Electromagnetismo. (cap. 2. Magnetostática) José Pinto da Cunha. universidade de coimbra 2016

(1)

(cap. 2. Magnetost´atica)

Jos´e Pinto da Cunha

(2)

(3)

2 Magnetostática 5 2.1 Introdu¸cão . . . 5 2.2 A equa¸cão de continuidade . . . 7 2.3 A lei de Ohm . . . 9 2.4 O campo magnetostático . . . 12 2.4.1 A for¸ca de Lorentz . . . 13 2.4.2 A lei de Biot-Savart . . . 15 2.4.3 O potencial vector . . . 17

2.4.4 Condi¸c˜oes de fronteira do campo B . . . 23

2.5 Fluxo magn´etico e indutˆancia . . . 24

2.6 A energia magnetost´atica . . . 30

2.7 Expans˜ao multipolar do potencial vector . . . 34

2.8 Energia potencial de um dipolo magn´etico . . . 37

2.9 Meios magn´eticos . . . 41

2.9.1 Descri¸cão microscópica da magnetiza¸cão . . . 47

2.9.2 Magnetes permanentes - análise de uma barra magnética 62 2.9.3 Aplica¸cões . . . 64

(4)

(5)

Magnetost´

atica

2.1 Introdu¸

c˜

ao

No cap´ıtulo anterior analisaram-se os efeitos devidos a cargas estáticas. Va-mos agora discutir os efeitos associados a cargas em movimento, em regime estacionário - a magnetostática.

A corrente eléctrica, i, que percorre um fio filiforme define-se como a carga que passa em determinado ponto por unidade de tempo, i = dq_dt.Se esta corrente se espraia por um volume e atravessa superf´ıcies extensas é conveniente definir também a densidade de fluxo de corrente ou simplesmente densidade de corrente elétrica, j. A corrente que atravessa uma superf´ıcie elementar ds é pois di = j · ds. A densidade de corrente é pois efetivamente a corrente que passa num ponto por unidade de área transversal, j = di

ds_⊥v,ˆ

com ds⊥ = ds cos θ = ds · ˆ, e tem o sentido da velocidade das cargas em

movimento, ˆv, (ver fig. 2.1). Nos termos anteriores, a corrente (total) atrav´es de uma determinada superf´ıcie, S, ´e dada pelo fluxo de j,

i =

Z

S

j _{· ds} (2.1)

Em geral, a densidade de corrente é uma fun¸cão da posi¸cão, j(r), (e even-tualmente também do tempo). Da fig. 2.1 conclui-se que dq = ρds⊥dℓ e, por

c

j. pinto da cunha, electromagnetismo /magnetost´atica, universidade de coimbra, 2016.

(6)

00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 ds θ j s d dl v j ds

Figura 2.1: A densidade de corrente ´e a carga que passa num ponto por unidade de tempo e de ´area transversal, j = _dtdsdq

⊥, onde ds⊥= ds cos θ. Por consequˆencia,

j= ρv, onde ρ = dq/dτ e v ´e a velocidade das cargas em cada ponto.

conseguinte, j = _dsdq

⊥dtˆv = ρ

dℓ

dtˆv. Isto ´e,

j = ρv (2.2)

A densidade de corrente em cada ponto ´e pois igual `a densidade das cargas em movimento vezes a respectiva velocidade, em cada ponto.

Se as cargas forem superficiais e se moverem apenas ao longo de uma superf´ıcie, nesse caso, a corrente é superficial, pelo que é útil definir também a densidade superficial de corrente, como k = dq

dℓ_⊥dtˆv, (ver fig. 2.2). Isto

é, k designa a corrente que atravessa uma linha transversal tra¸cada sobre a superf´ıcie em causa, por unidade de comprimento dessa linha. É evidente que se σ for a densidade superficial de cargas em movimento, então k = σv, pois dq = σdℓkdℓ⊥ (ver fig. 2.2). A corrente superficial total será, portanto,

i =

Z

kdℓ⊥

Importa também analisar a passagem de corrente por um fio fino, de seçcão s (pequena mas não infinitesimal). Da fig. 2.3, conclu´ımos que i = js, (pois sendo fino o fio, j = const.), e, portanto, i dℓ = jsdℓ = j dτ , onde dτ = sdℓ é um elemento de volume do fio. Pode-se portanto estabelecer uma correspondência entre elementos de corrente lineares e de volume ou de superf´ıcie, já que

i dℓ = j dτ −→ Z i dℓ ↔ Z τ jdτ (2.3)

Se a corrente for superficial, espalhada pela ´area lateral s′ _{de um fio fino,}

(ver fig. 2.3b)), ent˜ao i = kℓ⊥ e, portanto, idℓ = kdℓ⊥dℓ = kds′. Nesse caso,

(7)

k

v

k

S

dl

_⊥

dl

Figura 2.2: A densidade superficial de corrente ´e a carga que atravessa uma linha marcada sobre a superf´ıcie, por unidade de comprimento dessa linha e por unidade de tempo, k = _dℓdq

⊥dt. Consequentemente, k = σv, onde σ = dq/ds e v ´e

a velocidade das cargas ao longo da superf´ıcie.

0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 dl j s i a) b) i k _s’ ds’ dl

Figura 2.3: A corrente num fio fino, de seçcão s, é i = js e portanto idℓ = jdτ . b) Se a corrente for superficial idℓ = kds′, onde ds′ é uma área da parede lateral do fio.

onde s′ _{se refere `a ´area de parede lateral do fio em causa.}

2.2 A equa¸

c˜

ao de continuidade

Seja uma região do espa¸co delimitada pela superf´ıcie S da fig. 2.4, na qual há uma carga eléctrica q distribu´ıda com uma densidade ρ. Através de S sai a corrente i =H_Sj_{· ds. Cada coulomb que sai através de S é um coulomb a} menos que fica dentro de S, i.e.,

−dq_dt = i =

I

S

j_{· ds}

(a derivada é negativa porque o fluxo que sai é positivo, fig. 2.4). A carga total que existe no volume é q = q(t) =R_τρ(r, t)dτ . Pelo teorema de Gauss-Ostrogradsky, conclui-se pois que

(8)

ρ j j j j j τ S

Figura 2.4: Equa¸cão de continuidade. A carga eléctrica dentro do volume decresce na mesma medida em que o fluxo de j sai através da fronteira S, i.e., −dq = idt, ou seja, −dqdt = H Sj· ds. ou seja, Z τ ( ∂ρ(r, t) ∂t + ∇ · j ) dτ = 0

Como esta igualdade é válida independentemente do volume de integra¸cão, então1_{, necessariamente,}

−∂ρ

∂t = ∇ · j (2.5)

Esta equa¸cão de continuidade expressa de facto a lei de conserva¸cão da carga eléctrica em cada ponto, sendo por isso uma equa¸cão com grande relevância2_.

O regime estacionário define-se como aquele em que não há varia¸cão expl´ıcita com o tempo das quantidades que descrevem a realidade f´ısica (e.g., pode haver movimento mas esse movimento é constante ad infinitum). Por conseguinte, no regime estacionário, ∂tρ = 0, e portanto, a eq. 2.5 fica

∇ · j = 0 (2.6)

Consequentemente, qualquer que seja a superf´ıcie S que se considere, no regime estacion´ario, tem-se _I

S

j _{· ds = 0}

1_{Sup˜oe-se que as fun¸c˜oes s˜}_{ao bem comportadas em todo o volume.}

2_{A equa¸c˜ao de continuidade expressa matematicamente uma lei geral de conserva¸c˜ao}

(9)

S i₂ 3 i 1 i

Figura 2.5: Num circuito, em regime estacion´ario, a lei dos nodos, i1 = i2+ i3,

traduz a conserva¸c˜ao da carga.

A lei dos nodos dos circuitos é uma consequência direta desta expressão.3

2.3 A lei de Ohm

Num condutor em equil´ıbrio eletrostática as cargas estão estáticas, por defini¸cão. Se esse condutor estiver a ser percorrido por uma corrente, então ele não está seguramente em equil´ıbrio eletrostático e o campo no seu inte-rior não é de facto nulo. Se a corrente eléctrica que o percorre for constante então esse condutor estará presumivelmente em condi¸cões estacionárias, mas estas não devem ser confundidas com as condi¸cões estáticas ou do equil´ıbrio eletrostática.

Se num ponto dentro do condutor o campo for E, então uma carga livre, q, que a´ı se encontre é sujeita à for¸ca F = qE e acelera na dire¸cão da for¸ca. Todavia, no seu movimento através do material, as cargas livres colidem frequentemente com outras cargas do meio e, dessas colisões resulta uma espécie de atrito, que cresce proporcionalmente à velocidade (como ocorre num corpo que se move no ar). Em condi¸cões estacionárias, a velocidade das cargas em movimento atinge um valor limite constante (ou velocidade 3_{A lei dos nodos dos circuitos eléctricos é valida apenas em condi¸cões estacion´}_arias.

Referindo-nos `a fig. 2.5 tem-se, I S j· ds = 0 = Z S1 j· ds + Z S2 j· ds + Z S3 j· ds = −i1+ i2+ i3

(10)

terminal), que ´e proporcional `a intensidade do campo.4 _{Visto que j = ρv,}

então, em geral, no regime estacionário, é válida a lei de Ohm,

j = σE (2.7)

onde σ é a condutividade do material. Esta é a forma local da lei de Ohm, válida em cada ponto de um material.

