7.1. Pág. 17. Tarefa 2 B \C = {(1, 3), (1, 4), (1, 6), (5, 0), (5, 3), (8, 0)} B = {(1, 9), (5, 6), (5, 9), (8, 3), (8, 4), (8, 6), (8, 9)}

TEMA 1: PROBABILIDADES E COMBINATÓRIA

1. Experiências aleatórias: A , C e D Experiência determinista: B 2. 3.1. 3.2. 4.1. O acontecimento B 4.2. O acontecimento D

4.3. Por exemplo, o acontecimento A

Tarefa 1 1.1. 1.2. 1.3. 11 1.4.1. , , , e 1.4.2.1. O acontecimento E 1.4.2.2. O acontecimento D 1.4.2.3. O acontecimento B 1.4.2.4. O acontecimento A 2.1. 2.2. 5. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 7.1. 7.2.1. 7.2.2. 7.2.3. 7.2.4. 7.2.5. Tarefa 2 1. W = {(1 , 0) , (1 , 3) , (1 , 4) , (1 , 6) , (1 , 9) , (5 , 0) , (5 , 3), (5 , 4) , (5 , 6) , (5 , 9) , (8 , 0) , (8 , 3) , (8 , 4) , (8 , 6) , (8 , 9)} 2. A = {(1 , 0) , (5 , 0) , (5 , 3) , (5 , 4) , (8 , 0) , (8 , 3) , (8 , 4) , (8 , 6)} B = {(1 , 0) , (1 , 3) , (1 , 4) , (1 , 6) , (5 , 0) , (5 , 3) , (5 , 4) , (8 , 0)} C = {(1 , 0) , (5 , 4) , (5 , 6) , (8 , 9)} {(1 , 3) , (1 , 4) , (1 , 6) , (1 , 9) , (5 , 6) , (5 , 9) , (8 , 9)} {(1 , 9) , (5 , 6) , (5 , 9) , (8 , 3) , (8 , 4) , (8 , 6) , (8 , 9)} {(1 , 3) , (1 , 4) , (1 , 6) , (1 , 9) , (5 , 0) , (5 , 3) , (5 , 9) , (8 , 0) , (8 , 3) , (8 , 4) , (8 , 6)} 3. 8.1.1. B e C 8.1.2. A e B 8.2.1. 17 8.2.2. 26 8.2.3. 17 8.2.4. 25

8.3. Os acontecimentos A e B não são contrários porque,

embora , .

Tarefa 3

1.1. A afirmação é falsa. Os acontecimentos A e B são compa-tíveis porque .

1.2. A afirmação é verdadeira. Os acontecimentos A e C são compatíveis porque .

1.3. A afirmação é falsa. Os acontecimentos B e C não são contrários porque .

2.1. “Em nenhum dos lados da peça há 4 pontos.”

2.2. “A soma dos pontos dos dois lados da peça é maior ou igual a 5 mas diferente de 6 .”

2.3. “Num dos lados da peça há 4 pontos e a soma dos pontos dos dois lados da peça é maior ou igual a 5 .”

3. E : ”A soma dos pontos dos dois lados da peça é igual a 2 .” 4.1. 3 4.2 8

4.3. 10 4.4 13

5.1. A peça II 5.2 A peça III 5.3. A peça I Pág. 11

Pág. 12

W =

_{

15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20

_}

W =

{

azul, amarela, vermelha, verde

_}

W =

_{

35 , 50 , 60 , 75 , 100 , 110 , 125 , 150

_}

Pág. 13 Pág. 14 W =

_{

2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11, 12

_}

A =

_{

2 , 3 , 5 , 7 , 11

_}

B =

_{

10

_}

C =

_{

3 , 5 , 7

_}

D =

_{

2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12

_}

W =

{

2 , 3 , 6 , 12 , 18

_}

W =

{

1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 , 18 , 36

_}

Pág. 15

4

7

5

1

2

3

8

A B W

6

A © B =

_{

2 , 5

_}

A =

_{

8 , 11 , 15

_}

A ∂ B =

_{

2 , 5 , 9 , 11 , 15

_}

Pág. 16 5 7 3 2 6 8 4 10 1 9 A B C W A ∂ B =

_{

2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10

_}

C =

_{

4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 10

_}

B © C =

_{

2 , 6

_}

Pág. 17 A = B = C = Pág. 18 A ∂ B 0W A © B =

_{}

Pág. 19 A © B 0

_{}

A © C 0

_{}

B ∂ C 0W W \ B =

_{

8 , 9

_}

A \ C =

_{

5 , 7

_}

C \ A =

_{

1 , 6

_}

B \ C =

_{

(1 , 3) , (1 , 4) , (1 , 6) , (5 , 0) , (5 , 3) , (8 , 0)

_}

E =

_{{ }}

206

Soluções

NEMA12-P1 © Porto Editora

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 NEMA12_P1_F13_20115029_1P_20115029_TXTP1_P193_208 12/06/04 15:46 Page 206

9.1.1. 10% 9.1.2. 10% 9.2. 36 10.1. 10.2.1. 41% 10.2.2. 9% 10.2.3. 75% 11. A máquina B 12.1.1. Falsa 12.1.2. Falsa 12.1.3. Verdadeira 12.2.1. 0,76 12.2.2. 1 12.2.3. 0,24 12.2.4. 0,76 Tarefa 4 1. 2. 0,666

3. No saco há 4 bolas vermelhas e 2 bolas pretas.

13. 84% de sucesso. À medida que aumenta o número de tes-tes realizados, a frequência relativa do sucesso da vacina tende para 0,84 . 14.1. ; ; ; 14.2. ; ; ; 15.2.1. 15.2.2. 15.2.3. 16.1. P (B) = 0,15 ; P (C) = 0,45 16.2. 0 16.3. 0,6 16.4. 1 17.1. 17.2. 17.2. 18.1. “Sair bola vermelha.”

18.2. “Sair bola preta.”

18.3. “Sair bola vermelha ou amarela.” 18.4. “Não sair bola amarela.” 19.1. 12 bolas brancas 19.2. Oito bolas pretas

20. 19 21.1. 21.2. 23.1. 23.2. 23.3. Tarefa 5 1.1. 0,2 1.2. 0,6 1.3. 0,2 2.1. 2.2. 2.3. 0 2.4. 2.5. 2.6. Tarefa 6 1. 2.1.1. 2.1.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.3.1.

2.3.2. Os acontecimentos elementares são equiprováveis pois têm a mesma probabilidade de ocorrer.

3. 11% 4% 8% 9% 14% 2% 41% A B C W 11% Pág. 21 Pág. 22 Pág. 23 Pág. 26 W =

_{

1 , 2 , 3

_}

P

_({

1

_})

= 1 3 P

({

2

})

= 13 P

({

3

})

= 13 W =

{

1 , 2 , 3

_}

P

_({

1

_})

= 1 2 P

({

2

})

= 16 P

({

3

})

= 13 1 4 3 4 1 2 Pág. 27 1 4 3 4 1 13 Pág. 28 1 5 7 15 Pág. 29 1 8 7 8 1 2 Pág. 30 1 8 1 8 3 8 3 8 7 8 Pág. 31 1 3 3 4 5 6 W =

_{

6 , 8 , 12 , 24

_}

1 3 Pág. 20

NEMA12-P1 © Porto Editora

N.º de experiências

Bola vermelha Bola preta

N.º de ocorrências Freq. relativa fr(V) N.º de ocorrências Freq. relativa fr(P) 50 38 0,76 12 0,24 100 63 0,63 37 0,37 250 162 0,648 88 0,352 400 268 0,67 132 0,33 500 331 0,662 169 0,338 750 501 0,668 249 0,332 1000 665 0,665 335 0,335 * 1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12 4 8 12 16 * 2 3 4 2 6 8 3 6 12 4 8 12

208

Soluções

NEMA12-P1 © Porto Editora

Falam inglês Não falam

inglês

Falam português 62 20 82

Não falam português 100 18 118

162 38 200 A A B 32 32 64 B 24 46 70 56 78 134 24.1. 10 000 24.2. 10-4 25.1.1. 25.1.2. 25.1.3. 25.2. 26.1. 0 26.2. 26.3. 27.1. 27.2. 27.3. 27.4. 27.5.

29.1. A e B não podem ser acontecimentos contrários porque .

29.2. 29.3.

30.1. Falsa 30.2. Verdadeira 30.3. Falsa 31. e 32.1. 32.2. 32.3. 34. 0,7 35. 0,2 Tarefa 7 1.1. 2.1. 0,4 2.2. 0,4

4.2. Por exemplo, A : ”Sair um ás.” e B : ”Sair uma carta de copas.” 36.1. 36.2. 36.3. 36.4. 36.5. 37.1. 37.2. 0 37.3. 38.1. e 38.2. Azul

39.1. A e B são incompatíveis pois . 39.2.1. 0 39.2.2.

40.1. : “Ter perdido o comboio dado que acordou tarde.” : “Ter acordado tarde dado que perdeu o comboio.” 40.2. 0,2

Tarefa 8 1.1.

