Vínculos observacionais na interação no setor escuro utilizando dados de quasares

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Ciências Exatas e da Terra

Departamento de Física

Bacharelado em Física

Vínculos Observacionais na Interação no Setor

Escuro Utilizando dados de Quasares

Zilmar Cândido de Santana Júnior

Natal, RN, Brasil 2018

Vínculos Observacionais na Interação no Setor Escuro

Utilizando dados de Quasares

Monograa de Graduação apresentada ao Curso de Bacharelado em Física do Depar-tamento de Física da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito par-cial para obtenção do grau de Bacharel em Física.

Curso: Bacharelado em Física

Orientador: Prof. Dr. Pedro da Cunha Ferreira

Natal, RN, Brasil 2018

Santana Júnior, Zilmar Cândido de.

Vínculos observacionais na interação no setor escuro

utilizando dados de quasares / Zilmar Cândido de Santana Júnior. - 2018.

34f.: il.

Monografia (Bacharelado em Física) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Departamento de Física. Natal, 2018.

Orientador: Pedro da Cunha Ferreira.

1. Física - Monografia. 2. Quasares - Monografia. 3. Vínculos cosmológicos Monografia. 4. Parâmetros de densidade

Monografia. 5. Matéria escura Monografia. 6. Energia escura -Monografia. 7. Interação - -Monografia. I. Ferreira, Pedro da Cunha. II. Título.

RN/UF/CCET CDU 53

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET

Bacharelado em Física

A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova a Monograa de

Graduação:

Vínculos Observacionais na Interação no Setor Escuro

Utilizando dados de Quasares

elaborada por

Zilmar Cândido de Santana Júnior

Como requisito parcial para o obtenção do título de

BACHAREL EM FÍSICA

COMISSÃO EXAMINADORA:

Prof. Dr. Pedro da Cunha Ferreira - Orientador, UFRN Prof. Dra. Nilza Pires, UFRN

Prof. Dr. Ronaldo Carlotto Batista, UFRN

Resumo

Foi utilizado uma relação não linear entre a luminosidade nas faixas do ultravioleta e raios-X de quasares com o método computacional Markov Chain Monte Carlo para impor vínculos a parâmetros desta relação. Para esse propósito, o trabalho de Risaliti e Lusso foi utilizado como referência. Foram obtidos para os parâmetros cosmológicos os valores ΩM = 0.26+0.20−0.12 e ΩΛ = 0.89+0.22−0.64 . Os resultados encontrados estão de acordo quando

comparados com o trabalho referenciado, utilizando o mesmo conjunto de dados, porém seguindo outra metodologia. Além disso, testou-se um modelo alternativo ao Modelo Padrão da Cosmologia considerando uma interação entre os componentes do setor escuro do universo parametrizada por um parâmetro constante . Foi obtido nesta etapa ΩM =

0.18+0.34_−0.15 e ΩΛ= 0.68+0.35−1.04. Para o parâmetro de interação, foi determinado  = −0.08+0.44−0.93,

de acordo com o caso sem interação.

Palavras-chave: Quasares, vínculos cosmológicos, parâmetros de densidade, matéria es-cura, energia eses-cura, interação.

A nonlinear relationship between the luminosity in the ultraviolet and X-ray bands in quasars was used with the Markov Chain Monte Carlo computational method to impose constraints to parameters of this relationship. For this purpose, the work of Risaliti and Lusso was used as reference. For the cosmological parameters the values ΩM = 0.26+0.20−0.12

and ΩΛ = 0.89+0.22−0.64 were obtained. The results are in agreement when compared to the

cited work, using the same data set, but following another methodology. In addition, an alternative model to the Standard Cosmology Model was tested considering an interaction between the dark sector components of the universe parameterized by a constant parame-ter . In this step, ΩM = 0.18+0.34−0.15 and ΩΛ= 0.68+0.35−1.04 were obtained. For the interaction

parameter,  = −0.08+0.44

−0.93 was determined, in agreement with the non-interacting case.

Keywords: Quasars, cosmological constraints, density parameters, dark matter, dark energy, interaction.