O regime estacionário caracteriza-se pelo facto de as quantidades não dependerem explicitamente do tempo. Assim, no regime estacionário,

∂tρ = 0 → ∇ · j = 0 → ∇ · E = 0 → ρtotal= ǫ∇ · E = 0

Isto é, em regime estacionário, apesar de estar a passar corrente eléctrica através de um condutor, a densidade total de carga é nula em todos os pontos desse condutor. Isto quer dizer que, em condi¸cões estacionárias, há, em cada ponto do condutor, tantas cargas positivas quantas as negativas, mesmo que passe corrente. De facto, nessas condi¸cões, o que se passa é que e em cada ponto em cada instante, há uma carga que parte e outra igual que a´ı chega. No caso particular em que a corrente percorre um fio fino, que se estende, por hipótese, ao longo do eixo x, então no regime estacionário, ∇ · E = 0 = ∂xE = 0 ⇒ E = constante. Ou seja, o campo elétrico

é constante no interior de qualquer condutor percorrido por uma corrente elétrica estacionária.5 _{Isto significa que, se um fio tiver seçcão transversal s,}

ent˜ao a diferen¸ca de potencial entre as extremidades de um tro¸co de fio de comprimento ℓ ´e ∆V = ℓ

sσi, onde i ´e a corrente.

4_{A equa¸cão de movimento de uma carga é da forma ma = F = qE − bv, onde m é a}

massa, v é a velocidade, a = dv/dt é a acelera¸cão e b é uma constante proporcional ao ”atrito” resultante das colisões entre esta carga e as demais part´ıculas do meio em que se move. A solu¸cão desta equa¸cão é da forma v(t) = v0e−

b mt+qE

m. Passada a fase transiente,

a primeira parcela extingue-se exponencialmente e e fica apenas, no regime estacionário, a velocidade limite, v =qE_m. Ou seja, no regime estacionário, v ∝ E e portanto j = ρv ∝ E e, portanto, j = σE, que é a lei de Ohm em cada ponto.

5_{A lei de Ohm na forma n˜}_{ao local} _{relaciona a diferen¸ca de potencial entre dois pontos}

de um fio fino. Como, em regime estacionário, E é constante dentro do condutor, se o fio tiver comprimento ℓ e seçcão s, então

Va− Vb= Z b a E_{· dℓ = Eℓ =} jℓ σ = Ri onde R = 1 σ ℓ

s é a resistência desse tro¸co de fio. Esta é a forma não local da lei de Ohm.

(11)

Tabela 2.1: Propriedades el´ectricas de alguns materiais: condutividade el´ectrica, σ, e resistividade, ρ = _σ1, em unidades SI.

material condutividade(✵/m) resistividade (Ω.m)

prata _{6.29 × 10}7 _{1.59 × 10}−8 cobre _{5.95 × 10}7 _{1.68 × 10}−8 ouro _{4.52 × 10}7 _{2.21 × 10}−8 alum´ınio _{3.77 × 10}7 _{2.65 × 10}−8 ferro _{1.04 × 10}7 _{9.61 × 10}−8 ferrite (NiZ) _{∼ 10}−3_{− 10}−5 _{∼ 10}3_{− 10}5 ´agua do mar 4 0.25 terra (solo) _{∼ 10}−3 _{∼ 10}3 s´ılicio _{4.0 × 10}−4 _{2.5 × 10}3 ´agua pura _{4.0 × 10}−6 _{2.5 × 10}5 vidro _{∼ 10}−14 _{∼ 10}14

Sempre que o campo na superf´ıcie exterior a um condutor se altere, o campo dentro do condutor também se vai alterar. Haverá então, momen-taneamente, uma breve situa¸cão não estacionária, mas é tão breve que geral-mente pode ser ignorada.6

Resulta das considera¸c˜oes anteriores que um condutor no qual circula 6_{Num condutor em regime estacion´}_{ario o campo, E, ´e constante e a densidade total}

é ρ = 0 em todos os pontos do interior. Se as condi¸cões mudarem haverá uma transi¸cão para o novo regime, até que novo equil´ıbrio se (r)estabele¸ca. A dura¸cão deste transiente é muito curta e pode ser facilmente estimada. Durante a fase transiente, tem-se dentro do condutor,

−∂tρ = ∇ · j ≈ σ∇ · E = σ

ρ ǫ

considerando que j ≈ σE apesar de o regime n˜ao ser estacion´ario. Visto que ρtotal ≡

ρ = ǫ∇ · E, tem-se a equa¸c˜ao diferencial, dρdt + σ

ǫρ = 0, cuja solu¸c˜ao ´e ρ(t) = e −σ

ǫt. Ou

seja, a densidade total de cargas dentro do material, ρ, tende exponencialmente para zero, com uma constante temporal κ = σ

ǫ. O tempo caracter´ıstico da fase transiente at´e se

restabelecer o (novo) regime estacion´ario ´e pois da ordem de t0 = κ−1 ∼ _σǫ. Nos bons

condutores, σ ∼ 107_✵_{/m e, portanto, t}

0 ∼ 10−18 segundos. Podemos por isso assumir

(12)

uma certa corrente: i) não está em equil´ıbrio eletrostático; ii) que o campo no interior não é nulo e que, portanto, iii) o seu potencial não é constante em todo o condutor.7

2.4 O campo magnetost´

atico

Como vimos atrás, cargas estáticas criam campos eletrostáticos no espa¸co envolvente. Porém, se essas mesmas cargas se moverem com uma certa ve-locidade constante em rela¸cão a determinado sistema de referência, criam nesse referencial dois campos: i) um campo eletrostático, semelhante ao que é criado pelas cargas em repouso (a diferen¸ca só se nota para velocidades próximas da da luz) e ii) um campo magnetostático,8 _B_.

Todavia, como facilmente se compreende, para um observador que acom-panhe as cargas no seu movimento, estas permanecem estáticas e portanto ele não presencia campo magnético algum. O campo magnético associado ao movimento das cargas há de pois ser um efeito que se deve poder descrever pela transforma¸cão entre os dois sistemas de observa¸cão. Esta fenomenologia pode aliás ser apontada como uma das motiva¸cões iniciais que haveriam de conduzir ao desenvolvimento da teoria da relatividade.

Com efeito, pode-se mostrar que, de acordo com as leis de transforma¸cão relativista entre o referencial das cargas em repouso e outro referencial no qual estas se movem e formam uma corrente, o campo eletrostático no referencial das cargas em repouso se transforma num campo eletrostático e num campo magnetostático que não estava no referencial de repouso. Mas não faremos aqui essa demonstra¸cão.

Há também certos materiais ditos magnéticos que podem criar cam-pos magnéticos; em particular os magnetes permanentes, que criam camcam-pos 7_{Na análise de circuitos eléctricos considera-se normalmente que os fios de liga¸cão est˜}_ao

a potenciais bem definidos e que só há diferen¸cas de potencial nas resistências e demais impedâncias, visto que estas têm evidentemente condutividades muito baixas e certamente muito mais baixas que as dos condutores (ver tabela 2.1).

8_{O campo B tamb´em ´e designado como campo de indu¸c˜}_{ao magn´}_etica _{ou, por vezes,}

campo de densidade de fluxo magn´etico, mas, por simplicidade de linguagem, vamos-lhe chamar simplesmente campo magn´etico(!)

(13)

magn´eticos sem que esteja envolvida nenhuma corrente. Deixaremos essa discuss˜ao para o § 2.9.

A metodologia que seguimos para estudar o campo magnético e suas caracter´ısticas parte de uma base emp´ırica, observacional, alicer¸cada na lei de Biot-Savart. Mas pod´ıamos também come¸car esta discussão a partir da transforma¸cão relativista acima referida, se falássemos dela.

Neste cap´ıtulo, analisamos o campo criado por cargas em movimento uni-forme, em regime estacionário. De facto, se as cargas eléctricas tiverem ve-locidade variável, i.e., se forem aceleradas, então os campos que elas criam são também variáveis no tempo. Nessa circunstância, como veremos, os campos E e B estão acoplados e formam efetivamente um campo electromagnético, cujas varia¸cões se propagam com velocidade finita, constituindo ondas eletro-magnéticas. Mas esse será assunto para o cap´ıtulo sobre electrodinâmica; por ora, considera-se apenas o regime estacionário.

2.4.1 A for¸

ca de Lorentz

A observa¸cão mostra que sobre uma carga, q, que se move com velocidade, v, na presen¸ca de um campo magnético, B, atua uma for¸ca (magnética),

F _{= qv × B} (2.8)

Esta for¸ca é conhecida como for¸ca de Lorentz. Se nessa região também existir campo eléctrico, E, a carga também interage com ele, pelo que, mais geralmente, a for¸ca de Lorentz sobre a carga q é

F _{= qE + qv × B} (2.9)

Decorre do que foi dito que um fio filiforme percorrido por uma corrente i, sito numa região em que há um campo magnético, B, é sujeito a uma for¸ca magnética. Cada elemento diferencial do fio, de comprimento dℓ, tem cargas dq a moverem-se com velocidade v = dℓ

dt. Sobre esse elemento do fio

atua portanto a for¸ca,

dF = dqdℓ

dt × B = i dℓ × B (2.10)

(14)

de comprimento ℓ percorrido pela corrente i ´e pois, evidentemente, F = iR _{dℓ × B, onde o integral se estende a todo o comprimento do fio.}

´

E de notar que a for¸ca magnética nunca realiza trabalho sobre as cargas. De facto, ao longo de qualquer deslocamento infinitesimal dr, o trabalho sobre uma carga dq, esteja ela integrada ou não numa corrente, é

dW = dF · dr = dq(dr

dt × B) · dr = 0 j´a que (dr × B) ⊥ dr.