1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 1.2.4. 1.2.5. 1.2.6.

2.1. A : ”Estar inscrito nos cursos gerais.” e B : ”Ser rapariga.”

2.2.1. 2.2.2. 2.2.3.

Tarefa 9

1.1. 1.2. 2.

Tarefa 10

1. Há dois casos favoráveis e 18 casos possíveis. . 2.1. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.2.4. 1 4 11 18 3 4 4 15 Pág. 33 29 60 31 60 1 221 188 221 1 17 4 17 32 221 Pág. 36 P (A) + P (B) 0 1 P (A © B) ≤ 0,3 P (A ∂ B) ≤ 0,8 P (A) =1 3 P (B) = 2 3 Pág. 37 3 10 1 20 37 60 Pág. 38 1 10 P (A © B) = 0,05 Pág. 39 1 2 2 3 3 4 3 5 1 2 1 6 1 3 Pág. 40 P (B|A) = 1 P (A|B) =2 3 P (A © B) = 0 1 4 B|A A|B Pág. 32 Pág. 41 31 81 1 2 31 100 9 19 50 59 10 41 23 35 16 67 35 67 Pág. 42 5 12 1 6 4 15 Pág. 43 P (B|A) =1 9 2.ª extração 1.ª extração P

(

A1) = 2 P (V2|A1) = 2 = 2 P

(V1) = 2

P (A2|A1) = 2 = 2 P

(A2|V1) = 2

P

(

V2|V1) = 2 3 5 2 5 2 4 1 2 2 4 1 2 1 4 3 4 1 10 3 10 2 5 3 5 NEMA12_P1_F13_20115029_1P_20115029_TXTP1_P193_208 12/06/04 15:50 Page 208

2.3.1. 2.3.2. 2.3.3. 2.3.4. 42.1. 42.2. 42.3. 42.4. 43.1. 43.2. 44.1. 0 44.2. 44.3. 45. 46.1. 0,14 46.2. 0,26 46.3. 0,325 47. 0,06 48.1. A e B são independentes. 48.2. 0,1 49. 0,35 51.1. 0,001 51.2. 0,027 51.3. 52.1.

52.2. A e B não são independentes porque P (A © B) 0 P (A) * P (B) . 54.2. 0,999 Tarefa 11 1.2. 85% 4.2. 5. P (C) = 0,8 e P (D) = 0,75 ou P (C) = 0,75 e P (D) = 0,8 Proposta 1 1.1. 1.2. 1.3. 2.1. A 2.2.1. B e C 2.2.2. A e B 2.2.3. A e C Proposta 2 1.1.

1.2. Não. P (Sair azul) 0 P (Sair verde) 2.1. 3.1. 3.2. 3.3. Proposta 3 1. 2. Sara Proposta 4 1. 16 2. , , e Acontecimento elementar: C 3.1. A e B 3.2. A e D 4. Falsa Proposta 5 1. A e B são compatíveis. 2. A e C não são compatíveis.

Proposta 6 1.

2.1. D 2.2. Não existe 2.3. C 3. A afirmação é verdadeira.

Proposta 7

1.1. : “Ocorre número ímpar não superior a 5 .” 1.2. : “Ocorre número ímpar ou número menor que 4 .” 1.3. : “Ocorre número não superior a 5 e não inferior a 4 .” 2.1. 2.2. 2.3. 1 Proposta 8 1. 27 bolas 2.1. 2.2. 2.3. Proposta 9 1.1. 20

1.2. (verde, amarela) ; (vermelha, amarela) ; (preta, amarela) ; (azul, amarela) 1.3. 2.1. 25 2.2. 5 2.3. Proposta 10 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 2. 1 2 1 2 3 4 1 4 Pág. 44 13 28 5 28 8 13 4 9 1 3 6 11 Pág. 45 1 2 3 4 49 81 Pág. 46 Pág. 47 27 64 3 20 Pág. 48 Pág. 49 3 4 Pág. 51

W =

_{

1 , 2 , 3 , 4

_}

W =

_{

vermelha, amarela, azul

_}

W =

_{

2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8

_}

W =

{

azul, verde

_}

W =

_{

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

_}

4 7 2 7 5 7 Pág. 52 W =

_{

(E , E) , (E , N) , (N , E) , (N , N)

_}

A =

_{

11 , 22 , 33 , 44

_}

B =

_{

12 , 14 , 22 , 24 , 32 , 34 , 42 , 44

_}

C =

_{

11

_}

D =

_{

21 , 31 , 32 , 41 , 42 , 43

_}

Pág. 53 W =

_{

1 ; 1,50 ; 2,50 ; 3

_}

A © B A ∂ C B ∂ C 2 9 8 9 Pág. 54 10 39 19 39 20 39 3 5 4 5 A © C =

_{

(2 , 1) , (3 , 1) , (3 , 2)

_}

B © D =

_{

(1 , 3) , (3 , 1)

_}

A ∂ C =

_{

(1 , 2) , (1 , 3) , (2 , 1) , (2 , 3) , (3 , 1) , (3 , 2) , (4 , 1) , (4 , 2) , (4 , 3)

_}

A © C =

_{

(4 , 1) , (4 , 2) , (4 , 3)

_}

P (A) =1 2 ; P (B) = 5 6 ; P (C) = 1 2 ; P (D) = 1 3

NEMA12-P1 © Porto Editora

Proposta 11 Proposta 12 1.1. 20% 1.2. 44% 1.3. 86% 2.1. 20% 2.2. 33 Proposta 13 2. 0,25 Proposta 14 2. 0,56 Proposta 15

1. A e B não são independentes. 2.1. 0,5 2.2. 0,2 Proposta 16 (B) Proposta 17 1.1. I : II : 1.2. I : {amarela} e {azul} II : {1} , {2} , {3} , {4} e {5} 2. Experiência II Proposta 18 1. (D) 2. (A) Proposta 19 1. 63,22% 2. 35,86% 3. 97,50% 4. 96,55% 5. 26,67% Proposta 20 1. 72,4% 2. 50,7% Proposta 21 1. 2. 3. 4. Proposta 22 1. 48,85% 2. Proposta 23 1. 2.1. 0 2.2.

Parte 1 – Questões de escolha múltipla 1. (B) 2. (D) 3. (A) 4. (C) 5. (B)

Parte 2 – Questões de resposta aberta 1.1. 1.2.

3.1.1. “O produto ser 4 .” e “O produto ser 2 .” 3.1.2. “O produto ser 1 .”

3.2.1. 0 3.2.2. 1 55. 180 56.1. 6 56.2. 15 56.3. 30 57.1. 100 57.2. 15 58.1. 24 58.2.1. 8 58.2.2. 16 58.2.3. 4 59.1. 10 000 59.2. 4096 59.3. 256 60. 3 486 784 401 Tarefa 12 1.1. 100 000 1.2.1. 2000 1.2.2. 2.1. 4000 € 2.2. 270 3.1. 6 760 000 61.1. 4920 61.2. 132 61.3. 79 62.1. 62.2. 63.1. 120 63.2. 64. 360 65.1. 20! 65.2. 6840 66.1. 120 66.2. 60 66.3. 12 67.1. 210 67.2.1. 67.2.2. Pág. 55 3 4 Pág. 56 W =

{

amarela, azul

_}

W =

{

1 , 2 , 3 , 4 , 5

_}

Pág. 57 Pág. 58 1 6 10 39 6 35 2 5 6 13 Pág. 59 11 24 2 3 Pág. 60 Pág. 61 3 8 5 7 Pág. 62 Pág. 63 Pág. 64 Pág. 65 1 5 Pág. 66 7! 3! 15! 10! Pág. 67 1 5 Pág. 68 4 7 1 7

210

Soluções

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Tarefa 13 1.1.1. 12 1.1.2. 12 1.2.1. 1.2.2. 2.1. 30 240 3. A resposta correta é a A . Tarefa 14 1.1. 40 320 1.2. 6720 1.3. 2.1. 2.2. 2.3. 3.1. 6 3.2. 2 68. 6 69. 35 70. 15 71. 1140 72. 1 233 225 73.1. 215 860 73.2. 2 403 500 73.3. 3 643 200 73.4. 8 106 300 74.1. 84 74.2. 504 75.1. 2916 75.2. 486 75.3. 36 76.1. 9375 76.2. 3840 Tarefa 15 2.1. 5040 2.2. 12 2.3. 180 2.4. 302 400 3.1. 672 672 000 3.2. Tarefa 16 1.1.1. 36 190 440 1.1.2. 21 187 600 1.2. 2 118 760 2.1. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. Tarefa 17 2.1. 1440 2.2. 3. A afirmação é verdadeira. Tarefa 18 1.1. 98 280 1.2.1. 1.2.2. 2.1. 220 2.2. 2.3.1. 2.3.2. 2.4. 3. 32 4.1. 70 4.2. 255 77.1. 176 77.2. 176 77.3. 210 78.1. 35 78.2. 1 , 33 e 528 78.3. 595 , 35 e 1 79. 165 80.1. 3 ; 7 80.2. 21 80.3. 6 ; 12 80.4. 5 ; 9 81. 252 82. 4 83.1. 13 83.2. 4096 84. 256 e 2048 85.1. 85.2. Tarefa 19 1. a = 455 , b = 3003 e c = 1820 2. 1378 3.1. 3.2. 4.1. 4.2. 4.3. 86.1. 86.2. 86.3. 86.4. 87.1. 87.2. 2 5 3 10 Pág. 70 1 56 1 360 1 3 1 15 Pág. 71 Pág. 72 Pág. 73 Pág. 74 1 120 Pág. 75 8 35 4 7 1 35 2 21 Pág. 76 3 7 Pág. 77 1 5 3 5 3 55 1 11 9 22 1 1320 Pág. 79 Pág. 80 Pág. 81 16 45 1 9 Pág. 82 1 3 2 9 1 11 54 55 19 55 Pág. 83 x5_{+ 5x}4_{+ 10x}3_{+ 10x}2_{+ 5x + 1} 16 + 32x2_{+ 24x}4_{+ 8x}6_{+ x}8

