Estudos preliminares sobre ejecção de vórtices em torno de um cilindro no regime turbulento com separação laminar

(1)

Mestrado Integrado em Engenharia Química

Estudos preliminares sobre ejecção de vórtices

em torno de um cilindro no regime turbulento

com separação laminar

Tese de Mestrado

de

Maria Alexandra Cabral da Silva Azevedo

Desenvolvida no âmbito da disciplina de Dissertação

realizada na

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Orientadores na FEUP: Prof. Fernando Tavares de Pinho

Prof. Paulo Martins Coelho

Prof. Manuel Moreira Alves

Departamento de Engenharia Química

(2)

(3)

“Quem tem um porquê, enfrenta qualquer como.”

(4)

(5)

Agradecimentos

Depois de ter chegado ao final da minha tese senti que deveria expressar os meus sinceros agradecimentos a algumas pessoas que, com o seu saber, me permitiram elaborar este trabalho.

Assim, ao Professor Fernando Pinho pela sua orientação e total disponibilidade. Ao Professor Paulo Coelho pela sua colaboração na realização do trabalho experimental. Ao Professor Manuel Alves pela sua colaboração no projecto.

Também queria agradecer ao Dr. Adélio Cavadas, pela disponibilidade e apoio demonstrada ao longo de todo trabalho.

(6)

(7)

Resumo

Este trabalho está inserido num projecto de investigação que visa o estudo experimental e numérico de uma nova técnica para melhorar o tratamento de águas residuais por radiação ultravioleta, através da supressão de ejecção de vórtices na esteira de von Kármán. A técnica consiste na colocação de um cilindro de controlo (fio) na esteira a jusante da lâmpada de ultravioleta.

Numa primeira fase realizaram-se ensaios experimentais preliminares de visualização do escoamento, através da técnica de injecção de um traçador, colocando o cilindro de controlo em diferentes posições radiais e angulares relativamente ao cilindro principal, que representa a lâmpada de ultravioleta. Os resultados mostram que a colocação do cilindro de controlo a 80º relativamente ao ponto de estagnação frontal permitia uma redução da frequência de ejecção de vórtices. Contudo, este estudo experimental ainda não está concluído e é necessário estudar outras posições na esteira.

Iniciou-se o estudo numérico por uma série de exercícios de validação, para o escoamento laminar estacionário e transiente em torno de um cilindro de modo a averiguar o impacto sobre os resultados do

refinamento da malha e dos métodos de discretização utilizados. Ainda na fase de validação efectuou-se

um estudo numérico do escoamento em torno de um cilindro principal, em regime laminar, na presença de um cilindro de controlo colocado na esteira do primeiro cilindro. Verificou-se que a supressão de vórtices ocorre quando se utiliza uma razão entre o diâmetro dos cilindros de controlo e principal, D2/D1,

igual a 1/10 e quando o cilindro de controlo está colocado a uma distância de 2D1 na direcção horizontal e

D1 na direcção vertical, para um número de Reynolds de 60 e 100. Todos estes casos compararam bem

com os resultados da literatura que serviram de referência. Como o escoamento real nos sistemas de

desinfecção ocorrem a números de Reynolds da ordem de 104, os estudos seguintes foram efectuados no

regime de escoamento turbulento. Aqui, pretendeu-se avaliar a capacidade preditiva de diversos modelos de turbulência de duas equações para as equações governativas de Reynolds, nomeadamente modelos k-ε e modelos k-ω, disponíveis no software comercial Fluent v6.3. Sendo a principal característica deste tipo de escoamentos, a formação e/ou desprendimento de vórtices, que levam a flutuações significativas do campo de pressões, surge a necessidade de verificar se os modelos de turbulência conseguem reproduzir correctamente a frequência e a magnitude dessas flutuações. Começou-se por estudar o desempenho dos modelos de turbulência nos escoamentos de Poiseuille entre placas planas no qual se verificaram boas previsões desde que os modelos sejam correctamente aplicados (por exemplo, o primeiro nó tinha que

estar situado na zona inercial quando usando o modelo k-ε). Seguidamente estudou-se o escoamento em

torno de um cilindro de secção quadrada onde a separação do escoamento ocorre em posições fixas e os resultados estão em concordância com a literatura.

Finalmente simularam-se os escoamentos em torno de cilindros de secção circular para números de Reynolds de 104, 2.74 x 104 e 106 que permitiram concluir que os modelos k-ε são os que apresentam maior fragilidade quando sujeitos a elevados gradientes de pressão adversos. Os resultados obtidos através do k-ω padrão e k-ω SST, que são modelos modificados que permitem o cálculo na região viscosa, são os que melhor se aproximam da literatura.

(8)

Abstract

This work is part of a research project aimed at experimentally and numerically investigating the possible benefits of a new technique for the treatment of wastewater by ultraviolet radiation, through the suppression of wake vortex formation. The technique consists of placing a small control cylinder (wire) at the wake behind the ultraviolet lamp.

The work started with some preliminary flow visualizations of the flow around a cylinder in the presence of a control cylinder using dye injection. The control cylinder was placed at various radial and azimuthal positions around the main cylinder, which represents the ultraviolet lamp. The results showed that placing the control cylinder at 80° from the frontal stagnation point, reduced the vortex shedding frequency. However, these experiments need to be completed including the situation where the control cylinder is placed downstream of the main cylinder.

The numerical study began with a series of validation tests for steady and unsteady laminar flow around a circular cylinder to assess the effects of mesh refinement and discretization methods used. The validation included the laminar flow around a cylinder in the presence of a second control cylinder, placed in the wake of the main cylinder. The vortex was suppressed when the ratio between the diameters of the control and main cylinders, D2/D1, was 1/10 and the control cylinder was placed at a distance of 2D1 and

D1 in the horizontal and vertical directions, respectively, for a Reynolds number of 60 and 100. All cases

compared well with the benchmark results from the literature.

As the actual flow in disinfection systems occurs at Reynolds numbers of about 10000, the subsequent numerical studies were carried out in turbulent flow. At this stage of the project and in this thesis the aim was to evaluate the ability of several 2 equations RANS turbulence models available in the used commercial code, Fluent v6.3, namely several k-ε and k-ω closures. As the main feature of these flows is the appearance of vortex shedding in the cylinder wake, leading to significant fluctuations of the pressure field, it is necessary to check whether the turbulence models can correctly reproduce the frequency and magnitude of these fluctuations. Initially, the performance of the turbulence models was assessed in fully-developed channel flow, where predictions were good provided the models where correctly applied (for instance, for the k-εmodel the first node should be located in the region of validity of the log-law). Then, the turbulent flow around a square cylinder was investigated. Here, the point of flow separation is fixed and the results were in good agreement with the literature.

Finally, the flows around a single cylinder were carried out at Reynolds numbers of 104, 2.74 x 104 and 106 _{and the results showed that the k-ε models were less robust in these flows with large adverse pressure}

gradients and that the standard k-ω and k-ω SST models, which are modified models to allow for calculations within the viscous region are in fairly good agreement with the literature.

