outubro de 2014
Sílvia Daniela Vieira Costa
UMinho|20
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Sílvia Daniela Vieir
a Costa
Universidade do Minho
Instituto de Educação
Resolução de problemas no Ensino Básico:
As dificuldades que surgem na concretização
das diferentes fases do modelo de Polya
R
esolução de problemas no Ensino Básico: As dificuldades que surgem na concre
tização das diferentes fases do modelo de P
ol
Relatório de Estágio
Mestrado em Ensino do 1.º e 2.º Ciclo do Ensino Básico
Trabalho realizado sob a orientação da
Doutora Maria Helena Martinho
Universidade do Minho
Instituto de Educação
outubro de 2014
Sílvia Daniela Vieira Costa
Resolução de problemas no Ensino Básico:
As dificuldades que surgem na concretização
das diferentes fases do modelo de Polya
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AGRADECIMENTOS
Um enorme Obrigada,
Aos meus alunos pelo acolhimento, entrega, interesse, entusiasmo durante todo o projeto e por me ajudarem a tornar numa melhor professora. Cada um deles tem um lugar especial no meu coração.
À professora titular de turma, Fátima Araújo, por toda a orientação, pelos conselhos, pelo apoio e dedicação, pela amabilidade e entrega. Para além de professora foi também uma amiga que me deu alento e força para continuar.
À Doutora Maria Helena Martinho, minha orientadora, pela disponibilidade e dedicação, pelos incentivos, pela paciência e confiança, pelas sugestões, críticas e ensinamentos que contribuíram para o meu crescimento profissional. Não era possível ter melhor orientadora de estágio.
Aos meus pais e irmã, pelo amor incondicional, pela força e incentivo, por estarem sempre presentes e acreditarem em mim e, sobretudo, por serem quem são.
Ao meu namorado, pela perseverança e compreensão, pelo carinho, pela ajuda e por acreditar que seria capaz de alcançar a meta tão desejada. Por estar sempre ao meu lado quando precisei e por ter ouvido todos os meus desabafos.
À Joana, pela amizade ao longo do ano de estágio, pela partilha, pelo apoio e cumplicidade. Sem a sua amizade este percurso não teria o mesmo sentido.
À minha avó, que é a estrela mais brilhante que existe no céu, que me acompanha diariamente, e pela qual conduzo a minha vida.
A todas as pessoas que de algum modo me encorajaram e me deram ânimo, permitindo assim que este projeto se desenvolvesse.
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A realização deste mestrado foi apoiada financeiramente por fundos nacionais através da FCT– Fundação para a Ciência e Tecnologia no âmbito do Projeto LiDEs – a literacia das disciplinas escolares: Características e desafios para mais engagement e aprendizagem
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“Sem a curiosidade que me move, que me inquieta, que me insere na busca, não aprendo nem ensino.” (Paulo Freire)
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RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO BÁSICO: AS DIFICULDADES QUE SURGEM NA CONCRETIZAÇÃO DAS DIFERENTES FASES DO MODELO DE POLYA
Sílvia Daniela Vieira Costa Relatório de Estágio
Mestrado em Ensino do 1.º e 2.º Ciclo do Ensino Básico Universidade do Minho - 2014
RESUMO
Este projeto exibiu um percurso investigativo numa turma do ensino básico, e tinha por objetivo perceber as dificuldades que os alunos possuíam nas diferentes fases do modelo de Polya (1995) ao longo da resolução de problemas, bem como trabalhar as distintas fases no sentido de eliminar as falhas existentes. Deste modo, procurei dar resposta às seguintes questões: Q1- Como é que os alunos resolviam os problemas?; Q2- Que dificuldades é que os alunos evidenciavam durante a resolução de problemas?; Q3- Como é que os alunos evoluíram ao longo da intervenção pedagógica na sua capacidade de resolução de problemas? A intervenção pedagógica caracterizou-se como um projeto de investigação-ação de índole qualitativo. Durante as intervenções recorri a vários instrumentos de recolha de dados, como a observação com recurso a gravações audiovisuais, diário da professora-estagiária subdivido em diário de registos e de reflexão, produções dos alunos e, por fim, uma ficha de reflexão, aplicando as pedagogias de ensino consideradas mais adequadas.
Para tal, o trabalho teve início com um problema que tinha por finalidade perceber como os alunos o resolviam, possibilitando assim a recolha pormenorizada das dificuldades existentes nas fases do modelo de Polya. As intervenções seguintes serviram para explorar detalhadamente cada uma das fases, com vista a colmatar as lacunas encontradas. Desta forma, forneci vários problemas que possibilitassem trabalhar a compreensão do problema, estabelecimento e execução de um plano e verificação dos resultados.
No fim das intervenções, os alunos já possuíam métodos para analisar e estudar o enunciado, e, deste modo, perceber o problema, conseguindo assim distinguir a informação relevante da acessória. No que diz respeito ao estabelecimento e execução do plano, aqueles que inicialmente manifestavam dificuldades neste nível, começaram a aplicar estratégias, não empregando apenas as quatro operações. O problema que permitiu o primeiro contacto com algumas estratégias de resolução foi importante, pois, a partir deste, os alunos perceberam que existem diferentes estratégias, aplicando-as nos problemas seguintes, chegando mesmo a encontrar outras distintas das exploradas. No que diz respeito à fase da verificação dos resultados, esta era completamente desconhecida pelos alunos. Contudo, após bastante trabalho e insistência, conseguiram explicar como pensaram para resolver o problema.
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PROBLEM SOLVING IN THE BASIC EDUCATION: THE ARISING PROBLEMS IN THE ACHIEVEMENT OF DIFFERENT STAGES OF MODEL POLYA
Sílvia Daniela Vieira Costa Internship Report
Master in Teaching 1st and 2nd Cycle of Basic Education University of Minho - 2014
ABSTRACT
This project displayed an investigative journey in a class of the basic school, and aimed to understand the difficulties that students had in different stages of Polya (1995) model throughout problem solving as well as working distinct stages in order to eliminate existent flaws. Thus I tried to answer the following questions: Q1 How do students solve problems?; Q2- What difficulties do students demonstrated during problem solving?; Q3- How do students developed throughout the pedagogical intervention in their ability to solve problems? The educational intervention was characterized as an action-research project of qualitative nature. During interventions various instruments of data collection were used, such as: observation, using audiovisual recordings, teacher-intern diary subdivided into daily records and reflection, productions of students and, finally, a reflection rubric, using the most appropriate teaching methods.
To this end, the work began with a problem in order to see how students would solved it, thus allowing a detailed understanding of the existing difficulties in the stages of the Polya model. The following interventions were used to explore in detail each stage of problem solving, in order to fill and overcome the found gaps. Thus, I have provided various problems that would enable to work the understanding of the problem, establishing and executing a plan and the verification of the results.
At the end of the interventions, students already had methods to analyse and study the problem and thus solving the problem, meaning they were able to distinguish the accessory information from the elementary and relevant one. In what concerns the establishment and execution of the plan, those who initially manifested difficulties at this level, began to implement strategies, not employing only the four operations. The problem which allowed the first contact with some resolution strategies was important because from this, students realized that there are different strategies, applying them in the following problem solving, and even finding distinct from those explored. Regarding results verification stage, this was unknown by students. However, after a lot of hard work and resilience, they managed to explain how they thought about the way to fix the problem.
