Ondas de carga em materiais fotorrefrativos

Texto

(1)UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS CURSO DE DOUTORADO EM FISICA. A COMISSA~ O EXAMINADORA, ABAIXO CITADA, APROVA A DISSERTACA~ O. ONDAS DE CARGA EM MATERIAIS FOTORREFRATIVOS ELABORADA POR. MARCELO CALDEIRA BARBOSA COMO REQUISITO PARCIAL PARA A OBTENCA~ O DO GRAU DE. DOUTOR EM FISICA. COMISSA~ O EXAMINADORA: Prof. Dr. Jaime Frejlich (IFGW - UNICAMP) - Orientador Profa. Dra. Lucila H. D. Cescato (IFGW - UNICAMP) Prof. Dr. Mauro M. G. Carvalho (IFGW - UNICAMP) Prof. Dr. Antonio C. Hernandes (IFSC - USP) Profa. Dra. Elisabeth A. de Oliveira (IF - USP) Campinas, 20 de marco de 2003. i.

(2) Substituir esta pagina pela

(3) cha catalogra

(4) ca!. ii.

(5) Substituir esta pagina pela pagina de aprovaca~o!. iii.

(6) Agradecimentos Durante todo o tempo que levou ate que este trabalho atingisse sua forma

(7) nal, muitas pessoas tiveram, direta ou indiretamente, mais intensa ou menos intensamente, contribuic~ao neste documento, tanto que n~ao ha nenhuma falsa modestia em dizer que eu n~ao teria conseguido chegar ate sua conclus~ao sem algumas delas. Ent~ao, que me perdoem os que nesta pagina chegarem, sobretudo se estiverem apressados mas, ainda assim, interessados em ler tudo o que escrevi. Este e o espaco em que sou livre dos arreios e antolhos que me coloca o formalismo cient

(8) co, impedindo-me, por suas proprias belezas, as das reticências e das exclamac~oes.... Agradeco... a Mulher de Minha Vida { Minha M~ae { que e, ao mesmo tempo, meu esteio, minha. forca, meu descanso e meu consolo. N~ao consigo explicar melhor que signi

(9) cado tem ela. So posso dizer que o que

(10) z e o que aqui esta feito,

(11) z tanto por mim quanto por ela. Portanto, deixo expresso o meu reconhecimento maximo e cumpro o meu dever, por forca de justica, de compartilhar a satisfac~ao pela conlus~ao dessa etapa. \Meu amor eterno, irrestrito e sem

(12) m, M~ae!". a toda a minha famlia, que me apoiou sempre e que vibrou a cada passo dessa caminha-. da: meu irm~ao, Renan, que duela comigo, ele com sua

(13) loso

(14) a e eu com minha ciência; minha avo, meus tios e primos... Todos distantes, guardando no peito, tal como eu, o afeto transformado em saudade. Privamos de nosso convvio importante pra mim... Obrigado a vocês por me compreenderem e continuarem me querendo como se eu ainda participasse, a cada semana, das algazarras alegres nos almocos de domingo na casa da vo.. a Meu Pai que n~ao pôde, infelizmente, ver, aqui neste mundo, toda a minha trajetoria,. mas que se orgulharia, como sempre, de seu

(15) lho. Minha saudade e meu reconhecimento a todo o seu esforco, que me conduziu e me me deu condic~oes de chegar aonde eu cheguei.. ao meu orientador, Prof. Dr. Jaime Frejlich, um exemplo de solicitude, zelo, dedicac~ao e. competência cient

(16) ca. Minha gratid~ao! Desnecessario dizer que esse trabalho e tambem merito seu.. iv.

(17) ao Carlos... N~ao poderia imaginar que em algum lugar estivesse reservado para mim um. amigo de tanto valor... Em quantas horas pesadas usei o seu ombro? E quanto de alegria a gente dividiu? Quanto de incentivo recebi quando tudo era in

(18) ndavel e insuportavel? \Fica sempre por perto, porque n~ao coordeno muito bem estando sozinho. So posso dizer que você e pra sempre e e imbatvel! Temos muito mais pela frente.". a Daniela, vulgo Cruella, que, suspeito fortemente!, reza, em genu ex~ao, algumas vezes. por dia, voltada para sua Sagrada Curitiba; a ela que, t~ao bem quanto faz do infravermelho um belo feixe azul, soube colorir esses meus ultimos meses... uma amiga surpreendente! Obrigado pela presenca constante, pelo apoio certo, pelo impulso necessario e pela paciência que teve comigo nessas horinhas terrveis!. a del Carmen pela amizade durante todos esses anos de doutorado, pelos cigarros fu-. mados juntos, pela nossa empatia, pela nossa admirac~ao mutua, pelo companheirismo e pelo incentivo, pelas palavras amigas e pela compreens~ao agucada, por me conhecer t~ao bem e por ter-me querido t~ao bem. Seu nome e presenca certeira aqui!. ao Ivan, meu colega e amigo bem-humorado (ou quase sempre assim...); com quem, entre. discuss~oes cient

(19) cas, via de regra, proveitosas, dei muitas e muito boas risadas... E foram, por esses anos afora, tantas as \maledicências", tantas as bobagens que dissemos e tantas preocupac~oes em comum... \Amiguinho, valeu! Obrigado! Você foi importante demais!". a Nury, que, como ninguem mais, enxerga com o corac~ao... e que grande corac~ao!. Obrigado, sobretudo, por aqueles momentos em que, pra nos entendermos, n~ao era nem preciso falar. Um sorriso ou uma lagrima sempre nos falaram com mais eloquência, mais inteligência e mais exatid~ao.. a Marta e a Laura, duplinha inseparavel e t~ao especial. Sempre proximas, sempre pre-. sentes, sempre e

(20) cientes em fazerem-se amigas de fato ! Nossos suquinhos, nossas cervejas e risadas... Vou sentir muita falta!. ao Henrique, pelo companheirismo durante boa parte desses quatro anos. aos professores Lunazzi, Lucila, Paulo Magno e Agnaldo; a do Carmo, ao Alcides e a. Selma (com seu cafezinho perfumado); aos colegas Cristiano, Mosquera, Elso, Noemi, Luis, Edson, Marcelo Rigon... e a todas as outras pessoas que passaram pelo Laboratorio de Optica do IFGW e que

(21) zeram t~ao agradavel esse perodo em que nele trabalhei.. en

(22) m, aos meus amigos inestimaveis e parceiros constantes... Eliana, Juliano, Tersio, Lazaro, Cinthia, Romarly, Ana Luza, Claudio, Luciano, Roberta, Edison, Luis, D. Rita, Josi e Mauro, Marie, Fatima, D. Kilza... a vocês todos e a tantos outros que, por lapso meu, aqui n~ao est~ao citados, meus agradecimentos mais sinceros pelo que vocês representaram e continuam representando.. v.

(23) Somos especialmente gratos a FAPESP { Fundac~ao de Amparo a Pesquisa do Estado de S~ao Paulo e ao CNPq { Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient

(24) co e Tecnologico pelo apoio

(25) nanceiro concedido, sem o qual este trabalho n~ao seria possvel. Agradecemos tambem ao Laboratorio de Crescimento de Cristais do Instituto de Fsica da USP { S~ao Carlos pelas amostras de BTO que permitiram a realizac~ao de nossas pesquisas.. vi.

(26) BLANCO. Me vejo no que vejo Como entrar por meus olhos Em um olho mais lmpido. Me olha o que eu olho E minha criac~ao Isto que vejo. Perceber e conceber Aguas de pensamentos Sou a criatura Do que vejo.. Poema de Octavio Paz Vers~ao de Haroldo de Campos.

(27) A Minha M~ae....

(28) Conteudo 1 Introduc~ao. 1. I Teoria. 4. 2 O Registro Hologra

(29) co. 2.1 O Modelo de Transporte de Banda . . . . . . . . . 2.1.1 Os Mecanismos de Transporte . . . . . . . . 2.2 As Equac~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Determinac~ao do Campo de Cargas Esc . . . . . . . 2.3.1 O Caso de Padr~ao Luminoso Estatico . . . . 2.3.2 O Caso de Padr~ao Luminoso em Movimento. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 5. . 6 . 6 . 8 . 9 . 9 . 10. 3 A Teoria de Ondas Acopladas. 12. 3.1 Teoria de Ondas Acopladas para Redes Hologra

(30) cas Espessas . . . . . . . . . 12 3.1.1 A Soluc~ao das Equaco~es de Ondas Acopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.2 E

(31) ciência de Difrac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 4 Analise da Gerac~ao dos Hologramas em Movimento com Retroalimentac~ao 17 4.1 A Teoria do Sistema de Estabilizaca~o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Gravaca~o Estabilizada com v = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Condic~ao de Equilbrio Estavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Gravaca~o Estabilizada de Hologramas em Movimento (v 6= 0) . . . . . . . . . 4.3.1 Condic~ao de Equilbrio Estavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 A Velocidade para Hologramas em Movimento com Retroalimentac~ao. 5 Autodifrac~ao e Absorc~ao. . . . . . .. 5.1 Autodifrac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 A E

(32) ciência de Difrac~ao em Regime de Autodifrac~ao . . . . . . . . . . 5.2 Absorc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 A Velocidade dos Hologramas em Movimento com Retroalimentaca~o em Cristais Absorventes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 A E

(33) ciência de Difraca~o dos Hologramas em Movimento com Retroalimentac~ao em Cristais Absorventes em Regime de Autodifrac~ao . . . . . ix. 17 19 20 21 22 23. 24. 24 24 27 27 28.