Sumário

1 Introdução 10

1.1 Cronologia das descobertas . . . 10

1.2 Quasares e AGNs . . . 11

2 Dinâmica Cosmológica 13 2.1 Diagrama de Hubble e Redshift . . . 13

2.2 Equações de Friedmann . . . 15

2.3 Modelo Cosmológico Padrão . . . 16

2.4 Modelos com Interação no Setor Escuro . . . 17

3 Quasares em Cosmologia 19 3.1 Relação na Luminosidade de Quasares . . . 19

3.2 Dependência com a Cosmologia . . . 20

3.3 Dados utilizados . . . 20

4 Metódos Utilizados 23 4.1 Distribuição χ2 _{. . . 23}

4.2 MCMC- Markov Chain Monte Carlo . . . 24

5 Resultados 28 5.1 Vínculos com o Modelo Padrão . . . 28

5.2 Vínculos em Modelos com Interação no Setor Escuro . . . 31

6 Considerações Finais 35

1

Introdução

1.1

Cronologia das descobertas

É difícil precisar qual foi a primeira observação de um núcleo ativo de galáxia, pois considerando que inicialmente não se sabia de sua existência, observações de quasares eram confundidas com outros objetos. Os primeiros registros datam do começo do sé-culo XX, com Edward Arthur Fath(1909) ao notar atividade no núcleo da galáxia NGC 1068 (messier 77). Em 1943 Carl Keenan Seyfert publicou um trabalho apresentando observações de galáxias que apresentavam linhas de emissão fortes e largas. Esses objetos viriam a ser conhecidos como Galáxias Seyfert. Pouco se comentou sobre os trabalhos de Seyfert na época, apenas mais tarde que todo o grupo do que se acreditava serem galáxias com características desse tipo vieram a ser conhecidas como Galáxias Seyfert. Victor Amazaspovich Ambartsumian em 1958 propôs uma mudança na maneira como os núcleos de galáxias eram vistos pela comunidade, sugerindo que não haviam apenas estrelas no núcleo, e sim massa pré-estelar também, indicando que poderia haver algum tipo de atividade local. Fred Hoyle e William Alfred Fowler supuseram em 1963, corretamente de acordo com a visão atual, a existência de um disco de massa sendo acretado pelo objeto central.

O interesse da comunidade nas fontes de rádio motivaram observações que culminaram na descoberta de quasares - ou, de maneira mais geral, AGN's (do inglês active galactic nucleus, ou "núcleos ativos de galáxias"). Nesta época, pouco se sabia sobre as fontes de rádio. Inclusive sua localização: o consenso da comunidade é de que as fontes eram objetos da nossa galáxia. A radioastronomia, que havia nascido apenas em 1937 com a construção de um radio-telescópio por Grote Reber em seu próprio quintal, estava começando a render resultados. Apenas por volta de 1954, com trabalho dos astrônomos Wilhelm Heinrich Walter Baade e Rudolph Leo Bernard Minkowski que começou-se a ser aceito que tais fontes de emissão de rádio detectadas eram de fato provenientes de fora da galáxia. Por volta de 1960 começou-se a aceitar, com trabalhos de Hazard et al.(1963), Schmidt(1963),

11

Oke(1963), e Greenstein e Matthews(1963), que essas fontes estavam associadas a objetos estelares de altos redshifts, principalmente se comparado aos da época. Já em 1965 foi reportado por Schmidt acima de 2, um aumento considerável em relação aos maiores redshifts conhecidos alguns anos antes do estudo de núcleos ativos.

Embora outros objetos que seriam conhecidos como quasares estivessem sendo repor-tados na época, os objetos que determinaram que estas fontes de rádio estavam associadas a um determinado tipo de objeto astrofísico foram os quasares 3C 48 e 3C 27. No caso de 3C 48, foi identicado por Matthews e Sandage(1963), associando a fonte de rádio a uma galáxia com redshifts de 0.37. Já o quasar 3C 273, após ter tido sua posição deter-minada por Hazard et al., teve seu espectro identicado por Schmidt(1963) e Oke(1963), apontando um redshifts de 0.158. O ano de 1963 foi o marco na descoberta dos quasares ao se compreender que as fontes de rádio estavam associadas a objetos ópticos, causando grande excitação pela possibilidade de se trabalhar com objetos de altos redshifts.

1.2

Quasares e AGNs

Os quasares estão dentro da uma categoria mais geral chamada AGNs. Os AGNs são regiões compactas no centro das galáxias nas quais se formam discos de acreção ao redor de um buraco negro supermassivo. A conversão de energia potencial em energia cinética da matéria sendo acretada é responsável pela alta luminosidade dos AGNs. Parte da matéria escapa do disco, formando jatos compostos a velocidades relativísticas.

Os AGNs podem ser classicados de acordo com sua geometria em relação ao obser-vador terrestre. Caso o jato esteja apontado para o obserobser-vador, são chamados de blazar. A geometria inuencia também no espectro do quasar, por exemplo a categoria Seyfert tipo II engloba os AGNs que possuem um tóro de poeira. Essa poeira absorve parte da radiação emitida pelo objeto e reemite em outra frequência. Os quasares são a categoria com maior luminosidade e emitem radiação em todo os comprimentos de onda dos raios gama ao rádio. A Fig. (1) ilustra como a classicação do quasar depende do ângulo de posição em relação a terra, e a Fig. (2) é uma imagem feita pelo observatório de raios-X Chandra do quasar "PKS 1127-145".

