ ipi0, para

algumi0 ∈ {1, . . . , n}. Escrevaa =ai0+

n X

i=1

i6=i0

ai. Sei6=i0, ent˜aoqi ⊆pi0 ⇒iqi ⊆ipi0.

Como ai ∈ iqi, ent˜ao ai ∈ ipi0. Logo

n X

i=1

i6=i₀

ai ∈ ipi0. Como estamos supondo que

a ∈ipi0, ent˜ao ai0 ∈ ipi0. Mas ai0 tamb´em pertence a iqi0. Logo ai0 ∈ ipi0 ∩iqi0 ⊆

i_∩pi0 ∩i∩qi0 = i∩pi0∩qi0

| {z }

=h0

= ih0, absurdo. Logo a _6∈ ipi, ∀ i ∈ {1, . . . , n}. Em

particular,a ₆= 0.

Como a ∈ i, então (a) ⊆ i. Pelo corolário 1.4.8, existe um ideal não nulo j

de A tal que (a) = ij. Se j _⊆ pi, para algum i ∈ {1, . . . , n}, ent˜ao de novo pelo

corol´ario 1.4.8 existe um ideal n˜ao nulo j0 de A tal que j = pij0 ⇒ (a) = ij =

ipij0 ⊆ ipi ⇒ a ∈ ipi, absurdo. Ent˜ao j * pi, ∀ i ∈ {1, . . . , n}. Pelo lema 1.9.5,

j+pi = A, ∀ i ∈ {1, . . . , n}. Pelo lema 1.9.3, j+pαii = A, ∀ i ∈ {1, . . . , n}. Pelo

lema 1.9.4,j+pα1

(28)

1.5. O ANEL DE N ´UMEROS DE UM CORPO DE N ´UMEROS 27

Corol´ario 1.4.12. Seja i um ideal n˜ao nulo de um dominio de Dedekind A, e seja

α_∈i_{− {}0_}. Ent˜ao _∃ β _∈i tal que i= (α, β).

Demonstra¸cão: Como α∈i, então (α)⊆i. Comoα 6= 0, pelo corolário 1.4.8 existe

um ideal h n˜ao nulo de A tal que (α) = ih. Como i ₆= (0), a proposi¸c˜ao 1.4.11

garante a existência de um ideal j não nulo de A tal que j é coprimo com h e ij é

principal e n˜ao nulo. Escrevaij= (β), β ∈A− {0}.

Ent˜ao (α, β) = (α) + (β) =ih+ij=i(h+j) =iA=i.

Corolário 1.4.13. Um dom´ınio de Dedekind A com um número finito de ideais primos é um DIP.

Demonstra¸c˜ao: Sejam p1, . . . ,pn todos os ideais primos n˜ao nulos de A e seja h =

p1·. . .·pn. Seja ium ideal próprio não nulo deA. Pela proposi¸cão 1.4.11, existe um

ideal jnão nulo de A tal que jé coprimo com h e ijé principal e não nulo. Escreva

ij= (a), a_∈A_{− {}0_}.

Comojé coprimo com h, então j=A. De fato, se j(A, então pelo teorema

1.4.9,j´e um produto de ideais primos n˜ao nulos deA. Logoh⊆j⇒h+j=j. Mas

como h é coprimo com j, então h+j =A _⇒ j = A, absurdo. Então i = iA = ij =

(a).

´

E interessante notar que o teorema 1.4.9 ´e, na verdade, uma caracteriza¸c˜ao dos dom´ınios de Dedekind:

Proposi¸cão 1.4.14. Seja A um dom´ınio de integridade tal que todo ideal próprio não nulo admite uma fatora¸cão única em ideais primos. Então Aé um dom´ınio de Dedekind.

A demonstra¸cão desta proposi¸cão foge um pouco do escopo desta disserta¸cão e por isso será omitida. Entretanto, uma prova dela pode ser encontrada em [2], p. 494 - 495.