Interessa também analisar nesta introdu¸cão a for¸ca de intera¸cão entre duas correntes paralelas e rectil´ıneas. As duas correntes eléctricas interagem porque o campo criado por uma interage com a outra e vice-versa:- uma corrente, i1, cria um campo magnético, B1, em seu redor que interage com

a outra corrente, i2, nos termos da for¸ca de Laplace da eq. 2.10. Entre dois

fios filiformes, paralelos, rectil´ıneos, muito longos, `a distˆancia x um do outro, percorridos por correntes i1 e i2, respetivamente, surge assim, (ver eq. 2.13),

a for¸ca de intera¸c˜ao por unidade de comprimento, F/ℓ = µ0i1i2

2πx

Esta for¸ca é atrativa se as correntes tiverem o mesmo sentido e repulsiva se forem de sentidos contrários, de acordo com a eq. 2.10. A unidade de corrente elétrica é definida no sistema SI de unidades com base nesta for¸ca entre dois fios.

Defini¸cão. Um ampere é a corrente que percorre dois fios paralelos, à distância de um metro um do outro, no vazio, quando a for¸ca entre eles é 2 × 10−7 _{newton/metro.}9

Historicamente, foi a partir da observa¸cão das for¸cas magnéticas entre circuitos eléctricos, que se inferiu quer a existência quer a estrutura do campo magnético, em particular a lei de Biot-Savart do campo magnético criado por uma corrente eléctrica.

9_{Para além disso, visto que 1A = 1C/s, a unidade de carga eléctrica assenta na defini¸cão}

(15)

d l d B(r) dl r" r" ^ i r’ r

Figura 2.6: Um elemento de corrente idℓ cria um campo dB(r) que ´e perpendic-ular a dℓ e a r′′ _{em cada ponto, de acordo com a lei de Biot-Savart.}

2.4.2 A lei de Biot-Savart

A lei de Biot-Savart descreve o campo de indu¸c˜ao magn´etica criado no vazio por um elemento de comprimento dℓ de um fio fino percorrido por uma corrente i (ver fig. 2.6),

dB(r) = µ0 4π idℓ × ˆr′′ r′′2 , com r ′′ = r − r′ (2.11)

A constante de proporcionalidade, µ0 ≈ 4π × 10−7 NA2, ´e a permeabilidade

magn´etica do vazio e caracteriza as propriedades do meio envolvente, neste caso as do vazio.10 _{A lei de Biot-Savart (1820) tem, tal como a lei de Coulomb,}

uma base emp´ırica e assim a tomaremos. ´

E evidente a semelhan¸ca entre a lei de Coulomb da eletrostática e a lei de Biot-Savart; nesta, tal como naquela, o campo varia com o quadrado da distância e é diretamente proporcional às fontes que o criam (i.e., às correntes). Isto significa que o princ´ıpio de sobreposi¸cão também se aplica ao campo magnetostático. Todavia, como se infere pelo carácter vectorial da lei de Biot-Savart, a magnetostática é um pouco mais complicada do que a eletrostática.

O campo criado por um circuito eléctrico constitu´ıdo por um fio filiforme, necessariamente fechado, é dado pelo integral da eq. 2.11, estendido sobre 10_{No sistema SI de unidades o campo B mede-se em tesla, (T). ´}_{E também muito utilizada}

a unidade gauss, (G), por ser mais pr´atica, sendo a convers˜ao 1T = 104_{G. O campo}

(16)

todo o circuito, C, (ver fig. 2.6), B(r) = µ0i 4π I C dℓ × ˆr′′ r′′2 (2.12)

O campo criado por um fio rectil´ıneo e infinito

O campo magnético criado num certo ponto por um fio fino, rectil´ıneo e infinito, percorrido por uma corrente, i, calculado por integra¸cão da lei de Biot-Savart é a aplica¸cão mais simples da eq. 2.12. Cada elemento infinites-imal de comprimento, dℓ, origina um campo infinitesinfinites-imal dB. No plano da figura, (ver fig. 2.7), dℓ × ˆr′′ _{= dℓ cos θ ˆ}_e

⊗ mas, dada a simetria axial,

imediatamente se constata que dℓ × ˆr′′ _{= dℓ cos θ ˆ}_{ϕ. A geometria diz-nos}

que cos θ = _r̺′′, que tan θ = ℓ+b_̺ e que, portanto, dℓ = ̺ sec2θ dθ. Por

conseguinte, integrando para toda a extens˜ao do fio, B(r) = µ0i

4π̺ϕˆ

Z θ2

θ1

cos θ dθ

No limite em que o comprimento do fio tende para infinito, θ1 → −π₂ e

θ2 → +π₂ e portanto,

B= µ0i

2π̺ϕˆ (2.13)

Esta equa¸cão foi obtida primeiramente por Biot e Savart (1820) quando in-vestigavam a for¸ca de intera¸cão entre duas correntes e está associada à de-scoberta da lei de Biot-Savart, (eq. 2.11).

As linhas do campo B previstas pela equa¸cão anterior são circunferências concêntricas, centradas no fio (ver fig. 2.7). As linhas do campo B são pois linhas que se fecham sobre si próprias, nunca emergindo de ou convergindo para um ponto. Trata-se portanto de um campo solenoidal, em que ∇·B = 0 (ver fig. 1.17).

(17)

B i ϕ ρ z x y ρ^ ϕ ^ z^ y x dB i θ θ1 θ2 l d i B b) c) a) r" b ρ

Figura 2.7: Campo magnético de um fio rectil´ıneo percorrido pela corrente i. a) análise de um tro¸co de fio de comprimento ℓ; b) coordenadas e vectores; c) representa¸cões das linhas do campo magnético criado pela corrente.

y x z i dl r’ r r" dB(r)

Figura 2.8: O campo infinitesimal, dB, criado por um elemento de corrente idℓ num ponto r. Os vectores r, r′ e r′′ referem-se às posi¸cões do ponto, do elemento do circuito e à posi¸cão relativa r′′_{= r − r}′, respectivamente.

que a corrente ´e filiforme, i = j · ds, e portanto (∇ × B) ∝ j; de facto (∇ × B) = µ0j, onde a constante de proporcionalidade µ0 caracteriza as

propriedades do meio envolvente - ´e a permeabilidade do vazio.

Mostra-se a seguir que o campo magnetostático é de facto solenoidal, ∇ · B = 0, e que e que ∇ × B = µ0j, onde j é a densidade de corrente nesse

ponto. A estrutura do campo magnético é portanto distinta da do campo magnetostático.

2.4.3 O potencial vector

(18)

jdτ , (ver eq. 2.3).11 _{A eq. 2.11 fica ent˜ao dB(r) =} µ0

4π

j(r′_)×ˆ_r′′

r′′2 O campo total

obt´em-se integrando sobre o volume, B(r) = µ0 4π Z τ j(r′_{) × ˆr}′′ r′′2 dτ ′ _(2.14)

onde r′′ _{= r − r}′_{, com r}′′ _{= r}′′_ˆ_r′′_{. Podemos reescrever a eq. 2.14, partindo}

da igualdade vectorial,12 ∇ × j(r ′₎ r′′ ! = ∇ ₁ r′′ × j + _r1′′∇ × j (2.15)

Pelo facto de r e r′ _{serem vari´aveis manifestamente independentes, como}

∇ ≡ (∂x, ∂y, ∂z) e j = j(r′), ent˜ao ∇ × j = 0. Consequentemente, (ver

§ 1.5.3; eq. 1.49), ∇ × j(r ′₎ r′′ ! = ∇ ₁ r′′ × j = −rˆ ′′ r′′2 × j (2.16)

Com base nos argumentos anteriores podemos dar `a eq. 2.14 a forma13

B(r) = µ0 4π ∇ × Z τ j(r′) r′′ dτ ′ Ou seja, B_{= ∇ × A} (2.18) com A(r) = µ0 4π Z τ j(r′₎ r′′ dτ ′ _{+ const} _(2.19)

11_{Se as correntes fossem superficiais seria idℓ = kds e portanto B =} µ0 4π R Sk ×rˆ′′ r′′2 ds ′ .

12_{Se f for escalar e A vectorial, ∇ × (f A) = ∇f × A + f ∇ × A, (ver apˆendice A).} 13_{Repare-se no paralelismo com o campo eletrost´}_{atico de uma distribui¸c˜ao de cargas com}

densidade ρ, espalhada num volume τ , (ver § 1.5.3): como E(r) = 1 4πǫ0 R τρ(r ′ )ˆr′′ r′′2dτ ′ ; como ∇ 1 r′′ = −ˆr′′

r′′2 (ver eq. 1.34); e visto que r e r ′

são variáveis independentes, que ∇ ≡ (∂x, ∂y, ∂z) e que ρ = ρ(r′), então E(r) =_4πǫ01 ∇R_τ ρ(r

(19)

O vector A é o potencial vector da distribui¸cão de correntes e corresponde ao potencial eletrostático (ou potencial escalar ) de uma distribui¸cão de car-gas.

Uma consequência direta da eq. 2.18, que advém da identidade vectorial ∇ · (∇ × A) = 0, (ver apêndice A), é que, independentemente de quais sejam as distribui¸cões de correntes,

∇ · B = 0 (2.20)

Isto é, o campo magnetostático é um campo solenoidal em cada ponto, sendo esta lei conhecida como lei de Gauss da magnetostática ou também segunda equa¸cão de Maxwell.