(34) II Experimento. 30. 6 Descric~ao do Experimento. 31. 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5. Montagem e Amostras . . . . . . . . Modulac~ao de Fase . . . . . . . . . . As Polarizaco~es dos Feixes de Escrita Medida do Coe

(35) ciente de Absorca~o . Aquisica~o de Sinais . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 7.1 Motivac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Evoluc~ao dos Procedimentos de Caracterizac~ao . . . 7.3 Utilizac~ao da Velocidade Kv . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Alguns Procedimentos Preliminares . . . . . 7.3.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Utilizac~ao de Kv e . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Otimizac~ao do Procedimento Experimental . 7.4.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 O Ajuste Tridimensional dos Dados . . . . . . . . . 7.5.1 Simulac~oes Matematicas . . . . . . . . . . . 7.5.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. 7 Caracterizac~ao dos Materiais. 8 Ganho e E

(36) ciência de Difrac~ao 8.1 8.2 8.3 8.4. Motivac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aquisic~ao de Dados de Hologramas em Movimento Medida Experimental de ;d . . . . . . . . . . . . . Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 31 32 33 33 34. 37. 37 37 38 38 39 41 43 46 49 49 53. 58. 58 58 59 59. 9 Conclus~oes. 63. III Apêndices. 64. A O Coe

(37) ciente Eletro-optico B O Programa. 65 67. IV Referências Bibliogra

(38) cas. 71. x.

(39) RESUMO ONDAS DE CARGA EM MATERIAIS FOTORREFRATIVOS Aluno: Marcelo Caldeira Barbosa Professor Orientador: Prof. Dr. Jaime Frejlich Investigamos um novo procedimento que permite o uso de hologramas em movimento com retroalimentac~ao (fringe-locked running holograms) para a caracterizac~ao de materiais fotorrefrativos absorventes de um modo simples, con

(40) avel e direto. Este procedimento consiste na medida de variaveis experimentais (e

(41) ciência de difraca~o e velocidade de movimento do holograma) em func~ao do campo eletrico aplicado, num experimento de hologramas em movimento com retroalimentac~ao, e na representaca~o destas variaveis em um espaco tridimensional, o que facilita consideravelmente o ajuste automatico de dados. A tecnica e aplicada a cristais de Bi12 TiO20, a

(42) m de veri

(43) car sua adequaca~o para o cômputo de alguns dos parâmetros materiais (comprimento de difus~ao, comprimento de Debye e e

(44) ciência quântica para a gerac~ao de fotoeletrons) e experimental (o campo eletrico efetivamente aplicado no interior da amostra) mais relevantes. Os resultados est~ao em bom acordo com dados ja disponveis na literatura para esse tipo de amostras. Tambem mostramos que, sob certas condic~oes experimentais, a tecnica de fringe-locked running holograms provê condic~oes excelentes para o processamento de imagens , onde ganho e e

(45) ciência de difraca~o maximos podem ser obtidos automatica e simultaneamente. As contribuic~oes deste trabalho elevam o status do fringe-locked running hologram ao de uma ferramenta potente, tanto para a caracterizac~ao de materiais fotorrefrativos, quanto para a utilizac~ao destes materiais em processamento de imagem e sinais.. UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS CURSO DE DOUTORADO EM FISICA Tese de Doutorado Campinas, 20 de marco de 2003. xi.

(46) ABSTRACT We investigate a new procedure allowing one to use fringe-locked running hologram experiments to characterize photorefractive absorbing materials in a very simple, reliable and direct way. This procedure consists in measuring experimental variables (di raction eciency and frequency detuning) as a function of the externally applied electric

(47) eld, in a fringe-locked running hologram experiment, and in representing those variables in a threedimensional space, which facilitates the automatic data

(48) tting. The technique is applied to photorefractive Bi12 TiO20 crystals in order to verify its adequacy for computing some of the more relevant material (di usion Length, Debye screening length and quantum eciency for photoelectron generation) and experimental (the e ectively applied electric

(49) eld inside the sample) parameters. The results are in good agreement with already available data for this kind of samples. We also show that, under certain experimental conditions, the fringe-locked running hologram technique provides excellent conditions where maximum gain and di raction eciency can be obtained automatic and simultaneously. The contributions of this work raises the status of the fringe-locked running holograms to that of a powerful tool for both the characterization of photorefractive materials and the usage of these materials for image and signal processing.. xii.

(50) Quadro de Smbolos I Intensidade Luminosa Total IR0 Intensidade Luminosa Inicial do Feixe R IS0 Intensidade Luminosa Inicial do Feixe S I0 Intensidade Luminosa Inicial Total (I0 = IR0 + IS0 ) IR Intensidade Luminosa do Feixe R IS Intensidade Luminosa do FeixeS 2 A^ ngulo de Escrita Formado pelos Raios R e S m Visibilidade do Padr~ao de Interferência n Indice de Refrac~ao (bulk) re Coe

(51) ciente Eletrooptico Efetivo Esc Campo Espacial de Cargas densidade de cargas Perodo da Rede K Modulo do Vetor da Rede n Densidade de Eletrons Livres ND Densidade de Centros Doadores NA Densidade de Centros Aceitadores ND+ Densidade de Centros Doadores Ionizados J~ Densidade de Corrente E~s Campo Eletrico Total q Carga Eletrônica

(52) e Taxa de Gerac~ao Termica s Sec~ao de Choque de Fotoionizac~ao R Constante de Recombinac~ao xiii.

(53) Mobilidade kB Constante de Boltzmann T Temperatura "0 Permeabilidade do Vacuo Constante Dieletrica Estatica Relativa E0 Campo Externo Aplicado Ne : Densidade Efetiva de Centros M Tempo de Relaxamento de Maxwell ED Campo de Difus~ao Ee : Campo Efetivo t Tempo x Direc~ao da \Largura" do Cristal y Direca~o da \Altura" do Cristal z Direca~o da \Espessura" do Cristal Fase Hologra

(54) ca ' Diferenca de Fases na Mistura de Ondas, atras do Cristal LD Comprimento de Difus~ao lS Comprimento de Debye E

(55) ciência Quântica de Gerac~ao de Portadores de Carga Fator de Campo d Amplitude da Modulac~ao de Fase. Frequência da Modulac~ao de Fase Coe

(56) ciente de Absorc~ao v Velocidade de Movimento do Padr~ao de Interferência E

(57) ciência de Difrac~ao ; Ganho Exponencial; termo proporcional a =fEe g Termo proporcional a <fEe g d Espessura do Cristal xiv.

(58) Lista de Figuras 2.1 2.2 3.1 3.2 4.1 4.2 6.1 6.2 6.3 6.4 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18 8.1 8.2 8.3. Gerac~ao de Fotoeletrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modulac~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelo de Rede Hologra

(59) ca Espessa . . . . . . . . . . . . Difrac~ao por Rede Hologra

(60) ca . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de Blocos de Montagem Auto-estabilizada . . . Diagrama de Blocos da Montagem para Geraca~o de HMR . Representac~ao Esquematica das Amostras . . . . . . . . . Setup Experimental Utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . Coe

(61) ciente de Absorc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinais Tpicos no Osciloscopio . . . . . . . . . . . . . . . . Estudos para Kv E0 =ED - I . . . . . . . . . . . . . . . . Estudos para Kv E0 =ED - II . . . . . . . . . . . . . . . Ajuste Teorico aos Dados Kv E0=ED . . . . . . . . . . . Ajuste Teorico aos Dados Kv E0=ED . . . . . . . . . . . Esquema da Gerac~ao de Padr~ao de Interferência Auxiliar . Sinais Tpicos no Osciloscopio - II . . . . . . . . . . . . . . Comparac~ao entre Medidas feitas para Kv . . . . . . . . . Comparac~ao entre Medidas feitas para . . . . . . . . . . Dados Experimentais: E0 =ED . . . . . . . . . . . . . . Dados Experimentais: Kv E0=ED . . . . . . . . . . . . . Dados Simulados (Vis~ao Bidimensional) - I . . . . . . . . . Dados Simulados (Vis~ao Bidimensional) - II . . . . . . . . Dados Simulados (Vis~ao Tridimensional) - I . . . . . . . . Dados Simulados (Vis~ao Tridimensional) - II . . . . . . . . Dados Experimentais (Vis~ao Bidimensional) . . . . . . . . Dados Experimentais (Vis~ao Bidimensional) . . . . . . . . Dados Experimentais e Ajuste Tridimensional . . . . . . . Comparaca~o entre Superfcies . . . . . . . . . . . . . . . . Dados Experimentais: ;d e - I . . . . . . . . . . . . . . . Dados Experimentais: ;d e - II . . . . . . . . . . . . . . Comparac~ao com Dados Simulados - I . . . . . . . . . . . xv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5 7 12 16 18 21 31 32 34 35 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 50 50 51 51 54 55 56 57 60 60 61.

(62) 8.4 Comparac~ao com Dados Simulados - II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61. 0.

