Aplicações de Derivadas

8º

Aula

Aplicações de Derivadas

Objetivos de aprendizagem

Ao término desta aula, vocês serão capazes de:

• verificar os trechos onde uma função é crescente ou decrescente;

• descrever problemas de variação de taxas no tempo;

• aplicar conhecimentos de diferenciação em otimização de problemas;

• resolver problemas diversos envolvendo funções pelo uso de derivadas.

Conforme visto nas aulas anteriores, as derivadas podem ser utilizadas para descrever várias características de funções, inclusive para determinar seus pontos de máximo e mínimo. Nesse sentido, sua aplicação estende- se a qualquer problema envolvendo funções, onde o emprego da derivada pode servir para otimizar processos de engenharia, facilitar na decisão de problemas financeiros, verificar comportamentos matemáticos de uma forma geral, seja na física, biologia, ou qualquer campo de estudo onde faz- se presente a utilização de funções.

Bons estudos!

Cálculo Diferencial e Integral I 48

Seções de estudo

1. Teste Crescente/Decrescente 2. Taxas de Variação

3. Problemas de Otimização 4. Exemplos de aplicação

1 - Teste Crescente/Decrescente

Muitas aplicações do cálculo dependem de nossa habilidade para deduzir fatos sobre uma função f a partir de informações relativas a suas derivadas. Como f ’ (x) representa a inclinação da curva y = f (x) no ponto (x, f (x)), ela nos informa para qual direção a curva segue em cada ponto.

Assim, é razoável esperar que informações sobre f ’ (x) nos forneçam informações sobre f (x) (STEWART, 2014).

Para ver como a derivada de f pode nos dizer onde uma função é crescente ou decrescente, observe a Figura a seguir.

Entre A e B e entre C e D, as retas tangentes têm inclinação positiva e, portanto, f ’ (x) > 0. Entre B e C, as retas tangentes têm inclinação negativa e, portanto, f ’ (x) < 0. Assim, parece que f cresce quando f ’ (x) é positiva e decresce quando f ’ (x) é negativa.

(STEWART, 2014).

Teste Crescente/Decrescente

(a) Se f ’ (x) > 0 em um intervalo, então, f é crescente nele.

(b) Se f ’ (x) < 0 em um intervalo, então, f é decrescente nele.

Exemplo

Encontre onde a função f (x) = 3x⁴ – 4x³ – 12x² + 5 é crescente e onde ela é decrescente.

Solução

f ’ (x) = 12x³ – 12x² - 24x = 12x (x – 2) (x + 1)

Para usarmos o Teste C/D, devemos saber onde f ’ (x) >

0 e onde f ’ (x) < 0. Isso depende dos sinais dos três fatores de f ’ (x), isto é, 12x, x – 2 e x + 1. Dividimos a reta real em intervalos cujas extremidades são os números críticos -1, 0 e 2 e dispomos o que fizemos em uma tabela. Um sinal de mais indica que a expressão dada é positiva, e um sinal de menos indica que é negativa. A última coluna da tabela mostra a conclusão baseada no teste C/D. Por exemplo, f ’ (x) <

0 para 0 < x < 2, de modo que f é decrescente em (0, 2).

Também seria verdade dizer que f é decrescente no intervalo

fechado [0, 2].

O gráfico de f mostrado na Figura confirma a informação dada na tabela.

Na aula anterior vimos que se f tem um máximo ou mínimo local em c, então c deve ser um número crítico de f (pelo Teorema de Fermat), mas nem todo número crítico dá origem a um máximo ou mínimo. Consequentemente, necessitamos de um teste que nos diga se f tem ou não um máximo ou mínimo local em um número crítico.

Você pode ver a partir da Figura a seguir que f (0) = 5 é um valor máximo local de f, pois f cresce em (-1, 0) e decresce em (0, 2). Ou, em termos de derivadas, f ’ (x) para -1 < x < 0 e f ’ (x) < 0 para 0 < x < 2. Em outras palavras, o sinal de f ’ (x) muda de positivo para negativo.

27D[DVGH9DULD©¥R

O ser humano está sempre na busca de descrever o comportamento dos fenômenos físicos que o cercam. Em geral, começam descrevendo problemas mais simplificados, ou seja, desprezando algumas variáveis menos relevantes. Em seguida, gradativamente, são acrescidas novas variáveis até chegar o mais próximo possível da realidade. Nesse contexto, temos as Taxas relacionadas, que são as relações estabelecidas entre as várias Taxas de variação de um determinado fenômeno físico.