(9)

Estudos preliminares sobre ejecção de vórtices em torno de um cilindro no regime turbulento com separação laminar

Índice

Índice ... i

Capítulo 1 Introdução ... 1

1.1 Enquadramento e apresentação do Projecto ... 1

1.2 Organização da tese ... 2

Capítulo 2 Escoamento em torno de corpos imersos: Fundamentos teóricos ... 4

2.1 Conceitos Fundamentais ... 4

2.2 Conceitos de força de arrasto e força de sustentação ... 5

2.3 Conceito de camada limite e separação do escoamento... 7

2.3.1 Placa Plana ... 7

2.3.2 Cilindro ... 8

2.4 Mecanismo de formação e desprendimento de vórtices ... 12

2.5 Estado da Arte ... 14

2.6 Conclusão ... 18

Capítulo 3 Ensaios Experimentais... 19

3.1 Instalação ... 19

3.2 Resultados ... 21

Capítulo 4 Equações Fundamentais ... 25

4.1 Equações Governativas ... 26

4.1.1 Conservação da Massa – equação da continuidade ... 26

4.1.2 Equação de quantidade de Movimento ... 26

4.2 Equações de Reynolds ... 27

4.3 Variáveis características de turbulência ... 28

4.4 Modelos de Turbulência ... 30

4.4.1 Modelos lineares de viscosidade turbulenta de duas equações ... 32

4.4.1.1 Modelo k-ε padrão ... 32

4.5 Influência da parede no escoamento turbulento ... 33

4.6 Método Numérico para Resolução das Equações Governativas ... 35

Capítulo 5 Metodologia Numérica e Validação ... 37

5.1 Geração da malha ... 37

(10)

5.3 Critério de Convergência ... 40

5.4 Validação ... 40

5.4.1 Escoamento laminar estacionário em torno de um cilindro ... 40

5.4.2 Escoamento laminar transiente em torno de um cilindro ... 43

5.4.3 Escoamento laminar transiente em torno de dois cilindros ... 45

5.4.4 Escoamento em regime turbulento entre duas placas ... 48

5.4.5 Escoamento turbulento transiente em torno de um paralelepípedo quadrangular ... 51

Capítulo 6 Resultados Numéricos ... 54

6.1 Escoamento turbulento em torno de um cilindro ... 54

6.1.1 Resultados para Re=2.74 x 104 ... 54

6.1.2 Resultados para Re=104 ... 58

6.1.3 Resultados para Re=106 ... 59

6.1.4 Comparação de resultados ... 62

Capítulo 7 Conclusão ... 64

7.2 Sugestão para Trabalho Futuro ... 65

Bibliografia... 66

Anexos ... 68

Anexo A - Esquema do posicionamento do cilindro de principal e do cilindro de controlo na instalação experimental. ... 68

Anexo B - Resultados experimentais ... 69

Anexo C - Equação de Navier-Stokes expandida ... 70

(11)

Índice de Figuras

Figura 1 - Força de pressão e viscosidade a actuar num corpo bi-dimensional e a resultante da força de sustentação e arrasto (adaptado de Çengel e Simbala, 2006). ... 5 Figura 2 – Conceito de camada limite (adaptado de Munson et al, 2004). ... 7 Figura 3 – Comparação dos escoamentos em torno de uma placa plana aguda: (a) escoamento com Re baixo, laminar; (b) escoamento com Re alto (adaptado de White et al., 1986). ... 8 Figura 4 - Escoamento em redor de um cilindro estacionário: a)caso ideal, b) caso real com separação do escoamento (adaptado de Munson et al., 2004). ... 9 Figura 5 - Características do escoamento em torno de um cilindro: escoamento com número de reynolds (a) baixo, (b) moderado e (c) alto, (adaptado de Munson et al., 2004) ... 9 Figura 6 - Escoamento em torno de um cilindro: (a) separação laminar; (b) Separação turbulenta; (c) Distribuição de pressões na superfície (adaptado de Munson et al., 2004). ... 10 Figura 7 – Mecanismo de formação e desprendimento de vórtices segundo Gerrard (1966): a) antes do desprendimento do vórtice A, o vórtice B está a formar-se na esteira; b) antes do desprendimento do vortice B, o vórtice C está a formar-se na esteira (de, Sumer, 1997). ... 13 Figura 8 – Curva do número de Strouhal em função do número de Reynolds para a faixa de: 47< Re < 2x105 (adaptado de Fey et. al., 1998). ... 13 Figura 9 – Esquema do canal de água: localização da montagem experimental, posicionamento do cilindro principal do cilindro de controlo e da agulha de injecção. ... 20 Figura 10 – Instalação experimental: posicionamento do cilindro de controlo relativamente ao cilindro principal e da agulha de injecção. ... 21 Figura 11 – Visualizações efectuadas com o cilindro de controlo na posição 1 e a 60⁰ e 120⁰

relativamente à horizontal. ... 22 Figura 12 – Número de Strouhal do desprendimento dos vórtices para as posições 1, 1 vedada, 2 e 3 em função do ângulo relativamente à horizontal. ... 23 Figura 13 - Variação do número de Strouhal em função da posição angular do cilindro de controlo. ... 24 Figura 14 – Evolução temporal de uma variável em regime turbulento: a decomposição de Reynolds. .. 27 Figura 15 - Perfil transversal da velocidade média local em regime turbulento: comparação do perfil de velocidades descrito pela lei da parede e pela lei logarítmica com os resultados experimentais, para o escoamento num tubo (adaptado de Çengle e Cimbala, 2006). ... 34 Figura 16 – Métodos de cálculo efectuados junto a paredes pelo FLUENT: a) aproximação por funções de parede (“Wall Function approach”) e b) por modelação junto da parede (“near-wall Model Approach”). ... 35 Figura 17 - Domínio de cálculo utilizado nas simulações em torno de um cilindro. ... 38 Figura 18 - Influência do refinamento da malha no coeficiente de arrasto e no comprimento de

separação. ... 42 Figura 19 - Influência do refinamento da malha no coeficiente de arrasto para Re=40. ... 43 Figura 20 – Influência do tempo de integração temporal e do refinamento da malha no número de Strouhal e no coeficiente de arrasto nas simulações efectuadas a Re=80. ... 44 Figura 21 – Domínio de cálculo utilizado nas simulações em torno do cilindro principal e do cilindro de controlo. ... 46

(12)

Figura 22 - Representação gráfica do coeficiente de sustentação em função do tempo para a simulação

de D1/D2=1/7. ... 46

Figura 23 – Campo de velocidade axial para o escoamento em torno de um cilindro de principal e um cilindro de controlo: a) supressão do desprendimento de vórtices a Re=60, b) desprendimento de vórtices a Re=200. ... 47

Figura 24 – Domínio de cálculo utilizado nas simulações em regime turbulento para placas planas. ... 48

Figura 25 - Influência da distância normalizada da primeira célula à parede para simulações entre placas paralelas. ... 49

Figura 26 - Influência do refinamento da malha na simulação entre placas planas. ... 50

Figura 27 - Influência dos modelos de turbulência na simulação entre placas planas. ... 50

Figura 28 - Domínio de cálculo utilizado na simulação em torno de um paralelepípedo quadrangular... 51

Figura 29 - Linhas de corrente instantâneas na simulação do escoamento turbulento em torno de um paralelepípedo quadrangular para Re=2x104. ... 52

Figura 30 - Dominio de cálculo utilizado nas simulações em torno de um cilindro em regime turbulento. ... 54

Figura 31 – Variação do coeficiente de pressão na face superior do cilindro para as simulações efectuadas com a malha M2 para Re=104. ... 60

Figura 32 – Variação do coeficiente de pressão na face superior do cilindro para as simulações efectuadas com a malha M3, Re=104. ... 60

Figura 33 – Variação do coeficiente de pressão na face superior do cilindro para as simulações efectuadas com a malha M3 para Re=106. ... 61

Figura 34 - Variação do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds, as linhas represntam resultados experimentais e os pontos resultados numéricos (adaptado de SUMER, 1997). ... 62

Figura 35 - Variação do número de Strouhal em função do número de Reynolds, as linhas represntam resultados experimentais e os pontos resultados numéricos (adaptado de SUMER, 1997). ... 63