Escolha de gauge

Se adicionarmos ao potencial vector da eq. 2.19 o gradiente de uma fun¸cão qualquer obtemos ainda o mesmo campo f´ısico, B, já que pois ∀f : ∇×∇f = 0. Por conseguinte, a expressão mais geral de A é,

A(r) = µ0 4π Z τ j(r′₎ r′′ dτ ′_{+ ∇f} _(2.21)

onde f é uma fun¸cão bem comportada, mas arbitrária. Ou seja, assim como o potencial escalar, V , é sempre definido a menos de uma constante arbitrária, pois E = −∇V = −∇(V +const.), assim também o potencial vector é sempre definido a menos do gradiente de uma fun¸cão arbitrária, bem comportada, pois B = ∇ × (A + ∇f) = ∇ × A.

Conclui-se assim que é intr´ınseca à teoria a liberdade de adicionar um gradiente ao potencial vector, sem que com isso se alterem as propriedades do campo f´ısico, B. Esta liberdade permite que se escolham algumas carac-ter´ısticas do potencial vector. Por exemplo, podemos considerar para todos os efeitos, e sem perda de generalidade, que o potencial vector tem divergência nula em todos os pontos. Com efeito, se A′ for, por hipótese, um potencial com ∇ · A′ 6= 0, então adicionando a A′ o gradiente de uma fun¸cão, f , tal que A = A′_{+ ∇f, obtém-se}

∇ · A = ∇ · A′+ ∇2f

Se f for escolhida como solu¸c˜ao da equa¸c˜ao ∇2_{f = −∇ · A}′

(20)

(i.e., A ´e solenoidal).14 _{Em qualquer caso, o campo, B = ∇ × A, ´e alheio}

à questão da escolha arbitrária de f , obtendo-se as mesmas solu¸cões f´ısicas para o campo B, independentemente de f .

Conforme o teorema de Helmholtz, para definir A são necessários a di-vergência e o rotacional; a equa¸cão B = ∇ × A fixa o rotacional de A mas nada diz quanto à sua divergência e podemos por isso fixá-la como for mais conveniente (tal como se escolhem as coordenadas mais adequadas para de-screver um problema). Esta liberdade de escolha da divergência do potencial A, é conhecida como escolha de gauge ou de padrão. No chamado gauge de Coulomb faz-se

∇ · A = 0 (2.22)

Aplicando a divergência à eq. 2.21, dado que r e r′ _{são variáveis}

indepen-dentes, tem-se ∇ · A(r) = _4πµ0 Z τ∇ · j(r′₎ r′′ ! dτ′_{+ ∇}2f (2.23)

Se a divergência fosse em ordem às variáveis r′ _{poder-se-ia aplicar aqui o}

teorema de Gauss. Contudo, como j = j(r′_{) e r}′′ _{= r − r}′_{, ent˜ao ∂} xr′′ =

−∂x′r′′, etc... e ∇ · j(r′) = 0 e podemos escrever

∇ · j(r ′₎ r′′ ! = −∇′· j(r ′₎ r′′ ! + ∇ ′ _{· j} r′′

onde ∇ ≡ (∂x, ∂y, ∂z) mas ∇′ ≡ (∂x′, ∂_y′, ∂_z′), i.e., ∇′ opera sobre as vari´aveis

r′_.

No regime estacion´ario ∇′_{· j(r}′_{) = 0 e o integral de volume da eq. 2.23}

converte-se num integral sobre a superf´ıcie, atrav´es do teorema de Gauss-Ostrogradsky, ficando ∇ · A(r) = µ_4π0 I S j _{· ds} r′′ + ∇ 2_f

onde S é a superf´ıcie do volume em que há correntes. Todavia, o integral de volume da eq. 2.23 pode de facto ser estendido para além da região em que

14_{A fun¸c˜ao f que torna solenoidal um potencial A}′

é solu¸cão da equa¸cão ∇2_{f = −∇·A}′

. Trata-se de uma equa¸cão de Poisson, cuja solu¸cão é f = _4π1 R_τ ∇·A′

r dτ ; (veja-se que a

equa¸c˜ao ∇2_{V = −}ρ

ǫ tem como solu¸c˜ao V = 1 4πǫ R τ ρ rdτ ). Se A ′

(21)

há correntes e incluir todo o espa¸co, pois j = 0 em todos os pontos em que não há correntes. Mas então isso significa (supondo que as correntes estão numa região finita) que j = 0 em todos os pontos da superf´ıcie S do integral anterior e que ele é nulo. Portanto, no regime estacionário,

∇ · A(r) = ∇2f

A escolha da condi¸cão ∇ · A = 0 implica portanto que ∇ · (∇f) = 0, i.e., que o gradiente, ∇f, não diverge de nenhum ponto do espa¸co. Ademais, ∇f = constante em infinito, tal como A, já que o infinito está por defini¸cão equidistante de qualquer ponto da região finita onde há correntes.15 _Por

consequˆencia, ∇f = constante em qualquer ponto do espa¸co e, portanto, a eq. 2.21 fica, A(r) = µ0 4π Z τ j(r′₎ r′′ dτ ′ _{+ const.} _(2.24)

Em suma, em condi¸cões estacionárias, o potencial vector está definido em qualquer ponto a menos de uma constante, tal como o potencial escalar. Essa constante pode em geral ser ignorada, fazendo o potencial nulo no infinito. O regime estacionário

A equa¸cão 2.24 é formalmente semelhante à expressão do potencial elet-rostático, considerando per se cada uma das componentes cartesianas do vector A. Visto que a expressão 2.17 é a solu¸cão da equa¸cão de Pois-son, ∇2_{V = −}ρ

ǫ0, ent˜ao tamb´em as componentes do potencial vector,

A= Axx + Aˆ yy + Aˆ zz, são solu¸cões das equa¸cões,ˆ

     ∇2_A x = −µ0jx ∇2_A y = −µ0jy ∇2_A z = −µ0jz (2.25)

as quais se podem exprimir numa ´unica equa¸c˜ao vectorial,

∇2A_{= −µ}0j (2.26)

15_{Uma fun¸c˜ao que ´e constante em todos os pontos da fronteira do seu dom´ınio e que}

(22)

Esta equa¸cão diz-nos que, em regime estacionário, o potencial vector satisfaz a equa¸cão de Poisson em cada ponto.

As equa¸cões anteriores têm grande relevância para o cálculo dos campos magnetostáticos. Com efeito, se forem conhecidas as correntes e as condi¸cões de fronteira nos limites do dom´ınio da fun¸cão A, em princ´ıpio podemos integrar a equa¸cão diferencial (vectorial) 2.26 e calcular a fun¸cão A. O campo B obtém-se então diretamente, derivando A, como B = ∇ × A. O potencial vector está portanto para a magnetostática tal como o potencial V está para a eletrostática.

Os problemas mais complicados da magnetostática, tal como os da elet-rostática, resolvem-se integrando numericamente a equa¸cão de Poisson. To-davia, no caso do potencial A falamos agora de três equa¸cões diferenciais, uma para cada componente do vector. Estas equa¸cões estão geralmente acopladas por via das condi¸cões de fronteira do campo, na forma de condi¸cões fronteira de Neumann (ver § 1.7 e § 2.9.2). Isto significa que em geral um problema de magnetostática é deveras mais complicado que um de elet-rostática.16

A lei de Amp`ere

Considerando a identidade vectorial, ∇ × ∇ × A = ∇(∇ · A) − ∇2_{A, (ver}

apˆendice A), e a eq. 2.26 do regime estacion´ario, podemos exprimir o rota-cional do campo B na forma,

∇ × B = µoj+ ∇(∇ · A)

Todavia, como no gauge de Coulomb A solenoidal, ∇ · A = 0, ent˜ao

∇ × B = µ0j (2.27)

Esta é a forma local da lei de Ampèree é válida para qualquer distribui¸cão de correntes, no regime estacionário. E também conhecida como quarta´ equa¸cão de Maxwell.

16_{Por ser matematicamente mais simples, por vezes calcula-se o campo B recorrendo}

a um potencial escalar, Λ, que apenas pode ser definido nas regiões sem correntes, onde j= 0 e, portanto, ∇ × B = 0. Nesse caso pode-se escrever B = ∇Λ, sendo Λ uma fun¸cão que satisfaz a equa¸cão de Laplace, ∇2_{Λ = 0, tal como na eletrostática. As condi¸cões de}

(23)

Conclu´ımos pois, em suma, que as equa¸c˜oes diferenciais do campo

mag-netost´atico s˜ao ₍

∇ · B = 0

∇ × B = µ0j (2.28)

Estas equa¸c˜oes s˜ao suficientes para definir o campo, nos termos do teorema de Helmholtz.

As equa¸cões integrais do campo B, correspondentes às equa¸cões diferen-ciais 2.28, obtêm-se aplicando os teoremas de Gauss-Ostrogradsky e Stokes, respectivamente. De imediato se conclui que,17

( H

SB· ds = 0 (lei de Gauss)

H

CB· dℓ = µ0i (lei de Amp`ere) (2.29)

Estas equa¸cões dizem-nos que: i) o fluxo total do campo B através de uma superf´ıcie arbitrária fechada é sempre nulo e que, ii) a circula¸cão do campo B ao longo de um percurso fechado arbitrário é igual à soma de todas as correntes que atravessem a área abra¸cada por esse contorno, a multiplicar pela permeabilidade do vazio. A lei de Ampère é muito útil no cálculo do campo magnetostático em situa¸cões que, pela sua elevada simetria, permi-tam antecipar algumas caracter´ısticas do campo, B, e extrai-lo a priori do integral da eq. 2.29b, (à semelhan¸ca da lei de Gauss da eletrostática com o campo E).

