Conjuntos
Conceitos Primitivos: Conjunto Elemento
Relação de Pertinência
Conjunto e Elemento
Conjuntos
Representação dos conjuntos
Exemplos:
A= { 2,4,6,...} (Citando um a um seus elementos )
A= { x I x é numero inteiro positivo par }
(Apresentando uma propriedade característica )
Diagrama de Venn • 2
• 4
Relação de Pertinência
Exemplo : Seja A = {1,2,3,4,5}
3 A ( 3 pertence a A)
Inclusão de Conjuntos
Definição: SubconjuntoDizemos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A é também um elemento de B.
(x) ( x A x B )
Exemplo :
Sejam A = { 1,2 } , B = { 1,2,3,4,5,6,7,8 } , C = { 2,4,6,8,10 } A B ( A é subconjunto de B )
( A está contido em B ) C B ( C não é subconjunto de B )
Exercícios
Complete os espaços com (V) Verdadeiras ou (F) Falsas :
1)Sejam A = { 1,2,3,4} e B = { 1,3,4, } então: a) B A ( ) d) {1,2} A ( ) b) 3 A ( ) e) {1,2} A ( ) c) 2 B ( ) f) {4} A ( )
2)Sejam A = { a,b, { a }, { a,b } } e B = { a,b, { a,b } } então:
Exercícios
Sejam A = { 1,2, { 1,2 } } e B = { { 1,2,3 } , 3 } Complete com
,
,
e
a) A ... B
b) { 1,2 } ... A
c) { 1,2,3 } ... B
Conjunto Vazio
Definição : Conjunto Vazio
Um conjunto sem elementos é chamado conjunto vazio . Representamos o conjunto vazio por :
Exemplo:
A = { x I x é n° par compreendido entre 6 e 8 }
A = , pois não existe n° par maior que 6 e menor do que 8. B= { x ∈ ℕ I x 6 = 10 }
Conjunto Universo
Definição : Conjunto Universo
É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U.
Conjunto Universo é um conceito relativo, o conjunto universo U pode mudar de acordo com o contexto da situação em que
estivermos trabalhando.
Exemplo:
Cálculo I : U=IR
Conjunto das Partes
Definição :
Chama-se conjunto das partes de um conjunto A, e se indica
P
(A)
,
ao conjunto de todos os
subconjuntos
do conjunto A.
Exemplo :
Se A = {a, b, c}, então o conjunto das partes de A é formado por:
P
(A)= {
, {a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}}.
Conjunto das Partes
Exemplo :Dar o número de elementos do conjunto das partes de A, n(A) sendo: a) A= R: P(A) ={} n( P(A) ) = 1
b) A={a} R: P(A) ={ , {a} } n( P(A) ) = 2 c) A= {a, b} R: P(A) ={ , {a} ,{b}, {a,b} } n( P(A) ) = 4
d) A= {a, b, c} R: P(A) ={, {a} ,{b},{c}, {a,b},{a,c},{b,c},A } n( P(A) ) = 8 Dessa maneira podemos escrever:
Se n(A) = 0, então n(P(A)) = 2° = 1 Se n(A) = 1, então n(P(A) ) = 2¹ = 2 Se n(A) = 2, então n(P(A)) = 2² = 4 Se n(A) = 3, então n(P(A) ) = 2³ = 8 ...
União
Definição : União
Sejam A e B dois conjuntos chama-se união de conjunto A com
o conjunto B, ao conjunto de todos os elementos de A ou B . A B = { x I x A ou x B }
Exemplo:
Sejam A = { 1,3,5,7 } e B = { 2,3,4,6 }
Intersecção
Definição : Intersecção
Sejam A e B dois conjuntos.
Chama-se intersecção dos conjuntos A e B, ao conjunto formado
pelos os elementos que estão em A e estão em B . A B = { x I x A e x B }
Exemplo:
Igualdade
Definição : Igualdade
Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos.
A = B A B e B A ou
A = B (x ) ( x A x B )
Exemplo:
Diferença
Definição : Diferença Dados os conjuntos A e B.
Define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto
representado por A – B formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B.
Exercícios :
3) Sejam X, Y e Z os conjuntos tais que :
n(Y Z) = 20, n(X Y)= 5, n(X Z)=4, n(X Y Z) = 1 e n(X Y Z) = 22.
Exercício:
4) Assinale alternativa correta.
O conjunto que corresponde a região pintada da figura é:
a) A – (BC) ( ) b) (B C) – A ( ) c) C – (A B) ( )
Exercício:
5)Três produtos A, B e C são consumidos. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram colhidos os resultados.
