CAPÍTULO II
CIRCUITOS ELÉCTRICOS
2.1. INTRODUÇÃO
A matéria é constituida por moléculas, que por sua vez são compostas por átomos. No estado de energia mínima, os átomos são neutros dado que:
• O número de protões do núcleo do átomo é igual ao número de electrões que giram em órbitras à volta do núcleo;
• O centro de carga positiva coincide com o centro de carga negativa.
A matéria pode ser electrizada, utilizando um dos seguintes processos: atrito,
condução e influência eléctrica. Um corpo está electrizado positivamente ou negativamente
consoante possui um défice ou um excesso de electrões.
Uma carga eléctrica q, em repouso, cria em todos os pontos do espaço um campo vectorial designado por campo eléctrico. Este campo define-se como a força que se exerce sobre a unidade de carga positiva colocada em cada ponto do espaço1.
Quando a carga eléctrica está em movimento dá também origem a uma corrente
eléctrica que, por sua vez, cria um novo campo vectorial, o campo magnético2. Os campos
eléctrico e magnético, a carga e a corrente eléctrica estão relacionados através das Equações de Maxwell, de que falaremos num outro capítulo.
1 Este campo vectorial: (i) tem a direcção da linha que une os pontos onde medimos o campo eléctrico e onde
está localizada a carga; (ii) está dirigido para a carga ou para fora, consoante a carga seja negativa ou positiva; e (iii) o seu módulo é dado por
E=q / 4πεr2
em que ε é a constante dieléctrica do meio e r representa a distância do ponto onde medimos o campo à carga que o cria.
2 Este campo vectorial é definido por
2 4 / r r v q B =µ × π
em que ré o vector definido pelos pontos onde está a carga e onde medimos o campo magnético, µ é a permeabilidade magnética do meio e o simbolo x representa o produto externo de dois vectores.
As correntes eléctricas são conduzidas, com facilidade, pelos electrões livres da estrutura cristalina dos metais. Em especial, o ouro, a prata e o cobre são bons condutores eléctricos3. No extremo oposto, existem substâncias como a baquelite que são bons isolantes, já que não conduzem a energia eléctrica.
2.2. CORRENTE ELÉCTRICA 2.2.1. Introdução
Uma corrente eléctrica é constituida por um fluxo ordenado de cargas eléctricas. Normalmente associamos a noção de corrente aos condutores eléctricos. Contudo, o feixe de electrões do monitor clássico4 de um computador ou o feixe de iões carregados de um acelerador de partículas também são correntes eléctricas.
Os condutores eléctricos possuem um número elevado de electrões livres que, em geral, se movem aleatoriamente (Figura 2.1a).
Para que o condutor seja percorridopor uma corrente eléctrica, ou seja, para que exista um movimento ordenado dos electrões livres, é preciso que ele fique sujeito à acção de um campo eléctrico (Figura 2.1b). Este campo é criado pela tensão aplicada aos terminais do condutor e vai acelerar todos os electrões livres do condutor na direcção oposta à sua propria direcção5. Os electrões vão entretanto perder alguma energia devido às suas colisões com os protões do condutor. Do balanço final resulta que os electrões livres adquirem uma velocidade adicional vd, a qual é responsável pela criação da corrente eléctrica que percorre o condutor.
Figura 2.1 – Condutor eléctrico isolado e percorrido por uma corrente eléctrica
3 Os condutores eléctricos vulgares são feitos em cobre devido a sua boa relação preço/qualidade. 4 Hoje existem monitores que não possuem tubos de raios catódicos.
5 Uma carga eléctrica q imersa num campo eléctrico E fica sujeita a uma força F =qE . Quando um electrão
e um protão são sujeitos à acção de um campo eléctrico, como a massa do protão é muito maior que a do electrão, esta partícula move-se muito mais que o protão que, no limite, podemos considerar que está em repouso.
2.2.2. Intensidade da corrente eléctrica
A intensidade da corrente eléctrica que percorre um condutor é o quociente entre a quantidade de carga que passa numa secção do condutor (∆Q) pela duração do intervalo de tempo em que foi feita a observação (∆t).
