Geometria Analítica e Álgebra Linear
Professor: João Luciano de Carvalho Gomes December 22, 2017
Lista de Exercícios da2aUnidade referente a disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear nos Cursos de Engenharias da Universidade Católica do Sal- vador.
• Aluno(a): _________________________________________
• Matrícula: _________________________________________
Part I
Matrizes e Sistemas Lineares
0.1 Matrizes
1. Sejam as matrizes,
A=
1 2 3 2 1 −1
, B=
−2 0 1
3 0 1
, C=
−1 2 4
, D=
2 −1
Encontre:
a)A+B b)A.C c)B.C d)C.D e)D.A f)D.B g)−A h)−D
2. Dadas as matrizes
A=
2 −3 5
−1 4 5
1 −3 −4
, B=
−1 3 5
1 −3 −5
−1 3 5
, C=
2 −2 4
−1 3 4
1 −2 −3
(a) Mostre queAB=BA= 0, AC=A, CA=C (b) Calcule(A+B)2 eA2+B2, ACB eCBA.
0.2 Resolução de Sistemas Lineares
1) Reduza as matrizes a forma escada por linhas.
a)
1 2 0 3 4 1
b)
1 −2 3 −1 2 −1 2 3
3 1 2 3
c)
0 2 2
1 1 3
3 −4 2 2 −3 1
d)
0 1 3 −2
2 1 −4 3
2 3 2 −1
e)
0 1 2 −2 0
2 1 3 4 0
2 −6 3 1 0
−1 1 1 1 1
2) Determine o posto da matriz dos coecientes, o posto da matriz ampliada e a nulidade das matrizes da questão anterior
3) Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha re- duzidas a forma escada e dando também seus postos, os posto das matrizes dos coecientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
a)x1+ 2x3−x3+ 3x4= 1
b)
(x+y+z= 4 2x+ 5y−2z= 3
c)
x+y+z= 4 2x+ 5y−2z= 3 x+ 7y−7z= 5
d)
(x−2y+ 3z= 0 2x+ 5y+ 6z= 0
e)
x1+x2+x3+x4= 0 x1+x2+x3−x4= 4 x1+x2−x3+x4=−4 x1−x2+x3+x4= 2
f)
x+ 2y+ 3z= 0 2x+y+ 3z= 0 3x+ 2y+z= 0 4) Determinekpara que o sistema admita solução
−4x+ 3y= 2 5x−4y= 0 2x−y=k 5) Achex, y, z ewse
x y z w
.
2 3 3 4
= 1 0
0 1
0.3 Problemas
1. Foram estudados três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1g)determinou-se que:
• O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C.
• O alimento II tem 2,3 e 5 unidades reespectivamente, das vitaminas A,B e C.
• O alimento III tem 3 unidades de vitamina A, 3 unidades de vitamina C e não contem vitamina B
Se são necessário 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C,
(a) Encontre todas as possiveis quantidades dos elementos I,II e III que fornecem a quantidade de vitaminas desejada
(b) Se o alimento I custa 60 centavos por grama e os outros dois custam 10, existe uma solução custando exatamente 1 real?
2. ...O Hidrogênio(H2)reage com o oxigênio(O2)para produzir água(H2O).
Mas, mas quanto de oxigênio precisamos? Esta é uma mudança que podemos descrever dos seguinte modo: xmoléculas deH2 reagem comy moléculas deO2 produzindozmoléculas deH2O, ou esquematicamente:
xH2O+yO2→zH2O
O que permanece constante nessa mudança? Como os ártomos não são modicados, o número de átomos de cada elemento no início da reação deve ser igual ao número de átomos desse mesmo elemento, no m da reação. Assim, para o hidrogênio devemos ter2x= 2z e para o oxigênio, 2y=z. Portanto as nossas icógnitas x,y e z dvem satisfazer as equações:
(2x−2z= 0
2y−z= 0 ...” (1)
Após esta leitura retirada do Livro [?] Determine a solução do sistema [1]. Interprete a solução. Depois determine o balenceamento das reações abaixo usando sistema lineares:
(a) N2O5→N O2+O2 (decomposição termica doN2O5) (b) HF +SiO2→SiF4+H2O (decomposição do VidroHF)
(c) (N H4)2CO3→N H3+H2O+CO2 *
3. Necessita-se adubar um terreno acrescentado a cada10m2140gde nitrato, 190g de fosfato e 205g de potássio. Dispõe-se de quatro qualidades de adubo com as seguintes características:
• Cada quilograma do adubo I custa 5u.c.p e contém 10 g de nitrato, 10 g de fosfato e 100g de potássio
• Cada quilograma do adubo II custa 6u.c.p e contém 10 g de nitrato, 100 g de fosfato e 30g de potássio
• Cada quilograma do adubo III custa 5u.c.p e contém 50 g de nitrato, 20 g de fosfato e 20g de potássio
• Cada quilograma do adubo IV custa 15u.c.p e contém 20 g de nitrato, 40 g de fosfato e 35g de potássio
Quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se estamos dispostos a gastar 54u.c.p a cada 10m2 com adubação.