Determinar:
a) Quantas pessoas consultadas consomem só o produto A? b) Quantas pessoas consultadas consomem só dois produtos? c) Quantas pessoas consultadas consomem A ou B?
d) Quantas pessoas consultadas consomem A e não consomem C?
Exercícios
7)Sejam A = { 0, 1, { 2 } , { 0, 1 } } B = { 1, { 2 }, { 0, 1 } }
C = { 0, 1 , 2 , { 2 }, { 0, 1 } } Determine:
a) 𝑨 ∩ 𝑩 =
b) 𝑩 ∩ 𝑪 =
c) (𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪) =
Exercícios
8) Em cada caso, hachurar o que se pede:
Complementar
Definição :Complementar
Se A B , chama-se conjunto complementar de A em relação a B, ao conjunto dos elementos de B que não são elementos de A .
ഥ𝑨 = B A = { x I x B e x A }
Exemplo :
Complementar
Definição :Complementar
Dado um conjunto contido num Universo (A U) , chama-se conjunto complementar de A em relação a U, ao conjunto dos elementos de U que não pertence a A .
ഥ𝑨 = U A = { x I x U e x A }
Exercício:
6)Considere os conjuntos A = {0,1,2,3} e B={2,3,4,5}, subconjunto do conjunto U={0,1,2,3,4,5,6,7} . Determine:
a) A – B = b) 𝐴 ∩ ത𝐵 =
c) 𝐴 ∪ 𝐵 = d) ҧ𝐴 ∩ ത𝐵 =
e) Qual a relação entre A – B e 𝐴 ∩ ത𝐵 f) Qual a relação entre 𝐴 ∪ 𝐵 e ҧ𝐴 ∩ ത𝐵
Diferença Simétrica
Definição:
Definimos diferença simétrica por A ∆ B ao conjunto : A ∆ B = (AB) (BA)
ou
A ∆ B = (AB) (AB)
Diferença Simétrica
Propriedades:
1.
A
∆
A =
Prova:
A
∆
A
=
= (A
A)
(A
A)
= A
A
=
Definição
:
A
∆B = (A
B)
(B
A)
ou
Diferença Simétrica
Propriedades
2.
A
∆
B = B
∆
A
Prova:
A
∆
B
=
= (A
B)
(B
A)
= (B
A)
(A
B)
=
B
∆
A
Definição
:
A
∆B = (A
B)
(B
A)
ou
Diferença Simétrica
Propriedades:
3.
A
∆
= A
Prova:
A
∆
=
= (A
)
(
A)
= A
=
A
Definição
:
A
∆B = (A
B)
(B
A)
ou
Propriedades:
1.Se A
B, então A
B = A e A
B = B2.Idempotência: A
A = A e A
A = A3.A
∅
=∅
e A
∅
= A A
U
= A e A
U
=U
4.Comutativa: A
B = B
A e A
B = B
A5.Associativa : ( A
B )
C = A
(
B
C ) e ( A
B )
C = A
( B
C )Propriedades
7. ന𝑨 = 𝑨
8. Leis de De Morgan : 𝐀 ∪ 𝑩 = ഥ𝐀 ∩ ഥ𝑩 e
𝐀 ∩ 𝑩 = ഥ𝑨 ∪ ഥ𝑩
9. A ∩ Aഥ = ∅
10. A ∪ ഥA = U
11. A − B = A ∩ Bഥ 12. A ∆ A = ∅
13. A ∆ B = B ∆ A 14. A ∆ ∅ = A
Propriedades:
B C
A B
A C
Exercícios:
11) Coloque (V) nas verdadeiras e (F) nas falsas. (Justificando)
a)
b)
c)
a)
(
)
(
)
A
B
B
B
A
A
B
A
B
(
A
B
)
A
B
A
(
)
Exercícios:
11)
c)ഥ𝑨∆ഥ𝑩 = 𝑨∆𝑩
Exercício
s:
13) Mostre as propriedades(Leis de De Morgan )
a)𝐀 ∪ 𝑩 = ഥ𝐀 ∩ ഥ𝑩 Prova: 𝐀 ∪ 𝑩 =
= { ȁ𝑥 𝑥 ∉ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵 } = { ȁ𝑥 𝑥 ∈ ҧ𝐴 𝑒 𝑥 ∈ ത𝐵 } = ഥ𝐀 ∩ ഥ𝑩
b) 𝐀 ∩ 𝑩 = ഥ𝑨 ∪ ഥ𝑩 Prova: 𝐀 ∩ 𝑩 =