I =∆Q/ ∆t (2.1)
No limite, quando a duração do intervalo tende para zero, a expressão anterior reduz-se a6:
Ι = dQ/dt (2.2) A carga ∆Q que passa numa secção de um condutor eléctrico num intervalo de tempo ∆t é dada por (Figura 2.2):
∆Q=q n A vd ∆t (2.3) em que q é a carga do electrão, n é a densidade dos electrões livres e A é a área da secção transversal do condutor. Substituindo (2.3) em (2.1) obtemos:
I = q n A vd (2.4)
Figura 2.2 – Condutor percorrido por uma corrente eléctrica
A intensidade da corrente mede-se em Ampère (A)7. Um Ampère é a intensidade da corrente que percorre um condutor eléctrico quando 1 Coulomb (C)8 atravessa uma secção do condutor num segundo.
Em electricidade são muito usados alguns múltiplos e sub-múltiplos das unidades, contruídos a partir da unidade base e dos prefixos giga, mega, kilo, mili, micro, nano e pico (Tabela 2.1). Assim, por exemplo,
1.2 MA = 1.2×106 A 3.5 nA = 3.5×10-9 A
6 Pela definição de derivada.
7 Neste livro vamos adoptar o Sistema Internacional (SI) de unidades. 8 O Coulomb é a unidade de carga eléctrica do Sistema Internacional.
Múltiplos Sub-Múltiplos Tera 1 t = 1012 Mili 1 m = 10-3
Giga 1 G =109 Micro 1 µ = 10-6 Mega 1 M =106 Nano 1 n = 10-9 Kilo 1 k =103 Pico 1 p = 10-12
Tabela 2.1. Múltiplos e Sub-Múltiplos das Unidades
Problema 2.1 – Considere um fio de cobre com um raio de 0.815 mm. Calcule: a) A densidade de electrões livres, admitindo que há um electrão livre por átomo. b) A velocidade de deriva dos electrões que conduzem uma corrente de 1 A. Resolução
a) Como admitimos que existe um electrão livre por átomo, a densidade de electrões livres (nd) é igual à densidade de átomos (na).
A densidade de átomos calcula-se através da formula
M A N m a n = ρ
em que ρm representa a densidade de massa, NA é o Número de Avogadro e M é a massa molecular. Para o cobre obtemos 3 28 10 47 . 8 / 5 . 63 ) / 23 10 02 . 6 )( 3 / 93 . 8 ( − × = × = = m molécula g molécula átomos cm g a n d n
b) A velocidade de deriva dos electrões calcula-se através da expressão
nqA I vd =
que conduz ao seguinte resultado
1 5 10 54 . 3 × − − = ms d v
Problema 2.2 – Determine o tempo que um electrão leva desde a bateria de um carro até ao motor de arranque, supondo que estes dois componentes estão ligados por um fio de cobre de comprimento 1 metro e que a velocidade de deriva é de 3.5x10-5 m/s. (Solução: 7,9 horas)9.
9 Felizmente, quando ligamos o motor não temos de esperar 7 horas até que o carro comece a andar. De facto,
quando ligamos o motor, a bateria aplica instantaneamente um campo eléctrico no interior do fio de cobre, o qual vai ordenar o movimento de todos os electrões livres do cobre, sendo os electrões de uma dada secção substituidos pelos electrões da secção contígua; os electrões da extremidade junto ao motor de arranque passam para este componente enquanto os electrões da bateria transitam para a secção do condutor que está ligada ao pólo da bateria.
2.2.3. Tipos de correntes
As correntes eléctricas que percorrem os condutores podem ter o mesmo valor em todos os instantes de tempo (correntes contínuas) ou variarem ao longo do tempo (correntes
variáveis). As correntes contínuas têm sempre o mesmo sentido (correntes directas (DC10)),
enquanto as correntes variáveis no tempo podem ter sempre o mesmo sentido ou variarem de sentido ao longo do tempo (correntes alternadas (AC11)).
Embora a maioria dos aparelhos eléctricos funcione com corrente contínua, os distribuidores de energia eléctrica fornecem-na na forma de corrente alternada sinusoidal12. Este facto é devido a duas razões fundamentais:
• A energia eléctrica é gerada pelo movimento de um conjunto de espiras condutoras num campo magnético estático sob a forma de tensão alternada sinusoidal13;
• A tensão da energia eléctrica sinusoidal é facilmente elevada ou reduzida através de transformadores14.