1.5 O anel de n´

umeros de um corpo de n´

umeros

Defini¸cão 1.5.1. Um corpo de números é um corpo K ⊆C tal que [K :Q]<∞.

Claramente, os corpos da forma Q(√m), m ∈ Z, m livre de quadrados, s˜ao

corpos de números, denominados corpos quadráticos. Se m > 0, então Q(√m) é

chamado de corpo quadrático real. Caso m < 0, então Q(√m) é chamado de corpo

quadr´atico imagin´ario.

Outro exemplo de corpo de n´umeros ´e Q(ζm), onde ζm = e2πi/m, m ∈ N∗,

chamado dem-´esimo corpo ciclotˆomico. Registramos no teorema abaixo as

(29)

Teorema 1.5.2. Seja ϕ a fun¸cão de Euler. Se m∈N∗_{, então a extensão} _Q₍_ζ

m)/Q

´e galoisiana, [Q(ζm) :Q] =ϕ(m) e Gal(Q(ζm) :Q)∼=

Z

mZ

∗

, onde o isomorfismo

pode ser dado por:

σ:

Z

mZ

∗

→ Gal(Q(ζm) :Q)

k _7→ σk

, onde σk: Q(ζm) → Q(ζm)

ζm 7→ ζmk

.

Se m=pα1

1 · · ·pαnn é a fatora¸cão de m em fatores primos, então n \

i=1 Q(ζ_pαi

i ) = Q (se

n_≥2) e Q(ζ_pα1

1 , . . . , ζpαnn ) =Q(ζm). Al´em disso,

Gal(Q(ζm)/Q)≃Gal(Q(ζpα1

1 )/Q)× · · ·Gal(Q(ζp

αn n )/Q).

Em particular, Z mZ × ≃ Z

pα1 1 Z

×

× · · · ×

Z

pαn

n Z ×

.

Tanto os corpos quadráticos quanto os corpos ciclotômicos receberão aten¸cão especial até o final deste cap´ıtulo.

Defini¸cão 1.5.3. Seja K um corpo de números. Definimos o anel de números _OK

de K como sendo o fecho integral de Z em K, ou seja, _OK =OK/Z.

Tamb´em podemos chamarOK deanel de inteiros deK. Toda a teoria

desen-volvida at´e agora sobre dom´ınios de Dedekind ser´a agora utilizada para obtermos

importantes resultados acerca da estrutura aritm´etica dos corpos de n´umeros.

Va-mos calcular o anel de n´umeros de alguns corpos de n´umeros de modo concreto.

Proposi¸c˜ao 1.5.4. Seja m um inteiro livre de quadrados.

1. Se m≡2 ou 3 (mod 4), ent˜ao OQ(√m)=Z[

√

m].

2. Se m_≡1 (mod 4), ent˜ao _OQ(√m) =

a+b√m

2 :a, b∈Z, a≡b (mod 2)

.

Demonstra¸c˜ao: 1. A inclus˜ao Z[√m] _{⊆ O}Q(√m) segue diretamente do exemplo

1.2.10. Já sea+b√m∈ OQ(√m), com b6= 0, então o polinômio minimal de a+b

√

m

sobreQ´e o polinˆomiop(x) =x2₋₂_ax₊_a2₋_mb2_{descrito acima. Pelo teorema 1.9.7,}

2a _∈ Z e a2 ₋_mb2 _∈ _Z_{. Logo 4}_a2 _∈ _Z _{e 4}_a2₋₄_mb2 _∈ _Z _⇒ ₄_mb2 ₌ _m₍₂_b₎2 _∈ _Z_.