Índice de tabelas

Tabela 1 – Regimes de escoamento em redor de um cilindro liso em função do número de Reynolds (adaptado de Sumer, 1997). ... 11

Tabela 2 - Coeficientes ∗ e para os vários intervalos de Reynolds. ∗é o erro estimado da recta de aproximação linear (Fey et al., 1998). ... 14

Tabela 3 – Características das malhas utilizadas nas simulações a Re=40. ... 41

Tabela 4 - Comparação dos resultados obtidos com os valores da literatura, Re=40 e erro relativo calculado com base no valor extrapolado. ... 41

Tabela 5 - Resultados da simulação a Re 40 utilizando 3 malhas com diferentes refinamentos e resíduos de 1E-4 a 1E-9. ... 42

Tabela 6 - Características da malha utilizada na simulação para Re=80. ... 43

Tabela 7 -Influência tempo de integração e do refinamento da malha na direcção radial no número de Strouhal e no coeficiente de arrasto e erro relativo calculado com base no valor extrapolado. ... 44

(13)

Tabela 9 - Resultados das simulações efectuadas para cilindro com uma razão entre diâmetros de D1/D2=1/7. ... 46

Tabela 10 - Resultados da Simulação para D1/D2=1/10. ... 47

Tabela 11 - Características das malhas utilizadas na simulação entre duas placas paralelas. ... 49 Tabela 12 - Características da malha utilizada nas simulações em torno de um paralelepípedo

quadrangular a Re= 2x104. ... 51 Tabela 13 - Resultados da simulação em torno de um paralelepípedo quadrangular, em regime

turbulento Re 2x104. ... 52 Tabela 14 - Características da malha utilizada nas simulações em torno de um cilindro de secção circular. ... 55 Tabela 15 - Resultados das simulações em que de estudou a influência da distância entre a parede do cilindro e a primeira célula da malha. ... 56 Tabela 16 - Estudo da influência no refinamento da malha nas simulações em torno de um cilindro para regime turbulento e erro relativo calculado com base no valor extrapolado. ... 57 Tabela 17 - Estudo da influência do tempo de integração temporal nas simulações em torno de um cilindro para regime turbulento utilizando uma malha com y+=10 para a primeira célula. ... 57 Tabela 18 - Estudo da influência dos modelos de turbulência nas simulações em torno de um cilindro para regime turbulento utilizando uma malha com y+=10 para a primeira célula e ∆t/t=1/1 000. ... 58 Tabela 19 - Resultados das simulações para Re=104 e comparação com os resultados da literatura. ... 59 Tabela 20 - Resultados das simulações para Re=106 e comparação com os resultados da literatura. ... 61

(14)

Notação e Glossário

Símbolos latinos

A área do cilindro frontal ao escoamento m2

AP área planiforme m2

CD coeficiente de arrasto

CD’ amplitude do coeficiente de arrasto

CD, fricção coeficiente de arrasto de fricção

CD, pressão coeficiente de arrasto de pressão

CL coeficiente de sustentação

CL’ amplitude do coeficiente de sustentação

Cp coeficiente de pressão

, ,Cµ parâmetros do modelo de turbulência

, , parâmetros do modelo de turbulência

Г, Г difusibilidade efectiva de e ω respectivamente

D, D1 diâmetro do cilindro m

D2 diâmetro do cilindro de controlo m

ƒ frequência de ejecção de vórtices s-1

ƒa factor de fricção

FD força de arrasto N

FL força de sustentação N

g aceleração gravítica m/s2

, , produção da viscosidade turbulenta

produção da taxa de dissipação especifica

intensidade da turbulência %

energia cinética turbulenta m2/s2

L comprimento do cilindro m

ƒ comprimento característico da zona de formação m

comprimento característico de difusão m

Nr número de nodos radiais

N_θ número de nodos na direcção tangencial

P pressão do fluido Pa

P∞ pressão medida sobre a superfície do corpo Pa

(15)

Re número de Reynolds

termo fonte das equações na forma discreta

St número de Strouhal

U , ! velocidade média m/s

!′ _{flutuação da velocidade} _m/s

!" _{velocidade em coordenadas de parede}

!# velocidade de fricção m/s

!, , $ componentes cartesianas da velocidade m/s

!%&!'&

(((((( tensor da tensão de Reynolds

w frequência angular rad/s

Y + distância normal em coordenadas de parede

) termo de destruição da viscosidade turbulenta

)* contribuição da flutuação da dilatação na turbulência

), )+ dissipação turbulenta de e ω respectivamente

,, -, . coordenadas cartesianas

Letras gregas

ε taxa de dissipação turbulenta m2/s3

µ viscosidade dinâmica kg/(m.s)

ν viscosidade cinemática m2/s

ν_τ viscosidade cinemática turbulenta m2/s

θ ângulo de separação da camada limite do cilindro º

/0 comprimento da onda m

ρ massa volúmica kg/m3

δ tensor unitário

τ tensão de corte N/m2

ω taxa de dissipação específica s-1

∇! gradiente do vector velocidade s-1

∆nc/D distância do centro da primeira célula à parede, normalizada pelo diâmetro

do cilindro

∆3 ⁄ variação média da dimensão radial das células normalizada pelo raio do cilindro

∆t tempo de integração temporal s

∆t/t tempo de integração temporal normalizada pelo tempo de um ciclo

(16)

Abreviaturas

CFD Dinâmica de fluidos computacional (Computacional Fluid Dynamics)

DNS Simulação numérica directa (Direct Numerical Simulation)

DSN Modelo de tensões diferenciais

LES Simulação das grandes escalas (Large Eddy Simulation)

QUICK Esquema das diferenças a montante de 3ª ordem (Quadratic Upstream

Interpolation for Convective Kinematics)

MDF Método das diferenças finitas

MEF Método dos elementos finitos

MVF Método dos volumes finitos

MLSFD Método de diferenças finitas com base em minimos quadrados (Least Square-based

Finite Difference Method

MUSCL Esquema monótono centrado a montante para leis de conservação (Monotone

Upstream-Centered Scheme for Conservation Laws)

PISO Método de pressão implícita com separação de operador (Pressure-Implicit with

Splitting of Operators)

RANS Equações de Navier-Stokes com média de Reynolds (Reynolds Averaged Navier-Stokes

Equation)

r.m.s desvio padrão (root mean square)

RSM Modelo de tensões de Reynolds (Reynolds Stress Model)

SIMPLE Método Semi-Implícito para equações ligadas (Semi-Implicit Method for Pressure

Linked Equations)

(17)

Capítulo 1

Introdução

1.1 Enquadramento e apresentação do Projecto

Numa Estação de Tratamento de Águas Residuais (ETAR) as águas residuais passam por vários processos de tratamento com o objectivo de diminuir a quantidade da matéria poluente antes de serem encaminhadas para o mar ou rio. A água residual que chega à ETAR passa por um tratamento preliminar que consiste na separação dos sólidos mais grosseiros. Aqui a água residual passa primeiro através de grades, que retêm os materiais sólidos de grandes dimensões. No tratamento primário, as substâncias sólidas em suspensão vão depositar-se no fundo dos decantadores. Neste tratamento é feita também uma operação de desengorduramento que consiste em remover as gorduras e óleos presentes na água residual. A água resultante destes processos passa depois por um tanque de arejamento que combina a agitação com a injecção de ar. No tratamento secundário a água passa por um tanque com microorganismos as quais vão eliminar a matéria orgânica dissolvida e em suspensão. A eficiência de um tratamento secundário pode chegar a 95%. No entanto, para a remoção de organismos patogênicos ou, em casos especiais, a remoção de determinados nutrientes, como o azoto e o fósforo, que podem potenciar, isoladamente e/ou em conjunto, a eutrofização das águas receptoras efectua-se um terceiro tratamento que consiste numa desinfecção. No tratamento terciário a água passa por um tanque onde é desinfectada com cloro ou ozono ou através de radiação ultravioleta (UV). As estações de tratamento de águas residuais presentemente implementadas na cidade do Porto (Sobreiras e Freixo) efectuam a desinfecção por radiação ultravioleta. Neste processo a água a tratar circula através de um banco de lâmpadas de radiação ultravioleta sendo submetida à acção da radiação ultravioleta.