Uma corrente alternada sinusoidal é definida pela expressão
i(t) = IM cos (ω t + α) (2.5) em que i(t) representa o valor instantaneo, IM é a intensidade máxima, ω é a frequência angular e α é a desfazagem na origem dos tempos.
O período (T) e a frequência (f) são definidos na forma usual para as grandezas
alternadas sinusoidais
T = 2 π / ω = 1 / f (2.6) ω = 2 π f (2.7) O período exprime-se em segundos (s) e a frequência em Hertz (Hz).
Problema 2.3 – Determine o período de uma corrente alternada sinusoidal de 50 Hz. (Solução: T=0.02 s)
10 Acrónimo de “Direct Current”. 11 Acrónimo de “Alternate Current”.
12 Este facto faz com que os referidos aparelhos tenham uma fonte de alimentação, constituida por um
transformador (que reduz a tensão de entrada para os valores adequados ao funcionamento do aparelho) e por um conjunto de diodos (que rectificam a tensão, transformando-a em tensão contínua).
13 Os vários tipos de centrais eléctricas (hidroeléctricas, térmicas ou nucleares) correspondem a formas diferentes
de colocar a espira em movimento.
14 O transporte da energia eléctrica desde as centrais aos consumidores deve ser feito em alta-tensão, para reduzir
as perdas por efeito de Joule nos cabos condutores que procedem a este transporte. Por isso, a tensão tem de ser elevada à saida das centrais e reduzida, por razões de segurança, junto aos centros populacionais.
2.3. ELEMENTOS DE UM CIRCUITO ELÉCTRICO 2.3.1. Introdução
Os circuitos eléctricos podem integrar uma grande variedade de elementos: baterias, fontes de alimentação, resistências, condensadores, bobinas, diodos, transistores, interruptores, circuitos integrados, amplificadores operacionais, memórias, elementos de lógica e instrumentação digital, etc.
Alguns destes elementos, como, por exemplo, as baterias e as fontes de alimentação, são elementos activos, uma vez que podem fornecer energia ao circuito. Outros, como, por exemplo, as resistências, são elementos passivos, porque dissipam energia por efeito de Joule.
Neste trabalho vamos apenas estudar circuitos de corrente contínua, constituidos por baterias e resistências, ou de corrente directa, formados por baterias, resistências e condensadores (Figura 2.3)
Figura 2.3 – Representação esquemática de uma bateria, uma resistência e um condensador
2.3.2. Resistências
Todas as substâncias oferecem uma certa resistência à passagem da corrente eléctrica, dependente do valor de uma propriedade da substância chamada resistividade eléctrica (ρc). A Tabela 2.2 apresenta o valor da resistividade eléctrica de algumas substâncias à temperatura de 20 oC. Notemos que a resistividade electrica varia com a temperatura de acordo com a expressão
ρc=ρc20 [1 + α (t – 20 )]15 (2.8) em que α representa o coeficiente de variação da resistividade eléctrica com a temperatura16.
Os condutores vulgares são fios cilíndricos de cobre. A sua resistência eléctrica pode ser:
Medida através de um ohmimetro17;
Determinada por um processo experimental;
15 A resistividade exprime-se em Ωm.
16 Como veremos mais tarde, um condutor percorrido por uma corrente eléctrica dissipa calor por efeito de Joule.
Em consequência deste facto, a temperatura do condutor pode aumentar, o que conduz ao incremento da sua resistência.
Substância Resistividade eléctrica (em ΩΩΩm) Ω Ouro Prata 1.6×10-8 Cobre 1.7×10-8 Ferro 10×10-8 Volfrâmio 5.5×10-8 Mercurio 96×10-8 Carbono 3500×10-8 Alumínio 2.8×10-8 Vidro 1010 Baquelite 5×1014
Tabela 2.2 – Valores da resistividade eléctrica de algumas substâncias à temperatura de 20 oC
Calculada através da expressão
S L
R=ρc (2.9)
em que L e S representam, respectivamente, o comprimento e a área da secção transversal do fio. Esta expressão significa que a resistência de um condutor é tanto menor quanto menor for a sua resistividade eléctrica e o seu comprimento e maior for a sua secção transversal.