(63) Captulo 1 Introduc~ao O efeito fotorrefrativo foi percebido pela primeira vez em 1966 por Ashkin et al [1], durante experimentos de gerac~ao de segundo harmônico em cristais de LiNbO3 e LiTaO3 e foi relatado como se tratando de dano optico (optical damage) por ser indesejado no âmbito de suas pesquisas [2]. Dois anos mais tarde, Chen et al [3] sugeriram que tal fenômeno poderia ser utilizado como memoria hologra

(64) ca para armazenamento em volume. A evidência de que a leitura das informac~oes as desgravava subsequentemente fez com que o entusiasmo fosse diminudo. Entretanto, esta mesma caracterstica mostrou-se interessante ao processamento de imagens. Deveu-se ao mesmo pesquisador tambem o primeiro modelo para a migrac~ao de cargas em cristais ferroeletricos (LiTaO3) [4]. Em 1971, a migrac~ao de cargas por difus~ao teve sua in uência demonstrada em um artigo de Amodei et al [5]. Uma outra importante contribuic~ao ao estudo dos fotorrefrativos foi dada por esses mesmos autores em 1972, quando aplicaram a teoria de ondas acopladas em hologramas espessos em geral (de Kogelnik [6]) ao caso de hologramas em volume em cristais fotorrefrativos [7]. O

(65) nal da decada de 70 trouxe avancos importantssimos para o modelamento microscopico em cristais fotorrefrativos. Alguns trabalhos merecem especial atenc~ao. Apareceram neste perodo os primeiros estudos sobre hologra

(66) a interferometrica em tempo real em cristais de BSO, dentre os quais vale citar o de Huignard et al [8]. Ficou demonstrado neste trabalho que tais cristais eram muito adequados para hologra

(67) a em tempo real, uma vez que n~ao apresentavam fadiga em sucessivos ciclos de escrita e apagamento e tambem n~ao necessitavam passar por quaisquer processos de revelac~ao. No mesmo ano, Peltier e Micheron [9] apresentaram um modelo para a descric~ao do desenvolvimento temporal do campo de cargas espaciais, levando em conta as propriedades de transporte dos fotoportadores em cristais de BSO. Em 1979, Kukhtarev et al apresentaram uma teoria bastante completa da dinâmica do fenômeno fotorrefrativo e do acoplamento de ondas, considerando a presenca de um campo eletrico externamente aplicado sobre o cristal, o efeito fotovoltaico (presente nos ferroeletricos) e a interac~ao da densidade de cargas e o campo gerado pela sua propria distribuic~ao no volume. A incidência de um padr~ao de interferência, gerado por dois feixes monocromaticos e mutuamente coerentes sobre um cristal fotorrefrativo, gera, por causa da fotocondutividade, uma correspondente modulac~ao espacial de cargas eletricas, a qual, via efeito Pockels, em ultima instância, corresponde a formac~ao de uma modulac~ao de ndice de refrac~ao (hologra1.

(68) ma). Quando, por algum processo, esse padr~ao de interferência se move, as cargas movem-se conjuntamente (ondas de carga) e a modulac~ao de ndice de refraca~o (ou holograma) move-se tambem. Esses hologramas n~ao s~ao nada alem de ondas espaciais de carga forcadas, acompanhadas de uma modulac~ao de ndice de refraca~o (holograma). Temos no padr~ao de ondas em movimento, ent~ao, o agente que \forca" as ondas de carga. Veremos, no decorrer do trabalho, de que maneiras esse padr~ao pode ser levado a mover-se. Em resumo, nos materiais fotorrefrativos, ent~ao, uma onda de carga forcada corresponde a um holograma em movimento. Os hologramas em movimento (running holograms) em cristais de Bi12 SiO20 sujeitos a um campo eletrico externo foram analisados por Stepanov et al [10], em 1982, onde evidenciou-se a possibilidade de gerac~ao de redes hologra

(69) cas mais e

(70) cientes do que no caso estatico. Depois desse breve apanhado historico sobre os primeiros passos no estudo das propriedades e aplicac~oes de cristais fotorrefrativos, e conveniente determo-nos um pouco nos quês e porquês do interesse pelo estudo de hologramas em movimento em regime estabilizado (fenômeno de estudo desta tese). As perturbac~oes de fase representam um problema pratico bastante comum em hologra

(71) a, causando instabilidade no padr~ao de interferência, e se devem, sobretudo, as variac~oes desiguais nos caminhos opticos dos feixes interferentes. Algumas formas de minimizar os efeitos dessas instabilidades seriam a exposica~o rapida e a utilizac~ao de interferômetros com bracos pequenos. Entretanto, devido as peculiaridades de cada experimento, esses paliativos nem sempre podem ser utilizados [11]. E justamente a necessidade de compensac~ao de rudos que motivou o desenvolvimento de tecnicas de controle de fase. O funcionamento dessas tecnicas esta baseado na retroalimentac~ao de um sinal de erro ao interferômetro, com a presenca de um modulador de fase. Sempre que uma perturbaca~o de fase tende a produzir um desbalanceamento nos caminhos opticos das ondas que interferem, um sinal e aplicado ao modulador (colocado em um dos bracos do interferômetro) a

(72) m de compensar em tempo real o efeito dessa perturbaca~o e manter estavel o padr~ao de interferência. Uma descric~ao interessante e bem feita a respeito da evoluca~o das tecnicas de controle de fase encontra-se na tese de doutorado de A. A. Freschi [11], da qual, abaixo, reproduzimos um extrato. \A extrac~ao do sinal de erro constitui uma das etapas mais importantes de um sistema de estabilizac~ao. Resumidamente, podemos dizer que um sinal de erro e um sinal que contem informac~ao sobre a relac~ao de fase entre ondas que interferem. Uma grande variedade de metodos de extrac~ao de sinais de erro foram publicados, envolvendo: a ampli

(73) cac~ao optica do padr~ao de interferência com uma objetiva microscopica de grande magni

(74) cac~ao e uma eletrônica apropriada [12], o uso de redes hologra

(75) cas auxiliares para gerac~ao de padr~oes Moire e detecc~ao sincrônica de sinais com ampli

(76) cadores lock-in [13], ou a inserc~ao de combinadores de feixes (como uma lâmina de vidro) na regi~ao de interferência das ondas incidentes para a gerac~ao de um sinal de referência auxiliar [14, 15]. Uma nova etapa na utilizac~ao das tecnicas de controle de fase em hologra

(77) a surgiu com os trabalhos de Kamshilin et al [16] e Frejlich et al [17]. Nessas tecnicas, o sinal de erro e derivado diretamente da mistura de duas ondas em um material fotossensvel, i.e., o proprio holograma que esta sendo gravado e uti-. 2.

(78) lizado como referência para estabilizac~ao. Isto e possvel devido a estreita relac~ao entre a fase hologra

(79) ca e a diferenca de fase dos feixes transmitido e difratado em uma das sadas do material. Kamshilin et al utilizam um cristal fotorrefrativo de Bi12 TiO20 em regime de difus~ao (ausência de campo externo) e um sistema eletrônico de detecc~ao similar ao desenvolvido por MacQuigg, para registrar hologramas fotorrefrativos com fase hologra

(80) ca estabilizada em =2. Frejlich et al ampliam o campo de aplicac~ao da tecnica ao permitir o controle de fase em 0, , ou =2 e viabilizar, simultaneamente a gravac~ao do holograma, a monitorac~ao em tempo real da sua e

(81) ciência de difrac~ao [18].". Dentre as tecnicas de gravac~ao hologra

(82) ca com estabilizaca~o, a de fringe-locked se sobressai, sobretudo pela sua grande repetitividade e pela e

(83) ciência em fornecer dados com baixssima dispers~ao. Um de seus principais inconvenientes, contudo, e a complexidade de sua implementac~ao experimental. E importante perceber que, na ausência de um produto comercial unico, varios compontentes de diversas origens e sujeitos, cada um deles, aos seus proprios problemas, devem ser utilizados para compor todo o aparato opto-eletrônico. As vantagens da utilizac~ao da tecnica, todavia, s~ao maiores que as eventuais inconveniências que sua implementac~ao pode trazer. S~ao três as contribuico~es originais desta tese. A primeira delas e o modelamento matematico completo para a operac~ao do sistema de retroalimentaca~o em experimentos do tipo hologramas em movimento com retroalimentac~ao (ou HMR, de forma abreviada1), em seu estado estacionario[19]. Ainda encontra-se em aberto a descric~ao dos termos transientes para os estagios iniciais do registro hologra

(84) co estabilizado. Apresentamos este detalhamento no captulo(4). A segunda contribuic~ao, mostrada no captulo(7), representa um avanco consideravel para a caracterizac~ao de materiais fotorrefrativos e diz respeito as formas de medida e de processamento de dados. O sistema de ajustes para dados experimentais em três dimens~oes apresenta-se como uma ferramenta automatica e con

(85) avel. Sobre esse assunto, dois artigos foram escritos [20, 21]. A terceira contribuic~ao deste trabalho esta detalhada no captulo (8). Neste captulo mostramos que as tecnicas estabilizadas podem ser utilizadas com grande vantagem se comparadas as tecnicas n~ao estabilizadas em aplicaco~es de processamento de imagens e sinais. A apresentac~ao deste trabalho esta dividida em duas partes. A primeira delas traz uma revis~ao teorica do modelamento dos processos envolvidos na gravac~ao hologra

(86) ca estabilizada em cristais fotorrefrativos, reportando algumas das contribuic~oes importantes recem mencionadas e que s~ao indispensaveis a compreens~ao da tecnica. Na segunda parte, descrevemos o aparato experimental e apresentamos os resultados a que chegamos para os dois pontos centrais deste trabalho: a caracterizac~ao de materiais fotorrefrativos pela utilizaca~o de fringe-locked running holograms e a utilizaca~o desta mesma tecnica no processamento de imagens e sinais.. 1. A express~ao usada em inglês e fringe-locked running holograms.. 3.

(87) Parte I Teoria. 4.

