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KQLAAXjOARITMÉTICA PRÁTICA
/ /O B R A S D O A U T O R
"A Criança, o Sonho e os Comos de Fedas", Panorama. S. Paulo, 1 938 (EsgO. ^Noções de Psicologia Educacional". Comp. Edit. Nac., 4.n cd.. S. Paulo.
1950-"Noções de Filosofia da Educa<;ão". Comp. Edit. Nac.. 4.=^ cd.. S P.uilo. 1950
Noçoes de Sociologia Educccional". Comp. Edit. Nac.. 3.^ cd.. S Paulo. 1950
Noçoes de Hifóna da Educação". Comp. Edit. Nac.. 4.® cd.. S. Paulo.
1950-Manual de Fi/osoAa", Companhia Editora Nacion.il. 4.-'^ edição S Pnilü 1950.
Jntr^uçao a Pedagogia Moderna". Editora A Noite, Rio 1945"
^A Escola Primária". Editora A Noite. Rio. 1945
-O Jacdirp de Infância". Editora A Noite. Rio. 1945 ÍEsconlo^
S P a u l o 1 9 5 0 .
MetMagw do Emmo Prmáno", Comp. Edit. Nac.. 2 " ed s' Paulo 1950. Pruítcu d. E„s,„a-,_Comp. Edit. Nac., S. Paulo, 1951 2 » cdkão'
Patcotccmca , Ed.çots Tccuicas c Ciemíficas, Rio 1948
■críz K:;-™-; PcYmdto Lk,o"Yl''-t
"Criança Brasileira". Scgrio L o àl ' ' a®!'"
"Criança Brasileira". Tercdro L v o A i • ^^^O. 5,=» ed, .
'Criança Brasileira". Terceiro Livro / 'r®'."'"- Rio. 1950, 3.^ cd.
1950 (Edição especial para o EstaL Editora. Rio.
"Criança Brasileira". Terceiro Livro df r ^ ^
1950 (Edição especial para o Esíado d vr Editora. Rio.
Crianço Brasileira". Terceiro Liv,n d t • .
^1951 (Edição espedal para o Estadr. d""D-' '"^Sir Editora. Rio.
Criança Brasileira", Terceiro LK-ro d i • 2.^ edição. especial para o Estado de PcrnarnLcnV^""' '^^1 (Edição Criflnço Brasileira". Quarto Liv^n 5 '
Criança Brasileira". Quinto Livro de'1^1?""' ed. Vamos .Estudar.'". Cartilha. Livraria a • cd., Rio. 1949.
: V » t n o a
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i THEOBALDO MIRANDA SANTOS
Hx-proL^sor do GeografLi na Escola Norni.il Oficial do Minas GeraLs. E.x catc. draiKo de Fisua, Quimie.-! c Historia Natural dos Institutos de Educação dc Campos o Niicroí, Lx-professor dc Pisica do Colégio N. D. dc Sion do Rio de J.iniiro. Catedraiico do F ilo.soíia da Educ.iç.ic do Instituto da Educação c da
j ! U n i v c r . s i d . i d e C a t ó l i c a d o D i s t r i t o F e d e r a l
A R I T M É T I C A
P R Á T I C A
Curso de admissão
Contém lodo o programa do curso primário e do exame de admissão aos cursos ginasial, normal, comerciai e induslrial
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'vrar/a Ag I R ^c///õra
Í N D I C E
NOÇOES PRELIMINARES
Aritmética. — Grandeza. — Quantidade. — Medida — Uni dade. — Numero. — Resumo. — Questionário. — Exercícios e testes
NUMERAÇÃO
Numeração. — Nomes dos números. — Numeração falada Principio fundamental da numeração falada. — Sistema de'nu meração. — Numeração escrita. — Princípio fundamental da
escrita. — Valores dos algarismos. — Regras para ler os núme ros. — Regra para escrever os números. — Numeração romana — Regra para escrever os números com algarismos romanos —I
Aphcaçao dos números romanos. — Resumo. — Questionário' —
Exercícios e testes. — Problemas resolvidos
O P E R A Ç Õ E S A R I T M É T I C A S
Operações aritméticas. — Elementos de uma operação. Prova
de uma operação. — Sinais aritméticos. — Resumo. Ques
tionário. — Exercícios e testes
A D I Ç Ã O
Definição. — Propriedades da adição. — Prática da adição Regra da adição. — Provas da adição. — Cálculo mental da adi ção. — Resumo. — Questionário. — Exercícios e testes. Pro
blemas resolvidos
S U B T R A Ç Ã O
D^efinição. — Propriedades da subtração. — Prática da subtra ção. — Regra da subtração. — Complemento aritmético —
Provas da subtração. — Cálculo mental da subtração Re
sumo. — Questionário. — Exercícios e testes. — Problema»; r».'
solvidos
M U LT I P L I C A Ç Ã O
Definição. — Propriedades da multiplicação. — Prática da mul tiplicação. — Tábua de Pitagoras. — Regra da multiplicação.
Multiplicação"io?*í^^^^ 1 C^ilculo mental da multiplicação.
Exevcício.e tentes. ^ Que..tionávio.
D I V I S Ã O
Prática'da divisã7 —^ Provas° fla7-^-^divisão.
n S o " - Í O 1 0 0 l O o T " - 7 d a
n«uo. -- Exevmcms e testes. - ^eSsT
POTENCIAÇÃO r-'Xeicicjos e testes . . , . , ^ 1 ^ ' I S I B I L I D A D E J->ivisibilidade p«, i. Nto«-os primos _ ™™0S E x e r c í c L e E r a t o s t e n e s . _ _ D e -Problemas resolvidos Questionário. _
r i " P - H e í a r ^ - . ' ' . - - - - o . o , o
Ploblemas resolvidos ^"®®^^onário. ^ Exeiíí?'"^° divisor
co-cicios e testes.
Múltiplo de um nú MOLTIPLO COMUM
tipio^t™™"™--|tip,„-S" /"-um. _
Determi-resoWdos . I'lSrSs^o "eú-'
as..vs'i--"™-rr""'*''
3 3 4 0 4 8 5 1 5 4 5 8 6 2 4— Propriedade das frações ordinária.s. — Resumo. — Questio
n á r i o . — E . x e r c í c i o s e t e s t e s . — P r o b l e m a s i * e s o l v i d o s
C O M P A R A Ç Ã O D E F R A Ç Õ E S . S I M P L I F I C A Ç Ã O D E FRAÇÕES. REDUÇÃO ÁO MES.MO DEN03IINADOR
C o m p a r a ç ã o d e f r a ç õ e s . — S i m p l i f i c a ç ã o d e f r a ç õ e s . — R e dução de frações ao mesmo denominador. — Resumo. — Ques
t i o n á r i o . — E x e r c í c i o s e t e s t e s . — P r o b l e m a s r e s o l v i d o s
O P E R A Ç Õ E S S Ô B R E F R A Ç Õ E S 0 R D I N . 4 R I A S
Adição de frações, — Subtração de fraçõe.s. — Multiplicação d e f r a ç õ e s . — D i v i s ã o d e f r a ç õ e s . . — F r a ç ã o d e f r a ç ã o . — F r a
ção mista ou comiiosta. ■— Exercícios e testes. — Problemas
i*e-s o l v i d o i*e-s
F R A Ç Õ E S D E C I M A I S
Frações decimais. — Partes decimais' da unidade. — Escrita de
frações decimais. — Leitura de frações decimais. ' Leitura de
números decimais. — Propriedade das frações e números deci mais. Comparação de números decimais. — Resumo. — Ques tionário. — Exercícios e testes. — Problemas resolvidos
OPERAÇÕES SÔBRE FRAÇÕES DECIMAIS
Adição de frações decimais. — Subtração de frações decimais. — Multiplicação de frações decimais. — Divisão de frações decimais. — Exercícios e testes. — Problemas resolvidos
CONVERS.ÃO DE FRAÇÕES 0RDIN.4RTAS EM
D E C I M A I S E V I C E - V E R S A
Conversão de fração ordinária em decimal. — Conversão de fra ção decimal em ordinária. — Conversão de número decimal em fração ordinária. — Dízimas periódicas. — Determinação da ge-ratriz das dizimas. — Exoressões fracionárias. — Resumo. —
Questionário. — Exercícios e testes. — Cálculos de expressões
f r a c i o n á r i a s
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
Sistema métrico decimal. — Histórico do sistema métrico deci
mal. Unidades do sistema métrico decimal. — Múltiplos e submúltiplos do sistema métrico decimal. — Medidas reais e ima
ginárias. Resumo. — Questionário. — Exercícios e testes...
6 6 7 3 7 9 8 7 9 1 9 6 1 0 2
— ' V M . a a r e s o l v i
Medidas de caaacid CAPACIDADE
S i - í e B d e m a s s a . M A S S A
Eí L™j2?!:'iSaaS FÊTí^fsrd^s 5;
"Memas resolvidok ../'"^^Monário. — Exercido'® '"''®"
* - * o x j j , i v i A M -—•w«v4
SISTEMA "MONETARin -o
'^>0 brasileiro o ^^^SlLElRo circulação- e o centavo. , questões de EVAiv.^exame de adm" - U DE ADMISSÃO
I Esf^u xT^^n^'ssao ao T=«xi. .
M o e
-e á s S ü g
■ ■ ■ - — 8 - _1 0 6
medidas de comprimento
iTdSfli^ - 6mdRip,„a do melro.
- R e s u m o P " ' ? , " ' " ' " - - M u d a n ç a d 7 ® m o
rnas resolvidos ^^"==^">"^"0. - Exercicio's \ tettes''.°''l!."proMcl
Medidas de su erf SUPERFÍCIE
dança'drunWaSe^d" ®'®''""''^"'medidã^d"e'"'''°^ Í°
l""-da área _ r.! ® ^"Perficie. — Medi! euperficie. _
Mu-- Problemas resolvi°d„s7. ; ~ CMculo
M^íMas de volume ''°'^UME
^Oe'e ;Vur.'"íl td?'- dVv"^™^-'®= metro cábico.