xi Índice AGRADECIMENTOS RESUMO ABSTRACT INTRODUÇÃO ... 1 1.1. Contextualização ... 1
1.2. Objetivo do tema e questões de investigação ... 1
1.3. Organização geral do relatório ... 2
ENQUADRAMENTO TEÓRICO... 3
2.1. Conceito de problema... 3
2.2. A resolução de problemas e a sua importância ... 6
2.3. Modelos usados na resolução de problemas ... 9
2.4. Tipos de problemas ... 15
2.5. Estratégias de resolução de problemas ... 18
METODOLOGIA ... 21
3.1. Opções metodológicas ... 21
3.2. Contexto de intervenção ... 23
3.2.1. Caraterização da escola do 1º Ciclo ... 23
3.2.2. Caraterização dos alunos da turma do 1º Ciclo ... 24
3.2.3. Caraterização da escola do 2º Ciclo ... 24
3.2.4. Caraterização dos alunos da turma do 2º Ciclo ... 25
3.2.5. Justificação do contexto de intervenção contemplado no estudo ... 26
3.3. Pedagogias de ensino ... 27
3.4. Instrumentos de recolha de dados ... 28
3.5. Fases do estudo ... 31
xii
3.7. Intervenção... 35
APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS ... 45
4.1. Problemas matemáticos ... 45
4.1.1. Problema 1 – concurso de leitura ... 45
4.1.2. Problema 2 – visita à quinta de Santo Inácio ... 49
4.1.3. Problema 3 – disfarces de carnaval ... 54
4.1.4. Problema 4 – pães com diferentes recheios ... 58
4.1.5. Problema 5 – os vernizes da Mariana... 62
4.1.6. Problema 6 – coelhos e faisões... 66
4.1.7. Problema 7 – filas de meninos ... 71
4.2. Cruzamento da informação ... 77
CONCLUSÃO ... 81
5.1. Conclusões do estudo ... 81
5.1.1. Como é que os alunos resolviam os problemas? ... 81
5.1.2. Que dificuldades é que os alunos evidenciavam durante a resolução de problemas? ... 81
5.1.3. Como é que os alunos evoluíram ao longo da intervenção pedagógica na sua capacidade de resolução de problemas? ... 82
5.2. Reflexão final do estudo ... 83
5.3. Limitações e dificuldades do estudo ... 84
5.4. Futuras investigações ... 85
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 87
... 91
Anexos Anexo 1 – Questões da ficha de reflexão ... 93
Anexo 2 – Pedido de autorização ... 95
Anexo 3 – Fichas do 1º ciclo ... 97
xiii
Índice de figuras
Figura 1 - Divisão do tempo dos alunos nas etapas de resolução de problemas ... 13
Figura 2 - Divisão do tempo que seria esperada pelos alunos para a resolução de problemas .. 13
Figura 3 - Fases fundamentais da intervenção ... 23
Figura 4 - Enunciado do problema concurso de leitura ... 45
Figura 5 - Resolução da Sara ... 46
Figura 6 - Resolução do Bruno ... 47
Figura 7 - Resolução da Cátia... 49
Figura 8 - Enunciado do problema visita à quinta de Santo Inácio ... 50
Figura 9 - Resposta da Marisa a uma questão orientadora ... 50
Figura 10 - Resposta do Dinis a uma questão orientadora ... 51
Figura 11 - Resolução da Marisa ... 51
Figura 12 - Enunciado do problema disfarces de carnaval ... 54
Figura 13 - Enunciado sublinhado e resposta da Íris a uma questão orientadora ... 55
Figura 14 - Enunciado sublinhado e resposta da Filipa a uma questão orientadora ... 55
Figura 15 - Enunciado sublinhado e resposta do Miguel a uma questão orientadora... 55
Figura 16 - Resposta do Miguel a uma questão orientadora ... 56
Figura 17 - Enunciado sublinhado e respostas da Íris a duas questões orientadoras ... 56
Figura 18 - Enunciado do problema pães com diferentes recheios ... 59
Figura 19 - Estratégia de resolução usada pelo grupo do Tomás ... 59
Figura 20 - Estratégia de resolução usada pelo grupo da Marta ... 60
Figura 21 - Resolução do grupo da Isabel ... 60
Figura 22 - Resolução do grupo da Cátia ... 61
Figura 23 - Enunciado do problema os vernizes da Mariana... 62
Figura 24 - Enunciado do problema sublinhado pelo Gil... 63
Figura 25 - Enunciado do problema sublinhado pelo Tomás ... 63
Figura 26 - Resposta do Gil a uma questão orientadora ... 63
Figura 27 - Resposta do Tomás a uma questão orientadora ... 64
Figura 28 - Resposta do Gil a uma questão orientadora ... 64
Figura 29 - Resolução do Gil ... 65
Figura 30 - Enunciado do problema coelhos e faisões... 66
xiv
Figura 32 - Resposta da Marta a duas questões orientadoras ... 67
Figura 33 - Resolução da Marta ... 68
Figura 34 - Resolução da Isabel ... 68
Figura 35 - Resolução da Filipa ... 69
Figura 36 - Explicação da Marta ... 69
Figura 37 - Enunciado do problema filas de meninos ... 72
Figura 38 - Enunciado do problema sublinhado pela Luísa, Marisa, Isabel e Artur ... 72
Figura 39 - Resolução do problema do grupo da Luísa, Marisa, Isabel e Artur ... 73
Figura 40 - Resolução do problema do grupo da Mariana, Miguel, Guilherme e Bruno... 73
Figura 41 - Alunos no recreio a tentar resolver o problema ... 73
Figura 42 - Alunos no recreio a tentar resolver o problema ... 74
Figura 43 - Manipulação dos materiais enquanto procuravam uma solução para o problema ... 74
Figura 44 - Resolução do problema do grupo da Luísa, Marisa, Isabel e Artur ... 75
Figura 45 - Explicação do grupo da Cátia, Sara, Filipe e Tomás ... 75
Figura 46 - Explicação da resolução do problema à turma ... 76
Índice de tabelas Tabela 1 - Possíveis questões e sugestões para auxiliar nas diferentes fases de resolução de problemas ... 12
Tabela 2 - Instrumentos de recolha de dados que pretendem dar resposta às questões formuladas ... 31
Tabela 3 - Categorias de análise de dados ... 35
Tabela 4 - Planeamento das aulas ... 35
Tabela 5 - Problemas usados para a análise ... 36
Tabela 6 - Objetivo das três questões usadas durante a resolução de problemas ... 38
Tabela 7 - Fichas que respondem às questões de investigação ... 43
Tabela 8 - Planeamento das aulas ... 44
Índice de episódios Episódio 1 ... 47
xv Episódio 3 ... 52 Episódio 4 ... 53 Episódio 5 ... 53 Episódio 6 ... 53 Episódio 7 ... 57 Episódio 8 ... 57 Episódio 9 ... 58 Episódio 10 ... 61 Episódio 11 ... 62 Episódio 12 ... 65 Episódio 13 ... 66 Episódio 14 ... 70 Episódio 15 ... 70 Episódio 16 ... 71 Episódio 17 ... 76 Episódio 18 ... 77
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CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO
O presente relatório contém a documentação de um trabalho de investigação realizado no âmbito da Unidade Curricular Prática de Ensino Supervisionada do Mestrado em Ensino do 1.º e 2.º Ciclo do Ensino Básico, em turmas do Ensino Básico do concelho de Vila Nova de Famalicão. O tema selecionado para este projeto de intervenção diz respeito à resolução de problemas matemáticos atendendo às dificuldades que os alunos possuem nas diferentes fases do modelo de Polya.
1.1. Contextualização
Em Portugal, no fim da década de 80, os currículos do ensino básico e secundário começaram a “(…) dar primazia e importância à resolução de problemas” (Vieira, 2008, p. 7). Porém, apesar da relevância deste tema, os resultados obtidos nesta área ainda ficam muito aquém do esperado. Assim, e tal como refere Vieira (2008), é indispensável haver uma alteração que faça com que o valor e importância da resolução de problemas em matemática seja realçada no dia-a-dia das práticas escolares. De tal modo, de acordo com Fernandes (2011), é imprescindível proporcionar múltiplas oportunidades para que os alunos resolvam diferentes problemas numa diversidade de contextos, interpretem enunciados, analisem e reflitam sobre as estratégias de resolução, bem como sobre a viabilidade dos resultados obtidos.
1.2. Objetivo do tema e questões de investigação
Considerei pertinente abordar o tema resolução de problemas, para tentar perceber quais as dificuldades que os alunos apresentavam, ao longo das resoluções, nas diferentes etapas do modelo de Polya e, desta forma, explorar cada uma das fases com o intuito de colmatar as lacunas existentes.