Figura 1: Ilustração de um quasar e sua classicação de acordo com a posição relativa ao observador. Fonte: Zackrisson, Erik. (2005).

Figura 2: Imagem em raios-X do quasar "PKS 1127-145", que possui um jato da ordem de milhões de anos-luz de comprimento.

Fonte: Observatório de raios X CHANDRA CXC Operado para a NASA pela SAO. 2002. Disponível em: http://chandra.harvard.edu/photo/2002/1127/index.html. Acesso em: 17 nov. 2018

2

Dinâmica Cosmológica

Uma premissa essencial a ser feita a respeito do universo é sua homogeneidade e isotro-pia, conhecida como Princípio Cosmológico. Essa suposição é estatisticamente justicada para escalas da ordem de milhões de anos-luz. A descrição de um universo seguindo o Princípio Cosmológico é feita pela métrica Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, a qual leva em conta um universo em expansão ou contração.

2.1

Diagrama de Hubble e Redshift

No início do século XX foram feitas descobertas que desaaram a hipótese de que o universo é estático. Ao utilizar a relatividade geral, Einstein chegou a um conjunto de equações conhecidas como Equações de campo de Einstein que descrevem a dinâmica gra-vitacional. As soluções para as equações de campo indicavam uma contração do universo, o que parecia contrariar as (poucas e imprecisas) observações da época. Para que houvesse uma consistência entre as soluções e as observações, Einstein adicionou um termo conhe-cido como constante cosmológica (normalmente denotado pela letra Λ) nas equações de campo responsável por uma força repulsiva, que evitaria a contração do universo e assim resolveria essa contradição.

Nos anos seguintes as observações detectaram objetos astronômicos distantes com o espectro levemente deslocado para o vermelho, i.e., apresentando um redshift. Isto indica que o objeto observado está se afastando do observador, ou seja, que a distância relativa entre os dois está aumentando. Em 1929 E. Hubble publicou o artigo A relation between distance and radial velocity among extra-galactic nebulae, o qual apontava uma relação linear entre a distância de nebulosas (galáxias) e suas velocidades de recessão em relação a terra. Ainda em 1927 George Lemaître publicou o artigo Un Univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques, que além de indicar a relação de que quanto mais longe um objeto está da terra, mais rápido ele se move em relação a terra, ele também propôs uma solução

Figura 3: Diagrama de Hubble, retirado do artigo publicado em 1929[8], apontando a relação linear entre a distância e a velocidade relativa entre o objeto observado e a terra.

Essa relação, conhecida como lei de Hubble-Lemaître1 _{é descrita por v = H}

0d, sendo

v a velocidade de recessão das galáxias, H0 a constante de Hubble e d distância até o

observador terrestre.

O redshift é um deslocamento do comprimento de uma onda eletromagnética para comprimentos de onda maiores, para um tom mais "avermelhado". Isto pode ocorrer devido a vários fatores: o corpo emissor da radiação se deslocando a velocidades compa-ráveis a da luz, um poço gravitacional forte ou a expansão do espaço no qual a onda está se propagando. A relação matemática que dene o redshift, é:

1 + z = λobservado λemitido

, (2.1)

sendo λ o comprimento de onda. A lei de Hubble-Lemaître relaciona a distância do objeto observado e sua velocidade. Como a relação indica que objetos distantes possuem uma velocidade de recessão maior, é possível supor que está havendo uma expansão espacial entre o observador e o objeto.

1_{Membros da International Astronomical Union votaram recentemente, no dia 26 de outubro de 2018,} a favor da recomendação na mudança do nome da "Lei de Hubble"para "Lei de Hubble-Lemaître".

15

2.2

Equações de Friedmann

A base da cosmologia moderna nasce das equações de campo de Einstein. Friedmann resolveu as equações de campo de Einstein para um modelo de universo homogêneo e isotrópico e derivou em 1922 o que vieram a ser conhecida como Equações de Friedmann, que relacionam parâmetros importantes da cosmologia. Suas equações implicam em um universo dinâmico: expandindo-se ou contraindo-se. Foram publicadas antes mesmo do trabalho que apontava uma expansão do universo feito pelo próprio em 1927.

A primeira delas é a Equação de Friedmann, H(t)2 = ˙a(t) 2 a(t)2 = 8πG 3 ρ(t) − k a(t)2, (2.2)

onde a(t) é o fator de escala do universo e ρ a densidade de todos os componentes do universo. Também dene-se H(t), o parâmetro de Hubble, que mede a taxa de expansão do fator de escala. Ao longo desse trabalho, será adotado unidades em que c = 1.