Na matemática, taxa de variação é a variação de uma determinada grandeza em função de outra variável. Por exemplo, a velocidade é a taxa de variação da distância em função do tempo.

Entretanto, temos mais que um tipo de taxas de variação, por exemplo:

- taxa de variação média que é a variação média entre os valores iniciais e finais;

- taxa de variação instantânea que é a variação de uma grandeza em um determinado momento do fenômeno.

Nosso interesse está nas taxas de variação instantânea, que são expressas por meio das derivadas.

Exemplo de Aplicação

1) Um comedouro de ração em um aviário no

274

formato de um cone invertido com o raio do topo medindo 40 cm e de altura 60 cm reduz sua quantidade da ração a uma taxa constante de 120 cm³/h. Qual é a taxa de variação da altura da ração quando ela está com 25 cm?

Solução:

Primeiramente deve-se relacionar o raio com a altura, usando semelhanças de triângulos:

Substituindo na equação do volume tem-se:

Derivando em relação ao tempo fica-se com:

Derivando em relação ao tempo fica-se com:

Onde manipulando a expressão chega-se a solução desejada:

Exemplo 2:

Um avião está subindo a um ângulo de 30° com a horizontal. Com que rapidez o avião estará ganhando altura se sua velocidade for de 900 quilômetros por hora?

Fonte:image/png;base64.

Através das relações trigonométricas podemos

relacionar a distância percorrida pelo avião e a altura que do solo que ele se encontra:

Onde sen(30) = ½ , logo tem-se:

Lembre-se da aula anterior que ao derivar a função posição encontramos a função velocidade, que representa a taxa de variação do espaço.

Assim, derivando a equação dada em ambos os lados em função do tempo t obteremos:

Substituindo os dados pelo problema tem-se:

Deste modo chegamos a resposta do problema apresentado, o avião ganha altura a uma rapidez de 450 km/h.

3 - Problemas de Otimização

Nas aplicações, uma quantidade física ou geométrica costuma ser descrita por meio de alguma fórmula Q = f (x), na qual f é uma função. Assim, Q pode ser a temperatura de uma substância no instante x, a corrente em um circuito elétrico quando a resistência é x, ou o volume de gás em um balão esférico de raio x. Naturalmente, usamos também outros símbolos para variáveis tais como T para temperatura, t para tempo, I para corrente, R para resistência, V para volume e r para raio. Se Q = f (x) e f é diferenciável, então a derivada D Q = f ’ (x) pode ser útil na pesquisa de máximos e mínimos de Q. Em aplicações, esses valores extremos são às vezes chamados de valores ótimos, porque são, em certo sentido, os melhores ou mais favoráveis valores da quantidade Q. A tarefa de determinas esses valores constitui um problema de otimização (SWOKOWSKI, 1995).

Se um problema de otimização é enunciado em palavras, então é necessário converter o enunciado em uma fórmula adequada como Q = f (x), a fim de acharmos os números críticos. Na maioria dos casos existe apenas um número crítico c. Se, além disso, f é contínua em um intervalo fechado [a,b]

contendo c, então, pelas Diretrizes (4,9), os extremos de f são o maior e o menor dos valores f (a), f (b) e f (c). Por isso é, em geral, desnecessário aplicar o teste da derivada. Entretanto, se for fácil calcular f ’’ (x), aplicamos o teste da derivada segunda para verificar um extremo.

Exemplo

De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando as bordas

Cálculo Diferencial e Integral I 50

perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima?

Fonte: <https://slideplayer.com.br/slide/1270238/3/images/3/De+uma+longa+fo lha+de+metal+de+30+cm+de+largura+deve-se+fazer+uma+calha+dobrando+as.

jpg>. Acesso em: 21 set. 2018.

Solução:

Na Figura ilustrada, x denota o número de centímetros a ser dobrado de cada lado. A largura da base da calha é 30 – 2x cm. A capacidade da calha será máxima quando a área do retângulo de lados x e 30 – 2x for máxima. Denotando essa áream por f (x), temos:

Como 0 ” 2x ” 30, o domínio de f é 0 ” x ” 15. Se x = 0 ou x = 15, não se forma nenhuma calha (a área do retângulo seria f (0) – 0 – f (15)).