2.4.4 Condi¸

c˜

oes de fronteira do campo

B

Apesar de suficientes, nas equa¸cões locais do campo, 2.28, não têm qualquer referência a correntes superficiais. Havendo tais correntes o seu efeito não está portanto contemplado nessas equa¸cões, sendo necessário considerar ex-plicitamente as condi¸cões de fronteira, em todas as superf´ıcies em que elas existam. Com efeito, em superf´ıcies em que haja descontinuidades do campo B, as equa¸cões 2.28 não se aplicam e é necessário considerar as condi¸cões de fronteira de B.

17_{No caso da lei de Amp`ere,}

I C B_{· dℓ =} Z S∇ × B · ds = µ 0 Z S j_{· ds = µ}0i

(24)

Seja a superf´ıcie de descontinuidade, Ψ, da figura 2.9, percorrida por uma corrente superficial de densidade k = di

dℓ⊥. As eqs. 2.28 não são válidas em

pontos da superf´ıcie, mas podemos aplicar as equa¸c˜oes integrais, 2.29, em volumes e superf´ıcies da regi˜ao de Ψ. Considerando um percurso C que cruza a superf´ıcie em dois pontos, como representado na fig. 2.9, no limite em que ele contacta a superf´ıcie, tem-se

lim h→0 I C B_{· dℓ = µ}0 X i = µ0kℓ⊥

Ora, como se vˆe na fig. 2.9, ℓ⊥ = ℓ · (ˆk × ˆn), ent˜ao

(B+− B−) · ˆℓℓ = µ0k(ˆk × ˆn) · ˆℓℓ

onde B+ e B− s˜ao os limites do campo, do lado da superf´ıcie para onde

aponta ˆn e do lado oposto, respectivamente (ver fig. 2.9). Por conseguinte, como ℓ é qualquer, sem qualquer rela¸cão com B, então, necessariamente, B₊_{− B}₋ = µ0k(ˆk × ˆn). Ou seja, como ˆn × (ˆk × ˆn) = ˆk, então

ˆ

n × (B+− B−) = µ0k (2.30)

Por outro lado, aplicando a lei de Gauss na vizinhan¸ca da superf´ıcie Ψ (ver fig. 2.10), tem-se

lim

h→0

I

S

B_{· ds = ˆn · (B}+− B−) = 0

As equa¸cões que descrevem o campo magnetostático, incluindo as respec-tivas condi¸cões de fronteira em todas as superf´ıcies onde existam correntes superficiais, são pois

( ∇ · B = 0 ∇ × B = µ0j e ( divSB = ˆn · (B+− B−) = 0 rotSB= ˆn × (B+− B−) = µ0k (2.31)

2.5 Fluxo magn´

etico e indutˆ

ancia

O fluxo do campo magnético, B, através de um elemento de superf´ıcie ds é definido como dΦ = B · ds. O fluxo através de uma superf´ıcie, S, é pois

(25)

n^ l^ k ⊥ l l a) b) n^ B+ h l k B_ l_⊥ _Ψ C

Figura 2.9: Circula¸c˜ao do campo B na vizinhan¸ca de uma superf´ıcie de fronteira, Ψ, em que corre uma corrente superficial com densidade k. a) os vectores B+e B−

são os limites do campo de um e do outro lados da superf´ıcie; b) representa¸cão da proje¸cão vertical do contorno C. Note que: ℓ⊥= ℓ · (ˆk × ˆn), e que ˆn × (ˆk × ˆn) = ˆk.

n

^

h

B+

k

Ψ

s

d

s

d

B_

(26)

y z x C C’ B dl’ r’ _r r" A(r) dl i B B

Figura 2.11: Circula¸c˜ao do potencial vector, A, num contorno C, em que o campo ´e criado por um circuito C′_{, com corrente i.}

S

i C

B

Figura 2.12: O fluxo do campo magnético através da área do próprio circuito que o gera é proporcional à indutância desse circuito, Φ = Li, onde L é a indutância.

Considerando o teorema de Stokes, conclui-se assim que Φ =

I

C

A_{· dℓ} (2.32)

Ou seja, o fluxo do campo B através de uma superf´ıcie aberta qualquer é igual à circula¸cão do potencial vector ao longo do contorno que delimita essa superf´ıcie (ver fig. 2.11).

Considere-se que um circuito eléctrico, C, é percorrido por uma corrente i. O campo criado por este circuito é proporcional à corrente i, em qualquer ponto do espa¸co. Considere-se em particular a área delimitada por esse circuito, (fig. 2.12). O fluxo através da área, S, delimitada pelo circuito, Φ = RSB · ds, há de pois ser proporcional à corrente que o percorre, pois

assim ´e com o campo; isto ´e, Φ ∝ B ∝ i. Esta proporcionalidade costuma ser escrita na forma

(27)

y

z

l’

x

C

r

r’

r"

θ′

d

i

A(r)

d

Figura 2.13: O potencial vector devido a um circuito filiforme, C, com corrente i, num ponto r.

onde a constante L é a indutância do circuito, também chamada de autoin-dutância. A indutância tem, na magnetostática, papel análogo ao que tem a capacidade na eletrostática.18

O potencial vector criado por um fio fino percorrido por uma corrente estacion´aria, i, ´e dado pela eq. 2.19, fazendo j dτ′ _{= i dℓ}′_{, (ver eq. 2.3),}

A(r) = µ0i 4π I C dℓ′ r′′ (2.34)

onde r′′_{= r−r}′_{, (ver fig. 2.13). Inserindo esta express˜ao na eq. 2.32 obt´em-se}

Φ = I C A_{· dℓ =} µ0i 4π I C I C dℓ · dℓ′ r′′

ou seja, a indutˆancia, L, do circuito tem a forma L = µ0 4π I C I C dℓ · dℓ′ r′′ (2.35)

Esta expressão põe em evidência o carácter eminentemente geométrico da indutância (ver fig. 2.14). A equa¸cão permite calcular a indutância de qual-quer circuito. Porém, geralmente é mais conveniente calcular a indutância a partir da energia magnética, como se verá adiante (eq. 2.48.

Indutˆancia mutua

Sejam dois circuitos C1 e C2 (ver fig. 2.15). Em cada ponto do espa¸co, o

campo ´e a soma dos campos B1 e B2 criados por C1 e C2, respectivamente.

(28)

y z x r r" A(r) i C r’ l l’ d d

Figura 2.14: A indutância é um parâmetro puramente geométrico do circuito, L = µ0 4π H C H C dℓ·dℓ ′ r′′ . dl2 l d1 C B 1 1 i r12 B i2 C 2

Figura 2.15: Acoplamento eletromagn´etico entre dois circuitos, C1 e C2. O fluxo

magnético do campo criado por um circuito que passa através da área do outro circuito é proporcional à indutância mutua: Φ1→2 = Φ12 = M i1 e Φ2→1 = Φ21 =

(29)

O fluxo de B1 que passa atrav´es da superf´ıcie S2 do circuito C2 ´e Φ12= Z S2 B1· ds = I C2 A1· dℓ2, com A1 = µ0 4πi1 I C1 dℓ1 r12 Ou seja, Φ12= µ0 4π I C1 I C2 dℓ1· dℓ2 r12 | {z } M12 i1 = M12i1 (2.36)

Por seu lado, o fluxo de B2 atrav´es da superf´ıcie S1 do circuito C1 ´e Φ21 =

R S1B2· ds e, portanto, Φ21= µ0 4π I C1 I C2 dℓ1· dℓ2 r12 | {z } M21 i2 = M21i2 (2.37)

A quantidade M12 = M21 = M é a indutância mútua dos dois circuitos. É

evidente nas equa¸cões anteriores que a indutância mútua é também, tal como L, um fator puramente geométrico do sistema de circuitos.

As equa¸cões 2.36 e 2.37 evidenciam uma propriedade de reciprocidade espantosa e são conhecidas como fórmulas de Neumann.

Fórmula de Neumann. Independentemente das formas dos circuitos, da sua orienta¸cão e da posi¸cão relativa entre eles, o fluxo criado pelo circuito C1 no circuito C2 quando em C1 passa a corrente i é igual ao fluxo que o

circuito C2 cria em C1 se em C2 passar a mesma corrente.

Designe-se por Φ11 o fluxo de B1 atrav´es da ´area de C1 e por Φ22 o fluxo

de B2 em C2, (ver fig. 2.15). Visto que nem todas as linhas de campo que

passam em C1 atravessam necessariamente a ´area de C2, o fluxo Φ12 ´e em

geral apenas uma frac¸c˜ao, f1, do fluxo Φ11, (analogamente para o circuito

C2). Isto ´e, em geral,

Φ12= f1Φ11

Φ21= f2Φ22

onde Φ11= L1i1; Φ22= L2i2; Φ12 = M i1 e Φ21 = M i2. Por conseguinte,

(

M i1 = f1L1i1

(30)

00000000 00000000 11111111 11111111 _d r d l d i ξ i d l s d r d B a) b) C S

Figura 2.16: O elemento de corrente idℓ tem um deslocamento dr no intervalo de tempo dt. a) durante esse tempo, o elemento de corrente varre a ´area ds; b) nesse tempo o deslocamento de cada carga ´e dξ = dr + dℓ.

e, portanto, M = f1L1 = f2L2. Ou seja,

M =qf1f2

q

L1L2 (2.38)

O coeficiente f = √f1f2 ´e o chamado fator de acoplamento entre os dois

circuitos. Este fator, f ≤ 1, mede as perdas de fluxo no acoplamento entre os dois circuitos; se n˜ao houver perdas de fluxo, ent˜ao f = 1 e M =√L1L2.