Atendendo ao objetivo do estudo procurei dar resposta às seguintes questões de investigação:
Q1- Como é que os alunos resolviam os problemas?
2
Q3- Como é que os alunos evoluíram ao longo da intervenção pedagógica na sua capacidade de resolução de problemas?
1.3. Organização geral do relatório
Este relatório organiza-se em cinco capítulos. No primeiro capítulo, Introdução, encontra-se uma contextualização do trabalho, o objetivo do tema e questões de investigação e, por último, a organização geral do relatório.
O segundo capítulo diz respeito ao Enquadramento Teórico. Este abarca, com base na literatura, o conceito de problema, a resolução de problemas e a sua importância, os modelos usados na resolução de problemas, tipos de problemas e, por fim, expõe ainda estratégias de resolução de problemas.
Relativamente ao terceiro capítulo, Metodologia, apresenta-se e justifica-se as opções metodológicas adotadas. De seguida existe o contexto de intervenção que se subdivide em caraterização da escola, caraterização dos alunos da turma e justificação do contexto de intervenção contemplado no estudo. Neste ainda se patenteiam as pedagogias de ensino, os instrumentos de recolha de dados, as fases do estudo, a análise de dados e, finalmente, a intervenção.
No quarto capítulo faz-se uma Apresentação dos Resultados. Neste mostra-se os problemas matemáticos propostos aos alunos, explorando-se e exibindo-se as diferentes resoluções destes, as dificuldades manifestadas ao longo das resoluções e as práticas para eliminar essas dificuldades. No final surge ainda o cruzamento da informação.
Finalmente, o quinto capítulo, Conclusão, contém as respostas às questões iniciais da investigação, considerando os dados recolhidos nas diferentes intervenções, bem como as reflexões finais, sendo realizado o confronto com a literatura. Ainda neste capítulo constam as limitações e dificuldades do estudo e também as recomendações para estudos futuros.
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CAPÍTULO II
ENQUADRAMENTO TEÓRICO
Neste capítulo encontra-se o Enquadramento Teórico, onde se apresenta uma revisão da literatura relativamente ao tema em questão: resolução de problemas. Assim, começa-se por abordar o conceito de problema, bem como a definição de resolução de problemas e a sua importância no dia-a-dia e no contexto de sala de aula para a vida da criança. Seguidamente refere-se alguns modelos usados na resolução de problemas que ajudam a criança a ultrapassar os obstáculos que vão surgindo durante a resolução. Por fim, apresenta-se as classificações de diferentes tipos de problemas existentes, sendo que estes estão agrupados em distintas categorias, bem como as estratégias de resolução de problemas. Estas são importantes de considerar, uma vez que existem variadas estratégias que o resolvedor pode utilizar para resolver um problema.
2.1. Conceito de problema
Os problemas e o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas devem ser um aspeto central no currículo de Matemática, contudo a utilização desta temática nas escolas é inconstante e deveras debatida, visto que está dependente das perceções que cada pessoa possui. O conceito de problema é entendido de formas distintas por variados professores, assim cada um possui a sua ideia do que é um problema, acabando, em alguns casos, por confundir o conceito de problema com o de exercícios, abordando e explorando exercícios como se de problemas se tratasse. Deste modo, é importante referir as diferenças entre exercícios e problemas, bem como exibir, de uma forma destacada, as conceções de problema, pois, tal como refere Faria (2012), para os matemáticos, o significado de problema é por si só, um problema. Para Vieira (2008), não há conformidade de opiniões nas definições que são apresentadas por diversos investigadores, existindo vários significados para esta palavra. A conceção de problema sempre foi algo difícil de definir, sendo trabalhada pela primeira vez, de forma sólida, por Polya (2003).
Polya (2003) alude que ter um problema implica pesquisar conscientemente alguma ação apropriada para alcançar um objetivo claramente definido, mas não imediatamente atingível, referindo ainda que para haver problemas tem de haver dificuldade. Para Figueiredo (2005), um problema é “(…) um desafio, uma situação não resolvida, cuja resposta não é imediata, que
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resulta da reflexão e uso de estratégias conceptuais e procedimentos, provocando uma mudança nas estruturas mentais” (p. 8). Ainda Moreira (2008) menciona que um problema existe quando, perante o domínio de um nível da situação, desejamos alcançar um outro e não encontramos maneira de o fazer. Por sua vez, Pires (2001) também refere que um problema é uma atividade cujo objetivo é bem determinado, contudo a forma de resolução é desconhecida. Já na perspetiva de Ponte (2005) um problema é uma tarefa fechada, uma vez que os dados e o objetivo são nitidamente expostos, mas muito desafiante. Também o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 1991), salienta que
um problema genuíno é uma situação em que, para o indivíduo ou para o grupo em questão, uma ou mais soluções apropriadas precisam ainda de ser encontradas. A situação deve ser suficientemente complicada para constituir um desafio, mas não tão complexa que surja como insolúvel. (p. 11)
Um bom problema matemático deve ter algumas particularidades essenciais. Desta forma, o documento NCTM (2007) expõe que este deve ser problemático, através de algo que faça sentido e onde não se encontra integralmente visível o percurso para a solução, matematicamente desafiante e interessante, fortalecendo na criança o raciocínio e a criatividade na procura de estratégias para alcançar o resultado final. Por fim, deve ser adequado, possibilitando assim, ao aluno, relacionar o conhecimento que já possui, de maneira a que o novo conhecimento e as capacidades que cada um detém possam ser relacionadas e adequadas, permitindo-lhes concluir com sucesso as tarefas.
Com a dificuldade inerente em diferenciar problemas e exercícios, é essencial falar-se um pouco das caraterísticas de ambos.Polya (1995) afirma haver problemas rotineiros e problemas não rotineiros. Os primeiros requerem simplesmente a aplicação de regras conhecidas pelo aluno. Por sua vez, os problemas não rotineiros contribuem para o desenvolvimento intelectual do aluno, uma vez que exigem criatividade e originalidade por parte deste. Para Polya (1995), os exercícios são denominados por problemas rotineiros, considerando assim que apesar de estes serem úteis e necessários, não devem ser utilizados exageradamente no ensino-aprendizagem da matemática, ao contrário dos problemas não rotineiros, onde a sua utilização é recomendada pelo autor. De forma análoga, para Mayer (1992) muitas das tarefas que são intituladas como problemas, como os problemas rotineiros, não devem ser designados como tal, uma vez que nestes existe uma aplicação direta e eficaz de um procedimento já aprendido, ou seja, empregam-se procedimentos rotineiros e familiares, havendo apenas a prática de algo já estudado. Neste caso a tarefa servirá apenas para exercitar habilidades já adquiridas,
podendo-5
se chamar de exercícios. Contudo, um problema não rotineiro pode, sem qualquer dúvida, ser classificado como um problema, uma vez que o resolvedor não possui um procedimento conhecido para chegar à solução.
Também no Currículo Nacional do Ensino Básico – Competências Essenciais (DEB, 2001) é citado que
os problemas são situações não rotineiras que constituem desafios para os alunos e em que, frequentemente, podem ser utilizadas várias estratégias e métodos de resolução – e não exercícios, geralmente de resolução mecânica e repetitiva, em que apenas se aplica o algoritmo que conduz diretamente à solução. (p. 68)
Na perspetiva de Boavida, Paiva, Cebola, Vale e Pimentel (2008) quando a criança possui uma forma rápida de encontrar a solução, resolve a situação através de métodos conhecidos, repetitivos ou automatizados, que a levam de imediato à resposta correta, não se pode chamar de problema, mas sim de exercício. De acordo com Ponte (2005) um problema deve ter um certo nível de dificuldade, contudo, ao propor-se um problema, se este for extremamente difícil o aluno pode resignar de imediato ou nem o começar a resolver, mas se for excessivamente simples deixa de ser um problema e passa a ser considerado um exercício.
