1. Notação: - Somatórios.pdf

Nível intermediário

SOMATÓRIOS

Muitas vezes precisamos escrever somas de muitas parcelas, às vezes até infinitas delas e para isso usamos uma notação muito especial que facilita a nossa vida.

1.

Notação:

∑

=

= + +

+ n

k k

n a

a a

a

1 2

1 ...

2.

Propriedades de somatórios:

• Seja c uma constante real, então:

∑

∑

= =

= n

k k n

k

k c a

ca 1 1

Dem.:

∑

∑

= =

= + + + = + + +

= n

k k n

n n

k

k ca ca ca c a a a c a

ca

1 2

1 2

1 1

) ... (

...

•

∑

∑

∑

= =

=

± = ±

n

k k n

k k n

k

k

k b a b

a

1 1

1

) (

Dem.:

∑

∑

∑

= =

=

± =

= + + + ± + + + = ± + + ± + ± = ±

n

k k n

k k

n n

n n n

k

k k

b a

b b

b a a

a b a b

a b a b a

1 1

2 1 2

1 2

2 1 1 1

) ... (

) ... (

) ( ... ) ( ) ( ) (

• _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

± =

±

∑

∑

∑

= =

=

n

k k n

k k n

k

k

k b c a b

a c

1 1

1

) (

Dem.: Análoga às outras.

• n

n

k

∑

=

= 1

1

Dem.: k n n

n

k

vezes n n

k

∑

∑

= =

= + + + = + + + = =

1

0 0

0 1

1 ... 1 1 ...

2 1

1

3.

Técnicas para computar somas:

a-) Perturbação de somatórios:

Esta é uma técnica muito legal e prática e para ser usada devidamente é necessário que se ganhe um tempo estudando opções que melhor satisfaçam os problemas. Basta acrescentar ao somatório o próximo termo e assim reescrever o somatório de forma conveniente para que termos se cancelem e facilite o cálculo. Vamos ver alguns exemplos!!

Vamos calcular

∑

. Como foi dito, temos que escolher o melhor somatório para perturbar, nesse caso

vamos perturbar a soma dos cubos. =

n

k k

1 2

∑

∑

∑

∑

= =

= =

+ + + +

= + + = + = + +

n

k n

k n

k n

k

k k k k

k n

k

0

2 3 1

3 0

3 3

1

3 _{( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 ( 3 3 1) = 1 +}

∑

_{+ 3 + 3 +}

= + 3 = - 3

= n

k k

1

3

∑

= n

k k

1

2

∑

= n

k k

1

∑

= n

k 1

1

∑

= n

k k

1

3 3₊₃ 2_{+3 +1 ⇒} n n

n

∑

= n

k k

1 2

n n

n3+3 2+2

∑

= n

k k

Mas,

∑

é soma de P.A, assim,

∑

= =

k k

1 k=

k

1 2

) 1 (n+ n

. Logo, 3

∑

= - 3

= k

k

1 2

n n n3+3 2+2

2 ) 1 (n+ n

Então,

∑

= = n

k

k 1

2

6 3 2_n3_{+ n}2 _+n

.

Outro exemplo, vamos resolver

∑

Para isso, vamos perturbar =

n

k kk

1

!

∑

= n

k k

1 !

⇒ +

+ = + + = + + = + = +

+

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= =

= =

= =

n k n k n

k n

k n

k n

k

k kk k

k k

k n

k

1 1

1 1

0 1

! ! 1

! ) 1 ( 1 ! ) 1 ( 1 ! ) 1 ( )! 1 ( !

1 )! 1 ( ! !

! 1

)! 1 ( !

1 1

1 1

− + = ⇒

+ +

= + +

⇒

∑

∑

∑

∑

= =

= =

n kk k

kk n

k

n

k n

k n

k n

k

.

Treinando

:

1-)

∑

=

n k

k k

1 2

2-) Prove que = 0.

2

1 1

3

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

−

∑

∑

= =

n k n

k

k k

3-) Calcule o resto da divisão de

∑

por 2002. =

+ +

n k

k k k 1

2 _{3 1) !}

(

4-) Calcule

∑

∑

em função de n.

