Propriedades de Lie em anéis de grupo

(1)

Lucas Xavier Brand˜

ao

Propriedades de Lie em An´eis de Grupo

Disserta¸cão apresentada ao Instituto de Matemática e Estat´ıstica da UFF como parte dos requisitos para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Orientadora: Profa Dra Paula Murgel Veloso

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Bibliotecário responsável: Ana Nogueira Braga - CRB7/4776

Dissertação (mestrado)-Universidade Federal Fluminense, Niterói, 2019.

DOI: http://dx.doi.org/10.22409/PPGMAT.2019.m.02580530207 1. Anel de grupo. 2. Lie nilpotência. 3. Propriedade Lie n-Engel. 4. Involução. 5. Produção intelectual. I. Veloso, Paula Murgel, orientador. II. Universidade Federal Fluminense. Instituto de Matemática e Estatística. III. Título.

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-`

A Deus, aos meus pais, Elizete e Elielson, e ao meu irmão, Felipe. Aos meus avós, Lucimar e Pedro, e à minha tia Clara.

`

A professora Paula Veloso, minha conselheira e orientadora. `

A UFF, aos professores, ao coordenador Max Souza e aos secretários da Pós-gradua¸cão. Aos professores da banca, Simon Chiossi e Cristiane de Mello, pelas dicas e corre¸cões. Aos meus colegas do curso, especialmente à Jaqueline, Rafael, Manoel e Andreza. Aos meus tios, Nazaré e Salvador, e à minha fam´ılia do Rio de Janeiro.

`

A minha fam´ılia em Niter´oi, Pedro, Ester, Solomon, Susan e Mateus. `

A Katia e aos meus companheiros de casa. `

A UMP, ao Coral Simonton e à Primeira Igreja Presbiteriana de Niterói. Aos meus amigos de Belém-PA, em especial, à Beatrice, Mônica e Luana.

`

A minha orientadora da gradua¸c˜ao, Nazar´e Bezerra.

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resultados a respeito das propriedades Lie nilpotência e Lie n-Engel em anéis de grupo e, mais especificamente, nos seus elementos simétricos sob uma involu¸cão clássica orientada. Palavras-chave: Anel de grupo; Lie nilpotência; Propriedade Lie n-Engel; Involu¸cão.

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results regarding the Lie nilpotency and Lie n-Engel properties in group rings and, more specifically, in their symmetric elements under an oriented classical involution.

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Introdu¸c˜ao 9

1 Preliminares 10

1.1 An´eis de Grupo . . . 10 1.2 Conceitos Preliminares em Teoria de Grupos . . . 15

2 Propriedades de Lie em An´eis de Grupo 18

2.1 Defini¸c˜oes B´asicas . . . 18 2.2 Resultados Preliminares . . . 21 2.3 Grupos sem Elementos de Ordem 2 . . . 31

3 Propriedades de Lie de Elementos Sim´etricos 37

3.1 Grupos que Contˆem Q8 . . . 37

3.2 Grupos que n˜ao Contˆem Q8 . . . 45

Considera¸c˜oes Finais 48

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A Teoria dos Anéis de Grupo é uma área que tem despertado o interesse de vários matemáticos desde a primeira metade do século XX. Muitos são os seus problemas ainda em aberto, como é o caso do chamado “problema do isomorfismo”, que, grosso modo, questiona se grupos associados a anéis de grupos isomorfos são isomorfomos e que, através de seus casos particulares, contribuiu bastante para o desenvolvimento da área. Vale ressaltar ainda a sua rela¸cão com outras áreas, tais como a Teoria das Representa¸cões, a Topologia Algébrica e a Teoria dos Códigos Corretores de Erros.

Entre a grande variedade de tópicos dessa teoria, estão as propriedades de Lie, as quais vêm sendo consideradas em anéis de grupo desde a década de 1970 até os dias atuais, conforme [5]. O objetivo deste trabalho é estudar em detalhes o artigo Lie properties of symmetric elements under oriented involutions de J. Hermes Castillo e C. Polcino Milies, o qual fornece alguns resultados envolvendo duas dessas propriedades nos anéis de grupo: a Lie nilpotência e a propriedade Lie n-Engel.

No cap´ıtulo 1, encontram-se os elementos da Teoria dos Anéis de Grupos, que são es-senciais para a compreensão deste texto, como a no¸cão de anel de grupo e a sua involu¸cão clássica, e uma condi¸cão necessária para que essa estrutura satisfa¸ca uma identidade polino-mial. Este cap´ıtulo reúne também algumas defini¸cões da Teoria de Grupos, tais como grupo nilpotente, grupo p-abeliano e FC-subgrupo, e sua conexão com os conceitos já citados.

O cap´ıtulo 2 introduz as propriedades Lie nilpotência e Lie n-Engel em um anel de grupo, bem como as chamadas involu¸cões clássicas orientadas. Os principais teoremas deste cap´ıtulo caracterizam os anéis de grupo que possuem tais propriedades, em termos de seus subconjuntos de elementos simétricos e antissimétricos sob uma involu¸cão clássica orientada, no caso em que o grupo base do anel de grupo não possui elementos de ordem 2.

Por fim, o cap´ıtulo 3 é dedicado ao estudo dessas propriedades nos elementos simétricos. São apresentadas caracteriza¸cões desse subconjunto quando o grupo base contém uma cópia do grupo dos quatérnios e também são considerados os teoremas análogos aos do cap´ıtulo 2 para grupos que não contêm os quatérnios.

(11)

Preliminares

Neste cap´ıtulo, apresentamos os conceitos básicos da Teoria de Anéis de Grupo e da Teoria de Grupos, que serão úteis para o desenvolvimento de nosso estudo. Assumimos que o leitor esteja familiarizado com os aspectos fundamentais da Teoria de Anéis, Grupos e Módulos.

1.1 An´

eis de Grupo

Sejam G um grupo e R um anel com unidade. Denotamos por RG o conjunto de todas as combina¸c˜oes lineares formais da forma

α =X

g∈G

agg,

onde ag ∈ R e ag 6= 0 para um n´umero finito de g ∈ G. Definimos o suporte de α por

supp(α) = {g ∈ G | ag 6= 0}.

Dados dois elementos, α = X

g∈G

agg e β =

X

g∈G

bgg em RG, temos que α = β se, e

somente se, ag = bg, ∀ g ∈ G.

Definimos a soma de α e β por α + β =X g∈G agg + X g∈G bgg = X g∈G (ag + bg)g 10

(12)

e seu produto por

αβ = X

g,h∈G

agbhgh.

Observe que, com as opera¸cões acima, RG é um anel com unidade 1 = 1R1G, onde 1Ré

a unidade de R e 1G ´e o elemento neutro de G.

Podemos definir ainda um produto de elementos de RG por elementos λ ∈ R do seguinte modo λ X g∈G agg ! =X g∈G (λag)g,

tornando, assim, RG um R-m´odulo.

Lembramos que, se R é anel comutativo com unidade, um R-módulo A é chamado uma R-álgebra se existe uma multiplica¸cão, definida em A e denotada por justaposi¸cão, tal que, com a adi¸cão dada em A e esta multiplica¸cão, A é um anel e tal que

r(ab) = (ra)b = a(rb), para todo r ∈ R e para todos a, b ∈ A.

Note que, no caso em que R é comutativo, RG é uma R-álgebra.

Defini¸cão 1.1. O conjunto RG, com as três opera¸cões definidas acima, é o anel de grupo de G sobre R. Se R é comutativo, RG é também chamado a álgebra de grupo de G sobre R.

Observa¸c˜ao 1.2.

1) Considerando a inclus˜ao i : G → RG que associa a cada elemento x ∈ G o elemento i(x) = X

g∈G

agg, onde ax = 1 e ag = 0 se g 6= x, temos que G pode ser visto como um

subconjunto de RG. Assim, podemos dizer que RG é um R-módulo livre de base G. 2) A aplica¸cão ν : R → RG que a cada r ∈ R associa o elemento ν(r) = X

g∈G

agg, onde

a1G = r e ag = 0 se g 6= 1G, ´e um monomorfismo de an´eis. Isto permite considerar R

como um subanel de RG.

3) Feitas as identifica¸cões acima, temos, para quaisquer r ∈ R e g ∈ G, que rg = gr em RG. Consequentemente, se R é comutativo, então R é central em RG.

4) Se R é um anel comutativo e G, H são grupos quaisquer, então R(G × H) ' (RG)H (o anel de grupo de H sobre o anel RG).

(13)

Exemplo 1.3.

Sejam C3 = ha | a3 = 1i o grupo c´ıclico de ordem 3. Para quaisquer α = r01 + r1a + r2a2

e β = s01 + s1a + s2a2 no anel de grupo QC3, e para todo c ∈ Q, temos

α + β = (r0+ s0)1 + (r1+ s1)a + (r2+ s2)a2,

αβ = (r0s0+ r1s2+ r2s1)1 + (r0s1+ r1s0+ r2s2)a + (r0s2+ r1s1+ r2s0)a2 e

cα = cr01 + cr1a + cr2a2.

Queremos dar uma descri¸c˜_{ao precisa de QC}3. Inicialmente, observamos que, se Q[X]

denota o anel dos polinômios em uma variável com coeficientes racionais, então a aplica¸cão φ : Q[X] −→ QC3, dada por f 7−→ f (a), é um epimorfismo de anéis. De fato, para quaisquer

p(X), q(X) ∈ Q[X], temos

(p + q)(a) = p(a) + q(a) e (p.q)(a) = p(a)q(a).

Logo, φ ´e homomorfismo. Al´em disso, para todo α = r01 + r1a + r2a2 ∈ QC3, temos

α = φ(r0+ r1X + r2X2) e, portanto, φ ´e sobrejetiva.

Assim,

QC3 ' Q[X]

ker(φ),

onde ker(φ) = {f ∈ Q[X] | f (a) = 0}. Dado que Q[X] é um dom´ınio de ideais principais, ker(φ) é o ideal gerado pelo polinômio mônico f0, de menor grau, tal que f0(a) = 0.

Como a3 _{= 1, segue que X}3 _{− 1 ∈ ker(φ). Agora, note que, se f =} k

X

i=0

riXi ´e um

polinˆomio de grau k < 3, temos que f (a) =

k

X

i=0

riai 6= 0, pois os elementos {1, a, a2} s˜ao

linearmente independentes sobre Q. Logo, ker(φ) = (X3− 1) e, consequentemente,

QC3 ' Q[X]

(X3_{− 1)}.

Seja X3_{− 1 = (X − 1)(X}2 _{+ X + 1) a decomposi¸c˜}_{ao de X}3 _{− 1 como um produto de}

polinˆ_{omios irredut´ıveis em Q[X]. Usando o Teorema do Resto Chinˆes, podemos escrever}

QC3 ' Q[X]

(X − 1) ⊕

Q[X] (X2_{+ X + 1)}.

(14)

Temos que −1 2 +

√ 3

2 i ∈ C ´e uma raiz de X

2 _{+ X + 1. Portanto,} Q[X] (X − 1) ' Q e Q[X] (X2_{+ X + 1)} ' Q − 1 2 + √ 3 2 i !

e da´ı segue que

QC3 ' Q ⊕ Q − 1 2+ √ 3 2 i ! .