É comum o uso de radiação ultravioleta na desinfecção de água em modernas ETAR, mas pouco se conhece da eficiência desses sistemas, especialmente no que diz respeito aos efeitos da ejecção de vórtices sobre o tempo de exposição dos elementos de fluido e a consequente dose de radiação. As fontes de UV são frequentemente cilindros de secção circular colocados perpendicularmente ao escoamento e pensa-se que os microorganismos contidos no interior de vórtices ficam expostos a quantidades de radiação muito diferente dos que não são capturados nestas estruturas, afectando a eficiência global do sistema.

(18)

Este trabalho está inserido num projecto que visa estudar experimental e numérico de uma nova técnica para melhorar o tratamento de águas residuais por radiação ultravioleta através da supressão de ejecção de vórtices que constitui a esteira de von Kármán. Esta tese cobre as primeiras fases deste projecto a três anos.

Assim, desenvolveu-se uma instalação constituída por um cilindro de 40 mm de diâmetro, apetrechado de um segundo cilindro de controlo de 3 mm ou 4 mm de diâmetro o qual pode ser colocado em várias posições radiais ou angulares e que permite estudar algumas configurações onde ocorre essa supressão/ atenuação de ejecção de vórtices. Nesta situação efectuaram-se visualizações do escoamento em torno dos cilindros, tendo-se variado a posição radial do cilindro de controlo de 20º a 120º, a partir do ponto de estagnação frontal e de 3 mm, 6 mm e 9 mm na posição vertical, para averiguar o impacto sobre a ejecção de vórtices, sobretudo em termos de frequência de ejecção. De notar que este conjunto de ensaios experimentais não foi conduzido exaustivamente sendo ainda necessário efectuar medições nas posições posteriores ao cilindro e usando uma nova técnica mais precisa.

De modo a estudar a eficiência da desinfecção por radiação é necessária uma correcta previsão numérica do escoamento turbulento a um número de Reynolds (Re) que se situam entre 10 000 e 20 000. Contudo, a previsão das características hidrodinâmicas de um escoamento em regime turbulento baseia-se no uso de modelos de turbulência e estes nem sempre apresentam bons desempenhos, isto é, nem sempre estes prevêem correctamente as características hidrodinâmicas do escoamento. Assim, efectuou-se um estudo numérico comparativo das capacidades preditivas dos modelos de turbulência implementados no código Fluent, na perspectiva da previsão do escoamento em torno de um cilindro. O recurso a este código comercial deriva de facto deste possuir a capacidade de realizar estudos de exposição à radiação, característica essencial para alcançar os objectivos do projecto.

Este trabalho insere-se pois no projecto de investigação e contribuindo para a concretização de duas das fases iniciais do trabalho, não sendo por isso ainda conclusivo em termos do projecto. No essencial este trabalho contribui para a montagem e testes preliminares da instalação experimental, preparando as fases seguintes do trabalho experimental, e na vertente numérica ele averigua da capacidade preditiva dos vários modelos de turbulência disponíveis no código comercial em relação ao escoamento turbulento em torno de um cilindro de forma a ajudar à escolha do modelo que será posteriormente utilizado para os cálculos mais complexos. Como parte inicial deste estudo do escoamento em torno de um cilindro no regime turbulento decorreu um trabalho de simulação numérico de previsão de escoamentos laminar e em torno de um cilindro para vários números de Reynolds, que visa averiguar o impacto sobre os resultados do tipo de malha, do seu refinamento e dos métodos numéricos de discretização utilizados.

1.2 Organização da tese

Após esta introdução, é feita no capítulo 2, uma breve revisão do conhecimento actual relativo ao escoamento em torno de cilindros, com o intuito de procurar fundamentar o trabalho aqui realizado, seguindo-se no capítulo 3 a descrição da instalação experimental e os resultados dos testes preliminares já

(19)

realizados. O capítulo 4 apresenta as equações fundamentais para a solução numérica deste escoamento, incluindo o conjunto de modelos de turbulência disponível no código de mecânica de fluidos computacional Fluent. O capítulo 5, apresenta alguns aspectos que relacionam a simulação numérica e as opções tomadas aquando da utilização do código Fluent e do gerador de malhas Gambit, e procede-se ao cálculo numérico de um conjunto de casos para averiguar aspectos como a convergência iterativa, incertezas dos resultados e sua dependência do grau de refinamento da malha. Estes cálculos em regime laminar e turbulento referem-se a casos bem documentados na literatura que servem assim como base de comparação para um exercício de validação. No capítulo 6, apresentam-se e discutem-se então os resultados do estudo numérico do escoamento turbulento em tono de um cilindro. A tese termina no capítulo 7, onde se apresentam as principais conclusões do trabalho e se fazem várias sugestões relevantes para a continuação do projecto de investigação, quer na vertente experimental quer numérica.

(20)

Capítulo 2

Escoamento em torno de corpos imersos:

Fundamentos teóricos

2.1 Conceitos Fundamentais

Escoamentos em torno de corpos ocorrem frequentemente na prática, e são responsáveis por inúmeros fenómenos físicos tais como a força de arrasto que actua nos automóveis, a força de sustentação desenvolvida pelas asas dos aviões ou a energia gerada pela passagem do vento nas turbinas eólicas, entre outros.

Portanto, desenvolver uma boa compreensão do escoamento externo é importante na construção de muitos sistemas de engenharia tais como em projecto de aeronaves, edifícios, barcos e todo o tipo de turbinas. Estas noções são convenientemente analisadas fixando o sistema de referência no corpo e estes escoamentos são designados por escoamentos exteriores em torno de corpos. O escoamento pode ser classificado como estacionário ou transiente, dependendo esta classificação em parte do referencial seleccionado. Para uma aeronave, por exemplo, o escoamento é sempre transiente em relação à referência solo, perspectiva Eulariana, mas é estacionário quando a referência se desloca juntamente com o avião, perspectiva Lagrangiana. O campo de escoamento e a geometria para muitos problemas de escoamentos exteriores são demasiadamente complexos para serem resolvidos analiticamente, e é necessário recorrer a correlações baseadas em resultados experimentais ou proceder a simulações numéricas do escoamento, o que nalguns casos pode ainda necessitar do recurso a modelos como acontece quando o escoamento decorre no regime turbulento.

A velocidade do fluido que se aproxima do corpo é chamada de velocidade de corrente livre e designa-se por 5∞. A gama de velocidade varia de zero na superfície (condição de não deslizamento) até ao valor da

corrente livre distante da superfície e o índice ∞ serve para relembrar que este valor é obtido a uma distância onde a presença do corpo não é sentida.

A geometria do corpo tem influência no escoamento em torno do corpo e no campo de velocidade. Diz-se que o escoamento em torno de um corpo é bi-dimensional quando um corpo é suficientemente longo na direcção neutra e é de secção constante nessa direcção sendo ainda o escoamento perpendicular ao corpo.

(21)

A idealização das duas dimensões é apropriada quando o corpo é suficientemente longo, os efeitos nos topos são insignificantes e o escoamento não perturbado é uniforme. O escoamento sobre corpos que não podem ser modelados como bi-dimensionais, como por exemplo um carro, são designados por tri-dimensionais.