= =

+ +

−

n

k n

k

k k

1 2 1

2

2 _{2) 2 ( 1)}

( 3

Desafio

: Calcule por perturbação de somatórios

∑

. =

n

k

kx sen 1

) (

b-) Operador diferença:

Essa é uma técnica muito interessante e poderosa que resolve muitos tipos de somatórios. Basta descobrir uma função contínua no intervalo que compreende o intervalo da soma, que quando aplicado o

resulte no somatório que queremos calcular. )

(k f Δ

Def.: Δf(k)= f(k+1)− f(k).

Calculando

∑

temos que: =

Δ

n k

k f 1

) (

( ) ( 1) (1).

1

f n f k f

n

k

− + = Δ

∑

=

Dem.: ( ) ( ( 1) ( )) ( ( ) ( 1)) ... ( (2) (1))=

1

f f n

f n f n f n f k f

n k

− + + − − + − + = Δ

∑

=

) 1 ( ) 1

(n f

f + − .

Observa-se então o porquê de essa ser uma técnica muito poderosa, temos uma fórmula pronta para resolver qualquer somatório, desde que se descubra uma função que quando aplicado o Δf(k) encontre-se a “cara” do

somatório que queremos. Vamos ver alguns exemplos: Vamos calcular o mesmo somatório anterior:

∑

= n k

kk 1

!

Nível intermediário

Logo, ( ) ! ( 1) (1) ( 1)! 1.

1

1

∑

∑

= =

− + = − + = =

Δ

n

k n

k

n f n f kk k

f

Vamos calcular

∑

. Seja f(k) = cos((k+b)x).

= n

k

kx sen 1

)

( Δf(k)= cos((k+1)+b)x – cos((k+b)x) =

= ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ + +

−

2 2

2 1 2

2sen k b x sen x . Fazendo

1

+

2

b

=

0

, temos b = -1/2.

Assim, f k k ⎟x ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

2 1 cos )

( e ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

= Δ

2 ) ( 2 )

(k senkx sen x

f .

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ ₋

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{+ −}

= Δ

∑

= 2

cos 2 1 cos 2

1 ) 1 ( cos 2 1 ) 1 ( cos ) (

1

x x

n x

x n

k f

n

k

(

)

_⎟⇒

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + −

2 2

1

2sen n x sen nx

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + =

⇒

∑

=

2 2 2

1

) (

1 _sen x

nx sen x n sen kx sen n

k

.

Treinando

:

1-) Calcule

∑

.

=

ℜ ∈ +

n

k

x a kx a

1

, ) cos(

2-) Prove que

∑

=

= + + 44

0

1 1 cos ) 1 2 cos(

1 2

k k

sen

.

3-) Sejam S = sin42º₊sin47º₊sin412º₊...₊sin482º₊sin487º e T = cos43º+cos48º+cos413º+...+cos483º+cos488º. Determine S + T.

4-) Calcule os mesmos somatórios do item anterior agora com a técnica do operador diferença.

c-) Soma de derivadas:

Existem alguns somatórios que o termo geral é parecido com a derivada de uma função que sabemos

somar. Por exemplo, temos a soma em que os termos são da forma são muito parecidos com

que é a derivada de que é uma PG e que a soma é conhecida. Para calcular o somatório

basta dividir o termo geral por x, integrar o termo geral resultante, que vai se tornar uma PG, somar

essa PG, derivar a resposta e depois multiplicar por x. Isto é possível porque a soma das derivadas é a derivada da soma. Vale salientar que para que essa técnica funcione sempre, é necessário que a função com a qual se parece o termo geral do nosso somatório, seja contínua no intervalo que compreende o intervalo do somatório Vejamos:

∑

= n

k k k

1

2 k

kx

1

− k

kx

_x

k

∑

=

n

k k

kx

1

1 , )

1 (

) 1 ( 1

2 1 2

1

1 1

1 1

≠ −

+ + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− −

= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

=

= + +

+

= =

− =

∑

∑

∑

x

x

x x n nx dx

x x x d

x dx

x d

x kx x kx

n n

n n

k k n

k k n

k

Para o caso particular de x = 2 temos a seguinte expressão: 2 ( 1)2 1 2. 1 + − = + =

∑

n k k n k

Obs.: É bom ficar claro que , até porque não faz sentido o cálculo de uma soma em que todos os termos fossem zero pois o resultado seria trivial.