Ainda Vieira, Cebolo e Araújo (2006) defendem que uma situação poderá patentear-se como um exercício para uns e como um problema para outros, de forma análoga, o que poderá ser um problema para uma criança num nível de aprendizagem, poderá passar a um exercício num nível posterior. Desta forma, Dias (2013) considera que a diferenciação entre problema e exercício não depende apenas da tarefa que é sugerida, mas também da pessoa a quem se sugere. Ora, quando, por exemplo, dois alunos, em níveis distintos de aprendizagens, se deparam com uma situação que para a conseguir resolver terão de, por exemplo, aplicar o algoritmo da adição, o aluno que domina o algoritmo da adição vai conseguir resolvê-la confortavelmente a partir da aplicação de procedimentos rotineiros e familiares, sendo esta tarefa, para si, um exercício. Para o outro aluno que não conhece nem o conceito nem o algoritmo da adição, esta questão é seguramente um problema, pois não existe uma resposta imediata, e não há um processo mecanizado. Deste modo, Ponte e Sousa (2010) afirmam ainda que uma dada questão constituirá um problema ou um exercício para um dado indivíduo, conforme ele disponha, ou não, de um processo que lhe permita resolver rapidamente essa questão.
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Como conclusão, é essencial haver a diferenciação entre problema e exercício, tendo sempre em conta que a resolução de problemas deve ser central na vida escolar. Ora, ao propor-se problemas à criança, é relevante atentar que “o problema pode propor-ser modesto, mas propor-se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta” (Polya, 1995, p. V).
É ainda necessário frisar que adotei a ideia de problema defendido por Polya (2003), mencionada anteriormente. Ou seja, ter um problema implica haver uma pesquisa consciente para obter um objetivo claramente definido, mas não imediatamente atingível, onde para haver problemas tem de haver dificuldade. Para além deste conceito, também tive em conta que os problemas devem ser desafiantes, interessantes, problemáticos e adequados, tal como expõe o NCTM (2007). Finalmente, foi ainda considerado, em todo o trabalho, que tal como Vieira et al. (2006) defendem, uma situação poderá ser um exercício para uns e um problema para outros.
2.2. A resolução de problemas e a sua importância
Vários autores definem o conceito de resolução de problemas. De seguida apresentam-se algumas dessas definições.
Vale (2000) alude que um problema pode ser considerado como uma certa situação para a qual não se dispõe, desde logo, de um procedimento que lhe permita determinar a solução, sendo a resolução de problemas o conjunto de ações tomadas para resolver a situação. De modo similar, para Lester (1980) a resolução de problemas é um conjunto de ações levadas a cabo para cumprir uma tarefa. Por sua vez, Mason (1992) confirma que é a tentativa de resolver ou reformular questões não organizadas para as quais nenhuma técnica específica ocorre imediatamente à mente. Também para Dinis (2001) “Resolução de Problemas caracteriza-se por uma postura de inconformismo diante dos obstáculos e do que foi estabelecido por outros (…)” (p. 92).
A nossa sociedade apresenta-se em constante desenvolvimento, ora, deste modo, é necessário preparar a criança, desde tenra idade, para se inserir na comunidade. Para tal, é fundamental ajudá-la a desenvolver a capacidade de resolver diversos problemas que vão surgindo no dia-a-dia. Este desenvolvimento é algo necessário e indispensável, uma vez que a criança depara-se regularmente e desde cedo com a necessidade de resolver problemas, sendo que “nos primeiros anos, a maioria das situações problemáticas surgem das experiências vividas, quer na escola, quer fora dela” (NCTM, 1991, p. 29). Assim, ao longo da vida vão
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surgindo problemas dentro e fora da sala de aula e, muitas vezes, os problemas que aparecem no quotidiano da criança encaminham a problemas matemáticos simples, que podem ser explorados no estabelecimento de ensino.
Efetivamente, a partir da década de 80, os currículos começaram a dar importância à resolução de problemas, surgindo também no Programa de Matemática como uma capacidade transversal agregada ao raciocínio e à comunicação. Assim sendo, a resolução de problemas tem de ser tida em conta no meio escolar, apresentando então a escola um papel importante no desenvolvimento da capacidade de resolver problemas. Conforme alude Polya (2003), resolver problemas é a execução particular da inteligência, portanto se a educação não tem o cuidado de colaborar para a evolução desta, apresenta-se, evidentemente, incompleta. Este autor menciona que as escolas devem proporcionar problemas desafiantes, onde não seja suficiente a criança saber algoritmos, técnicas e conhecimentos factuais. O aluno deve ter na aula de matemática, tal como refere Vale (2000), contextos favoráveis à resolução de problemas, sendo-lhe assim dada a oportunidade de observar, imitar e, por fim, praticar a resolução de problemas, uma vez que
a resolução de problemas é uma habilitação prática como, digamos, o é a natação. Adquirimos qualquer habilitação por imitação e prática. (…) Ao tentarmos resolver problemas, temos de observar e imitar o que fazem outras pessoas quando resolvem os seus e, por fim, aprendemos a resolver problemas, resolvendo-os. (Polya, 1995, p. 3)
Assim sendo, é necessário ensinar os alunos a resolver problemas, utilizando pedagogias de ensino adequadas. Desta forma, a “ investigação realizada (…) sugere que «devagar e com dificuldade» é provavelmente a melhor forma de se fazer a aprendizagem da resolução de problemas” (Kilpatrick, 1985, p. 8). Polya (2003) valoriza a aprendizagem da resolução de problemas através do trabalho em grupo, sendo criados momentos de partilha e colaboração. Encorajar “(…) os alunos a escrever, a partilhar e a resolver os seus problemas” (Boavida et al., 2008, p. 27) são momentos cruciais na aprendizagem destes, criando-se assim situações ricas que serão fulcrais para o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas. Desta forma, as aprendizagens são mais relevantes se for dado ao aluno a “(…) oportunidade de discutir, argumentar, criticar, de interagir, com os colegas e com os professores de modo a haver uma partilha de ideias, de estratégias, de raciocínios, pensamentos matemáticos e desenvolver a capacidades de comunicação” (Monteiro & Sousa, 2008, p. 7).
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Esta prática de resolver problemas vai ajudar a desenvolver um combinado de capacidades cognitivas essenciais na vida do aluno, como o raciocínio e a comunicação. Ou seja, através da resolução de problemas “(…) o aluno terá oportunidade de, aplicando os seus conhecimentos e procedimentos na busca de uma solução para a situação proposta, desenvolver as suas estruturas cognitivas” (Figueiredo, 2005, p. 7). Deste modo, uma das capacidades cognitivas que o aluno pode desenvolver com a resolução de problemas é o raciocínio. Segundo Dewey (1910), é através do raciocínio matemático que se acede à compreensão de situações matemáticas, se analisa um problema sob diversos pontos e vista e, a partir da análise e do estabelecimento de relações, as ideias iniciais passam a hipóteses que originam a formulação de conjeturas. De forma análoga, com a resolução de problemas, se o aluno for estimulado a comunicar, pode também desenvolver a comunicação. “Quando o aluno se envolve no processo de explicar as suas ideias aos outros e com o objetivo de ser entendido, ele próprio pode sentir uma evolução nas suas compreensões” (Martinho, 2011, p. 52).
Ainda com a resolução de problemas, para além da criança usar os conhecimentos anteriores, vai adquirindo novos saberes e efetivando novas aprendizagens, sendo assim colocada numa postura ativa de aquisição, sendo ela a fazer as suas próprias investigações para conseguir encontrar a forma de resolver uma situação problemática, pois, segundo Oliveira (1993) são os sujeitos que têm de refletir sobre a situação, determinando assim quais os processos que são necessários utilizar. Então, quem resolve um problema é “(…) desafiado a pensar para além do ponto de partida, a pensar de modo diferente, a ampliar o seu pensamento e, por estas vias, a raciocinar matematicamente” (Boavida et al., 2008, p. 14). Para Polya (2003), a resolução de problemas permite aos alunos relacionar os conceitos matemáticos, generalizar e apurar a autenticidade destes.