Defini¸c˜ao 1.4. O homomorfismo de an´eis ω : RG → R definido por

ω X g∈G agg ! =X g∈G ag ´

e chamado a fun¸c˜ao de aumento de RG e seu n´ucleo, dado por

∆(G) = ( X g∈G ag ∈ RG X g∈G ag = 0 ) , ´ e o ideal de aumento de RG.

Para um subgrupo normal H de G, denotamos por ∆(G, H) o n´ucleo da aplica¸c˜ao natural

RG −→ R(G/H) X g∈G agg 7−→ X g∈G aggH , isto ´e, ∆(G, H) = ( X h∈H αh(h − 1) αh ∈ RG ) .

Proposi¸cão 1.5 ([13], Lema 3.3.2). Sejam H um subgrupo de um grupo G e S um conjunto de geradores de H. Então, o conjunto {s−1 | s ∈ S} é um conjunto de geradores de ∆(G, H) como um ideal à esquerda de RG.

Por exemplo, se G0 é o subgrupo dos comutadores de G, ∆(G, G0) é o ideal à esquerda de RG gerado por todos os elementos ghg−1h−1− 1 ∈ RG, com ghg−1_h−1 _{∈ G}0_.

Defini¸cão 1.6. Se X é um subconjunto de um anel de grupo RG, o anulador à direita de X é o conjunto

(15)

Dado um subconjunto finito X do grupo G, definimos em RG o elemento

b

X =X

x∈X

x.

Proposi¸cão 1.7 ([13], Corolário 3.4.4). Seja G um grupo finito. Então: (i) Annr(∆(G)) = R · bG.

(ii) Annr(∆(G)) ∩ ∆(G) = {a bG | a ∈ R, a|G| = 0}.

Lembramos que um ideal I de R ´e nilpotente se In = {P x1. . . xn | xi ∈ I} = 0, para

algum um inteiro positivo n. De maneira equivalente, I ´e nilpotente, se existe um inteiro positivo n tal que x1x2. . . xn= 0, para qualquer escolha de elementos x1, x2. . . , xn∈ I.

Teorema 1.8 ([13], Teorema 6.3.1). Sejam F um corpo de caracter´ıstica p ≥ 0 e G um grupo arbitrário. Então, o ideal de aumento ∆(G) de F G é nilpotente se, e somente se, p > 0 e G é um p-grupo finito.

Defini¸cão 1.9. Uma involu¸cão de uma F -álgebra A é uma fun¸cão linear a 7−→ a∗ tal que (i) (ab)∗ = b∗a∗;

(ii) (a∗)∗ = a para todos a, b ∈ A.

A conjuga¸cão complexa e a transposi¸cão de matrizes são exemplos de involu¸cões. Defini¸cão 1.10. Seja A uma F -álgebra com involu¸cão. Os conjuntos

A+_{= {a ∈ A | a}∗ _{= a}} _e _A− _{= {a ∈ A | a}∗ _{= −a}}

são denominados conjunto dos elementos simétricos e antissimétricos de A, respec-tivamente.

Se char(F ) 6= 2, ent˜ao A ´e uma soma direta (como espa¸cos vetoriais) de A+ _{e A}−_{, pois,}

para todo a ∈ A, a = a + a ∗ 2 + a − a ∗ 2 .

(16)

Proposi¸cão 1.11 ([13], Proposi¸cão 3.2.11). Se R é um anel comutativo, então a fun¸cão ∗ _{: RG → RG definida por} X g∈G agg !∗ =X g∈G agg−1 (1.1) ´

e uma involu¸cão de RG, chamada a involu¸cão clássica da álgebra de grupo RG.

Defini¸cão 1.12. Sejam F um corpo e F {x1, x2, . . .} a álgebra livre em indeterminadas não

comutantes x1, x2, . . . Uma F -´algebra A satisfaz uma identidade polinomial se existe um

polinˆomio f (x1, . . . , xn) ∈ F {x1, x2, . . .} \ {0} tal que f (a1, . . . , an) = 0, para todo ai ∈ A.

Uma ´algebra comutativa A, por exemplo, satisfaz a identidade polinomial f (x1, x2) = x1x2− x2x1.

Podemos definir uma involu¸c˜ao em F {x1, x2, . . .} pondo x∗i = xi+1 para todo i ´ımpar.

Renumeramos de modo a obter a ´algebra livre com involu¸c˜ao F {x1, x∗1, x2, x∗2, . . .}.

Defini¸cão 1.13. Uma F -álgebra A com involu¸cão satisfaz uma ∗-identidade polinomial se existe f (x1, x∗1, . . . , xn, x∗n) ∈ F {x1, x∗1, . . .} \ {0} tal que f (a1, a∗1, . . . , an, a∗n) = 0, para

todos a1, . . . , an ∈ A.

Se A é uma F -álgebra comutativa com involu¸cão, então A satisfaz a ∗-identidade poli-nomial

f (x1, x∗1) = x1x∗1− x ∗ 1x1.

Proposi¸cão 1.14 ([11], Proposi¸cão 2.1.2). Seja A uma F -álgebra com involu¸cão. Se A satisfaz uma ∗-identidade polinomial, então A satisfaz uma identidade polinomial. Em particular, se uma álgebra de grupo F G satisfaz uma ∗-identidade polinomial, então F G satisfaz uma identidade polinomial.

1.2 Conceitos Preliminares em Teoria de Grupos

Seja G um grupo. Definimos o comutador de g, h ∈ G por (g, h) = ghg−1h−1 ∈ G

e denotamos por ζ = ζ(G) = {z ∈ G | (z, g) = 1, ∀ g ∈ G} o centro de G. Lembramos que G ´e abeliano se, e somente se, ζ(G) = G.

(17)

Se H e K são dois subgrupos de G, então (H, K) é o subgrupo de G gerado pelo conjunto {(h, k) | h ∈ H, k ∈ K}. Em particular, o subgrupo (G, G) = G0 é o subgrupo dos comutadores de G.

A sequˆencia de subgrupos de G definida por γ1(G) = G e γi(G) = (γi−1(G), G), se i ≥ 2,

´

e chamada a s´erie central inferior de G. Em particular, γ2(G) = G0.

Defini¸c˜ao 1.15. Um grupo G ´e nilpotente se existe um inteiro n > 0 tal que γn+1(G) = 1.

O menor tal n ´e a classe de nilpotˆencia de G.

Proposi¸cão 1.16. (a) Seja π : G → G/ζ(G) o homomorfismo canônico. Então, para todo i ≥ 1, vale π(γi(G)) = γi(π(G));

(b) G é nilpotente se, e somente se, G/ζ(G) é nilpotente. Demonstra¸cão: (a) A prova é por indu¸cão em i. Se i = 1, então

π(γ1(G)) = π(G) = G/ζ(G) = γ1(G/ζ(G)) = γ1(π(G)).

Suponhamos, como hipótese de indu¸cão, que π(γi(G)) = γi(π(G)) seja válido para algum

inteiro positivo i. Ent˜ao,

π(γi+1(G)) = π((γi(G), G)) = (π(γi(G)), π(G)) = (γi(π(G)), π(G)) = γi+1(π(G)).

(b) Suponha γn+1(G) = 1, para algum n. Ent˜ao, pelo item (a),

γn+1(G/ζ(G)) = γn+1(π(G)) = π(γn+1(G)) = π(1) = 1,

isto ´e, G/ζ(G) ´e nilpotente.

Reciprocamente, suponha γn+1(G/ζ(G)) = 1, para algum n. Pelo item (a), temos

π(γn+1(G)) = γn+1(π(G)) = γn+1(G/ζ(G)) = 1,

isto é, γn+1(G) ⊆ ζ(G). Então, γn+2(G) = (γn+1(G), G) ⊆ (ζ(G), G) = 1. Portanto, G é

nilpotente.

Defini¸cão 1.17. Um grupo G é p-abeliano se seu subgrupo dos comutadores G0 é um p-grupo finito e 0-abeliano se é abeliano.

(18)

Proposi¸cão 1.18 ([11], Proposi¸cão 1.1.4). Sejam F um corpo de caracter´ıstica p ≥ 0 e G um grupo. Então, F G satisfaz uma identidade polinomial se, e somente se, G tem um subgrupo normal p-abeliano cujo ´ındice é finito.

Nota¸c˜ao: Denotamos por o(g) a ordem de um elemento g, e por (G : H) o ´ındice de um subgrupo H em G.

Defini¸c˜ao 1.19. O expoente de um grupo G ´e o menor inteiro positivo m tal que gm = 1, para todo g ∈ G.

Proposi¸cão 1.20 ([11], Proposi¸cão 1.3.7). Se G é um grupo nilpotente e, para algum primo p, G/ζ(G) tem expoente pk_{, ent˜}_{ao G}0 _{tem expoente p}m_{, para algum m.}

Proposi¸cão 1.21 ([11], Lema 3.2.7). Sejam char(F ) = p > 0 e G um p-grupo de expoente limitado tal que F G satisfaz uma identidade polinomial. Então, G é nilpotente.

Lembramos que o centralizador de um elemento g ∈ G ´e o subgrupo CG(g) = {x ∈ G | (x, g) = 1}.

Defini¸c˜ao 1.22. O FC subgrupo de G ´e o subgrupo

φ(G) = {g ∈ G | (G : CG(g)) < ∞},

ou seja, φ(G) é o conjunto dos elementos de G que têm um número finito de conjugados em G.

Para quaisquer g, h ∈ φ(G) e x ∈ G, temos

x−1(gh−1)x = (x−1gx)(x−1h−1x) = (x−1gx)(x−1hx)−1.

Como g e h têm somente um número finito de conjugados em G, conclu´ımos que gh−1 também tem um número finito de conjugados em G e, assim, gh−1 ∈ φ(G). Isso prova que φ(G) é, de fato, um subgrupo de G.

Proposi¸cão 1.23 ([11], Proposi¸cão 1.2.15). Sejam F um corpo e G um grupo. Se F G satisfaz uma identidade polinomial de grau n, então (G : φ(G)) ≤ n/2 e |(φ(G))0| < ∞.

(19)

Propriedades de Lie em An´

eis de

Grupo

Neste cap´ıtulo, iniciamos o estudo das propriedades Lie nilpotência e Lie n-Engel em anéis de grupo. Nosso objetivo é investigar a rela¸cão destes com o seus subconjuntos de elementos simétricos e antissimétricos sob uma involu¸cão clássica orientada, no caso em que G não contém elementos de ordem 2.

2.1 Defini¸

c˜

oes B´

asicas

Em um anel associativo R, definimos o colchete de Lie de dois elementos a, b ∈ R por [a, b] = ab − ba

e, indutivamente, pomos

[a1, . . . , an+1] = [[a1, . . . , an], an+1].

para todos a1, . . . , an, an+1∈ R.

Se S ´e um subconjunto de R, ent˜ao [S, S] denota o subgrupo aditivo gerado por todos os colchetes de Lie [a, b], a, b ∈ S. Para n > 1, definimos

[S, S, . . . , S] | {z } n = [. . . [[S, S], S], . . .], S | {z } n ]. 18

(20)

Em particular, se R é comutativo, então [RG, RG] é o R-submódulo de RG gerado por todos os colchetes de Lie [g, h], g, h ∈ G. De fato, se α =X

g∈G agg e β = X g∈G bgg s˜ao elementos de RG, ent˜ao [α, β] = [X g∈G agg, X g∈G bgg] = X g,h∈G agbh(gh − hg) = X g,h∈G agbh[g, h].