0

≠ x

d-) Soma de números binomiais:

Esta técnica envolve um conhecimento prévio de raízes da unidade. Essa associação é usada, porque

temos algumas informações sobre os binomiais, por exemplo sabemos que (basta somar os

números das linhas do triângulo de pascal) e sabemos que na equação ,

= 0. Para a demonstração dessa propriedade, basta calcular o

somatório abaixo e para isso basta substituir x por

n k k n 2 0 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∑

∞ =

C

Z

Z

n

=

1

,

∈

) 1 ... )( 1 ( 1 0 2 1 = − − _{+ + + +} − =

− Z Z Z Z

Zn n n

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n π 2

na expressão encontrada no exemplo de soma de

senos em PA e também no exercício proposto de soma de cossenos em PA. Acompanhe o raciocínio abaixo:

Vejamos:

∑

∑

∑

∑

− = − = − = − = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 0 1 0 1 0 1 0 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 n k n k n k n k n k i n k n k i n k n k

cis π π π π π

= sin

(

1

)

cos

(

2

)

sin

(

1

)

sin

(

2

)

0, n Z.

n sen n n i n sen n n ∈ ∀ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − π π π π π π

Vejamos um exemplo para a melhor compreensão.

? 3 0 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∑

∞ = k k n

Seja Z cis ⎟ Z∈C ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = , 3

2π _...

3 2 1 0 ) 1 1 ( _⎟⎟+ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

+ n n n n n

lembrando que ... 3 2 1 0 ) 1

( 2 ₊

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

+Z n n n Z n Z n

P Z Z Z

Z = =

= . 1 3 4 _... 3 2 1 0 ) 1

( 2 2 ₊

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

+Z n n n Z n Z n

+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + + + + + = ... 7 4 1 ) 1 ( ... 6 3 0 3 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1

( 2 2 n n n

Z Z n n n Z Z zero n n n ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + = ... 8 5 2 ) 1

( _{Z Z}2 n n n

zero = _⎟⎟ ⇒ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∑

∞

=0 3 3 k k n = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∑

∞

=0 3

k k n 3 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1

( ₊ n _{+ +Z} n _{+ +Z}2 n

=

3 ) ( ) ( ) 1 1

( n 2 n n

Z

Z + −

− +

+

_{. Da figura:}

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 3 )

( 2 π

cis

Z e ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = − = − 3 ) ( )

( 2 π

cis Z

Z

.

_⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∑

∞

=0 3

k k n 3 )) 60 ( ) 60 (cos( ) 60 60 (cos ) 1 1

( n n n

isen

isen + − + −

+ + +

₌

=

( )

( )

3 )) 60 ( ) 60 (cos( ) 60 60 (cos ) 1 1

( + n + n +isen n + − n +isen − n

=

=

3 3 cos 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

+ nπ

n

.

Nível intermediário

⇒

Absorção:

∑

∑

=

= ⎟⎟⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

− − =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ s

r k s

r

k k

n

k n k

n

1 1

.

Dem.: _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

− − =

− − − −

− =

− =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∑

∑

∑

∑

= =

=

= 1

1 ))!

1 ( ) 1 (( )! 1 (

)! 1 ( )!

( !

!

k n k n k

n k

n k

n k

n k

n k

n s

r k s

r k s

r k s

r k

Treinando

:

1-) Calcule

∑

∞

= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

+

0 3 1

k k

n

2-) Calcule

∑

∞

= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

+

0 4 1

k k

n

3-) Calcule k

k

k k n

8 3

0

∑

∞

= ⎟⎟⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

4-) Calcule k

k

k k k

n

16 ) 1 6 8 ( 2 4

2

0

+ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

+

∑

∞

=

4.

Desafio final:

Para resolver essa questão não é necessário o conhecimento de nenhuma das técnicas acima mostradas, porém é preciso bastante raciocínio e domínio das propriedades de somatórios.

Prove que:

6

1

2

1 2

π

=

∑

∞

= k

k

.

Sugestão: Calcule

∑

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

n

k

n

k

1 2