Quando pretendemos comprar uma resistência devemos fornecer três dados fundamentais ao vendedor: os valores da resistência, da precisão e da potência máxima que ela vai dissipar. Estes valores estão impressos na resistência através, nomeadamente, de códigos de cores (Tabela 2.3).
Problema 2.4 – Calcule a resistência de um condutor de cobre com 10 m de comprimento e 1 mm2 de secção Problema 2.5 – Determine o comprimento de um condutor que tem 2 Ω de resistência, um raio de 0.65 mm e que é feito de um material de resistividade eléctrica igual a 10-6 Ω m (Solução: L=2.65 m)
Cor Valor Factor Tolerância Preto 0 ×1 N/A Castanho 1 ×10 N/A Vermelho 2 ×100 2% Laranja 3 ×1000 N/A Amarelo 4 ×10000 N/A Verde 5 ×100000 N/A Azul 6 ×1000000 N/A Violeta 7 ×10000000 N/A Cinzento 8 ×100000000 N/A Branco 9 ×1000000000 N/A Dourado N/A ×0.1 5% Prateado N/A ×0.01 10%
Tabela 2.3 – Significado das cores de uma resistência
2.3.3. Bobinas
As bobinas ideais são componentes que, quando percorridas por uma corrente eléctrica, criam um campo magnético e, consequentemente, armazenam energia magnética.
As bobinas reais são constituídas por um fio condutor eléctrico, revestido por um
isolante, enrolado à volta de um tubo cilíndrico. Por isso, um bobina real comporta-se também, como uma resistência eléctrica, embora o projectista da bobina procure sempre minimizar o valor da sua resistência (Figura 2.4).
Figura 2.4 – Desenho esquemático e representação gráfica de uma bobina
As bobinas são caracterizadas pelos seguintes parâmetros geométricos: número de espiras (N), número de camadas (n), tipo de núcleo (ar ou ferro), comprimento (l) e secção (S) da bobina e comprimento, secção e resistividade eléctrica do fio.
As bobinas são caracterizadas pelos seguintes parâmetros electromagnéticos: indutância (L), resistência eléctrica (Rb) e corrente máxima que a pode percorrer (Imax).
O campo magnético criado por uma bobina longa (comprimento muito maior que o diâmetro), de núcleo de ar, é dado por
B = µοN I / l (2.10)
em que µο é a permeabilidade magnética do ar. Esta fórmula representa uma aproximação
que é tanto mais rigorosa quanto mais longa for a bobina. A sua dedução é feita a partir das Equações de Maxwell18, admitindo que o campo magnético é uniforme no interior da bobina. Esta hipótese só é completamente verdadeira se a bobina for infinita (Figura 2.5a). Numa bobina finita o campo sofre a influência do efeito das extremidades da bobina (Figura 2.5b).
A indutância desta bobina é calculada através da expressão
L = µοN S / l (2.11)
enquanto a energia magnética armazenada nesta componente é dada por:
2 2 1 LI Wm = (2.12)
Figura 2.5 – Linhas de força do campo magnético criado por uma bobina “infinita” (a) e real (b)
Problema 2.6 – Considere uma bobina longa, de secção transversal com a área de 12 cm2 e com 50 espiras por unidade de comprimento. Determine:
a) A indutância da bobina
b) O campo magnético no interior da bobina quando esta é percorrida por uma corrente de 10 A.
2.3.4. Condensadores
Dá-se o nome de condensador a um conjunto de dois condutores eléctricos, na influência um do outro.
18 As Equações de Maxwell são as equações fundamentais do campo electromagnético.
(a)
Um condensador é caracterizado pela sua capacidade (C) e pela tensão máxima que se pode aplicar entre os dois condutores19 (Vmax). Em geral, a capacidade de um condensador é o simétrico do coeficiente de capacidade mútua.
C = - C12 = - C21 (2.13) Quando um condutor envolve completamente o outro, a capacidade do condensador define-se como o quociente do módulo da carga de cada condutor (Q) pela diferença de potencial entre os condutores (∆V)
C = Q / ∆V (2.14) Do ponto de vista geométrico, podemos considerar três tipos de condensadores:
planos, esféricos e cilíndricos (Figura 2.6). Os dois últimos têm interesse puramente
académico. Os condensadores comerciais são, normalmente, do tipo condensador plano. Um condensador plano é contituído por dois condutores paralelos, de área S, separados por um dieléctrico, de constante dieléctrica ε e espessura d. A sua capacidade é dada por
C = εS / d (2.15) O campo eléctrico no interior do condensador é dado por
E = ∆V/d (2.16) em que ∆V representa a diferença de potencial entre os dois condutores. O campo eléctrico no interior do condensador só é uniforme se os condutores forem infinitos. Com condutores finitos aparece o chamado “efeito das bordas” (Figura 2.7). Este efeito é tanto menor quanto maior for a área dos condutores e menor a distância entre eles.