(88) Captulo 2 O Registro Hologra

(89) co Materiais fotorrefrativos s~ao de

(90) nidos como materiais eletro-opticos nos quais ocorrem mudancas de ndice de refrac~ao causadas por campos de carga foto-induzidos via efeito eletrooptico [22]. As mudancas de ndice de refrac~ao induzidas pela luz em cristais fotorrefrativos baseiam-se em geraca~o, migrac~ao e recombinac~ao de cargas livres originadas de iluminac~ao n~ao uniforme, como a produzida pela interferência entre dois feixes luminosos coerentes e monocromaticos [23, 24].. Figura 2.1: Esquema simpli

(91) cado da gerac~ao de fotoeletrons. O centro doador (C.D.) absorve um foton de comprimento de onda , convertendo-se em um centro doador ionizado e um eletron livre na banda de conduc~ao (B.C.). O eletron gerado move-se na banda de conduc~ao ate, apos um tempo , recombinar-se com um centro aceitador (C.A.). Na

(92) gura, B.V. representa a banda de valência A existência de centros doadores e receptores de cargas livres e essencial para formac~ao de hologramas1. Em cristais nominalmente puros, esses centros s~ao providos pela presenca de pequenas concentrac~oes de impurezas e/ou defeitos na rede cristalina. Um centro tanto pode receber (centro aceitador, C.A.) quanto perder um eletron (centro doador, C.D.), alterando sua valência, num processo de fotoexcitaca~o. A

(93) gura (2.1) mostra uma esquematizac~ao Em todo este trabalho, estaremos considerando que os portadores de carga s~ao eletrons e situac~oes em que buracos forem os agentes portadores ser~ao devidamente anunciadas. 1. 5.

(94) do processo. Os estudos a respeito dos mecanismos de gerac~ao de portadores de carga (em centros doadores) e recombinac~ao (em centros aceitadores) ainda est~ao em aberto. Acredita-se que no mecanismo de fotogerac~ao estejam envolvidos varios tipos de centros, ligados, muito possivelmente, a defeitos na estrutura cristalina e a pequenas concentrac~oes de impurezas introduzidas durante o processo de crescimento. A seguir, estaremos descrevendo o teoria envolvida no processo de registro de hologramas em cristais fotorrefrativos.. 2.1 O Modelo de Transporte de Banda Consideremos duas ondas luminosas, R e S , incidindo simetricamente sobre a face de entrada do cristal, formando um padr~ao de interferência. I (x) = I0 (1 + jmj cos Kx); (2.1) onde I0 =qIR0 + IS0 e a soma das intensidades incidentes dos feixes R e S , respectivamente, jmj = 2 IR0 IS0 =I0 e a visibilidade do padr~ao de franjas, e um escalar que depende dos estados de coerência e de polarizac~ao das ondas que interferem [25], K = 2= e a frequência espacial da rede de perodo . A modulac~ao espacial na intensidade luminosa produz no cristal uma modulaca~o espacial nas taxas de gerac~ao e recombinac~ao de cargas livres. Uma vez geradas, as cargas fotoexcitadas movimentam-se por difus~ao ou pela aca~o do campo eletrico externo aplicado (arraste), sendo, em um instante posterior, recombinadas em centros aceitadores2 (ver

(95) gura 2.1). Vale citar que os centros doadores e receptores de eletrons s~ao imoveis, sendo a mobilidade, em nosso modelo, apenas dos portadores de carga. A inomogeneidade espacial, dada pelo arranjo das cargas, origina um campo eletrico Esc(x) que ira modular o ndice de refraca~o do cristal (ver sec~ao (2.1.1), para detalhamento), via efeito eletro-optico, tal que a modulaca~o n(x) sera regida por n(x) = 1 n3re Esc(x); (2.2) 2 onde re e o coe

(96) ciente eletro-optico efetivo e n e o ndice de refraca~o medio (bulk) do cristal (ver apêndice (A)).. 2.1.1 Os Mecanismos de Transporte S~ao dois os mecanismos responsaveis pela migraca~o de cargas dentro de cristais fotorrefrativos como os que trabalhamos: a difus~ao e o arraste. Nos casos em que a difus~ao e o unico mecanismo envolvido, as taxas de gerac~ao de doadores ionizados G(x) e a de gerac~ao de Um terceiro processo de movimentac~ao de cargas seria o que se da via efeito fotovoltaico; entretanto, nos cristais com que trabalhamos, esse efeito e desprezvel, raz~ao pela qual n~ao viremos a discorrer sobre ele. 2. 6.

(97) aceitadores ionizados R(x), que e igual a taxa de recombinaca~o de eletrons, est~ao em fase mas apresentam amplitudes diferentes. Tal fato faz com que seja gerada uma densidade de cargas modulada (x)tambem em fase com o padr~ao de interferência I (x). Assim, pela Equac~ao de Poisson e pela eq.(2.2), tanto o campo espacial de cargas resultante Esc(x) quanto a rede hologra

(98) ca n(x) estar~ao defasados de =4 em relac~ao a I (x). O crescimento de Esc(x) inibe a difus~ao de eletrons e o estado estacionario e atingido quando a densidade de corrente se anula. Fica facil perceber que, quando a difus~ao e o unico mecanismo responsavel pelo transporte de cargas livres, a fase hologra

(99) ca , de

(100) nida como a diferenca de fase entre I (x) e n(x), e igual a =2, dependendo o sinal de tal diferenca do sinal do coe

(101) ciente eletro-optico e do tipo de cargas livres.. Figura 2.2: Esquematizaca~o do processo de modulac~ao das grandezas I (X ), (x), Esc(x) e n(x) em fotorrefrativos, para os casos de difus~ao pura (

(102) gura a esquerda) e difus~ao e arraste simultaneamente (

(103) gura a direita). As linhas horizontais pontilhadas n~ao marcam, necessariamente, o zero de cada grandeza. Quando, alem do mecanismo de difus~ao, temos aplicado sobre o cristal um campo eletrico externo E0 , um outro mecanismo de movimentaca~o de cargas, denominado arraste, surge. 7.

(104) Partindo do que explicamos para o caso de difus~ao pura, percebemos que um campo eletrico tem o efeito de causar uma defasagem na distribuica~o de cargas (x), em relac~ao ao padr~ao de interferência I (x). Essa defasagem depende do valor de E0, bem como de parâmetros do proprio cristal. Uma vez que (x) tem sua posic~ao em relac~ao a I (x) alterada (comparativamente a que teria na ausência de campo eletrico externo), teremos que, tambem, a modulac~ao de ndice n(x) estara defasada da posica~o que teria na ausência de aplicac~ao de campo externo por um valor . Podemos resumir, dizendo que a fase hologra

(105) ca vale d = =2 para os casos onde a difus~ao e o unico processo responsavel pela movimentac~ao de cargas, e tem um valor igual a d;a = =2 + para os casos onde ambos processos (difus~ao e arraste) estejam presentes. Para o caso em que E0 ED (sendo ED o campo de difus~ao), ' .. 2.2 As Equac~oes A resposta do material fotorrefrativo ao estmulo luminoso pode ser descrita pelo sistema de equac~oes diferenciais abaixo [26, 24]:. @n = @ND+ + 1 r J; ~ @t @t q. e. @ND+ = (

(106) + sI )(N ; N +) ; nN + ; e D R D D @t J~ = (kB Trn)dif: + (qnE~s)ar:;. (2.3) (2.4) (2.5). r ("0E~s) = q(ND+ ; n ; NA);. (2.6) onde n e a densidade de eletrons livres, ND e a densidade de doadores, NA e a densidade de aceitadores, ND+ e a densidade de doadores ionizados, J~ e a densidade de corrente, E~s e o campo eletrico estatico total; I e a intensidade luminosa, q e a carga eletrônica,

(107) e e a taxa de gerac~ao termica, s e a sec~ao de choque de fotoionizac~ao, R e a constante de recombinaca~o, e a mobilidade, kB e a constante de Boltzmann, T e a temperatura, "0 e a permeabilidade do vacuo, e a constante dieletrica estatica relativa e r e o operador diferencial. A equac~ao (2.3) e a equac~ao da continuidade para os eletrons moveis na banda de conduc~ao. Sua primeira parcela descreve a taxa de gerac~ao e recombinac~ao dos eletrons (ver equac~ao (2.4)) e o segundo termo descreve a densidade de corrente gerada pelo foto-excitac~ao. A equac~ao (2.4) e a equaca~o da continuidade para doadores ionizados e n~ao apresenta termo de corrente porque o modelo adotado sup~oe que os centros doadores s~ao imoveis. A densidade de corrente (equaca~o (2.5)) se comp~oe de contribuic~oes do mecanismo de difus~ao e do mecanismo de arraste. Supondo-se variaco~es das grandezas apenas em x (direc~ao sobre a qual e aplicado o campo externo E0), o sistema nas equac~oes de (2.3) a (2.6) reduz-se a. @n = @ND+ + 1 @J ; @t @t q @x 8. (2.7).

(108) @ND+ = (

(109) + sI )(N ; N +) ; nN + ; e D R D D @t J = kB T @n @x + qnEs;. e. s + "0 @E @x = q(ND ; n ; NA):. (2.8) (2.9) (2.10). 2.3 Determinac~ao do Campo de Cargas Esc A partir do conjunto de equac~oes recem mencionado, determinaremos o valor do campo espacial de cargas Esc para duas situac~oes: 1) iluminac~ao com padr~ao de interferência estatico (v = 0) e 2) iluminac~ao com padr~ao de interferência em movimento (v 6= 0).. 2.3.1 O Caso de Padr~ao Luminoso Estatico Os dois feixes incidentes R e S d~ao origem ao padr~ao de interferência estatico I = I0 + 21 I0[meiKx + m e;iKx]: (2.11) Consequentemente podemos esperar que as variaveis fsicas n, ND+, J e Es variem nessa mesma forma periodica. Assumindo-se que jmj seja su

(110) cientemente pequeno (aproximac~ao do primeiro harmônico espacial), s~ao esperadas soluc~oes do tipo ND+ = ND+0 + 21 [ND+1 (t)eiKx + ND+1 (t)e;iKx]; (2.12) (2.13) n = n0 + 12 [n1 (t)eiKx + n1 (t)e;iKx]; J = J0 + 21 [J1(t)eiKx + J1(t)e;iKx]; (2.14) e Es = E0 + 21 [Esc(t)eiKx + Esc (t)e;iKx]: (2.15) Nas equac~oes (2.12)-(2.11), as grandezas com sub-ndice \0" s~ao constantes. Apos um trabalho de derivac~oes e algebra, as equac~oes de (2.7) a (2.10), quando associadas as aproximac~oes de (2.12) a (2.11), geram a equac~ao diferencial sc 2 2 M [1 + K 2LD 2 ; iKLE ] @E + [1 ; iKl E + K lS ]Esc = ;me : [iED + E0 ] @t. ou, escrito de outra forma,. 9. (2.16).