Comom´e livre de quadrados, ent˜ao 2b∈Z. Dessa forma existemu, v ∈Z tais que

2a =u e 2b =v. Comoa2₋_mb2 _∈_Z_{, ent˜ao 4}_a2₋₄_mb2 _≡_{0 (mod 4)}_⇒_u2₋_mv2 _≡

0 (mod 4)_⇒u2 _≡_mv2 _{(mod 4).}

Se u é ´ımpar, então u2 _≡ _{1 (mod 4)} _⇒ _mv2 _≡ _{1 (mod 4). Por hipótese,}

m≡3 (mod 4)⇒3v2 _≡_{1 (mod 4)}_⇒_v2 _≡_{3 (mod 4), absurdo. Logo} _u_{´e par. Isto}

implica quea _∈ Z e que u2 _≡ _{0 (mod 4)}_⇒ _mv2 _≡_{0 (mod 4). Se} _v _{´e ´ımpar, ent˜ao}

(30)

1.5. O ANEL DE N ´UMEROS DE UM CORPO DE N ´UMEROS 29

2. Seja a+b

√

m

2 ∈

a+b√m

2 :a, b ∈Z, a≡b (mod 2)

. Como m _≡

1(mod 4), ent˜ao m = 4n + 1, para algum n _∈ Z. Como a _≡ b (mod 2), ent˜ao

a−b= 2k, para algumk∈Z. Assim a+b

√

m

2 anula p(x) = x

2₋_ax₊_k2₊_kb₋_nb2_,

que é um polinômio mônico emZ[x]. Logo a+b

√

m

2 ∈ OQ(√m).

Para a outra inclus˜ao, sejaa+b√m _{∈ O}_Q(√m), comb 6= 0. Procedendo como

antes, existem u, v ∈ Z tais que 2a = u, 2b = v e u2 _≡ _mv2 _{(mod 4). Assim}

a+b√m= u+v

√

m

2 . É necessário então mostrar apenas que u≡v (mod 2). Mas

comom _≡1 (mod 4), ent˜aou2 _≡_v2 _{(mod 4)}_⇒_u_≡_v _{(mod 2).}

O objetivo agora é provar que o anel de números de um corpo de númerosK

´e um dom´ınio de Dedekind. Para isso precisamos dos seguintes resultados:

Lema 1.5.5. Seja m um ideal n˜ao nulo de OK. Ent˜ao m∩Z6={0}.

Demonstra¸c˜ao: Comom6={0}, sejaα ∈m−{0}satisfazendo seu polinˆomio minimal xr₊_a

r−1xr−1 +· · ·+a0 = 0, onde a0, . . . , ar−1 ∈ Z e a0 6= 0. Ent˜ao a0 =−(αr +

· · ·+a1α). O lado esquerdo desta equa¸c˜ao est´a em Z, enquanto que o lado direito

desta equa¸c˜ao est´a em m. Logo 06=a0 ∈m∩Z.

Corolário 1.5.6. Seja m um ideal não nulo de _OK. Então #

OK

m

<_∞.

Demonstra¸c˜ao: Pelo lema anterior, existe m ∈ m∩Z− {0}. Ent˜ao mOK ⊆ m.

Como #

OK

mOK

=m[K:Q]_{, segue que #}

OK

m

≤m[K:Q]_<_∞_.

Defini¸cão 1.5.7. Sejam K um corpo de números e m um ideal não nulo em _OK.

Definimos a norma do ideal m como sendo N(m) = #

OK

m

.

Lema 1.5.8. Se (0)(i(j s˜ao ideais de _OK, ent˜ao N(i)> N(j).

Demonstra¸c˜ao: Seja f : OK

i →

OK

j dada por f(x+i) =x+j. Como i (j, ent˜ao

f est´a bem definida e ´e sobrejetora.

Agora, comoi(j, existey_∈j₋i. Ent˜ao y+i₆= 0 masf(y+i) = 0_⇒f n˜ao

´e injetora. Como tanto o dom´ınio quanto o contra-dom´ınio de f s˜ao finitos, temos

o desejado.

Teorema 1.5.9. Se K é um corpo de números, então _OK é um dom´ınio de

Dede-kind.

Demonstra¸c˜ao: Basta provarmos que _OK ´e noetheriano, pois o restante segue da

proposi¸c˜ao 1.4.4. Para isto, suponha por absurdo que exista uma sequˆencia

ascen-dente de ideais de _OK

(31)

que nunca estabiliza. Pelo lema anterior,N(i1)> N(i2) > N(i3)>· · ·. Mas N(i1)

sendo finito, isto ´e imposs´ıvel. Logo _OK ´e noetheriano.