Dene-se o parâmetro ρc, a densidade crítica, como a quantidade de energia que o

universo precisa ter para permanecer plano: ρc≡

3 8πGH(t)

2_{. (2.3)}

Assim, caso a densidade de energia ρ for maior que ρc, o universo é positivamente curvado

(k = +1). Caso seja menor, é negativamento curvado (k = -1). E caso seja igual, é plano (k = 0). A partir da densidade crítica, é denido o parâmetro de densidade:

Ωi =

ρi

ρc

, (2.4)

onde i refere-se a quem está contribuindo para esta densidade, i.e., massa, energia escura, radiação ou a curvatura do espaço. O parâmetro de densidade é uma das quantidades centrais em cosmologia, e grande esforço é dedicado a determiná-los com precisão, através de observáveis independentes.

A segunda equação de Friedmann é conhecida como Equação da Aceleração, que descreve como funciona a expansão do universo,

¨ a a = −

4πG

3c2 (ρ + 3P ). (2.5)

que expressa como a densidade do universo varia com o tempo.

2.3

Modelo Cosmológico Padrão

No modelo cosmológico padrão, conhecido como ΛCDM (Lambda cold dark matter, com Λ sendo associado a energia escura) é um modelo que procura descrever o universo baseado na relatividade geral (e, consequentemente, nas equações apresentadas na seção 2.2). Neste modelo, assume-se que o parâmetro de densidade ρ tem seus componentes independentes, i.e., as componentes que contribuem para a densidade do universo não interagem entre si. A equação da Continuidade é geral, com a pressão variando no meio considerado. Para um uido perfeito, a pressão pode ser escrita como Pi = wiρi, sendo w

um número adimensional relativo ao componente i que se está tratando. Logo, as soluções da Equação da Continuidade são do tipo:

ρi(a) = ρi,0a−3(1+wi). (2.7)

Consirando que a matéria possui wM = 0, a radiação possui wR = 1₃ e a constante

cosmológica possui wΛ = −1, as soluções são do tipo:

ρM = ρM,0a−3 = ρM,0(1 + z)3, (2.8)

ρR= ρR,0a−4 = ρR,0(1 + z)4e (2.9)

ρΛ = ρΛ,0, (2.10)

onde a = 1

1+z. Devido ao rápido decaimento da contribuição da radiação e considerando

a idade atual do universo, esse componente é geralmente desconsiderado. Substituindo essas soluções na Eq. (2.2), tem-se uma equação para o Parâmetro de Hubble em função do redshift:

H(z) = H0

p

ΩM(1 + z)3+ Ωk(1 + z)2+ ΩΛ, (2.11)

onde ΩK é o parâmetro de densidade associado a curvatura do espaço, denido como

ΩK = 1 − ΩM − ΩΛ.

O parâmetro de densidade ΩΛ é o termo responsável, segundo a Equação de

17

modelo padrão é determinar sicamente o que é responsável para a densidade da constante cosmológica ρΛ

2.4

Modelos com Interação no Setor Escuro

Embora o Modelo Padrão explique de forma satisfatória os mais diversos dados, e ainda através de uma descrição matemática simples, a descrição física da matéria escura e energia escura permanecem desconhecidas. Então, é possível considerar que haja uma interação entre eles (além da gravitacional). Nesse caso, ao invés de assumir que matéria escura e energia escura evoluem independentemente uma da outra, estas componentes estão acopladas. Pode-se parametrizar esse acoplamento introduzindo na Equação da Continuidade (Eq. (2.6)) uma função de interação Q:

˙

ρm+ 3Hρm = Q, (2.12)

˙

ρx+ 3H(1 + w)ρx = −Q, (2.13)

onde o subscrito m e x correspondem a matéria escura e energia escura, respectivamente. Existem diversas propostas na literatura para a forma da possível interação. A ado-tada neste trabalho foi proposta e desenvolvida por Wang e Meng(2004) e é equivalente a uma função de interação dada por:

Q = 3Hρm. (2.14)

A Equação da continuidade para esta proposta possui como solução analítica:

ρm = ρm,0a−3(1−) = ρm,0(1 + z)3(1−), (2.15)

ρx = ˜ρx,0+



1 − ρm,0(1 + z)

3(1−)_{, (2.16)}

com ˜ρx,0 ≡ ρΛ,0− _1− ρm,0. O Parâmetro de Hubble para esta proposta pode ser escrito

da forma: H(z) = H0 s Ωb(1 + z)3+  1 +  1 −   Ωm(1 + z)3(1−)+ ˜ΩΛ+ ΩK(1 + z)2, (2.17)

onde Ωb é o parâmetro densidade da matéria bariônica, que não interage com a matéria e

energia escura. Neste modelo há a transferência de energia da energia escura para matéria escura caso  seja positivo, e transferência de energia da matéria escura para energia escura caso  seja negativo. O limite superior para  com sentido físico é 1, pois além de haver

3

Quasares em Cosmologia

No capítulo 1 foi discutido quasares sob o ponto de vista astrofísico. No capítulo 2, do ponto de vista cosmológico. Neste capítulo será descrito como observações em quasares em raios-X e ultravioleta podem ser utilizados para impor vínculos a modelos cosmológicos.