2.2 Conceitos de força de arrasto e força de sustentação

É uma experiência comum que um corpo ofereça alguma resistência quando é forçado a mover-se através de um fluido. O fluido exerce forças e momentos no corpo em várias direcções. A força que o fluido em escoamento exerce num corpo na direcção do escoamento é designada por força de arrasto, FD. Na

ausência de escoamento, hidrostática, um fluido só exerce forças normais de pressão na superfície do corpo imersa no fluido. Um fluido em movimento, contudo, exerce também forças tangenciais de corte na superfície do corpo devido à condição de não deslizamento causada pelos efeitos viscosos, bem como forças normais associadas à tensão viscosa, mas que são significativamente inferiores às forças de pressão. Nos corpos bidimensionais todas as forças, em geral têm componentes na direcção tangencial e normal ao escoamento, e assim a força de arrasto é uma combinação dos efeitos da pressão e das tensões de corte na direcção do escoamento. A componente da pressão e da tensão de corte na direcção normal ao escoamento tendem a mover o corpo nessa direcção, e esta resultante é designada por força de sustentação, FL. A representação gráfica destas forças está ilustrada na figura 1.

Para um escoamento tri-dimensional, existe também uma componente lateral da força na terceira direcção (que aqui vamos considerar ser a direcção z) que tende a movimentar o corpo nessa direcção. As forças do fluido também podem gerar momentos e causar a rotação do corpo. O momento sobre a direcção do escoamento é designado por momento de rolamento, o movimento na direcção de sustentação é designado por momento de rotação lateral e o momento da força lateral é designado por momento de inclinação. A força de arrasto (FD) e de sustentação total (FL) que actuam num corpo podem ser determinadas a partir

das distribuições de pressão (P) e tensão de corte (τw) usando as equações:

6₇= 9 :6_H ₇= 9 ;−= >?@A + C_H @DEAF:G (2.1)

Figura 1 - Força de pressão e viscosidade a actuar num corpo bi-dimensional e a resultante da força de sustentação e arrasto (adaptado de Çengel e Simbala, 2006).

(22)

6_I= 9 :6_H _I= − 9 ;= @DE A + C_H >?@AF:G (2.2) O ângulo θ é o ângulo da normal do elemento de área dA relativamente à direcção do escoamento. A força de arrasto e a força de sustentação dependem da massa volúmica do fluido, ρ, da velocidade da corrente livre a montante, do tamanho, forma e orientação do corpo. Uma vez que não é prático apresentar estas forças para uma variedade de situações utilizam-se números adimensionais que representam as forças de arrasto e de sustentação do corpo. Estes números são o coeficiente de arrasto ;₇) e o coeficiente de sustentação (_IF que estão definidos por:

₇=_LJK MNOMP (2.3) _I=_L JQ MNOMP , (2.4)

onde A é a área frontal (área projectada na direcção normal do escoamento). No caso do cilindro de diâmetro D e comprimento L a área frontal é definida por A=LD. Os coeficientes de arrasto e de sustentação são também função do número de Reynolds e da rugosidade relativa da superfície.

Como mencionado atrás, a força de arrasto resulta das forças exercidas pelo fluido num corpo na direcção do escoamento devido ao efeito combinado da tensão na parede e da força de pressão. Por vezes é mais esclarecedor separar os dois efeitos e estudá-los em separado. A parte do arrasto que é devido à tensão de corte na parede é designada por coeficiente de arrasto de fricção, _7,RSTUçãX, e a parte que é devida à pressão é designada por coeficiente de arrasto de pressão _7,YSZ[[ãX, (também designada por arrasto de forma devido à sua forte dependência da geometria do corpo). Estes coeficientes estão definidos por:

_7,RSTUçãX=JK,\]^_çã`_L MNOMP (2.5) _7,YSZ[[ãX =JK,a]bccã`_L MNOMP . (2.6)

O coeficiente total de arrasto é determinado pela adição dos termos anteriores:

₇= _7,RSTUçãX+ _7,YSZ[[ãX (2.7) O coeficiente de arrasto de fricção é a componente da força de corte na parede na direcção do escoamento, e assim é dependente da orientação do corpo e também da magnitude da tensão de corte na parede, τw. O coeficiente de arrasto de pressão é proporcional à área frontal e às diferenças de pressão que

actuam na parte frontal e posterior do corpo. O coeficiente de arrasto de pressão torna-se mais significativo quando a velocidade do fluido é demasiado alta para que o fluido seja capaz de seguir a curvatura do corpo, e nesse caso o escoamento separa-se do corpo criando uma zona de baixas pressões na região posterior do corpo. O coeficiente de arrasto de pressão é neste caso devido a elevadas diferenças de pressão entre a parte frontal e posterior do corpo.

(23)

2.3 Conceito de camada limit

Num fluido em escoamento em torno de u de fluido adjacente ao objecto. Sobre a s

nula, a chamada condição de não deslizamento. Ao longo da direcção normal à superfície, a tensão de corte diminui e a velocidade tende para a velocidade do fluido antes de ser perturbado pela presença do objecto. Estabelece-se assim um perfil de velocidade

perfil se desenvolve dá-se o nome de

velocidade e a espessura desta camada limite vão depender de vários factores, sendo os mais importantes a geometria, a orientação do objec

2.3.1 Placa Plana

Considere-se um fluido em escoamento não se ilustra na Figura 2. No seu trajecto, o flui colocada paralelamente à direcção do escoa força de corte tangencial sobre o element

exercer uma força de corte tangencial sobre o elemento de fluido mais próximo, retardando vez, este elemento vai retardar outro elemento

dos elementos de fluido propaga

distância da placa, δ, na direcção normal, a acção das forças de corte deixa de se fazer sentir. A partir dessa distância, a velocidade do fluido volta a ser

presença da placa chama-se camada limite de quantidade de movim

transição entre a zona de fluido retardado e a zona onde a velocidade do fluido deverá ser naturalmente, igual à do escoamento ou seja, 5

efectuada ao longo da coordenada

superiores a um dado limite, designado por uniforme ao longo daquela coordenada (

Figura 2 – Conceito de camada limite

Em 1904, Prandtl salientou pela primeira vez que a espessura da camada limite era função da razão entre as forças de inércia e as forças viscosas qu

Conceito de camada limite e separação do escoamento

em torno de um objecto sólido desenvolvem-se tensões de corte na camada adjacente ao objecto. Sobre a superfície, a tensão de corte é máxima, e a velocidade do fluido é de não deslizamento. Ao longo da direcção normal à superfície, a tensão de corte diminui e a velocidade tende para a velocidade do fluido antes de ser perturbado pela presença do se assim um perfil de velocidades na camada adjacente ao objecto. À zona onde este

se o nome de camada limite de quantidade de movimento

velocidade e a espessura desta camada limite vão depender de vários factores, sendo os mais importantes a geometria, a orientação do objecto e o número de Reynolds.

um fluido em escoamento não confinado, com um perfil de velocidade uniform

o seu trajecto, o fluido vai encontrar uma placa plana de comprimento infinito direcção do escoamento. Quando o fluido encontra a placa, esta exerce uma sobre o elemento de fluido. Este elemento de fluido não desliza, pára, e passa a exercer uma força de corte tangencial sobre o elemento de fluido mais próximo, retardando

vez, este elemento vai retardar outro elemento de fluido adjacente e assim sucessivamente

dos elementos de fluido propaga-se, com uma intensidade cada vez mais atenuada, até que a alguma , na direcção normal, a acção das forças de corte deixa de se fazer sentir. A partir dessa distância, a velocidade do fluido volta a ser 5∞. A toda a zona em que o fluido é retardado pela

camada limite de quantidade de movimento. A figura 2 representa a transição entre a zona de fluido retardado e a zona onde a velocidade do fluido deverá ser naturalmente,

5∞. Para um dado valor de , e 0, a transição entre

o da coordenada y, através de um perfil de velocidade 0 g !;-F

a um dado limite, designado por δ, o perfil de velocidade encontra-se já ajustado e passa a ser uniforme ao longo daquela coordenada (! 8 5∞).