Defini¸cão 1.5.10. Dizemos que α∈C é um inteiro algébrico se α ∈ OC.

O dom´ınio OC/Z ´e o contra-exemplo que faltava na se¸c˜ao anterior:

Proposi¸cão 1.5.11. O dom´ınio OC/Z não é noetheriano, mas é integralmente

fe-chado e todo ideal primo n˜ao nulo seu ´e maximal.

Demonstra¸cão: Para ver que _OC/Z não é noetheriano, basta considerar a seguinte

cadeia ascendente de ideais que nunca estabiliza: (√2) ( (√4

2) ( (√8

2) ( · · ·. De

fato, se existen ∈N∗ _{tal que (}2√n

2) = (2n+1√

2), ent˜ao 2n+1√

2∈(2√n

2)⇒ ∃a∈ OC/Z

tal que 2n+1√

2 = 2√n

2a. Elevando tal equa¸c˜ao a 2n+1_{, obtemos 2 = 4}_a2n+1

⇒a2n+1

= 1

2. Mas como a ∈ OC/Z, ent˜ao a

2n+1

∈ OC/Z ⇒

1

2 ∈ OC/Z, absurdo. O restante do

resultado segue da proposi¸c˜ao 1.4.4.

O restante deste cap´ıtulo ser´a dedicado a estudar algumas ferramentas b´asicas

para a demonstrarmos que_OQ(ζm)=Z[ζm].

1.6 Norma, tra¸co e discriminante

Defini¸cão 1.6.1. Seja L/K uma extensão de corpos de números de grau n. Sejam

σ1, . . . , σn os n mergulhos de L em C que fixam K ponto a ponto. Se α ∈ L,

definimos o tra¸co e a norma de α por

TL/K(α) = n X

i=1

σi(α) NL/K(α) = n Y

i=1

σi(α),

respectivamente.

O tra¸co e a norma tˆem as seguintes propriedades:

Proposi¸cão 1.6.2. Se L/K uma extensão de corpos de números de grau n, então

1. TL/K(α+β) =TL/K(α) +TL/K(β), ∀ α, β ∈L;

2. NL/K(αβ) =NL/K(α)NL/K(β), ∀ α, β ∈L;

3. TL/K(δ) = nδ, ∀ δ ∈K;

4. NL/K(δ) = δn, ∀ δ∈K;

5. TL/K(δα) =δTL/K(α), ∀ δ ∈K, ∀ α ∈L; e,

(32)

1.6. NORMA, TRAC¸ O E DISCRIMINANTE 31

Tais propriedades decorrem diretamente da defini¸cão e são de fácil verifica¸cão. Entretanto, há ainda uma outra fórmula que também permite o cálculo do tra¸co e

da norma de um elementoα _∈L que ser´a ´util mais tarde. Para isto, precisamos da

seguinte defini¸c˜ao:

Defini¸cão 1.6.3. Sejam α um inteiro algébrico e K um corpo de números. De-finimos os conjugados de α sobre K como sendo as ra´ızes do polinômio minimal de α sobre K. Definimos também o grau de α sobre K como sendo o grau de seu polinômio minimal sobreK.

Teorema 1.6.4. SejaL/K uma extensão do corpos de números de graun e suponha que α _∈ L tenha grau d sobre K. Denote por t(α) e n(α) a soma e o produto, respectivamente, dos d conjugados de α sobre K. Então

TL/K(α) =

n

d t(α) e NL/K(α) = n(α)

n/d_.

Demonstra¸c˜ao: Note inicialmente que n

d ∈ Z, pois

n

d = [L : K(α)]. Al´em disso,

t(α) = TK(α)/K(α) e n(α) = NK(α)/K(α). Agora, como cada mergulho de K(α) em

C se extende de n

d = [L : K(α)] maneiras a um mergulho de L em C, segue que

TL/K(α) =

n

d t(α) e NL/K(α) = n(α)

n/d_.