y6- 12y5+ 60y4- 160y3+ 240y2- 192y + 64

32x5_{- 80x}4_{y + 80x}3_y2_{- 40x}2_y3_{+ 10xy}4_{- y}5

Pág. 84

32 + 80x2_{+ 80x}4_{+ 40x}6_{+ 10x}8_{+ x}10

27 - 27x + 9x2_{- x}3

Pág. 69

88.1. 15x2 _{88.2. 20 88.3. Não existe} 90.1. 90.2. 5670x4 91.2. 495 92. 93. Tarefa 20 1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.2. 2.1. 64 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 3.1. 0,504 3.2. 0,01 3.3. 0,112 Tarefa 21 1. 15 2.1. 2.2. 2.3. Tarefa 22 1. 6 2. Tarefa 23 1.1. 35 1.2. 2.1. 2.2.1. 2.2.2. 94.1. 16% 94.2. 95.1. m = 0,4 95.2.1. 0,4 95.2.2. 0,6 95.2.3. 1

96.1. A variável X pode tomar os valores 1 , 2 e 3 . 96.2. 97. Tarefa 24 1. 2.1. 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 e 6 2.2. 2.3. Antunes 2.4. 15 jogadas 3.1. 1 , 2 , 3 e 4 3.2. 4.1. 4.2.1. 4.2.2. 4.2.3. 98.1. 0 , 2 , 3 e 6 98.2.1. 98.2.2. 99. 100.

101. Dois dos vértices têm o número 1 e os outros dois têm os números 3 e 5 .

102. O jogo não é justo porque o valor médio não é igual a zero. 103.1. 103.2. 103.3. 5 2x 3 Pág. 85 h (x) =1 2x 5_{+ 5} 2x 4_{+ 5x}3_{+ 5x}2_{+ 5} 2x + 1 2 2 5 Pág. 86 1 56 3 8 27 56 3 5 1 16 27 64 9 64 Pág. 87 1 3 2 5 3 5 Pág. 88 P (A) = 33 266 , P (B) = 313 665 , P (C) = 77 190 Pág. 89 12 35 1 13 1 210 2 21 Pág. 92 Pág. 93 4 7 Pág. 94 ) 0,58 ) 0,78 ) 0,36 Pág. 95 Pág. 97 m = 2 e s ) 1,118 s = 0,9 Pág. 98 5 6 m ) 1333,33 e s ) 1863,39

212

Soluções

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Grau de satisfação 1 2 3 4 5 Frequência relativa 0,02 0,06 0,24 0,52 0,16 xi - 24 - 15 0 25 75 P(X = xi) 1 6 1 6 1 3 1 6 1 6 xi 0 1 2 3 4 5 6 P(X = xi) 1 16 1 8 3 16 1 4 3 16 1 8 1 16 0 1 2 3 4 5 6 7 21_C 7 28_C 7 7_C 1*21C6 28_C 7 7_C 2*21C5 28_C 7 7_C 3*21C4 28_C 7 7_C 4*21C3 28_C 7 7_C 5*21C2 28_C 7 7_C 6*21C1 28_C 7 1 28_C 7 xi 0 1 2 P(X = xi) 1 4 1 2 1 4 xi 1 2 3 4 P(X = xi) 1 6 1 2 1 6 1 6 xi 0 2 3 6 P(X = xi) 1 2 1 6 1 6 1 6 xi 0 500 2500 5000 P(X = xi) 1 2 1 6 1 6 1 6 xi 0 2 3 6 P(X = xi) 0,525 0,175 0,155 0,145 NEMA12_P1_F14_20115029_1P_20115029_TXTP1_P209_224 12/06/04 15:51 Page 212

104.1. 104.2. 104.3. 105.1. 105.2. 105.3. 106.1. 106.2. 107. A afirmação é falsa. 108. Tarefa 25 1.1.1. 0,4 1.1.2. 1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 2. 3.1. 3.2. Tarefa 26 1.1. 0,384 1.2. 1.3. 48 2.1.1. 0,189 69 2.1.2. 0,225 16 2.1.3. 0,975 69 2.2. 3.1. 3.2. 3.3. 70 109.1. 109.2. 109.3. 109.4. Tarefa 27 1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.2. 18 2.1. 2.2. 2.3. 3.1. 3.2. 4.1. 4.2. ) 0,023 Tarefa 28 1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.2. 3 1.3. 17 2.1. 2.2. 2.3. 3.1. 1707 3.2. 2218 3.3. 273 3.4. 274 Proposta 1 1. 24 2. 64 3. 24 4. 7 893 600 Proposta 2 1. 7776 2.1. 5184 2.2. 1296 2.3. 3888 Proposta 3 676 000 Proposta 4 1. 300 2. 125 3. 100 Proposta 5 5 jogos Proposta 6 1. 2187 2. 648 Proposta 7 1.1. 9 1.2. 6561 2.1. 24 2.2. 21 Proposta 8 1 073 741 824 Proposta 9 Não Proposta 10 (B) Proposta 11 (B) Proposta 12 1. (B) 2. (A) Proposta 13 1. 504 2. 126 3. 1512 Proposta 14 1. 34 650 2.1. 2.2. 2.3. 9 64 27 64 63 64 ) 0,33 ) 0,13 ) 0,05 0,096 Pág. 101 ) 36% Pág. 102 ) 0,138 ) 0,276 ) 0,311 n_C 3* 0,1 3_{* 0,9}n - 3 n_C k* 0,1 k_{* 0,9}n - k Pág. 103 m = 0,6 e s ) 0,69 ) 0,000 004 ) 0,037 m = 6 e s ) 2,258 Pág. 108 ) 68,3% ) 2,3% ) 15,9% ) 47,7% Pág. 110 ) 0,841 ) 0,023 ) 0,477 ) 0,341 ) 0,465 ) 0,159 ) 0,589 ) 0,033 ) 0,309 Pág. 111 ) 0,625 ) 0,067 ) 0,136 ) 2,3% ) 50% ) 0,003% Pág. 112 Pág. 113 Pág. 114 Pág. 115 1 495 13 55 2 55 Pág. 100

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xi 0 1 2 3 4 P(X = xi) 0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001 xi 0 1 2 P(X = xi) 0,1 0,6 0,3 xi 0 1 2 3 P(X = xi) 0,512 0,384 0,096 0,008 xi 0 1 2 3 P(X = xi) 0,512 0,384 0,096 0,008

Proposta 15 1. 2. 3. Proposta 16 1. 720 2. 60 480 3. 30 240 Proposta 17 1.1. 56

1.2. Frente a frente: 8 ; lado a lado: 12 1.3. 16 2. 48 Proposta 18 1.1. 576 1.2. 432 2.1. 2.2. Proposta 19 1.1. 625 1.2. 2000 1.3. 486 1.4. 1680 2.1. 24 2.2. 6 Proposta 20 1. 720 2. 240 3. 4.1. 4.2. Proposta 21 1. 40 320 2.1. 2.2. Proposta 22 (D) Proposta 23 (B) Proposta 24 1. 6 760 000 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. Proposta 25 1. 3 628 800 2.1. 2.2. 2.3. Proposta 26 1. 2. 3. Proposta 27 (B) Proposta 28 (A) Proposta 29 (A) Proposta 30 1. 552 2.1.1. 108 108 2.1.2. 72 072 2.1.3. 124 124 2.2. Proposta 31 1.1. 1440 1.2. 4320 1.3. 1440 1.4. 432 2.1. 5 Proposta 32 1. 2. Proposta 33 1.1. 1.2. 2.1. 50% 2.2. 50% Proposta 34 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 3. 50% Proposta 36 1. (A) 2. (A) Proposta 37 (B) Proposta 38 (A) Proposta 39 (B) Proposta 40 (C) 21 299 831 1265 5 26 Pág. 116 1 3 1 36 Pág. 117 1 15 1 5 3 5 1 28 3 4 Pág. 118 63 3250 243 5200 523 10 000 1 -25 676= 651676 Pág. 119 1 15 1 60 8 15 113 145 94 435 22 145 Pág. 120 1 858 Pág. 121 1 25 62 125 1 30 1 2 Pág. 122 1 7 1 28 3 14 1 4 1 7 Pág. 123 Pág. 124

214

Soluções

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Proposta 41 1. 2.1. 1 2.2. Proposta 42 666 , 37 e 1 ; soma = 237 Proposta 44 1. 45x2 Proposta 45 1. 10x4 _{2. 240x}4 Proposta 46 (D) Proposta 47 (A) Proposta 48 (B) Proposta 50 Proposta 51 (D) Proposta 52 Proposta 53 Proposta 54 1. 2. Proposta 55 1. 24 2. 16,7% 3. Proposta 56 1.1. 1.2. 1.3. 9,5 € 2.1. 2.2. 50% Proposta 57 2.1. Valores da variável X : 10 , 11 , 12 , 13 e 14 2.2. Proposta 58 (B) Proposta 59 (C) Proposta 60 1. 7% 2. 43% Proposta 61 1. 0,5 2. 3. Proposta 62 1. 1,8 * 105 _peças 2.1. 47,7% 2.2. 46,5% 2.3. 69,1% Proposta 63 1. 2. 3.1. 3.2. 3.3. 4.1. 4.2.