Part II
Transformações Lineares no Plano
1. Verique se as transformações abaixo são lineares.
(a) T(x, y) = (0,0) (b) T(x, y) = (x,0) (c) T(x, y) = (0, y)
(d) T(x, y) = (x+y, x−y) (e) T(x, y) = (2x−y, x) (f) T(x, y) =x.y (g) T(x, y) =
x y y x
(h) T(x, y) = (2x+ 1,3y) (i) T(x, y) = (x2, y2)
2. Encontre a Transformação Linear que satisfaz,T(1,0) = (2,3)eT(0,1) = (1,4).
3. Encontre a Transformação Linear que satisfaz,T(2,0) = (1,2)eT(1,3) = (2,−1).
4. Encontre a Transformação Linear que satisfaz,T(4,−1) = (1,0)eT(−1,3) = (−2,−4).
5. Encontre a Transformação Linear que satisfaz,T(2,2) = (−1,3)eT(1,3) = (−4,2).
6. Em cada caso, determine a matriz associada a transformação linear nas bases canônicas(e1= (1,0)ee2= (0,1)).
(a) T(x, y) = (2x,2y) (b) T(x, y) = (−x,−y)
(c) T(x, y) = (2x+y, y) (d) T(x, y) = (x, x−2y)
(e) T(x, y) = (x−2y, x+ 2y) (f) T(x, y) = (x+ 3y,−x+y)
7. Em cada caso determine a matriz da transformação linear que da a com- posiçãoT2◦T1. Depois esboce um quadrado de lado 1 após a composição T2◦T1.
(a) ExpansãoT1(x, y) = 2(x, y)e cisalhamentoT2(x, y) = (x+ 2y, y).
(b) Expansão T1(x, y) = 3(x, y)e cisalhamentoT2(x, y) = (x−2y, y). (c) ExpansãoT1(x, y) = 4(x, y)e cisalhamentoT2(x, y) = (x,2x−y). (d) Dilatação T1(x, y) = 13(x, y)e cisalhamentoT2(x, y) = (x,2x−y).
(e) T1é a Reexão em torno do eixo Ox eT2é o cisalhamentoT2(x, y) = (x+ 3y, y).
(f) T1é a Reexão em torno do eixo Oy eT2é o cisalhamentoT2(x, y) = (x+ 3y, y).
(g) T1é a rotação do ânguloθ= π3 eT2 é a dilataçãoT(x, y) = 12(x, y). (h) T1é a rotação do ânguloθ= π2 eT2 é a dilataçãoT(x, y) = 12(x, y). (i) T1é a rotação do ânguloθ= π4 eT2 é a dilataçãoT(x, y) = 12(x, y). (j) T1é a rotação do ânguloθ=πeT2 é a dilataçãoT(x, y) =12(x, y).
Part III
Cônicas
1. Obter as equações das cônicas dados seus elementos (a) Parábola de Foco (3,4) e diretrizd: x−1 = 0 (b) Parábola de Foco (−1,1)e VérticeV(0,0)
(c) Parábola de Vértice V(1,2) e eixo focal paralelo aOx eP(−1,6) é um pontode seu gráco
(d) Elipse de focos F1(3,8)eF2(3,2)e comprimento do eixo maior 10 (e) Elipse VérticeV1(5,−1)eV2(−3,−1)ee= 3/4
(f) Elipse de FocosF1(−4,−2)eF2(−4,−6) emed(LR) = 6
(g) Hipérbole de Focos F1(1,−3) e F2(−7,3) e comprimento do eixo transverso igual a 4
(h) Hipérbole de VérticesV1(5,4)eV2(1,4)e comprimento do latus rec- tum igual a 5
2. *Dada a equação das cônicas.