Diferenciando:

De onde o único número crítico é x = 7,5. Como f ’’ (x)

= - 4 < 0, f (7,5) é máximo local para f. Segue-se que devem ser dobrados 7,5 cm de cada lado para obtermos a capacidade máxima.

3.1 – Diretrizes para a resolução de problemas de otimização

Como o número de tipos de problemas de otimização é ilimitado, é difícil estabelecer regras específicas para obter as respectivas soluções. Todavia, Swokowski (1995) recomenda uma estratégia geral para abordar tais problemas. Poderão ser úteis as diretrizes apresentadas a seguir. Ao empregá- las, o leitor não deve se desencorajar se não conseguir resolver rapidamente um determinado problema. Em geral é necessário muito esforço e prática para uma pessoa se tornar proficiente na resolução de problemas de otimização, mas continue tentando.

Diretrizes de Swokowski para resolução de problemas de otimização:

1. Ler cuidadosamente o problema várias vezes,

meditando sobre os fatos apresentados e as quantidades desconhecidas a serem determinadas.

2. Se possível, esboçar um diagrama e rotulá-lo adequadamente, introduzindo variáveis para representar as quantidades desconhecidas.

Expressões tais como o que, ache, quanto, a que distância ou quando devem alertá-lo para as quantidades desconhecidas.

3. Registrar os fatos conhecidos juntamente com quaisquer relações envolvendo as variáveis.

4. Determinar qual variável deve ser maximizada ou minimizada, e expressar esta variável como função de uma das outras variáveis.

5. Determinar os números críticos da função obtida em 4.

6. Determinar os extremos com auxílio das Diretrizes ou pelos testes de derivadas de primeira e segunda.

Verificar os pontos extremos sempre que necessário.

4 - Exemplos de aplicação

4.1 – Problema de Engenharia

Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de 375 ư cm³. O custo do material usado para a base do recipiente é de 15 centavos por cm² e o custo do material usado para a parte curva é de 5 centavos por cm².

Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizem o custo do material.

Solução:

Denotamos por r o raio da base e por h a altura (ambos em centímetros). A quantidade a minimizar é o custo C do material. Como os custos, por centímetro quadrado, da base e da parte curva são 15 centavos e 5 centavos, respectivamente, temos em termos de cruzeiros, o custo do recipiente é 15 (área da base) + 5 (área parte lateral).

Assim,

Podemos expressar C como função de uma variável, r, escrevendo h em termos de r. Como o volume do recipiente é 375 ư cm³, vemos que

Substituindo h por 375/r² na última forma de C, temos

O domínio de C é (0, ’).

Para achar os números críticos, diferenciamos C em relação a r:

276

Como D_rC = 0 se r = 5, vemos que 5 é o único número crítico. E como D_rC < 0 se r < 5 e D_rC > 0 se r > 5, segue-se do teste da derivada primeira que C tem seu mínimo quando o raio do cilindro é de 5 cm. O valor correspondente da altura (obtido de h=375/r²) é 375/25 = 15cm.

4.2 – Problema de Administração e Economia

Uma loja tem vendido 200 aparelhos reprodutores de Blu-ray por semana a $ 350 cada. Uma pesquisa de mercado indicou que para cada $ 10 de desconto oferecido aos compradores, o número de unidades vendidas aumenta 20 por semana. Encontre a função demanda e a função receita.

Qual o desconto que a loja deveria oferecer para maximizar sua receita?

Solução:

Se x for o número de reprodutores de Blu-ray vendidos por semana, então o aumento semanal nas vendas será x 200. Para cada aumento de 20 unidades vendidas, o preço cai em $ 10. Portanto, para cada unidade adicional vendida, o decréscimo no preço será e a função demanda será 1/20 × 10 e a função demanda será

A função receita é

Como R ’ (x) = 450 - x, vemos que R ’ (x) = 0 quando x = 450. Este valor de x dá um máximo absoluto pelo Teste da Primeira Derivada (ou simplesmente observando que o gráfico de R é uma parábola que abre para baixo). O preço correspondente é

E o desconto é 350 - 225 = 125. Portanto, para maximizar a receita, a loja deveria oferecer um desconto de $ 125.

