MD Slides 01 Teoria dos Conjuntos Manhã

Conjuntos

Conceitos Primitivos: Conjunto Elemento

Relação de Pertinência

Conjunto e Elemento

Um conjunto é um conceito primitivo, que informalmente pode ser entendido como uma coleção não ordenada de entidades

Conjuntos

Representação dos conjuntos

Exemplos:

A= { 2,4,6,...} (Citando um a um seus elementos )

A= { x I x é numero inteiro positivo par }

(Apresentando uma propriedade característica )

Diagrama de Venn • 2

• 4

Relação de Pertinência

Exemplo : Seja A = {1,2,3,4,5}

3  A ( 3 pertence a A)

Inclusão de Conjuntos

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A é também um elemento de B.

(x) ( x  A  x  B ) Exemplo :

Sejam A = { 1,2 } , B = { 1,2,3,4,5,6,7,8 } , C = { 2,4,6,8,10 } A  B ( A é subconjunto de B )

( A está contido em B ) C  B ( C não é subconjunto de B )

Exercícios

Complete os espaços com (V) Verdadeiras ou (F) Falsas :

1)Sejam A = { 1,2,3,4} e B = { 1,3,4, } então: a) B  A ( ) d) {1,2}  A ( ) b) 3  A ( ) e) {1,2}  A ( ) c) 2  B ( ) f) {4}  A ( )

2)Sejam A = { a,b, { a }, { a,b } } e B = { a,b, { a,b } } então:

Exercícios

Sejam A = { 1,2, { 1,2 } } e B = { { 1,2,3 } , 3 } Complete com



,



,





a) A ... B

b) { 1,2 } ... A

c) { 1,2,3 } ... B

Conjunto Vazio

Definição : Conjunto Vazio

Um conjunto sem elementos é chamado conjunto vazio . Representamos o conjunto vazio por : 

Exemplo:

A = { x I x é n° par compreendido entre 6 e 8 }

A = , pois não existe n° par maior que 6 e menor do que 8. B= { x _{∈ ℕ} I x  6 =  10 }

Conjunto Universo

Definição : Conjunto Universo

É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U.

Conjunto Universo é um conceito relativo, o conjunto universo U pode mudar de acordo com o contexto da situação em que

estivermos trabalhando. Exemplo:

Cálculo I : U=IR

Conjunto das Partes

Definição :

Chama-se conjunto das partes de um conjunto A, e se indica

P

(A)

,

ao conjunto de todos os

subconjuntos

do conjunto A.

Exemplo :

Se A = {a, b, c}, então o conjunto das partes de A é formado por:

P

_{(A)= {}



_{, {a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}}.}

Conjunto das Partes

Exemplo :

Dar o número de elementos do conjunto das partes de A, n(A) sendo: a) A=  R: P(A) ={} n( P(A) ) = 1

b) A={a} R: P(A) ={ , {a} } n( P(A) ) = 2 c) A= {a, b} R: P(A) ={ , {a} ,{b}, {a,b} } n( P(A) ) = 4

d) A= {a, b, c} R: P(A) ={, {a} ,{b},{c}, {a,b},{a,c},{b,c},A } n( P(A) ) = 8 Dessa maneira podemos escrever:

Se n(A) = 0, então n(P(A)) = 2° = 1 Se n(A) = 1, então n(P(A) ) = 2¹ = 2 Se n(A) = 2, então n(P(A)) = 2² = 4 Se n(A) = 3, então n(P(A) ) = 2³ = 8 ...

União

Definição : União

Sejam A e B dois conjuntos chama-se união de conjunto A com

o conjunto B, ao conjunto de todos os elementos de A ou B . A  B = { x I x  A ou x B }

Exemplo:

Sejam A = { 1,3,5,7 } e B = { 2,3,4,6 }

Intersecção

Definição : Intersecção

Sejam A e B dois conjuntos.

Chama-se intersecção dos conjuntos A e B, ao conjunto formado

pelos os elementos que estão em A e estão em B . A  B = { x I x  A e x  B }

Exemplo:

Igualdade

Definição : Igualdade

Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos.

A = B  A  B e B  A ou

A = B  (x ) ( x  A  x  B )

Exemplo:

Diferença

Definição : Diferença Dados os conjuntos A e B.

Define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto

representado por A – B formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B.

Exercício:

Três produtos A, B e C são consumidos. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram colhidos os resultados.

Determinar:

a) Quantas pessoas consultadas consomem só o produto A?

b) Quantas pessoas consultadas consomem só dois produtos?

c) Quantas pessoas consultadas consomem A ou B?

d) Quantas pessoas consultadas consomem A e não consomem C?