Figura 2.6 – Representação esquemática dos condensadores plano, esférico e cilíndrico
Figura 2.7 – Linhas de força do campo eléctrico no interior de um condensador “infinito” (a) e “finito” (b).
A energia eléctrica armazenada no condensador é dada por
2 ) ( 2 1 V C We = ∆ (2.17)
A partir das definições de capacidade de um condensador e de intensidade de corrente é possível deduzir a expressão que relaciona a tensão aos terminais do condensador com a intensidade de corrente que flui de ou para ele (Figura 2.b)
∫
= = ∆ dt t i C C Q V ) ( 1 / (2.18)Quando pretendemos adquirir um condensador temos de especificar a sua capacidade, a tensão máxima que lhe vai ser aplicada20 e o tipo do condensador. Existem dois tipos especiais de condensadores: condensador de óleo (especialmente vocacionado para tensões muito elevadas), e condensador electrolítico (quando cada terminal do condensador tem uma polaridade fixa (positiva ou negativa)).
Problema 2.7 – Determine a capacidade de um condensador plano, constituído por duas armaduras de área 1 cm2, separadas por 1 cm de vácuo.
Problema 2.8 – Considere um condensador plano de capacidade C=1 nF e que possui uma carga de 10 nC. Determine:
a) A diferença de potencial entre os terminais do condensador (Solução: ∆V=10 V) b) A energia eléctrica armazenada no condensador (Solução: We=50 nJ)
2.3.5. Impedância e admitância
Define-se impedância de um elemento de um circuito eléctrico (Z) como o quociente da tensão aos seus terminais pela corrente variável no tempo que o percorre
20 A partir deste valor da tensão, pode-se dar a disrupção do dieléctrico, havendo um curto-circuito entre as duas
Z = v(t) / i(t) (2.19) O inverso da impedância é designado por admitância
Y = 1 / Z (2.20) A Tabela 2.4 apresenta as impedâncias e as admitâncias de resistências, bobinas e condensadores percorridos por corrente alternada sinusoidal de frequência angular ω (j é a raiz quadrada de –1).
Elemento Impedância Admitância
Resistência R 1 / R
Bobina jωL 1 / jωL
Condensador 1 / jωC jωC
Tabela 2.4 – Impedâncias e admitâncias de elementos de circuitos eléctricos
A análise desta tabela permite concluir que:
Em corrente continua (ω=0), uma bobina comporta-se como um curto-circuito (Z=0) e um condensador é um circuito aberto (Z=∞).
Para as frequências muito elevadas, no limite infinitas, uma bobina funciona como um circuito aberto enquanto um condensador comporta-se como um curto-circuito.
A impedância e a admitância de um circuito eléctrico são, em geral, números complexos e os seus valores dependem da frequência das correntes que percorrem o circuito21.
2.3.6. 2.3.6.2.3.6.
2.3.6. Associações de elementos de um circuito eléctrico
Os elementos de um circuito eléctrico podem-se associar em série (quando têm apenas um ponto comum) ou em paralelo (quando possuem dois pontos comuns) (Figura 2.8).
Figura 2.8 – Associações em série(à esquerda) e em paralelo (à direita) de elementos de um circuito
Uma associação em série é equivalente a um elemento com uma impedância igual à soma das impedâncias dos elementos que a constituem.
Z = Z1 + Z2 +...+ Zn (2.21)
21 Estas duas conclusões têm aplicações muito importantes nos circuitos eléctricos percorridos por correntes
Uma associação em paralelo é equivalente a um elemento com uma admitância igual à soma das admitâncias dos elementos que a constituem.
Y = Y1 + Y2 +...+ Yn (2.22) Cálculos muito simples baseados nas fórmulas anteriores e nas definições de impedância e admitância permitem concluir que (Tabela 2.5):
Numa associação em série somam-se as resistências, as indutâncias e os inversos das capacidades;
Numa associação em paralelo somam-se as capacidades e os inversos das resistências e das indutâncias.