Os efeitos de perda de fluxo magnético são sobremaneira importantes na eficiência dos chamados circuitos magnéticos, mormente em transformadores eléctricos, motores, geradores, etc... Com efeito, como veremos, fluxo é en-ergia!

2.6 A energia magnetost´

atica

Aceita-se facilmente a priori que uma corrente eléctrica tem energia. Im-porta Im-portanto analisar a energia de um circuito, em particular que energia é necessário pôr num circuito ideal (sem resistência) até que nele circule uma corrente estacionária, i, partindo de uma corrente inicial nula.

Supomos que no circuito da fig. 2.16 circula uma corrente constante, i, em regime estacionário e que o circuito é atravessado por um campo magnético, B. Sobre o elemento diferencial do circuito, dℓ, atua então a for¸ca de Laplace, dF = idℓ × B.

(31)

dF anterior realiza o trabalho dW = dF · dr. Considerando o produto triplo vectorial,19 _{conclui-se que}

dW = i(dℓ × B) · dr = iB · (dr × dℓ)

| {z }

ds

= iB · ds = i dΦ (2.39) Isto é, o trabalho realizado é igual à varia¸cão do fluxo do campo magnético através da área do circuito. Variar o fluxo custa energia!

A situa¸cão é, porém, mais subtil do que aparenta. Ao provocar o deslo-camento dr, cada carga não se desloca dℓ, mas, de facto, dξ = dℓ + dr (ver fig. 2.16b). Se u for a velocidade das cargas em rela¸cão ao fio e v a velocidade de deslocamento do fio, então dℓ = u dt e dr = v dt e a velocidade das cargas em rela¸cão ao campo B é d_dtξ = u + v. A for¸ca magnética de Lorentz sobre dq é portanto, de facto,

dFm = dqu × B + dqv × B = dq dtudt × B + dq dtvdt × B = idℓ × B_| _{z _} dF + idr × B_| _{z _} dF

No intervalo de tempo, dt, a for¸ca magn´etica, dFm, realiza o trabalho,

dWtot = dFm· dξ,

dWtot = i(dℓ × B) · dr + i(dr × B) · dℓ = 0 (2.40)

pois (dr × B) · dℓ = (B × dℓ) · dr). Isto é, as duas parcelas da equa¸cão anterior são simétricas uma da outra. Não é surpresa que assim seja, pois já antes t´ınhamos visto que a for¸ca magnética total não realiza trabalho sobre as cargas em que atua!, (ver § 2.4.1).

Como a primeira parcela da eq. 2.40 ´e igual a idΦ (ver eq. 2.39), conclui-se que,

dF · dℓ = −i dΦ (2.41)

Isto é, enquanto que dF ⊥ dℓ; a for¸ca dF tem, como se vê, uma componente ao longo do fio, positiva ou negativa dependendo da varia¸cão de fluxo que ocorrer, dΦ. Isto significa que para manter as condi¸cões estacionárias do sistema, (i.e., para manter a corrente constante enquanto varia o fluxo), é

19_{Produto triplo escalar:a · (b × c) = c · (a × b) = b · (c × a).}

(32)

necessário contrariar a for¸ca dF e injetar no sistema a energia correspondente ao trabalho desta for¸ca. Assim, se o fluxo magnético através do circuito variar mantendo as condi¸cões estacionárias, há seguramente uma “mão invis´ıvel” que mantém essas condi¸cões, transferindo para o sistema a energia necessária. Na verdade, a varia¸cão de fluxo não tem que resultar de movimento do cir-cuito, como acima consideramos. É equivalente considerar o circuito parado e ter as fontes do campo B a moverem-se com a mesma velocidade em sen-tido contrário (só importa o movimento relativo entre o circuito e o campo). ´

E também equivalente a situa¸cão em que tudo está parado, mas em que o campo B varia com o tempo de modo exato a dar a mesma varia¸cão de fluxo através do circuito.20 _{As três situa¸cão são fisicamente equivalentes e}

indistingu´ıveis, o que releva ´e a varia¸c˜ao de fluxo.

Num intervalo de tempo dt, a for¸ca dF realiza o trabalho, dW = −dqdtdΦ.

Ou seja, o trabalho realizado por unidade de carga ao longo do fio ´e

E = dW_dq = −dΦ_dt (2.42)

Ao trabalho realizado por unidade de carga ao longo do circuito chama-se for¸ca electromotriz - esta equa¸c˜ao ´e a famosa lei de Faraday/Lenz.

No caso particular em que o campo B é criado pelo próprio circuito, o fluxo que o atravessa é Φ = Li, (L é uma constante do circuito). Suponha-se que no instante em que Suponha-se liga o interruptor a corrente inicial é zero e que ela vai aumentando, em incrementos sucessivos, di = di

dtdt, em condi¸c˜oes

quase estacionárias. Ao incrementar a corrente de i → i + di, o fluxo varia de dΦ = L di e, portanto, tem que ser realizado sobre o sistema o trabalho dW = idΦ = Li di. Ou seja, o trabalho total que tem que se realizar até ter a corrente i é W = Z i 0 iLdi = Li2 2 (2.43)

Esta ´e a forma habitual de expressar a energia armazenada num circuito indutivo, com indutˆancia L.

A express˜ao anterior pode tamb´em ser escrita como W = 1₂iΦ e, portanto, da eq. 2.32 vem W = 1 2i I C A_{· dℓ} (2.44)

20_{Um observador cego, sentado em cima do circuito n˜ao tem forma de saber por que}

(33)

No caso mais geral, em que as correntes se espalham por um volume τ , tais que, em cada ponto, idℓ → j dτ, ent˜ao

W = 1

2

Z

τ

A_{· j dτ} (2.45)

Este integral dá-nos a energia de qualquer distribui¸cão de correntes (é válida até mesmo na mecânica quântica!).

´

E conveniente porém expressar a energia da distribui¸cão de correntes apenas em fun¸cão dos campos. O integral 2.45 pode ser estendido a todo o espa¸co, já que é nula a contribui¸cão para o integral de pontos onde j = 0. Como ∇ × B = µ0j, então W = 1 2µ0 Z τ A_{· (∇ × B) dτ}

A simplifica¸cão deste integral passa por escrevê-lo em termos de uma di-vergência, gra¸cas à identidade vectorial ∇·(A×B) = B·(∇×A)−A·(∇×B), (ver apêndice A), de modo a convertê-lo depois num integral de superf´ıcie, pelo teorema da divergência. Assim,

A_{· (∇ × B) = B · (∇ × A) − ∇ · (A × B) = B}2 _{− ∇ · (A × B)} já que B = ∇ × A. Então, usando o teorema da divergência sobre todo o espa¸co, com τ → ∞, tem-se

W = 1 2µ0 R τB2dτ − 2µ10 R τ∇ · (A × B)dτ = _2µ1₀ RτB2dτ − _2µ10 I S(A × B) · ds | {z } ց0

Os integrais anteriores são integrais estendidos a todo o espa¸co: - o primeiro integra todos os pontos até infinito, mas o segundo integra apenas pontos de infinito, sobre a superf´ıcie S, em r ∼ ∞. O infinito está por defini¸cão equidistante de qualquer ponto, pois qualquer região finita de cargas ou cor-rentes tem, nessa escala, a dimensão de um ponto. Isto é, nesse limite, S é uma esfera de raio r, em que r → ∞, e ds = r2_{sin θ dθdϕ. Lá longe, sobre}

a superf´ıcie S, com as correntes circunscritas `a vizinhan¸ca de um ponto, o campo varia como B ∼ r12; A ∼

(34)

Por conseguinte, a energia de uma distribui¸cão de correntes, que gera no vazio o campo magnetostático B, é dada pelo integral

Um = 1 2µ0 Z τB 2_dτ _(2.46)

A correspondente densidade de energia magn´etica em cada ponto do espa¸co, um = dU_dτm, ´e, portanto,

um =

1 2µ0

B2 (2.47)

Ou seja, isto significa que em cada ponto do espa¸co onde há campo magnético há energia, com densidade proporcional ao quadrado do campo. Repare-se na semelhan¸ca formal evidente que existe entre as densidades de energia magnetostática e eletrostática em rela¸cão aos respectivos campos. De facto, até pod´ıamos ter antecipado este resultado, pois, como dissemos atrás, o campo magnetostático que observamos no nosso referencial do laboratório é afinal uma manifesta¸cão do campo eletrostático criado no referencial das cargas paradas (em que não há corrente). Não surpreende portanto que ambos os campos tenham uma rela¸cão similar com a energia em cada ponto. A eq. 2.46 é uma rela¸cão muito útil para calcular a indutância de um circuito. A energia magnética total, em todo o espa¸co, é

Um = 1 2µ0 Z τB 2_{dτ =} Li2 2 (2.48)

Podemos pois extrair imediatamente a indutˆancia, L, de um qualquer cir-cuito, contando que se conhece o campo magn´etico, B, que ele cria em cada ponto do espa¸co e o respectivo integral.