- Exerciciof/SL-Ü Q^et
Problemas resolvidos ..._ ^ m 1 1 1 1 2 2 1 2 6 1 3 2 1 3 4
'4
NOÇÕES PRELIMINARES1. Aritmética. — É a ciência dos números. Estuda a for mação, a representação, as propriedades e as combinações dos números. A aritmética nos ensina a medir, contar e calcular as grandezas.
2. Grandeza. — Podemos dizer que grandeza é tudo que
pode ser medido, contado ou pesado, como a altura de uma casa,
o comprimento de uma rua ou o pêso de um homem. Mas, na
realidade, a grandeza não se define. A noção de grandeza surge
da comparação de dois objetos ou de duas coisas da mesma espécie. Assim, quando vemos duas árvores, verificamos que
uma é mais alta do que a outra: a altura de uma árvore é uma grandeza-. As grandezas podem ser:
a) Contimias — são as que podem ser aumentadas ou
diminuídas de uma quantidade qualquer; exs.: o comprimento
de uma corda, a largura de uma tábua, etc.
b) Descontímias — são as que só podem ser aumentadas
ou diminuídas de uma quantidade determinada, pois são for
madas de partes distintas; ex.: um bando de andorinhas só
pode ser aumentado ou diminuído, no mínimo, de uma ando r i n h a .
c) Mensuráveis — são as que podem ser medidas, como a altura de uma casa ou a superfície de um terreno. As gran
dezas mensuráveis são chamadas gra^idezas matemáticas.
d) Imensxcráveis — são as que não podem ser medidas, como a bondade de um homem ou a inteligência de uma crian ça. A aritmética ocupa-se apenas das grandezas mensuráveis,
pois as imensuráveis escapam a qualquer processo de medição exata.
I
o compnmewío de*^uniTn^^ medida ou avaliada. Hx,:
e achamos 2 quilômetros — temn^'"" essa rua
A . . . . Q u a n t i d a d e .
As quantidades podem ser;
a ) H o m o g ê n e a s c S n ^
cie; ex.: 2 pássaros e 5 pássaros mesma
espé-^^^^^'ogêneas — «sS
rente; ex.: 3 livros e 7 flores '^"^"tidades de espécie
dife-4. Medida. MníUi. .
outra da mesma espécie chamLl^'''' '^"'"Pará-la com
de uma sala cor n c oomparar o
m^t unidade, isto é Mhnv '"e um metro
mento tem a referida sala mutros de
compri-alunos'de'';^"'^^^"'"^ descontínua; ex.: contar os
5. Unidade. ^— t' „ ,
m e s m f " , « c , u a l s e
a l t u r a a n U s e d i z q u e u m d e s e j a m e
-° -tu"'a
conjunto: um hleTn^rm",?^^^^a c^a'^ "''ttnfos'X'^m '
, 6 . N ú m e r o . « u o i m i d t ó c s .
grandlz" exs Sprim^guS"''"'®-?uma
gran-■1" Si'£'™hrâ,?°
n p f r ^ u n i d a d e d i v i H ; a „ : c o n t e m u m a . . . . . .-"as partes da un d^rl~^i®^° contêrn
, u ) C o n c i - e t o s m e t r o s e
da unidade - exs • « ^ue vêm '^pr^
■ • ® 6 alunos, ^^0. '"""''"hados do nome
— 1 0
e ) A b s t r a t o s — s ã o o s q u e n ã o v ê m a c o m p a n h a d o s d o
nome da unidade; e.x.s.: 8, G, etc.
f ) O r d h i a i s — s ã o o s q u e s e r v e m p a r a i n d i c a r a o r d e m
ocupada iior um objeto ou uma pessoa numa coleção; exs.: 2."
laranja do saco, 1." aluno da classe, etc.
g - ) C n r d i i x n . ' i — s ã o o s q u e i n d i c a m q u a n t o s e l e m e n t o s tem uma coleção: exs.: 25 mesa.s, 42 alunos, etc.
h) ,S7////4(.s- — são os que têm um só algarismo: exs.: 7. 9. etc. (1) '
i) (b)/npostos — são os que têm mais de um algarismo; exs.: 26. 348. etc.
j) Püics — .^ão os que terminam cm 2, 4, 6, 8 ou O, e,
quando divididos por 2. não deixam resto; exs.: 48. 340, etc. 1) impares — são os que terminam em 1', 3, õ, 7 ou 9, e, quando divididos por 2, deixam resto; exs.: 23. 10/, etc.
m) Dígitos — são os dez primeiros números, que podem
ser contados nos dedos das mãos; exs.: 1, 2, 3, 4, 5, 6, /, 8, 9, 10.
R E S U M O
Aritmética ó a ciência dos números. Grandeza é tudo que pode ser
medido, contado ou pe.Nado. As írrandezas podem ser: continuas, descon
tínuas mensuráveis, imensuráveis. Quantidade e a grandeza medida ou
avaliada As ciuantiilades podem ser: homojíencas e heterogeneas. Medir
uma g;indeza com a sua unidade. Unidade e a gvandeza
com a qual se comparam grandezas da mesma ospecie. ^
■le-q u e s t i o n á r i o
n ' -4.- <) Hnn p y-raiuieza? Que são grandezas contínuas
Q u e e a r i t m é t i c a ? Q u e e g i a n u c / . a . ^ i m p . w n r n v p i s ' O u e
i
e medir uma grandeza.' Que c < mistos? Que são nú-r i » '
^
S I
^
Q"e são números pares e impares? Que sao numti t
^~BB~Ãjoarismos são os sinais com que se escrevem os números.
exercícios e testes
2 . S u b l i n h E s t i u i c h d
«letíidas ckamJn^aeJ Srandezas que não
3 . E s c r e v a a s ~ ~
tZmll rr£V~ Pnteses:
-e contar? ( ®«íawi 2 hom-ens -e 3 cava/os?''/ ' -esp-e-ei-e </-e
li-...,
1
1 2
NUMERAÇÃO
1. Numeração. — É a arle de exprimir e de representai
os números. Divide-se em numeração falada e nnmeraçãa
es-^ita. Numeração falada é a arte de exprimir os números por
^6io^ de palavras. Numera^ção estni^ta é a arte de representar
os números por meio de sinais escritos ou algarismos.
. , 2. Nomes dos números. - Desde a anügiiidade os povos habituaram-se a contar de dez em dez, empregando os dedos
das mãos. Daí se chamarem dígitos os dez due são: um, dois, três, quatro, cinco, sm,
Os nomes dos diversos números são formados da seguinte ma
n e i r a :
tê^n n(>7nes especiais, além dos dez
onze, doze, treze, quatorze, quinze, mnte, tnnta, mil,
M l h à o , e t c . ; . .
. b) têm nomes derivados dos acima
qimrenta (quatro + ento.). oincoenta (^neo + M ses
'^to (,eis + enta), setenta (sete + IZos).
trez^P' ''noventa (nove + enta), íto^ /„^íro + centos),
r'ti' «»™t
e nove, etc.reu ?' Numèração falada. — A ^as ordens em
"KroXs dtunidS^^ ®
uma centena. Para evitará flezena, o dez dezenas valem
des, estas são grupadas em a ordens de
unida-mam uma unidade de nm-i ni dez centenas
for-milhares. Para melhor superior, isto é, a classe dos ■
■mos a niarcha%rí^;^ei^^^^^^^ ^
--1-pies. O número qu^sneg^i^"" exprimem unidafles
sini-dade de 2,'^ ordem. Isto miov a- dez, dezena ou mii' formam mdui dezena. dizer que dez -iniidades simjdes
dade de 2." ordem. Os iionSs^d'^ unidades, it uma
unida-quarenta, cincoenta, sesspn+n são: dez, vinte, trinta,
mero que se segue a 99 fhir^ atenta, oitenta, noventa. O nú-5.^ ordem. Isto quer dizer T «u unidade de
t e n a . q u e d e z d e z e n a s f o r m a m u m a c e n
-de 3.^^ or-dem. OsnomerdTs^cent^ -dezenas. É uma unida-de
e%fos, quatroce7itos, qiiinhenfnl^^^^^- duzentos,
tre-^ os e novecentos. Q númem ' setecentos, oito-T '''' unidade de orn'' ^ 999 chama-se onas formam um- milhar P dizer que dez
4 . P r i n ^ í . . - r 1 ^ ° ^ ' c l i a n t e .
maneira de reunir numeração falada — Essa
ÍÍÍ£S5=P=SH5
dez unidades sim^iU^, -p
dez dezenas formam
dezena-dfz centenas formam ^^nteua; dez mühares form,^
dei l-TT' «to-es "^i'hares;
— 1 4 ,
" r ^
o quadro seguinte mostra a sucessão das ordens e classes:
[Primeira ordem: unidades ] Prtmciiv classc\ Segunda ordem: dezenas
[Terceira ordem: centenas _
[ Primeira ordem: unidades ] Sequnda r/f/s.sv { Segunda ordem: dezenas
[Terceira ordem: centenas
d e u n i d a d e s
d e m i l h a r e s
de milhões
[ Primeira ordem: unidades 1
Terceiro classe \ Segunda ordem: dezenas ' [Terceira ordem: centenas j
5. Sisleniii de numeração. É um conjimlo de Palavf^,
d e - - « - E »aluais e. . . ^ x c è í i a H c o m q u . o . - . r e p r e s e i i u i u . v c
''" ■"III. Si.sfc,)u( dc Iiinneiacão é o miraero de de um<
ordem necessário para formar uma unidade de ordem
imedia-o'tiS:;'^ numeração que usamos é
tem por ha.c o número 10. O
2' sistema é sempre Igual à base. Por isso, no sistema
numeração há dez algarismos.
p , , . N u m e r a ç ã o e s c r i t a . — . c h a m a d o s
Qí^^ntar os números por meio de sm^ r ff 7 S, 9. Com o
Os algarismos são: 1, 2^ ' ''qy dizer nada
dêssPR cinniví P fio símbolo o (zeio), q números.