(111) onde,. e. sc sc @E @t + Esc = ;me : Ee : ;. m = jmjei = jRj22RS + jS j2 ; 0 me : = sImsI ; 0+

(112) iED + E0 Ee : = 1 ; iKlE + K 2 lS 2. (2.17) (2.18) (2.19) (2.20). 2 2 E ; (2.21) sc = M 1 + K LD ; iKL 2 2 1 ; iKlE + K lS onde LD , ls, ED e M s~ao, em ordem respectiva, o comprimento de difus~ao dos eletrons, o comprimento de Debye, o campo de difus~ao e o tempo de relaxamento dieletrico; R e S s~ao, respectivamente, as amplitudes complexas das ondas R e S. De

(113) nimos ainda. "0 = "0 ; = 1 ; D = kB T ; E = KD ; M = qn D r ND+ q 0 p E " E E " k T KlE = E0 = K qN0 0 ; K 2 ls2 = ED = K 2 q20NB ; LD = D; q e q e qNe e N = ND+ (ND ; ND+) KLE = K 2L2D EE0 ; Eq = K" (2.22) e NA D 0 Em (2.22), Ne e a densidade efetiva de centros, Eq e o campo de saturac~ao e e a condutividade. A soluca~o da equac~ao (2.17), para um tempo su

(114) cientemente longo (estado estacionario), e D) Esc = ;me (1 +(EK02+l2 iE (2.23) s ; iKlE ) ou Esc = ;me Ee :. (2.24). 2.3.2 O Caso de Padr~ao Luminoso em Movimento Os dois feixes incidentes R e S agora d~ao origem a um padr~ao de interferência I = I0 + 21 I0[mei(Kx+Kvt) + m e;i(Kx+Kvt)]; 10. (2.25).

(115) que move-se com uma velocidade v 6= 03. Para o sistema de equac~oes de (2.7) a (2.10), suporemos as soluc~oes como sendo da mesma forma ND+ = ND+0 + 21 [ND+1 (t)ei(Kx+Kvt) + ND+1 (t)e;i(Kx+Kvt) ]; (2.26) n = n0 + 12 [n1(t)ei(Kx+Kvt) + n1 (t)e;i(Kx+Kvt)]; (2.27) (2.28) J = J0 + 21 [J1(t)ei(Kx+Kvt) + J1(t)e;i(Kx+Kvt) ]; e (2.29) Es = E0 + 21 [Esc(t)ei(Kx+Kvt) + Esc (t)e;i(Kx+Kvt) ]: Procedendo da mesma forma ja discutida anteriormente, somos levados a encontrar, para a amplitude do campo espacial de cargas, a express~ao + iED Esc = ;me (1 + K 2 L2 ;E0iKL ; (2.30) M E )(! + i ; iKv ) D onde 2 l2 ; iKl E S ! + i = 1 1 +1 +KK (2.31) 2 2 LD + ;iKLE : M A express~ao para o campo Esc pode ser escrita, alternativamente, como m2e (E02 + ED2 ) jEscj2 = 2 [!2 + ( ; Kv (2.32) )2][(1 + K 2L2D )2 + K 2 L2E ] ; M quando fazemos as de

(116) nic~oes 2 2 )(1 + K 2 L2 ) + K 2 L l EE S D (2.33) ! = 1 (1 + K(1l+ 2 2 2 2 2 K LD ) + K LE M e 22 2 2 (2.34) = 1 KLE (1(1++KKl2SL) 2;)2Kl+EK(12 L+2 K LD ) : M D E A equac~ao (2.30) tem caractersticas de um sistema ressonante, pois ha uma frequência (Kv)0 = que maximiza a amplitude do campo que modula o ndice de refraca~o.. 3. Em sec~oes posteriores discorreremos sobre a forma como tal velocidade e gerada.. 11.

(117) Captulo 3 A Teoria de Ondas Acopladas 3.1 Teoria de Ondas Acopladas para Redes Hologra

(118) cas Espessas Neste captulo, estaremos descrevendo a teoria de ondas acopladas para redes hologra

(119) cas espessas formulada por Kogelnik[6].. Figura 3.1: Modelo de uma rede hologra

(120) ca espessa. Os parâmetros da rede s~ao: , ângulo de incidência no meio; K , vetor da rede; , perodo da rede; d, espessura da rede. Assumiremos que a luz incidente sobre o holograma seja monocromatica, incida no ângulo de Bragg e tenha polarizac~ao perpendicular ao plano de incidência. Na

(121) gura (3.1) esquematizamos o modelo usado como ponto de partida de nossa analise: o eixo z e escolhido per12.

(122) pendicularmente a superfcie do cristal, o eixo x esta no plano de incidência e e paralelo a superfcie do cristal. O eixo y e perpendicular ao plano da folha de papel. As franjas est~ao colocadas perpendicularmente a face do cristal. K~ e o vetor da rede, perpendicular a rede gravada. A espessura do cristal e d. Assumimos a constante dieletrica media como sendo a mesma, dentro ou fora do cristal. O ângulo de incidência e . R e S s~ao, respectivamente, a onda incidente e a onda difratada. O modulo de K~ e dado por. K = 2=. (3.1). = =2 sin . (3.2). com o perodo da rede sendo dado por A propagac~ao ondulatoria na rede e descrita pela equaca~o r2 E~ + k2 E~ = 0;. (3.3). onde E~ e o vetor campo eletrico associado a onda luminosa (que assumimos como sendo independente de y) e cuja frequência angular e !. k = k(x; z) e a constante de propagac~ao modulada espacialmente e esta relacionada com a constante dieletrica, = (x; z), e com a condutividade eletrica do meio, = (x; z), por. k2 = !c2 ; i!; 2. p. (3.4). onde i ;1, c e a velocidade da luz no vacuo, e a permeabilidade do meio, a qual assumimos como sendo igual a do vacuo. No modelo proposto, o holograma e representado por uma modulac~ao espacial da constante dieletrica e da condutividade eletrica do meio, que est~ao em fase, dadas por = 0 + 1 cos(K~ ~x) = 0 + 1 cos(K~ ~x): (3.5) Em (3.5), 0 e 0 s~ao a constante dieletrica e a condutividade media do meio, respectivamente. Os termos 1 e 1 representam as amplitudes das modulac~oes espaciais da constante dieletrica e da condutividade do meio, respectivamente. Combinando-se as equac~oes (3.4) e (3.5) e utilizando as relac~oes de Euler para exponenciais complexas, escrevemos. k2 =

(123) 2 ; 2i

(124) + 2

(125) (eiK~ ~x + e;iK~ ~x): (3.6) Em (3.6), ,

(126) e s~ao, respectivamente, a constante de absorc~ao media, a constante de propagac~ao media e a constante de acoplamento. descreve o acoplamento entre as ondas incidente R e difratada S , regendo a troca de energia entre as ondas. Em [6], tem-se a demonstrac~ao de que (3.7) = n1 ; i 21 ; 13.

(127) onde e. n1 = 2p1. 0. (3.8). 1 = 2c (3.9) p1 : 0 As modulac~oes espaciais indicadas por n1 e 1 formam uma rede que acopla as ondas R e S , dando origem a uma troca de energia entre elas. Essas ondas, dentro do cristal, s~ao representadas por suas amplitudes complexas, R(z) e S (z). O campo eletrico E pode ser expresso, utilizando-se essas amplitudes, como E (x; z) = R(z)e;i~~x + S (z)e;i~~x: (3.10) Os vetores de propagac~ao ~ e ~ utilizados em (3.10) contem informaco~es sobre as constantes de propagac~ao e as direc~oes de propagac~ao de R e S , obedecendo a lei de Bragg, isto e, ~ = ~ ; K: ~ (3.11) Combinando as equac~oes (3.3) e(3.10), chegamos a duas equac~oes diferenciais: d R(z) + R(z) = ;iS (z) cos dz (3.12) e cos d S (z) + S (z) = ;iR(z): (3.13) dz As equac~oes (3.12) e (3.13) s~ao as equac~oes acopladas de Kogelnik. A amplitude de modulac~ao no ndice de refrac~ao para cristais fotorrefrativos e dada por 3 (3.14) n1 = ; n r412 Esc ; em que n1 e o ndice de refraca~o medio para o cristal, r41 e o elemento do tensor eletro-optico e Esc e a amplitude do campo que provoca a modulac~ao no ndice de refrac~ao do cristal.. 3.1.1 A Soluc~ao das Equac~oes de Ondas Acopladas O proximo passo e resolver o sistema de equac~oes acopladas representado pelas equaco~es (3.12) e (3.13). O sistema de equac~oes diferenciais tem soluc~oes. R(z) = [C1ei0z + C2 e;i0z ]e; 0 z=2 e. S (z) = [;C1 ei0z + C2e;i0 z ]e; 0 z=2 ; onde de

(128) nimos = cos 0 e = cos 0 =2. 14. (3.15) (3.16).