Defini¸cão 2.1. Um subconjunto S de um anel R é Lie nilpotente se, para algum inteiro n ≥ 2, [a1, . . . , an] = 0, para todo ai ∈ S. O menor tal n é o ´ındice de nilpotência de S.

Defini¸c˜ao 2.2. Um subconjunto S de um anel R ´e Lie n-Engel se, para algum inteiro n ≥ 1, [a, b, . . . , b | {z } n vezes ] = 0 para todos a, b ∈ S. Exemplos 2.3.

1) Sejam M3(R) = {matrizes reais 3 × 3} e S = {A = (aij) ∈ M3(R) | aij = 0 ∀ i ≥ j}.

Para quaisquer elementos A =    0 x1 x3 0 0 x2 0 0 0   , B =    0 y1 y3 0 0 y2 0 0 0   e C =    0 z1 z3 0 0 z2 0 0 0    em S, temos [A, B] =    0 0 x1y2− x2y1 0 0 0 0 0 0  

 e [A, B, C] = [[A, B], C] = 0. Portanto, S ´e Lie nilpotente com ´ındice de nilpotˆencia 3.

2) Todo conjunto comutativo é Lie nilpotente com ´ındice de nilpotência 2. 3) Todo conjunto Lie nilpotente é Lie n-Engel.

Seja F G a álgebra de grupo de um grupo G sobre um corpo F com char(F ) = p 6= 2. Defini¸cão 2.4. Uma orienta¸cão σ de G é qualquer homomorfismo σ : G → {±1}. Defini¸cão 2.5. Dada uma orienta¸cão de G, uma involu¸cão clássica orientada ∗ de F G é uma involu¸cão dada por

X g∈G agg !∗ =X g∈G agσ(g)g−1.

(21)

Denotamos por (F G)+ _{= {α ∈ F G | α}∗ _{= α} e (F G)}− _{= {α ∈ F G | α}∗ _{= −α} o}

conjunto dos elementos sim´etricos e antissim´etricos de F G sob ∗, respectivamente.

Se N denota o núcleo de σ, então temos que ∗ coincide na álgebra de grupo F N com a involu¸cão clássica.

Notamos que, como um F -m´odulo, (F G)+ _´_{e gerado por}

S = {g ∈ N | g2 _{= 1} ∪ {g + g}−1 _{| g ∈ N, g}2 _{6= 1} ∪ {g − g}−1 _{| g ∈ G \ N, g}2 _{6= 1}.} De fato, se α =X g∈G agg ∈ (F G)+, então α = α∗, isto é, X g∈N g2=1 agg+ X g∈N g26=1 agg+ X g∈G\N g2=1 agg+ X g∈G\N g26=1 agg = X g∈N g2=1 agg+ X g∈N g26=1 agg−1+ X g∈G\N g2=1 (−ag)g+ X g∈G\N g26=1 (−ag)g−1. (2.1) De (2.1) obtemos que ag = 0, para todo g ∈ G \ N tal que g2 = 1, e, além disso,

α = X g∈N g2=1 agg + X g∈N g26=1 ag(g + g−1) + X g∈G\N g26=1 ag(g − g−1).

Semelhantemente, mostra-se que (F G)− ´e gerado, como um F -m´odulo, por

L = {g ∈ G \ N | g2 _{= 1} ∪ {g + g}−1 _{| g ∈ G \ N, g}2 _{6= 1} ∪ {g − g}−1 _{| g ∈ N, g}2 _{6= 1}.}

Os seguintes resultados caracterizam os anéis de grupo Lie nilpotentes e Lie n-Engel. Teorema 2.6 ([15], Teorema V.4.4). Sejam F um corpo de caracter´ıstica p ≥ 0 e G um grupo. Então, F G é Lie nilpotente se, e somente se,

(i) char(F ) = 0 e G ´e abeliano; ou

(ii) char(F ) = p > 0, G ´e nilpotente e p-abeliano.

Teorema 2.7 ([15], Teorema V.6.1). Sejam F um corpo de caracter´ıstica p ≥ 0 e G um grupo. Ent˜ao, F G ´e Lie n-Engel, para algum n, se, e somente se,

(i) char(F ) = 0 e G ´e abeliano; ou

(ii) char(F ) = p > 0, G é nilpotente e contém um subgrupo normal p-abeliano A tal que G/A é um p-grupo finito.

(22)

2.2 Resultados Preliminares

Nesta se¸cão, apresentamos alguns resultados técnicos utilizados ao longo deste texto. Lema 2.8 ([11], Lema 3.1.5). Sejam F um corpo de caracter´ıstica 0 e G um grupo qualquer. Se (F G)+ é Lie nilpotente (resp., Lie n-Engel), ent˜_{ao ((Z/pZ)G)}+ é Lie nilpotente (resp., Lie n-Engel), para qualquer primo p.

Demonstra¸c˜_{ao: Como char(F ) = 0, temos Z ⊆ F e da´ı (ZG)}+ _{⊆ (F G)}+_{. Logo, se (F G)}+

´

e Lie nilpotente (resp., Lie n-Engel), ent˜_{ao (ZG)}+ _´_{e Lie nilpotente (resp., Lie n-Engel).}

Mas existe um homomorfismo natural ϕ : ZG → (Z/pZ)G, definido por X g∈G agg 7−→ X g∈G agg,

tal que ϕ((ZG)+_{) = ((Z/pZ)G)}+_{. Como as propriedades Lie nilpotˆ}_{encia e Lie n-Engel}

são preservadas por homomorfismo, já que envolvem apenas as opera¸cões do anel, temos o

resultado.

Lema 2.9 ([11], Lema 3.1.6). Seja R um anel de caracter´ıstica p > 0. Ent˜ao, para quaisquer a, b ∈ R e qualquer inteiro positivo n, temos

[a, b, . . . , b | {z }

pn vezes

] = [a, bpn].

Demonstra¸c˜ao: Sejam b ∈ R fixo, rb : R → R a fun¸c˜ao definida por rb(c) = cb, para todo

c ∈ R, e lb : R → R a fun¸c˜ao definida por lb(c) = bc, para todo c ∈ R. Ent˜ao,

[c, b] = cb − bc = rb(c) − lb(c) = (rb− lb)(c),

para todo c ∈ R. Assim, [a, b, . . . , b | {z } pn vezes ] = [[· · · [[a, b], b], · · · ], b] = (rb− lb)p n (a).

Como rb e lb comutam como operadores e char(R) = p, segue que

[a, b, . . . , b | {z }

pn vezes

(23)

Lema 2.10 ([6], Lema 2.1). Se (F G)+ _´_{e Lie n-Engel, para algum n, e char(F ) 6= 2, ent˜}_ao

todo elemento de ordem 2 de N ´e central.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos primeiro que a caracter´ıstica de F seja p > 2.

Sejam g ∈ N tal que g2 = 1 e m > 0 tal que pm ´e maior que n. Queremos provar que gx = xg, ∀ x ∈ G. Para isso, consideramos os seguintes casos.

Caso 1: x ∈ N e x2 = 1. Como g ∈ (F G)+ _{e x ∈ (F G)}+_{, temos} 0 = [g, x, . . . , x | {z } pm vezes ] = [g, xpm],

pelo Lema 2.9. Sendo p ´ımpar, xpm

= x e, portanto, g comuta com x. Caso 2: x ∈ N e x2 _{6= 1.}

Neste caso, x + x−1 ∈ (F G)+ _{e, assim, temos}

0 = [x + x−1, g, . . . , g | {z }

pm _vezes

] = [x + x−1, gpm] = [x + x−1, g],

onde a segunda igualdade segue do Lema 2.9 e na ´ultima igualdade usamos o fato de p ser ´ımpar e g2 = 1. Ent˜ao, temos que

xg + x−1g = gx + gx−1

o que implica xg = gx ou xg = gx−1. Se xg = gx, não há nada para provar. Agora, se xg = gx−1, então

(xg)2 = xggx−1 = xg2x−1 = 1.

Como xg ∈ N , pelo caso anterior, temos que g(xg) = (xg)g, o que implica gx = xg. Caso 3: x ∈ G \ N e x2 _{6= 1.}

Neste caso, temos que x − x−1 ∈ (F G)+_{, logo}

0 = [x − x−1, g, . . . , g | {z }

pm vezes

] = [x − x−1, gpm] = [x − x−1, g],

(24)

2, xg = gx ou xg = x−1g. Se xg = gx, n˜ao h´a nada para provar.

Por outro lado, se xg = x−1g, ent˜ao x2 _{= 1, uma contradi¸c˜}_{ao. Logo, devemos ter}

xg = gx.

Caso 4: x ∈ G \ N e x2 _{= 1.}

Temos que xg ∈ G \ N . Se (xg)2 _{= 1, ent˜}_ao

xg = (xg)−1 = g−1x−1 = gx.

Se (xg)2 _{6= 1, ent˜}_{ao, pelo caso anterior, xg comuta com g e, portanto, x e g comutam.}

Suponhamos agora que a caracter´ıstica de F seja zero. Ent˜_{ao, pelo Lema 2.8, ((Z/3Z)G)}+

´

e Lie n-Engel e, dado que char(Z/3Z) > 2, segue, pelo resultado acima, que todos os

ele-mentos de ordem 2 em N s˜ao centrais em G.

Lema 2.11 ([7], Lema 3.1.2). Sejam g e h elementos de G tais que g2 _{6= 1 e h}2 _{6= 1. Ent˜}_ao,

valem as seguintes propriedades: (i) Se [g + g−1, h + h−1] = 0, então (a) gh ∈ {hg, h−1g, hg−1} ou (b) (gα_hβ₎2 _{= 1, para todos α, β ∈ {−1, 1}.} (ii) Se [g − g−1, h − h−1] = 0, então (a) gh = hg ou (b) (gα_hβ₎2 _{= 1, para todos α, β ∈ {−1, 1}.} (iii) Se [g − g−1, h + h−1] = 0, então (a) gh ∈ {hg, h−1g} ou (b) o(g) = 4 = o(h) e g2 _{= h}2_.

Demonstra¸c˜ao: (i) Dado que [g + g−1, h + h−1] = 0, temos

gh + gh−1+ g−1h + g−1h−1 = hg + hg−1+ h−1g + h−1g−1. (2.2)

Se char(F ) 6= 3, ent˜ao gh = hg, gh = hg−1, gh = h−1g ou gh = h−1g−1. Suponhamos que gh /∈ {hg, h−1_{g, hg}−1_{}. Logo, gh = h}−1_g−1_{, isto ´}_{e, (gh)}2 _{= h}−1_g−1_{gh = 1, que ´}_e

(25)

equivalente `a (g−1h−1)2 _{= 1. Ent˜}_{ao, de (2.2), temos}

gh−1+ g−1h = hg−1+ h−1g.

Da´ı segue que gh−1 = hg−1 ou gh−1 = h−1g. Se gh−1 = h−1g, ent˜ao hg = gh, o que ´

e uma contradi¸cão. Portanto, gh−1 = hg−1, o que implica (gh−1)2 = hg−1gh−1 = 1, que é equivalente à (g−1h)2 _{= 1.}

Se char(F ) = 3, em (2.2) temos outras possibilidades: gh = gh−1, gh = g−1h ou gh−1 = g−1h−1. Por´em, todos estes casos contradizem as hip´oteses de que g2 _{6= 2 e h}2 _{6= 1.}

(ii) De [g − g−1, h − h−1] = 0 obtemos

gh + g−1h−1+ hg−1+ h−1g = hg + h−1g−1+ gh−1+ g−1h. (2.3)

Se char(F ) 6= 3, ent˜ao gh = hg, gh = h−1g−1, gh = gh−1 ou gh = g−1h. Dado que g2 _{6= 1, h}2 _{6= 1, n˜}_{ao podemos ter gh = gh}−1 _{nem gh = g}−1_{h. Logo, gh = hg ou (gh)}2 _{= 1.}

Suponha que (gh)2 _{= 1, o que ´}_{e equivale `}_{a (g}−1_h−1₎2 _{= 1. Assim, de (2.3), temos}

hg−1+ h−1g = gh−1+ g−1h.