Conceito de camada limite (adaptado de Munson et al, 2004).

Em 1904, Prandtl salientou pela primeira vez que a espessura da camada limite era função da razão entre as forças de inércia e as forças viscosas que actuam no fluido, isto é do número de Reynolds,

D_h 8RXSçi[ TjZSUTiT[ RXSçi[ T[UX[i[ 8 Nk∞h µ Linha de Corrente Camada Limite

e e separação do escoamento

tensões de corte na camada máxima, e a velocidade do fluido é de não deslizamento. Ao longo da direcção normal à superfície, a tensão de corte diminui e a velocidade tende para a velocidade do fluido antes de ser perturbado pela presença do objecto. À zona onde este camada limite de quantidade de movimento. O perfil de velocidade e a espessura desta camada limite vão depender de vários factores, sendo os mais importantes

confinado, com um perfil de velocidade uniforme 5∞, como

placa plana de comprimento infinito do encontra a placa, esta exerce uma não desliza, pára, e passa a exercer uma força de corte tangencial sobre o elemento de fluido mais próximo, retardando-o. Por sua e assim sucessivamente. Este retardar atenuada, até que a alguma , na direcção normal, a acção das forças de corte deixa de se fazer sentir. A partir . A toda a zona em que o fluido é retardado pela A figura 2 representa a transição entre a zona de fluido retardado e a zona onde a velocidade do fluido deverá ser naturalmente, , a transição entre estas duas zonas é

F g 5∞. Para valores de y

se já ajustado e passa a ser

Em 1904, Prandtl salientou pela primeira vez que a espessura da camada limite era função da razão entre mero de Reynolds,

(2.8)

Superfície de controlo

(24)

onde ρ é a massa volúmica e µ a viscosidade do fluido. de placa plana x é o comprimento da placa

livre do escoamento. O número

viscosos. Assim, a um valor muito baixo de

comparativamente com a intensidade das forças de inércia, isto é, maior será a espessura da camada limite, tal como se pode visualizar na figura 3.

Situação bem diferente é a que conduz a um elevado valor de

e o efeito viscoso apenas se faz sentir na vizinhança imediata da superfície sólida, numa extensão tanto menor quanto maior o valor de Re

lugar geométrico dos pontos onde a velocidade

Figura 3 – Comparação dos escoamentos em torno de uma placa plana aguda: (a) escoamento com Re baixo, laminar; (b) escoamento com Re alto (a

2.3.2 Cilindro

O escoamento em torno do cilindro, quando comparado com o escoamento sobre uma placa plana, um comportamento diferente. No caso do cilindro verifica

ordem de 5 o escoamento separa

o objecto em toda a sua superfície, mas a dada altura o fluido segue em frente separando e formando uma bolha de recirculação

mais elevados forma-se uma esteira

a viscosidade do fluido. , e 5_∞ são o comprimento característico é o comprimento da placa e no caso do cilindro é o diametro) e a velocidade

de Reynolds, Re, traduz a importância relativa . Assim, a um valor muito baixo de Re corresponde um predomínio

comparativamente com a intensidade das forças de inércia, isto é, maior será a espessura da camada de visualizar na figura 3.

Situação bem diferente é a que conduz a um elevado valor de Re, as forças de inércia são preponderantes e o efeito viscoso apenas se faz sentir na vizinhança imediata da superfície sólida, numa extensão tanto

Re. Por convenção definiu-se a espessura da camada limite como sendo o

ico dos pontos onde a velocidade u paralela à placa atinge 99% da velocidade externa U.

Comparação dos escoamentos em torno de uma placa plana aguda: (a) escoamento com Re baixo, laminar; (b) escoamento com Re alto (adaptado de White et al., 1986).

O escoamento em torno do cilindro, quando comparado com o escoamento sobre uma placa plana, . No caso do cilindro verifica-se que a partir de um número de Reynolds da separa-se do objecto, isto é as linhas de corrente do escoamento não contornam o objecto em toda a sua superfície, mas a dada altura o fluido segue em frente separando

bolha de recirculação a jusante do corpo para 5 m D m 40, e para

se uma esteira. A formação desta esteira caracteriza-se por um défice de quantidade Estudos preliminares sobre ejecção de vórtices em torno de um cilindro no regime turbulento com separação laminar

o comprimento característico (no caso e a velocidade da corrente relativa dos efeitos de inércia e sponde um predomínio das forças viscosas comparativamente com a intensidade das forças de inércia, isto é, maior será a espessura da camada

forças de inércia são preponderantes e o efeito viscoso apenas se faz sentir na vizinhança imediata da superfície sólida, numa extensão tanto se a espessura da camada limite como sendo o paralela à placa atinge 99% da velocidade externa U.

Comparação dos escoamentos em torno de uma placa plana aguda: (a) escoamento com Re baixo,

O escoamento em torno do cilindro, quando comparado com o escoamento sobre uma placa plana, exibe a partir de um número de Reynolds da do objecto, isto é as linhas de corrente do escoamento não contornam o objecto em toda a sua superfície, mas a dada altura o fluido segue em frente separando-se da superfície , e para números de Reynolds se por um défice de quantidade

(25)

de movimento e pela presença de pressões relativamente baixas que geram uma força paralela ao eixo x, que se opõe ao movimento do fluido, conhecida por arrasto de pressão. A figura 4-a) ilustra as linhas de corrente para o caso ideal onde as tensões de corte são inexistentes e os campos de pressão e de velocidade são ambos simétricos, não ocorrendo portanto a separação. A figura 4-b) ilustra as linhas de corrente para o caso real de escoamento em redor do cilindro onde ocorre a separação do escoamento.

Figura 4 - Escoamento em redor de um cilindro estacionário: a)caso ideal, b) caso real com separação do escoamento (adaptado de Munson et al., 2004).

Diversos factores podem modificar as características da esteira a jusante de cilindros circulares, dentre os quais se destaca o número de Reynolds. A baixos números de Reynolds (Re < 1), as forças viscosas predominam sobre as forças de inércia em todo o domínio do escoamento.

Figura 5 - Características do escoamento em torno de um cilindro: escoamento com número de reynolds (a) baixo, (b) moderado e (c) alto, (adaptado de Munson et al., 2004)

(26)

As linhas de corrente contornam suavemente o corpo sólido, sem descolamento da camada limite, apresentando-se simétricas quer na parte frontal quer

representada na Figura 5-a). Este comportamento é similar ao descrito para o caso do escoamento ideal excepto que não existe simetria posterior

aumento do número de Reynolds a zona onde as forças viscosas são importantes tor forças de inércia ganham importância. À medida que

aumento dos gradientes de velocidade, quer porque as velocidades do escoamento poderão ser mais elevadas, mas sobretudo porque a dimensão tran

aumentando em consequência as tensões de corte viscosas junto ao cilindro. que as linhas de corrente já não conseguem contornar o corpo

gradiente adverso de pressão e nessa altura dá cilindro, situação que está representada na Figura 5

escoamento, a região dominada pelas forças viscosas dimi formando uma camada limite inercial

do cilindro, caso representado na figura 5

que podem desprender-se periodicamente de ambos os lados do cilindro, originan von Kármán.