Corol´ario 1.6.5. Com as nota¸c˜oes do teorema anterior, TL/K(α), NL/K(α) ∈ K.

Se α∈ OL, ent˜ao TL/K(α), NL/K(α)∈ OK.

Demonstra¸cão: Para a primieira afirma¸cão, é suficiente mostrar que t(α), n(α)_∈K.

Para isto, seja pα|K(x) = xd+a1xd−1 +· · ·+ad ∈ K[x] o polinˆomio minimal de α

sobre K. Como t(α) = −a1 e±n(α) = ad, temos provado a primeira afirma¸c˜ao.

Já a segunda afirma¸cão é simples: como α ∈ OL, então todos os seus d

conjugados tamb´em pertencem a _OL. Isto implica t(α), n(α) ∈ OL∩K = OK.

Como n

d ∈Z, segue que TL/K(α), NL/K(α)∈ OK.

Se temos uma torre de corpos de n´umerosM/L/Ko tra¸co e a norma

relacionam-se da relacionam-seguinte forma:

Teorema 1.6.6. Se M/L/K é uma torre de corpos de números, então

1. TL/K(TM/L(α)) =TM/K(α), ∀ α∈M;

2. NL/K(NM/L(α)) = NM/K(α), ∀ α ∈M.

Demonstra¸c˜ao: Sejam inicialmente σ1, . . . , σn os n = [L : K] mergulhos de L em

C que fixam K ponto a ponto e sejam τ1, . . . , τm os m = [M : L] mergulhos de

M em C que fixam L ponto a ponto. O que faremos ser´a compor os σi com os τj,

mas n´os n˜ao podemos fazer isto de in´ıcio, pois precisamos primeiro estender cada

um destes mergulhos a automorfismos de algum corpo. Para isto, seja N _⊆C uma

(33)

agora ser estendidos a automorfismos deN. Fixe uma extens˜ao para cada um destes

mergulhos e denote-as também por σi e τj (não há risco de confusão). Agora, como

podemos compor tais automorfismos, obtemos

TL/K TM/L(α) = n X i=1 σi m X j=1

τj(α) !

= X

1≤i≤n

1≤j≤m

σi(τj(α))

NL/K NM/L(α) = n Y i=1 σi m Y j=1

τj(α) !

= Y

1≤i≤n

1≤j≤m

σi(τj(α)).

Assim, precisamos mostrar que os mn mergulhos σi◦τj, quando restritos a

M, nos d˜ao todos os mn = [M :L]_·[L :K] = [M : K] mergulhos de M em C que

fixamK ponto a ponto. Como todos os mergulhosσi◦τj claramente fixamK ponto

a ponto, ´e suficiente mostrar que eles s˜ao dois a dois distintos quando restritos aM.

Com efeito, suponha que (σi◦τj)|M = (σi′ ◦τ_j′)|_M. Ent˜ao

(σi◦τj)|L = (σi′ ◦τ_j′)|_L

⇒σi◦(τj|L) = σi′ ◦(τ_j′|_L)

⇒σi ◦(id|L) = σi′ ◦(id|_L)

⇒(σi◦id|N)|L = (σi′ ◦id|_N)|_L

⇒σi|L = σi′|_L

⇒σi = σi′

⇒(σi◦τj)|M = (σi ◦τj′)|_M

⇒σi◦(τj|M) = σi◦(τj′|_M)

⇒τj|M = τj′|_M

⇒τj = τj′

⇒σi◦τj = σi′ ◦τ_j′,

como desej´avamos.

Defini¸cão 1.6.7. Seja L/K uma extensão de corpos de números de grau n sejam

σ1, . . . , σn osn mergulhos deLem Cque fixamK ponto a ponto. Seα1, . . . , αn∈L,

definimos o discriminante da n-upla (α1, . . . , αn)∈Ln por

discL/K(α1, . . . , αn) = |σi(αj)|2.