Desta forma, hg−1 = gh−1 ou hg−1 = g−1h, o que implica (gh−1)2 _{= 1 ou gh = hg e,}

portanto, temos o resultado.

Agora, se char(F ) = 3, em (2.3) temos outras possibilidades: gh = g−1h−1 = hg−1, gh = g−1h−1 = h−1g, gh = hg−1 = h−1g ou g−1h−1 = hg−1 = h−1g. Analisemos cada uma destas.

Se gh = g−1h−1 = hg−1, então h−1g−1 = hg = gh−1. Assim, de (2.3), obtemos que h−1g = g−1h, o que implica gh−1 = hg−1. Então, podemos concluir que gh = gh−1. Mas isto é uma contradi¸cão, pois h2 6= 1.

Se gh = g−1h−1 = h−1g, então h−1g−1 = hg = g−1h. Logo, de (2.3), hg−1 = gh−1 e, assim, g−1h = h−1g. Esta última igualdade e as rela¸cões anteriores implicam gh = g−1h, uma contradi¸cão, já que g2 _{6= 1.}

Se gh = hg−1 = h−1g, então h−1g−1 = gh−1 = g−1h. Assim, de (2.3), g−1h−1 = hg e, portanto, h−1g−1 = gh. Da´ı segue que gh = gh−1, o que é novamente uma contradi¸cão.

Finalmente, se g−1h−1 = hg−1 = h−1g, ent˜ao hg = gh−1 = g−1h e, assim, de (2.3), gh = h−1g−1. Logo, hg = g−1h−1, o que implica hg = hg−1, outra contradi¸c˜ao, pois g2 6= 1.

(26)

(iii) De [g − g−1, h + h−1] = 0 obtemos

gh + gh−1+ hg−1+ h−1g−1 = hg + h−1g + g−1h + g−1h−1. (2.4)

Se char(F ) 6= 3, de (2.4) e dado que g2 6= 1, temos gh = hg, gh = h−1_{g ou gh = g}−1_h−1_.

Suponha que gh = g−1h−1, isto ´e, g2 = h−2. De (2.4), gh−1+ hg−1 = h−1g + g−1h.

Logo, gh−1 = h−1g ou gh−1 = g−1h. A segunda op¸c˜ao implica g2 = h2 e, assim, o(g) = 4. A primeira op¸c˜ao implica gh = hg, de onde segue o resultado.

Suponha que char(F ) = 3. Assim, em (2.4), al´em das possibilidades anteriores, devemos considerar os seguintes casos: gh = gh−1 ou hg−1 = h−1g−1. Como g2 _{6= 1 e h}2 _{6= 1, em}

qualquer caso obtemos uma contradi¸c˜ao.

Corol´ario 2.12 ([6], Corol´ario 2.1). Suponha que char(F ) = p > 2 e que (F G)+ _{seja Lie}

pm_{-Engel, para algum m ≥ 1. Sejam g e h elementos de G tais que g}2 _{6= 1 e h}2pm

6= 1. Se σ(g) = σ(h) = −1, ent˜ao (g, hpm_{) = 1.}

Demonstra¸c˜ao: Dado que (F G)+ ´e Lie pm-Engel e g − g−1, h − h−1 ∈ (F G)+_{, temos, pelo}

Lema 2.9,

[g − g−1, h − h−1, . . . , h − h−1

| {z }

pm vezes

] = [g − g−1, (h − h−1)pm] = [g − g−1, hpm− h−pm] = 0.

Assim, da parte (ii) do Lema 2.11, segue que

ghpm = hpmg ou (ghpm)2 = 1.

Se ghpm = hpmg, n˜ao h´a nada a provar. Por outro lado, como ghpm ∈ N , se (ghpm

)2 = 1, então, pelo Lema 2.10, temos que ghpm é central e, portanto, (g, hpm) = 1 também neste

caso.

Denotamos por

Q8 = hx, y | x4 = 1, x2 = y2, y−1xy = x−1i

(27)

Lema 2.13 ([6], Lema 2.3). Sejam F G uma álgebra de grupo com char(F ) 6= 2, G um grupo tal que Q8 ⊆ G e σ uma orienta¸cão não trivial de G. Se (F G)+ é Lie n-Engel, para

algum n, ent˜ao Q8 ⊆ N .

Demonstra¸cão: Provaremos a contra-positiva da afirma¸cão, analisando as diferentes possi-bilidades para uma orienta¸cão não trivial σ em Q8.

Caso 1: σ(x) = 1 e σ(y) = −1.

Como xy ∈ G \ N , y ∈ G \ N , (xy)2 6= 1 e y2 _{6= 1, temos que xy − (xy)}−1 _{e y − y}−1 _s˜_ao

elementos sim´etricos. Por indu¸c˜ao, prova-se que

[xy − (xy)−1, y − y−1, . . . , y − y−1 | {z } k vezes ] =    (−1)(k+1₂ )₄k_{(x − x}−1_), _se _{k ´}_{e ´ımpar;}

(−1)(k2)4k(xy − (xy)−1), se k ´e par.

. (2.5)

Assim, temos que (F Q8)+ n˜ao ´e Lie n-Engel, para qualquer n ∈ Z+.

Caso 2: σ(x) = −1 e σ(y) = 1. ´

E semelhante ao caso anterior. Basta considerar xy −(xy)−1e x−x−1. Estes s˜ao elemen-tos sim´etricos, por´_{em, para qualquer k ∈ Z}+ _{temos [xy − (xy)}−1_{, x − x}−1

, . . . , x − x−1

| {z }

k vezes

] 6= 0. Caso 3: σ(x) = σ(y) = −1.

Note que x0 = xy e y geram Q8, pois (xy)2 = yx−1xy = y2, (xy)4 = y4 = x4 = 1 e

y−1(xy)y = y−1xy2 = y−1x3 = y−1x−1 = (xy)−1. Al´em disso, σ(x0) = σ(x)σ(y) = 1 e

σ(y) = −1, logo, pelo primeiro caso, o resultado tamb´em segue.

Dos casos acima podemos concluir que (F Q8)+n˜ao ´e Lie n-Engel, para qualquer n ∈ Z+,

e qualquer orienta¸c˜ao n˜ao trivial σ.

Dado um subgrupo H de G, lembramos que uma transversal à direita de H em G, denotada por T = {xi}i∈I, é um conjunto completo de representantes de classes laterais à

direita de H em G. No que segue, consideramos o subgrupo ζ(G)2 _{= {z}2 _{| z ∈ ζ(G)} de G.}

Lema 2.14 ([12], Lema 1.1.3). Sejam H um subgrupo de G e T = {xi}i∈I uma transversal

`

a direita de H em G. Ent˜ao, todo elemento α ∈ F G pode ser escrito unicamente como uma soma finita da forma

α =X

i∈I

αixi

(28)

Lema 2.15 ([6], Lema 2.4). Seja G um grupo tal que |ζ(G)2_{| = ∞. Se α ∈ F G ´}_{e tal que}

(σ(z)z2_{− 1)α = 0, para todo z ∈ ζ, ent˜}_{ao α = 0.}

Demonstra¸c˜ao: Seja T = {xi}i∈I uma transversal `a direita de ζ(G)2 em G tal que x1 = 1.

Ent˜ao, pelo Lema 2.14, podemos escrever α =X

i∈I

αixi,

onde αi ∈ F ζ(G)2. Queremos mostrar que αi = 0 para todo i.

Como (σ(z)z2− 1)α = 0, para todo z ∈ ζ, temos que (σ(z)z2− 1)α1 = 0.

Isto significa que

σ(z)z2α1 = α1

para uma infinidade de elementos z2 ∈ ζ(G)2_{. Logo, devemos ter α}

1 = 0, j´a que supp(α1) ´e

finito.

Seja agora i ∈ I \ {1}. Multiplicando α por x−1_i , obtemos αx−1_i = α2x2x−1i + · · · + αi+ · · · + αrxrx−1i .

Dado que (σ(z)z2− 1)αx−1_i = 0, para todo z ∈ ζ, temos que (σ(z)z2− 1)αi = 0,

donde conclu´ımos que αi = 0.

Proposi¸cão 2.16 ([6], Proposi¸cão 2.1). Seja G um grupo tal que |ζ(G)2| = ∞. Então, (F G)+ ou (F G)− é Lie nilpotente de ´ındice n se, e somente se, F G é Lie nilpotente de ´ındice n.

Demonstra¸c˜ao: Assuma (F G)+ _{Lie nilpotente de ´ındice n. Ent˜}_{ao, como x}

i+ x∗i ∈ (F G)+,

F G satisfaz a ∗-identidade polinomial

(29)

Para um ´ındice fixo i ∈ {1, . . . , n}, escreva f = f1+ f2,

onde f1 ´e a soma de todos os monˆomios de f em que xi aparece. Logo, se zi ∈ ζ(G),

f (x1, . . . , zixi, . . . , xn) = zif1+ zi∗f2

´

e uma ∗-identidade polinomial para F G, assim como z_i∗f = z∗_if1+ zi∗f2.

Da´ı segue que

zif1− zi∗f1

tamb´em ´e uma ∗-identidade polinomial para F G.

Agora, como z_i∗ = σ(zi)z−1i , multiplicando a identidade acima por σ(zi)zi, obtemos que

(σ(zi)zi2− 1)f1 (2.6)

´

e uma identidade polinomial para F G. Fixando agora um ´ındice j 6= i, podemos repetir o processo acima, escrevendo (2.6) como

(σ(zi)z2i − 1)f1 = (σ(zi)zi2− 1)(g1+ g2),

onde g1 é a soma de todos os monômios de f1 em que xj aparece. Então, usando o mesmo

argumento anterior, obtemos que

(σ(zi)zi2− 1)(σ(zj)zj2− 1)g1

´

e uma identidade polinomial para F G. Repetindo o mesmo argumento at´e se esgotarem todos os ´ındices em {1, . . . , n}, obtemos a identidade polinomial para F G

(σ(z1)z12− 1)(σ(z2)z22 − 1) · · · (σ(zn)zn2− 1)τ,

onde τ = [x1, . . . , xn]. Como |ζ(G)2| = ∞, pelo Lema 2.15, segue que τ ´e uma identidade

(30)

Se (F G)− ´e Lie nilpotente de ´ındice n, ent˜ao F G satisfaz a ∗-identidade polinomial h(x1, . . . , xn) = [x1− x∗1, . . . , xn− x∗n] = 0.

e a prova segue de modo semelhante. A rec´ıproca ´e trivial.

Denotamos por

Dk = hx, y | xk = 1, y2 = 1, (xy)2 = 1i,

o grupo dihedral de ordem 2k, e

D∞ = hx, y | y2 = 1, (xy)2 = 1i,

o grupo dihedral infinito.