C1 : 4y2−48x−20y−71 = 0 C2 :y2−2xy+x2+ 16x+ 16y= 0
C3 :x2+ 4y2+ 2x−24y+ 33 = 0 C4 : 17x2+ 12xy+ 8y2−100 = 0 C5 : 16x2−9y2−64x−18y+ 199 = 0
C6 :xy−3x+ 4y−13 = 0 Determine em cada uma delas
(a) Identique a cônica
(b) Determine as coordenadas dos vertíces e Focos (c) As equações do eixo focal e normal
(d) Excentricidade e comprimento do latus rectum
3. *Um matemático aceitou um cargo numa nova Universidade situada a 6km da margem retílinea de um rio. O professor deseja contruir uma casa que esteja a uma distância à Universidade igual a metade da distância até a margem do rio. Os possíveis locais satisrfazendo esta condição pertencem a uma curva. Dena esta curva e determine sua equação em relação a algum sistema à sua escolha.
4. Considere a Cônica abaixo C1: x2
4 +y2
9 = 1 (Elipse)
(a) Obter a equação da Cônica após a translaçãoT1(x, y) = (x−2, y+ 2) (b) Obter a equação da Cônica após a rotaçãoT2 de300
(c) Esboce a cônica após a composiçãoT2◦T1e escreva sua equação após T2◦T1
5. Considere a Cônica abaixo C1: x2
4 −y2
9 = 1 (Hip´erbole)
(a) Obter a equação da Cônica após a translaçãoT1(x, y) = (x−2, y−3) (b) Obter a equação da Cônica após a rotaçãoT2 de600
(c) Esboce a cônica após a composiçãoT2◦T1e escreva sua equação após T2◦T1
6. Considere a Cônica abaixo
C1:y= 4x2 (P ar´abola)
(a) Obter a equação da Cônica após a translaçãoT1(x, y) = (x+ 2, y+ 2) (b) Obter a equação da Cônica após a rotaçãoT2 de π4
(c) Esboce a cônica após a composiçãoT2◦T1e escreva sua equação após T2◦T1
7. Considere a Cônica abaixo C1: x2
16+y2
25 = 1 (Elipse)
(a) Obter a equação da Cônica após a translaçãoT1(x, y) = (x−2, y−8) (b) Obter a equação da Cônica após a rotaçãoT2 de 2π3
(c) Esboce a cônica após a composiçãoT2◦T1e escreva sua equação após T2◦T1
8. Considere a Cônica abaixo C1: y2
4 −x2
16 = 1 (Hip´erbole)
(a) Obter a equação da Cônica após a translaçãoT1(x, y) = (x−12, y+ 2) (b) Obter a equação da Cônica após a rotaçãoT2 de600
(c) Esboce a cônica após a composiçãoT2◦T1e escreva sua equação após T2◦T1
Part IV
Provas Antigas UCSAL 2017.2
0.4 Modelo 1
UCSAL-Geometria Analítica e Álgebra Linear-Segunda Prova 1. Considere a Matriz ampliada do Sistema Linear dada por
0 1 2 −2 0
0 2 4 −8 0
2 −6 3 1 0
−1 1 1 1 0
(a) Escalone a Matriz na forma Gauss Jordan (Forma Escada Reduzida em linhas).
(b) Determine: O posto da matriz dos coecientes e da matriz ampliada.
A nulidade da matriz dos coecientes e da matriz ampliada .O conjunto solução do sistema linear.
(c) Interprete Geometricamente a solução do sistema linear e depois es- creva uma equação paramétrica que a represente ( A solução é uma reta? Ponto? ou um Plano?).
2. Considere as aplicaçõesT1:R2−→R2 eT2:R2−→R2 dada por T1(x, y) = (4x ,4y)
T2(x, y) = (x−2y,−y) Responda os seguintes intens,
(a) Mostre queT2 é uma Transformação Linear.
(b) Os Operadores Lineares no plano são: Reexão, Dilatação ou Expansão, Contração, Cisalhamento e Rotação. Identique quais desses sãoT1 eT2. (c) Determine a Matriz Associada a Transformação Linear[T1]e[T2] (d) Determine a Matriz que faz a composição[T2◦T1]. Depois Esboce Triân-
gulo equilátero de lado 1 após a composiçãoT2◦T1. 3. Considere as aplicaçõesT1:R2−→R2 eT2:R2−→R2 dada por
T1(x, y) = (−x ,−y) T2(x, y) = (x+ 2y, y)
T3e a rota¸´ c˜ao deπ 3 Responda os seguintes intens,
(a) Mostre queT1 é uma Transformação Linear.
(b) Os Operadores Lineares no plano são: Reexão, Dilatação ou Expansão, Contração, Cisalhamento e Rotação. Identique quais desses sãoT1 eT2. (c) Determine a Matriz Associada a Transformação Linear[T1]e[T2] (d) Determine a Matriz que faz a composição[T3◦T2◦T1]. Depois Esboce a
parábolay=x2 após a composição .