3.1

Relação na Luminosidade de Quasares

Existe uma relação empírica, observada desde os primeiros surveys em raios-X, como o de Tananbaum et. al em 1979, que mostra que há uma relação não linear nas lumino-sidades de AGNs nas regiões de raios-X e ultravioleta, como mostra a seguinte equação:

log(LX) = β + γlog(LU V). (3.1)

Utilizando a relação entre luminosidade e uxo, L = 4πD2

LF, é possível, a partir da Eq.

(3.1), derivar a seguinte relação:

log(FX) = φ(FU V, DL) = β0+ γlog(FU V) + 2(γ − 1)log(DL), (3.2)

sendo β0 _{um fator de escala denido por β}0 _{= β + (γ − 1)log(4π). E D}

L é a distância de

luminosidade, dada por:

DL(z, ΩM, ΩΛ) = 1 H0 (1 + z) √ ΩK sinhpΩK Z z 0 dz0 E(z0₎, (3.3)

sendo E(z) = pΩM(1 + z)3+ ΩΛ+ ΩK(1 + z)2. O parâmetro de Hubble se relaciona

com E(z) através da expressão:

H(z) = H0E(z). (3.4)

Para trabalhar com o mínimo possível de constantes, todas as constantes, incluindo o termo 1

H0, presente em DL, foi incorporado junto com β

O interessante de reescrever a relação dada pela Eq. (3.1) em função do uxo (Eq. (3.2)), é que o uxo é diretamente observado, além de evidenciar a dependência dos parâmetros cosmológicos que estão presentes no DL. Porém, neste trabalho foi realizado uma alteração

para simplicar e tornar mais objetivo a minimização dos parâmetros desejados. Todas as quantidades constantes foram compiladas a uma única constante, inclusive o termo H0, presente no cálculo de DL. O parâmetro A (Eq. (3.5)) engloba todos os valores

considerados constantes. Note que o termo com a constante de Hubble, H0, aparece como

uma soma na denição de A. Por isso, não será possível colocar vínculos sobre H0, pois

seu valor ca degenerado com β0_{. Assim, a Eq. (3.2) pode ser reescrita como:}

log(FX) = A + γlog(FU V) + 2(γ − 1)log(H0DL). (3.6)

3.2

Dependência com a Cosmologia

Ao escrever a relação das luminosidades (Eq. (3.1)) em termos do uxo (Eq. (3.2)), ca evidente a dependência da distância de luminosidade que, por sua vez, depende dos parâmetros cosmológicos. É através dessa dependência que é possível que se obtenha vínculos sobre os parâmetros cosmológicos. No cálculo da distância de luminosidade podemos obter as quantidades de maior interesse deste trabalho, i.e., os parâmetros de densidade da massa (ΩM) e da constante cosmológica (ΩΛ).

Determinar distâncias é um dos objetivos principais na cosmologia, junto com a de-terminação dos parâmetros cosmológicos ΩM e ΩΛ. Como é possível medir os uxos, os

parâmetros podem ser determinados comparando o uxo medido com o uxo esperado (Eq. (3.2)). A abordagem estatística na determinação destes parâmetros será explicada no capítulo seguinte.

3.3

Dados utilizados

O conjunto de dados utilizado foi um compilado de 808 quasares por Risaliti e Lusso(2015). Uma vantagem de utilizar o mesmo conjunto de dados é o de poder fa-zer uma comparação e validação direta dos resultados. A Fig. (4) mostra um histrograma do intervalo do redshift dos quasares que foram utilizados.

21

Figura 4: Histograma para o conjunto dados dados. Embora boa parte dos quasares utilizados possuam redshift abaixo de 2, há uma quantidade signicativa em redshits mais altos.

Esse conjunto de dados foi utilizado na geração de um gráco logFX vs logFU V am

Figura 5: Relação da luminosidade nos uxos em raios-X e ultravioleta evidenciando o caráter linear da relação log vs log em todo o conjunto de dados utilizados.

4

Metódos Utilizados

Considerando a física dos quasares da seção 3, é necessário realizar algum tratamento matemático para através dos dados impor vínculos para os parâmetros desejados. É possível fazer isto com o teste χ2 _{e o Markov Chain Monte Carlo (MCMC).}

4.1

Distribuição χ

2

O teste χ2 _{é um teste baseado no método dos quadrados mínimos. É utilizado quando}

se conhece o modelo de um fenômeno físico e se possui uma série de dados que podem ser descritos por esse modelo. É então um teste, no qual coloca-se a prova um conjunto de parâmetros de um modelo que descreve um dado fenômeno físico. Tira-se a diferença entre a hipótese e dados experimentais e eleva-se ao quadrado, ponderando pelo quadrado da incerteza na medição. Seja y um conjunto de N dados, φ(x)i um modelo que descreve

os dados, e σi uma incerteza associada a medição, realiza-se o somatório:

χ2 = N X i=1 ( [yi− φ(xi, a1, ..., aM)]2 σ2 i ) (4.1) O χ2 _{é somado sobre todos os dados experimentais, e a incerteza dos dados em geral}

é tal que o valor do χ2 é aproximadamente da ordem do número de dados que se está

utilizando.