2.7 Expans˜

ao multipolar do potencial vector

No paragrafo § 1.5.9 vimos que, fora da região de cargas, o potencial escalar, V , criado por uma distribui¸cão de cargas, se pode expandir numa série de termos multipolares em pontos afastados da região em que elas estão. Por igual razão, o potencial vector, A, também pode ser expandido dessa forma, m pontos longe da região das correntes que o originam.

(35)

com r′′_{= r − r}′_{. Considerando a expans˜ao do quociente} 1

r′′, (ver § 1.5.9) em

s´erie de Taylor, (em potˆencias de r′

r), pode-se ent˜ao escrever, fora da zona de

correntes, em pontos r ≫ r′_{, que}

A(r) = µ0i 4π ∞ X n=0 1 rn+1 I C(r ′₎n_P n(cos θ′)dℓ′ (2.49)

onde θ′ _{´e o ˆangulo entre r e r}′_{. Ou seja, concretizando, em pontos tais que}

r ≫ r′, o potencial A ´e A(r) = µ0i 4π ₁ r I Cdℓ ′ | {z } monopolo + 1 r2 I Cr ′_{cos θ}′_dℓ′ | {z } dipolo + 1 r3 I Cr ′23 2cos 2_θ′ −1₂ dℓ′ | {z } quadrupolo + · · · (2.50) A primeira parcela ´e nula, pois HCdℓ′ = 0. Isto significa que, pelo menos

no âmbito desta teoria, não há monopolos magnéticos.21 Consequentemente, o primeiro elemento não nulo da série - i.e., o termo mais importante - é o termo dipolar. O dipolo magnético é assim o elemento mais básico das fontes de campo magnético e tem, portanto, a maior relevância na magnetostática. O potencial dipolar magnético

O termo dipolar magn´etico da eq. 2.50 pode ser escrito na forma, (ver fig. 2.14), Adip = µ0i 4π 1 r2 I C(ˆr · r ′_)dℓ′

dado que ˆ_{r · ˆr}′ _{= cos θ}′_{. O teorema de Stokes permite converter este integral}

num integral sobre a superf´ıcie do circuito, através da equa¸cão, H_Cf dℓ = −RS∇f × ds, (ver apêndice A)22 e fica

Adip = µ0i 4π 1 r2 Z S ds ′ × ∇′(ˆ_{r · r}′)

21_{De facto n˜ao est´}_{a exclu´ıdo teoricamente que possa haver monopolos magn´eticos}

[Dirac]. Recentemente, em 2014, [nature12954] foi publicado um artigo em que se em-ulam artificialmente as condi¸cões de cria¸cão de monopolos e observou-se a sua forma¸cão. Mas na natureza jamais foram detetados.

22_{No teorema de Stokes,}H

CG· dℓ =

R

S(∇ × G) · ds, se G, que ´e qualquer, for G = fα,

(36)

i S

m

Figura 2.17: O dipolo magnético elementar, m = iS ˆn, onde ˆn é a normal à superf´ıcie da espira com o sentido dado pela regra da mão direita em rela¸cão ao sentido de circula¸cão da corrente.

onde o operador ∇′ _{opera sobre as vari´aveis r}′_{. Em coordenadas cartesianas,}

∇′ _≡P3 j=1∂x′ j eˆj e (ˆr · r ′_{) =}P3 i=1 xrix ′ i. Por conseguinte, ∇′(ˆ_{r · r}′) = 1 r 3 X i,j=1 xi ∂x′i ∂x′ j ˆ ei = 1 r 3 X i=1 xiˆei = ˆr Ou seja, Adip = µ 0i 4π 1 r2 R Sds′× ˆr e, portanto, Adip = µ0 4π m_{× ˆr} r2 , com m = iS (2.51)

onde S = S ˆn, sendo S a área abra¸cada pelo circuito C e ˆn tem o sentido dado pela regra da mão direita relativamente ao sentido de circula¸cão da corrente. O vector, m = iS ˆn, é o momento dipolar magnético do circuito. Ou seja, o momento dipolar magnético elementar é convenientemente descrito pelo produto entre a corrente e a área que ela delimita, com dire¸cão e sentido dados pela regra da mão direita, (ver fig. 2.17).

O termo dipolar é o termo principal da série da eq. 2.50. Os termos de ordem superior: o termo quadrupolar magnético, octopolar magnético, etc... vão rapidamente para zero, para distâncias grandes. A sua importância para o potencial depende da precisão com que se queira descrever o campo e das corre¸cões que sejam necessárias em determinada aplica¸cão (e.g., alguns

Por conseguinte,

I

Cf dℓ = −

Z

S(∇f × ds

(37)

equipamentos têm bobinas de corre¸cão quadrupolar, etc...).23 _{Contudo, não}

analisamos aqui esses termos de ordem superior. ´

E instrutivo colocar lado a lado e comparar os potenciais dos dipolos el´ectrico e magn´etico ideais, Vdip e Adip (eqs. 1.77e 2.51),

Vdip = _4πǫ10

p·ˆr

r2 (2.52)

Adip= µ_4π0m_r2×ˆr (2.53)

A semelhan¸ca formal entre as duas expressões é manifesta: - ambos os po-tenciais decrescem com o quadrado da distância e são proporcionais aos re-spectivos momentos dipolares, conquanto um seja escalar e o outro vectorial. Os campos E e B variam também ambos com o cubo da distância, e são também semelhantes entre si na forma,

Edip= −∇Vdip = _4πǫp₀_r3(2 cos θ ˆr + sin θ ˆθ) (2.54)

(2.55) B_dip_{= ∇ × A}_dip= µ0m

4πr3(2 cos θ ˆr + sin θ ˆθ) (2.56)

Estas expressões são válidas na aproxima¸cão de dipolo ideal (e orientado segundo ˆ_{z), em que a distância ao dipolo é r ≫ r}′_{, onde r}′_{descreve a região de}

cargas ou correntes. As linhas de campo de Edipe de Bdipest˜ao representadas

na fig. 2.18, lado a lado. Na fig. 2.19 representam-se, para compara¸c˜ao, os campos E e B de dipolos reais.

2.8 Energia potencial de um dipolo magn´

etico

Seja um dipolo magnético constitu´ıdo por uma espira quadrada, de lado a, na presen¸ca de um campo magnético externo, B, que é constante na região da espira.24 _{O plano da espira está, por hipótese, inclinado de um ângulo θ em}

rela¸cão a B, (ver fig. 2.20). A for¸ca de Laplace (eq. 2.10) que atua sobre cada elemento dℓ da espira é dF = idℓ×B. As for¸cas nos lados (3) e (4) cancelam-se mutuamente, porque são opostas; as outras for¸cas constituem um binário 23_{Por exemplo, o campo magnético da Terra é aproximadamente dipolar, tem polos N}

e S. Todavia, uma descri¸cão mais fina do campo magnético terrestre requer a inclusão de mais termos da série multipolar, dependendo da precisão da aproxima¸cão.

24_{Uma espira com forma arbitr´aria pode ser considerada como uma soma de espiras}

(38)

a) b)

E B

Figura 2.18: Linhas de campo de E e B no plano xy, criados por dipolos ideais com dire¸cão/sentido ˆz: a) dipolo eléctrico e b) dipolo magnético.

_ + _ +

a) b)

(39)

^ x b) a) (4) (1) (2) (3) θ r r F i i F m z y B θ θ F B i F B F B F i i i m B θ

Figura 2.20: Uma espira quadrada, com corrente, i, posta na presen¸ca de um campo magnético externo, B, fica sujeita a um binário de for¸cas. a) representa¸cão em perspetiva; b) representa¸cão da proje¸cão yz.

de for¸cas, cujo momento ´e N = 2 (r × F ) = aF sin θ ˆx = ia2_{B sin θ ˆ}_{x, pois}

r = a/2. Ou seja,

N _{= m × B} (2.57)

O dipolo magnético fica sujeito a um binário de for¸cas. Esta expressão é válida para qualquer momento dipolar pois, em princ´ıpio qualquer dipolo poderá ser decomposto numa soma de espiras infinitesimais, sendo então N =R dN =R _{dm × B.}

`

A mercê do binário de for¸cas anterior, o dipolo tende a rodar na dire¸cão do campo B e podemos-lhe portanto associar uma energia potencial. A energia potencial de orienta¸cão do dipolo magnético relativamente ao campo relaciona-se com o trabalho das for¸cas do binário. Ora, o trabalho que é realizado pelas for¸cas de um campo é sempre feito a expensas da energia potencial, U , que por isso baixa. Assim, num percurso elementar, dλ, tem-se −dU = PF _{· dλ.}

(40)

λ d dλ z y θ θ θ d d B B F i F i r r m θ

Figura 2.21: Rota¸c˜ao de um momento magn´etico m colocado na presen¸ca de um campo B.

P

iFi· dλi = −2F r dθ sin θ = F a sin θ dθ = −ia2B sin θ dθ. Ou seja,25

dU = mB sin θ dθ

Integrando esta equa¸c˜ao tem-se, Rθ0dU = U (0) − U(θ) = mB cos θ − mB.