Como se averigua, a resolução de problemas é fundamental na vida do aluno. Ora, é importante fazer com que este sinta gosto e satisfação durante a resolução de qualquer problema. Assim, os alunos têm de ser estimulados ao longo das aulas para perceber que um problema matemático “(…) pode ser tão divertido quanto um jogo de palavras cruzadas, ou que o intenso trabalho mental pode ser um exercício tão agradável quanto uma animada partida de tênis” (Polya, 1995, p. V). Se este tiver oportunidade de desfrutar destes sentimentos, se lhe for proporcionado o gosto pela resolução de problemas, com certeza que isto se irá tornar num “(…) num hobby, num instrumento profissional, a própria profissão ou uma grande ambição” (Polya, 1995, p. V).
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Finalmente, é crucial salientar que ao longo do trabalho a perspetiva da resolução de problemas abordada foi a de Vale (2000) que expõe que a resolução de problemas é o conjunto de ações tomadas para resolver uma situação. Juntamente com Polya (2003) que refere que a escola um papel importante no desenvolvimento da capacidade de resolver problemas, sendo que para resolver problemas não basta saber algoritmos, mas é essencial resolver problemas desafiantes. Desta forma, é necessário resolver para aprender e proporcionar ambientes propícios para tal. Foi ainda considerado que, tal como menciona Polya (2003), os alunos têm de perceber que a resolução de um problema matemático pode ser uma atividade divertida.
2.3. Modelos usados na resolução de problemas
Como tem sido estudado até ao momento, a resolução de problemas tem um lugar bem definido no ensino da matemática, desde o 1.º ciclo até ao ensino superior. Resolver um problema pode ser bastante complicado, contudo deve-se arranjar métodos de contornar os obstáculos que vão aparecendo. Ser perspicaz não é desistir perante a primeira oposição, mas sim tentar encontrar outras formas de solucionar as barreiras que, por vezes, até nos parecem ser impossíveis de ultrapassar. Como tal, existem diversos modelos para ensinar a resolver problemas, ajudando ainda os alunos a eliminar as dificuldades que sentem em resolvê-los (Dias, 2013). Seguidamente são apresentados alguns modelos existentes.
Polya (2003) começou por observar e refletir sobre o modo como ele próprio resolvia problemas, tentando estruturar os processos envolvidos nesta tarefa, tendo assim um trabalho muito fluente nesta área, sendo ele o primeiro a abordar, de forma consistente, a resolução de problemas na sala de aula. Com efeito, Polya (1995) afirma que a resolução de problemas possui quatro fases essenciais: compreensão do problema, estabelecimento de um plano, execução do plano, verificação dos resultados.
O autor considera que antes de se tentar encontrar uma solução para um problema é indispensável existir a compreensão do problema. “Os resultados podem ser drásticos se o aluno desatar a fazer cálculos ou outro tipo de actividades sem compreender o problema em causa” (Vieira, 2008, p. 8). Para comprovar a compreensão do problema por parte do aluno, pode-lhe ser solicitado que o reconte, por palavras suas. A compreensão do problema passa também pela identificação da incógnita, ou seja, o que é desconhecido, das condições impostas, bem como, considerar todos os aspetos relevantes para a resolução do mesmo. Polya alude
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também que nesta etapa tem de existir uma atenção particular sem que haja qualquer descuido ou desleixo, considerando que o sucesso de todas as fases seguintes depende do sucesso desta.
Posteriormente é preciso haver o estabelecimento de um plano, ou seja, para se chegar à solução é indispensável delinear um plano, refletindo nas experiências anteriores, investigando algo que se relacione com o problema em questão e que já tenha sido solucionado. Um plano é alcançado quando já se sabe quais os cálculos ou estratégias a usar para se conseguir obter a incógnita. Ou seja, de acordo com Polya considera-se que há um plano quando, ao menos em linhas gerais, é possível saber quais são os cálculos, construções, entre outros, que se devem efetuar para encontrar a solução do problema em causa. Esta etapa não é uma tarefa fácil requerendo bastante paciência por parte do resolvedor, podendo ser considerada como a que possui um maior grau de dificuldade, sendo que todo o percurso percorrido para chegar à determinação de um plano final pode ser longo e difícil. Ora, um aluno pode conseguir estabelecer mais facilmente e de forma gradual um plano que se revele eficaz, ou então este pode só surgir após diversas tentativas falhadas. Esta fase requer que o aluno tenha adquirido algumas competências, tais como a “criatividade, hábitos mentais, concentração nos objetivos, conhecimentos e experiência” (Pereira, 2012, p. 16), sendo que a existência ou a falta destas, irá influenciar, positiva ou negativamente, na resolução do problema. Contudo, Polya é consciente de que estas competências são entendidas e amplificadas com os momentos que têm para resolver problemas, referindo ainda que para se conseguir conceber um plano é preciso “(…) além de conhecimentos anteriores, de bons hábitos mentais e de concentração no objetivo, mais uma coisa: boa sorte” (Polya, 1995, p. 8).
Na execução de um plano realizam-se todos os passos e procedimentos estabelecidos anteriormente, com o objetivo de alcançar a solução do problema, contudo caso não se chegue à solução, volta-se à fase do estabelecimento de um plano. Polya (1995) alerta que se for o próprio aluno a criar o plano, mesmo tendo alguma ajuda, terá maior facilidade e segurança na execução desta fase e só muito dificilmente o esquecerá. Contudo, se o aluno executar um plano que apenas aceitou por influência do professor, poderá ter mais dificuldades em fazê-lo e muito provavelmente irá esquecê-lo.
Finalmente é imprescindível haver a verificação dos resultados, ou seja, a averiguação e discussão do resultado alcançado, criando-se uma revisão da resolução feita. Na verificação da resolução concluída, tem-se de confirmar se o resultado obtido corresponde à incógnita. Esta fase é, muitas vezes, esquecida até mesmo pelos melhores alunos, sendo que quando
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encontram a solução do problema, dão-no de imediato por terminado, não voltando a olhar para ele. Ao longo desta etapa é imprescindível perceber se, observando o raciocínio desenvolvido, há uma outra maneira/estratégia de se chegar à mesma solução, bem como, tentar aplicar os métodos utilizados naquela situação a outros problemas, sendo assim feita uma relação do problema em questão com outros. Deste modo, Polya (1995) considera esta última fase como sendo deveras importante, uma vez que é feita uma revisão do percurso percorrido até encontrar a solução, a consolidação e o aprofundar do conhecimento, a identificação das dificuldades, bem como, todos os processos utilizados para as eliminar.
Polya (1995) salienta que todas as etapas do seu modelo são importantes, e permitem à criança obter uma aprendizagem autêntica, não se baseando na aplicação de meros procedimentos mecanizados. É crucial ressalvar que apesar do autor criar e expor as quatro fases que considera essenciais, ele nunca quis conceber fórmulas ou procedimentos inflexíveis de resolução de problemas, mas sim, alia a resolução de problemas “(…) a uma arte que envolve a motivação, criatividade e descobertas” (Pereira, 2012, p. 26). Um aluno até pode ser empenhado e dedicado, seguir todas as fases deste modelo apresentado e, mesmo assim, não conseguir uma resolução correta. Então, tem de voltar a fazer tudo de novo, compreender melhor o problema e estabelecer um novo plano ou, em alternativa, comparar a um outro problema já resolvido semelhante ao atual, tentando assim obter alguma conclusão fiável que lhe permita resolver corretamente o problema em questão.
Ao longo das diferentes fases de resolução de problemas propostas por Polya (1995), existem algumas questões que podem ser utilizadas para permitir ao aluno uma melhor compreensão de cada uma das etapas. Assim, tal como o autor refere, o professor tem de envolver os alunos na resolução de problemas, auxiliando-os nesse percurso, quando necessário, por meio de indagações estimulantes. Deste modo, deve colocar várias questões ao aluno e fornecer-lhe sugestões, na medida em que o ajude a colmatar as dificuldades e a quebrar barreiras que surjam durante as resoluções, tendo sempre em consideração a etapa que se encontra, permitindo que este descubra, por si próprio, a resposta correta.
Então, e de acordo com Polya (1995), na tabela 1 estão presentes alguns exemplos de possíveis questões.
