Capítulo 3:
Tensões em Vasos de Pressão de Paredes Finas
Coeficiente de Dilatação Térmica
Professor Fernando Porto
Tensões em Vasos de
Tensões em Vasos de Pressão de
Paredes Finas
•
As paredes finas deste tipo de construção de vasos
de pressão oferecem pequena resistência à flexão,
de modo que podemos considerar que os esforços
internos que atuam são tangenciais à superfície do
vaso.
Tensões em Vasos de Pressão de
Paredes Finas:
Vasos Cilíndricos
•
Consideremos um vaso cilíndrico de raio interno r e
parede de espessura t contendo um fluido sob
pressão.
•
Seja um pequeno elemento de parede, de lados
relativamente paralelos e perpendiculares ao eixo do
cilindro:
•
As tensões normais
s
1e
s
2são as tensões principais.
•
A tensão
s
1é chamada de tensão tangencial,
enquanto a tensão
s
2é chamada de tensão
longitudinal
.
Tensão tangencial
Tensão tangencial
•
Seja uma porção da parede do vaso:
s
1.t.Dx
s
1.t.Dx
p.(2r.Dx)
Tensão longitudinal
•
Seja uma porção da parede do vaso:
s
2.(2p.r.t)
p.(p
. r
2)
S
Atenção: esta é uma aproximação válida somente porque t << r
S
Atenção: verifica-se que a
tensão tangencial
s
1 é o dobro da tensão longitudinals
2.Através da aplicação do círculo de Mohr (ainda não
ministrado, por isto não será apresentado o
desenvolvimento aqui), verifica-se que a tensão
cisalhamento máxima
t
max tem igual valor à tensãolongitudinal
s
2 :Tensões em Vasos de Pressão de
Paredes Finas:
Vasos Esféricos
•
Consideremos agora um vaso esférico de raio interno
r
e parede de espessura t contendo um fluido sob
pressão.
•
Por razões de simetria, as tensões exercidas nas 4
faces de um pequeno elemento da superfície da
parede devem ser iguais:
•
Para determinarmos o valor da tensão, passamos
uma seção pelo centro C do vaso de pressão,
considerando então o corpo livre constituído pela
porção do vaso e seu conteúdo localizados à
•
Somatório de forças em x é nulo:
S
Atenção: esta é uma aproximação válida somente porque t << r
Através da aplicação do círculo de Mohr (ainda não
ministrado, por isto não será apresentado o
desenvolvimento aqui), verifica-se que a tensão
cisalhamento máxima
t
max tem metade do valor da tensãolongitudinal
s
2 :Exemplo 1
Seja um tanque de ar comprimido apoiado em 2 cavaletes como ilustrado. O corpo cilíndrico do tanque foi construído em chapa de aço de 10mm de espessura, enquanto que as calotas esféricas das extremidades empregam chapas de 8mm de espessura.
Para uma pressão interna de 1260kPa, determinar (a) a tensão normal e a tensão máxima de
cisalhamento na calota esférica; (b) as tensões tangencial e longitudinal no corpo cilíndrico.
Quando for ministrado o conceito de círculo de Mohr, este ângulo poderá ser usado para calcular as tensões na solda.
(a) Calota esférica: p = 1260x 103Pa; t = 8 x 10-3m; r = 0,4m
Coeficiente de Dilatação
Térmica
•
Nas estruturas estudadas até este ponto,
consideramos que a temperatura permanecia
constante durante o tempo de carregamento. Agora
vamos considerar situações onde ocorrem variações
de temperatura.
•
Seja uma barra AB, homogênea e de seção
transversal uniforme:
Superfície lisa “sem atrito”
•
Se aumentarmos a temperatura em DT, notamos que
a barra sofre um alongamento d
T, o qual é
proporcional tanto à temperatura, como em relação
ao comprimento. Então:
a: coeficiente de dilatação térmica
Neste caso não existem tensões relacionadas com a deformação.
•
Como DT, é expresso em unidades de temperatura, e
L
e d
T, em unidades de comprimento, o coeficiente
de dilatação térmica a é expresso em grau
centígrado elevado a -1 (poderia ser expresso em
qualquer outra unidade de temperatura).
• L
[m]
• d
T[m]
• DT
[°C]
•
Vamos agora considerar que a barra AB de
comprimento L foi colocada entre 2 anteparos fixos,
não existindo tensões nesta condição inicial.
•
Se elevada a temperatura DT, a barra deveria
dilatar-se, mas os anteparos impedem esta dilatação. Assim
sendo, passa a existir uma tensão interna
relacionada à dilatação.
Para determinar esta tensão,
determina-se a força P capaz
de deformar a barra de modo a
compensar a dilatação da
mesma, quando sob ação da
variação de temperatura:
Como a deformação anula a
dilatação, então:
Obs.: Esta equação somente é válida para barras homogêneas, de seção transversal uniforme.