Lema 2.17 ([6], Lema 2.5). Sejam F um corpo de caracter´ıstica p 6= 2 e G = ha, bi um grupo gerado por dois elementos a e b tais que b−1ab = a−1. Se (F G)+ _´_{e Lie n-Engel, para}

algum n, ent˜ao

(i) a2 _{= 1 (e G ´}_{e abeliano), ou}

(ii) σ(a) = 1, σ(b) = −1, b2pm _{= 1, para algum m > 0, e ha, b}pm_{i ' D}

k, onde k = o(a),

se o(a) ´e finito, ou k = ∞ caso contr´ario.

Demonstra¸cão: Se a2 = 1, não há nada a provar. Suponhamos, então, que a2 6= 1.

Sejam p > 2 e m > 0 tal que pm _{> n. Consideramos trˆ}_{es casos separados, dependendo}

dos valores de σ em G.

Caso 1: σ(a) = −1 e σ(b) = 1.

Primeiro, assumimos que b tem ordem finita e notamos que

b−iabi =    a−1, se i ´e ´ımpar; a, se i ´e par.

Assim, b2 ∈ ζ(G) e, dado que b /_{∈ ζ(G), o(b) ´e da forma 2k, para algum k ∈ Z}+_{. Como}

b ∈ N , k também deve ser par, pois se k fosse ´ımpar, então, pelo Lema 2.10, bk seria central e, assim, b também seria central, uma contradi¸cão. Portanto, a ordem de b é um múltiplo de 4 e podemos escrever o(b) = 2r_{s, com s um inteiro ´ımpar e r ≥ 2.}

(31)

Como a − a−1 ∈ (F G)+ _{e b}s_{+ b}−s_{∈ (F G)}+_{, temos}

[a − a−1, bpms+ b−pms] = [a − a−1, (bs+ b−s)pm] = [a − a−1, bs+ b−s, . . . , bs+ b−s

| {z }

pm vezes

] = 0

e, da parte (iii) do Lema 2.11, obtemos

(i) abpms = bpmsa; ou (ii) abpm_s

= b−pms_{a; ou}

(iii) o(a) = 4 = o(bpm_s

) e a2 _{= b}2pm_s . Se abpm_s = bpm_s a, ent˜ao bpm_s a = bpm_s

a−1, o que implica a2 _{= 1, uma contradi¸c˜}_ao.

Se vale a segunda op¸c˜ao, ent˜ao a−1 = b−pmabpm_s

= b−2pms_{a e da´ı obtemos que a}2 _{= b}2pm_s

. Logo, a2 _{∈ ζ(G) e, dado que b}−1_a2_{b = a}−2_{, temos a}4 _{= 1.}

Deste modo, as ´ultimas duas op¸c˜oes implicam que o(a) = 4, b4pm_s

= 1 e a2 _{= b}2pm_s

. Assim, o(b) = 4s. Logo, o(a) = o(bs_{) = 4, a}2 _{= b}2s _{e b}−s_abs _{= a}−1_{, isto ´}_{e, ha, b}s_{i ' Q}

8. Mas

isto ´e uma contradi¸c˜ao, pois σ(a) = −1 e, pelo Lema 2.13, Q8 ⊆ N .

Se a ordem de b ´e infinita, ent˜ao b2 6= 1 e, assim, podemos escrever 0 = [a−a−1_{, b}pm

+bpm]. Segue, pela parte (iii) do Lema 2.11, que abpms = bpmsa ou abpms= b−pmsa.

Como vimos acima, a segunda op¸c˜ao implica que b tem ordem finita e a primeira nos leva `a a2 _{= 1, uma contradi¸c˜}_ao.

Caso 2: σ(a) = 1 e σ(b) = −1. Suponhamos que b2pm

6= 1. Ent˜ao (ab)2 _{6= 1, j´}_{a que ab = b}−1_a−1 _{implica ba}−1 _{= b}−1_a−1_,

donde obtemos b2 _{= 1, uma contradi¸c˜}_{ao. Assim, [ab−(ab)}−1_{, b}pm_−b−pm

] = 0 e, pelo Corolário 2.12, temos (ab)bpm = bpm(ab), o que implica abpm = bpma e, assim, obtemos que a2 = 1, uma contradi¸cão. Logo, devemos ter b2pm = 1 e sendo (abpm)2 = bpma−1abpm = b2pm = 1, conclu´ımos que ha, bpmi é isomorfo à Dk ou D∞, de acordo com a ordem de a.

Caso 3: σ(a) = σ(b) = −1.

Seja c = ab. Então σ(c) = 1 e c−1ac = a−1. Logo, estamos de novo no primeiro caso, o qual já sabemos que não pode ocorrer.

Portanto, provamos que a2 _{= 1 ou b}2pm

= 1, para algum m > 0. Tamb´em, se a2 _{6= 1, a}

´

(32)

Se char(F ) = 0, ent˜_{ao, pelo Lema 2.8, ((Z/qZ)G)}+ _´_{e Lie n-Engel, para qualquer primo}

´ımpar q. Usando o resultado acima, conclu´ımos que a2 _{= 1 ou b}2qm

= 1, para algum m > 0. Se a2 _{6= 1, ent˜}_{ao b}2qm

= 1, para todo primo ´ımpar q. Assim, se q1e q2s˜ao primos ´ımpares

distintos, temos b2qm

1 = 1 e b2q2m = 1. Logo, b2 = 1, o que implica a2 = 1, uma contradi¸c˜ao.

Portanto, a2 _{= 1 e G ´}_{e abeliano.}

2.3 Grupos sem Elementos de Ordem 2

Sejam G um grupo sem elementos de ordem 2 e F um corpo de caracter´ıstica p 6= 2. Nesta se¸c˜ao, veremos que, nesse caso, (F G)+ _{ou (F G)}− _{ser Lie n-Engel, para algum n (ou}

Lie nilpotente), implica em F G ser Lie m-Engel, para algum m (ou Lie nilpotente).

Defini¸cão 2.18. Dado um inteiro primo p, um elemento x ∈ G é chamado um p-elemento se sua ordem é uma potência de p e é chamado um p0-elemento se é de ordem finita não divis´ıvel por p.

Teorema 2.19 ([3], Main Theorem). Sejam R = F G a ´algebra de grupo de um grupo G sobre um corpo F e A um subgrupo aditivo de R. Se [A, R, . . . , R

| {z }

n vezes

] = 0, para algum n, ent˜ao [A, R]R ´e um ideal nilpotente (associativo) de R.

Lema 2.20. Se R = F G é a álgebra de grupo de um grupo G sobre um corpo F , então [R, R]R = ∆(G, G0).

Demonstra¸cão: Sabemos que [R, R]R é o ideal à esquerda de F G gerado por todos os colchetes de Lie [g, h], com g, h ∈ G e ∆(G, G0) é o ideal à esquerda de F G gerado por todos os elementos ghg−1h−1− 1, com ghg−1_h−1 _{∈ G}0_.

Se gh − hg ´e um gerador de [R, R]R, ent˜ao gh − hg = (ghg−1h−1− 1)hg ∈ ∆(G, G0_).

Por outro lado, todo gerador ghg−1h−1 − 1 de ∆(G, G0_{) pode ser escrito na forma}

ghg−1h−1− 1 = (gh − hg)g−1_h−1 _{e, portanto, ghg}−1_h−1_{− 1 ∈ [R, R]R.}

Lema 2.21 ([7], Lema 3.2.1). Sejam char(F ) = p > 2 e G um grupo sem elementos de ordem 2. Assuma que (F G)+ ou (F G)− seja Lie nilpotente. Se o centro de G contém um elemento de ordem infinita ou um p0-elemento não trivial, então G é p-abeliano.

(33)

Demonstra¸c˜ao: Assuma que (F G)+ _{seja Lie nilpotente. Seja z um elemento central cuja}

ordem ´e infinita ou relativamente prima com p. Se o(z) = ∞, ent˜ao |ζ(G)2_{| = ∞ e, pela}

Proposi¸cão 2.16, segue que F G é Lie nilpotente. Logo, pelo Teorema 2.6, G é p-abeliano. Suponhamos que o(z) seja finita. Então, o(z) é ´ımpar e relativamente prima com p, digamos, o(z) = 2r + 1, com r ∈ Z. Assim, temos que 1 = σ(z2r+1_{) = (σ(z))}2r_{σ(z), o que}

implica σ(z) = 1. Como (F G)+ ´e Lie nilpotente, segue, da prova da Proposi¸c˜ao 2.16, que (z2− 1)n_{[R, R, . . . , R}

| {z }

n vezes

] = 0

para algum n > 0, com R = F G. Seja A = (z2_{− 1)}n_{R. Ent˜}_ao,

[A, R, . . . , R] = (z2− 1)n_{[R, R, . . . , R] = 0}

e, pelo Teorema 2.19, temos que [A, R]R = (z2 _{− 1)}n_{[R, R]R ´}_{e um ideal nilpotente de R.}

Pelo Lema 2.20, [R, R]R = ∆(G, G0), logo (z2_{− 1)}n_{∆(G, G}0_{) ´}_{e um ideal nilpotente. Ent˜}_ao,

para algum inteiro positivo k, temos (z2− 1)n_α

1(z2− 1)nα2· · · (z2− 1)nαk= (z2− 1)nkα1α2· · · αk = 0,

para qualquer escolha de elementos α1, α2, . . . , αk∈ ∆(G, G0). Da´ı, segue que

(z2− 1)α1(z2− 1)α2· · · (z2− 1)αnk = (z2− 1)nkα1α2· · · αnk = 0,

para quaisquer nk elementos αi ∈ ∆(G, G0), ou seja, (z2− 1)∆(G, G0) tamb´em ´e um ideal

nilpotente de F G. Assim, se nk = m, temos ((1 − z2)∆(G, G0))m = (1 − z2)m∆(G, G0)m = 0 e, portanto, para todo α ∈ ∆(G, G0)m, (1 − z2)mα = 0.

Seja H = hz2_{i. Ent˜}_{ao, para todo α ∈ ∆(G, G}0₎m_{, temos}

(1 − z2)mα = (1 − z2)(1 − z2)m−1α = 0

e, assim, (1 − z2)m−1α ∈ Annr(∆(H)). Pela Proposi¸c˜ao 1.7, Annr(∆(H)) = F · bH, o que

implica (1 − z2)m−1α ∈ F · bH. Al´em disso, (1 − z2)m−1α ∈ ∆(H), pois (1 − z2)m−1 ∈ ∆(H) e ∆(H) ´e ideal. Assim, temos que (1 − z2₎m−1_{α ∈ F · b}_{H ∩ ∆(H). Mas, pela Proposi¸c˜}_{ao 1.7,}

F · bH ∩ ∆(H) = {a bH | a ∈ F, a|H| = 0} e, como z2 _´_{e um p}0_{-elemento, F · b}_{H ∩ ∆(H) = 0,}

logo (1 − z2)m−1α = 0. Portanto, (1 − z2₎m−1_{∆(G, G}0₎m _{= 0.}

(34)

Seja, agora, x um elemento qualquer de G0. Vejamos que x ´e um p-elemento. Como pm _{> m, temos (1 − z}2_{)(1 − x)}pm = 0, o que implica (1 − z2_{)(1 − x}pm ) = 0. Assim, 1 + z2_xpm = xpm

+ z2 _{e da´ı, obtemos que x}pm

= 1, isto é, que x é um p-elemento. Portanto, G0 é um p-grupo. Resta mostrar que G0 é um p-grupo finito.