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Tabela 1 - Possíveis questões e sugestões para auxiliar nas diferentes fases de resolução de problemas
Compreensão do
problema Elaboração de um plano Execução do plano Verificar a solução
Qual é a incógnita? Quais são os dados?
Qual é a
condicionante?
É possível satisfazer a condicionante?
Já viu este problema
antes ou algum
semelhante?
Está a usar todas as condições?
Consegue encontrar
relações entre a incógnita e os dados?
Invente um novo
problema que envolva a mesma incógnita.
Mude o problema
escrevendo-o de uma forma diferentes.
Averigue se todos os passos estão certos. Consegue averiguar e explicar claramente que todos os passos utilizados são genuínos? O resultado obtido é exequível? É capaz de justificar claramente a solução encontrada? É capaz de chegar ao mesmo resultado através de um método distinto? O que é que aprendeu com o problema que possa aplicar na resolução de futuros problemas?
Polya (1995) elucida que o professor ao colocar estas questões ao aluno deve ter em conta que com o tempo deverá ser ele a colocá-las a si próprio, no momento apropriado, realizando a operação mental associada. Também em Monteiro e Sousa (2008) se encontram estruturadas, em cada uma das fases, diversas questões, existindo assim uma organização semelhante à da tabela 1 mencionada anteriormente. Os autores elucidam que a organização permite sistematizar os processos envolvidos na resolução de problemas.
Segundo um outro autor, Fernandes (2000), investigadores Suecos analisaram e exploraram as etapas de resolução de problemas e detetaram que há cinco fases: compreensão do problema, tratamento dos dados, planeamento, execução do plano e controlo.
Na compreensão do problema é valorizada a leitura atenta e cuidada do enunciado, assim como a sua boa interpretação. De seguida ocorre o tratamento de dados, onde surge uma seleção e uma análise ponderada dos dados fornecidos no enunciado, formulando de uma forma mais clara e explicita o problema. Logo depois sucede-se o planeamento, onde é esperado que haja o estabelecimento de um plano, seguindo-se a execução do plano, sendo que nesta etapa são colocados em prática todos os processos planeados para a resolução do problema. Por fim, vem a fase do controlo em que é verificada a solução encontrada, assim como todos os procedimentos utilizados e são ainda planeadas diferentes formas de resolver o problema e procuradas novas soluções.
Entre os dois modelos apresentados é possível comprovar que o último apenas possui um passo que no do Polya não está contemplado de forma clara: o tratamento de dados. Este não
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se encontra patente no modelo de Polya de forma explícita, uma vez que está englobado, implicitamente, na primeira fase: a compreensão do problema. Ora, para o aluno chegar ao entendimento do problema, tem de identificar e tratar os dados existentes neste.
Tendo por base o modelo de Fernandes, anteriormente apresentado, Vieira (2008) menciona que, segundo investigadores e professores, os alunos dividem o tempo, ao longo da resolução de problemas, tal como se apresenta na figura 1. O número 1 representa a etapa da compreensão do problema, o 2 o tratamento dos dados, o 3 o planeamento, o 4 a execução do plano e, por fim, o 5 o controlo.
Figura 1 - Divisão do tempo dos alunos nas etapas de resolução de problemas
Porém, para Vieira (2008), para os alunos obterem bons resultados e serem cada vez melhores na resolução de problemas, o tempo despendido nas diversas fases deveria ser como o que se encontra na figura 2. Na primeira fase o aluno deve despender mais tempo do que na segunda e na quarta, visto que, tal como considera Polya (2003), o sucesso de todas as fases seguintes depende do sucesso desta, ora é crucial para uma resolução com sucesso haver compreensão do problema. Seguidamente, a terceira fase requer também mais tempo, pois, de segundo Pereira (2012), é nesta que são despoletados os caminhos ou processos para resolver um problema, havendo a delineação de um plano. Então, se o plano delineado não for eficaz, a resolução do problema não será bem conseguida. Por fim, ainda na quinta fase o aluno deve abdicar de mais tempo, pois, de acordo com Polya (1995), aqui é feita uma consolidação dos conhecimentos, obrigando o aluno voltar atrás e verificar todos os passos e resultados obtidos, permitindo-lhe assim perceber bem o que fez e resolver mais facilmente, no futuro, um problema semelhante.
Figura 2 - Divisão do tempo que seria esperada pelos alunos para a resolução de problemas
Considerando as figuras apresentadas por Vieira (2008), há alguma unanimidade no que tem falhado ao longo da resolução de problemas nos dois modelos apresentados precedentemente. Ora, no modelo de Fernandes, de forma semelhante com o que se verifica no
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modelo de Polya, tal como alude Pereira (2012), o que tem fracassado mais são a primeira e a última fase.
Existem ainda muitos outros modelos, sendo alguns desses expostos seguidamente, contudo nenhum deles é uma elucidação de como um aluno com êxito raciocina. Tal como refere Polya (1995), se o professor selecionar o modelo que considere como sendo o mais adequado para a sua turma e se instruir a criança a seguir conscientemente e sequencialmente as fases, poderá ajudá-la a ter êxito na resolução de problemas.
No modelo apresentado por Sternberg (1997), a resolução de problemas é vista como um ciclo de seis passos, sendo utilizada a palavra “ciclo” uma vez que o autor considera que a solução de um dado problema é, normalmente, o suporte para a solução de um outro problema. Os seis passos são: reconhecimento do problema, definição do problema, estabelecimento de uma estratégia de resolução do problema, representação da informação, atribuição de recursos e ainda, monitorização e avaliação. Estes podem não suceder no prosseguimento apresentado antes, mas o autor alude que é muito provável que se atravesse cada um deles.
O reconhecimento do problema pode ser definido como sendo o passo mais relevante, “uma vez que só será feito um esforço por quem deverá resolver o problema após o seu reconhecimento” (Teixeira, 2013, p. 20). A definição do problema aparece uma vez que existe um problema é indispensável defini-lo/compreendê-lo de forma correta. Uma má interpretação do problema leva a uma resolução mal direcionada, não sendo atingindo o seu objetivo inicial de resolução, ou seja, não se chega à solução correta. Assim, o autor alerta para a importância de se investir o tempo suficiente na definição do problema. O estabelecimento de uma estratégia de resolução do problema diz respeito à etapa onde são determinados os processos a utilizar para ajudar a atingir a solução. Na representação da informação tem de ocorrer uma perceção e um planeamento mental da informação pertinente. Seguidamente, na atribuição de recursos surge a escolha dos recursos a atribuir. Se houver uma favorável atribuição dos recursos, aumenta a probabilidade de se resolver com sucesso o problema. Existem inúmeros recursos, podendo ser, por exemplo, o tempo ou a concentração durante a leitura de um enunciado. Finalmente, a última fase diz respeito à monitorização e avaliação. A monitorização é explicada como sendo o acompanhamento das evoluções ao longo do progresso da resolução do problema, onde este acompanhamento possibilita perceber se a resolução feita se está a aproximar da solução. Após ser alcançada uma solução, é preciso avaliá-la para se tentar perceber se está certa ou errada, podendo ser uma avaliação imediata ou feita passado algum tempo.
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Por fim, de acordo com o Programa de Matemática para o Ensino Básico (MEC, 2013), existem etapas que são cruciais para uma efetiva resolução de problemas e que podem ser importantes para ajudar a colmatar algumas dificuldades que as crianças sentem. Contudo, o programa diferencia-se um pouco do que tem vindo a ser falado e defendido até então, uma vez que este realça, durante a resolução de problemas, a aplicação de regras e procedimentos mecanizados. Deste modo, para o Programa de Matemática para o Ensino Básico (MEC, 2013)
a resolução de problemas envolve, da parte dos alunos, a leitura e interpretação de enunciados, a mobilização de conhecimentos de factos, conceitos e relações, a seleção e aplicação adequada de regras e procedimentos, previamente estudados e treinados, a revisão, sempre que necessária, da estratégia preconizada e a interpretação dos resultados finais. (p. 5)
Nos vários modelos que existem, o de Polya (1995) é considerado como sendo o mais representativo, tal como refere Teixeira (2013). Para além disso, este modelo “(…) permite aos alunos uma organização sequencial da informação facilitando o processo de resolução” (Gomes & Dias, 2013, p. 225), sendo assim uma mais-valia para quem manifesta dificuldades na resolução de problemas. Como tal, o modelo de Polya foi o escolhido para acompanhar os alunos na resolução de problemas.