'nos. Os algarismos são: 1, 2, , ^ nnp'ouer dizer ímda
desses sinais e do
símbolo d (^ero) que
Par "eiikiniin, podemos rep'csei y„;,dos,
" e ^ m e s m o u ú n i e r o , c a d a u m a
,, modo a representarem, em um mu
"mdades de sua.s (liferente.s ordens. ^
Princípio fnndamcníal da : %odo
atjia-''iswn e.scrita é baseada no seguinte 1 dez t'«es
do que representaria se est
À - r ^ i v r » a l g a r i s m o r e p r e
s e n t a r a s u n i d a d e s ^ n e c e s s á r i o r e p r e
-eorrespondentes e dispôd^ 1 acô,lln al^^irismos
, Vamos escrever, por exemnin ° princípio acima. mil Quatrocentos e oitenfn c ' algarismos, o número anidades de milhar auatm o ^sse número contém
^ D ou seja; 6 485. entenas, oito dezenas e dnco
ocupa "?seuTgar!""® empregar-se-á o zero (0) para
° * ■
de ii^n para indicar, nos númer pois
ser-Em^ ordein. úmeros, a ausência de unidades
escrita" os°aSrfsmos ""n^eração
Vo - l c n - a U o U t o d o i s v a l o r e s ;^ ° '° algarismo possui
7 / A ™ L , ^ f S 5 P '
-°'-<Jem das
uni-ta-d^S
das unidades. ^^^""^smo está só é como <íp '
9 R ç g j , o c u p a s s e a o r d e m
<^l9ansvios,
. A s s i m , l ê - s e o „ c a d a
"Vinte e sete milhões duzÂ^ da seffuintp
íe» e oitenta e três nnSSeV. ' ^ oineo^T:
— 1 6 —
10- líegra para esciever os números. — Para escrever m immero iiiteiro, a regra é a seguinte:
,. ^fc/'eí'e/íí-sc. uns cm seguida aos o^ltros, da esquerda para
"hjurismos que representam as unidades das dite
is. ^vdens, a partir das unidades de ordem mais elevada,
J^icando-sc por zeros as unidades de qualquer o-ràem que
fal-^ o s ' e m' e m .
Assim, escreve-se o número oito milhões, duzentos e vinte ®ois mil e dezoito unidades da seguinte maneira: 8 226 018.
11- Numerarão romana. — Há duas espécies de algaris-pVi^^' arábicos €■ os romanos. Algarismos arábicos são assimâmados porque foram inventados pelos árabes; são os
sf-nais: O, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Algarismos romanos sao assim onominados porque foram usados, antigamente, i^los
loma-os; constam de 7 letras do nosso alfabeto. Essas letras ^sao as
®®&umtes,-tendo, abaixo, o seu valor em algarismos arabicos.
I A n n 5 V 1 0 : x 5 0 L 1 0 0 c 500 D 1 0 0 0 M 12, *Uanos: )/■
Regras para escrever números com algarismos
«o ""'fxTM'" M mlxíX^trL'
«O se repetem os algarismos I, O, . «O
Assim, XX representa duas ve^es 10, isto e,^
^alop ' algarismo -colocado à direita, ^ . j jg^o é, 11.
« somado a êste. Assim, Xl^represente X
^alov ' ^ algarismo colocado a esque , v — I isto é, 9.
f subtraído deste. Assim IX algarismo ou
Uin l Um traço horizontal colocado s . dois
*^''aÇ(|'b^°- algarismos, multiplica se „i]hão, e assim
ws horizontais multiplicam o valm P®'IOoo^'®."te. Exemplos: "í, t ? representam, respectivame
.1000 000,1 000 000 000, .,,i,„ente. s6
86 Aplicação dos números .g especiais, como
C iumentos, na indicação das ho-'o ciatas em
■ n s s s s y ^ á r * • " •
"iW»l hnd., i tAÍÍ,™"^'"™ =««.. «m ,.1,„,,,„„
1 I 1 6 ' a l g a r i s m o s r o m a n o s ; f . 1 1 1 7 v ^ r X í X X X T T O u M C D M D C C In o s e J u U f n H ' " í P ^ o c S í ™ o s d e z
o r d e m i r v. j - P ^ ° - d e z u n i ã o d e r e i m ? . . n ú m e r o s c m'de palavra-s ® ^^^^niente suuerin nfna ordem números baseia-se
m e r a ç ã o d u a i s ú l n Z o ^ ^ l u n i d a d e
da no seguinte « "^®io de alr^a " ®^®Ção escrito á sistema dc nu-i'epresenta unidad?"^^^^°= todo ^ ""meracL^ repre-escrito no lu?»». i® "^êzes mnj repre-escrito è escrita e
basea-ficativos e têm H ®''® °atro Os í °''®? Que outro i n s i g n i fi c a t i v o • e s p é c i e s d e f a m a d o s s i g n id e l a o e s t i v e s s e ng algarismos: arnh?^ algarismo
amcos e romanos. s i g n i
-siffnificatiíor^''''^;" numeração escrita? Quais são os algarismos
Qual a reei-i'n!v "7"'' ^"'ores? Qual e o algarismoirtsignifica-numeros? On.,ic. ! ' - . ""meros? E a regra para escrever os i'jsmos romanos^ *o de algarismos? Dc que constam os alga rismos romanos? regras para escrever os números com
alga-E X alga-E R C í C I O S alga-E T alga-E S T alga-E S
X . , „ n r „ ç , i a . ■ . . . , „ C > l Q m a «
"'lUfoi^f.t t/f u/m7 t>t;/f)fi /rtíWrtw
u m a I t Q S S O
i i c t t / fi i t I ' r t i fi fi ^ f ,
">nrf«r/^ " 1"^' completar, corretamente, as frases: ã/i7 c ^fBtemn "'' ■ ordem — 4.^ ordem — 3.^ ordem). A base do
"""icrução ('.... (5 — 10 — 20 — 100).
ccssííWnw ims parênteses: Quantos algarismos arábicos são
ne-'■'smos in! ^'^^nver todos os números? ( ). Quantos
alga-Qnal n , necessários para escrei^er todos os niimcros? (... )
fi l i a s f fl l . w h n e r o 7 2 1 , ? ( . ) . Q u e f o r m a ^ n
U n i d a d r t > n u l h a r c s ? ( ) . Q u a i s a s d u a s o r d e n s d e
^ wais próximas das dezenas do milhares? ( ).
''^^ilhõc 'lom algarismos arábicos, os números; duzentos e três
dois vfill c trinta mil, oitocentos c vinte e sete K?n'rfarfcs;.
e q;j I'/ioes, mil c cinco unidades; cento e vinte c cinco bilhões, trcscntos
dadca duzenfos c cinco mil c oitocentos c quarenta c nove uni-Represente, com aJgurisiuuíi ronumoK: — os números; 124, 385,
" Í H Í I J V f c ( u o v i f c < v ^ o ^ i c < i . / c ^ ,
® oito ^ cinco unidades; cento e vinte e cinco bilhões, trcscntos
^ Ú i
■^d2, 1231,; — as datas: 7 dc setembro dc JS22; 15 dv novembro de ISSP. Represente, com algarismos arábicos, os números: MCMXX, ^^^ICCCXCV, CXLIV, CCXLVI, DXXIX.
P R O B L E M A S K E S O L V I D O S
. Quantos algarismos são precisos para se escreverem: l.o — as
do de milhares; 2P — as dezenas de unidades simples; 3.° — aszenas de milhares; 4P — os milhões; 5.° — as centenas de milhões;
" • ■— o s b i l h õ e s ?
c i n o — q u a t r o a l g a r i s m o s ; 2 P — d o i s a l g a r i s m o s ; B P —
dov ° .^'ff^i'ismos; 4.0 — sete algarismos; 5.o — novo algainsmos; 6.o —
algarismos.
^'ismos 0^*3^' *5 menor número de três algarismos expresso pelos
alga-Res posta: 305.
Escreva, em ordem crescente, os dois números que podem ser
i"lados com os algarismos 8 e 9.
R e s p o s t a : 8 9 e 9 8 .
d. O algarismo 8 ocupa, num númei-o inteiro, a quinta casa; qual
2>eu valor relativo? E o seu valor absoluto?
é de 8 unidades? relativo é de 80 060 unidades. O valor abseíut* centenas de unMadersimp°es-^3 dezenas de milhares; 2.° — as
milhões; 5.o _ as centenas de'bilhõÍ®. milhares; 4.° — os
ordemda°7.a~ordem^ 6.°^ —'da^l^ ordem; 3.o — da 4.»
rismoa iguS* a rnenov do que 25 que tem a soma dos seus
alga-■Resposfa: 19.
vêzes é ?ícruí algarismos de 10 a 99, quantas
•Resposta: 19.
números?^l"^°l, nfpara escrever todos os
-Resposta: No sistema setenár?n°" sistema duodecimal? Q duodecimal seriam necocoí? ^®c®ssários 7 algarismos.9. Quantos números existpm a algarismos,
rismos. E de quatro algarismos? algarismos? E de três
alga-fo. ^0 SOofyoSJ
e em 654 000 ? ha em 3 300 unidades; em 60 000; em 4 793 200
««apoaía: 33; 600; 47932; 6 540.
2 0
OPERAÇÕES ARITMÉTICAS
í - *^Perações aritméticas. — São as on^cões
I Çoes que podemos fazer com os números. Ha . . ^
qyoten-aritméticas: adição, subtração,
^Põo e radiciação. Destas são consideradas como
f'^ndainentais a adição, a subtração, a rvul vp ^, outras'
porque representam o fundamento ou base de todas as outras.