(129) A determinac~ao das constantes C1 e C2 em (3.15) e (3.16) e feita a partir das condic~oes de contorno q R(0) = IRo e;i'oR = C1 + C2 (3.17) e q S (0) = ISo e;i'oS = C2 ; C1; (3.18) onde 'oR e 'oS s~ao as fases das ondas R e S e IRo = IR(0) e ISo = IS (0) s~ao as intensidades na face de entrada do cristal (z = 0), em respectiva ordem. Finalmente, podemos escrever as equac~oes para as amplitudes complexas das ondas luminosas:. q q R(z) = [ IRo e;i'oR cos(0z) ; i ISo e;i'oS sin(0 z)]e; 0 z=2 (3.19) e q q S (z) = [ ISo e;i'oS cos(0z) ; i IRo e;i'oR sin(0z)]e; 0 z=2 ; (3.20) de onde decorrem diretamente q IR = R(z)R (z) = [IRo cos2 (0z) + ISo sin2(0 z) + IRo ISo sin(20 z) sin('oR ; 'S o)]e; 0 z (3.21) e. q IS = R(z)R (z) = [IRo cos2 (0z) + ISo sin2(0 z) ; IRo ISo sin(20 z) sin('oR ; 'S o)]e; 0 z : (3.22). As duas equac~oes anteriores apresentam como unica diferenca um sinal, que relaciona-se com o sentido da troca de energia entre os feixes. Em ultima instância, quem determinara o sentido da troca de energia entre os dois feixes sera a diferenca de fase 'oR ; 'S o que, no modelo proposto por Kogelnik, e a propria fase hologra

(130) ca. Entretanto, vimos, anteriormente que esta fase hologra

(131) ca e dependente do(s) mecanismo(s) de registro hologra

(132) co [7]. De forma geral, podemos escrever a fase hologra

(133) ca como. = ' =2:. (3.23). Utilizando (3.10), escrevemos a intensidade luminosa total na face de entrada do cristal ITo (x; z = 0) = I0 [1 + jmj cos(K~ ~x ; ('oR ; 'oS ))]; (3.24) onde I0 = IRo + ISo e. q. 2 Io Io jmj = I R S 0. (3.25). e a modulac~ao dos feixes. Quando encontramos a express~ao para o campo espacial de cargas Esc,

(134) zemos o que chamamos de aproximac~ao do primeiro harmônico. Essa aproximaca~o equivale a ter jmj 1 o que, em nossos experimentos, consegue-se fazendo um feixe com intensidade baixa e outro com intensidade alta. Se a energia for transferida do feixe forte para o fraco, teremos ganho positivo, em caso contrario, ganho negativo 15.

(135) 3.1.2 E

(136) ciência de Difrac~ao Consideremos o caso em que apenas um feixe ilumina o cristal como esquematizado na

(137) gura (3.2). As ondas transmitida (t) e difratada (d) podem ser calculadas a partir das equac~oes (3.19) e (3.20). Temos. e. q Rd(z) = S (z)ISo =0 = [;i IRo e;i'oR sin(0z)]e; 0 z=2; q Rt (z) = R(z)ISo =0 = [ IRo e;i'oR cos(0z)]e; 0 z=2 ; q o ;i'o t o S (z) = S (z)IR=0 = [ IS e S cos(0z)]e; 0 z=2 q S d(z) = R(z)IRo =0 = [;i ISo e;i'oS sin(0 z)]e; 0 z=2 :. (3.26) (3.27) (3.28) (3.29). Figura 3.2: Difrac~ao de feixes R (a) e S (b) por uma rede hologra

(138) ca formada em um cristal. De posse de todas as equac~oes que conseguimos derivar, podemos expressar a e

(139) ciência de difrac~ao que e de

(140) nida como d j2 j S = sin2(0 z); = t2 jS j + jS dj2. (3.30). q q IS = ISo (1 ; ) + IRo 2p 1 ; IRo ISo cos ':. (3.31). de onde vem,

(141) nalmente, que. O processo de registro de hologramas em cristais fotorrefrativos e dinâmico, ocorrendo interaco~es entre os feixes de escrita e o holograma que se esta gravando. Tal interac~ao causa mudanca nas amplitudes e nas fases dos feixes de escrita num processo chamado de autodifraca~o. Tal fenômeno n~ao e descrito pela teoria de Kogelnik que sup~oe a pre-existência de um holograma ja registrado no cristal. 16.

(142) Captulo 4 Analise da Gerac~ao dos Hologramas em Movimento com Retroalimentac~ao Hologramas em movimento1 geralmente s~ao produzidos movendo-se o padr~ao de franjas sobre o cristal fotorrefrativo, atraves da defasagem progressiva de um dos feixes interferentes. Ao iluminarmos o cristal fotorrefrativo com um tal padr~ao, forma-se um holograma que move-se sincronicamente ao padr~ao de iluminac~ao, uma vez atingido o estado estacionario. Alternativamente, podemos gerar um holograma em movimento atraves de uma tecnica de retroalimentac~ao,

(143) xando-se a diferenca de fase entre o feixe transmitido e o difratado atras do cristal em um determinado valor. Como esta diferenca de fases e imposta arti

(144) cialmente e n~ao corresponde a real situac~ao de equilbrio, o \sistema" tende a mover-se permanentemente sempre tentando atingir a diferenca de fase que seria natural, sem, naturalmente, conseguir. A tecnica conhecida como holograma em movimento com retroalimentac~ao e um experimento controlado por retroalimentaca~o e que gera dados experimentais bastante estaveis. Como veremos tambem, a tecnica de HMR constitui-se em um metodo auto-su

(145) ciente que permite a determinac~ao de alguns parâmetros importantes em cristais fotorrefrativos. A seguir, sera descrita a operac~ao detalhada do sistema de retroalimentac~ao que permite a gerac~ao de um HMR.. 4.1 A Teoria do Sistema de Estabilizac~ao O procedimento de estabilizac~ao esta baseado na modulaca~o de fase em um dos feixes de escrita. Uma modulac~ao de amplitude d e frequência angular (muito maior do que a Usamos, no decorrer deste trabalho, dois termos distintos: holograma em movimento, ou abreviadamente HM (do inglês, (plain) running hologram), e holograma em movimento com retroalimentac~ao, que abreviaremos por HMR (fenômeno referido, em inglês, como fringe-locked running hologram). No primeiro caso, a velocidade e imposta externa e diretamente sobre o sistema, no segundo, esta e gerada pelo proprio sistema, atraves da utilizac~ao de um laco de retroalimentac~ao eletro-optico. 1. 17.

(146) resposta em frequência do holograma) e aplicada na fase de um dos feixes de escrita. Assim sendo, a diferenca de fase ' entre as ondas transmitida e difratada ao longo de uma mesma direc~ao atras do cristal e correspondentemente modulada. A express~ao para a irradiância total atras do cristal, medida na direc~ao S , sera, portanto,. q q IS = ISo (1 ; ) + IRo 2 (1 ; ) ISo IRo cos(' +. d sin( t)). (4.1). A n~ao-linearidade na relaca~o entre ' e IS faz com que sejam produzidos termos harmônicos em , sendo as amplitudes do primeiro e do segundo de tais termos, em ordem respectiva, iguais a q q IS = 4J1( d ) (1 ; ) ISo IRo sin ' (4.2) e q q 2. IS = 4J2( d ) (1 ; ) ISo IRo cos '; (4.3) em que Ji () e a func~ao de Bessel de primeira classe de ordem i. Para materiais n~ao-fotovoltaicos e sem a aplicac~ao de campo externo, a fase hologra

(147) ca e = =2 e, em consequência, ' = 0 (ou )[27]. Assim, no equilbrio, temos IS = 0 e, portanto, podemos utilizar IS como sinal de erro na operac~ao do sistema de estabilizac~ao que mantera a montagem hologra

(148) ca ativamente

(149) xa a esta condic~ao ' = 0. Esquematizamos tal condicionamento na Figura (4.1).. Figura 4.1: Diagrama de Blocos de uma Montagem Auto-estabilizada: D fotodetetor, LA-. ampli

(150) cador lock-in sintonizado em , HV fonte de alta voltagem para o modulador de fase PM, OSC oscilador operando em frequência . O descasamento de fases na sada, as fase de retroalimentaca~o e de rudo s~ao, respectivamente, ', 'f e 'N O fotodetetor D transforma os termos harmônicos em sinais eletricos com as amplitudes. VS = Kd IS. 18. (4.4).

(151) e. VS2 = Kd2 IS2 ; (4.5) em que Kd e Kd2 s~ao as respostas dos detetores, respectivamente, aos sinais com frequência. e 2 . Um ampli

(152) cador lock-in LA- seleciona o primeiro harmônico e produz o sinal de correc~ao VC = A VS ; (4.6) onde A e a ampli

(153) cac~ao. O sinal e, ent~ao, enviado a fonte de alta voltagem HV que produz um sinal eletrico Vf = K0VC : (4.7) Na Equac~ao (4.7), K0 e a ampli

(154) caca~o na fonte HV. O sinal Vf age sobre o modulador de fase PM que, por sua vez, produz uma fase de correc~ao 'f na montagem hologra

(155) ca, tal que o V = A sin '; 'f = KPZT f. (4.8). em que. q q o K A K 4J ( ) I o I o (1 ; ); A = KPZT (4.9) 0 d 1 d S R o e o fator de convers~ao voltagem-fase no modulador PM, para = 0. Concomionde KPZT tantemente, um oscilador OSC produz uma pequena voltagem ac com frequência na forma V (t) = Vd sin t. (4.10). que e acrescida a Vf e enviada a PM a

(156) m de que seja produzida uma modulac~ao de fase de frequência e amplitude. (4.11) d = KPZT Vd ; a qual e necessaria para a gerac~ao da modulac~ao de fase a que nos referimos na Equaca~o (4.1).. e o fator de convers~ao voltagem-fase de PM na freq KPZT uência .. 4.2 Gravac~ao Estabilizada com v = 0 A fase de sada pode ser escrita como. '=. 0+ H. sendo. o V; ; KPZT 0. (4.12). o V; (4.13) = H ; KPZT 0 o V esta diretamente relacionado a onde H e a fase (posic~ao) do holograma gravado, KPZT 0 posic~ao do padr~ao de franjas e sua diferenca e a fase hologra

(157) ca . 0 e um termo de correc~ao dependente da natureza do holograma, do proprio valor de e do grau de acoplamento de fase[28].. 19.