Elementos Série Paralelo
Resistências R=R1+R2+R3+... 1/R=1/R1+1/R2+1/R3+... Bobinas L=L1+L2+L3+... 1/L=1/L1+1/L2+1/L3+... Condensadores 1/C=1/C1+1/C2+1/C3+... C=C1+C2+C3+...
Tabela 2.5 – Equivalências de associações em série e em paralelo de resistências, bobinas e condensadores
Problema 2.9 – Determine a resistência equivalente à associação de resistências representada na figura (Solução: 10 Ω)
Problema 2.10 – Determine a indutância equivalente à associação de bobinas representada na figura (Solução: 5 mH)
Problema 2.11 – Determine a capacidade equivalente à associação de condensadores representada na figura (Solução:
3 4
2.3.7. Nós, ramos e malhas
Um nó é um ponto de um circuito eléctrico onde se encontram mais de dois elementos de um circuito. Um ramo é um troço de um circuito eléctrico compreendido entre dois nós consecutivos. Uma malha é um conjunto fechado de ramos.
O circuito representado na Figura 2.9 tem dois nós (pontos A e B), três ramos e três malhas (M1, M2 e M3).
Figura 2.9 – Circuito eléctrico
Problema 2.12 – Considere o circuito representado na figura
a) O ponto A do circuito é um nó? Justifique a sua afirmação. b) Quantas malhas tem o circuito?
2.4. LEI DE OHM
A Lei de Ohm relaciona a tensão aos terminais de um condutor eléctrico de resistência R com a intensidade da corrente que o percorre
V = R I22 (2.23)
22 Em geral, podemos escrever que
v(t) = R I(t) (2.24) ou ainda
As resistências medem-se em Ohm (Ω). Um Ohm é a resistência de um condutor eléctrico que, quando percorrido por uma corrente de 1 A, apresenta aos seus terminais uma tensão de 1 V.
Problema 2.13 – Determine a resistência de um condutor que apresenta aos seus terminais uma tensão de 100 V quando percorrido por uma corrente de 4 A. (Solução: 25 Ω).
2.5. LEI DE JOULE
A Lei de Joule permite calcular a potência dissipada numa resistência R percorrida por uma corrente I23
P = R I2 (2.26) A potência mede-se em Watt (W) enquanto a energia (eléctrica ou magnética se mede em Joules (J)).
Os contadores de energia eléctrica que temos em nossas casas medem a energia consumida expressa em kiloWatts-hora (kW.h)
1 kW.h=36×105 Joules (2.28)
Problema 2.14 – Calcule o custo de uma lâmpada de 100 W acesa durante 20 horas, sabendo que o preço de cada kW.h é de 5 Cêntimos. (Solução: 10 Cêntimos).
2.6. LEIS DE KIRCHHOFF 2.6.1. Lei dos Nós
A Lei dos Nós (1a Lei de Kirchhoff) diz que a soma das correntes que entram num nó é igual à soma das correntes que saiem do nó.
A aplicação desta Lei aos nós do circuito eléctrico representado na Figura 2.9 conduz às seguintes equações: 3 2 1 I I I = + (2.29) 1 3 2 I I I + = (2.30) 23 Em geral: 2 ef I Z P= (2.27)
2.6.2. Lei das Malhas
A Lei das Malhas (2a Lei de Kirchhoff) diz que a soma das tensões ao longo de uma malha é nula.
Na aplicação da Lei das Malhas:
• A tensão aos terminais de uma bateria é positiva ou negativa conforme ao circularmos na malha encontramos primeiro o pólo positivo ou negativo da bateria;
• A tensão aos terminais de uma resistência é positiva ou negativa consoante o sentido de circulação coincide ou é oposto ao sentido da corrente eléctrica que percorre a resistência.
A aplicação desta Lei às três malhas do circuito eléctrico representado na Figura 2.9 conduz às seguintes equações:
0 1 2 2 2 1 1I +R I +E −E = R (2.31) 0 2 2 2 3 3I − −R I = R E (2.32) 0 1 3 3 1 1I +R I −E = R (2.33)
2.7. RESOLUÇÃO DE UM CIRCUITO ELÉCTRICO 2.7.1. Introdução
A resolução de um circuito eléctrico consiste na determinação das correntes que percorrem os vários ramos do circuito.