Parte 1 – Questões de escolha múltipla 1. (A) 2. (A) 3. (A) 4. (C) 5. (B) 6. (A) Pág. 126 m = 2,5 e s ) 1,28 Pág. 127 Pág. 128 1 8 m = 1,5 e s ) 1,118 Pág. 125 1 3 1 7 Pág. 129 5 6 5 9 Pág. 130 ) 0,3414 ) 0,1587 Pág. 131 1 3 2 3 2 3 1 3 ) 0,680 ) 0,329 Pág. 132

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xi 2 5 8 10 P(X = xi) 0,2 0,5 0,1 0,2 xi 0 1 2 3 P(X = xi) 1 4 1 4 1 4 1 4 xi 0 10 20 30 P(X = xi) 2 3 1 6 1 9 1 18 xi 0 1 2 3 P(X = xi) 1 8 3 8 3 8 1 8 xi 0 1 2 3 P(X = xi) 1 4 1 4 1 4 1 4 xi 8 9 10 11 P(X = xi) 1 6 1 3 1 3 1 6 yi 9 10 11 12 P(Y = yi) 1 6 1 3 1 3 1 6

Parte 2 – Questões de resposta aberta 1.1. 48 1.2. 72 1.3. 108 2.1. 2.2. 3.1. 3.2. 4. 5.1.

5.2. . No final de 50 jogadas estima-se que haja um prejuízo de 5 € .

TEMA 2: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL II

Tarefa 1 1. Nove pessoas 2. 3.1. f (x) = 3x_{, x å R} 0 + 3.2.1. 729 3.2.2. 7 1. I – h ; II – f ; III – g ; IV – j 2.2.

O gráfico de g é simétrico do gráfico de f em relação ao eixo das ordenadas.

2.3. f é estritamente crescente e g é estritamente decres-cente. 3.1. a = 3 3.2. y = 3 4.1. ; ; assíntota horizontal: y = - 1 4.2. ; ; assíntota horizontal: y = 4 4.3. ; ; assíntota horizontal: y = 1 5. ; ; ; 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 7. < < < < a1,4< 8.1. 8.2. 5 8.3. 8.4. 45 8.5. 25 8.6. 10.1. 10.2. x = - 4 10.3. x = - 5 10.4. 10.5. 10.6. x = 1 10.7. x = 1 10.8. x = - 2 › x = 0 10.9. x = - 1 › x = 0 10.10. 10.11. 10.12. 11.1. e 11.2. 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. 12.6. 12.7. 12.8. 13.1.1. 13.1.2. 13.2. 14.1. ; 14.2. Tarefa 2 1.1.1. 1.1.2. 5 cm 1.2.1. 1.2.2. 1.3. 3,25 cm2 2.1. Df= R ; ; assíntota do gráfico de f : y = 6 Dg= R ; ; assíntota do gráfico de f : y = 0 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.3. k = 12 Tarefa 3 1.1. A = 20 cm2_{e P = 24 cm} Pág. 133 ) 46% 16 35 ) 0,0001 ) 0,0234 7 11 m = - 0,1 Pág. 138 D (x) = 3x_{, x å N} Pág. 139 Pág. 140 Df= R D'f=

]

- 1 , + ?

[

Dg= R D'g=

]

- ? , 4

[

Dh= R D'h=

]

1 , + ?

[

Pág. 141 y =

(

√

2

)

x " d y = 4x " a y = ex " c y = px " b 10-3 7-2 2 3 2 5-4 4-2

(

√

3)-4



1 a



2 a-1

√

3 a-2 a0

_√

_a3 Pág. 142 1 5 1 3

√

3 Pág. 143 x =1 2 x = -1 3 x = 7 3 x = 0 › x =1 2 x = 1 3 x = - 1 › x =1 2 - 2

√

6 2

√

6

_]

- 2 , 7

_]

Pág. 144 x å

_[

- 4 , + ?

_[

x å

_]

- 3 , + ?

_[

x å



- ? , - 3 4



x å



1 e , + ?



x å

_]

- ? , 0

_]

x å

_[

0 , 1

_]

x å



3 2 , 9 2



x å

[

0 , 1

]

- 1 2 1 2 A =

_[

- 1 , 0

_[

D'f=

]

- ? , 5

]

D'g=

]

0 , e5

]

x å

_]

-

√

3 ,

√

3

_[

Pág. 145 B



2 , 5 4



x = - 2 x = - 6 D'f=

]

- ? , 6

[

D'g=

]

0 , + ?

[

x å

_[

3 , + ?

_[

x å

_]

- ? , 0

_[

x å

_]

- ? , 1

_[

Pág. 146 g f y x 1 O

216

Soluções

NEMA12-P1 © Porto Editora

xi - 4 1 3

P(X = xi) 0,3 0,5 0,2

1.2.1. A razão entre as áreas é . 1.2.2. A razão entre os perímetros é . 2.2. D'f 2.3.1. 2.3.2. 3.1. 3.2. 3.3. 15.1. Falsa 15.2. Verdadeira 15.3. Verdadeira 15.4. Verdadeira 16. 1 17. 21 18.1. + ? 18.2. + ? 18.3. 0 18.4. 0 18.5. + ? 18.6. + ? 18.7. - ? 18.8. - ? 19.1. 2 19.2. 5 19.3. 2 19.4. - 3 19.5. 19.6. - 3 19.7. - 1 19.8. 20.1. 20.2. 21. e 22.1. x = ln 2 22.2. 22.3. 22.4. 22.5. 22.6. 23.1. x = 36 23.2. x = 0,1 23.3. x = 5 23.4. 23.5. 8 24. A (0 , 1) ; B (log35 , 5) ; C (5, log35) ; D (1 , 0) 25.1. 4 25.2. - 2 26.2. k = 5 27.1. e 27.2. e 27.3. e 28.1. 28.2. 28.3. 28.4. 28.5. 28.6.

29. log40,1 < logp1 < log45 < ln 5 < ln 7

30.1. 30.2. 31. b < a < c 32.1. 1 32.2. 0 32.3. 3 32.4. 1 33.2. f-1: ] - 2 , + ?[ " R x11 + In (x + 2) 34.1. h-1: R " R+ x1ex - 1 34.2. h-1: R " ]1 , + ?[ x11 + 34.3. h-1: ] 1 , + ?[\{2} " R\{0} x1 34.4. h-1: R\{0} " R+\ {1} x1 Tarefa 4 1.1. 1.2. 1 2 11 12 - 3 ∫ a ) 1,82 b ) - 0,38 x å

_]

- ? , - 1

_]

∂

_[

2 , + ?

_[

x å

_]

- 2 , 0

_[

x å

_]

- 1 , 0

_[

∂



1 4 , + ?



Pág. 147 Pág. 148 Pág. 149 - 3 2 - 3 2 Pág. 150 A



2 , 9 2



B (log36 , 3) x = - 1 + log35 x = 0 › x = ln 5 x = log23 x = 0 › x = ln 2 x = log34 x =

√

e Pág. 151 Pág. 153 Dg=

]

- 2 , + ?

[

D'g= R Dg=

]

0 , + ?

[

D'g= R + 0 Dg=

]

0 , + ?

[

D'g= R

]

- 1 , + ?

[

]

0 , + ?

_[

\

_{

9

_}

]

- ? , - 2

_[

∂

_]

2 , + ?

_[

_[

1 , + ?

_[



0 , 1 2



[

- 1 , 2

[

Pág. 154

]

- ? , 0

[

[

1 , + ?

_[

Pág. 155 e 3 - x 2 1 log2(x - 1) e 1 x Pág. 156

loga(xy) = logax + logay

NEMA12-P1 © Porto Editora

x a logax 1 7 0 9 3 2 0,001 10 - 3 100 000 10 5 64 4 3 64 8 2 x a y = ax logay 3 2 8 3 2 5 25 2 4 3 81 4 - 2 2 0,25 - 2

a x y logaA P = logax + logay

2 8 4 5 5

5 625 125 7 7

3 315 ₃4 _{19 19}

10 106 ₁₀5 _{11 11}

2.1.