(158) Em regime de equilbrio, e constante:. 0. s~ao constantes e o valor de ' correspondente tambem e. '0 = 0 + : (4.14) A relac~ao entre '0 e (e 0) esta feita implicitamente em sin 2 z (4.15) tan '0 = ; IS (0) IR(0) ; z ; cos z + sinh ; z ; cosh I I 2 2 2 e (4.16) tan = ; ; com 3 2n3 re <fE g: ; = ; 2ncosre =f E g e. = ; (4.17) e e cos e ; s~ao proporcionais as componentes (real e imaginaria) do campo espacial de cargas Esc e est~ao em fase e defasada de =2 do padr~ao de franjas, respectivamente[27]. Para o caso particular em que = =2, = 0 e, consequentemente, '0 = 0 (or ) o que, de forma implcita, leva a 0 = =2. Para outros valores de , os correspondentes valores de '0 podem ser calculados a partir da Equac~ao (4.15). Em regime de equilbrio e sob condic~oes de retroalimentac~ao, a express~ao de 'f na Equac~ao (4.8) e subtrada (da o nome retroalimentac~ao negativa) da Equac~ao (4.12), o que da o valor 'eq para o regime de equilbrio sob condic~oes de retroalimentac~ao, tal que 'eq = '0 ; A sin 'eq; (4.18) onde '0 sempre representa o estado no regime de equilbrio sem retroalimentaca~o com 'eq 6= '0, exceto para o caso '0 = 0 (isto e, = =2) quando 'eq = 0 na Equac~ao (4.18). Em outras palavras, sob condic~oes de retroalimentac~ao o sistema estara com velocidade nula apenas para = =2, de outra forma, a retroalimentac~ao ira obrigar o padr~ao de franjas e o holograma a ele associado a mover-se devido a defasagem entre 'eq e '0.. 4.2.1 Condic~ao de Equilbrio Estavel Para o caso de holograma

(159) xo (v = 0), '0 = 0, ainda e necessario analisar a estabilidade da condic~ao de equilbrio 'eq = 0. Na presenca de rudos na montagem ('N ), a Equac~ao (4.18)

(160) ca. ' = 'N + '0 ; 'f : (4.19) A condic~ao de equilbrio estavel deve requerer que d'=d'N 0, o que, substitudo na Equac~ao (4.19), resulta em 1 0 d' ] = 1 ] = (4.20) ' ' eq eq d'N 1 + A cos ' 1+A onde assumimos que 'eq 0. A condica~o na Equac~ao (4.20) e atendida para um valor grande de A o que representa uma grande retroalimentac~ao negativa. 20.

(161) 4.3 Gravac~ao Estabilizada de Hologramas em Movimento (v = 0) 6. A operac~ao da retroalimentac~ao para estabelecer um holograma em movimento estavel e o ponto central de nossa tecnica. Como discutimos, um holograma em movimento e automaticamente gerado quando '0 6= 0 na relaca~o de retroalimentaca~o apresentada na Equac~ao (4.18). Em tais condic~oes, o holograma e forcado a apagar-se e reescrever-se em outra posic~ao continuamente, resultando na gerac~ao de um movimento contnuo.. Figura 4.2: Diagrama de Blocos da Montagem para Gerac~ao de HMR: o mesmo que apresentado na Figura (4.1), com o acrescimo de um integrador INT na sada do ampli

(162) cador lock-in. O diagrama de blocos da nova montagem experimental e esquematizado na Figura (4.2), em que inseriu-se um integrador entre a sada do ampli

(163) cador lock-in e a fonte de alta voltagem HV, de tal forma que a fase de correc~ao (retroalimentac~ao) 'f n~ao mais e descrita pela Equac~ao (4.8), mas pela integral Zt 'f = A (4.21) i 0 sin ' dt; onde i e um fator que surge do circuito de integrac~ao. 'f e quem produz o descasamento entre ' e '0 que e necessario para fazer o holograma mover-se e, ao mesmo tempo, para atender a condic~ao de retroalimentac~ao ' 0 que e determinada pelo uso de IS como sinal de erro. A express~ao para ' sob esses novos vnculos de retroalimentac~ao e Zt A ' = '0 ; sin ' dt: (4.22) i 0 21.

(164) A condic~ao para o regime de equilbrio e representada por d' = d 0 + d H ; sin ' = 0; (4.23) f dt d t dt onde foram considerados: f = A=i e a condic~ao de equilbrio d 0 =dt = 0. Da Equac~ao (4.23) tem-se (4.24) !H = ddtH = f sin ': Entretanto, deve-se perceber, !H e funca~o do descasamento entre ' e '0 de tal modo que a relac~ao pode ser expressa como. !H = f (' ; '0) with f (0) = 0;. (4.25). onde f (' ; '0) e uma func~ao que depende de parâmetros experimentais e materiais. Partindose das equac~oes (4.24) e (4.25). !H = f (' ; '0) = f sin ';. (4.26). mostrando que f ! 1 leva a ' ! 0 em cujo caso a equac~ao anterior torna-se flim !1 !H. = f (;'0) = f sin ':. (4.27). A Equac~ao (4.27) mostra que para uma ampli

(165) cac~ao f su

(166) cientemente elevada, a velocidade do holograma !H n~ao depende de f , mas sim do valor de equilbrio sem retroalimentac~ao '0 (n~ao vinculado pelas condic~oes experimentais), atraves da relaca~o funcional f (;'0 ). Tal func~ao sera discutida abaixo.. 4.3.1 Condic~ao de Equilbrio Estavel Precisamos analisar o equilbrio estavel, isto e, o modo pelo qual a retroalimentaca~o reduz os efeitos tanto do rudo 'N quanto de sua variaca~o !N = d'N =dt sobre ' nas proximidades da posic~ao de equilbrio. Para tanto, inclumos o termo 'N na Equaca~o (4.22) e calculamos sua derivada temporal, rearranjando a equaca~o como d' + ' = ! dt f com ! = d 0 + d H + d'N = !H + !N ; dt dt dt onde assumiu-se que sin ' ' 1, para o que, a soluc~ao geral[29] e. Z. ; f dt. '= e. Z. ['i + ! e. Z. 22. f dt. dt]:. (4.28) (4.29). (4.30).

(167) R. Se considerarmos f como sendo independente do tempo, ent~ao f dt = f t. A utilizac~ao do teorema de integrac~ao por partes nos leva a escrever. Z. ! ef t dt = ! ef t ; !_2 ef t ; !3 ef t ; ::: ; C f f f Z ! e ! ef t dt ef t + C para !_ 2f f. (4.31) (4.32). e a Equac~ao (4.30) torna-se. (4.33) ' ! + ['i ; !i ] e;f t ; f f onde 'i = 'N representa o rudo e !i inclui o termo d'N =dt = !N Para uma grande ampli

(168) cac~ao, o termo entre colchetes (onde est~ao inclusos os termos de rudo 'N e !N ) cai a zero muito rapidamente. O termo remanescente !=f (onde esta includo, entre outros, o termo de rudo d'N =dt) e intensamente reduzido pela grande ampli

(169) cac~ao f .. 4.3.2 A Velocidade para Hologramas em Movimento com Retroalimentac~ao Na equac~ao (4.27), a

(170) rmamos que a velocidade do holograma e uma funca~o f (;'0), onde '0 e a diferenca de fases entre os feixes difratado e transmitido ao longo da mesma direc~ao atras do cristal, em equilbrio, sem retroalimentaca~o. A express~ao real para a velocidade dos hologramas em movimento com retroalimentac~ao (n~ao tomando-se em conta efeitos de absorc~ao sobre a velocidade do holograma) e escrita como Kv = 1 [(E =E )E2 0+=E1]DK 2 L2 + 1 ; com Kv !H ; (4.34) M 0 D D que foi deduzida da condic~ao IS / <fEe g = 0, onde Ee e o campo de cargas espacial efetivo no cristal e M e o tempo de relaxamento dieletrico. Da relaca~o acima, vê-se que !H depende de ED / ; e de E0 / , que, por sua vez, determina '0 na equac~ao (4.15), de tal modo que !H seja (implicitamente) determinada por '0, como indicado na relaca~o teorica mostrada na equac~ao (4.27). Outros efeitos (por exemplo, o efeito da absorc~ao sobre M ) podem complicar a analise e levar a relac~oes entre !H e '0 que s~ao muito mais complexas do que a apresentada na relac~ao (4.34). De todo modo, a forma particular de tal relaca~o n~ao e relevante a

(171) m de analisar a maneira como o sistema opera.. 23.

(172) Captulo 5 Autodifrac~ao e Absorc~ao 5.1 Autodifrac~ao O registro hologra

(173) co em cristais fotorrefrativos e um processo dinâmico em que os feixes de escrita interagem entre si e com o holograma que esta sendo escrito. Essas interac~oes n~ao s~ao atendidas pela teoria de Kogelnik que pressup~oe a leitura de uma rede

(174) xa e previamente escrita.. 5.1.1 A E

(175) ciência de Difrac~ao em Regime de Autodifrac~ao Nesta sec~ao, faremos um resumo da descric~ao dos efeitos de autodifrac~ao e suas implicac~ao no modelamento teorico das grandezas de interesse neste trabalho. O material aqui utilizado e um artigo publicado por Frejlich et al [27].. e. E possvel escrevemos as equac~oes de ondas acopladas como dR(z) = i m(z)S (z) dz cos . para onde valem. e. dS (z) = i m (z)R(z); dz cos m(z) = 2 S (zI)R(z) ; = 0e;i. 0 = ; n r241 Ee : 3. 24. (5.1) (5.2) (5.3) (5.4) (5.5).