A aplicação pura e simples das Leis de Kirchhoff a todos os nós e a todas as malhas de um circuito conduz a um número de equações que excede o número de incógnitas. Por exemplo, o circuito da Figura 2.9 tem dois nós e três malhas, mas apenas três incógnitas correspondentes às correntes que percorrem os três ramos do circuito.
2.7.2. Método das malhas independentes
De entre os vários métodos que permitem escolher o número correcto de equações vamos descrever o método das malhas independentes.
Malhas independentes é um conjunto de malhas do circuito que obedecem as
seguintes duas condições:
• Cada elemento do circuito pertence pelo menos a uma malha;
• Cada malha tem um elemento do circuito que não integra nenhuma outra malha.
Por exemplo, os pares de malhas do circuito representado na Figura 2.9 M1-M2, M2-M3 e M1-M2-M3 constituem três conjuntos possíveis de malhas independentes.
A resolução de um circuito pelo método das malhas independentes consiste na seguinte sequência de procedimentos:
Escolhemos um conjunto de malhas independentes do circuito;
Arbitramos sentidos positivos para as correntes nos vários ramos e para a circulação nas malhas;
Aplicamos a Lei das Malhas ao conjunto de malhas independentes escolhido;
Escrevemos equações da Lei dos Nós em número igual à diferença entre o número de incógnitas e o número de malhas independentes;
Resolvemos o sistema de equações assim obtido.
Determinados os valores das correntes, consoante as suas intensidades sejam positivas ou negativas, assim os sentidos positivos arbitrados para as correntes estão correctos ou invertidos.
No caso do circuito representado na Figura 2.9 vamos escolher o conjunto de malhas independentes M1-M3, os sentidos positivos das correntes e da circulação indicados na mesma figura e o nó A. Somos, assim, conduzidos ao seguinte sistema de três equações a três incógnitas
2I1+4I2+20-10=0 (2.34)
2I1+6I3-10=0 (2.35)
I1=I2+I3 (2.36)
cuja resolução conduz aos seguintes resultados I1 = -10/22 ≈ -0.455 A
I2 = -50/22 ≈ -2.273 A I3 = 40/22 ≈ 1.818 A
2.7.3. Análise dos resultados
O facto de termos chegado a valores negativos das intensidades das correntes I1 e I2 significa que os sentidos positivos que arbitrámos à partida para estas correntes não correspondem à realidade. De facto, estas correntes têm os sentidos positivos indicados na Figura 2.10.
A análise desta figura permite concluir que a bateria de força electromotriz
E
2 está a fornecer energia ao circuito (a corrente está a “sair” desta bateria) enquanto a bateria de força electromotrizE
1 está a ser carregada (a corrente I1 “entra” na bateria). Ou seja, a bateriaE
2fornece uma corrente ao circuito (I2), a qual se divide em duas correntes no nó A, uma das quais (I1) vai carregar a bateria
E
1 enquanto a outra (I3) vai percorrer a resistência R3.Figura 2.10 – Circuito da Figura 2.9, com todas as correntes com os sentidos positivos correctos
Problema 2.15 – Determine os valores das correntes que percorrem os ramos do circuito representado na figura (I1=2A, I2=-3A, I3=-5A).
2.8. CIRCUITOS RC COM CORRENTE DIRECTA24 2.8.1. Introdução
Conforme o próprio nome sugere, um circuito RC é constituido por uma resistência e um condensador. A corrente eléctrica flui neste circuito sempre no mesmo sentido, mas com intensidade decrescente no tempo dado que um condensador é um circuito aberto em corrente continua. Por isso esta corrente é designada por corrente directa (DC, acrónimo de “Direct Current”).
Um exemplo de um circuito RC é o flash de uma máquina fotográfica. Quando ligamos o flash, a sua bateria carrega um condensador que depois é descarregado sobre a lâmpada quando o flash é disparado. Logo após o disparo, a bateria volta a carregar o condensador e o flash está pronto para ser novamente disparado.