2.2.

35.1. ln e = 1 35.2. log31 = 0 35.3. log5(5-p) = -p

35.4. logp(p3) = 3 35.5. 3 = log464 35.6. 3log3 2= 2

35.7. eIn b_{= b , (b å R}+ ) 35.8. 36.1. 3 = log327 36.2. 3 = log28 37.1. log1,514 37.2. 37.3. log26 37.4. ln (2,5 e2_{) 37.5. log} 315 39.1. - 1 39.2. 3 39.3. 7 41.1. 12 41.2. 6 41.3. - 12 Tarefa 5 1.1. 1.2. 4,75 2.1. 0 2.2. 2,5 2.3. 3,5 2.4. 11 4. - 1 5.1. e 5.2. 5.3. ; não existe f (– 1) e 5.4. Não, porque . 6.1. 6.2. ]- 1 , 1[ 44.1. x = 9 44.2. x = 25 44.3. x = 2 44.4. x = 1 44.5. x = e2_{› x = e 44.6.} 44.7. x = 8 44.8. x = - 4 45. a = 6 46. 4,5 47.1. ]3 , 4[ 47.2. 47.3. ]1 , + ?[ 47.4. ]0 , 1[ 47.5. ]1 , 3[ 47.6. ]2 , 2e - 2[ 47.7. 48.1. ]1 , + ?[ 48.2. 48.3. ]0 , e[ 49.1. 49.2.1. 49.2.2. 50.1. x å ]1 , 3[ 50.2. 51.1. 51.2. Tarefa 6 1.1. 27 404 € 1.2. 2003 2.1. 32 € 2.2. 35,32 € 2.3. ) 113,3 anos 2.4. O acréscimo de preço, de um ano para o outro, é dado por log2 .

3.1. 1 litro 3.2. A afirmação é falsa. 3.4. 9 horas

Tarefa 7

2.2. O pH vai diminuindo, tornando-se mais ácida a bebida. 2.3.1. ) 1,26 * 10-6mol/l

2.3.2. A concentração de iões hidrogénio na água mineral é aproximadamente 13 vezes maior que a concentração de iões hidrogénio existente na água pura.

2.4. O pH sofre um aumento de uma unidade.

52. 22 53. 1013 54. 979

55.1. + ? 55.2. + ? 55.3. 0

56.1. + ? 56.2. 0 56.3. 0 56.4. 0

Tarefa 8

1.1. 1,7 bar 1.2. 4 horas, 55 minutos e 20 segundos 2.1. 1,6 mg/l

2.2. 0. Com o passar do tempo a concentração de fármaco tende a desaparecer. 2.3. a ) 3,5 e b ) 22,5 Tarefa 9 1.1. e 1.2. ) 47,6 mg 1.3. 9 horas e 40 minutos 2.2.1. 6,80 m 2.2.2. 1,16 m logaxn= n logax Pág. 157

√

2 = ln (e√2₎ log



3 4



Pág. 158 Pág. 159 - 9 2 Df=

]

0 , + ?

[

Dg= R\

{

0

}

f (x) = ln (4x4₎ f (2) = g (2) = ln (64) g (- 1) = ln (4) Df0 Dg h



1 2



= j



1 2



= - log32 x = - 1 › x =1 3 Pág. 161

]

- ? , 1 -

√

e

_[



1 e , + ?





3 -

√

17 2 , 0



∂



3 , 3 +

√

17 2



Pág. 160 Pág. 162 Df=



- ? , 0



∂



2 15 , + ?



x å



- ? , - 1 5



∂



1 3 , + ?



x å



- 2 3 , 0



∂



2 15 , 4 5



x å



0 , 1 e



D'h=

]

- ? , 2

]

D'g=

]

0 , 16

]

Pág. 163



1 + 9 9t + 4



Pág. 164 Pág. 165 Pág. 166 Pág. 167 Pág. 168 a =

√

4 2 Q0= 80

218

Soluções

NEMA12-P1 © Porto Editora

n x l = log2x P = n log2x log2x

n 3 2 1 3 3 4 8 3 12 12 5 16 4 20 20 6 256 8 48 48 NEMA12_P1_F14_20115029_1P_20115029_TXTP1_P209_224 12/06/04 15:52 Page 218

Tarefa 10

1.1.

1.3. 10-2W/m2

1.4. O nível de intensidade sonora sofre um acréscimo de 3 dB . 2.2.1. 2.2.2. 10 Tarefa 11 1. a = 2000 2. k ) 0,25 3.1. 902 3.2. 2000, porque . 3.3. Seis dias

3.4. Há possibilidade de 50% dos animais serem afetados, mas não 60% .

Tarefa 12

1.1. 2250 1.2. Aproximadamente 36 413

1.3. A afirmação é verdadeira, porque a reta de equação y = 90 é uma assíntota horizontal do gráfico da função P . 2.1. 1500 2.2. 6473

2.3. 2017 2.4. Não. O número de ninhos tende para 9000 .

Proposta 1 (B) Proposta 2 1. {- 6} 2. {3} 3. {1} 4. {3} 5. {- 2 , 0} 6. {5} 7. {1} 8. {9} 9. 10. {5} Proposta 3 1. f – III ; g – II ; h – I 2. ; ; 3.1. Não existe 3.2. (0 , - 2) 3.3. (3 , 1) 4.1. 4.2. Proposta 4 1. 2. 3. Proposta 5 1.1. 1.2. 2. A = [- 1 , 0] Proposta 6 1. ; B (0 , 2) 2. Proposta 7 1.1. 1.2. 2. ; assíntota horizontal: y = 2 Proposta 8 1.1. f (x) = 3 + 3x +1_{; a = 1 ; b = 1} f (x) = 3 – 2 * 3-x +1; a = - 2 ; b = - 1 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 2. Proposta 9 2. 10 minutos e 51 segundos n = log1,05



2,5 A1 + 1

_

Pág. 172 lim t " +?N (t) = 2000 Pág. 173 Pág. 174



- 2 , 3 2



D'h=

]

0 , + ?

[

D'g=

]

- 3 , + ?

[

D'f=

]

0 , + ?

[

B =

_]

3 , + ?

_[

A =

_]

0 , + ?

_[

Pág. 175 k = -5 2 D'f=



- 5 2 , + ?



A



3 , 11 2



1 2 - 1 2 A



- 1 4 ,

√

4 8





- ? , - 1 6





4 7 ,

√

7 26





- ? , 2 3



D'h=

]

2 , + ?

[

Pág. 176 f (x) = 3 - 3x + 1_{; a = - 1 ; b = 1} f (x) = 3 + 3-x+1; a = 1 ; b = - 1 f (x) = 3 - 10 * 3x + 1_{; a = - 10 ; b = 1} f (x) = 3 - 5 * 32x + 1_{; a = - 5 ; b = 2} f (x) = 3 - 2 * 3-x+1; a = - 2 ; b = - 1 f (x) = 3 - 5 * 3-x+1; a = - 5 ; b = - 1 f (x) = 3 + 0 * 3x + 1_{; a = 0 ; b = 1} f (x) = 3 + 0 * 32x + 1_{; a = 0 ; b = 2} f (x) = 3 - 2 * 3-2x+1; a = - 1 ; b = - 2 f (x) = 3 - 3x + 1_{; a = - 1 ; b = 1} f (x) = 3 - 2 * 3-x+1; a = - 2 ; b = - 1 f (x) = 3 + 2 * 3-x+1; a = 2 ; b = - 1 f (x) = 3 + 2 * 3x + 1_{; a = 2 ; b = 1} f (x) = 3 - 2 * 3x + 1_{; a = - 2 ; b = 1} f (x) = 3 - 2 * 3-0,5x+1; a = - 2 ; b = - 0,5 Pág. 169

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Intensidade

(watt por metro quadrado, W/m2₎ Nível da intensidade sonora (decibéis, dB) Limiar da audibilidade 10 -12 ₀ Sussurros 5 * 10-10 27 Trânsito intenso numa cidade 8 * 10 -4 ₈₉ Martelo pneumático 3 * 10 -3 ₉₅ Música forte 0,1 110 Limiar da dor 1 120 Reator 794 149

Proposta 10 1. 2. e ; e ; e 3. ; assíntota: y = - 1 Proposta 11 2. 4. [- 2 , + ?[ 5. + ? Proposta 12

1. f é não injetiva. Por exemplo, e . 2. 3. gçf : Proposta 13 1. 1000 peixes 2. Aproximadamente, 5926 peixes.