A formação e a extinção dos vórtices laminar, de transição ou turbulento. Com padrões de escoamento na esteira de um Tabela 1.

Figura 6 - Escoamento em torno de um cilindro: (a) separação laminar; (b) Separação turbulenta; (c) Distribuição de pressões na superfície (adaptado de Munson et al., 2004)

As linhas de corrente contornam suavemente o corpo sólido, sem descolamento da camada limite, se simétricas quer na parte frontal quer na parte posterior do cilindro, situação que está a). Este comportamento é similar ao descrito para o caso do escoamento ideal excepto que não existe simetria posterior devido ao crescimento do Cl ao longo do cilindro

aumento do número de Reynolds a zona onde as forças viscosas são importantes tor

forças de inércia ganham importância. À medida que o tamanho da zona viscosa se reduz dá

aumento dos gradientes de velocidade, quer porque as velocidades do escoamento poderão ser mais mas sobretudo porque a dimensão transversal da zona viscosa diminui de espessura, aumentando em consequência as tensões de corte viscosas junto ao cilindro. O atrito

que as linhas de corrente já não conseguem contornar o corpo, pois não possuem energia para resistir ao e nessa altura dá-se a separação do escoamento,

cilindro, situação que está representada na Figura 5-b). Aumentando ainda mais o número de Reynolds do escoamento, a região dominada pelas forças viscosas diminui ainda mais de espessura tornando

inercial e surgem instabilidades na região da esteira que se estende a jusante do cilindro, caso representado na figura 5-c). Neste regime, formam-se grandes estruturas turbilhonares

se periodicamente de ambos os lados do cilindro, originan

extinção dos vórtices na esteira são afectados pelo regime de esc ou turbulento. Com base no número de Reynolds, Sumer

padrões de escoamento na esteira de um cilindro em escoamento estacionário, conforme

e um cilindro: (a) separação laminar; (b) Separação turbulenta; (c) Distribuição de pressões na superfície (adaptado de Munson et al., 2004).

Esteira larga Esteira estreita Separação Separação Laminar Turbulento Teoria Inviscida

As linhas de corrente contornam suavemente o corpo sólido, sem descolamento da camada limite, do cilindro, situação que está a). Este comportamento é similar ao descrito para o caso do escoamento ideal ao longo do cilindro. Com o aumento do número de Reynolds a zona onde as forças viscosas são importantes torna-se pequena e as zona viscosa se reduz dá-se um aumento dos gradientes de velocidade, quer porque as velocidades do escoamento poderão ser mais sversal da zona viscosa diminui de espessura, O atrito do escoamento é tal , pois não possuem energia para resistir ao se a separação do escoamento, na parte posterior do b). Aumentando ainda mais o número de Reynolds do nui ainda mais de espessura tornando-se fina instabilidades na região da esteira que se estende a jusante se grandes estruturas turbilhonares se periodicamente de ambos os lados do cilindro, originando a chamada esteira de

regime de escoamento, que pode ser Sumer (1997) identifica nove stacionário, conforme se observa na

(27)

A teoria da camada limite pode prever a existência do ponto de separação, mas não pode avaliar com precisão a distribuição de pressões (em geral baixas) na região de escoamento separado pois aí a teoria da camada limite não é valida. A figura 6 ilustra o efeito significativo do escoamento separado sobre a distribuição de pressões.

Tabela 1 – Regimes de escoamento em redor de um cilindro liso em função do número de Reynolds (adaptado de Sumer, 1997).

Vórtices laminares

Transição para turbulência na esteira

Esteira completamente turbulenta A: Separação da camada limite laminar

Sub Crítico

A: Separação da camada limite laminar

B: Separação da camada limite turbulenta:

nas camada limite laminar Crítico

Super Critico

Transição superior

Transcritico C: Camada limite completamente

turbulenta nos dois lados C: Camada limite completamente

turbulenta num lado B: Separação da camada limite turbulenta:

Camada limite parcialmente laminar e parcialmente turbulenta Um par fixo de vórtices simétricos

(28)

A curva teórica para fluidos invíscidos está marcada a tracejado, na figura 6-c. A figura representa a variação do coeficiente de pressão CP que se descreve como:

_o8_Lopoq

MNkqM

(2.9) onde = e 5 são a pressão e a velocidade da corrente livre, respectivamente. As distribuições reais de pressão da camada limite laminar e turbulenta são naturalmente diferentes das previstas pela teoria inviscida, esta situação está ilustrada na figura 6-c. O escoamento laminar é muito vulnerável ao gradiente adverso de pressão na traseira do cilindro e a separação ocorre em θ ≅82º. A esteira larga e a pressão muito baixa na região de separação laminar causa um coeficiente de arrasto da ordem de CD=1.2. A

camada limite turbulenta na figura 6 – b) é mais resistente devido à energização da camada limite provocada pela turbulência, que transporta energia de fora para dentro da camada limite e assim esta resiste um pouco mais ao gradiente de pressão adverso, e a separação é retardada até θ ≅120º, ocasionando uma esteira mais estreita, uma pressão a jusante maior e um coeficiente arrasto 75% menor,

CD=0.3. Isto explica a queda brusca do coeficiente de arrasto na transição de regime de escoamento. Os fenómenos de deslocamento, formação da estrada de vórtices, estão normalmente associados à existência de viscosidade e ao aparecimento de um gradiente positivo de pressões junto à parede do obstáculo (gradiente de pressão adverso), correspondente ao escoamento exterior à camada limite. Ora, quanto maior for a curvatura das paredes, maior será o gradiente de pressões e portanto mais intensos todos estes fenómenos.

2.4 Mecanismo de formação e desprendimento de vórtices

A característica mais importante do escoamento em torno de cilindros é o fenómeno de desprendimento de vórtice que ocorre para Reynolds superiores a 40-47. A camada limite laminar separa-se da superfície do cilindro devido ao gradiente de pressão adverso imposto pela divergente geometria do escoamento a jusante do cilindro e pela consequente perda de quantidade de movimento.

Gerrard (1966), analisou os mecanismos físicos envolvidos no fenómeno de formação de vórtices no escoamento ao redor de um cilindro. Devido à instabilidade, um vórtice (vórtice A, figura 7-a)) torna-se maior do que o outro vórtice B e é suficientemente forte para atrair o vórtice oposto, menor (vórtice B, figura 7-a)), cuja vorticidade tem direcção inversa à do maior, ou seja, se um tem vorticidade no sentido horário o outro terá no sentido anti-horário. A aproximação do vórtice B, com vorticidade oposta, vai cortar o fornecimento da vorticidade do vórtice A. Nesse momento o vórtice A desprende-se da camada limite e é libertado na corrente. Imediatamente inicia-se a formação de um terceiro vórtice, vórtice C, com as mesmas características do primeiro, enquanto o vórtice B cresce. Daí, da mesma maneira que o primeiro foi libertado, vórtice A, o segundo também será, vórtice B. O vórtice B irá atrair o vórtice C, forçando a sua própria separação. Este processo continua sempre que um vórtice for libertado de maneira alternada entre os lados do cilindro. A esteira de vórtices forma-se assim apenas quando as duas camadas

(29)

de corte interagem entre si. A frequência de desprendimento de vórtices com o número de Strouhal. O número de Strouhal

onde D é a dimensão característica

Figura 7 – Mecanismo de formação e desprendimento de vórtices segundo Gerrard (1966): a) antes do desprendimento do vórtice A, o vórtice B está a for

o vórtice C está a formar-se na esteira (de, Sumer, 1997).