24 Numa outra disciplina terá, provavelmente, a oportunidade de estudar este mesmo circuito em corrente
O circuito RC tem várias aplicações nos Laboratórios. As mais comuns são, sem dúvida, como integrador25 e como filtro passa-alto26.
2.8.2. Descarga de um condensador
Consideremos o circuito representado na Figura 2.11, em que o condensador possui uma carga Qo. Quando fechamos o interruptor, num instante que designamos por t=0, a diferença de potencial entre as duas placas do condensador origina uma corrente eléctrica no condutor, a qual está relacionada com a diminuição da carga no condensador através da expressão
i(t) = - dQ(t)/dt (2.37)
Figura 2.11 – Circuito de descarga de um condensador
A aplicação da Lei das Malhas conduz a
R i(t) – vC(t) = 0 (2.38) ou seja 0 = − − C Q dt dQ R (2.39) ou seja RC dt Q dQ − = (2.40)
Integrando ambos os membros da equação anterior obtemos
RC t Q Q =− 0 ln (2.41) que pode ser escrita na forma
25 Um integrador é um circuito que fornece à saída uma tensão que é o integral da tensão que lhe é aplicada à sua
entrada.
26 Um filtro passa-alto é um circuito que apenas deixa passar as componentes do sinal de entrada com
τ t e Q t Q − = 0 ) ( (2.42) em que τ = RC (2.43) representa a constante de tempo do circuito RC (Figura 2.12).
Figura 2.12 – Evolulção da carga do condensador
A corrente que percorre o circuito pode ser determinada a partir da equação (2.37) τ t e RC Q t i − = 0 ) ( (2.44)
A análise das expressões (2.43) e (2.44) permite concluir que, à medida que a resistência R aumenta, o tempo necessário para que o condensador se descarregue cresce enquanto o valor inicial da corrente (t=0) diminui, já que:
i (0) = Qo /RC (2.45)
2.8.3. Carga de um condensador
Suponhamos que, no instante t=0, fechamos o interruptor do circuito de carga de um condensador representado na Figura 2.13.
Figura 2.13 – Circuito de carga de um condensador
A aplicação da Lei das Malhas a este circuito conduz à seguinte equação:
vR(t) + vC(t) -E = 0 (2.46) em que vR(t) = R i(t) (2.47) e
∫
= i t dt C t VC( ) 1 ( ) (2.48) Substituindo (2.47) e (2.48) em (2.46) e diferenciando em ordem ao tempo, obtemos a seguinte equação 0 ) ( 1 ) ( + = t i C dt t di R (2.49)que admite a seguinte solução
τ t e o I t i − = ) ( (2.50)
em que Io é uma constante de integração cujo valor determinaremos em breve e
τ = RC (2.43) representa, uma vez mais, a constante de tempo do circuito RC.
A tensão aos terminais do condensador pode ser calculada substituindo (2.50) em (2.48): o C t e R o I t c v + − − = τ ) ( (2.44)
em que Co é uma nova constante de integração.
Vamos agora calcular as constantes de integração Co e Io. Para isso chamamos à atenção do leitor para os seguintes factos:
(i) Ao fim de um tempo suficientemente longo (t >>τ), no limite infinito, o condensador vai estar carregado (vc (t>>τ) ≅
E
), dado que a corrente que percorre o circuito tem de ser nula, visto que o condensador é um circuito aberto em corrente contínua. Então, da equação (2.44) concluímos que:vc(∞)=C0=
E
(2.45) (ii) Em t=0, atendendo a que o condensador está descarregado e ao Princípio da Conservação da Energia, a tensão aos terminais do condensador é nula, pelo que da equação (2.44) concluímos que:vc(0) = -I0 R+
E
=0 (2.46) eR
I
0=
E
(2.47) A Figura 2.14 mostra as variações no tempo das tensões aos terminais do condensador e da resistência e da corrente que percorre o circuito2.8.4. Papel da resistência
É importante analisar o papel das resistências dos circuitos de carga e descarga de um condensador. A análise das expressões (2.43), (2.45) e (2.47) permite concluir que a resistência R condiciona a corrente que percorre os circuitos de descarga e carga do condensador. Quando maior for R mais tempo o condensador demora a carregar-se ou a descarregar-se e menor é o valor inicial das correntes.
Figura 2.14 – Variações no tempo das tensões aos terminais do condensador e da resistência e da corrente que percorre o circuito