Produtos A B C A e B A e C B e C A e B e C

Exercício:

Assinale alternativa correta.

O conjunto que corresponde a região pintada da figura é:

a) A – (BC) ( ) b) (B  C) – A ( ) c) C – (A  B) ( )

Exercícios :

Sejam X, Y e Z os conjuntos tais que :

n(Y  Z) = 20, n(X  Y)= 5, n(X  Z)=4, n(X  Y  Z) = 1 e n(X  Y  Z) = 22.

Exercícios

Em cada caso, hachurar o que se pede:

Exercício:

De um torneio de atletismo, têm-se as informações no quadro sobre as proveniências e sexos dos participantes.

Complementar

Definição :Complementar

Se A  B , chama-se conjunto complementar de A em relação a B, ao conjunto dos elementos de B que não são elementos de A .

ഥ𝑨 = B  A = { x I x  B e x  A }

Exemplo :

Complementar

Definição :Complementar

Dado um conjunto contido num Universo (A  U) , chama-se conjunto complementar de A em relação a U, ao conjunto dos elementos de U que não pertence a A .

ഥ𝑨 = U  A = { x I x  U e x  A }

Exercício:

Considere os conjuntos A = {0,1,2,3} e B={2,3,4,5}, subconjunto do conjunto U={0,1,2,3,4,5,6,7} . Determine:

a) A – B =

b) 𝐴 ∩ ത𝐵 =

c) 𝐴 ∪ 𝐵 =

d) ҧ𝐴 ∩ ത𝐵 =

e) Qual a relação entre A – B e 𝐴 ∩ ത𝐵

f) Qual a relação entre 𝐴 ∪ 𝐵 e ҧ𝐴 ∩ ത𝐵

Diferença Simétrica

Definição:

Definimos diferença simétrica por A ∆ B ao conjunto :

A ∆ B = (AB)  (BA)

ou

A ∆ B = (AB)  (AB)

Diferença Simétrica

Propriedades:

1.

A

∆

A =



Prova:

A

∆

A

=

= (A



A)



(A



A)

= A



A

=



Definição

:

A

B = (A



B)



(B



A)

ou

Diferença Simétrica

Propriedades

2.

A

∆

B = B

∆

A

Prova:

A

∆

B

=

= (A



B)



(B



A)

= (B



A)



(A



B)

=

B

∆

A

Definição

:

A

B = (A



B)



(B



A)

ou

Diferença Simétrica

Propriedades:

3.

A

∆



= A

Prova:

A

∆



=

= (A

 

)



(

 

A)

= A

 

=

A

Definição

:

A

B = (A



B)



(B



A)

ou

Propriedades:

1.Se A  B, então A B = e A  B = 2.Idempotência: A A = e A  A = 3.A ∅ = e A  ∅ =

A U = e A  U =

4.Comutativa: A B = e A  B =

5.Associativa : ( A B ) C = e

( A  B )  C =

6.Distributiva: A  (B  C ) = e

A  (B  C ) =

A

A B

A

A

A U

∅

B A B  A A  (B C )

A  ( B  C )

Propriedades

7. ന𝑨 =

8. Leis de De Morgan : 𝐀 ∪ 𝑩 = e

𝐀 ∩ 𝑩 =

9. A ∩ Aഥ =

10. _A ∪ ഥA ₌ 11. A − B ₌ 12. A ∆ A =

13. A ∆ B = 14. A ∆ ∅ =

15. A  ( A  B ) = e A  ( A  B ) =

𝑨

ഥ

𝐀 ∩ ഥ𝑩 ഥ𝑨 ∪ ഥ𝑩 ∅

U

A ∩ Bഥ

B ∆ A

A

∅

Propriedades:



















 

 





 

 



Exercícios:

18) Coloque (V) nas verdadeiras e (F) nas falsas. (Justificando)

a)

b)

c)

a)

(

)

(

)

A



B

B

B

 

A

A

B

A

B

(

A

B

)

A



B

A

(

)

Exercício

s:

Mostre as propriedades (Leis de De Morgan )

a)𝐀 ∪ 𝑩 = ഥ𝐀 ∩ ഥ𝑩 Prova: 𝐀 ∪ 𝑩 =

= { ȁ𝑥 𝑥 ∉ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵 } = { ȁ𝑥 𝑥 ∈ ҧ𝐴 𝑒 𝑥 ∈ ത𝐵 } = ഥ𝐀 ∩ ഥ𝑩

b) 𝐀 ∩ 𝑩 = ഥ𝑨 ∪ ഥ𝑩 Prova: 𝐀 ∩ 𝑩 =

Exercícios: