Definição de sequência. Termos de uma sequência. 1. Quantos aviões seriam necessários para formar a Figura 5?

Texto

(1)7.º Ano Unidade 3 – Sequências e sucessões Regularidades Nos padrões geométricos ou numéricos observa-se uma regularidade, que verifica uma dada propriedade ou regra.. na n. Fe r. Exemplo – À descoberta A Helena e o João estavam a observar o céu. Vários aviões apareciam formando um padrão.. de. Definição de sequência. Termos de uma sequência. s. Exemplo. ar lo s. 1. Quantos aviões seriam necessários para formar a Figura 5?. .C. 2. Algum dos dois amigos terá dado a resposta correta?. of. 1, 3, 6, 10, 15, 21 É uma sequência numérica ou uma sequência de números.. Pr. Sequência numérica Uma sequência numérica ou uma sequência de números é uma lista de números, eventualmente relacionados entre si, escritos por uma certa ordem. Cada número da lista é chamado um termo da sequência A ordem de um termo é a posição que esse termo ocupa na sequência e é sempre um número natural. Na sequência anterior, tem-se. Matemática 7_3-Sequências e Sucessões. 1-7.

(2) Diz-se, por exemplo, que o 3º termo é 6 ou que 6 é o termo de ordem 3.. Determinar a diferença entre dois termos consecutivos. Por exemplo, na sequência infinita 16, 18, 20, 22, 24 A diferença entre qualquer termo e o anterior é sempre igual a 2. Então, basta adicionar 2 a qualquer termo para obter o termo seguinte:. na nd. •. es. Como descobrir uma lei de formação de uma sequência a partir de uns quantos termos dados Deves começar por procurar padrões, isto é, procurar relações e repetições, descobrir regularidades. Há algumas estratégias que podes usar para descobrir uma relação entre os termos de uma sequência numérica.. Determinar o quociente entre cada termo e o anterior.. ar lo. s. •. Fe r. Uma lei de formação desta sequência é: “O primeiro termo é 16 e cada termo depois do primeiro resulta da soma do anterior com 2.”. of. .C. O quociente entre cada termo e o anterior é sempre igual a 2. Então, basta multiplicar qualquer termo por 2, para obter o termo seguinte:. Pr. Uma lei de formação desta sequência é: “O primeiro termo é 5 e cada termo depois do primeiro é igual ao anterior multiplicado por 2”. •. Por vezes, nem a diferença, nem o quociente entre um termo e o anterior são constantes. Nestes casos, é preciso estar muito atento e tentar descobrir outro tipo de regularidade, que nos permite enunciar uma lei de formação. Por exemplo, a sequência 1, 4, 9, 16, 25 Uma lei de formação desta sequência é:. Matemática 7_3-Sequências e Sucessões. 2-7.

(3) “Cada termo é o quadrado da sua ordem” Descoberto o padrão, podes enunciar uma lei de formação indicando o termo inicial, ou termos iniciais, definindo uma regra para calcular os termos seguintes.. es. Diz-se neste caso, que a sequência é definida por recorrência.. Sucessões. • •. 2,3,4,5 → é uma sequência 2,3,4,5,…→ é uma sucessão. Fe r. Exemplo. na nd. Definição Sequências de números são listas ordenadas e finitas de números, que obedecem a uma determinada lei de formação. Se o número de elementos da lista for infinito, dáse-lhe o nome de sucessão.. ar lo. s. Exemplo Considera a sequência do número de pontos representados nos cartões da figura.. Na figura acima estão representados apenas os quatros primeiros cartões, mas existem 7, isto é, a sequência tem 7 elementos. Contando o número de pontos de cada cartão, obtemos a seguinte tabela. 1 3. .C. Ordem do termo Termo. 2 6. 3 9. 4 12. 5 15. 6 18. 7 21. Pr. of. A correspondência entre a ordem de cada cartão e o número de pontos desse cartão é uma função de domínio {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Os objetos desta função são as ordens dos termos da sequência, enquanto as respetivas imagens são os termos da sequência. Se alargarmos o domínio desta função ao conjunto dos números naturais, obtemos uma outra função que se designa por sucessão, que associa um termo a cada número natural. Para representar uma sucessão numa tabela é habitual utilizar reticências para explicitar que estamos a considerar infinitos termos. Por exemplo: Ordem do termo Termo. 1 3. 2 6. 3 9. 4 12. 5 15. 6 18. 7 21. … …. Em geral: Matemática 7_3-Sequências e Sucessões. 3-7.

(4) es. Designa-se por sequência de N elementos uma função numérica de domínio {1,2,…, N}. Aos objetos 1, 2, …, N chamam-se ordem dos termos da sequência e às respetivas imagens chamam-se termos da sequência. Designa-se por sucessão uma função numérica de domínio IN. Aos objetos chamamse ordem dos termos da sucessão e às respetivas imagens chamam-se termos da sucessão. Habitualmente, designa-se por “u” uma sucessão e designa-se por “un” a imagem do número natural n por u.. na nd. No exemplo 2, temos: u1 = 3, u2 = 6, …, u7 = 21, … Como uma sucessão ou uma sequência são casos particulares de funções em que os domínios são conjuntos de números naturais, podemos representá-las graficamente. Termo geral de uma sucessão. Representação. Fe r. As regularidades estão presentes na construção de padrões geométricos e de sequências numéricas. Em qualquer uma das situações há uma ordem pela qual os elementos geométricos ou os números são dispostos. Cada elemento segue o anterior de acordo com uma determinada regra.. of. .C. ar lo. s. Exemplo 1 Utilizando vários fósforos foram construídas algumas figuras, as cinco primeiras das quais representadas a seguir.. Pr. Pode associar-se a cada figura o número de fósforos utilizados na sua construção. Assim, tem-se:. Surge, desta forma, uma sucessão: Matemática 7_3-Sequências e Sucessões. 4-7.