3. Seis. Com o passar do tempo, o número de peixes tende para 6000 .

Proposta 14

2. 48 672 € 3. 5900 peças

Proposta 15 1. 3,80 ml

2. As condições (A) e (C) são satisfeitas e a condição (B) não é satisfeita. O fármaco teve sucesso.

Proposta 16 1. 2. 2 3. 17,78 cm2 Proposta 17 1. e 2. Proposta 18 1. 2. 11,7 cm2 Proposta 19 2. 2023 Proposta 20 1. - 6 2. 9 3. - 2 4. 5. 2 6. 1 Proposta 21 (D) Proposta 22 (A) Proposta 23 (A) Proposta 24 (A) Proposta 25 1. (A) 2. (D) 3. (B) Proposta 26 1. 2,4 2. 3. 6,85 Proposta 27 1. x = - 6 2. x = 7 - e 3. x = 243 4. x = ln 8 5. x = 2 6. 7. 8. 9. 10. x = 4 Proposta 28 1. e ; e 2. e

3. Os gráficos intersetam-se nos pontos de coordenadas (- 2 , 36_{) e .}

4. A função f não é invertível dado que não é injetiva. A função g admite como inversa a função g-1 definida por: g- 1: R+" R Proposta 29 (B) Df= R D'f= R + Dg= R D'g= R + Dh= R D'h=

]

- ? , 5

[

j (x) = 3x +2_{- 1 ; D'} j=

]

- 1 , + ?

[

y = 3x _{" y = 3}x_{- 1 " y = 3}x + 2_{- 1} Pág. 177 D'f=

]

- ? , 4

[

0 01 2 f (0) = f



1 2



D'f=

]

0 ,

√

8 e

_]



0 , 1 2



" R x 1

√

ex -2x2 - 1 Pág. 178 - 17 9 D'f=

]

- ? , 5

]

D'g=

]

0 , e5

]

x å

_]

-

√

3 ,

√

3

_[

g f y x 1 1 2 2 3 4 5 6 7 8 O -2 -3 -1 -1 h f y x 1 1 2 2 3 4 5 6 7 O -2 -3 -4 -1 -1 -2 -3 -4 Pág. 179 x å

_]

- ? , - 2

_[

∂

_]

2 , + ?

_[

1 2 - 37 30 x = - 2 › x = - 1 › x =1 2› x = 2 x = e-3› x = e2 x = 0 › x = e2_{- 3} x =1 2› x = 3 D'g= R + Dg= R D'f=



1 9 , + ?



Df= R x =

√

5 2 x = -

√

5 2



1 2 , 3 -3 2



x 1 -1 3 log3(x) Pág. 180 Pág. 181 Pág. 182

220

Soluções

NEMA12-P1 © Porto Editora

Proposta 31 1. ]2 , 2 + e2_{] 2. ]1 , 4]} 3. ]1 , 10[ 4. ]– 2 , – 1[ ∂ ]e2_{- 2 , + ?[} Proposta 32 1. 2.1. A (1 + log23 , 0) 2.2. A (1 + log23 , 0) 3. ]- 3 , 1[ 4. Proposta 33 1. Por exemplo, k = 1 2. Por exemplo, k = - 2 3. Por exemplo, k = - 1 Proposta 34 2. 4,6 cm2 Proposta 35 1. 2. Proposta 36 1. ln 4 2. Dgç_f= 3. 4. Proposta 37 1.1. 1.2. A (2 , 0) 3. 4. a ) 0,84 Proposta 38 1. 500 2. N (t) = 500 * 2t 3. 64 000 4. 19 horas e 30 minutos Proposta 39 1. 400 peixes

2. 0 . Com o passar dos dias, o número de peixes mortos nas margens da ribeira tende a desaparecer.

3. 12 dias Proposta 40 1. E = 101,5M + 11,4 2. ) 5,6 * 1024_ergs 3. M = 2,4 Proposta 41 1.1. ) 5728 anos 1.2. 15 600 anos 1.3. ) 135 mg 2.2. ) 3001 anos

Parte 1 – Questões de escolha múltipla 1. (A)

2. (D)

3. (B)

4. (C)

5. (C)

Parte 2 – Questões de resposta aberta 1.1. 900 m

1.2. Aproximadamente, 707 m . 1.3. 1 h

1.4. Aproximadamente, 1 h 57 min . 2.1. f e g não são iguais porque . 2.2. x = 8 3. k = 10,2 4.1. 4.1. P (2,4 ; 12,6) h-1:



- ? , 2 3



" R x 1 1 - In (2 - 3x) D'g=



- ? , 47 16



Dh=

]

3 , + ?

[

]

- 1 , + ?

_[

x =3e + 1 2e g-1: R "



3 2 , + ?



x 13 + e x 2 Df=

]

1 , + ?

[

a =

√

5 - 1 2 Pág. 187 Pág. 188 Pág. 189 Df0 Dg g (x) = x



9 - 3 x 2



_{; x å}

_]

_{0 , 4}

_[

Pág. 183 Pág. 184 Pág. 185 Pág. 186

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x - ? 1 - In 2 + ?

242

Soluções

NEMA12-P1 © Porto Editora

TEMA 2 – INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL II

(CONT.)

1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.1.4. 1.2.1. Por exemplo, . 1.2.2. Por exemplo, . 1.2.3. Por exemplo, . 1.2.4. Por exemplo, . Tarefa 1 1.1. e . 1.2. e . 1.3. e . 2.1. Existe.

2.2. Não existe porque . 2.3.1. 1 2.3.2. 2 3.1. 3.2. 3.3. 3 3.4. 0 2.2.1. 2.2.2. 4 3. I: Verdadeira; II: Falsa; III: Verdadeira

4.1. 2 4.2. 4.3. 0 4.4. 1 5.1. (C) 5.2. 6.1.1. 2 6.1.2. 2 6.1.3. 2 6.1.4. 0 7.1. 7.2. 8.1. 3 8.2. 8.3. 6 9.1. 9.2. 9.3. 10.1. 10.2. 10.3. 0 Tarefa 2 1.1.1. 4 1.1.2. 1 1.2. 11.1. 2 11.2. 11.3. 11.4. 1 11.5. 2 11.6. 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. 12.6. 0 13.1. 17 13.2. 2 13.3. 13.4. 0 15.1. 16.1. 16.2. 16.3. Pág. 9 2 -2+ 3 -0+ an= 4 + 1_n an= 1_n an= 5 - 1_n an= - 2 - 1 n2 Pág. 10 lim (f (vn))= - 3 lim (vn) = - ? lim (f (wn))= + ? lim (wn) = 2 + lim (f (tn))= - ? lim (tn) = 2 -lim x " 2g (x) = 5 lim x " 4-g (x) 0 limx " 4+g (x) + ? - ? Pág. 11 1 3 Pág. 12 - ? - ? Pág. 13 a = - 1 a = 2 Pág. 14 - 3 10 3 + ? - ? - 1 6 - 1 Pág. 15 Pág. 16 - 8 - 3

√

3 1 3 + ? - ? + ? - ? Pág. 17 + ? g (x) =



1 se x > 3 - 1 se x < 3 + ? + ? + ? lim x " 2f (x) = 4 x " 2limg (x) = 1 lim x " 2f (x) + limx " 2g (x) = 4 + 1 = 5 x " 2lim(f + g)(x) = 5 lim x " 2f (x) * limx " 2g (x) = 4 * 1 = 4 x " 2lim(f * g)(x) = 4 lim x " 2f (x) - limx " 2g (x) = 4 - 1 = 3 x " 2lim(f - g)(x) = 3 lim x " 2f (x) : limx " 2g (x) = 4 : 1 = 4 x " 2lim(f : g)(x) = 4 NEMA12_P2_F16_20115029_1P_20115029_TXTP2_P241_256 12/06/06 12:02 Page 242

NEMA12-P1 © Porto Editora 17.1. 1 17.2. 17.3. 17.4. 0 18.1. 18.2. Não porque . 19.2. 6 20.1. 20.2. 21.1. 21.2. 22.1. 22.2. 22.3. 22.4. 22.5. 23.1. 23.3. 24.1. 24.3. 4 25.1. 25.2. 26.1. 26.2. 26.3. 27.1. 27.2. 27.3. 27.4. 27.5. 1 27.6. 28.1. 28.2. 0 28.3. 0 29.1. 29.2. 0 30.1. 30.2. 0 30.3. 30.4. 1 30.5. - 1 30.6. 30.7. 31.1. . 31.2. . 31.3. . 32.1. Por exemplo, . 32.2. Por exemplo, . 32.3. Por exemplo, . 33.1. 0 33.2. - 1 33.3. 0 33.4. Tarefa 3 1.1. Por exemplo, . 1.2. Por exemplo, . 1.3. Por exemplo, . 1.4. Por exemplo, . 2.1. 2.2.1. 1 2.2.2. - 1 2.2.3. 1 2.2.4. - 1 3.1. 3.2.1. 0 3.2.2. 0 3.2.3. 3.2.4. 4.1. 4.2.1. 0 4.2.2. 4.2.3. 4.2.4. 0 5.1. 5.2. Pág. 18 - ? + ? Pág. 19 - 4 3 4 5 6 - 1 5 Pág. 20 - 1 2 - 2 1 - 3 + ? R+ 0\

{

9

}

1 6 [- 3 , + ? [ \

_{

1

_}

1 4 - 2 Pág. 21 + ? + ? + ? Pág. 22 + ? - ? - ? - ? - ? + ? - ? Pág. 24 1 3 - ? + ? - ? n = 2 e a = 4 n = 1 e a å R \

_{

0

_}

n > 2 e a > 0 f (x) = x - 1 e g (x) = x2 f (x) = - x2_{+ x - 5 e g (x) = 2x}2_{- 4} f (x) = x4- 3x + 1 e g (x) = x2- 1 Pág. 25 - ? Pág. 26 g (x) = x4 g (x) = x3_{- 2x + 1} g (x) = x2+ x - 3 g (x) = x2 R \

_{

0

_}

+ ? + ? R+ \

_{

e

_}

- ? + ? + ? lim x " 3-



f g



(x) = + ? e limx " 4+



f g



(x) = - ? ]- ? , 0[ ∂



1 2 , + ?



f (x) =



ln



x +1 e



se x > 0 1 x - 1 se x ≤ 0 k = 1 e3 Pág. 23

244

Soluções

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Tarefa 4 1.1. Operadora A 1.2.1. 0,08 1.2.2. 0,08 1.2.3. 0,08 1.3.1. 0,08 1.3.2. 0,14 1.3.3. 0,08 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

34. A função é descontínua para e para . 35.1. É contínua. 35.2. É descontínua. 35.3. É contínua. 36.1. 1 36.2. 2 36.3. 3 37.1. .