...â
" w :
2 ™ » » »
í = = a r * o 2 s s .
lado procurado".
Q T> J «,o nneracão. — É uma outra operação que
3. Prova de uma operaça jj^eira. Há duas espécies serve para verificar a exatidao P ■
loprovas, geralmente usadas, a proi;a reate
Pode-se tkmbém empregar a prova dos 4, dos 11, etc. ^
«sõn .«ís fifíuras usadas em
arit-4. Sinais antmetic .^^ abreviado, as operações ou mos
trar as''re'Íações'Tu'^ existem entre duas ou mais quantidades.
Os sZiriTpfegffos em aritmética são os seguintes:
O sinal de somar é .. • -b 9"® jí;
o sinal de dividi? é .... ^ que se e: por.
O sinal de igualdade e = que se le. ipiraí a.
Além desses sinais, há os seguintes;
O sinal de razão2 proporção" ".O sinal de desigualdade
O sinal de desigualdade . <
O sinal de raiz quadrada V
O sina de-raiz cúbica
de agregação > < O q u e s e l ê : q u e s e l ê : q u e s e l ê : q u e s e l ê : . que se lê; que se lê: que se lê: está 2)ura. assim como. ■maior do que. menor do que. raiz quadrada, r a i z c i i h i c a . Varênteses. Operações
Ção, mulTip?feaçãrT°dÍv^- que podemos
fm ção, a regS o rei elementos u adição, subtra-"ficar a exaUdáo das " " demonstração «
de-n o v e s . O s s i n a i s S ã o d u a s n P a i ' » ^ e
-antmeticos sorvem p.TinkZ'2 ^
"-ar as opevaçoo.s.
' Que são on "QUESTIONÁRIO
Ç5es fundamenUis''^"^ ^."^méticas? Quais - i
operação?' ®'®"^«ntos dê i.m«
opera-• Quais são os sinais usadas"^ Que é prova
^Jnais aritméticos? sao sinais aritméti
1 - C o m p l e t e . E T E S T E S
do oatra A oJaçao çue serve
4 . umere a segunda"eoÍi'm"' ^ <^lementosN u m e r a „ - i / - » » .
fl ) ^ ^ e o m a p r i m e i r a : d i -p a r a d e (21 S"^! de somar <3l Í4) «inal dediM^?d^^^- ( )( ) ( ) ( ) X - f A D I C Ã O 1 . ' ^ m i v 2. a ) 2 2 —
í^eflnição- — Adição é a operação que tem por fiin
uií í» -vã iíúmcro tôdas as puídades contidas em dois
núniíi'^ ^"o«í:'ro.«r dado.^. Para indicar a adição de dois ou mais ^adno^°"^ ^uiprega-se o .sinal -f-," que se lê: »2«/s. Os números
e o ).« /ouiar denominam-se jyarcelas ou têrmos da adiçao,
operação denomina-se soma ou total, rara
le-(lade " ^ ° i'e.sultaclü da adição de 3, 2 e 1 escrevemos a
igual-3 + 2 + 1 = 6
I^ropriedades da adição.
'4 ordem das parcelas não altera a soma.
3 _|_ 2 + 1 = 6
2 + 3 + 1 = 6 1 + 3 + 2 = 6
l^arcelas podem ser st niadas duas a duas,
3 + 2 + 4 +-5 5 + 9
íj substiUiir, nima adição, uma paieela V
^^^'dicada, do m-esmo valor que a parcela.
5 + 9 ou (3 + 2) + 9
Uma adição dá sempre o mesmo lesulta
5 + 9 dão sempre 14
1 4 1 4
nas e banaíias, 070^0 homogêneas:
baiia-f) A somu é iZr; T lT ^ meninos, etc.
quando somamos bananas com (l<ts imrcelüs:
n o r e s u l t a d o : b a n a n a s , a c h a m o s b a n a n a s
35 bananas + 27 bananas = 62 ba^nas.
2 + 5 = 7 + 4 1 1 5 + 4 2 = 3 + 4 r j 3. Prática da adirãr»
•on;^ S^'lT n
' nnidades, encontramí- ®^P"^Pondo os
núme-c
í
1
1
"
-
- i d a d e s
a u e
t ê m
Na prática, fazem ^"*"'^'^^"^^ + ^ + 1 = 7
s°oína díif"1'rc ' "número compos
t a
P- conseguinte: i^to é, 10 dWnare''2^unfd"ad\t
— 2 4 — V i \ 5 + 97 5 + 9 7 = 1 0 2 o u 1 0 2
(adição de números compostos): Seja efetuar a
modn + 275. Colocamos os números das parcelas de
cnlíT unidades de uma mesma ordem fiquem na mesma
coluna vertical. Assim;
2 4
1 3 6
+ 2 7 5
4 3 5
a a operação pelas unidades simples, encontramos
o 15 Escrevemos 5 na coluna unidades, sob
húniern 1 dezena restante à soma d gQij,.ou da
soiiia dados. Somando as dezenas, inclusive a q coluna
C unidades, encontramos 13. Escrevemos 3 na^coluna
^^3 cent^^® ® 1'eservamos 1 centena para 3®^» as centenas,
^erescifi das parcelas. Somando, em seg » ^
quTef qne^roveio da soma das f n^Ttal da "om^ é,
cojjio ,, ^^evemos na coluna das centenas. O
^ Vemos: áa?;oTel'®" ordem, por eLm T" ,as
O segundo resultado deve ser igu7fn°'j!' para cima.
b) Prova dos noves- tív Pi'imeiro.
®'.®^P?radamente, osn^eTdTJ^ «s par-
^ P-ovâve, c,u:~ - - clois t.su.tados
S'o f% "uma'
adllM"-â ° '-«sPltado Um rtg,° '' mentalmente,
faz-se: 437 + 200°?"50 ^6.437 +™!"
r e s u m o « l ü S U M Ocontidas^^em°dSr em um - •
l e s m n t r . . ! . , . . ' . a d i ç ã o , u m a u a r-Sg^e:5- £Í^ ?aír^
dad f simples; se, de ala?,^ oi'dem ÍÍp números, somam-se^^•neçar a operação Ss Í ®
peias ordens mais -elevadas.
questionário priedades ^aadição' o,, ,
SO calcula, mentalmente, uma 1 - E s c r e v e r n o E T E S T E S
Igualdades: 6 + r ^os pontos2- Complete estas fJ' ^2+ (• .'.r="2?^T completam
2enas de7âÂT'o~f'^ '^eios'centos ãt ri''li--- ■ ' ■■ a s
iTris%í'^^
— 2 6
,; SubUnlio a resposta certa: Quantas unidades simples há cm 100
S''""''Vn<^ T f""""" - "000). Meio oúlhar quantas dezenas são?'" — lOO;. Quantos miuntos há cm duas horas c meia ? <120
"IO — 1o O).
'^* Efetuo a.s sejíuintes adições o tire as provas: 473 4- 279 = 82/ + 3(55= .. . ; 8 32.5 -f 487 -(- 250 = , ..; 13 253 ^ 1 805 J- 463 ='. ".'
P R O l í L C M A S R E S O L V I D O S
1. Carlo.s Mag-no nasceu em 742 o morreu com 72 anos de idade.
Em que ano morreu?
íáuluçüo — Carlos Mof/no morreu no ano: 742 -f- 72 = 814,
2. ^ Ror quanto vendeu um comerciante uma poça de fazenda,
sa-oendo-se que êle a comprou por 432 cruzeiros e ganhou, na venda 8.5
c r u z e i r o s ? '
Sohição — O comerciante vendeu a peça dc fazenda por: 432 -f 85 =
— 5 1 7 c r u z e i r o s .
. ^ 3. Um homem vendeu um cavalo por 825 cruzeiros e teve um pre juízo de 49 cruzcÍ3'os. Por quanto adquiriu o homem o cavalo?
Solução — O homem adquiriu o cavalo por: 825 -f 49 = 874 cru
z e i r o s .
4. Três pessoas repartem, entre si, uma certa importância em di
nheiro: a primeira recebe 125 cruzeiros; a segunda 97 cruzeiros, e a
terceira 137 cruzeiros. Qual a importância repartida?
Solução — A importância repartida c: 125 -1- 97 -- 137 = 395 cru
z e i r o s .
5. Uin fazendeiro leva 3 cestas com ovos ao mercado. A primeira cesta contém 200 ovos; a segunda, 50 ovos mais do que a primeira, e a
terceira 100 ovos mais do que a segunda. Qual o número total de ovos
d o s t r ê s c e s t o s ?
Solução — O segundo cesto contém: 200 4- 50 = 250 ovos. O
ter-ccíj-o cesto contém-, 250 -f- 100 = 350 ovos. E os 3 cestos juntos contêm- ' 200 + 250 -f 350 = 800 ovos.