Afirmamos que ∆(G0)m _{= 0. De fato, como ∆(G}0_{) ⊂ ∆(G, G}0_{), temos (1−z}2_)∆(G0₎m _{= 0}

e, portanto, ∆(G0)m = z2∆(G0)m. Logo, dado α ∈ ∆(G0)m arbitrário, existe β ∈ ∆(G0)m tal que α = z2β. Assim, para cada x ∈ supp(α) existe y ∈ supp(β) tal que x = z2y. Mas, como z2 é um p0-elemento e G0 é um p-grupo, chegamos a uma contradi¸cão. Desta forma, α = 0, o que implica ∆(G0)m = 0. Portanto, pelo Teorema 1.8, G0 é um p-grupo finito,

como quer´ıamos demonstrar.

Lema 2.22 ([6], Lema 3.2). Seja H = ha, bi um grupo gerado por dois elementos a, b satisfazendo a 6= 1 e b−1ab = a−1. Suponha que H n˜ao contenha elementos de ordem 2. Ent˜ao, nem (F G)+ _{nem (F G)}− _s˜_{ao Lie n-Engel.}

Demonstra¸cão: Suponhamos, por absurdo, que (F G)+ seja Lie n-Engel, para algum n. Então, pelo Lema 2.17, segue que a2 = 1 ou b2pm = 1, para algum m > 0. Mas isso é uma contradi¸cão, pois H não contém elementos de ordem 2. Portanto, (F G)+ _n˜_{ao ´}_{e Lie}

n-Engel.

Lema 2.23 ([7], Lema 2.2.3). Se G = hxi é um grupo c´ıclico infinito, então F G não tem divisores de zero.

Demonstra¸c˜ao: Sejam α e β elementos n˜_{ao nulos em F G. Logo, para n, m ∈ Z apropriados} α =X

i≤n

aixi e β =

X

j≤m

bjxj, com an, bm 6= 0. Desta forma, o coeficiente de xm+n em αβ n˜ao

´

e zero e, portanto, αβ também é não nulo em F G.

Lema 2.24 ([12], Lema 1.1.4). Sejam H um subgrupo de G e α ∈ F H. Então, α é um divisor de zero à direita (ou à esquerda) em F H se, e somente se, é um divisor de zero à direita (ou à esquerda) em F G.

Lema 2.25 ([6], Lema 3.3). Seja H = hg, hi com [g + c1g−1, h + c2h−1] = 0, para certos

c1, c2 ∈ F . Suponha que H n˜ao contenha elementos de ordem 2. Se (F G)+ ou (F G)− ´e Lie

(35)

Demonstra¸cão: Suponhamos, por absurdo, que H não seja abeliano, isto é, que [g, h] 6= 0. Dado que [g + c1g−1, h + c2h−1] = 0 temos

gh + c1g−1h + c2gh−1+ c1c2g−1h−1 = hg + c1hg−1+ c2h−1g + c1c2h−1g−1. (2.7)

Como [g, h] 6= 0 e H não contém elementos de ordem 2, temos que g, h, gh 6= 1 e gh 6= hg, g−1h, gh−1, h−1g−1. Além disso, gh 6= hg−1, h−1g, pois se fosse gh = hg−1 ou gh = h−1g, então, pelo Lema 2.22, seguiria que nem (F G)+ _{nem (F G)}− _s˜_{ao Lie n-Engel,}

uma contradi¸c˜ao.

De (2.7) obtemos, ent˜ao, que gh = g−1h−1 e, assim, g2 _{= h}−2_{. Logo, g}2 _{∈ ζ(H) e como}

g /∈ ζ(H), g deve ter ordem infinita. Temos tamb´em

0 = [g + c1g−1, h + c2h−1] = [(1 + c1g−2)g, (1 + c2h−2h]

= (1 + c1g−2)(1 + c2h−2)[g, h],

isto é, α = (1 + c1g−2)(1 + c2h−1) é um divisor de zero em F H. Mas isso é uma contradi¸cão,

pois sendo C = hg2i um grupo c´ıclico infinito, pelo Lema 2.23, α não é um divisor de zero em F C e, pelo Lema 2.24, também não é um divisor de zero em F H. Portanto, devemos

ter [g, h] = 0.

Lema 2.26 ([6], Lema 3.4). Sejam G um grupo sem elementos de ordem 2 e char(F ) 6= 2. Suponha que (F G)+ _{ou (F G)}− _{seja Lie n-Engel, para algum n. Ent˜}_ao,

(i) se char(F ) = 0, ent˜ao G ´e abeliano;

(ii) se char(F ) = p > 0, ent˜ao Gpm _{⊆ ζ(G), para algum m > 0.}

Demonstra¸c˜ao: Assuma que (F G)+ seja Lie n-Engel, para algum n. Primeiro, suponha que char(F ) = p > 2. Sejam m > 0 tal que pm ≥ n e h ∈ G um elemento fixo. Ent˜ao, para todo g ∈ G, [g + σ(g)g−1, h + σ(h)h−1, . . . , h + σ(h)h−1 | {z } pm vezes ] = 0. Deste modo, [g + σ(g)g−1, hpm _{+ σ(h)h}−pm ] = 0. O Lema 2.25 implica ghpm _{= h}pm_g. Assim, Gpm ⊆ ζ(G).

Se char(F ) = 0, ent˜_{ao ZG ⊆ F G. Logo, (ZG)}+ ´e Lie n-Engel e, pelo Lema 2.8, ((Z/qZ)G)+ ´e Lie n-Engel, para qualquer primo ´ımpar q. Sejam a, b ∈ G e considere q1 e q2

(36)

primos ´ımpares distintos. Como Gqm

⊆ ζ(G) para todo ´ımpar q, temos que aqm

1 e aqm2 s˜ao

centrais. Assim, existem inteiros r e s tais que 1 = rqm

1 + sq2m e, portanto, temos

ab = arqm1 +sq2mb = arq1masqm2 b = arqm1 basq2m = barq1masqm2 = barqm1 +sqm2 = ba,

isto ´e, G ´e abeliano.

Se (F G)− ´e Lie n-Engel, para algum n, a prova segue de modo semelhante.

Apresentamos agora os principais resultados desta se¸c˜ao.

Teorema 2.27 ([6], Teorema 3.1). Sejam F um corpo de caracter´ıstica p 6= 2, G um grupo sem elementos de ordem 2 e σ uma orienta¸cão não trivial de G. Então, (F G)+ (ou (F G)−) ´

e Lie n-Engel, para algum n, se, e somente se, F G ´e Lie m-Engel, para algum m.

Demonstra¸c˜ao: Assuma que (F G)+ _{seja Lie n-Engel, para algum n. Se char(F ) = 0, ent˜}_ao,

pelo Lema 2.26, G ´e abeliano e o resultado segue do Teorema 2.7. Suponha que char(F ) = p > 2. Sabemos que

[x1+ x∗1, x2 + x∗2, . . . , x2+ x∗2

| {z }

nvezes

] = 0 (2.8)

´

e uma ∗-identidade polinomial para F G, portanto, pela Proposi¸c˜ao 1.14, F G satisfaz uma identidade polinomial.

De acordo com o Teorema 2.7, precisamos provar que G é nilpotente. Para tal, pela Proposi¸cão 1.16, é suficiente mostrar que G/ζ(G) é nilpotente. Sabemos, pelo Lema 2.26, que Gpm _{⊆ ζ(G), para algum m > 0, logo, para todo gζ ∈ G/ζ(G), (gζ)}pm _{= g}pm_{ζ = 1, isto}

´

e, G/ζ(G) é um p-grupo de expoente limitado. Note que F (G/ζ(G)) também satisfaz (2.8), logo, da Proposi¸cão 1.21 temos que G/ζ(G) é nilpotente. Além disso, pela Proposi¸cão 1.20, G0 é um p-grupo de expoente limitado. Mostraremos que G0 é finito.

Como F G satisfaz uma identidade polinomial, pela Proposi¸cão 1.23, o F C subgrupo φ = φ(G) de G é de ´ındice finito em G e |φ0| < ∞. Mas, ζ(G) ⊆ φ e nós sabemos que G/ζ(G) é um p-grupo. Assim, dado que G/φ ' G/ζ(G)

φ/ζ(G), temos que G/φ e φ

0 _{⊂ G}0 _s˜_ao

ambos p-grupos finitos e, pelo Teorema 2.7, segue que F G é Lie m-Engel, para algum m. Se (F G)− é Lie n-Engel, para algum n, então

[x1− x∗1, x2− x∗2, . . . , x2− x∗2

| {z }

nvezes

(37)

´

e uma ∗-identidade polinomial e a prova segue de modo semelhante.

A rec´ıproca ´e trivial.

Teorema 2.28 ([6], Teorema 3.2). Sejam F um corpo de caracter´ıstica p 6= 2, G um grupo sem elementos de ordem 2 e σ uma orienta¸cão não trivial de G. Então, (F G)+ _{(ou (F G)}−₎

´

e Lie nilpotente se, e somente se, F G ´e Lie nilpotente. Demonstra¸c˜ao: Assuma que (F G)+ seja Lie nilpotente.

Se char(F ) = 0, ent˜ao, pelo Lema 2.26, G ´e abeliano e, do Teorema 2.6, segue que F G ´

e Lie nilpotente.

Suponha que char(F ) = p > 2. Do Teorema 2.27, sabemos que G ´e nilpotente.

Se |ζ(G)| = ∞, ent˜ao, como G n˜ao tem elementos de ordem 2, |ζ(G)2_{| = ∞. Assim,}

pela Proposi¸c˜ao 2.16, temos que F G ´e Lie nilpotente.

Assuma, agora, que |ζ(G)| < ∞. Se ζ(G) contém um p0-elemento, então, pelo Lema 2.21, G é p-abeliano. Portanto, pelo Teorema 2.6, F G é Lie nilpotente também neste caso. Deste modo, podemos assumir que ζ(G) é um p-grupo finito.

Seja n a classe de nilpotência de G. Mostraremos agora, por indu¸cão em n, que G0 é um p-grupo finito. Se n = 1, então, G0 = 1, que é um p-grupo finito. Suponhamos, como hipótese de indu¸cão, que a afirma¸cão seja válida para todo grupo nilpotente com classe de nilpotência menor que n. Dado que G/ζ(G) é nilpotente com classe de nilpotência n − 1, temos que (G/ζ(G))0 é um p-grupo finito. Mas, (G/ζ(G))0 = G0/ζ(G) e, portanto, G0 é um p-grupo finito. Assim, do Teorema 2.6, obtemos que F G é Lie nilpotente.

O caso em que (F G)− ´e Lie nilpotente ´e semelhante.

(38)

Propriedades de Lie de Elementos

Sim´

etricos

Neste cap´ıtulo, estudamos a Lie nilpotência e a propriedade Lie n-Engel nos elementos simétricos sob uma involu¸cão clássica orientada de uma álgebra de grupo F G. Vamos considerar duas situa¸cões distintas: quando o grupo G contém uma cópia de Q8 e quando

n˜ao o cont´em.

3.1 Grupos que Contˆ

em Q

8

Sejam F um corpo de caracter´ıstica p 6= 2, G um grupo tal que Q8 ⊆ G e (F G)+

o conjunto dos elementos simétricos de F G sob uma involu¸cão clássica orientada. Nesta se¸cão, veremos quando (F G)+ é Lie nilpotente ou Lie n-Engel.