Exemplo 2
A barra AB é perfeitamente ajustada aos anteparos fixos quando a temperatura é de +25°C. Determinar as tensões atuantes nas partes AC e CB da barra para a temperatura de -50°C.
Usar E = 200GPa e a = 12 x 10-6 /°C.
A = 400mm2 A = 800mm2
300mm 300mm
Obs.: como a temperatura decai de +25°C para -50°C, a barra sofre uma contração, e não uma expansão.
O primeiro passo é determinar a variação de temperatura:
Dilatação dT correspondente ( L = 0,6m; a = 12 x 10-6 /°C )
A = 400mm2 A = 800mm2
300mm 300mm
O sinal negativo é indicativo de que se trata de contração, e não de dilatação.
Dilatação causada pela aplicação de uma força:
A = 400mm2 A = 800mm2
300mm 300mm
A dilatação causada pela aplicação da força anula a contração:
A = 400mm2 A = 800mm2
300mm 300mm
Encontrada a força, determina-se as tensões:
A = 400mm2 A = 800mm2
300mm 300mm
Exercício 1
Um tanque esférico de gás tem um raio interno de 1,5m. Se está sujeito a uma pressão interna de 300kPa, determine a espessura requerida para que a tensão normal máxima não exceda 12MPa.
Resposta: 18,8 mm Ex. 8-1 9th ed.
Exercício 2
Um tanque esférico de gás foi construído empregando-se chapas de aço de 0,5
polegada. Se sujeito a uma pressão de 200psi, determine seu raio para que a máxima tensão normal não exceda 15kpsi (15000 psi).
1 polegada = 25,4 mm ou 0,0254 m
1 psi (libra por polegada quadrada) = 6894,76 Pa
Resposta: 75,5 pol. ou 1917,7 mm Ex. 8-2 9th ed.
Exercício 3
O tanque do compressor da figura é sujeito a uma pressão interna de 90 psi. Se o diâmetro interno do cilindro é de 22
polegadas, e a espessura da parede, 0,25 polegadas, determine as tensões atuantes no ponto A.
Resposta: 3,96 kpsi e 1,98 kpsi ou 27,30MPa e 13,65MPa. Ex. 8-4 9th ed.
A barra rígida CDE é presa ao apoio E por um pino, e se apoia no cilindro BD de 30mm de diâmetro. Um parafuso de 22mm de
diâmetro passa por um furo na barra em C, e é fixo por uma porca simplesmente ajustada.
Continua...
Resposta: 40,3MPa
Exercício resolvido 2.4 no livro texto 3ª. edição em português (biblioteca).
A montagem, feita à temperatura de 20°C, não leva nenhuma tensão à estrutura. A temperatura do cilindro de latão é
aumentada para 50°C, enquanto o parafuso tem sua
temperatura mantida constante. Pede-se determinar para essas condições as tensões no cilindro.
Barra AC: aço; E = 200GPa; a = 12 x 10-6 °C-1
Cilindro BD: latão; E = 105GPa; a = 18,8 x 10-6 °C-1
Exercício 5
A montagem mostrada tem os materiais e dimensões como indicado. O conjunto foi fixado à 50°F sem tensões internas. Determine as tensões normais internas em cada material, quando a temperatura subir a 110°F.
Coeficiente a: liga 2014-T6, 23 x 10-6°C-1 ; liga C86100, 17 x 10-6°C-1; aço inox 304, 17 x 10-6 °C-1.
Módulo elasticidade E: liga 2014-T6, 75GPa; liga C86100, 103GPa; aço inox 304, 193GPa. 50°F = 10°C 110°F = 43,33°C 1 ft ou 1 pé = 0,3048 m 1 polegada = 25,4 mm ou 0,0254 m 2014-T6 Alumínio C 86100 Bronze 304 aço inox 12 pol. 8 pol. 4 pol.
Resposta: 2,46 kpsi; 5,52 kpsi; 22,1 kpsi ex. 4-69 9th ed. 17,0Mpa; 38,1MPa; 152,4MPa
Exercício 6
A barra AB de latão vermelho C83400 e a barra BC de alumínio 2014-T6 são conectadas por uma junta em B, e fixadas às
paredes. Ambas as barras tem área de seção transversal de 1,75pol2. Não há tensões quando a temperatura é de 50°F.
Determine (a) as tensões normais em cada barra quando a temperatura subir para 120°F e (b) calcule o deslocamento da junta B.
Coeficiente a: liga 2014-T6, 23 x 10-6°C-1 ; liga C83400, 18 x 10-6°C-1. Módulo elasticidade E: liga 2014-T6, 75GPa; liga C83400, 101GPa. 120°F = 48,89°C
Resposta: 9,77 kpsi; 0,611 x 10-3 polegadas