SUBTRAÇÃO I l í f ' "
a) tirar um númei-o menm^u " ? "Peração que tem por fim ■
S : d o i s
termvmr a outra. purcelas e ttma delas,
6 ^^Prega-se o sinal que se
lê-« lê-« " lê-« - o ^ f o " o
1 4 _ i O ■
14 + 3 »■+ 3 1 11 7
trasndo. oTeXlt Sa: e do
«<6-1 9 - 7 1 2 19 — 3 7 ^ 3 28 1 6 4 1 2
c) SoHHfmlo mu uírun-yo qualr/ucr ao uiúiueudo, o resfo
jicai'u auiiwiüuão (Ivhhc )iÚ))\cvo:
1 5 — 4 1 1 15 + 2 = 17 — 4 1 3
4 ■Dwm'ii.iiwirfo um uúmero qualquer do minuend^} o res
to ficará diminuído dêsse número:
1 6 — 5 1 1 1 6 — 2 = 1 4 ~ 5 9
e) Somando um número qualquer ao subfraendo, o resto
ficará dimimtído dêsse número:
1 0
— 6 6 + 2 =: 1 0
f) ^ Diminuindo um número qualquer do subtraendo, o
resto ficará aumentado dêsse número: 1 0
— 6 6 — 2 = 41 0
4 6
g) Só se podem subtrair quantidades homogêneas: ba nanas menos bananas, ovos menos ovos, etc.
h) A subtração dá sempre o mesmo resultado: 9 5 são sempre 4.
i) A soma do resto com o subtraendo é iqual ao
mi-n u e mi-n d o :
9 m i n u e n d o
—^ 5 subtraendo 4 + 5 =z 9
4 r e s t o
q u e : q u a n d o o m i n u e n d o « « « j e H f a "■ ®
auvienta ou diminui- e auanílf^ (hminui, o resto também
m m m , o r e s t o ó u c i m e n t a o u r f í
-^ 3. Prática da subtração — i o -^ / , ,
sac numeres simules') • *. (subtraendo e resto
tirar cie 7 cada uma cias ^ - 3- Basta
contar a partir de 7 em ordem decrescénteT''
7 menos 1, q 6 menos i, 5 5 menos 1, 4
mos a sutoação iSníataente. ~ ^ Na prática,
íaze-rfetuar a subtração ™45 l-'sfg compostos) : Seia
modo que as .unidades de cada "timeros de
coluna vertical. Assim ■ fiquem colocadas names-6 4 5 — 3 2 9
dades não pídlmos^ubtrmr if unidades. Como de 5
uni-zenas 1 dezena e convertemoln ""'''udes, tiramos das 4 de-
as S hades, dão 15 unTfc " unidades, que, reunidas
3 dS; 6 imidide^ As i® tiramos 9
uni-tirando-lhes 2 rlpyp^ dezenas ficaram valendona mente 6 centenas menos 3 1 dezena fÍ
^ultado da subtração ? portanto : ^ '=®'"«"as, O
re-6 4 5 — 3 2 9 -5
b a i x o d o o s u b t r a e n d o p o )
- -.-««! SA-J: ;-,S"
— 3 0 ^tir da direita, de cada atr/arismo do mhiuevdo o algans-mo cor-respoiidcntc do subtracndo. Cafio a subtração não seja. possí vel, vücorre-se a uma unidade de ordem imediatamente
supe-nor que se reúne à ordem considerada para prosseguir-se na
operação."
6. Complemento aritmético. — Complemento aritmético
de um número é o que falta a esse número para formar wna
unidade de ordem imediatamente superior à ordem de suàs
unidades mais elevadas. Em outras palavras: complemento aritmético de um número é outro número que, somado com
aquêle, dá uma unidade seguida de tantos zeros quantos são os a l g a r i s m o s d o n ú m e r o d a d o . A s s i m :
o complemento de 36 será 100 — 36 = 64. o complemento de 452 será 1 000 — 452 = 548. o complemento de 5 347 será 10 000 — 5 347 = 4 653. 7. Prova da subtração. — a) Prova real: Consiste em somar o subtraendo com o resto. O resultado deverá ser igual
ao minuendo. b) Prova dos noves: Tiram-se os noves do mi nuendo e, em seguida, do subtraendo com o resto. Os dois restos
devem ser iguais.
8. Cálculo mental da subtração. - Há vários processos. Um dos mais rápidos consiste em começar a operação pelas
ordens mais elevadas. Exemplo: 683 — 245 = 683 — 200 —
- 4 0 — 5 .
R E S U M O
Subtrâçüo é a operação quo teni por fini tivav uni iiúniero menor de
outro maior. O sinal da subtração é: —. Os números dados na subtração chamam-se termos. O número maior é o minuendo, e o menor, subtraen do. O resultado da subtração denomina-se rosto, excesso ou diferença. Regra da subtração: Escreve-se o subtraendo por baixo do mijiuéndo, de forma que as unidades da mesma ordem se correspondam em coluna vertical. Subtrai-so a seguir, a partir da direita, de cada algarismo do minuendo o algarismo correspondente do subtraendo. Caso a subtração
não seja possível, recorre-se a uma unidade de ordem imediatamente su
perior que se reúne à ordem considerada para prosseguir na operação. Complemento aritmético de um número é o que falta a esse número para formar uma unidade de ordem imediatamente superior à ordem de suas unidades mais elevadas. Provas da subtração: real e dos noves. Cálculo
niental da subtração: começar a operação pelas ordens mais elevadas.
QUESTIOXÁRIO
1
Quais as PropriedSes ía"con'^ T «L'1'l-iagíio^
a regra da subtração' Onp a " i so efetua a subtração? Qual
Quais as provas da suMracío' T aritmético do um número? subtração? subtiaçao? Como so calcula, montalmonte, unia
exercícios e testes ^ A J X C i O l l l j o
S - T - 7 t ' T . . u
rfc^'ta/a"'K-c4T.wU*ri/'fa;:r--f
problemas resolvidos J . i - i : ' O U i . v i U 0 S '^ho? comprar-"um ü™ de 29 inçao — Tenho: 29 24 — i; ™^:™aetou 1578.esto^- -^1,6 679 = 35 055.
58 635 — 27 na = 31522. 3 2 — MULTIPLICAÇÃO1. Definição. — UidtiplicaçLW é a operação que tc-m por
fim-, dados dois uímeros, repetir nni dêles como parcela, tan tas vezes quantas forem as unidades do outro. ^4 mídtiplicação pode ser considerada como uma soma de parcelas iguais. Por exemplo, multiplicar 9 por 5 é o mesmo que repetir 9 cinco
vezes. Assim,
5X9 = í>-1-9 + 9 + 9 + 9
Os números que figuram numa multiplicação chamam-se fatores. O número que se multiplica, isto é, que figuia como parcela que vai ser repetida, chama-se multiplicando, o nume
ro pelo qual êste se multiplica chama-se multiplicad^-; e o re
sultado da multiplicação tem o nome de produto. O sinal da multiplicação é X ou ., que se lê: mídtiphcado por oii vezes. Assim 7X3 lê-se: 7 multiplicado por 3 ou 7 vezes 3. Quando o multiplicador é número composto aparecem primeiro os 2JTo-dutos 2R<rcirt/s que, somados, dão o p)oduto total.
26 multiplicando ] I í 15 multiplicador J 1 3 0 2 6 1." produto parcial 2.* produto parcial 390 produto total 2. Propriedades da multiplicação.
/«fores Rfío altera o produto. Exemplo:
— 3 3 —
1 X 2 X 5 = 40
2 X 4 X 5 = 40
b ) x r . ^ X 4 X 2 - 4 O
4 X 2 X 5 = 8 X 5
V r o d u t o f " t o r p o r v m ^
tiphca^se cada uma. S"'UíSs^2»r -""' '"" ■"''""oro, mul-
' |« + 6) X 3 = 44 X 3 I r
1
14 X 3 = 42
8 X 3 + 6 ^ 3
Vor êsse
número.-( 1 4
( 1 4 8) X 28) X 2 6 X 2
14 X 2
-/ X ^ — j^4 12
V o r Z Z n Z v f ^
Exemplo: ' fica multipicZ'^^ nm qyrocluto
Voi esse número.®
8 X 3
1 2 8 X 4 3 2 2 4 4 9 6 u m a T "remtcuhc. Exemplo?'" «« Po-^oel^dTl'?' '"'"^mica-se
( 2 - í - - 4 ^ x y / o ' . . • ' " " ^ ^ " ^ K t i n - s e o s
^2 + 4) X (3 + 5)'=,2^3
P h) o prod,2 + 42 + ^0 =+48 ^^ + 4X5 =
Exemplo: ® mesma espécie d
m V , . " " M i p i i c a n d o .- Cr§3,00
48 m
Cr$o,60 X 5
» m X 6
3 4
3. Prática da multiplicação. — i° caso (multiplicação de dois números çle um algarismo) : Seja, por exemplo, efe tuar a multiplicação 8x4. De acordo com a definição, temos:
8X4 = 8 + 8 + 8 + 8 = 32 Na prática, fazemos a multiplicação
mentalmente, com auxílio da tabuacla. Pode mos também utilizar, para êsse fim, a túbna de PiUiijoras. Esta tábua é construída
escre-vendo-se em uma primeira linha horizontal a sucessão natural dos números de 1 a 9, na segunda linha a soma de cada número da pri
meira linha com êle mesmo; de um modo
geral, cada uma das outras linhas é obtida
somando-se os números da linha anterior aos
números, correspondentes da primeira.
Pitiigoraa. filósofo e maremático grego da A n t i g ü i d a d e l 2 3 4 5 1 6 7 8 9 2 4 6 8 ! 0 1 2 1 4 16 1 8 1 ' 6 9 1 2 15 1 3 21 2 4 27 j ! 8 J7. 1 8 2 0 2 4 2 B 5 2 36 1 i 5 1 0 1 3 ^ 2 3 : o 5 5 45 ; 6 1 2 1 8 2 4 3 0 3 5 4 2 4 8
54 j
7 1 4 2 1 1>3 3 5 4 2 4 9 5 6 63 j 1 5 2 4 3 2 4 0 4 3 5 6 6 4 7 2 9 1 0 2 7 3 5 1 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1Seja calcular nesta tábua o produto -de 8 por 4. Procura-se, "''(primeira coluna à esquerda, um dos números, por exemplo', ^ 8, e na primeira coluna acima o outro número, 4. Do
núme-8, segue-se horizontalmente para a direita e do número 4. v^i'ticalmente para baixo. O cruzamento das duas colunas
tsiitliriâ o iDrodiifr» río q
tábua. 4, que é 32, conforme se vê na
número simples) : Seía^mulffnn"^ número composto por um
do multiplicando ír? 7 ^Multiplica-se
duzmdo as reservas de cada orrlp^i" multiplicador 5,
con-fazemos na adição. Arma-se p ^ ordem seguinte, como
gumte modo; ® efetua-se a multiplicação dose-1 6 7
X 5 8 3 5
?ompostos) ; Seja i í n Z i V o l o a r i s i n o s v o r m i t r ^ u m n ü m e
-Sa Z,'- " durnZlTZf.'' Z «'■-'« dá mul-
ordem ao multipUcJ^Z folol f '"'' unidades de
4 2 5 X 2 4 8 3400 1700 8 5 0 105400
: sísS ES'^'i - -iíE.:-;.