Denotamos aqui por [aij] a matriz tendo o elementoaij nai-´esima linha e na

j-´esima coluna, e por_|aij|o seu determinante. Note que o quadrado na defini¸c˜ao do

discriminante faz com que o mesmo independa da ordem dosσi e dos αj.

O seguinte teorema é uma fórmula muito útil para o discriminante de uma

n-upla:

Teorema 1.6.8. Seja L/K uma extens˜ao de corpos de n´umeros. Se (α1, . . . , αn)∈

Ln_{, ent˜ao} _disc

(34)

Demonstra¸c˜ao: Como det(A) = det(AT_{), ent˜ao}_|_σ

i(αj)|=|σj(αi)|. Assim,

|TL/K(αiαj)| = |σ1(αiαj) +· · ·+σn(αiαj)|=|σj(αi)||σi(αj)|=

= |σi(αj)| · |σi(αj)|=|σi(αj)|2 = discL/K(α1, . . . , αn).

Segue diretamente do corolário 1.6.5 que se L/K é uma extensão de corpos

de números e (α1, . . . , αn)∈ Ln, então discL/K(α1, . . . , αn)∈ K. Além disso, se os

αi são todos inteiros algébricos, então discL/K(α1, . . . , αn)∈ OK.

O discriminante de uma n-upla de um corpo de n´umeros ainda satisfaz a

seguinte propriedade:

Teorema 1.6.9. Seja L/K uma extens˜ao de corpos de n´umeros. Se (α1, . . . , αn)∈

Ln_{, ent˜ao} _disc(_α

1, . . . , αn) = 0⇔α1, . . . , αn s˜ao linearmente dependentes sobre K.

Demonstra¸c˜ao: (_⇐) Suponha que α1, . . . , αn s˜ao linearmente dependentes sobreK.

Ent˜ao existema1, . . . , an ∈K n˜ao todos nulos tais que a1α1+· · ·+anαn= 0. Logo

as colunas da matriz

[σi(αj)] =

 

σ1(α1) · · · σ1(αn)

· · · ·

σn(α1) · · · σn(αn)  

s˜ao linearmente dependentes. Assim, seu determinante ´e zero.

Portanto discL/K(α1, . . . , αn) =|σi(αj)|2 = 0.

(_⇒) Suponha agora que disc(α1, . . . , αn) = 0. Ent˜ao as colunasR1, . . . , Rnda matriz

[TL/K(αiαj)] =



 TL/K_{· · ·}(α1α1) · · ·_{· · ·} TL/K_{· · ·}(α1αn)

TL/K(αnα1) · · · TL/K(αnαn)  

s˜ao linearmente dependentes sobreK. Logo existema1, . . . , an∈K n˜ao todos nulos

tais que a1R1+· · ·+anRn =−→0 , ou seja,

  _{· · ·}0

0  =



 a1TL/K(α1α1) +· · ·_{· · ·}+anTL/K(α1αn)

a1TL/K(αnα1) +· · ·+anTL/K(αnαn)  .

Seja α = a1α1 +· · ·+anαn. Se supormos por absurdo que α1, . . . , αn s˜ao

linearmente independentes sobre K, ent˜ao α ₆= 0. Al´em disso, se j _{∈ {}1, . . . , n_},

ent˜ao

TL/K(ααj) =TL/K(a1α1αj+· · ·+anαnαj) =a1TL/K(α1αj)+· · ·+anTL/K(αnαj) = 0.

Como estamos supondo queα1, . . . , αn s˜ao linearmente independentes sobre

(35)

também é base de L sobre K. Mas isto implica que TL/K(β) = 0, ∀ β ∈ L, já que

β ser´a uma combina¸c˜ao linear dos ααj. Em particular, TL/K(1) = 0, absurdo.