39. I: Verdadeira; II: Falsa; III: Falsa 40.2.1. Verdadeira

40.2.2. Falsa

41.2.

43.1. As funções f e g não são contínuas em porque

e . 43.2. II e III . 44.1. . Descontínua em . 44.2. . Descontínua em . 44.3. . Descontínua em . 46.1.1. 2 46.1.2. 3 46.1.3. - 2 46.2.1. 46.2.2. . 47.1. 47.2. Sim Tarefa 5 1.1. e . 1.2. e . 2.2.1. 2,7 m

2.2.2. Houve paragens dos trabalhos nos 11.° e 12.° dias após o início dos mesmos. Esses dias coincidiram com uma 5.a

feira e uma 6.a_feira.

2.2.3. 80 m . A reta é assíntota horizontal do gráfico da função.

Tarefa 6

1. Em qualquer uma das modalidades poderia ter pago 3 € por uma encomenda. Quanto à que custou 2,50 € foi necessariamente na modalidade A .

2. Entre 100 km e 300 km .

3. Não. Por exemplo, na modalidade B a quantia de 2,50 € não corresponde a qualquer distância.

48. I: Verdadeira; II: Falsa; III: Verdadeira 50.1. Não

50.2. Não 50.2. Sim

54.

Tarefa 7

1.2. Por exemplo, , isto é, entre 5 h 15 min e 5 h 18 min.

2. I: Falsa; II: Falsa; III: Falsa; IV: Falsa. 3.2. Não, porque f não é contínua para .

Tarefa 8

1. O passeio da Rita demorou cerca de 16 minutos e o do Pedro 12 minutos. 2. Aproximadamente, 72 m . lim x " 4-g (x) = 2 g (4) = 2 lim x " 4+g (x) = 2 lim x " 4-f (x) = 2 f (4) = 2 lim x " 4+f (x) = 3 lim x " 4-j (x) = 2 j (4) = 5 lim x " 4+j (x) = 3 lim x " 4-h (x) = 2 h (4) = 3 lim x " 4+h (x) = 3 Pág. 28 x = 2 x = - 1 Pág. 29 a = - 6 e b =

√

5 Pág. 30 Pág. 31 k =1 2 Pág. 32 x = 1 lim x " 1g (x) 0 g (1) lim x " 1f (x) 0 f (1) Pág. 33 x = 0 Df= R x = 0 Pág. 34 - 2 se x å [- 2 , - 1[ - 1 se x å [- 1 , 0[ 0 se x å [0 , 1[ 1 se x å [1 , 2[ 2 se x å [2 , 3[ 3 se x = 3 a d d d b d d d c f (x) = x = - 1 ; x = 0 ; x = 1 ; x = 2 e x = 3 Dh= R \

{

0

}

Pág. 35 B (e , 3) A (0,7) b = 7 a = -4 e y = 80 Pág. 36 Pág. 38 Pág. 39 k å ]- ? , 0[ ∂ ]1 , + ?[ Pág. 40 t å [5,25 ; 5,3] x = 0 Pág. 41 Df= R \

{

1

}

Pág. 27 Df= ]- 2 , + ? [ \

{

3

}

x = - 1 NEMA12_P2_F16_20122906_20122906_TXTP2_P241_256 03/01/13 9:44 AM Page 244

NEMA12-P1 © Porto Editora Tarefa 9 1.1.1. 1.1.2. 2 1.1.3. 4 1.1.4. 1.2. . 2.1. 2.3.1. 2.3.2. 2.4. Não 2.5.1. 2.5.2. 2.6. Sim Tarefa 10 1. Experiência A : 4 °C ; experiência B : 2 °C 2. e . Significa que, se a

experiência se prolongasse no tempo, as temperaturas aumentariam sempre tendendo para .

4.

Com o decorrer do tempo, as temperaturas tendem a aproximar-se.

55.1. A reta x = 2 não é assíntota e a reta é assíntota. 55.2. A reta y = 0 é assíntota horizontal.

56.1. 56.2.1. 56.2.2. 2 56.2.3. 0 57.1. 57.2. 57.3. 2 57.4. 57.5. 0 57.6. 57.7. 0 58.1. 58.3.

59.1. É descontínua. A reta é assíntota vertical do grá-fico de f .

59.2.

60.1.

60.2. As retas e são ssíntotas do gráfico de h . 60.3. . 61. e . 62.1. 62.2. . 63.1. . 63.2. . 63.3. . 64. . 65. 66.1. 66.2. 67.1. 67.3. 67.4. .

68.1. A função que está associada a k = 1. 68.2. y = 2 e . 69.1. 69.2. . Proposta 1 (B) Proposta 2 1.1. 6 1.2. 1.3. 1.4. 1 1.5. 0 2.1. Por exemplo, . 2.2. Por exemplo, . Proposta 3 (C) Proposta 4 3. Não, porque . Pág. 42 + ? - ? y = 2 e x = 0 R \

_{

- 1

_}

- ? + ? - ? + ? (x = - 1) Pág. 43 lim x " +?g (x) = + ? lim x " +?f (x) = + ? + ? Pág. 44 x = - 2 y = - 3 + ? Pág. 45 + ? - ? - ? 1 2 Pág. 46 x = - 2 y = x - 3 x = - 1 (2 , - 1) Pág. 47 R \

_{

- 1

_}

x = 1 x = - 1 y = 2 e y = x x = 1 ; y = x + 1 y = 2x y = - 2 e y = - 3x - 2 y = - 2 e y = 3x + 1 y = 3 e y = 3x Pág. 48 x = 0 ; y = 0 e y = 2x x = e ; y = 0 y = 0 x = 0 x = 0 ; y = 0 e y = - x + 1 Pág. 49 y = x + 2 x = 2 e y = -1 3 R \

_{

2

_}

Pág. 50 - 2 - ? k = 3 k = 1 Pág. 51 y = - x - 1 y = 3x e y = x R \

_{

0

_}

g (x) =



0 se x = 0 f (x) se x 0 3 lim x " 2-g (x) 0 limx " 2+g (x) x (em minutos) f (x) = x2_{+ 3x + 4} x + 1 g (x) = x + 2 f (x) - g (x) 10 12,18182 12 0,18182 50 52,03922 52 0,03922 100 102,01980 102 0,01980 200 202,00995 202 0,00995 300 302,00664 302 0,00664 … … … …

246

Soluções

NEMA12-P1 © Porto Editora

Proposta 5 1. (A) 2. (C) Proposta 7 (C) Proposta 8 (D) Proposta 9 1. 0 2. 3. 0 4. 1 5. 6. 0 Proposta 10 1. 2. 0 3. 4. 5. 6. Proposta 11 1. 2. Proposta 12 1. 0 2. 3. 4. 5. 1 Proposta 13 1. 6 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Proposta 14 1.1. Verdadeira 1.2. Verdadeira 1.3. Verdadeira 2. Por exemplo, Proposta 15 1. 3. Proposta 16 1. Não, porque . 2. Não é contínua. Proposta 17

1. A função g porque é descontínua para . Proposta 18 1. 1 3.1. 3.2. Proposta 19 (D) Proposta 20 1. I. II. III. 2. I. e III. Pág. 52 + ? - ? 2 3 - ? - 1 5 + ? - ? Pág. 53 m = - 20 m =100 49 1 8 2

√

3 3 + ? + ? 1 4 - 18 - ? - 1 + ? 3 2 - 1 10 Pág. 54 h (x) =



2 se x 0 1 ‹ x 0 - 1 - 2 se x = - 1 1 se x = 1 Df= R \

{

0

}

k = -5 2› k = 5 2 Pág. 55 lim x " 1-f (x) 0 lim_{x " 1}+f (x) t = 4 k = 0 k = 3 - log23 Pág. 56 O y x 2 5 3 1 O y x 2 5 3 1 O y x 2 3 1 NEMA12_P2_F16_20115029_1P_20115029_TXTP2_P241_256 12/06/06 12:02 Page 246

NEMA12-P1 © Porto Editora Proposta 21 2. Proposta 25 (B) Proposta 26 (D) Proposta 27 Proposta 28 (B) Proposta 29

1. Não. A função é contínua e tem domínio R .

2. 0 . O gráfico de f tem pelo menos uma assíntota oblíqua . Proposta 30 1. 2. Proposta 31 1. 3. Proposta 32 1. 3. 1. (D) 2.1. (A) 2.2. (B) 3. (A) 4. (C) 5. (B)

1.2. Não, porque não existe . 1.3. Por exemplo, . 2.2. 3.1.1. 3.1.2. 3.3. Tarefa 11 1.1. I: 10 h ; II: 11 h 30 min 1.2. 84 km/h 1.3. Não, porque .