■»«-■ya dos noves ■ i -> + ■ luociente igual ao nnfrÜ +-^? certa,
-S'e ti?ars?of -'"^ipbcado;-
úo resultal-7„"^^^tipliea„,.3e ,3 3
' • tiram-se os
no-— 3 6 - .
ves cio produto dos números; 4." — se os 2 últimos resultados
forem iguais, a operação estará provavelmente certa.
5. Cálculo mental da multiplicação. — a) Começa-se a
multiplicação pelas ordens mais elevadas do multiplicando: 45 X 6; 40 X 8 = 240; 5 X. 6 ^ 30; 240 H- 30 = 270
b) Emprego dos números reclomlos:
64 X' 08; 64 X 100 rn 6400; 64 X 2 = 128;
6 4 0 0 — 1 2 8 = 6 2 7 2
6. Multiplicação por 10, 100, 1000. — Para imiUiplicar um número'inteiro por 10, isto é, para torná-lo dez vezes maior, basta acrescentar um zero à sua direita; para multiplicá-lo por
100, isto é, torná-lo cem vezes maior, basta acrescentar dois
zeros à sua direita; e assim por diante. Daí a regra geral:
acrescentam-se tantos zeros á direita do mídtiplicando quantos
forem os do raultiplicador. Exemplos:
345 X 10 = 3 450. 86 X 100 = 8 600. 28 X 1 000 = 28 000.
R E S U M O
Multiplicação é a oporação que tem por fim, dados dois números, repetir um deles como parcela, tantas vezes quantas forem as unidades do outro. O sinal da multiplicação é x ou . . Os números que figuram
numa multiplicação chamam-se fatores. O número que se multiplica
cha-nia-se multiplicando;' o número pelo qual êste se multiplica chama-se multiplicador; o o resultado da multiplicação, produto. Regra da multi
plicação: Para multiplicar um número de vários algarismos por outro de vários algarismos, multipliçam-se sucessivamente as unidades de cada
ordem do multiplicando, a partir das unidades simples, pelas unidades
de cada ordem do multiplicador, colocando-se cada um dos produtos par ciais de modo que o último algari-smo da direita fique colocado na mesma coluna que o correspondente do multiplicador; somam-se os produtos
p a r c i a i s o b t i d o s . P r o v a s d a m u l t i p l i c a ç ã o : i e a l e d o s n o v e s . C á l c u l o m e n -da multiplicação: a) começa-se a multiplicação pelas ordens mais
elevadas do multiplicando; b) empregam-se números redondos.
QUESTIONÁRIO
Qne é multiplicação? Que nomes têm os números que figuram
numa multiplicação? Quais as propriedades da multiplicação? Como
se efetua a multiplicação? Quais as provas da multiplicação? Como se
mero por TÍ^lOol^^lÓoo'?^ "^ultiplieação? Como sc nuiU'iplica um
nú-EXERCÍCIOS E TESTES
~ E o niZZ% ^czfpLtortZe^liT r'°'' "n "f 'de
• O — E d c 8 7 3 ? P J : ' • . ■ • ■ — o t r i p l o « t o qaíiüupío dc 0 3^7 '^ 8 y ( a s i g u a l d a d e s : 8 v í n _ .- 2 d u z m s ; 8 x ( ) - V r ' X 7 = 4 9 ; Í 7 t » / o . 7 r e t i c ê n c i a s . " f l o f n , ^ d e z e n a s . /tro« o- •••^- «« (■■ ) d! 60 <•••)• « o quhf
4 Coloár"® himnfas sS
= 49"4- 7^ ^ ° "umero conveniente nn ir"' \
em''duas\oras'c me"? o'"''l'' "' Q"""',"?
" " 1 " " ~ / 5 0 " ! ! . ^ n ' o " í l ' " í ? í
-B"x^T,n-.45 X 354,3;
problemas resolvidos 1 n 4 « i i ' S U L V I D O S'ZL,."'-'oT," '"■'" ■■""'■" •■■"" ■■— '•" »
S o l u ç ã o - o ^ p e ç a t e m'"'4o7
d i a p / . v . „ . ' " q u i l ô m e t r o s « o i . i , X ocidad'e ayíiJr?'Br B + ^> X 3 = 3 ^
— o o u q u i -— 3 8 —5. Um operário ganha 4 cruzeiros por dia e trabalha 24 dias por més. Que quantia recebe por 5 meses do trabalho?
Solução O operário recebe: 4 cruzeiros x 24 X 5 = 380 cruzeiros.
i). Um número tem que ser multiplicado por 28. Como se pode obter
o produto fazendo duas multiplicações de um só algarismo?
Solução — Muifiplie.ci-sc o número dado por 4 e o rc.sulfado por 7. 7. Dez operário.s levaram 4 dias do 12 horas para lavrar um ter
reno de 5 alqueires. Quantas horas empregaram nesse trabalho?
Solução — Emprerjarom 12 X 4 = 48 horas.
8. Sabemlo-se que o som percorre 342 metros por segundo, cal c u l a r q u a n t o s m e t r o s p e r c o r r e r á e m 2 h o r a s . . ^ ?
Solução Uma- hora Icm GO minutos c um minuto tem 60 segundos;
logo, o-som percorrerá em 2 horas: 60 X 60 X 2 X 342 metros =
2 4 6 2 4 0 0 m e t r o s .
d i v i s ã o r ^®ÍÍniÇâO 7~>' •
-r>or fi.;n que se diviríô + Poi*que 36 contém o Assim, 36
-di-dividendo é divicUdn "n""® 9 "^mero
tem o nomo """O chama-se divi^nv ^ "umero pelo qual o
MÇSes, fica poVd"vTÍ|b-'V " que" em"ai^® opqiaçqq
'ít, S«s ;r" ° ""ü. te rt
podemos dize? "multiplicado pelo divi^ ^'
Aw; dados o ^ divisão é a onerL'^''^ ° dividendo,
o o u t r o . S e r . m . « n ú m e i - a ^ o , ? ? o / '
u m d e l e s , o " ^ 8 é o p r o d u t o d e t e r m i ' d a v
f^to de do?sSa,'^f^ 6. Donde eonnf^^' """meros e 6 é
Ç X 8 — 48 48 • r Por um dêlf^i ^l""mos que o
pro-• pro-• T t : ^ ' ■ t e
steHte5»,""fe„"„íte —■ ■«»•'•
quociente. Exemplof ® ie^al ao produto ''''
n , s . j d i v i s o r p e l o Dividendo 16 I 2 n- . 1^ Divisor J^-esto O 8 n Quociente
-•---teteteíítetete
um resto que é sempre menor que o divisor. Na divisão com
resto o dividendo é igual ao procluto do quociente pelo divisor,
somado com o resto. Exemplo: 2 0
2
3 X 6 - h 2 = 2 0
3. Propriedades da divisão, -i— a) Mídíip/ícíoído-se ou
dividimlo-se o dividendo e o divisor pelo mesmo número, o quo ciente não se ídtcra, mas o reato fica- iHídí/p/icado ou dividido por esse número. Exemplo:
1 5 3 2 1 5 X 2 = 3 0 3 0 6 X 2 = 1 2 0 6 3 X 2 = 6 1 2
b) Quando se nmltiplica o dividendo de uma divisão exata por um número, o quociente fica multiphcado por esse numero.
Exemplo:
24 I 8 24 X 5 = 120 120 [ 8
0 3 3 X 5 = 1 5
c) Quando se divide o dividendo de uma divisão exata por um número, o quociente fica dnvidÂxlo por esse mmero.
Exemplo:
24 ^ 2 = 12 12 1_3_
O 4 2 4
O 8 ^ 2 = 4
d) Quando se multiplica o divisor de uma dtvísao exata
. .L .te..,,.... ^ nunmeute fica dividido por esse numero. por um número, o quociente fica
Exemplo: e 6 - 2 = 1 2 4 8 8 — 2 = 4 0 0 4 8 O 1 2 8 ^ 4 1 —
® ) Q ^ i ü n á o s e ? • .
E x e C í õ : ' ' " '
i " - Í I U O j ) ( j ) n u w e r o ."
' ^ ' ° ' '
4 ® L L 6 - ^ - 2 - 0 o ^ ^ 8 I 3f) Para dividir ^ — 16 o 16
"8 - 2 ^ 2 ^
^ i r m-(12+ 8) ^4'=/
0 , - j . - P i f a d i v i r l ò ^ . =1 ' '
14) - 7 = 1 14) ^ 7 2 i ) P — 1 4 - i - 7 _ Q«■Mwie?-o &nl? 'ii'Mir ivm ^^voãitto ài> ' - ^ 2 = i
Exemplo; íím rfo.s /aíôrerT/'''-?°^'®®
( 1 4 y 6 ) 9 . n ú m e r o . ( 1 4 X 6 ) 2 .
i) O resío é se?wm-e a„ ' ^ X ^ = 42
chamado o 8 e deSa „ Que 4Í S™°'
" — .
. " •
r i
^ e . ^ ' c e s s o ,
— 4 2
J." Cffso (divisão de dois números quaisquer). Regra:
a) Escreve-se o divisor à direita do dividendo, separado por um risco, sublinha-se o divisor e, sob o risco, escreve-se o
quo-ciente; b) Separam-se, no dividemlo, tantos algarismos quan tos contém o divisor, e mai.s um ainda, se o número formado
pelos algarismos separados fòr menor que o divisor. Êste nú
mero é o primeiro dividendo parcial; c) Acha-se quantas vezes o divisor está contido no primeiro dividendo parcial, e o resultado escreve-se no quociente; d) Multiplicyse o divisor pelo número achado e o produto subtrai-se do dividendo; o res to, junto com o algarismo seguinte do dividendo, forma um novo dividendo parcial. Assim se continua, até serem divididas
todas as ordens do dividendo total.