Seguindo a estratégia apresentada por Risaliti e Lusso, neste trabalho foi utilizado a equação: χ2 = −1 2 N X i=1 ( [log(FX)i− φ(FU V, DL)i]2 s2 i + ln(s2_i) ) . (4.2)

Os dados utilizados, como explanado na seção 3, é o logaritmo do uxo em raios-X, log(FX)i. O termo Φ(FU V, DL)i é o modelo que descreve o fenômeno que foi medido (Eq.

4.2

MCMC- Markov Chain Monte Carlo

A cadeia de Markov é um processo estocástico no qual sabe-se a posição atual de um determinado conjunto de parâmetros (chamado de walker) e a evolução imediatamente seguinte depende exclusivamente dessa posição, e não do caminho que o conjunto de parâ-metros percorreu para chegar até ali. O Markov Chain Monte Carlo alia a ideia da cadeia de Markov com a caminhada aleatória de Monte Carlo, gerando assim uma proposta de evolução de um dado sistema alimentada por valores aleatórios realizada passo a passo. Seu objetivo é demonstrar o comportamento de uma distribuição de probabilidade. Cada passo que algum walker dá em cada rodada do algoritmo é na direção de um novo con-junto de parâmetros que descreve a distribuição melhor do que o concon-junto de parâmetros anterior, procurando assim os valores que melhor descrevem a distribuição.

O MCMC pode utilizar diferentes algoritmos para realizar esse processo. Neste tra-balho, foi utilizado o ane invariance. Neste algoritmo, é preciso de um conjunto de elementos chamados walker, que são membros do Ensamble que se está sob experimento. É preciso alimentar inicialmente esses walkers com valores realísticos para os parâme-tros desejados. Em cada passo do método, os walkers tentam alterar os valor desses parâmetros baseado nos valores dos outros walkers. Dependendo do nível de aceitação dessa proposta, ela é negada (o walker permanece no mesmo local) ou é aceita (o walker anda para esse novo conjunto de parâmetros). A Fig. (6) apresenta um diagrama que representa o algoritmo.

25

Figura 6: Esquema do funcionamento do andamento de um walker do algoritmo considerado. No escopo deste trabalho, a função que utilizamos no método MCMC é o χ2 _da

Eq. (4.2). Assim, cada passo que é realizado no método, um novo χ2 _{é testado com}

novos parâmetros. Como o χ2 retorna um valor que pode ser interpretado como uma

probabilidade, testar um novo conjunto de parâmetros em uma cadeia de Markov é testar se esses valores são mais bem representados pelos dados do que a cadeia atual. Assim, caso a proposta possua um valor muito maior do que o atual, signica que o walker andou para fora da região mais provável, sendo esse passo então negado. Essa caminhada realizada passo a passo caminha em direção da região mais provável, isto é, da região onde o conjunto de parâmetros do modelo melhor represente os dados utilizados, desde que não caia em regiões problemáticas, como singularidades. Considerando que para cada conjunto de parâmetros utilizados, a convergência pode ocorrer mais ou menos rapidamente, a região onde a convergência ainda não aconteceu deve ser determinada visualmente na relação valor do parâmetro i vs passo (como na Fig. (8)), ignorando os valores nos quais a convergência ainda não ocorreu. A biblioteca utilizada para aplicar o MCMC foi a biblioteca EMCEE da linguagem Python.

Na primeira etapa deste trabalho foi adotado como modelo o ΛCDM, com H(z) dado pela Eq. (2.11), e com os parâmetros livres ΩM, ΩΛ, A, γ e δ, utilizando 500

walkers em 1000 passos. O número de walkers e passos foram adaptados de acordo com o andamento do trabalho, analisando a convergência dos resultados. Considerando que a convergência, de todos os parâmetros, ocorreu pouco antes do passo 500, pode-se assim ignorar os primeiros 500 passos do processo e utilizar os últimos 500 passos para obtenção dos resultados.

livres Ωm, ΩΛ, A, γ, δ e . Foi preciso adaptar a quantidade de passos e walkers para 1000

e 500 respectivamente. Estes valores foram, dentre as opções testadas, os que mostraram melhor convergência dos resultados. O corte foi realizado no passo 500, utilizando assim os últimos 500 passos para obtenção dos resultados.