(5) 1, 3, 5, 7, 9, …. es. Dá-se o nome termos da sucessão aos elementos que a constituem. Por exemplo, na sequência apresentada tem-se que: - o 1º termo (ou o termo de ordem 1) é 1; - o 2º termo (ou o termo de ordem 2) é 3; - o 3º termo (ou o termo de ordem 3) é 5; Repara que depois do 1º termo da sequência qualquer outro termo é igual ao anterior somado com 2.. na nd. Reconhecida esta regularidade, facilmente se identifica os seguintes termos:  O 6º termo é 11 (9 + 2)  O 7º termo é 13 (11 + 2) E assim sucessivamente.. No entanto, para conhecer, por exemplo, o 25º termo da sucessão, não é prático ter de recorrer aos termos anteriores. Vamos estabelecer uma relação entre cada termo e o número de ordem desse termo.. ar lo. s. Fe r. Escrevendo alguns termos da sequência identifica-se um padrão, uma lei de formação dos seus termos.. Assim, para a figura de ordem n, o número de fósforos necessários é dado pela expressão 2 × n -1.. .C. Convenção: Nas expressões que envolvem letras, pode haver uma simplificação da escrita retirando o sinal × (multiplicação) ou substituindo-o por um ponto, como se exemplifica: - em vez de 2 × a + b, escreve-se 2a + b; - em vez de x × y -3, escreve-se x . y -3 ou xy – 3.. Pr. of. Simplificando, diz-se que para a figura de ordem n o número de fósforos necessários é dado pela expressão 2n – 1.. Para determinar o 25º termo (ou termo de ordem 25), basta substituir n por 25 e obtémse: 2 × 25 – 1 = 49 O 25º termo é 49.. Matemática 7_3-Sequências e Sucessões. 5-7.

(6) Como determinar qualquer termo de uma sucessão Exemplo 2 Considera os seis primeiros números escritos pelo Vasco: 4, 7, 10, 13, 16, 19, … O primeiro termo da sequência é 4 ou o termo de ordem um é 4. O quinto termo da sequência é 16 ou o termo de ordem cinco é 16.. es. • •. na nd. Lei de formação: “ O primeiro termo é 4 e cada termo depois do primeiro, resulta da soma do anterior com 3”. Qual será o número que está na posição 100? Ou seja, qual é o termo de ordem 100? Para responderes a esta pergunta, podes ir adicionando 3 sucessivamente, até determinares o termo de ordem 100. Mas, demora o seu tempo.. Fe r. Será que existe um processo mais rápido?. Sim, existe um processo mais rápido. Mas primeiro tens de descobrir a relação que existe entre cada termo e a sua posição na sucessão, isto é, entre cada termo e a sua ordem.. 1 4. 2 7. 3 10. ar lo. Ordem do termo Termo. s. Para descobrires esta relação torna-se útil construíres uma tabela como a seguinte: 4 13. 5 16. 6 19. …. 100. …. n. .C. Observa: • O 1º termo, ou seja, o termo de ordem 1 é: 4 = 3 × 1 +1 • O 2º termo, ou seja, o termo de ordem 2 é: 7 = 3 × 2 +1 • O 3º termo, ou seja, o termo de ordem 3 é: 10 = 3 × 3 +1 • O 4º termo, ou seja, o termo de ordem 4 é: 13 = 3 × 4 +1. of. O termo de ordem 100 é: 3 × 100 + 1 = 301. Pr. Na sequência 4, 7, 10, 13, 16, 19, …, cada termo é igual ao triplo da posição que ocupa na sucessão mais 1, ou seja, é igual ao triplo da sua ordem mais 1. De um modo geral, neste caso: O termo de ordem n pode ser representado pela expressão 3 × n + 1, ou seja, 3n + 1. 3n + 1 é a expressão que permite obter (é geradora de) todos os termos da sucessão, quando se substitui n sucessivamente por 1, 2, 3, 4, 5, 6, … 3n + 1 diz-se o termo geral desta sucessão ou o termo de ordem n, em que n representa um número natural qualquer (n ∈ IN).. Matemática 7_3-Sequências e Sucessões. 6-7.

(7) O termo geral de uma sucessão é muito útil porque permite determinar qualquer um dos seus termos, desde que se conheça a ordem. Exemplo 3 Considera a sucessão de termo geral un = 3n + 1 e determina o termo de ordem 2315?. es. Resolução Para determinar o termo de ordem 2315 basta substituir n por 2315 na expressão 3n + 1 e fazer os cálculos: u2315 = 3 × 2315 + 1 = 6946. na nd. Logo, o termo de ordem 2315 é 6946. Termo geral de uma sucessão. O termo geral de uma sucessão é uma expressão algébrica onde, normalmente, aparece a letra n e que permite obter os termos da sucessão (gera a sucessão) quando se substitui n por 1, 2, 3, 4, … ou seja, o 1º termo obtém-se substituindo n por 1, o 2º substituindo n por 2 e assim sucessivamente.. Fe r. Conhecido o termo geral de uma sucessão, pode determinar-se qualquer termo, desde que se conheça a sua ordem. É o termo de ordem n (n-ésimo termo), que representamos habitualmente por un.. Pr. of. .C. ar lo. s. Observação Uma expressão algébrica é uma expressão onde aparecem constantes e variáveis. Por exemplo n + 1, n é a variável e 1 é a constante.. Matemática 7_3-Sequências e Sucessões. 7-7.

(8)