Assim, o teorema 1.6.9 nos diz que o discriminante de uma base de uma

extensão de corpos de números L/K é não nulo. Vamos registrar abaixo o caso no

qual a base consiste de potˆencias de um ´unico elemento. Para isto, precisamos antes

de um pequeno lema:

Lema 1.6.10. Seja f(x) um polinômio mônico e irredut´ıvel sobre um corpo de números K e seja α _∈ C uma de suas ra´ızes. Então f′₍_α_{) =} Y

β6=α

(α₋β), onde o

produto ´e calculado sobre todas as ra´ızes β 6=α de f(x).

Demonstra¸cão: Como f(x) é irredut´ıvel, entãof(x) não tem ra´ızes repetidas. Pelo

Teorema Fundamental da ´Algebra, f(x) = (x −α)Y

β6=α

(x − β), onde o produto

´e calculado sobre todas as ra´ızes β ₆= α de f(x). Se g(x) = Y

β6=α

(x₋ β), ent˜ao

f(x) = (x₋α)g(x). Diferenciando, obtemos f′₍_x_{) =} _g₍_x_{) + (}_x₋_α₎_g′₍_x₎_. _Assim,

f′₍_α_{) =} _g₍_α_{) =} Y

β6=α

(α₋β).

Teorema 1.6.11. Sejam K um corpo de n´umeros eα um inteiro alg´ebrico de grau

n sobre L=K[α]. Se α1, . . . , αn denotam os n conjugados de α sobre K, ent˜ao

discL/K(1, α, . . . , αn−1) = Y

1≤r<s≤n

(αr−αs)2 =±NL/K(f′(α)),

onde f(x) ´e o polinˆomio minimal de α sobre K. O sinal de + vale se, e somente se,n ≡0 ou 1 (mod 4).

Demonstra¸c˜ao: Sejam σ1, . . . , σn os n mergulhos de L em C que fixam K ponto a

ponto e suponha sem perda de generalidade que σi(α) =αi, ∀ i∈ {1, . . . , n}.

´

E conhecido o fato de que se M ´e uma matriz de Vandermonde sobre um

anel comutativo A (isto é, [ai,j] = [aji−1]), então seu determinante é dado por

|ai,j|= Y

1≤r<s≤n

(as−ar).

Assim,

discL/K(1, α, . . . , αn−1) = |σi(αj−1)|2 =|σi(α)j−1|2 =|αji−1|2 =

= Y

1≤r<s≤n

(αs−αr)

!2

= Y

1≤r<s≤n

(αr−αs)2.

Vamos agora mostrar a segunda igualdade. Sabemos que Y

1≤r<s≤n

(αr−αs)2 =±

Y

r6=s

(36)

onde o segundo produto ´e calculado sobre todos os n(n −1) pares ordenados de

´ındices distintos. Como temos n(n−1)

2 trocas de sinal, o sinal de + vale se, e

somente se, n(n−1)

2 ´e par. Mas isto acontece se, e somente se,n ≡0 ou 1 (mod 4).

Dessa forma, precisamos apenas mostrar que Y

r6=s

(αr−αs) = NL/K(f′(α)).

Comof(x)∈K[x], ent˜ao

NL/K(f′(α)) = n Y

r=1

σr(f′(α)) = n Y

r=1

f′(σr(α)) = n Y

r=1

f′(αr).

Pelo lema anterior, f′₍_α

r) = Y

s6=r

(αr −αs) ⇒ NL/K(f′(α)) =

n Y

r=1

f′(α) =

n Y

r=1

Y

s6=r

(αr−αs) =

Y

r6=s

(αr−αs).

Corolário 1.6.12. Sepé um número primo ´ımpar, entãodiscQ(ζp)/Q(1, ζp, . . . , ζ

p−2

p ) =

±pp−2_.

Demonstra¸c˜ao: Seja L=Q(ζp). Pelo teorema anterior, precisamos apenas mostrar

queNL/K(f′(ζp)) =pp−2, ondef(x) = 1 +x+x2+· · ·+xp−1 ´e o polinˆomio minimal

deζp sobre Q.