Ora, como esta igualdade é válida para qualquer ângulo θ, então deve ser U (θ) = −mB cos θ (e U(0) = −mB). Isto é, a energia potencial de um 25_{De facto, o deslocamento do fio da espira significa que cada carga tem o deslocamento}

dℓ → dξ = dℓ + dλ e, portanto, dF → dFm= dF + dF , onde dF = idλ × B. O trabalho

da for¸ca de Lorentz, dFm, ´e nulo, pois, de facto,

dWtot= dFm· dξ = dF · dλ + i(dλ × B) · dℓ = 0

(ver § 2.6). A primeira parcela corresponde ao trabalho das for¸cas do binário. A segunda parcela representa o trabalho da componente da for¸ca dF na dire¸cão da corrente; o que significa que esta parcela altera a corrente, (porque acelera as cargas). Por conseguinte, se a espira rodar a corrente varia, facto que não surpreende, já que se dá uma varia¸cão do fluxo do campo magnético através da espira quando esta roda, (ver eq. 2.39). Ao supor que a espira tem corrente, i, constante, está-se pois, implicitamente, a assumir que é transferida para o sistema a energia necessária para manter as condi¸cões estacionárias (ver a discussão em § 2.6). Por isso, em condi¸cões estacionárias, o que releva e de facto importa é o trabalho das for¸cas do binário.

(41)

dipolo magn´etico, m, na presen¸ca de um campo, B, ´e

U = −m · B (2.58)

A energia potencial é portanto m´ınima quando o dipolo se orientar no sentido do campo. Porém, tal só acontece se ele trocar energia com o meio envolvente, porque tem que haver conserva¸cão de energia, de contrário ficará a precessar em torno da dire¸cão do campo, como faz um pião.26

Em suma, de modo análogo ao que se verifica com um dipolo eléctrico, um dipolo magnético na presen¸ca de um campo magnético tem uma energia potencial de orienta¸cão e sente um binário os quais são dados respectivamente pelo produto escalar e pelo produto vectorial entre o momento dipolar e o campo.

Se o campo B for uniforme, a for¸ca total sentida pelo dipolo magnético é nula. Não sendo esse o caso, dado que F = −∇U, então

F _{= ∇(m · B)} (2.59)

Dado que o campo B é criado por correntes que estão algures, afastadas do dipolo, então, no regime estacionário, ∇ × B = 0 e a expressão anterior reduz-se27 _{a F = (m · ∇)B, (cf. com a expressão análoga para o dipolo}

el´ectrico).

2.9 Meios magn´

eticos

Um material a que seja aplicado um campo magn´etico exterior evidencia sem-pre algum tipo de comportamento magn´etico, mais ou menos pronunciado dependendo das suas caracter´ısticas espec´ıficas.

Em geral, no que concerne ao magnetismo, os materiais classificam-se em três grandes categorias, consoante a resposta que têm a um campo magnético 26_{E a minimiza¸cão de energia que faz que a agulha de uma b´}_´ _{ussola (que é um dipolo}

magnético), se oriente no sentido das linhas do campo magnético da Terra (sem nen-hum atrito a agulha ficaria a oscilar indefinidamente em torno do N). Na ressonância magnética nuclear (NMR) os dipolos magnéticos nucleares são solicitados por um campo magnético exterior muito forte. Uma onda electromagnética enviada do exterior interage, em condi¸cões ressonantes, com os dipolos e promove o seu alinhamento na dire¸cão do campo, ao estimular a liberta¸cão da energia dipolar magnética na forma de uma onda electromagnética. Esta última permite fazer uma imagem das condi¸cões locais do meio, com eventual interesse médico. É neste princ´ıpio que se baseia toda a imagiologia de NMR.

(42)

externo: i) diamagnéticos; ii) paramagnéticos ou iii) ferromagnéticos (in-cluindo nestes os antiferromagnéticos, in(in-cluindo os ferrimagnéticos).

O comportamento magnético é determinado primeiramente pela ex-istência de dipolos magnéticos no meio material, quer eles sejam induzidos por um campo magnético exterior ou sejam intr´ınsecos à própria natureza desse material.

Do ponto de vista macroscópico podemos pois descrever o magnetismo de um material a partir da respectiva densidade de dipolos magnéticos, indepen-dentemente da origem, natureza ou causa desses dipolos. É pois adequado definir a magnetiza¸cão igual à densidade dipolar magnética,

M = dm

dτ (2.60)

Regra geral, a magnetiza¸cão é mais significativa se o campo exterior apli-cado for mais intenso (excepto se for tão intenso que a magnetiza¸cão atinja o valor de satura¸cão). Todavia, a resposta dos materiais magnéticos não varia geralmente de forma linear com o campo aplicado, especialmente se forem ferromagnéticos. Mas deixemos essa discussão para depois.

Analisaremos mais adiante a origem e a natureza microscópica dos dipo-los magnéticos de um material. Porém, do ponto de vista estrito da descri¸cão macroscópica do magnetismo nos materiais, podemos por ora atribuir a mag-netiza¸cão a correntes equivalentes existentes dentro do material, a que dare-mos o nome de correntes de magnetiza¸cão ou correntes de Ampère. Estas correntes equivalentes de magnetiza¸cão, a que se atribui a origem da mag-netiza¸cão, são evidentemente um modelo de pensamento, mas é um modelo muito útil por permitir trazer os meios materiais para o âmbito da magne-tostática.

Há pois necessidade de distinguir explicitamente as correntes livres, cuja densidade é jℓ, e as de magnetiza¸cão, com densidade é designada por jm,

a que se atribui a magnetiza¸cão. A densidade de corrente em pontos de um meio material é portanto j = j_ℓ + j_m. Nas superf´ıcies dos materiais também pode haver correntes superficiais, quer livres quer de magnetiza¸cão, com densidades kℓ e km, respectivamente, em que k = kℓ+ km.

A magnetiza¸c˜ao

(43)

⊥ 000 000 000 111 111 111 km km δl m d k^^ ^n M

Figura 2.22: A magnetiza¸cão de um material. Dipolos magnéticos e correntes elementares equivalentes de Ampère associados à magnetiza¸cão.

tal que dm = δimds ˆm (ver fig. 2.22). Em resultado da sobreposi¸c˜ao destas

correntes elementares surgem correntes superficiais de magnetiza¸c˜ao, com densidade km = δi_dℓm

⊥, (se a magnetiza¸c˜ao for homog´enea, as correntes

el-ementares cancelam-se mutuamente em todo o volume). Por conseguinte, M = dm

dτ = δim

dℓ_⊥m = kˆ mm, j´a que dτ = dsdℓˆ ⊥. Dado que ˆm = ˆn × ˆkm, ent˜ao

conclui-se que

M = ˆ_{n × k}m e que km = M × ˆn (2.61)

Há portanto uma rela¸cão direta entre a magnetiza¸cão e as correntes superfi-ciais de magnetiza¸cão. A equa¸cão anterior não envolve contudo as correntes volumétricas, j_m, cujo efeito é igualmente necessário considerar.

Numa região de volume τ , delimitada pela superf´ıcie S, a soma de to-das as correntes de magnetiza¸cão, dentro e sobre S, há de ser sempre zero, evidentemente. Ou seja, (ver fig. 2.23),

Z τ j_mdτ + I S kmds = 0 (2.62)

Substituindo a eq. 2.61 vem

Z

τ

j_mdτ +

I

S(M × ˆn) ds = 0

O integral em S pode ser convertido num integral de volume atrav´es do teorema de Gauss,28 _{ficando ent˜ao}

Z τ j_m_{dτ −} Z τ(∇ × M) dτ = 0 28_{Se no teorema de Gauss,} H SG· ds = R

(44)

Como esta igualdade é válida independentemente do volume que se considere, então necessariamente

∇ × M = jm (2.63)

supondo que as fun¸cões são bem comportadas. Conclui-se assim que as fontes do campo M se podem atribuir efetivamente a correntes de magnetiza¸cão. Aliás, foi assim que as concebemos: como correntes (equivalentes) que criam os dipolos do material.

Aplicando o teorema de Stokes à equa¸cão anterior conclui-se que, M também satisfaz a equa¸cão integral,

I

C

M _{· dℓ = i}m (2.64)

Nas superf´ıcies em que haja correntes superficiais, mormente nas inter-faces entre meios magnéticos diferentes, aplicar-se-á a equa¸cão de fronteira,

rotSM = ˆn × (M+− M−) = km (2.65)

como é fácil de concluir considerando uma circula¸cão da magnetiza¸cão na vizinhan¸ca dessa superf´ıcie, (ver § 2.4.4). Vemos agora que a eq. 2.61 é afinal um caso particular da eq. 2.65, quando M+= 0.

O campo M definido nos termos anteriores é um campo médio, com interesse para uma descri¸cão macroscópica dos fenómenos de magnetismo, cujo rotacional é igual à densidade de correntes equivalentes de magnetiza¸cão. Todavia, nos termos do teorema de Helmholtz (§ 1.8), essa condi¸cão não é suficiente para definir o campo M , é também necessária a equa¸cão da divergência, ∇ · M. Ou seja, apesar de ∇ × B e ∇ × M serem formalmente semelhantes e terem as correntes como fontes, B e M não têm a mesma estrutura vectorial: - o campo B é sempre solenoidal (∇ · B = 0), mas o campo M pode ter ∇ · M 6= 0.

O campo H

Todas as correntes criam campo magnético, B, i.e., todas são fontes do campo B, quer as correntes livres quer as (equivalentes) de magnetiza¸cão.

G_{= A × B, com B = contante, ent˜ao, como ∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B) e,} como pelo produto triplo, (A × B) · ds = (ds × A) · B, tem-se que

I

S

A× ds = − Z