Defini¸c˜ao 3.1. Um grupo G ´e dito um produto central de dois subgrupos normais H e K se G = HK, (H, K) = 1 e H ∩ K ⊆ ζ(G). Denotamos este fato por G = H ×ζK.

Lema 3.2 ([6], Lema 4.1). Sejam G um grupo e A um subgrupo de ´ındice 2 em G. Suponha que A = C × E, um produto direto de grupos, com E um grupo abeliano tal que E2 = 1. Se E é central em G, então para todo g ∈ G \ A, G é um produto central de hC, gi e E. Demonstra¸cão: Seja g ∈ G \ A. Como A é ´ındice 2 em G, temos G = gA ∪ A. Se g1 ∈ G \ A, então g1 = gx, para algum x ∈ A, e, da hipótese A = C × E, obtemos que

g1 = (gc1)e1 ∈ hC, giE. Por outro lado, se g1 ∈ A, ent˜ao g1 ∈ hC, giE e, assim, G = hC, giE.

Dado que E ´e central em G, temos (hC, gi, E) = 1 e hC, gi ∩ E ⊆ ζ(G). Portanto,

G = hC, gi ×ζE.

(39)

Lema 3.3 ([6], Lema 4.2). Sejam F um corpo de caracter´ıstica p > 2, G um grupo com uma orienta¸cão não trivial σ e x, y elementos de G tais que hx, yi ' Q8. Se (F G)+ é Lie

pm_{-Engel, para algum m > 0, ent˜}_{ao existe g ∈ G \ N tal que g}2pm

6= 1 e g2 _{= x}2_{. Al´}_em

disso, (h, x) = (h, y) = 1, para todo h ∈ G \ N tal que h2pm

6= 1.

Demonstra¸c˜ao: Suponha, por absurdo, que a2pm = 1, para todo a ∈ G \ N , e considere g ∈ G \ N . Assuma primeiro que o(g) 6= 2. Como (F G)+_´_{e Lie p}m_{-Engel e o(x) = 4, temos}

[g − g−1, x + x−1, . . . , x + x−1

| {z }

pm vezes

] = [g − g−1, xpm+ x−pm] = [g − g−1, x + x−1] = 0.

Usando a parte (iii) do Lema 2.11, obtemos gx = xg, gx = x−1g ou o(g) = 4. A ´ultima possibilidade ´e descartada, pois g2pm _{= 1. Se gx = xg, ent˜}_{ao (gx)}2pm _{= g}2pm_x2pm _{= 1 e,}

assim, x2pm = 1, uma contradi¸c˜ao. Logo, devemos ter gx = x−1g.

Assuma, agora, que o(g) = 2. Se tivéssemos (gx)2 6= 1, então, pelo argumento anterior, (gx)x = x−1(gx) e da´ı gx = x−1g, o que implicaria (gx)2 = 1, uma contradi¸cão. Assim, temos (gx)2 _{= 1 e, consequentemente, gx = x}−1_g−1 _{= x}−1_{g. Conclu´ımos que gx = x}−1_g,

para todo g ∈ G \ N . Al´em disso, como gy ∈ G \ N , temos (gy)x = x−1(gy), o que implica (gy)x = (gx)y. Sendo xy = yx−1, desta ´ultima igualdade obtemos x2 _{= 1, uma contradi¸c˜}_ao.

Portanto, existe um g ∈ G \ N tal que g2pm

6= 1.

Seja h ∈ G \ N tal que h2pm _{6= 1. Provaremos que (h, x) = (h, y) = 1. Como (F G)}+

´

e Lie pm_{-Engel e o(x) = 4, temos [h − h}−1_{, x + x}−1_{] = 0. Aplicando a parte (iii) do Lema}

2.11, obtemos: (1) hx = xh ou (2) hx = x−1h ou (3) x2 _{= h}2 _{e o(h) = 4.}

Primeiro mostraremos que (3) leva a uma contradi¸c˜ao. De fato, se hx = x−1h, ent˜ao

(hx)k=    hk, se k ´e par, hk_x, _{se k ´}_{e ´ımpar.} Assim, (hx)2pm = h2pm 6= 1. Considerando que [h − h−1_{, (hx)}pm − (hx)−pm ] = 0, do Corol´ario 2.12, temos h(hx)pm _{= (hx)}pm_{h e, assim, hh}pm_{x = h}pm_{xh, o que implica hx = xh.}

(40)

De maneira similar, podemos provar a igualdade [h − h−1, y + y−1] = 0, que implica (i) hy = yh ou

(ii) hy = y−1h ou (iii) y2 _{= h}2 _{e o(h) = 4}

e, novamente, segue que hy = y−1h leva a uma contradi¸c˜ao.

Como nossas condi¸cões são simétricas em x e y, devemos estudar somente três possibi-lidades: (1)-(i), (1)-(iii) e (3)-(iii). Se (1) e (i) ocorrem, então não há nada a provar.

Suponha que (1) e (iii) sejam v´alidas, isto ´e, que hx = xh, o(h) = 4 e h2 _{= y}2_{. Se}

(yh)2 _{= 1, ent˜}_{ao yh = h}−1_y−1 _{= h}3_y−1 _{= hy}2_y−1 _{= hy. Assuma (yh)}2 _{6= 1. Como o(h) = 4,}

temos que [yh − (yh)−1, hpm

− h−pm

] = 0, donde segue [yh − (yh)−1, h − h−1] = 0. Logo, pelo Corol´ario 2.12, (yh, h) = 1 e, portanto, (y, h) = 1.

Se (3) e (iii) são satisfeitas, então o(h) = 4 e x2 = y2 = h2. Se (xh)2 6= 1, então [xh − (xh)−1, h − h−1] = 0. Do Corolário 2.12, obtemos que (xh, h) = 1, o que implica (x, h) = 1. Agora, se (xh)2 = 1, então xh = h−1x−1 = h3x−1 = hx2x−1 = hx. Assim, temos xh = hx. Similarmente, podemos mostrar que yh = hy.

Portanto, em todos os casos poss´ıveis, temos (h, x) = (h, y) = 1. Finalmente, suponha que (xh)2 _{6= 1 e (yh)}2pm

6= 1, para todo elemento h ∈ G \ N como acima. Ent˜ao, [xh − (xh)−1, (yh)pm

− (yh)−pm

] = 0 e, pelo Corol´ario 2.12, (xh, (yh)pm

) = 1, isto ´e, xhypm_hpm _{= y}pm_hpm_{xh, o que implica xy = yx, uma contradi¸c˜}_{ao. Portanto, existe}

g ∈ G \ N tal que g2pm _{6= 1 e (xg)}2 _{= 1 ou (yg)}2pm _{= 1.}

Se (xg)2 = 1, ent˜ao x2g2 = 1, o que implica x2 = g2. Similarmente, (yg)2pm = 1 implica y2 = g2pme, neste caso, tomamos g1 = gp

m

.

Em qualquer caso, encontramos um elemento g ∈ G \ N como no enunciado do lema.

Lema 3.4 ([6], Lema 4.3). Sejam R um anel comutativo, Q8 = hx, yi o grupo dos quat´ernios

de ordem 8 e G = hQ8, gi, com (g, x) = (g, y) = 1 e g2 = x2. Seja σ a orienta¸c˜ao de G

definida por σ(x) = σ(y) = 1 e σ(g) = −1. Ent˜ao, (RG)+ _´_{e central em RG.}

Demonstra¸cão: Lembramos que (RG)+ é gerado, como um R-módulo, pelo conjunto S = {1, x2_{} ∪ {x + x}−1

(41)

Al´em disso, notamos que, para qualquer γ ∈ S, temos [γ, x] = [γ, y] = [γ, g] = 0.

Por-tanto, (RG)+ _´_{e central em RG.}

Os próximos dois resultados fornecem, com respeito à involu¸cão clássica, as caracte-riza¸cões de (F G)+ _{em que estamos interessados.}

Teorema 3.5 ([10], Teorema 2). Sejam F um corpo de caracter´ıstica diferente de 2 e G um grupo tal que Q8 ⊆ G. Ent˜ao, (F G)+ ´e Lie n-Engel, para algum n, se, e somente se,

vale uma das seguintes condi¸c˜oes

(i) char(F ) = 0 e G ' Q8× E, onde E2 = 1 ou

(ii) char(F ) = p > 2 e G ' Q8 × E × P , onde E2 = 1 e P ´e um p-grupo nilpotente de

expoente limitado que contém um subgrupo normal p-abeliano A cujo ´ındice é finito. Teorema 3.6 ([9], Teorema 2). Sejam F um corpo de caracter´ıstica diferente de 2 e G um grupo tal que Q8 ⊆ G. Então, (F G)+ é Lie nilpotente se, e somente se,

(i) char(F ) = 0 e G ' Q8× E, onde E2 = 1; ou

(ii) char(F ) = p > 2 e G ' Q8× E × P , onde E2 = 1 e P ´e um p-grupo finito.

Defini¸cão 3.7. Um anel R é dito semiprimo se não possui ideais nilpotentes não-zeros I tais que I2 _{= 0.}

Teorema 3.8 ([12], Teorema 4.2.12). Se F G é um anel de grupo sobre um corpo F de caracter´ıstica 0, então F G é semiprimo.

Lema 3.9 ([6], Lema 2.4). Seja R um anel semiprimo com involu¸cão tal que 2R = R. Se R+ é Lie n-Engel, para algum n, então R+ é comutativo.

Teorema 3.10 ([1], Teorema 2.3). Sejam R um anel comutativo com unidade e G um grupo não abeliano com orienta¸cão não trivial σ. Então, (RG)+ _´_{e um anel comutativo se,}

e somente se, temos uma das seguintes condi¸c˜oes: (i) N = ker(σ) ´e um grupo abeliano e (G \ N )2 _{= 1;}

(ii) N ' Q8× E e G ' hx, y, g | x4 = 1, y2 = x2 = g2, xy = x−1, xg = x, yg = yi × E, onde

E2 = 1;

(42)

Defini¸c˜ao 3.11. Um ideal I de um anel R ´e nil de expoente limitado, se existe um inteiro positivo n tal que xn _{= 0 para todo x ∈ I.}

Lema 3.12 ([11], Proposi¸cão 1.3.14). Sejam F um corpo de caracter´ıstica p > 0 e G um grupo tal que F G satisfaz uma identidade polinomial. Se N é um p-subgrupo normal de expoente limitado, então ∆(G, N ) é nil de expoente limitado.

Estamos em condi¸c˜oes de enunciar agora os principais resultados desta se¸c˜ao.

Teorema 3.13 ([6], Teorema 4.1). Sejam F um corpo de caracter´ıstica p 6= 2, G um grupo com uma orienta¸cão não trivial σ e x, y elementos de G tais que hx, yi ' Q8. Então, (F G)+

´

e Lie n-Engel, para algum n, se, e somente se,

(i) char(F ) = 0, N ' Q8 × E e G ' hQ8, gi × E, onde E2 = 1, e g ∈ G \ N ´e tal que

(g, x) = (g, y) = 1 e g2 _{= x}2_{; ou,}

(ii) char(F ) = p > 2, N ' Q8 × E × P , onde P ´e um p-grupo nilpotente de expoente

limitado que cont´em um subgrupo p-abeliano A de ´ındice finito e existe g ∈ G \ N tal que G ' hQ8, gi × E × P, (g, x) = (g, y) = (g, t) = 1 para todo t ∈ P e g2 = x2.