2.4. Tipos de problemas
Regra geral, os problemas estão agrupados em categorias diferenciadas, com o objetivo de, tal como refere Pinto (2010), ajudar quem aprende a resolver problemas e apoiar na seleção de quem os ensina, pois com a categorização dos problemas já é mais fácil perceber quais os mais adequados para explorar a perspetiva de resolução de problemas que é pretendida. Uma das tipologias existentes é a defendida por Charles e Lester (1986). A classificação utilizada pelos autores tem “(…) a ver com o público a que se destina e também com as concepções pessoais do professor em relação à natureza dum problema de matemática e à sua resolução de problemas” (Vale & Pimentel, 2004, p. 19). Charles e Lester (1986) classificam os problemas em cinco tipos: problemas de um passo, de dois ou mais passos, de processo, de aplicação e tipo puzzle, considerando que um mesmo problema poderá encaixar-se em mais do que um dos tipos.
Os problemas de um passo são os que se podem resolver através da utilização direta de uma das quatro operações básicas da aritmética. Nestes o aluno terá de utilizar diversas estratégias para perceber qual a operação correta. Por sua vez, os problemas de dois passos
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podem-se resolver através da utilização direta de duas ou mais das quatro operações básicas da aritmética. Existem ainda os problemas de processo que não podem ser resolvidos através da aplicação de um conteúdo ou um algoritmo aprendido anteriormente que possa ser usado. Estes problemas são desafiadores e exigem que haja processos complexos de pensamento. Desta forma, são considerados como sendo os mais apropriados para serem utilizados nas aulas. Ainda os problemas de aplicação requerem, geralmente, uma recolha de dados sobre a vida real e a tomada de decisões. Por vezes é necessário aplicar uma ou mais estratégias de resolução, bem como empregar uma ou mais operações. Por fim, os problemas tipo puzzle “são problemas que necessitam como que de um “flash” para chegar à solução” (Vale & Pimentel, 2004, p. 19). Para além de despertarem o interesse no aluno, ajudam-no a ver os problemas segundo diversas perspetivas.
A tipologia de problemas de Charles e Lester (1986) exibida anteriormente “(…) tem-se mostrado suficiente para a categorização dos problemas a utilizar com os alunos do primeiro ciclo” (Vale & Pimentel, 2004, p. 19). Para além desta, existem ainda muitas outras. A apresentada por Fernandes, Lester, Borralho e Vale (1997) é considerada como sendo mais ampla do que a defendida pelos dois autores. Nesta tipologia, à semelhança da anterior, não se supõem que os problemas estejam englobados num e apenas num dos tipos, podendo o mesmo problema inserir-se em mais do que uma das categorias. Ao contrário do que expõe Charles e Lester (1986), não são contemplados os problemas tipo puzzle, surgindo então uma repartição em quatro tipos de problemas: de processo, de conteúdo, de aplicação e de aparato experimental.
Fernandes et al. (1997) intitulam os problemas de processo como os que muito dificilmente se resolvem com a aplicação direta de um algoritmo, ou seja, é importante a utilização de estratégias de resolução de problemas. Podem não estar relacionados com os conteúdos programáticos, mas, em caso afirmativo, a sua resolução pode apenas necessitar de conhecimentos básicos de aritmética e geometria e não da aplicação direta dos conteúdos programáticos. Consideram como problemas de conteúdo aqueles que requerem a utilização de conteúdos programáticos, conceitos, definições e técnicas matemáticas. Sem estes, a resolução torna-se complicada. No que diz respeito aos problemas de aplicação, são utilizados dados da vida real que podem ser já fornecidos, ou então recolhidos pelo sujeito que resolve. Nesta situação, a análise de dados irá influenciar a tomadas de decisões, sendo este um procedimento crucial neste tipo de problemas. Estes são ainda problemas que requerem a utilização de uma ou
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mais estratégias de resolução e que podem possuir várias soluções, podendo a sua resolução demorar várias horas ou até dias. Finalmente, nos problemas de aparato experimental para se encontrar a solução é indispensável a utilização de métodos de investigação próprios das ciências experimentais (planificar, organizar e interpretar dados, contar, pesar, medir). Para resolver problemas destes é imprescindível a realização de um aparato experimental, pois de outra forma a resolução complica-se.
Há ainda a tipologia de Palhares (1997) onde este defende que se deve considerar “a intenção pedagógica do formulador, do apresentador ou do investigador e do seu conhecimento acerca da classe de indivíduos a que se destina o problema”, uma vez que o enunciado de um mesmo problema pode ser “de um tipo para uma determinada classe, de outro tipo para outra classe, ou não ser mesmo problemas para outros indivíduos” (p. 167). Assim, este autor considera sete tipos de problemas: de processo, de conteúdo, de capacidade, de tipo puzzle, de aplicação, de aparato experimental e abertos.
Se por um lado os problemas tiverem como objetivo a utilização de estratégias de resolução, não havendo a aplicação de um conteúdo ou algoritmo anteriormente estudado, são designados como problemas de processo, por outro lado, se os problemas necessitarem da utilização de conhecimentos matemáticos alcançados há muito pouco tempo ou ainda não adquiridos totalmente, intitulam-se por problemas de conteúdo. Aqueles problemas que necessitam do uso de capacidades matemáticas designam-se por problemas de capacidades. Nestes, tal como menciona o autor, faz mais sentido apelidar o problema conforme a dificuldade existente, como por exemplo, problema de cálculo ou estimativa. Os problemas que requerem o alargamento do espaço de resolução e do pensamento, ou seja, os problemas tipo puzzle e os que exigem a recolha e tratamento de informação são os problemas de aplicação. Nestes, por vezes é preciso o uso de uma ou mais estratégias de resolução. Por sua vez, os problemas de aparato experimental necessitam da criação de esquemas investigativos, possibilitando desenvolver habilidades que outros problemas não possibilitam. Finalmente, os problemas abertos requerem a escolha refletida entre vários caminhos possíveis.
Durante toda a investigação utilizei a tipologia de Palhares (1997), pois esta acaba por ser uma compilação das tipologias anteriores, uma vez que aborda os tipos de problemas mencionados nas tipologias anteriores, acrescentando ainda um novo tipo, os problemas abertos. Assim considerei que era a mais indicada e a mais completa para ser trabalhada com os alunos. Foi também tido em conta que, tal como alude Palhares (1997), um mesmo problema pode, de
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acordo com a intenção pedagógica e o conhecimento do investigador sobre o grupo de alunos a quem se destina, ser classificado de diferentes maneiras.
2.5. Estratégias de resolução de problemas
Tal como refere no documento NCTM (1991) a criança necessita de possuir um KIT de ferramentas matemáticas que a pode ajudar a resolver problemas. Assim, cada problema possui uma tipologia, mas para o resolver pode-se usar várias estratégias, sendo então relevante que o aluno conheça as diferentes estratégias para poder escolher a mais adequada ao problema que está a resolver e, posteriormente, aplicá-la. Ora, entende-se por estratégia “(…) um conjunto de técnicas a serem dominadas pelo solucionador e que o ajudam a atacar o problema ou a progredir no sentido de obter a sua solução” (Vale & Pimentel, 2004, p. 24).
Embora na literatura existam diversas estratégias, refiro apenas as presentes em Vale e Pimentel (2004), sendo estas as exploradas em todo o trabalho. Assim, os autores consideram importante descobrir um padrão/descobrir uma regra ou lei de formação, fazer tentativas/fazer conjeturas, trabalhar do fim para o princípio, usar a dedução lógica/fazer eliminação, reduzir a um problema mais simples/decomposição/simplificação, fazer uma simulação/fazer uma experimentação/fazer uma dramatização, fazer um desenho, diagrama, gráfico ou esquema, fazer uma lista organizada ou fazer uma tabela.