4.3 – Problema de Trânsito

Uma rodovia Norte-Sul intercepta outra rodovia Leste- Oeste em um ponto P. Um automóvel passa por P às 10h, dirigindo-se para o leste a 20 km/h. No mesmo instante, outro automóvel está a 2 km ao norte de P e se dirige para o sul a 50 km/h. Determine o instante em que os automóveis estão mais próximos um do outro, e aproxime a distância mínima entre eles.

Solução:

Se t denota o número de horas após 10h, então o veículo mais lento está a 20t km a leste de P. O veículo mais rápido está a 50t km ao Sul de sua posição às 10h e, assim, sua distância

de P é 2 – 50t. Pelo teorema de Pitágoras, a distância d entre os automóveis é

Queremos achar o instante t em que d tem seu menor valor. Isto ocorrerá quando o radicando for mínimo, porque d aumenta se e somente se 4 – 200t + 2900t² aumenta. Assim, podemos simplificar nosso trabalho fazendo

E determinando o valor de t para o qual f tem um mínimo. Como

O único número crítico para f’ é

Além disso, f ’’ (t) = 5800, de modo que a derivada segunda é sempre positiva. Portanto, f tem mínimo local em t = 1/29, e f (1/29) = 14/29. Como o domínio de t é [ 0 , ’ ] e como f (0) = 4, não há máximo nem mínimo nas extremidades. Consequentemente, os automóveis estarão mais próximos um do outro a 1/29 horas (ou aproximadamente 2,07 minutos) após 10h. A distância mínima é

Retomando a aula

&KHJDPRVDRȴQDOGDQRVVDDXOD9DPRVUHFRUGDUR que estudamos?

1 – Teste crescente/decrescente

Você aprendeu que, dada uma função f diferenciável num intervalo, se f ’ (x) > 0 neste intervalo, então f é crescente nele.

Do mesmo modo, se f ’ (x) < 0 em um intervalo, então f é decrescente nele.

2 – Taxas de variação

Na matemática, taxa de variação é a variação de uma determinada grandeza em função de outra variável. Pode ser ainda média, que é a variação média entre os valores iniciais e finais, ou instantânea, que é a variação de uma grandeza em um determinado momento do fenômeno.

3 – Problemas de otimização

Em aplicações, valores extremos são, às vezes, chamados

Cálculo Diferencial e Integral I 52

de valores ótimos, porque são, em certo sentido, os melhores ou mais favoráveis valores da quantidade associada a uma função específica.

3.1 – Diretrizes para a resolução de problemas de otimização

Diretrizes de Swokowski para resolução de problemas de otimização: (1) Ler cuidadosamente o problema várias vezes; (2) Se possível, esboçar um diagrama, introduzindo as variáveis; (3) Registrar os fatos conhecidos e relações entre as variáveis; (4) Determinar qual variável deve ser maximizada ou minimizada, e expressar esta variável como função de uma das outras variáveis; (5) Determinar os números críticos da função obtida em 4; (6) Determinar os extremos com auxílio das Diretrizes ou pelos testes de derivadas de primeira e segunda. Verificar os pontos extremos sempre que necessário.

Referências

FLEMMING, Diva. M. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1992. 5ª Ed.

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 3. ed.

São Paulo: LTC, 1997. V.1.

HOFFMANN, D. Laurence; BRADLEY, Gerald L.;

Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 10ª. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010.

LEITHOLD, Louis. O Cálculo com geometria analítica. 3.

ed.São Paulo: Harbra, 2002. Vol. 1.

MUNEM, Mustafá A. Cálculo. 2. ed. Rio de Janeiro:

Guanabara, 1983. V. 1.

STEWART ,J.; MORETTI, A. C. ; MARTINS, A. C. G.

Cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: Cengage, 2008. V. 1.

SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica.

São Paulo: Makron Booksl, 1994. V.1.

THOMAS, George B. Cálculo. 11. ed.São Paulo: Addison Wesley, 2009.

SWOKOWSKI, Ealr W.; FARIA, Alfredo Alves de.

Cálculo com geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Makron Books do Brasil; São Paulo: McGraw-Hill, 1995.

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo.

3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.

STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014.

9DOHDpena ler

Vale a pena

Referências

Minhas anotações

278