4. Necessita-se adubar um terreno acrescentado a cada10m2140gde nitrato, 190g de fosfato e 205g de potássio. Dispõe-se de quatro qualidades de adubo com as seguintes características:
• Cada quilograma do adubo I custa 5u.c.p e contém 10 g de nitrato, 10 g de fosfato e 100g de potássio
• Cada quilograma do adubo II custa 6u.c.p e contém 10 g de nitrato, 100 g de fosfato e 30g de potássio
• Cada quilograma do adubo III custa 5u.c.p e contém 50 g de nitrato, 20 g de fosfato e 20g de potássio
• Cada quilograma do adubo IV custa 15u.c.p e contém 20 g de nitrato, 40 g de fosfato e 35g de potássio
Quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se estamos dispostos a gastar 54u.c.p a cada 10m2 com adubação.
0.5 Modelo 2
UCSAL-Geometria Analítica e Álgebra Linear-Segunda Prova 1. Considere o Sistema Linear abaixo,
x1+x2+x3+x4= 0 x1+x2+x3−x4= 4 x1+x2−x3+x4=−4 x1−x2+x3+x4= 2
(a) Escreva este sistema na forma matricial . Escreva este sistema em uma Matriz ampliada.
(b) Escalone a Matriz na forma Gauss Jordan (Forma Escada Reduzida em linhas).
(c) Determine: O posto da matriz dos coecientes e da matriz ampliada.
A nulidade da matriz dos coecientes e da matriz ampliada .O conjunto solução do sistema linear.
(d) Interprete Geometricamente a solução do sistema linear e depois es- creva uma equação que a represente ( A solução é uma reta? Ponto?
ou um Plano?).
2. Considere as aplicaçõesT1:R2−→R2 eT2:R2−→R2 dada por T1(x, y) = (2x ,2y)
T2(x, y) = (−x , x−2y) Responda os seguintes intens,
(a) Mostre queT2 é uma Transformação Linear.
(b) Os Operadores Lineares no plano são: Reexão, Dilatação ou Expansão, Contração, Cisalhamento e Rotação. Identique quais desses sãoT1 eT2. (c) Determine a Matriz Associada a Transformação Linear[T1]e[T2] (d) Determine a Matriz que faz a composição [T2◦T1]. Depois Esboce um
quadrado de lado 1 após a composiçãoT2◦T1.
3. Considere as aplicaçõesT1:R2−→R2 eT2:R2−→R2 dada por T1(x, y) = (−x ,−y)
T2(x, y) = (x+ 2y, y) T3e a rota¸´ c˜ao deπ
3 Responda os seguintes intens,
(a) Mostre queT1 é uma Transformação Linear.
(b) Os Operadores Lineares no plano são: Reexão, Dilatação ou Expansão, Contração, Cisalhamento e Rotação. Identique quais desses sãoT1 eT2.
(c) Determine a Matriz Associada a Transformação Linear[T1]e[T2] (d) Determine a Matriz que faz a composição [T3◦T2◦T1]. Depois Esboce
uma elipse2x2+y2 = 1após a composição.
4. Foram estudados três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1g)determinou-se que:
• O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C.
• O alimento II tem 2,3 e 5 unidades reespectivamente, das vitaminas A,B e C.
• O alimento III tem 3 unidades de vitamina A, 3 unidades de vitamina C e não contem vitamina B
Se são necessário 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C,
(a) Encontre todas as possiveis quantidades dos elementos I,II e III que fornecem a quantidade de vitaminas desejada
(b) Se o alimento I custa 60 centavos por grama e os outros dois custam 10, existe uma solução custando exatamente 1 real?
References
[1] Algebra linear / José Luiz Boldrini. [et all. - 3. ed. -. A383 Sio Paulo :Harper
& Row do Brasil, 1980, JOSELUIZ BOLDRINI. 3." Bibliograa. SUELI I.RODRIGUESCOSTA. 1. Algebra linear I, Boldrini, José Luis VERA LU- CIA FIGUE|REDO).
[2] PAULO BOULOS. IVAN DE CAMARGO. GEOMETRIA. ANALÍTICA um tratamento. MAKRON Books do Brasil Editora Ltda. São Paulo. Rua Tabapuã, 1348 Itaim Bibi. CEP 04533-004.
[3] Geometria analítica e álgebra linear: uma visão geométrica / Dan Avritzer.
Belo Horizonte : Editora UFMG, 2009. t.