Demonstra¸c˜ao: Suponha que char(F ) = 0 e que (F G)+_{seja Lie n-Engel, para algum n. Do}

Lema 2.13 temos Q8 ⊆ N e, do Teorema 3.5, N ' Q8× E, onde E2 = 1. Al´em disso, pelo

Teorema 3.8, F G ´e semiprimo, logo, pelo Lema 3.9, (F G)+ _´_{e comutativo. Dado que N ´}_e

n˜ao abeliano e char(F ) = 0, segue do Teorema 3.10 que

G ' hx, y, g | x4 = 1, y2 = x2 = g2, xy = x−1, xg = x, yg = yi × E. Reciprocamente, temos (F G)+ _{= (F (hQ}

8, gi × E))+ = ((F (E))hQ8, gi)+ (veja Observa¸c˜ao

1.2.4) e, do Lema 3.4, sabemos que os elementos sim´etricos comutam. Portanto, (F G)+ _´_e

Lie n-Engel.

Assuma agora que char(F ) = p > 2 e que (F G)+ _{seja Lie n-Engel, para algum n. Do}

Lema 2.13, temos Q8 ⊆ N e, do Teorema 3.5, N ' Q8 × E × P , onde E2 = 1 e P ´e um

p-grupo nilpotente de expoente limitado que contém um subgrupo normal p-abeliano A de ´ındice finito. Dado que E ⊆ N , pelo Lema 2.10, E é central em G e, assim, o Lema 3.2 implica que G ' hQ8 × P, gi ×ζE, onde g é qualquer elemento de G \ N . Como (F G)+ é

Lie n-Engel, existe m > 0 tal que pm≥ n e [γ, β, . . . , β

| {z }

pm vezes

(43)

Do Lema 3.3, sabemos que qualquer elemento h ∈ G \ N tal que h2pm

6= 1 comuta com Q8 e que, al´em disso, existe g ∈ G \ N tal que g2p

m

6= 1, g2 _{= x}2_{, (g, x) = (g, y) = 1.}

Portanto, o(g) = 4.

Considere, agora, um elemento arbitrário t de P . Como t + t−1 e g − g−1 são simétricos, temos

0 = [t + t−1, (g − g−1)pm] = [t + t−1, gpm− g−pm] = [t + t−1, g − g−1].

Da parte (iii) do Lema 2.11, obtemos que gt = tg, gt = t−1g ou o(t) = 4. Como t é um p-elemento, a última possibilidade não pode acontecer. Agora, se gt = t−1g, então (gt)2 = g2 6= 1. Logo, [gt − (gt)−1_{, g − g}−1_{] = 0 e, pelo Corol´}_{ario 2.12, segue que gt = tg e,}

assim, t2 _{= 1, o que implica t = 1, uma contradi¸c˜}_{ao. Portanto, (g, t) = 1, para todo t ∈ P .}

Sabemos que G ' hQ8× P, gi ×ζE. Como g comuta com todos os elementos t ∈ P ,

temos hQ8× P, gi = hQ8, gi × P . Afirmamos que hQ8× P, gi ×ζ E = (hQ8, gi × P ) × E.

De fato, tome ` ∈ (hQ8, gi × P ) ∩ E. Queremos ver que ` = 1. Se ` ∈ hQ8, gi × P , ent˜ao

` = zgk_{t, para certos k ∈ Z, z ∈ Q}

8 e t ∈ P . Por outro lado, temos E ⊆ N , logo, k deve

ser par e, como g2 _{= x}2_{, podemos escrever ` = zg}2r_{t = zx}2r_{t, para certos r ∈ Z, z ∈ Q} 8 e

t ∈ P . Assim, ` ∈ Q8× P . Mas, (Q8× P ) ∩ E = {1}, j´a que N ' Q8× E × P , logo ` = 1

e, portanto, G ' hQ8, gi × E × P .

Reciprocamente, seja g ∈ G \ N tal que G = hQ8, gi × E × P , (g, x) = (g, y) = 1 e

g2 _{= x}2_{. Como g ´}_{e central em G, temos [g − g}−1_{, γ] = 0, para todo γ ∈ (F G)}+_{. Queremos}

provar que existe s > 0 tal que [γ, βps

] = 0, para todos γ, β ∈ (F G)+_.

Primeiro, observamos que β = β1+ β2, onde β1 =

X h∈N bhh e β2 = X h∈G\N bhh.

Sendo β1 ∈ (F N )+, podemos escrevˆe-lo como uma combina¸c˜ao linear de elementos da

forma a1c1+ (a1c1)−1, com a1 ∈ Q8× E e c1 ∈ P . Agora, note que

a1c1+ (a1c1)−1 = a1c1+ a−11 c −1

1 = a1+ a−11 + a1(c1− 1) + a−11 (c −1 1 − 1)

e, pelo Lema 3.4, a1+ a−11 ´e central em F (hQ8, gi × E) e, portanto, em F G. Note, tamb´em,

que a1(c1− 1) + a−11 (c −1

1 − 1) ∈ ∆(G, P ). Portanto, β1 = α1+ δ1, onde α1 ´e central em F G

e δ1 ∈ ∆(G, P ).

Por outro lado, podemos escrever β2 como combina¸c˜ao linear de elementos da forma

ga2c2− (ga2c2)−1, com a2 ∈ Q8× E e c2 ∈ P . Mas, observe que

ga2c2− (ga2c2)−1 = ga2c2− g−1a−12 c −1

2 = ga2− (ga2)−1+ ga2(c2− 1) − g−1a−12 (c −1 2 − 1)

(44)

e, do Lema 3.4, obtemos que ga2 − (ga2)−1 ´e central em F G. Al´em disso, temos que

ga2(c2− 1) − g−1a−12 (c −1

2 − 1) ∈ ∆(G, P ). Desta forma, β2 = α2+ δ2, onde α2 ´e central em

F G e δ2 ∈ ∆(G, P ).

Assim, β = α + δ, com α sendo um elemento central em F G e δ ∈ ∆(G, P ).

A aplica¸c˜ao hQ8, gi × E × P → hQ8, gi × P/A definida por (z, `, t) 7−→ (z, tA) ´e um

homomorfismo de grupos, da´ı G E × A =

hQ8, gi × E × P

E × A ' hQ8, gi × P/A,

o que implica que E × A é um subgrupo p-abeliano de ´ındice finito em G, pois o(g) = 4 e, por hipótese, |P/A| é finito. Da Proposi¸cão 1.18 segue, então, que F G satisfaz uma identidade polinomial e, assim, pelo Lema 3.12, ∆(G, P ) é nil de expoente pr_{, para algum}

r ∈ N. Consequentemente, temos que

βpr = (α + δ)pr = αpr + δpr = αpr,

donde segue que [γ, βpr] = [γ, αpr] = 0, para todos γ, β ∈ (F G)+ e, portanto, (F G)+ ´e Lie pr_-Engel.

Teorema 3.14 ([6], Teorema 4.2). Sejam F um corpo de caracter´ıstica p 6= 2, G um grupo com uma orienta¸cão não trivial σ e x, y elementos de G tais que hx, yi ' Q8. Então, (F G)+

´

e Lie nilpotente se, e somente se,

(i) char(F ) = 0, N ' Q8 × E e G ' hQ8, gi × E, onde E2 = 1, e g ∈ G \ N ´e tal que

(g, x) = (g, y) = 1 e g2 _{= x}2_{; ou,}

(ii) char(F ) = p > 2, N ' Q8× E × P , onde P ´e um p-grupo finito, e existe g ∈ G \ N

tal que G ' hQ8, gi × E × P , (g, x) = (g, y) = (g, t) = 1 e g2 = x2.

Demonstra¸c˜ao: Assuma que char(F ) = 0 e que (F G)+ _{seja Lie nilpotente. Ent˜}_{ao, (F G)}+_´_e

Lie n-Engel e, do Teorema 3.13, temos o resultado. Reciprocamente, do Lema 3.4, obtemos que (F G)+ _´_{e comutativo e, portanto, Lie nilpotente.}

Agora, suponha que char(F ) = p > 2 e que (F G)+ seja Lie nilpotente. Do Lema 2.13, temos Q8 ⊆ N e, do Teorema 3.6, segue que N ' Q8 × E × P , onde E2 = 1 e P ´e um

p-grupo finito. Assim, do Teorema 3.13, existe g ∈ G \ N tal que G ' hQ8, gi × E × P ,

(45)

Reciprocamente, suponha que |P | = pn_{. Afirmamos que, para quaisquer p}n_{+1 elementos}

γ1, . . . , γpn₊₁ ∈ (F G)+, [γ₁, . . . , γ_pn₊₁] = 0. A prova é por indu¸cão sobre n. Se n = 0, então

G ' hQ8, gi × E e, assim, o Lema 3.4 implica que (F G)+ ´e comutativo.

Se n ≥ 1, supomos, como hipótese de indu¸cão, que a afirma¸cão vale para todo inteiro positivo menor que n. Queremos mostrar que a afirma¸cão vale também para n.

Seja z ∈ ζ(P ) tal que o(z) = p. Como σ(z) = 1, podemos considerar a orienta¸cão induzida σ definida em G/hz2i. Pela hipótese de indu¸cão, trabalhando em F (G/hz2i), [γ₁, . . . , γ_pn−1₊₁] = 0, para todo γ_i ∈ (F (G/hz2i))+e, portanto, [γ1, . . . , γpn−1₊₁] ∈ ∆(G, hz2i).

Mas, ∆(G, hz2_{i) = (z}2 _{− 1)F G = (z − z}−1_{)F G, logo, [γ}

1, . . . , γpn−1₊₁] = (z − z−1)w, para

algum w ∈ F G.

Pode-se verificar que [(F G)+_{, (F G)}+_{] ⊆ (F G)}− _{e [(F G)}−_{, (F G)}+_{] ⊆ (F G)}+_.

Con-sequentemente, como pn−1 _{+ 1 ´}_{e par, (z − z}−1_{)w = [γ}

1, . . . , γpn−1₊₁] ∈ (F G)− e, assim,

((z − z−1)w)∗ = −(z − z−1)w. Por outro lado, sendo z − z−1 central e antissim´etrico, temos tamb´em ((z − z−1)w)∗ = −(z − z−1)w∗. Portanto, (z − z−1)w = (z − z−1)w∗ e segue que

[γ1, . . . , γpn−1₊₁] = (z − z−1)w = (z − z−1)β₁, onde β1 = w + w∗ 2 ´e sim´etrico. Assim, temos [γ1, . . . , γ2pn−1₊₁] = [γ₁, . . . , γ_pn−1₊₁, γ_pn−1₊₂, . . . , γ_2pn−1₊₁] = (z−z−1)[β₁, γ_pn−1₊₂, . . . , γ_2pn−1₊₁].

Dado que [β1, γpn−1₊₂, . . . , γ_2pn−1₊₁] ´e o colchete de Lie de pn−1+ 1 elementos sim´etricos,

usando o argumento anterior, obtemos [β1, γpn−1₊₂, . . . , γ_2pn−1₊₁] = (z − z−1)β₂, para algum

β2 ∈ (F G)+. Logo,

[γ1, . . . , γ2pn−1₊₁] = (z − z−1)2β₂, para algum β₂ ∈ (F G)+.

Iterando este argumento, obtemos

[γ1, . . . , γpn₊₁] = (z − z−1)pβ_p, para algum β_p ∈ (F G)+.