Os resultados em ambas as etapas são obtidos utilizando os valores dos parâmetros de todos os walkers em todos os passos após o corte. Utiliza-se o valor mediano do intervalo do parâmetro que se está analisando como o resultado e as incertezas são os valores que dividem o intervalo dos valores do parâmetro em 16% e 84%, ou seja, 1σ em torno da mediana. A Fig. (7) mostra um exemplo pra um parâmetro qualquer de como a distribuição dos valores se encontraram, evidenciando uma distribuição não-uniforme.

Figura 7: Histograma dos valores obtidos para um parâmetro qualquer. As linhas dividem o conjunto de dados na mediana e em 1σ em torno da mediana, considerando assim 68% dos valores após a convergência. A Fig. (8) mostra o processo de caminhada dos walkers para a região de maior probabilidade. Os primeiros passos são ignorados pois neste intervalo ainda não havia ocorrido a convergência. A linha verde denota a mediana e, as linhas azuis, as incertezas.

27

Figura 8: Caminhada dos valores do parâmetro gamma para todos os walkers. A linha pontilhada indica onde o corte ocorreu.

Os resultados estão divididos em duas etapas. Na seção 5.1 estão os resultados da minimização dos 5 parâmetros, utilizando o modelo ΛCDM. Na seção 5.2, se encontram os resultados para a investigação da possibilidade de acoplamento entre as componentes do setor escuro, além da minimização dos 5 parâmetros anteriores - totalizando assim uma minimização de 6 parâmetros.

5.1

Vínculos com o Modelo Padrão

Seguindo a metodologia descrita no capítulo 4, foram utilizados nesta etapa os 808 dados de quasares compilados por Risaliti e Lusso, fazendo uso de MCMC como metódo computacional para minimização da função χ2 _{e consequente minimização dos parâmetros}

desejados, i.e., os parâmetros de densidade e os parâmetros da relação da luminosidade (Eq. (3.1)). A relação com o modelo padrão está no cálculo da distância de luminosidade, que utiliza os parâmetros de densidade, presentes nas equações de Friedmann (Eq. (2.2), Eq. (2.5) e Eq. (2.6)). O parâmetro ΩK foi denido como ΩK = 1 − ΩM − ΩΛ.

Os walkers antes do passo 500 foram ignorados pois a convergência ainda não ha-via sido atingida. Os parâmetros do modelo foram determinados utilizando a mediana e intervalos assimétricos contendo 68% dos valores obtidos após o corte para todos os walkers.

A Fig. (9) representa o comportamento de todos os walkers em função de cada passo, analisando o valor de ΩM, ΩΛ, A, γ e δ, respectivamente. É possível visualizar a

convergência acontecer pouco antes do passo 500 para todos os parâmetros.

Note que ΩM é o parâmetro menos restritivo, contrariando expectativas. Como os

dados de quasares se extendem a altos redshifts (z ∼ 6), onde a matéria é a componente dominante, era esperado que ΩM fosse determinado com maior precisão.

29

Figura 9: Resultados da caminhada dos walkers para os 5 parâmetros. A linha tracejada indica em qual passo o corte foi feito.

Os valores obtidos para os parâmetros cosmológicos foram ΩM = 0.26+0.20−0.12 e ΩΛ =

0.89+0.22−0.64. Para os outros parâmetros foram encontrados A = −15.43+0.56−0.56, γ = 0.58+0.02−0.02 e

δ = 0.32+0.01_−0.01.Na Fig. (10), é possível observar as regiões de conança 1σ e 2σ para cada par de variáveis.

Figura 10: Regiões de conança, likelihoods e best-ts para os parâmetros do ΛCDM e relação funda-mental dos quasares.

Na tabela (1) são resumidos os resultados deste trabalho juntamente com os de, res-pectivamente, Risaliti e Lusso, dados da sonda WMAP(Hinshaw et al 2013) e dados do satélite PLANCK (Ade et al 2016).

Resultados obtidos Risaliti e Lusso WMAP PLANCK

ΩM 0.26+0.20−0.12 0.22 +0.10 −0.08 0.28648 +0.0088 −0.0087 0.3089 +0.0062 −0.0062 ΩΛ 0.89+0.22−0.64 0.92+0.18−0.30 0.7135+0.0095−0.0096 0.6911+0.0062−0.0062

Tabela 1: Resumo dos resultados obtidos por este trabalho e valores de referência Os resultados obtidos estão de acordo com os resultados de Risaliti e Lusso dentro de 1σ de conança, o que valida este trabalho, uma vez que os dados são os mesmos. Em

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comparação com dados de outras fontes, utilizados pelo WMAP e PLANCK, os dados também estão de acordo com 1σ de conança.