Exemplos: a)'Seja dividir 486 por 3:
D i v i s o r Quociente 4 8 6 1 3 8 1 6 2 1 8 1 8 0 0 6 6 0 0 0
b) Seja dividir 6 495 por 25:
Dividendo 6495 [_2^ Divisor 5 0 2 5 9 Q u o c i e n t e 2." Dividendo parcial 149 1 2 5 3." Dividendo parcial 0245 2 2 5 Resto 0 2 0 — 4 3 —
Í6850 ^1=150; 150jo
-« „ 7 - ^ 1 0 2 S I T ' ' 3 3 7
oo ^> -0... , iisJe^-ooo/^Veor r,- =
Palos UtovZ^t'^isoes sv.. ■
^ 15 ^ Ser-T'^g""" °
(3 \
" S t a £ i 2 S ' i " v s
^ 400 100 _' * ' ' I ' ^ ' - o r 1 0 0 0 = 2 7 6 .
Roberto p •^®ixoto, "Mof^ .
■"«eíff^ióííca»
— 44
R E S U M O
Divisão V a operação que tem por fim achar quantas vezes um nú-niero contém o outro. Ó sinal de divisão é — ou : .0 número que se di vide tem o iiom<> de dividendo; o número pelo qual o dividendo é dividido
chama-se divisor; o resultado da operação tem o nome de quocicnte, e a
quantidade que, às vezes, fica por di\ndir chama-se resto. As divisões
podem ser: exatas c não exatas ou com resto. Regra da divisão: a) Es creve-se o divisor n direita do dividendo, separado por um risco, subli
nha-se o divi.sor o, sob o risco, escreve-se o quocicnte; b) Separam-se, no dividendo, tantos algarismos (juantos contém o divisor, e mais ainda, se
o número formado peles algarismos separados fôr menor que o divisor;
este número é o primeiro dividendo parcial; c) Acba-se quantas vezes
o divisor c.ít:i contido no primeiro dividendo parcial, e o resultado es creve-se no quociente; d) ;VluItii)lica-se o divisor pelo número achado e
n produto subtrai-.so do dividendo; o resto junto com o algarismo
sc-fi'uintc do ciividendo forma um novo dividendo pare%-il. Assim se conti
nua, até serem divididas todas as ordens do dividendo "total. Provas da
nivisão: r.al o dor noves. Cálculo mental da divisão: a) pela multipli cação; b) por divisões sucessivas.
QUESTIONÁRIO
. Que é divisão? Que nomes têm os números que figuram numa di visão? Quais as propriedades da divisão? Como se efetua a divisão?
Wais as provas da divisão? Como se calcula, mentalmente, uma
divi-suo? Como SC divide um número por 10, 100, 1 000 ?
EXERCÍCIOS E TESTES
1. Efetue: 587 -f- 29 = : 12G5 -h 84 rr ; G 937 ^ 234 = ;
352 ^ 475 _ .
2- Complete:
a) Quociente X divisor + = dividendo.
b ) 4 - 5 = 1 9 7 5 3 .
e ) 4 6 X = 1 0 8 0 . d ) 3 7 X = 1 7 0 2 . Sublinhe a resposta certa:
a) A 4.a parte da metade de 80: 10 20 30.
b) Em 23(5 sc se tirar o algarismo ^, quantas dezenas lia;
2 — 2 6 — G .
Escreva a resposta nos parênteses:
a) Dividir o triplo de 4 259 por 97 e escrever o resto, se
hoii-b) A^iinta paVte^de meio milheiro de laranjas é ( )
l a r a n j a s .
zeiros^^cada"!,^.*'^'' "uzeiros (.
aH« >,_.. io deixon se/tianas e J w-fortu„; ,i. "'»•
) carneiros a 250
cru-P^a f f --els r . ,r
Í S-Ss9;-n,.H„a a a
Solnção _ r„/'"has de 48 i r^'^s. Quanta^' nV ? ^-5 = 08 dias.
? ^^^^0 ícin 78?co«sf„ ■ P-^ííinas tern, se cada
^<>i«fão POÍ' isso, n£°'' ®f'^®"do-SG que^hí"""^- Quanto
tem-=
f e S - -
-
- H „
4
.
-""Vr'ZT^S': "■= f-enda custa ' ^g'3%-=
. Q u a u t o s e t e u . cheiros. ^ ''"'^'prados 10 ^117 ^ o ' ® v e n d ( » ^ ^ ^ ^ P e l e i r n ^ ® ' ' - s e - ? a 7 » ^ " ~ c r u z e i r o s ." 't^!i.T^^&C\tv''.. ..r," '" " "
-q u a n t o " e g o c i a n t o ^ i fi K ^ 2 9 _ de 32 vender -85 dm;?-8 - gr^^ ctyzciros. pTi2eu*os sôhro Uietro de«e ^®íi*os poj* q _, l^c.pcus.U m 1 1 7 . ^
Sois?
horas. i . P o r l u c r o + 3 2 = 11 7 1 1 7 . ' 8 c=5-= Sol-
d°„£|7ycTÍ«|>Úf,«::^-^;-Solução Durante ãs 3 últimas horas o irem deve percorrer: 315
<iaiioinctros — I8G qnUninciros — 129 quilômetros.
^ Se cm 3 horas percorreu, 129 quilômetros, cm 1 hora percorrerá 3
Vezes menos ou: 129 quilômetros -í- 3 = 43 quilômetros.
fi9A operário ganha 5 000 cruzeiros por ano e quer economizar b2U cruzeiros. (Juanto pode gastar por mês? E por dia?
Solução — Èssc operário pode gastar por avo: 5 000 cruzeiros — G20
cruzeiros = 4 380 cruzeiros. Em cada mês poderá gastar 12 vêzcs menos
o!í' '^880 cruzeiros '-í- 12 = 3G5 cruzeiros. E, em cada dia, poderá gastar
065 vezes menos ou: 4 380 ~ 365 = 12 cruzeiros.
POTENCIAÇÃO
1 D e f " ■
ÍJ-m^ acL- TLfLl- y'""»f'oé u2 X X 8 X 3 = 81
fatores iguais. Exemnf ^ Que tetn po?'
9 numero que se r! ? ' ^ X 2 y o í o "^"'fipíicação de
quantas fatm^é al,! ><2 x 2 = 2'=.
G^au da í)otêno-)n - foi I'epetidn « número que J o número indicarln "úmero de faf-^ ° ^^^'fioente.
2- potência chama so A 00?^®-'®""'® ''epetidos.
^ poté^eirdo%'r
'■"-cuboliLV^-'po'^det a 1..
po-Decini. "^ias de pvq, ® ^ X 5 v e: ^ o" cinco ao' chamadas 4.» potên "ão" têm7ip '
„ ,.2. Propriedades ^ 5." potêncS
es-Poteoicias da j ^"^cnciacão ' P"fcncia etc.
■-^poentes. Exemplo; ^"'^serv«-se ft '^^ínltipHcar
■• -«.»»i L°:,.
4 ® - : . . 4 " 4 ® ^ ^ ^ " t r a e m - s e^Í^^-Í21l2i£>£4: X 4
4 X 4 = 4 ^ 4 " ^ 4 : i . — 4 8 ^ o g o uc) PüVd elevar iim produto a uma potência, hasta elevar cada /dhir a essa potcncia. Exemplo:
(5 X 3) ■' 1= õ X 3 X 5 X 3 X 5 X 3 = 5^ X 3^
d) Paip. elevar uma potência a outra potência, multipli
co m-se <m e.vpooites.' Exemplo:
o u
{6^')^ = C-' X 6=' X 6'' X 6"' = (6.1)4 ^ enx-t 33
6'-3. Prática da polenciação. — a) Seja elevar 3 a 6.^ po
tência, isto é, efetuar 3". De acordo com a definição, teremos
que repetir 3 como fator 6 vêzes:
3 X 3 9 8 1 X 3 2 4 3 X 3 X 3 2 7 7 2 9 X 3 8 1
Seja elevar 5 à 9.'' potência, isto
5 3 1 2 5 X 5 X " 2 5 15625 X 5 X 5 1 2 5 78125 X 5 X 5 6 2 5 390625 X 5 X 5 3 1 2 5 1953125 3 « = 7 2 9 5" = 1 953 125 — 4 9
-1 953 -125. pois até aí iá f
• ,<=) Seja elevar in - r. ai ja foram
em-os cálcuK ler^nSr
X 1 0 1 0 0 0 X 1 0 10000 X 1 0 1 0 0 0 — —-Pei'ar,^pois^oa^?"^°' ^ 100 000^^^^^^
um zero. Assim^podem efetiiad"''
P°Oemos escrever^ sem tieul
ín°! = 1 000
10 = 10 000= 1000 000 000
Potência de um Í^ESUMO
^ - Prodl de fata. ■
lúdica quanta, Quels' ^3 ° 3"" Por a esse
nú-e o n ú m nú-e r o d o ° f a t o r f o i c o n i o f a t o r 0 « a p o t ê n c i a d nú-e
O^e é a baae. '>""tip,iea,5,3 1 pSi??e"ãm
O u o ' O T T p o t t í ^ e s m o n ú m e r o E d e „ „ - " í f d e Ágora, 2 S ^ h i ' v • • é sublinhe o qníf de' 7- ■ " "
« x'l°r ™('90Í^ --'•ides: ^ |.®\ 385.~ - 9-- '
+ 8-: 18. -_e,. g, 6^; 5 0 D I V Í S I B I L I D A D E Q U a n j ' — U j i i i n ' m i c r o é d i v n s í v e l p o r oTodo ^'^^i^'i-sao .«?e faz exatamente, isto é, sem deixar r
IpQ divisive! por outro chama-se múltiplo dêste
ou-Ssini, 3tí é miiltinln dp 0 nnvni7P 3fi — 9 = 4.
o u t r o e s t o .
e múIti})lo de 9, porque 36
que divide exatamente outri
ou fator dêste outro. Exemplo: "6 e 7 são um e
O número que divide exatamente outro chama-se
suhmúl-O ü t r o j a i o r o e s t e o u t r o . j L x e i i i p i u . o e i & i t u u m e
lUero í, fatores e sabmidtiplos de 42. Quando um
nú-clade" udmite outro divisor, além de si próprio e da
uní-^sòmpi9f diz primo. Assim, 19 é um número primo, porqueó divisive! nor 1 e por 19.