(176) Associando as cinco equac~oes anteriores, escrevemos dR(z) = 2i0 jS (z)j2R(z) e;i dz cos I e dS (z) = 2i0 jR(z)j2S (z) ei dz cos I Propomos como soluc~ao para as equac~oes acima as express~oes. q R(z) = IR (z)e;iR(z). e. q S (z) = IS (z)e;iS (z) ; que, levadas em (5.1) e (5.2), geram dIR = ;4 0 IR IS sin ; dz cos IR + IS dIS = ;4 0 IR IS sin ; dz cos IR + IS dR = ;2 0 IS cos dz cos IR + IS e dS = ;2 0 IR cos : dz cos IR + IS Considerando-se a presenca de rede de fase pura apenas podemos escrever IR + IS = I = I0 ;. (5.6) (5.7) (5.8) (5.9) (5.10) (5.11) (5.12) (5.13) (5.14). onde I0 e o valor da intensidade na face de entrada do cristal. Com as equaco~es que temos ate o momento, poderemos escrever, depois de alguns calculos, 2 IR (z) = IR0

(177) 12 ++

(178) e;z (5.15) e 2 (5.16) IS (z) = IS0 1 +1 +

(179) 2

(180) e;;z ; para o que

(181) zemos as de

(182) nic~oes

(183) 2 = IR0 =IS0 e ; = 40 sin (5.17) cos Para determinarmos as fases das ondas R e S solucionamos as equac~oes (5.12) e (5.13). Logo, (5.18) R(z) = 0R ; z 4 ; 25.

(184) e onde e. S (z) = 0S ; z 4 ; ;. (5.19). = 40 cos cos . (5.20). 2 IR(z) = IR0

(185) 12 ++

(186) e;z e; z. (5.22). 2 IS (z) = IS0 1 +1 +

(187) 2

(188) e;;z e; z. (5.23). R = ;S . (5.24). 1 ln exp (;z=2) +

(189) 2 exp (;;z=2) (5.21) 2 tan 1 +

(190) 2 Na presenca de absorc~ao optica, as equac~oes para as intensidades IR (z) e IS (z)

(191) cam. e. =. As soluc~oes (5.8) e (5.9) sempre resolvem as equaco~es acopladas (5.1) e (5.2), mas podemos encontrar uma nova soluc~ao para o sistema, propondo as soluco~es e. I = R. (5.25) Como a nova soluc~ao e linearmente independente, podemos determinar a nova soluc~ao fazendo o produto de R0 =I pela velha soluc~ao (R; S ) e subtraindo o produto de S0=I pela nova soluc~ao (RS ) obtemos a soluc~ao para a onda difratada na direc~ao de R, assim R0R = 1 (5.26) RR = I1 (R0R + S0 S ) e IR = I1 (;S0 R + S0S ) IR0 = 1 (5.27) A e

(192) ciência de difrac~ao sera calculada usando-se. jIR j = jR 0 j2 2. R. (5.28). Descontando-se efeitos de absorc~ao, a e

(193) ciência de difraca~o, na presenca de autodifraca~o sera dada por 2 z=2) ; cos( z=2) : (5.29) =

(194) 22

(195) + 1

(196) 2cosh(; exp(;;z=2) + exp(;z=2) Veremos na sec~ao (5.2) que algumas modi

(197) caco~es devem ser efetuadas na equaca~o (5.29) devido a absorc~ao. 26.

(198) 5.2 Absorc~ao 5.2.1 A Velocidade dos Hologramas em Movimento com Retroalimentac~ao em Cristais Absorventes Podemos expressar M dependendo de Iabs=d, tal como "0hd ; M = q Iabs apenas para os casos em que d 1; para outros casos, temos ; dI = I0 e; z : dz Desse modo, a dependência de M

(199) ca. M (z) = M (0)e z ;. (5.30). (5.31) (5.32). em que M (0) e o tempo de relaxamento na frente do cristal. Para os casos em que efeitos de absorc~ao devam ser considerados, a condic~ao <fEe g = 0 deve ser substituda por 1 Z d <fE gdz = 0; (5.33) e d 0

(200) cando agora v expresso na func~ao implcita. p. 4ac ; b2M (0)Kv(e d ; 1) 2 (0)K 2 v 2 e d + bM (0)Kv (e d + 1) = 2 c + 2 a M " p !!# 2 2 2 2 d d 2 x 1 a 4 ac ; b M (0)K v e + bM (0)Kve + c = tan 2cg + xb d ; 2 ln ; aM 2(0)K 2v2 + bM (0) + c para 4ac b2 :. (5.34) (5.35). Em (5.34) valem as seguintes de

(201) nic~oes:. x = E0 =ED ; a = (K 2 L2D x)2 + (1 + K 2L2D )2; b = 2x(K 2 ls2 ; K 2L2D ); c = (1 + K 2ls2 )2 + (K 2 L2s x)2 e g = K 2 L2D + K 2 L2D + 1:. (5.36). E possvel mostrar facilmente que a Equac~ao (5.34) tende a Equaca~o (4.34) no limite d ! 0. Tambem mostra-se, a partir de (5.36), que a condic~ao (5.35) sempre e atendida.. 27.

(202) 5.2.2 A E

(203) ciência de Difrac~ao dos Hologramas em Movimento com Retroalimentac~ao em Cristais Absorventes em Regime de Autodifrac~ao Encontramos a equac~ao (5.29) que descreve o comportamento da e

(204) ciência de difrac~ao nos casos em que se deva considerar a autodifrac~ao. A inclus~ao dos efeitos de absorca~o e feito modi

(205) cando-se os termos ;z e z nela presentes. Vimos que ; / =fEe :g e que / <fEe :g (equaco~es (4.17)). O mesmo argumento apresentado na sec~ao anterior a respeito da absorc~ao faz com que devamos fazer ;z ! ;d =. e. Zd 0. ;dz. (5.37). Zd. (5.38) z ! d = dz; 0 em que d e a espessura do cristal. A equac~ao para a descric~ao da e

(206) ciência de difrac~ao, considerados tanto o efeito de absorc~ao quanto o de autodifraca~o, logo, sera 2 2

(207) =

(208) 2 + 1 2cosh(;d=2) ; cos( d=2) :

(209) exp(;;d=2) + exp(;d=2) As express~oes completas para ;d e d s~ao. ;d =. e. d =. onde. Zd 0. Zd 0. ! " # z =d bc 2 2 aKv exp( z ) + b i ;(z)dz = w ai ; 2c p arctan p + 4ac ; b2 4ac ; b2 z=0 " #z=d exp(2 z ) c i +w 2 c ln aK 2 v2 exp(2 z) + bKv exp( z) + c z=0 ! " #z=d bc 2 2 aKv exp( z ) + b r ;(z)dz = w ar ; 2c p arctan p + 4ac ; b2 4ac ; b2 z=0 " #z=d c exp(2 z ) r +w 2 c ln aK 2 v2 exp(2 z) + bKv exp( z) + c ; z=0 exp ( z) + ci ; = w aK 2v2 expaiKv (2 z) + bKv exp ( z) + c ; ar Kv exp ( z) + cr = w aK 2v2 exp ; (2 z) + bKv exp ( z) + c 3 w = 4n2re ; a = [K 2 L2E + (1 + K 2L2D )](M (0))2; 28. (5.39). (5.40). (5.41) (5.42) (5.43) (5.44) (5.45).

(210) b c ar cr ai ci M (0). = = = = = = =. 2M (0)(K 2 ls2 ; K 2 L2D ) E0 ; ED 2 2 2 2 2 (1 + K lS ) + K lE ; ;[(1 + K 2L2D )ED + KLE E0 ]M (0); E0 ; E0 M (0); E0 KlE + ED (1 + K 2lS2 ); "0 (kbT=q)h : qL2 I (0) D. 29. (5.46) (5.47) (5.48) (5.49) (5.50) (5.51) (5.52).

(211) Parte II Experimento. 30.

(212) Captulo 6 Descric~ao do Experimento 6.1 Montagem e Amostras Experimentos do tipo HMR foram realizados, utilizando-se a linha = 514:5nm para diferentes valores de K , em duas amostras nominalmente puras de Bi12TiO20 (BTO), rotuladas como BTO-011 (espessura d = 2:05mm, distância inter-eletrodos l = 6:20mm e altura h = 7:00mm) e BTO-013 (d = 2:35mm, l = 6:95mm e h = 10:25mm) que foram crescidas [30] da mesma forma, mas obtidas independentemente (ver Figura (6.1)).. Figura 6.1: Representac~ao esquematica de duas amostras de Bi12 TiO20 (BTO-011 e BTO-013) utilizados em nossos experimentos. O arranjo experimental utilizado esta representado na Figura (6.2). Dois feixes laser mutuamente coerentes, monocromaticos e igualmente polarizados, com irradiâncias IRo (feixe referência) e ISo (feixe sinal), com

(213) 2 = IRo =ISo 1, produzem um padr~ao de interferência que e projetado sobre o plano (110) da amostra de BTO e inclui todo o volume do cristal 31.

(214) Figura 6.2: Setup experimental utilizado. BS, beam-splitter; M, espelho; BTO, amostra; S, feixe sinal; R, feixe referência; D1 , detector na direc~ao do feixe S; D2 , detector na direc~ao do feixe R; , ampli

(215) cador lock-in, sintonizado na frequência ; 2 , ampli