2. 86 . Nas duas primeiras horas de viagem, o Ricardo per-correu, em média, 86 km por hora.

3. A afirmação á falsa. A velocidade média nas duas últimas horas é de 74 km/h e de todo o percurso é de 80 km/h .

4. 80 km/h

5. 86 ; 74 . No instante em que tinha decorrido 1 h a veloci-dade era de 86 km/h e no instante em que tinham decor-rido 4 h a velocidade era de 74 km/h .

6. Não. No instante em que se completaram duas horas de viagem a velocidade era de 82 km/h .

70.1. - 0,06 € por mês. Nos primeiros quatro meses as ações desvalorizaram, em média, 0,06 € por mês.

70.2. A afirmação é falsa. Apenas se pode afirmar que a cotação das ações no final do 4.° e do 6.° mês é a mesma. 71. Por exemplo:

73. I: Falsa; II: Verdadeira; III: Verdadeira 74.1. 16 74.2. 8 74.4. 75.1.1. 1 75.1.2. 75.2. Tarefa 12 1. 9 dB 2. 0,6 dB/100 rotações 3. 1,03 dB/100 rotações 4. 5. 8720 rotações/minuto ]0,7183 ; 0,7184[ Pág. 57 Pág. 58 x = 0 ; y = 0 (y = 2x) Pág. 59 P (1 , 4) - 1 Df= ]- ? , - 1[ ∂ ]0 , + ?[ - 1 B



5 2 , 11 15



a ) 30,92 Pág. 60 Pág. 61 lim x " 1f (x) g (x) = 1 2x y = x R+_\

_

1 e



x =1 e ; y = 0 x ) 2,22 Pág. 62 d (5) = 400 Pág. 64 O y x 1 4 4 2 -1 -2 Pág. 65 y = 6x - 17 - 1 y = x - 3 Pág. 67 )

Nível de ruído Rotações/min

Moderado 3500-5000

Alto 5000-8721

248

Soluções

NEMA12-P1 © Porto Editora

Tarefa 13

1.1. . Quando o raio aumenta de 1 para 4 , o volume aumenta, em média, unidades de volume por uni-dade de comprimento.

1.2. . Para um acréscimo de uma unidade no raio, naquele instante corresponderia um aumento de unidades no volume. 2.1. Sim 2.2. Não 2.3. 2.4. 3.1. 18 °C 3.2. Durante a 1.a_hora. 3.3. = - 5,1875 °C/h 3.4. = - 1,75 °C/h 3.5. 4 °C

76.2. e . Não existe derivada em . 77.1.1.

77.1.2. 2

77.2. Não porque .

77.3. Sim. Toda a função derivável num ponto do seu domínio é contínua nesse ponto.

78.1. 1 78.2. 78.3.

79.1. Sim, porque não existe . 79.2. 79.3. São diferentes. 80.1.1. 80.1.2. 80.1.3. 80.1.4. 80.2.1. Negativo 80.2.2. Negativo 81.1. 81.2. 6 81.3. 81.4. 81.5. 82.1. 2 82.2. 6 82.3. 6 83. D = 84.1. 84.2. 84.3. 84.4. 84.5. Tarefa 14 1. (B) 2. (A) 85.1. 85.2. 85.3. 85.4. 86.1. 86.2. 87.1. 87.2. 88.1. 88.2. 88.3. 88.4. 28p 28 p 4p 4p g'(1) = 1 y = - x - 2 t.m.v.[0 , 2] T '(2) Pág. 69 x = 1 g'(1-) = - 1 g'(1+) = 1 - 4 5 f '(5-) 0 f '(5+₎ Pág. 70 y = 2x - 5 1 3 Pág. 71 lim x " 2f (x) + ? + ? + ? + ? - ? Pág. 72 - 1 2 1 16 - 2 - 1 4 Pág. 73 [- 3 , 5[ \

_{

- 1,3

_}

f ' : R \

_{

0

_}

" R x 1 - 2 x3 x 1



2x se x ≤ 1 2 se x > 1 f ' : R \

_{

2

_}

" R x 1



1 se x > 2 - 1 se x < 2 x 1



6x - 1 se x > 0 1 (x - 1)2 se x < 0 Pág. 74 Pág. 75 f '(x) =1 2 f '(x) = - 3x2_{+ x} f '(x) = - 6x2+ 10x - 1 f '(x) =9 2x 2_{- 1} 2+

√

5 y = 6x - 1 y = - 4 - 7 5 a = 5 Pág. 68 Pág. 76 f '(x) = - 6x + 2 g'(x) = 3x2_{- 8} f ' : R \

_{

1

_}

" R f ' : R \

_{

2

_}

" R f ' : R \

_{

0

_}

" R x 1



1 2

√

x - 1 se x > 2 x + 1 se x < 2 h'(x) = -5 2x 4_{+ 3} 2x 2_{+ x} i'(x) = - 2x5_{+ 20} 3 x 4_{+ 16x}3 NEMA12_P2_F16_20133188_20133188_TXTP2_P241_256 8/28/13 9:59 AM Page 248

NEMA12-P1 © Porto Editora 89. 90.1. 90.2. 91. 144 92.1. 92.2. 92.3. 92.4. 93.1. 93.2. 93.3. 93.4. 94. 8 95.1. 95.2. 95.3. 95.4. 95.5. 96. 3 97.1. 97.2. 97.3. 98.1. . 98.2. . 98.3. . 99.1. 3 99.2. 3 100.1. 100.2. 101. 102.1. 102.2. 103. 105. 106.1. 106.2. 1 106.3. 3 107.1. 107.2. 108. 109.1. 3 109.2. 109.3. 1 109.4. 109.5. 1 110.1. 110.2. 110.3. 110.4. 111. 112. ; Tarefa 15 1.2. 1.3. 2.1. 2.2. 2.3. 4.1. 4.2. - 10 - 2 1 2 Pág. 77 f '(x) = 4x3 f '(x) =3 8x 2 f '(x) = - 10 (1 - 2x)4 f '(x) = (3 - 12x)(x - 2x2₎2 f '(x) = 3 2

√

3x - 1 f '(x) = 2x 3

√

3 (x2_{+ 1)}2 f '(x) = 3x + 2

√

x + 1 f '(x) = 2 5

√

5 (2x - 3)4 Pág. 78 y ' = - 3 x2 y ' = 2 (x - 2)2 y ' = x 2_{+ 6x} (x + 3)2 y ' =- 3x - 5 (x - 1)3 y ' = - 3 2x2



1 - x 2x



2 Pág. 79 g + f : ]- ? , - 3] ∂ [3 , + ? [ " R x 1

√

x2_{- 9} h + f : R \

{

-

√

10 ,

√

10

}

" R x 1 1 x2_{- 10} f + h : R\

_{

1

_}

" R x 1 1 (x - 1)2- 9 g (x) = x + 1 e f (x) = x2 g (x) = x - 1 e f (x) = 2 +

√

x g (x) = x2- 1 e f (x) = ex g + f : [1 , + ? [ " R x 1

√

ln x f + g : R+ " R x 1 ln

(

√

x

)

Pág. 80 (h + j)'(x) = - 1 2x

√

x f '(x) = 6 (3x - 1) f '(x) = 1 2 (3 - x)

√

3 - x 1 4 Pág. 81 1 e 3 2 Pág. 82 f ' : R \

_{

0

_}

" R x 1



e x _{se x < 0} - ex _{se x > 0} f ' : R \

_{

0

_}

" R x 1



xex_{- e}x_{+ 1} 2x2 se x < 0 6x +1 2 se x > 0 P (ln 2 , 2) Pág. 83 - 1 - 1 2 f '(x) = - 1 x2e 1 x f '(x) =3x 2_{- x}3 ex f '(x) = ln 2 * ln 3 * 2x ln 3 f '(x) =p-2x- 2x p-2xln p + p-xln p j '(1) =

√

3 ln 3 2 N '(t) N (t) = 0,3 N '(t) = N0* 0,3 * e 0,3t Pág. 84 P (ln 4 , - 2 + e) x = 2 + ln 4 f '(0) = - 2 - ln 6 3 x =1 3 xA= - 1 ln 2 yA) 2,65