2.
iios n ^^^'ucteres de divisibilidade. — São certas regras que
é exnf verificar, sem efetuar a divisão, se um número visihli^í^^ute divisive! por outro. Vejamos os caracteres de
di-'"niciade:
ê, — Um »?í/í;eí*o é divisível por 2 Quando e par, isto
Por ? ^G^mina em O, 2, 4, 6 ou 8. Exemplo: 348 é divisive!
p l^upQUe é par.
e})i e •>• •— Um número ó divisível por 5, quando termina
5; 73^^Í Exemplo: 245 é divisive! por 5 porque termina em
p ® divisível por 5 porque termina em O- ... .. ^Oq 10, 100, 1000... — Um número é divisível por 10,
quando termina em uni, dois, três... ou wcws
^4oòn ' 580 é divisive! por 10 porque termina em 0; p ® divisive! por 1 000 porque termina em tres zeros.
S vnf - U>n „mneTO é divMvel por 3. mandp- a soma
Ejcem,, absolutos de seus algarismos e dimmel poi 3.
Síver«° •• |4 é divisível por 3, porque 5 + 4 = 9, e 9 e dm.
^OS valores u''solutos'^"Te'°sels^n}rw,'-' « s"'"®
Exemplo: 3 798 é dividi í aivisível por 9.e 27 e divisíveí por 9 nf ' 3 + 7 + 9 + 8 = 27,
P o r 4 — T T ' '
dots zeros ou mmido^o tennim
'^tS'tUOS da dh-M+r. £. .»■_ » . ® fO) Modo velou r/n/c ■/ilhimos
4 j j ^ '
em dots zeros ou qtmiTo^o nthí^Pv^^^ termina
^Igart^mos da direita é divivTZl dois últimos
Poi 4, porque termina em /nif f" 500 é divisível P rque termina em 16 e 16 é ® tlivisível por 4,
Por 8. — 7/,„ 5 clivisivel por 4.
t e r m i n a
n s m o s d a d i r ^ H r, a f o r m a d o v c l o ! ^ t v ê f ! f ' / J r h n n s ' r 8 - - U m . . . , . r 7 p o r 4 .
algfvif,, ""°f Vumido o ''««"f/o termwa
vhZf ía direita é divhZ, "'«"s ««»»os
ITÍ T'' »»'•'>"« Exemplo: 67 000 é
di-8,^porq^ 824 é divisível pm- 8."" ® ^^4 é clivi.sível
Tdivlí T' E^«mE4oT^95o"é®!í'''-^-'''' «' divisível
Tor • ' •'®° « d.visivel por 2 e por 3, logo
77, gru^ndo a somaP' í-Z ou o^bsoltitos dos fúnnt^ ot devi wiqjar, menos
m e r o o í j < . 7 - d á
do à ordeS rfÍÍ° pertLcP ^ de um
nú-e a s " m ^ ' o o ' à f m n " ' ' ' " ' °
sível por 11 P diante". Exemplo- Í?P®/' ° quarto à ordem
(4 /g "'!??'■-IP® ^ «"«ia do^seo's »i 642 é
divi-' " % o l t Í +
m - d C "
centam^L^àquef algaíigí?®® ímpar não
seja possível a k?QUantJs
subtração. toiem necessários para que . Todo número d* ■ - ^ESUMo
»
4 S «
s r
i ; ; ; ?
lua co4isS%S1S?' .aplica-so geral™ i '""""° "
, e a a a \ e
-— 5 2 -—
Visível por 10 (luamlo termina cm 0. Um número é divisível por 3 quan do a soma dos seus alírarismos é divisível por 3. Uni número é divisível
por 9 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 9. Um número
e divisível por -i (|iiando termina em dois zeros ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita é divisível por 4. Um numero é di\i.sivc'l por 8 quando termina em três zeros ou quando o
numero formado pelos três últimos algarismos da direita é dmsível por
Um número ú divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. Um numero é divisível por 11 quando a soma dos algarismos de ordem impar
'nonos a soma dos algarismos de ordem par dá O, 11 ou múltiplo de 11.
QUESTIONÁRIO
é ^ número múltiplo de outro? E submúltiplo ou Q"® n,4"^^«ero primo? Que sào caracteres de divisibibdade? Quando um
""í^ero é divisível por 2 ? E por 5 ? E por 10 ? E por 3 ? E por 9 . 4 ? E por 8 ? E por (i ? E por 11 ?
EXERCÍCIOS E TESTES J- - Complete: Um nitmcro c divisível
out. ■ Sublinhe o que eorapletar a f.asç: To,Io moino divmvcl „c,chama-se.- - múltiplo - mimero V ^„,eros obtidos
sei Complete, sôbie os pontinhos, de modo que
4 P ° ' ' 3 : 4 . . 5 , 7 . . 3 5 . . O . n ú m e r o s
resníV .^"bstitua a letra n por algarismos, de mo qantes sejam divisívols por 5: 85a, jog caracteres
de fi,-'- .-^^bo os divisores dos seguintes numeios p
^^visibilidade: 90. 135, 309, 346. 4 576. 226, 245. 945,
t%<eSc: "T- os úuo.sdo ^dltMos^^e 2^^ 5, 9
' ^ando a razão; 2° — os que luio o sao, dizendPROBLEMAS RESOLVIDOS ^
j:; .Quais os quatro múltiplos de 11. compreendidos entre 25 c 70 ?
2 3 3 , 4 4 , 5 5 c 6 6 . • ? « 3 1 1 q u a l o d i v i s í v e l , ^0 0.S luimeros 2 245, 1 980, 4 0o5 e 26 311, qua
7?'?° tempo, por 3, 4 c 11 ?
3 1 C I 8 0 . . , 5 0 e m e n o r e s d o q u e
200 ,- Quais os múltiplos de 12 maiores do que
J ^ ' s / ^ 7 8 / « . . 1 9 7 . . n i ú l t i p l o s
tie 2l> os números 147, 385, 7 491 e 504, quais
^^^nosut; 147 504. , , 5 G 9 ?
7j' ^al o menor número divisível po'" »
Í„»S .'t. .—..i...»... ——"
1 8 e 2 4 .Números primos.
"mesmos e pela sòmejite sfio
di-9 " " m i r o 5 - ^ ^ 11
'Múltiplo dp«T°^ ^^ferentes dêle me^n^ Pi'imo e divisível por 3 e 9 - L n n u m e i o s u n i d a d e ; é u m^ esim rn.rn-Tl' ''^ ^ ^íivisívei por
. . . ^ ^ u ^ n e r o s m u l t i n l o d p a « o
P a r a
^'y-o. basta dividi-lo
■ ,
m . l
s e"
■o
r. r - q u o c i e n t e s e i n p r i m o s ( 2 , .
todas as divisões dpi^ " divisor; £
primo. "fixarem resto,-o númer
Podemos órgani^*í? Primos. —
primos na quai fi„.. de números
Piimos até um núme\n í números
pode ser obtida com ' ^ ^'l?' ^ssa tábua
^ atosteiics, qug ^"^iho do orivo de"■'"TJSli- zTZ^'fS t'e "''TT
d ê s t e , r i s c a m o s P ^ - ' r t i r o s
"S os mimeros de 3 em f exclusãoem 3 e teremos assim
S 4
U b S i t t a
cancelado todos os múltiplos de 3 (entre os múltiplos de 3 alguns já foram caucelados como múltiplos de 2, o que não
altera a o])ei-a(.;ãt)).'Não precisamo.s cancelar os números de 4 em 4, de (j em (5. de 8 era 8, etc., porque já foram cancelados
■ todos os números pares, entre os quais figuram os múltiplos
de 4, 6, 8. etc. A partir de 5 riscamos do mesmo modo todos
múltiplos de 5 em 5; e assim por diante.
Os m'lmei'os riscados são os viídtiplos e os não riscados,
cs p/i/no.<{. Procuremos achar, por exemplemos números primos
^té 22.5. Aplicando a regra acima, teremos:
1 31 61 17 X t]^ X X " 13 19 ^ X X X X / á X 4 7 3 7 X X ^ X-X X X X X
X X 7íf[^X X X
X X X X X X 3 7 j^f 0 0 j2Í >25 I2é |3Í 151 i&í 161 136 137 127 X X X X X X X X/íl ZlJX' 8 3 7 3 ^ X X X X x x X 2 9 44 X l i l x X X X 8 9 ^ X X '01 X ^ !X ipsTiljx X X X X
i2á0 l3ú[Í3Í]l32XXX
' ' ' ' 1 ^páf^ iX X X X X X X
'i5á iX X 157 X X X X X X X 'X 163 X X X X X X X 19Ê 173,'X XjXX.X X 191 193 149 194 X i>0 179 194 X X ?oi 2X X X ^ ^ ✓ 7 ^ ^ ✓ ✓ ' '5 ? X X X ^ X
l^ecomposicão em fatores primos. — prP
seus fatores primos é t^eterminai os fatores^P^
Píira^^l'®' "multiplicados entre si, é preciso:
a) T-j.'-'^^pmpor um número em seus fatores P,. . * p^_mvidir esse número pelo menor dos seus .