Então, a primeira estratégia consiste em descobrir um padrão/descobrir uma regra ou lei de formação, centrando-se em certos passos do problema, sendo a solução obtida através de generalizações de soluções específicas. A estratégia seguinte baseia-se em fazer tentativas/fazer conjeturas e é esperado que se se “adivinhe” a solução, considerando a informação fornecida no enunciado, e que se confirme ou não as condições do problema. Tal como alude Polya (1995), o aluno tem de aprender a descobrir a solução do problema através de diversas tentativas e hipóteses “inventadas”, tendo por base o que é considerado correto para o resolver, sendo, posteriormente, tudo verificado. Seguidamente vem a estratégia trabalhar do fim para o princípio, onde, contrariamente ao habitual, começa-se pelo fim para se alcançar a solução, ou então pelo que se quer provar. É ainda possível usar a dedução lógica/fazer eliminação. Nesta todas as hipóteses são tidas em conta, eliminando-se, uma a uma, as que são consideradas como não sendo possíveis. Com a estratégia de reduzir a um problema mais simples/decomposição/simplificação é resolvido um caso particular de um problema para ajudar na compreensão e na resolução do problema inicial. Podem ainda fazer uma simulação/fazer
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uma experimentação/fazer uma dramatização, sendo que com esta estratégia é pretendido que se utilize objetos, elabore modelos ou se produza uma dramatização que traduza o problema a ser resolvido. Por fim, é ainda exequível fazer um desenho, diagrama, gráfico ou esquema, onde se tira partido das caraterísticas do desenho para ajudar na resolução de um problema e fazer uma lista organizada ou fazer uma tabela, podendo esta estratégia utilizar-se como forma de apresentar, organizar ou guardar a informação.
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CAPÍTULO III
METODOLOGIA
Com a minha investigação pretendia perceber quais as dificuldades que os alunos possuíam, ao resolver problemas, nas diferentes fases do modelo de Polya, assim como trabalhar no sentido de as eliminar. Então, durante o estudo, procurei responder às seguintes questões:
Q1- Como é que os alunos resolviam os problemas?
Q2- Que dificuldades é que os alunos evidenciavam durante a resolução de problemas? Q3- Como é que os alunos evoluíram ao longo da intervenção pedagógica na sua capacidade de resolução de problemas?
Este capítulo está organizado em sete pontos. No primeiro apresenta-se e fundamenta-se a metodologia seguida neste estudo. No ponto seguinte há a caraterização da escola, ou seja, do contexto onde foi desenvolvido o trabalho de investigação, bem como dos seus participantes, neste caso, os alunos da turma onde ocorreram as intervenções de ensino. Ainda neste ponto existe uma breve justificação do contexto de intervenção, visto que o estágio foi realizado em dois ciclos, contudo o estudo só incide num desses, o 1.º Ciclo. Logo depois aparecem discriminadas e também devidamente justificadas as pedagogias de ensino utilizadas. Seguidamente encontram-se expostos os instrumentos de recolha usados ao longo das intervenções com o intuito de realizar a investigação, bem como a explicação e objetivo da utilização de cada um. Num outro ponto estão presentes todas as fases percorridas para realizar o trabalho, seguindo-se da apresentação das categorias da análise dos dados. Finalmente surge o da exploração detalhada das intervenções.
3.1. Opções metodológicas
Para a execução do meu projeto utilizei uma metodologia de investigação-ação de cariz qualitativo.
A investigação qualitativa sustenta-se na recolha de dados por parte dos investigadores, onde interagem “(…) com os sujeitos de forma “natural” e, sobretudo, discreta” (Carmo & Ferreira, 2008, p. 198), tentando assim diminuir e controlar os efeitos que podem aparecer nos sujeitos de investigação aquando a intervenção do investigador. A investigação qualitativa possui cinco características:
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(…) a fonte directa dos dados é o ambiente natural, constituindo o investigador o instrumento principal; a investigação qualitativa é descritiva. Os dados recolhidos são em forma de palavras ou imagens e não números; os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do que propriamente pelos resultados ou produtos; os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma indutiva; o significado é de importância vital (…). Os investigadores (…) refletem uma preocupação com o registo tão rigoroso quanto o possível do modo como as pessoas interpretam os significados. (Bogdan & Biklen, 1994, p. 47-51)
Relativamente à investigação-ação, Latorre (2003) menciona que esta estabelece um desafio para os profissionais de educação que querem colaborar para o progresso das práticas educativas. Ora, é cada vez mais necessário o professor assumir um papel de investigador nas suas práticas, pois a investigação possibilita uma maior compreensão destas, conseguindo, deste modo, tal como afirma Dias (2013), contribuir para a melhoria e inovação do contexto educativo.
Elliott (1991) também se pronuncia sobre a investigação-ação constatando que pode ser definida “(…) como o estudo de uma situação social no sentido de melhorar a qualidade da ação que nela decorre” (p. 69). Ainda para Bogdan e Biklen (1994), esta metodologia baseia-se na recolha constante de informações, onde os investigadores atuam como cidadãos com vista a fomentar mudanças sociais, fundamentando-se nas suas crenças. Por sua vez, Kemmis e McTaggart (1992) defendem que esta metodologia é considerada um processo participativo e colaborativo e que surge, normalmente, quando se procura esclarecer preocupações que são, regra geral, partilhadas por um grupo. Estes autores ainda mencionam que “investigação-ação significa planificar, atuar, observar e refletir mais cuidadosamente, mais sistematicamente e mais rigorosamente do que aquilo que fazemos todos os dias” (p. 16). Por fim, Máximo-Esteves (2008) constata que a investigação-ação é um método dinâmico, interativo e flexível, sendo assim suscetível aos reajustes que podem ser necessários aquando da implementação de um projeto.
A investigação-ação desenrola-se a partir de uma espiral de ciclos, que intercala a ação e a reflexão crítica, nomeadamente, planear com flexibilidade, agir, refletir, avaliar/validar e dialogar desenvolver (Fischer, 2001, citado por Máximo-Esteves, 2008, p. 82). Esta espiral de ciclos referida pode também ser representada no esquema de Latorre (2003, p. 21) representado na figura 3.
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Figura 3 - Fases fundamentais da intervenção
Como se averigua com a figura 3, o processo de investigação-ação não se restringe a um único ciclo, repetindo-se a sequência de fases ao longo do tempo. Deste modo, primeiramente realizei uma observação, reflexão e avaliação sobre a minha prática e sobre os meus alunos, reconhecendo o desempenho e as dificuldades que estes apresentavam.
Numa fase seguinte efetuei um planeamento flexível e contextualizado com a realidade, que correspondeu às inquietações que surgiram, proporcionando, deste modo, uma evolução gradual das aprendizagens e capacidades dos alunos.
Seguidamente agi de forma ativa e dinâmica para a investigação do projeto, colocando em prática tudo o que ficou planeado anteriormente e tendo em consideração o resultado das várias pesquisas que foram realizadas no contexto prático.
Após a ação surgiu a reflexão e uma avaliação/validação das observações e dos registos realizados. Foi feita uma reflexão das intervenções, onde observei, refleti, analisei e avaliei a minha prática e os dados recolhidos. Foi essencial conversar com outras pessoas críticas com o intuito de encontrar um sentido para a análise, valorizando isto todo o processo.
Por último, aconteceu o diálogo onde surgiu a partilha das ideias e interpretações, de forma a dar a conhecer o meu trabalho a outros profissionais.
3.2. Contexto de intervenção
3.2.1. Caraterização da escola do 1º Ciclo
A escola do 1.º Ciclo situa-se no centro de Vila Nova de Famalicão, distrito de Braga. Pertence a um agrupamento vertical que agrupa desde jardins-de-infância, a escolas do 1.º, 2.º e 3.º Ciclo. Encontra-se no concelho de Vila Nova de Famalicão, situando-se, geograficamente, na região do baixo Minho. Este é um dos catorze municípios que integra o distrito de Braga, é composto por quarenta e oito freguesias, possuindo ainda uma área de, aproximadamente, 200 km2 e uma população de mais de 133.000 habitantes.