O número de Strouhal é função documentada por Fey (1998). Baseando

descreve a dependência entre o número de Strouhal e o número de Reynolds

/√D. Esta correlação, com coeficientes diferentes, Re = 47 até Re u 2 w 10y tal como se pode visualizar no

Figura 8 – Curva do número de Strouh (adaptado de Fey et. al., 1998).

A frequência de desprendimento de vórtices, f, está directamente relacionad

com o número de Strouhal. O número de Strouhal é um número adimensional, definido por:

8R 7_k é a dimensão característica e 5 é a velocidade da corrente livre.

Mecanismo de formação e desprendimento de vórtices segundo Gerrard (1966): a) antes do desprendimento do vórtice A, o vórtice B está a formar-se na esteira; b) antes do desprendimento do vortice B,

se na esteira (de, Sumer, 1997).

é função do número de Reynolds, e essa dependência foi estudada e está 1998). Baseando-se em dados experimentais desenvolveu

descreve a dependência entre o número de Strouhal e o número de Reynolds,

, com coeficientes diferentes, aplica-se desde o início da formação dos vórtices a tal como se pode visualizar no Figura 8.

Curva do número de Strouhal em função do número de Reynolds para a faixa de: 47<

stá directamente relacionada é um número adimensional, definido por:

(2.10)

Mecanismo de formação e desprendimento de vórtices segundo Gerrard (1966): a) antes do ira; b) antes do desprendimento do vortice B,

essa dependência foi estudada e está dados experimentais desenvolveu-se uma nova lei que descrita por 8 B se desde o início da formação dos vórtices a

(30)

Os coeficientes e foram obtidos por ajuste para várias gamas de número de Reynolds e estão apresentados na tabela 2.

Tabela 2 - Coeficientes z{ e | para os vários intervalos de Reynolds. }z{é o erro estimado da recta de aproximação linear (Fey et al., 1998).

Gama de Re z{ | }z{

47 < Re < 180 0.2684 -1.0356 0.0010

180 < Re < 230 0.2437 -0.8607 0.0015

230 < Re <2 40 0.4291 -3.6735 0.0015

240 < Re < 360 Depende das condições nos topos do cilindro

360 < Re < 1300 0.2257 -0.4402 0.0015

1300 < Re < 5000 0.2040 0.3364 0.0015

5000< Re < ~ w 0.1776 2.2023 0.003

2.5 Estado da Arte

O escoamento externo em torno de corpos representa uma importante área da dinâmica de fluidos com um elevado número de aplicações em muitas áreas da engenharia. Os resultados obtidos têm dado grandes contribuições para compreender muitas situações do quotidiano. O pioneiro nestes estudos foi von Kármán e de seguida surgiram inúmeros trabalhos sobre este tema, quer ao nível experimental, quer numérico em geometrias genéricas como, o cilindro e a esfera.

No presente trabalho, estuda-se o escoamento em torno de um cilindro infinito não rugoso. Em escoamento laminar têm-se feito muitos estudos que permitiram um bom entendimento dos fenómenos físicos do escoamento. Park et al. (1998) efectuaram simulações para número de Reynolds inferiores a

160 utilizando um método de elevada resolução e uma malha de 641 × 241 células. Os seus resultados

apresentaram boa concordância com os resultados experimentais e numéricos de outros autores, relativamente às seguintes variáveis: número de Strouhal, coeficiente de arrasto e de sustentação, ângulo e o comprimento de separação.

Os melhoramentos na capacidade computacional levaram, nos últimos anos, a estudos para elevados números de Reynolds que têm permitido compreender os fenómenos relacionados com a turbulência nomeadamente o aparecimento de instabilidades que acabam por originar os chamados vórtices na camada de corte e até mesmo o fenómeno de desprendimento de vórtices. O estudo de escoamentos turbulentos pode ser feito por diferentes abordagens, sendo as principais, a Simulação Numérica Directa (DNS), a Simulação de Grandes Escalas (LES) e a resolução das equações de Reynolds Averaged

Navier-Stokes (RANS). Alguns são descritos de seguida.

Celik e Shaffer (1995) utilizaram o modelo k-ε padrão e efectuaram simulações 2D para estudar escoamentos na gama (10 < D < 10) numa malha de 100 × 150 células. Para o escoamento subcrítico, D = 10y, verificou-se uma boa concordância com resultados experimentais antes da

(31)

separação laminar e na previsão do ponto de separação, a 80º. Após o ponto de separação, o modelo não foi capaz de prever a formação/desprendimento de vórtices. No escoamento em regime supercrítico,

D 8 3.6 × 10_{, verificou-se que a distribuição de pressões e o ponto de separação, a 118º, estavam em} concordância com as medições experimentais. No entanto a tensão de corte na parede estava sobre-estimada, com valores excessivamente elevados, que ocorrera devido à existência de vórtices turbulentos na camada limite. Concluiu-se que os resultados eram influenciados pela distribuição da malha na camada limite.

Kravchenko e Moin (1999), efectuaram estudos numéricos no regime sub-crítico, para D = 3900 utilizando a técnica LES e o modelo Smag dinâmico que é usado para considerar as escalas de turbulência tridimensionais que não são resolvidas pela malha. Na proximidade do cilindro e na região da esteira verificou-se que os resultados estavam em concordância com os resultados computacionais e experimentais. Neste estudo mostrou-se que os efeitos da terceira dimensão são importantes na previsão do escoamento. Concluiu-se que uma resolução inadequada da malha pode causar uma antecipação da separação da camada limite, o que leva à imprecisão do cálculo dos parâmetros do escoamento, como o coeficiente de arrasto e de sustentação.

Catalano et al. (2003) avaliaram a viabilidade e a concordância do método LES acoplado a um modelo de parede para escoamentos turbulentos no regime super-crítico (5 × 10y < D < 10) no qual a camada limite se torna turbulenta antes da separação. Os resultados foram comparados com os obtidos através dos modelos RANS, k-ε padrão, e com resultados experimentais. Verificou-se que os resultados prevêem correctamente o atraso na separação da camada limite, a redução do coeficiente de arrasto e a distribuição média de pressões para D = 5 × 10y e D = 10. Os autores encontraram também pouca sensibilidade em captar a variação do coeficiente de arrasto com o número Reynolds em especial para números de Reynolds mais elevados (D = 2 × 10), uma vez que os resultados obtidos não seguiam os resultados de Achenbach (1968) que previam um aumento do coeficiente de arrasto com o aumento do número de Reynolds, o que segundo o autor, se pode dever ao facto da malha ser grosseira, particularmente antes da separação.

Dong e Karniadakis (2005) apresentam os resultados de simulações 3D efectuadas pelo método de simulação numérica directa (DNS) acompanhado pelo algoritmo tipo multinível paralelo com um elemento espectral que diminui os custos computacionais, para um número de Reynolds de 104. A principal vantagem deste algoritmo paralelo é a redução de muitos processos que estão envolvidos em cada comunicação com um nível único. O coeficiente de arrasto, o coeficiente de pressão e o número de Strouhal obtidos para as simulações, apresentam boa concordância com os resultados experimentais. Este facto indicou que estes parâmetros não são sensíveis à resolução da malha. Por outro lado o coeficiente de sustentação, calculado demonstrou ser muito sensível.

Younis e Przulj (2005), refere-se à previsão de um escoamento com fluxo cruzado sobre cilindros lisos a um elevado número de Reynolds (2 × 10 < D < 3.5 × 10F, considerando os cilindros circulares e também os de secção quadrada, em 2D. O autor salientou a dificuldade de previsão deste tipo de escoamento, devido à esteira de vórtices de Von Kármán que se forma e que provoca flutuações

Estudos preliminares sobre ejecção de vórtices em torno de um cilindro no regime turbulento com separação laminar

Mestrado Integrado em Engenharia Química