5.2

Vínculos em Modelos com Interação no Setor Escuro

Nesta etapa foi aplicada a metodologia exposta a uma possibilidade de extensão do modelo padrão da cosmologia que permite uma interação entre a matéria e energia escura (além da gravitacional). Este modelo está descrito na seção 3, e a alteração em relação ao modelo anterior está evidenciado na Eq. (2.17). O parâmetro ΩK foi denido como

ΩK = 1 − Ωm− ΩΛ− Ωb.

Os passos até o passo 500 foram ignorados por ser uma região onde está ocorrendo a convergência. Na Fig. (11) é possível observar os grácos da convergência para os 6 parâmetros minimizados através dos walkers em função dos passos.

Figura 11: Resultados da caminhada dos walkers dos 6 parâmetros. A linha tracejada indica em qual passo o corte foi feito.

Nota-se que há um gap para os valores de , no qual alguns walkers conseguem pular essa barreira, mas não voltar. Isso se deve a maneira como o MCMC trabalha. Alguns walkers conseguem pular essa barreira no começo da minimização e acabam por car presos em uma mínimo local. Porém são poucos walkers que realizam esse processo, e pouco inuenciam no resultado nal devido a quantidade de walkers que não se compor-tam dessa maneira.

A Fig. (12) mostra os valores encontrados para ΩM, ΩΛ e , além do histograma para

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Figura 12: Regiões de conança, likelihoods e best-ts para os parâmetros ΩM, ΩΛ e  do modelo com interação.

É importante lembrar que, nesse modelo, Ωm se refere a matéria escura. A parte

cor-respondente aos bárions, Ωb0, foi xado em 0.049, de acordo com os valores apresentados

em (ADE et al. 2016).

O melhor ajuste para os parâmetros foram Ωm = 0.18+0.34−0.15, ΩΛ = 0.68+0.35−1.04,  =

−0.08+0.44

−0.93, A = −15.46+0.57−0.58, γ = 0.58+0.02−0.02 e δ = 0.32+0.01−0.01. O resultado para  deixa

evidente que os dados de quasares impõem vínculos fracos sobre a interação, visto que as barras de erro são grandes. Em particular, o caso sem interação ( = 0) está de acordo com os dados. Os valores encontrados para γ, δ e A (ou β) estão de acordo com os valores encontrados por Risaliti e Lusso.

Resultado obtido Basilakos e Plionis Costa e Alcaniz  −0.08+0.44

−0.93 0.002+0.001−0.001 0.01+0.01−0.01

Tabela 2: Comparação dos resultados de .

O efeito da interação sobre a determinação das distâncias é maior quanto maior for o redshift (ver Eq. (2.15) e Eq. (2.16)). Por isso, havia esperança que dados de quasares pudessem impor vínculos fortes sobre o parâmetro de interação. Infelizmente, esse não foi o caso, e dados de supernovas, H(z) e CMB, atualmente, fornecem maior precisão.

6

Considerações Finais

O presente trabalho foi baseado na relação entre as luminosidades em raios-X e ul-travioleta de quasares apontado na Eq. (3.1). Essa relação foi explorada utilizando o teste χ2 _{para minimização dos parâmetros de interesse através do método computacional}

Markov Chain Monte Carlo. O trabalho foi dividido em duas etapas: uma consistindo em minimizar os parâmetros livres ΩM, ΩΛ, A, γ e δ; e outra, que além de minimizar estes

mesmos parâmetros, procurou-se testar um modelo de acoplamento entre as componentes do setor escuro.

Na primeira etapa, ao utilizar a relação fundamental de quasares com H(z) da forma da Eq. (2.11), foram encontrados os valores ΩM = 0.26+0.20−0.12, ΩΛ = 0.89+0.22−0.64, A =

−15.43+0.56

−0.56, γ = 0.58+0.02−0.02 e δ = 0.32+0.01−0.01. Estes valores estão de acordo com

traba-lhos similares em 1σ e também coms resultados obtidos pelo satélite PLANCK e a sonda WMAP. Por mais que a precisão encontrada seja alta, é possível ver que os resultados aqui encontrados estão de acordo com outros trabalhos de referência.

Já na segunda etapa, foi utilizado, para considerar o acoplamento entre a matéria escura e a energia escura, a Eq. (2.17), em redshifts não testados. Para os parâmetros cosmológicos, foram obtidos os valores Ωm = 0.18+0.34−0.15 e ΩΛ = 0.68+0.35−1.04, que estão de

acordo em 1σ com os trabalhos utilizados como referência.

Apesar da dispersão na relação fundamental de quasares (Eq. (3.1)), havia a ex-pectativa de ser possível detectar uma possível interação entre matéria e energia escuras devido às medidas de quasares se estenderem a altos redshifts, onde a interação se tor-naria mais importante. No entanto, foram obtidos vínculos modestos sobre a interação ( = −0.08+0.44

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