Escrevendo xp₋_{1 = (}_x₋₁₎_f₍_x_{) e diferenciando, obtemos}

pxp−1 =f(x) + (x−1)f′(x).

Calculando em x =ζp, obtemos pζpp−1 =f(ζp) + (ζp −1)f′(ζp). Como f(ζp) = 0 e

ζp−1

p =

1 ζp

, ent˜ao f′₍_ζ

p) =

p ζp(ζp−1)

. Tomando a norma,

NL/Q(f′(ζp)) =

NL/Q(p)

NL/Q(ζp)NL/Q(ζp−1)

.

Como NL/Q(p) = pp−1 e NL/Q(ζp) =

p−1

Y

i=1

ζ_pi = ζ

p(p−1) 2

p = (ζ_pp)

p−1

2 = 1,

pre-cisamos apenas mostrar que NL/Q(ζp − 1) = p. Com efeito, NL/Q(ζp − 1) =

NL/Q(−1)NL/Q(1− ζp) = (−1)p−1NL/Q(1−ζp) = NL/Q(1−ζp) =

p−1

Y

i=1

(1₋ ζ_pi) =

f(1) =p.

A partir de agora, seα´e um inteiro alg´ebrico de graunsobreQ, escreveremos

disc(α) = discQ(α)/Q(1, α, . . . , αn−1). Lembre que, neste caso, disc(α) ∈ Z. Al´em

(37)

Corolário 1.6.13. Seja α∈Cum inteiro algébrico. Se β é um de seus conjugados, então disc(α) = disc(β).

Demonstra¸cão: Comoβ é um dos conjugados de α, então tanto α quanto β têm os

mesmo conjugados α1, . . . , αn. Assim, pelo teorema 1.6.11,

disc(α) = Y

1≤r<s≤n

(αr−αs)2 = disc(β).

Para finalizar esta se¸cão, demonstraremos a seguinte proposi¸cão, que será útil

mais `a frente:

Proposi¸c˜ao 1.6.14. Se m_∈N− {0_}, ent˜ao disc(ζm) divide mϕ(m).

Demonstra¸c˜ao: Seja L = Q(ζm) e seja f(x) o polinˆomio minimal de ζm sobre Q.

Ent˜ao existeg(x)_∈Z[x] tal que xm₋_{1 =} _f₍_x₎_g₍_x_{). Diferenciando e calculando em}

ζm, obtemos mζmm−1 =f′(ζm)g(ζm)⇒ m =ζmf′(ζm)g(ζm). Tomando normas, pelo

teorema 1.6.11 obtemos

NL/Q(m) = NL/Q(f′(ζm))NL/Q(ζmg(ζm))

= ±discL/Q(1, ζm, . . . , ζmϕ(m)−1)NL/Q(ζmg(ζm))

= ±disc(ζm)NL/Q(ζmg(ζm)).

ComoNL/Q(m) =mϕ(m), temos a equa¸c˜aomϕ(m) =±disc(ζm)NL/Q(ζmg(ζm)).

Como disc(ζm) ∈ Z, ent˜ao NL/Q(ζmg(ζm)) ∈ Q. Mas como ζmg(ζm) ∈ OL, ent˜ao

NL/Q(ζmg(ζm))∈ OL∩Q=OQ =Z. Logo temos o desejado.

1.7 Bases integrais

Defini¸c˜ao 1.7.1. Dizemos que um grupo G ´e abeliano livre de posto n se existe

n_∈N∗ _{tal que} _G_≃_Zn_.

Claramente, se H ´e um subgrupo de um grupo abeliano livre de posto n,

entãoH também é um grupo abeliano livre com posto no máximon. Note também

que o posto de um grupo abeliano livre est´a bem definido, pois os grupos Zn _s˜ao

dois a dois n˜ao isomorfos.

Nesta se¸c˜ao, usaremos o discriminante para mostrar que seK ´e um corpo de

números sobre Q, então seu anel de inteiros OK é um grupo abeliano livre de posto

[K :Q]. Come¸camos com um simples lema: