Aditividade de aplicações e b-decomposição de Wedderburn

Texto

(1)Aditividade de aplica¸ co ˜es e b−decomposi¸ c˜ ao de Wedderburn. Bruno Leonardo Macedo Ferreira. Tese apresentada ao ´ tica e Estat´ıstica Instituto de Matema da ˜ o Paulo Universidade de Sa para ˜ o do t´ıtulo obtenc ¸a de ˆncias Doutor em Cie Programa: Matemática Orientador: Prof. Dr. Henrique Guzzo Júnior Coorientador: Prof. Dr. João Carlos da Motta Ferreira Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux´ılio financeiro da CAPES São Paulo, 19 de Julho de 2013.

(2) ii.

(3) Aditividade de aplica¸ co ˜es e b−decomposi¸ c˜ ao de Wedderburn. Esta versão definitiva da tese contém as corre¸cões e altera¸cões sugeridas pela Comissão Julgadora durante a defesa realizada por Bruno Leonardo Macedo Ferreira em 19/07/2013.. Comissão Julgadora: • Prof. Dr. Henrique Guzzo J´ unior (orientador) - IME-USP. • Prof. Dr. Roberto Celso Fabr´ıcio Costa - IME-USP. • Profa. Dra. L´ ucia Satie Ikemoto Murakami - IME-USP. • Prof. Dr. Juaci Pican¸co da Silva - UFPA. • Prof. Dr. Manuel Arenas - Universidad de Chile..

(4) iv.

(5) Resumo A tese está dividida em duas partes. A primeira parte é dedicada a análise de quando certas aplica¸cões definidas em uma classe de anéis não-associativos são aditivas. Esta questão foi estudada para anéis associativos por Martindale, [38], e outros, [35], [4], [22], [23], [37], [39], [36], [7] e [27]. Para anéis de Jordan, foi estudada por Ji Peisheng, [26], e para anéis alternativos por Ferreira e Guzzo, [12], [13] e [14]. Muito pouco se conhece ainda sobre esta questão com rela¸caõ a anéis e a´lgebras não-associativas em geral. Assim, um propósito é o de tentar ampliar ou aprofundar esse conhecimento para outras classes de anéis não-associativos. Um teorema muito importante na teoria das álgebras associativas é o Teorema de Wedderburn. A segunda parte a ser investigada nesta tese procura provar um teorema do tipo Wedderburn para b-álgebras do tipo (γ, δ). Muitos autores buscam provar um teorema do tipo de Wedderburn para algumas a´lgebras não-associativas, já temos isso feito para as a´lgebras alternativas e de Jordan. No caso das b-álgebras definimos: No capitulo 4, definimos b−decomposi¸caõ de Wedderburn. Assim, outra linha estudada é ver se alguma b-álgebra possu´ı uma b-decomposi¸cão de Wedderburn.. v.

(6) vi.

(7) Abstract The thesis is divided into two parts. The first part is dedicated to analysis when certain applications defined in a class of non-associative rings are additive. This question was studied for associative rings by Martindale, [38], and others, [35], [4], [22], [23], [37] , [39], [36], [7] and [27]. For Jordan’s rings, it was studied by Ji Peisheng, [26], and for alternative rings, by Ferreira and Guzzo, [12], [13] and [14]. We know very few results with regard to nonassociative rings and algebras, in general. This way, a purpose is the one of try to extend or to deepen that knowledge to other classes of non-associative rings. A very important theorem in the theory of associative algebras is the Theorem of Wedderburn. The second part to be investigated try to prove a theorem of Wedderburn type to b-algebras (γ, δ) type. Many authors seek to prove a theorem of Wedderburn for some type of non-associative algebras, we have done it for alternative algebras and Jordan. In the case of b-algebras defined: In chapter 4, we define b−Wedderburn decomposition. Thus, another line study is to see if some b-algebra possess a b-Wedderburn decomposition.. vii.

(8) viii.

(9) Sum´ ario Introdu¸c˜ ao. xi. 1 Preliminares. 1. 1.1. Nota¸co˜es, terminologia e propriedades básicas . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. A decomposi¸caõ de Peirce de anéis standard . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.3. Aplica¸co˜es elementares de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.4. ´ Algebras Báricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.5. ´ Algebras do tipo (γ, δ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2 Aditividade de aplica¸co ˜es elementares de Jordan sobre an´ eis standard 11 2.1. O teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.2. Resultados obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 3 Aplica¸c˜ oes multiplicativas sobre an´ eis standard. 37. 3.1. Teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 3.2. Resultados alcan¸cados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 4 Teoria das ´ algebras associativas e n˜ ao associativas como modelo para as b−´ algebras. 54. 4.1. ´ Algebra bárica do tipo (γ, δ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. 4.2. Considera¸cões finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. 5 Conclus˜ ao. 65. ix.

(10) Referˆ encias Bibliogr´ aficas. 67. x.

(11) Introdu¸ c˜ ao. O Estudo sobre a questão de quando uma determinada aplica¸cão definida sobre um anel em outro é aditiva tem se tornado uma área de grande atividade de pesquisa na teoria dos anéis associativos. Nesse caso, frequentemente, o que se tem feito é estabelecer condi¸co˜es sobre o anel em que a fun¸cão está definida, assegurando a aditividade de tal aplica¸caõ. Os tipos de aplica¸cões e as condi¸cões exigidas, em geral, variam de acordo com cada problema. Um dos primeiros resultados de que se tem registro foi dado por Martindale III, ver [38]. Nesse resultado, de 1969, exige-se que o anel possua elementos idempotentes. 0. 0. Defini¸c˜ ao 0.1. Sejam dois anéis arbitrários R e R . Uma aplica¸cão ϕ : R −→ R é chamada de aplica¸cão aditiva se ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), para todo x, y ∈ R. Similarmente, ϕ é uma aplica¸cão multiplicativa se ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), para todo x, y ∈ R. 0. 0. 0. Defini¸c˜ ao 0.2. Sejam R e R dois anéis e sejam M : R −→ R e M ∗ : R −→ R duas aplica¸cões. Chamaremos o par ordenado (M, M ∗ ) uma aplica¸cão elementar de Jordan se   M (aM ∗ (x) + M ∗ (x)a) = M (a)x + xM (a)  M ∗ (M (a)x + xM (a)) = aM ∗ (x) + M ∗ (x)a, 0. para todo a ∈ R e x ∈ R . 0. Observa¸c˜ ao 0.1. Observe que se ϕ : R −→ R é uma aplica¸cão multiplicativa sobrejetora, então ϕ(0) = 0. xi.

(12) Demonstra¸cão. Já que ϕ é sobrejetora, podemos escolher x ∈ R tal que ϕ(x) = 0. Portanto ϕ(0) = ϕ(0x) = ϕ(0)ϕ(x) = ϕ(0)0 = 0. Defini¸c˜ ao 0.3. Sejam R e S anéis arbitrários. Uma aplica¸cão ϕ de R em S é chamada um isomorfismo multiplicativo se ϕ é bijetora e satisfaz ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) para todo x, y ∈ R. A questão de quando um isomorfismo multiplicativo é aditivo foi considerada por Rickart [5] e também por Johnson [34]. Em ambos os artigos condi¸cões de minimalidade foram impostas no anel R. O objetivo de Martindale III em seu artigo [38] foi generalizar o teorema principal de Rickart [[5], p. 761, Teorema II] e, ao mesmo tempo, remover a condi¸caõ de minimalidade. Teorema de Rickart diz o seguinte: Teorema. Seja R um anel contendo uma fam´ılia {Jα | α ∈ A} de ideais à direita que satisfaz: (i) Cada Jα é irredut´ıvel. (ii) Jα x = 0 para cada α ∈ A, implica x = 0. (iii) Cada Jα , considerado como um espa¸co vectorial sobre o anel de divisão HomR (Jα , Jα ), é de dimensão maior que um. Então qualquer isomorfismo multiplicativo de R em um anel arbitrário S é necessariamente aditivo. ´ bem conhecido que qualquer ideal minimal à direita em um anel semisimples é E da forma J = eR, e um idempotente. A semisimplicidade também diz que xR = 0 implica x = 0. De (iii) pode-se concluir que, para cada J (= Jα ), existe um vetor não nulo em J = eR da forma ey(1 − e). De fato, se eR(1 − e) = 0 então eR = eRe, que diz que J é uni-dimensional sobre o anel de divisão eRe. Portanto, se um escalar exe é tal que (exe) (eR) (1 − e) = 0 então exe = 0. As observa¸co˜es no parágrafo anterior mostram que o resultado de Rickart é um caso especial do teorema xii.

(13) Teorema. (Martindale III, 1969 [38]) Seja R um anel associativo possuindo uma fam´ılia {eα |α ∈ Λ} de idempotentes satisfazendo as condi¸cões: (i) Se x ∈ R é tal que xR = 0 então x = 0; (ii) Se eα Rx = 0 para cada α ∈ Λ, então x = 0 (e assim Rx = 0 implica x = 0); (iii) Para cada α ∈ Λ, eα xeα R(1 − eα ) = 0 implica eα xeα = 0. Aqui eα xeα R(1 − eα ) = 0, significa eα xeα (r − reα ) = 0, com r ∈ R, pois R não necessariamente tem elemento unidade. Então qualquer isomorfismo multiplicativo de R sobre um anel associativo arbitrário é aditivo. Uma caracter´ıstica interessante deste problema é que a conclusão do teorema, obviamente, falha se o anel R ou é muito “bem comportado”ou muito “mal comportado”. Com efeito, se R é um corpo, a aplica¸cão x → x−1 (com 0 → 0) não é em geral aditiva. Da´ı a necessidade de condi¸caõ (iii). Por outro lado, se R2 = 0, qualquer automorfismo injetor do conjunto R (com 0 → 0) é multiplicativa. Condi¸cões (i) e (ii) impedem ocorrências deste tipo. Vários outros resultados versando sobre a mesma questão da aditividade foram obtidos, porém utilizando outros tipos de aplica¸co˜es que podem ser vistas em [4], [22], [37] e [27]. Em todos esses trabalhos, a presen¸ca de idempotentes é crucial para assegurar a aditividade de suas aplica¸co˜es. Recentemente, o resultado de Martindale III, citado acima, foi generalizado numa forma diferente das anteriores [7]. Seus autores estabelecem uma condi¸caõ sobre o anel para o caso onde ele não possua qualquer elemento idempotente não nulo. 0. Teorema. (Fang Yan Lu e Jin Hai Xie, 2006 [7]) Seja R um anel associativo possuindo uma fam´ılia {eα |α ∈ Λ} de idempotentes. Suponhamos que R é um subanel 0. de R satisfazendo as condi¸cões: (i) Para cada α ∈ Λ, eα R ⊆ R e Reα ⊆ R; xiii.

(14) (ii) Se x ∈ R é tal que xR = 0, então x = 0; (iii) Se x ∈ R é tal que (eα R)x = 0 (ou eα (Rx) = 0) para todo α ∈ Λ, então x = 0 (e assim Rx = 0 implica x = 0); (iv) Para cada α ∈ Λ e x ∈ R, se (eα xeα )(R(1 − eα )) = 0 então eα xeα = 0. Então qualquer isomorfismo multiplicativo de R sobre um anel associativo arbitrário é aditivo.. Para o caso de aditividade de aplica¸co˜es definidas sobre anéis não associativos e possuindo idempotentes, alguns resultados também já foram encontrados. Em anéis alternativos podemos citar [12] e [13], onde os autores generalizam os resultados obtidos em [27] e [37], respectivamente, e o trabalho em [14], onde os mesmos autores generalizam os resultados obtidos por Fang Yan Lu e Jin Hai Xie [7] e em Martindale III [38]. Teorema. (Ferreira e Guzzo, 2010 [12] e [13]) Seja R um anel alternativo, primo, 0. 2 e 3-livre de tor¸cão possuindo um idempotente não trivial e seja R um anel alternativo arbitrário. Então cada aplica¸cão elementar de Jordan sobrejetora (M, M ∗ ) de R × R. 0. é aditiva. 0. Teorema. (Ferreira e Guzzo, 2011 [14]) Seja R um anel alternativo possuindo 0. uma fam´ılia {eα |α ∈ Λ} de idempotentes. Suponhamos que R é um subanel de R satisfazendo as condi¸cões: (i) Para cada α ∈ Λ, eα R ⊆ R e Reα ⊆ R; (ii) Se x ∈ R é tal que xR = 0, então x = 0;. (iii) Se x ∈ R é tal que (eα R)x = 0 (ou eα (Rx) = 0) para todo α ∈ Λ, então x = 0 (e assim Rx = 0 implica x = 0); (iv) Para cada α ∈ Λ e x ∈ R, se (eα xeα )(R(1 − eα )) = 0 então eα xeα = 0.. xiv.

(15) Então qualquer isomorfismo multiplicativo de R sobre um anel alternativo arbitrário é aditivo. Corol´ ario. (Ferreira e Guzzo, 2011 [14]) Seja R um anel alternativo possuindo uma fam´ılia {eα |α ∈ Λ} de idempotentes satisfazendo as condi¸cões: (i) Se x ∈ R é tal que xR = 0, então x = 0; (ii) Se (eα R)x = 0 para cada α ∈ Λ, então x = 0 (e assim Rx = 0 implica x = 0); (iii) Para cada α ∈ Λ e x ∈ R, se (eα xeα )(R(1 − eα )) = 0 implica eα xeα = 0. Então qualquer isomorfismo multiplicativo de R sobre um anel alternativo arbitrário é aditivo. Para resultados sobre anéis de Jordan, podemos citar o trabalho [26]. Nos cap´ıtulos 2 e 3 mostramos a aditividade de aplica¸co˜es elementares de Jordan e aplica¸co˜es multiplicativas para a classe de anéis standard. Com o intuito de generalizar o conceito de álgebras alternativas, Albert em [1] criou a teoria das álgebras quase alternativas, onde nesse estudo ele define uma subclasse das álgebras quase alternativas, chamadas álgebras do tipo (γ, δ). Seja F um corpo de caracter´ıstica diferente de 2. Uma álgebra A sobre um corpo F é chamada quase alternativa a` esquerda se as seguintes propriedades se verificam: ( I ) Os elementos de A satisfazem a identidade: z(xy) = α(zx)y+β(zy)x+γ(xz)y+δ(yz)x+y(zx)+ηx(zy)+σy(xz)+τ x(yz) (1) em que α, β, γ, δ, , η, σ, τ ∈ F e x, y, z estão em A; ( II ) A rela¸caõ xx2 = x2 x vale para todo x de A; ( III ) Existe uma a´lgebra B com um elemento unidade tal que B satisfaz (1) e B não é uma álgebra comutativa.. xv.

(16) Uma álgebra alternativa a` esquerda satisfaz a rela¸cão x(xy) = (xx)y e então (x + z)[(x + z)y] = [(x + z)(x + z)]y, isto é, z(xy) = (zx)y + (xz)y − x(zy). Esta é a identidade (1) com α = γ = −η = 1, β = δ = = σ = τ = 0. A identidade de ( II ) e propriedade ( III ) são triviais, e portanto a classe das a´lgebras quase alternativas à esquerda contém a classe das a´lgebras alternativas a` esquerda. Uma álgebra A será dita quase alternativa à direita se ( I ), ( II ) e ( III ) valem com (1) substitu´ıda por uma identidade da mesma forma mas com z(xy) trocado por (xy)z. Chamaremos então A uma álgebra quase alternativa se A é quase alternativa a` esquerda e a` direita. A partir desta álgebra, Albert em [1], Teorema 2, página 29 definiu as álgebras do tipo (γ, δ). No quarto cap´ıtulo desta tese apresentaremos uma b-Decomposi¸caõ de Wedderburn para a´lgebras báricas deste tipo.. xvi.

(17) Cap´ıtulo 1 Preliminares Neste cap´ıtulo, resumimos os principais resultados a serem utilizados ao longo desta tese.. 1.1. Nota¸c˜ oes, terminologia e propriedades b´ asicas. Defini¸c˜ ao 1.1. Seja R um anel não necessariamente associativo ou comutativo. Para x, y, z ∈ R, denotamos o associador de x, y e z por (x, y, z) = (xy)z − x(yz) e o comutador de x e y por [x, y] = xy − yx. Defini¸c˜ ao 1.2. Seja k ∈ Z, k > 0. Um anel R é dito k-livre de tor¸cão se, para todo x ∈ R, kx = 0 implica x = 0. Consideremos a aplica¸caõ linear f : R → R dada por f (x) = kx, para todo x ∈ R. Claramente, se R é um anel k-livre de tor¸cão, então f é uma aplica¸caõ injetiva. Neste caso, denotamos x = k1 y quando y = kx. Defini¸c˜ ao 1.3. Um anel R é dito primo se IJ = 6 0 para quaisquer dois ideais n˜ ao nulos I, J ⊆ R. Defini¸c˜ ao 1.4. Um anel comutativo J é um anel de Jordan se (x2 , y, x) = 0, para quaisquer x, y ∈ J.. 1.

(18) 1.2 A decomposi¸cão de Peirce de anéis standard. 2. Seja R um anel 2-livre de tor¸caõ satisfazendo as seguintes identidades: (x, y, z) + (z, x, y) − (x, z, y) = 0. (1.1). (wx, y, z) + (xz, y, w) + (wz, y, x) = 0. (1.2). para todo x, y, z, w ∈ R. As identidades (1.1) e (1.2) são satisfeitas por qualquer anel associativo e qualquer anel de Jordan 2-livre de tor¸caõ. Fazendo z = x em (1.1), obtemos (x, y, x) = 0. (1.3). para todo x, y ∈ R. Além disso, se R é um anel 3-livre de tor¸caõ, então (1.2) implica (x2 , y, x) = 0. (1.4). para todo x, y ∈ R. Defini¸c˜ ao 1.5. Um anel que verifica (1.3) é chamado de anel flex´ıvel. Defini¸c˜ ao 1.6. Diremos que R é um anel de Jordan não comutativo se (1.3) e (1.4) são satisfeitas. Defini¸c˜ ao 1.7. Diremos que R é um anel standard se (1.1), (1.2) e (1.4) são satisfeitas. Observa¸c˜ ao 1.1. A condi¸cão (1.4) é redundante se R é 3-livre de tor¸cão. ´ fácil provar que todo anel standard é um anel de Jordan não comutativo. E. 1.2. A decomposi¸c˜ ao de Peirce de an´ eis standard. Os resultados a seguir aparecem em [31]. Defini¸c˜ ao 1.8. Consideremos R um anel standard e fixemos um idempotente n˜ ao trivial e1 ∈ R, isto é, e21 = e1 , e1 6= 0 e e1 não é um elemento unidade. Definimos e2 : R → R e e02 : R → R por e2 a = a − e1 a e e02 a = a − ae1 . Denotamos e02 a por ae2 = a − ae1 . Defini¸c˜ ao 1.9. Sejam R um anel e x ∈ R. Definimos.

(19) 1.2 A decomposi¸cão de Peirce de anéis standard. 3. (i) o operador multiplicativo à direita de R, determinado por x Rx :. R −→. R. a 7 −→ ax (ii) o operador multiplicativo à esquerda de R, determinado por x Lx :. R −→. R. a 7 −→ xa Observe que se R é flex´ıvel então podemos escrever (1.2) como (x, y, wz) + (w, y, xz) + (z, y, wx) = 0. (1.5). e trocando x com z em (1.5), e subtraindo (1.5) dessa nova rela¸cão, obtemos (w, y, [x, z]) = 0. (1.6). para todo x, y, z, w ∈ R. Agora usando a flexibilidade, podemos reescrever (1.5) como (wx, y, z) − (w, y, xz) + (wz, y, x) = 0. (1.7). (wx, y, z) + (xz, y, w) − (x, y, wz) = 0. (1.8). ou como. Usando (1.6) e flexibilidade, (1.8) pode ser reescrita como (x, y, zw) − (xz, y, w) + (z, y, xw) = 0.. (1.9). Em termos de operadores multiplicativos a` direita e à esquerda de R, (1.7) e (1.9) são equivalentes a Ry(xz) = Ry Rxz + Rx (Ryz − Ry Rz ) + Rz (Ryx − Ry Rx ). (1.10). L(xz)y = Ly Lxz + Lx (Lzy − Ly Lz ) + Lz (Lxy − Ly Lx ).. (1.11). e.

(20) 1.2 A decomposi¸cão de Peirce de anéis standard. 4. Então (1.10) e (1.11) implicam Rx3 = 3Rx Rx2 − 2Rx3. (1.12). Lx3 = 3Lx Lx2 − 2L3x. (1.13). e. para todo x ∈ R. Considere R um anel standard 2−livre de tor¸cão e R é um anel de Jordan não comutativo, temos a decomposi¸cão de Peirce R = R11 ⊕ R 1 ⊕ R22 2. relativa a qualquer idempotente e ∈ R, onde R11 = {a ∈ R | ea = ae = a} R22 = {a ∈ R | ea = ae = 0} R 1 = {a ∈ R | ea + ae = a} . 2. Agora (1.12) e (1.13) implicam respectivamente em (Re − I)(2Re − I)Re = 0. (1.14). (Le − I)(2Le − I)Le = 0,. (1.15). e. onde I é o operador identidade. Mostremos que R 1 é soma direta de espa¸cos vetoriais 2. R 1 = R12 ⊕ R 1 1 ⊕ R21 , 2. 2 2. onde Rij =. xij ∈ R | e1 xij =. . 4 4 2 2 2 2 xij e xij e1 = − j + 3j − xij , − i + 3i − 3 3 3 3. (para i, j = 12 , 1, 2). Observe que R12 , R 1 1 , R21 ⊂ R 1 . Logo R12 + R 1 1 + R21 ⊆ R 1 . 2 2. 2. 2 2. 2. Mostremos agora que R 1 ⊆ R12 + R 1 1 + R21 . De (1.14) e (1.15) temos 2. 2 2. 1 R = Re (1) ⊕ Re ( ) ⊕ Re (0) 2. (1.16).

(21) 1.2 A decomposi¸cão de Peirce de anéis standard. 5. e 1 R = Le (1) ⊕ Le ( ) ⊕ Le (0) 2. (1.17). em que 1 Re (1) = {x | xe = x} , Re ( ) = 2. 1 x | xe = x , Re (0) = {x | xe = 0} 2. 1 Le (1) = {x | ex = x} , Le ( ) = 2. 1 x | ex = x , Le (0) = {x | ex = 0} . 2. e. Seja u ∈ R 1 e considere a decomposi¸caõ de u = x+y+z com rela¸cão a (1.17). Portanto 2. x + y + z = u = eu + ue = x + 21 y + ue segue que ue = 12 y + z. Observe que como R é flexivel temos xe ∈ Le (1), 21 ye ∈ Le ( 12 ) e eue = (eu)e = (x + 21 y)e = xe + 21 ye. Por outro lado, eue = e(ue) = e( 12 y + z) =. 1 y. 4. Logo,. 1 y 4. = xe + 12 ye. Portanto. xe ∈ (Le (1) ∩ Le ( 21 )) = {0} , então x ∈ R12 e y ∈ R 1 1 . Finalmente 12 y + z = ue = 22. xe + ye + ze = 21 y + ze então ze = z, z ∈ R21 . Logo R 1 é uma soma direta de espa¸cos 2. vetoriais R 1 = R12 ⊕ R 1 1 ⊕ R21 , 2. 2 2. onde (para i, j = 21 , 1, 2): Rij =. xij ∈ R | e1 xij =. . 4 2 2 4 2 2 xij e xij e1 = − j + 3j − xij . − i + 3i − 3 3 3 3. Todo anel standard tem a decomposi¸caõ de Peirce R = R11 ⊕ R12 ⊕ R 1 1 ⊕ R21 ⊕ R22 , 2 2. relativa ao idempotente e, satisfazendo as rela¸cões: (i) Rij Rkl ⊆ δjk Ril (i, j, k, l = 1, 2), onde δjk é o delta de Kronecker; (ii) Rii R 1 1 ⊆ R 1 1 e R 1 1 Rii ⊆ R 1 1 (i = 1, 2); 2 2. 2 2. 2 2. 2 2. (iii) Rij R 1 1 = R 1 1 Rij = 0 (i, j = 1, 2; i 6= j); 2 2. 2 2. (iv) R 1 1 R 1 1 ⊆ R11 ⊕ R22 ; 2 2. 2 2. (v) [R, R 1 1 ] = 0, isto é, para todo r ∈ R e r 1 1 ∈ R 1 1 o comutador [r, r 1 1 ] = 0. 2 2. 22. 2 2. 2 2.

(22) 1.3 Aplica¸co˜es elementares de Jordan. 6. 1 Notemos que 2x 1 1 e1 = 2e1 x 1 1 = x 1 1 e portanto x 1 1 e1 = e1 x 1 1 = x 1 1 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 Omitiremos a demonstra¸cão de (i), . . . , (v) acima por não apresentar dificuldades. A seguir temos uma observa¸caõ cuja prova é baseada em cálculos simples, das propriedades (i)-(v) da decomposi¸cão de Peirce. Portanto, será omitida. Observa¸c˜ ao 1.2. Seja R um anel standard 2-livre de tor¸cão contendo uma fam´ılia {eα : α ∈ Λ} de idempotentes e R = R11 (eα ) ⊕ R12 (eα ) ⊕ R 1 1 (eα ) ⊕ R21 (eα ) ⊕ R22 (eα ) 2 2. a decomposi¸cão de Peirce de R, relativa ao idempotente eα , para cada α ∈ Λ. Ent˜ ao para cada α ∈ Λ e x ∈ R, temos: (i) x11 = 2eα (eα xeα ) − eα xeα ; (ii) x 1 1 = 22 (eα x − eα (eα x)); 2 2. (iii) x22 = x − eα x − xeα − eα xeα + 2eα (eα xeα ).. 1.3. Aplica¸c˜ oes elementares de Jordan. Lembremos o que é uma aplica¸cão elementar de Jordan. 0. 0. 0. Defini¸c˜ ao 1.10. Sejam R e R dois anéis e sejam M : R −→ R e M ∗ : R −→ R duas aplica¸cões. Chamaremos o par ordenado (M, M ∗ ) uma aplica¸cão elementar de Jordan se   M (aM ∗ (x) + M ∗ (x)a) = M (a)x + xM (a)  M ∗ (M (a)x + xM (a)) = aM ∗ (x) + M ∗ (x)a, 0. para todo a ∈ R e x ∈ R . 0. Diremos que a aplica¸cão elementar de Jordan (M, M ∗ ) de R × R é aditiva ( resp., injetiva, sobrejetiva, bijetiva) se ambas as aplica¸cões M e M ∗ são aditivas (resp., injetivas, sobrejetivas, bijetivas). Observa¸c˜ ao 1.3. M (0) = 0 e M ∗ (0) = 0. De fato, fazendo a = x = 0 em M (aM ∗ (x) + M ∗ (x)a) = M (a)x + xM (a) obtemos M (0) = 0; o mesmo acontece para M ∗ . Quando (M, M ∗ ) é bijetiva temos as observa¸co˜es que seguem cujas provas são semelhantes, como em [37]. Portanto, omitiremos suas demonstra¸co˜es..

(23) 1.3 Aplica¸co˜es elementares de Jordan. 7. Observa¸c˜ ao 1.4. O par (M ∗ −1 , M −1 ) é uma aplica¸cão elementar de Jordan sobre 0. R×R. Observa¸c˜ ao 1.5. Sejam a, b, c ∈ R tais que M (c) = M (a) + M (b). Então M ∗ −1 (tc + ct) = M ∗ −1 (ta + at) + M ∗ −1 (tb + bt) para todo t ∈ R. 0. Observa¸c˜ ao 1.6. Sejam x, y, z ∈ R tais que M ∗ (z) = M ∗ (x) + M ∗ (y). Então M −1 (wz + zw) = M −1 (wx + xw) + M −1 (wy + yw) 0. para todo w ∈ R . Observa¸c˜ ao 1.7. Sejam a, b, c ∈ R tais que M ∗ −1 (c) = M ∗ −1 (a) + M ∗ −1 (b). Então M (tc + ct) = M (ta + at) + M (tb + bt) para todo t ∈ R. 0. Observa¸c˜ ao 1.8. Sejam x, y, z ∈ R tais que M −1 (z) = M −1 (x) + M −1 (y). Então M ∗ (wz + zw) = M ∗ (wx + xw) + M ∗ (wy + yw) 0. para todo w ∈ R . Defini¸c˜ ao 1.11. Dada uma álgebra J definimos o produto triplo de Jordan sobre J por {xyz} = (xy)z + x(zy) − (xz)y. Uma álgebra J é chamada não-degenerada se {xJ x} 6= 0 para todo elemento n˜ ao nulo x ∈ J . Observamos que quando J é uma a´lgebra associativa, então o produto triplo de Jordan sobre J toma a forma {xyz} = xyz. Consideremos J uma a´lgebra de Jordan sobre um corpo de caracter´ıstica diferente de 2 e fixamos um idempotente não trivial e1 de J . Então J tem uma decomposi¸cão de Peirce J = J1 ⊕ J 1 ⊕ J0 , onde Ji = {xi ∈ J | xi e1 = ixi } (i = 0, 12 , 1). Os subspa¸cos 2. Ji satisfazem as rela¸cões multiplicativas: (i) Ji Ji ⊆ Ji e Ji Jj = 0 (i = 0, 1; i 6= j); (ii) Ji J 1 ⊆ J 1 (i = 0, 1) e J 1 J 1 ⊆ J1 ⊕ J0 . 2. 2. 2. 2.

(24) ´ 1.4 Algebras Báricas. 8. TEOREMA (Bediar, K. et al. [19]) Para uma álgebra de Jordan não degenerada J , as seguintes afirma¸cões são equivalentes: (i) J é prima; (ii) {aJ b} = 6 0 para quaisquer a, b ∈ J , não nulos.. 1.4. ´ Algebras B´ aricas. Seja U uma álgebra sobre um corpo F. Defini¸c˜ ao 1.12. Se ω : U −→ F é um homomorfismo não nulo de álgebras, ent˜ ao o par ordenado (U, ω) será chamado uma álgebra bárica ou b-álgebra sobre F e ω é fun¸cão peso ou simplesmente peso. Para x ∈ U, ω(x) é dito peso de x. Defini¸c˜ ao 1.13. Quando B é uma subálgebra de U e B 6⊂ kerω, então B é chamado uma b-subálgebra de (U, ω). Neste caso, (B, ωB ) é uma b-álgebra, onde ωB = ω|B : B −→ F. Defini¸c˜ ao 1.14. Seja B uma b-subálgebra de (U, ω). Então o subconjunto bar(B) = {x ∈ B | ω(x) = 0} é um ideal de B de codimensão 1, chamado bar ideal de B. Observa¸c˜ ao 1.9. Sejam (B, ω) uma b-álgebra e a ∈ B um elemento de peso n˜ ao ω(x) a+ nulo. Então B = F a ⊕ ker(ω). De fato, para todo x ∈ B, temos que x = ω(a) ω(x) ω(x) ω(x) ω(x) x− a . Como ω x − a = ω(x) − ω(a) = 0, temos que x − a∈ ω(a) ω(a) ω(a) ω(a) ker(ω). Além disso, se x ∈ F a ∩ ker(ω), então x = αa, para algum α ∈ F e ω(x) = 0. Logo, 0 = ω(αa) = αω(a). Assim, α = 0, pois ω(a) 6= 0. Logo, F a ∩ ker(ω) = {0}. Defini¸c˜ ao 1.15. Se B é um b-subálgebra de U e bar(B) é um ideal de bar(U ) (ent˜ ao por [[8], Proposi¸cão 1.1], também um ideal de U ), então B é chamado b-subálgebra normal de (U, ω). Se I ⊆ bar(B) é um ideal de B, então I é dito um b-ideal de B. Defini¸c˜ ao 1.16. Seja (U, ω) uma b-álgebra. Um subconjunto B é chamado b-subálgebra maximal (normal) de U se B é uma b-subálgebra (normal) de U e não existe bsubálgebra (normal) C de U tal que B ⊂ C ⊂ U. Um subconjunto I é dito b-ideal maximal de U se I é um b-ideal de U, I 6= bar(U ) e não existe um b-ideal J de U tal que I ⊂ J ⊂ bar(U )..

(25) ´ 1.5 Algebras do tipo (γ, δ). 9. Defini¸c˜ ao 1.17. Um elemento não nulo e ∈ U é chamado um idempotente se e2 = e e idempotente não trivial se é um idempotente diferente do elemento unidade. Observa¸c˜ ao 1.10. Se (U, ω) é uma b-álgebra e e ∈ U é um idempotente, então ω(e) = 0 ou ω(e) = 1. Quando ω(e) = 1, então e é dito idempotente de peso 1. Defini¸c˜ ao 1.18. Uma b-álgebra (U, ω) é chamada b-simples se para toda b-subálgebra normal B de U, bar(B) = (0) ou bar(B) = bar(U ). Observa¸c˜ ao 1.11. Quando (U, ω) tem um idempotente de peso 1, então (U, ω) é bsimples se, e somente se, os u ńicos b-ideais são (0) e bar(U ). Defini¸c˜ ao 1.19. Seja (U, ω) uma b-álgebra. Definimos o bar-radical ou b-radical de U, denotado por rad(U ), como: rad(U ) = (0), se (U, ω) é b-simples, caso contrário como T rad(U ) = bar(B), onde B percorre as b-subálgebras normais maximais de U. Observe que, rad(U ) é um b-ideal de U. Diremos que U é b-semisimples se rad(U ) = (0).. 1.5. ´ Algebras do tipo (γ, δ). Defini¸c˜ ao 1.20. Uma álgebra U sobre um corpo F de caracter´ıstica 6= 2, 3, 5 é chamada álgebra do tipo (γ, δ) se satisfaz as identidades: (z, x, y) + γ(x, z, y) + δ(y, z, x) = 0. (1.18). (x, y, z) − γ(x, z, y) + (1 − δ)(y, z, x) = 0. (1.19). (x, x, x) = 0. (1.20). para todo x, y, z ∈ U , onde o (x, y, z) = (xy)z − x(yz) é o associador de U e γ, δ ∈ F satisfazendo γ 2 − δ 2 + δ = 1. Restringimos nosso estudo a`s a´lgebras do tipo (γ, δ) com δ 6= 0, 1. Toda a´lgebra do tipo (γ, δ) é quase alternativa, veja Albert (1949) [1]. Seja U uma a´lgebra do tipo (γ, δ) sobre F . Então, U é uma álgebra de potências associativas e se U tem um idempotente e, então U pode ser decomposta como uma soma direta de subespa¸cos vetoriais U = U11 ⊕ U10 ⊕ U01 ⊕ U00 , onde Uij = {xij ∈ U | exij = ixij and xij e = jxij } (i, j = 0, 1).

(26) ´ 1.5 Algebras do tipo (γ, δ). 10. satisfazendo as rela¸co˜es multiplicativas Uij Ukl ⊂ δjk Uil (i, j, k, l = 0, 1), onde δjk (j, k = 0, 1) é o Kronecker delta, veja [1], [21] e [2]. Defini¸c˜ ao 1.21. Um conjunto de idempotentes {e1 , . . . , et }, em uma álgebra arbitrária, é chamada pares de idempotentes ortogonais no caso que ei ej = 0 para i 6= j. Observe que qualquer soma e = e1 + · · · + et de pares de idempotentes ortogonais (t ≥ 1) é um idempotente. Também temos eei = ei e = ei , (i = 1, . . . , t). Uma decomposi¸caõ de Peirce mais refinada para a´lgebras do tipo (γ, δ) do que a dada acima é a seguinte decomposi¸caõ relativa ao conjunto {e1 , . . . , et } de pares de L idempotentes ortogonais em U : U = i,j Uij (i, j = 0, 1, . . . , t), onde Uij = {xij ∈ U | ek xij = δki xij e xij ek = δjk xij , k = 1, . . . , t} (i, j = 0, 1, . . . , t), satisfazendo as rela¸co˜es multiplicativas: Uij Ukl ⊂ δjk Uil (i, j, k, l = 0, 1, . . . , t),. (1.21). onde δjk (j, k = 0, 1, . . . , t) é o delta Kronecker. Defini¸c˜ ao 1.22. Um ideal não nulo I de uma álgebra U é chamado minimal se para qualquer ideal de U tal que (0) ⊂ J ⊂ I, então J = (0) ou J = I. Defini¸c˜ ao 1.23. Seja U uma álgebra de dimensão finita do tipo (γ, δ) sobre F . Definimos o nil-radical de U , denotado por R(U ), como o nil-ideal maximal de U . Diremos que U é simples quando os u ńicos ideais são os triviais e U não é uma zero álgebra. Se R(U ) = 0, então U é dita semisimples. Defini¸c˜ ao 1.24. O n´ ucleo (ou o centro associativo) de uma álgebra do tipo (γ, δ) U é definido por N (U ) = {u ∈ U | (x, y, u) = (x, u, y) = (u, x, y) = 0 para todo x, y ∈ U }..

(27) Cap´ıtulo 2 Aditividade de aplica¸ c˜ oes elementares de Jordan sobre an´ eis standard Neste cap´ıtulo provamos quando uma aplica¸caõ elementar de Jordan pode ser uma aplica¸caõ aditiva para as classes de anéis standard. Os resultados apresentados neste cap´ıtulo, no caso associativo, tem aplica¸co˜es em a´lgebras de operadores, para mais detalhes veja [25]. Lembramos que e2 = 1 − e1 onde R não precisa ter um elemento unidade, portanto e2 a = a − e1 a e ae2 = a − ae1 , para todo a ∈ R. Estendemos o seguinte resultado de W. Jing: 0. Teorema. Sejam R e R anéis associativos. Suponha que R é um anel 2-livre de tor¸cão contendo um idempotente não trivial e1 , satisfazendo: (i) ei aej Rek = 0 ou ek Rei aej = 0 implica ei aej = 0 (i, j, k = 1, 2), (ii) (e2 ae2 )(be2 ) + (e2 b)(e2 ae2 ) = 0, para cada b ∈ R, implica e2 ae2 = 0. 0. Então toda aplica¸cão elementar de Jordan sobrejetiva (M, M ∗ ) de R × R é aditiva.. 11.

(28) 2.1 O teorema principal. 2.1. 12. O teorema principal. O resultado que provamos a seguir fornece condi¸cões para que uma aplica¸caõ elementar de Jordan sobrejetiva seja aditiva. Para que tal resultado ocorra consideramos dois 0. anéis standard R e R onde R possui um elemento idempotente não trivial. Com tal idempotente consideramos a decomposi¸cão de Peirce de R e exigimos que esse anel satisfa¸ca ao menos um dos dois conjuntos de axiomas que propomos, com isso conseguimos provar o seguinte Teorema: 0. Teorema 2.1. Sejam R e R dois anéis standard tais que R é um anel 2-livre de tor¸c˜ ao contendo um idempotente não trivial e1 e seja R = R11 ⊕ R12 ⊕ R 1 1 ⊕ R21 ⊕ R22 2 2. a decomposi¸cão de Peirce de R, relativa a e1 , satisfazendo ao menos um dos dois conjuntos de condi¸cões: (i) aij (Rek ) = 0 ou (ek R)aij = 0 implica aij = 0 (i, j, k = 1, 2; i 6= j), (ii) Se (ei aei )tij = 0 para todo tij ∈ Rij , então aii = 0 (i, j = 1, 2; i 6= j), (iii) Se tij (ej aej ) = 0 para todo tij ∈ Rij , então ajj = 0 (i, j = 1, 2; i 6= j), (iv) Se aii t22 = 0 (res., t22 aii = 0) (i = 21 , 2) para todo t22 ∈ R22 , então aii = 0, (v) Se a22 t22 + t22 a22 = 0 para todo t22 ∈ R22 , então a22 = 0, ou (i’) aij (Rej ) = 0 ou (ei R)aij = 0 implica aij = 0 (i, j = 1, 2; i 6= j), (ii’) Se aii t 1 1 = 0 (i = 1, 2) para todo t 1 1 ∈ R 1 1 , então aii = 0, 2 2. 2 2. 22. (iii’) Se aii t22 = 0 (resp., t22 aii = 0) (i = 12 , 2) para todo t22 ∈ R22 , então aii = 0, (iv’) Se a22 t22 + t22 a22 = 0 para todo t22 ∈ R22 , então a22 = 0. 0. Então toda aplica¸cão de Jordan sobrejetiva (M, M ∗ ) de R × R é aditiva. A demonstra¸cão do Teorema 2.1 está organizada em uma série de lemas. Quando necessário, na demonstra¸caõ dos lemas, diremos quais conjuntos de axiomas estão sendo utilizados. Iniciaremos com o seguinte lema..

(29) 2.1 O teorema principal. 13. Lema 2.2. Seja a = a11 + a12 + a 1 1 + a21 + a22 ∈ R. 2 2. Se R satisfaz as condi¸cões (i)-(v) do Teorema 2.1, então: (i) Se aij tjk = 0 para cada tjk ∈ Rjk (i, j, k = 1, 2), então aij = 0. De modo dual, se tki aij = 0 para cada tki ∈ Rki (i, j, k = 1, 2), então aij = 0; (ii) Se tij a + atij ∈ Rij para todo tij ∈ Rij (i, j = 1, 2; i 6= j), então aji = 0; (iii) Se aii tii + tii aii = 0 para todo tii ∈ Rii (i = 1, 2), então aii = 0; (iv) Se tjj a + atjj ∈ Rij para todo tjj ∈ Rjj (i, j = 1, 2; i 6= j), então aji = 0, ajj = 0 e a 1 1 = 0. Dualmente, se tjj a + atjj ∈ Rji para todo tjj ∈ Rjj (i, j = 1, 2; i 6= j), 2 2. então aij = 0, ajj = 0 e a 1 1 = 0. 22. Se R satisfaz as condi¸cões (i’)-(iv’), do Teorema, então: (i’) Se aij tjj = 0 para cada tjj ∈ Rjj (i, j = 1, 2; i 6= j), então aij = 0. De modo dual, se tii aij = 0 para cada tii ∈ Rii (i, j = 1, 2; i 6= j), então aij = 0; (ii’) Se aii tii + tii aii = 0 para todo tii ∈ Rii (i = 1, 2), então aii = 0; (iii’) Se tjj a + atjj ∈ Rij para todo tjj ∈ Rjj (i, j = 1, 2; i 6= j), então aji = 0, ajj = 0 e a 1 1 = 0. Dualmente, se tjj a + atjj ∈ Rji para todo tjj ∈ Rjj (i, j = 1, 2; i 6= j), 2 2. então aij = 0, ajj = 0 e a 1 1 = 0. 22. Demonstra¸cão. Se R satisfaz as condi¸cões (i)-(v), do Teorema, então: (i) Subcaso i = 1, j = 2. Se k = 1, então 2a12 (te1 ) = 2a12 t21 = 0, para todo t = t11 + t12 + t 1 1 + t21 + t22 ∈ R. Isto implica a12 (Re1 ) = 0. Segue da condi¸cão (i), 2 2. do Teorema, que a12 = 0. Se k = 2, então 2a12 (te2 ) = 2a12 t22 = 0. Isto implica a12 (Re2 ) = 0. Novamente, segue da condi¸caõ (i), do Teorema, que a12 = 0. Subcaso i = j = 1. Se k = 1, então a11 t11 = 0 implica a11 = 0, pois e1 ∈ R11 . Se k = 2, então 4(e1 ae1 )t12 = 4a11 t12 = 0. Logo, (e1 ae1 )t12 = 0. Segue da condi¸caõ (ii), do Teorema, que a11 = 0. Subcaso i = 2, j = 1. Se k = 1, então 2a21 (te1 ) = 2a21 t11 = 0, para todo t = t11 + t12 + t 1 1 + t21 + t22 ∈ R. Logo a21 (Re1 ) = 0. Segue da condi¸cão (i), do 2 2. Teorema, que a21 = 0. Se k = 2, então 2a21 (te2 ) = 2a21 t12 = 0. Portanto, a21 (Re2 ) = 0. Novamente, segue da condi¸cão (i), do Teorema, que a21 = 0. Subcaso i = j = 2. Se k = 1, então 4(e2 ae2 )t21 = 4a22 t21 = 0, isto é, a22 t21 = 0. Pela condi¸caõ (ii), do.

(30) 2.1 O teorema principal. 14. Teorema, temos a22 = 0. Se k = 2, então a22 t22 = 0 implica a22 = 0, pela condi¸cão (iv), do Teorema. Similarmente, provamos os casos duais. (ii) Como tij a + atij ∈ Rij , temos (tij a + atij )ei = 0 que implica tij aji = 0. Logo tij aji = 0. Portanto aji = 0, por (i) do lema. (iii) Para o caso i = 1, em particular, temos 0 = a11 e1 + e1 a11 = 2a11 e então a11 = 0, já que R é 2-livre de tor¸cão. O caso i = 2 segue direto de (v) do Teorema. (iv) Se j = 1, então t11 a + at11 ∈ R21 . Consequentemente, e1 (t11 a + at11 ) = 0 que implica t11 a11 + a11 t11 = 0, t11 a12 = 0 e t11 a 1 1 = 0. Então a11 = 0, a12 = 0 e a 1 1 = 0, 2 2. 2 2. pois e1 ∈ R11 . Se j = 2, então t22 a + at22 ∈ R12 . Logo e2 (t22 a + at22 ) = 0 que implica t22 a 1 1 = 0, t22 a21 = 0 e t22 a22 + a22 t22 = 0. Então a 1 1 = 0, a21 = 0 e a22 = 0, por 2 2. 2 2. (iv) do Teorema, (i) e (iii) do lema, respectivamente. Similarmente, provamos os casos duais. Se R satisfaz as condi¸cões (i’)-(iv’) do Teorema, então as demonstra¸co˜es dos casos (i’)-(iv’) do lema são feitas identicamente aos casos anteriores. Por isso, é suficiente no caso (i’) do lema, fazer os casos (i), mudando somente para i 6= j, na prova, a condi¸caõ (i), do teorema, pela condi¸cão (i’). No caso (ii’), do lema, fazer o caso (iii), trocando na demonstra¸cão, a condi¸caõ (v), do teorema, pela condi¸caõ (iv’), e no caso (iii’), do lema, fazer o caso (iv), mudando na prova, as condi¸cões (iv), (i) e (iii), do teorema, pelas condi¸cões (iii’), (i’) e (iii’), respectivamente.. . Lema 2.3. Nas condi¸cões do Teorema 2.1, as aplica¸cões M e M* são injetivas. Demonstra¸cão. Sejam a, b ∈ R dois elementos tais que M (a) = M (b). Escrevemos a = a11 +a12 +a 1 1 +a21 +a22 e b = b11 +b12 +b 1 1 +b21 +b22 . Para todo tjj ∈ Rjj (i = 1, 2), 2 2. 2 2. 0. existe x(j, j) ∈ R tal que M ∗ (x(j, j)) = tjj , pela hipótese de sobrejetividade de M ∗ . Logo, tjj a + atjj = M ∗ (x(j, j))a + aM ∗ (x(j, j)) = M ∗ (x(j, j)M (a) + M (a)x(j, j)) = M ∗ (x(j, j)M (b) + M (b)x(j, j)) = M ∗ (x(j, j))b + bM ∗ (x(j, j)) = tjj b + btjj . Isto implica que tjj (a − b) + (a − b)tjj = 0. Por (iv) (resp., (iii’)) no lema 2.2, temos aij − bij = 0. 0 (i, j = 12 , 1, 2), isto é, a = b. Portanto M é injetiva. Agora, sejam x, y ∈ R tal que M ∗ (x) = M ∗ (y). Já que M é uma bije¸cão, existem a, b ∈ R tais que a = M −1 (x) e b = M −1 (y). Escrevemos a = a11 + a12 + a 1 1 + a21 + a22 e b = b11 + b12 + b 1 1 + b21 + b22 . 2 2. 22. Portanto, para todo tjj ∈ Rjj (j = 1, 2), existe um c(j, j) ∈ R tal que M ∗ M (c(j, j)) =.

(31) 2.1 O teorema principal. 15. tjj , pela sobrejetividade de M ∗ M. Isto implica tjj a + atjj = tjj M −1 (x) + M −1 (x)tjj = M ∗ M (c(j, j))M −1 (x) + M −1 (x)M ∗ M (c(j, j)) = M ∗ (M (c(j, j))M M −1 (x) + M M −1 (x)M (c(j, j))) = M ∗ (M (c(j, j))x + xM (c(j, j))) = c(j, j)M ∗ (x) + M ∗ (x)c(j, j) = c(j, j)M ∗ (y) + M ∗ (y)c(j, j) = M ∗ (M (c(j, j))y + yM (c(j, j))) = M ∗ (M (c(j, j))M M −1 (y) + M M −1 (y)M (c(j, j))) = M ∗ M (c(j, j))M −1 (y) + M −1 (y)M ∗ M (c(j, j)) = tjj M −1 (y) + M −1 (y)tjj = tjj b + btjj . Portanto, tjj (a − b) + (a − b)tjj = 0. Novamente, por (iv) (resp., (iii’)) no lema 2.2, temos aij − bij = 0 (i, j =. 1 , 1, 2) 2. e portanto a = b. Consequentemente, temos x = y, pela bije¸caõ de M. Portanto, podemos também inferir que M ∗ é injetiva.. . Observe que nas condi¸cões do Teorema 2.1 (M, M ∗ ) é bijetiva. Corol´ ario 2.4. Seja R um anel standard 2-livre de tor¸cão contendo um idempotente não trivial e1 e seja R = R11 ⊕ R12 ⊕ R 1 1 ⊕ R21 ⊕ R22 a decomposi¸cão de Peirce de 2 2. R, relativa a e1 . (i) Quando (ei aei )Rij = 0 ou Rij (ej aej ) = 0 implica aii = 0 (i, j = 1, 2; i 6= j), então a 1 1 b 1 1 = 0, para todo a 1 1 , b 1 1 ∈ R 1 1 ; 2 2. 2 2. 22. 2 2. 2 2. ao (ii) Quando aii t 1 1 = 0 (i = 1, 2) para todo t 1 1 ∈ R 1 1 implica aii = 0, ent˜ 2 2. 2 2. 2 2. aij (Rei ) = 0 e (ej R)aij = 0 (i, j = 1, 2; i 6= j). Demonstra¸cão. (i) Considere os elementos a 1 1 , b 1 1 ∈ R 1 1 , c11 ∈ R11 e d22 ∈ R22 tal 2 2. 2 2. 2 2. que a 1 1 b 1 1 = c11 + d22 . Usando (1.6) fazendo x = e, y = b 1 1 , z = e e w = a 1 1 , 2 2. 2 2. 2 2. 2 2. segue que 0 = (a 1 1 b 1 1 )t12 = c11 t12 e 0 = (a 1 1 b 1 1 )t21 = d22 t21 para todo tij ∈ Rij 2 2. 2 2. 2 2. 2 2.

(32) 2.1 O teorema principal. 16. (i, j = 1, 2; i 6= j). Das hipóteses, obtemos c11 = d22 = 0 que implica a 1 1 b 1 1 = 0. O 2 2. 2 2. outro caso é provado de maneira similar. (ii) Para o caso (i = 1, j = 2). Considere os elementos a12 ∈ R12 , b21 ∈ R21 e t 1 1 ∈ R 1 1 . Como (a12 b21 )t 1 1 = 0, então a12 b21 = 0, das hipóteses. Logo, 2a12 (te1 ) = 2 2. 2 2. 2 2. 2a12 t21 = 0, para todo t = t11 + t12 + t 1 1 + t21 + t22 ∈ R. Isto implica a12 (Re1 ) = 0. Os 2 2. outros casos são provados similarmente.. . Lema 2.5. Sejam a11 ∈ R11 e a22 ∈ R22 . Então (i) M (a11 + a22 ) = M (a11 ) + M (a22 ); (ii) M ∗ −1 (a11 + a22 ) = M ∗ −1 (a11 ) + M ∗ −1 (a22 ). Demonstra¸cão. (i) Suponha que M (c) = M (a11 ) + M (a22 ), para algum c ∈ R, e escrevemos c = c11 + c12 + c 1 1 + c21 + c22 . Para arbitrário t11 ∈ R11 , pela observa¸cão 1.5, 2 2. temos M. ∗ −1. (t11 c+ct11 ) = M ∗ −1 (t11 a11 +a11 t11 )+M ∗ −1 (t11 a22 +a22 t11 ) = M ∗ −1 (t11 a11 +. a11 t11 ). Logo, t11 c + ct11 = t11 a11 + a11 t11 que implica c11 = a11 , c12 = 0, c 1 1 = 0 e 2 2. c21 = 0, pois e1 ∈ R11 . Agora, para arbitrário t22 ∈ R22 , pela observa¸caõ 1.5, temos M ∗ −1 (t22 c+ct22 ) = M ∗ −1 (t22 a11 +a11 t22 )+M ∗ −1 (t22 a22 +a22 t22 ) = M ∗ −1 (t22 a22 +a22 t22 ). Consequentemente, t22 c + ct22 = t22 a22 + a22 t22 que implica c22 = a22 , por (iv) (resp., (iii’)) no lema 2.2. Então c = a11 + a22 . (ii) Esta demonstra¸caõ é similar ao caso (i).. . Lema 2.6. Sejam aii ∈ Rii e aij ∈ Rij (i, j = 1, 2; i 6= j). Então (i) M (aii + aij ) = M (aii ) + M (aij ); (ii) M ∗ −1 (aii + aij ) = M ∗ −1 (aii ) + M ∗ −1 (aij ). Demonstra¸cão. (i) Para o caso (i = 1, j = 2), suponha que M (c) = M (a11 ) + M (a12 ) para algum c ∈ R, e escrevemos c = c11 + c12 + c 1 1 + c21 + c22 . Para arbitrário 2 2. t22 ∈ R22 , usando a observa¸cão 1.5, temos M ∗ −1 (t22 c + ct22 ) = M ∗ −1 (t22 a11 + a11 t22 ) + M ∗ −1 (t22 a12 + a12 t22 ) = M ∗ −1 (a12 t22 ) que obtemos t22 c + ct22 = a12 t22 ∈ R12 . Segue de (iv) (resp., (iii’)), no lema 2.2, que c 1 1 = 0, c21 = 0 e c22 = 0. 2 2. Agora, se R satisfaz as condi¸co˜es (i)-(v), do Teorema, então para arbitrário t12 ∈ R12 , pela observa¸caõ 1.5, temos M ∗ −1 (t12 c+ct12 ) = M ∗ −1 (t12 a11 +a11 t12 )+M ∗ −1 (t12 a12 +.

(33) 2.1 O teorema principal. 17. a12 t12 ) = M ∗ −1 (a11 t12 ). Logo t12 c + ct12 = a11 t12 que implica c11 t12 = a11 t12 . Portanto, c11 = a11 , por (i) no lema 2.2. Se R satisfaz as condi¸co˜es (i’)-(iv’), então para arbitrários t 1 1 ∈ R 1 1 , pela ob2 2. 2 2. serva¸cão 1.5, temos M ∗ −1 (t 1 1 c + ct 1 1 ) = M ∗ −1 (t 1 1 a11 + a11 t 1 1 ) = M ∗ −1 (2a11 t 1 1 ). Dai 2 2. 2 2. 2 2. 2 2. 2 2. t 1 1 c + ct 1 1 = 2a11 t 1 1 que implica c11 t 1 1 = a11 t 1 1 . Então c11 = a11 , pela condi¸caõ (ii’) 2 2. 2 2. 2 2. 2 2. 2 2. do Teorema. Em ambos os casos temos c11 = a11 . Já que t22 c+ct22 = a12 t22 ∈ R12 , então podemos concluir que c12 t22 = a12 t22 . Usando (i) (resp., (i’)), no lema 2.2 novamente, vemos que c12 = a12 . Logo, c = a11 + a12 . Portanto, M (a11 + a12 ) = M (a11 ) + M (a12 ). De maneira similar provam-se os casos (i = 2, j = 1). (ii) Pela observa¸cão 1.4, podemos concluir que (ii) se verifica.. . Similarmente, podemos obter o seguinte resultado. Lema 2.7. Sejam aii ∈ Rii (i, j = 1, 2; i 6= j) e aji ∈ Rji . Então (i) M (aii + aji ) = M (aii ) + M (aji ); (ii) M ∗ −1 (aii + aji ) = M ∗ −1 (aii ) + M ∗ −1 (aji ). Lema 2.8. Sejam aii ∈ Rii (i = 1, 2) e aij ∈ Rij (i, j = 1, 2; i 6= j). Então (i) M (a11 + aij + a22 ) = M (a11 ) + M (aij ) + M (a22 ); (ii) M ∗ −1 (a11 + aij + a22 ) = M ∗ −1 (a11 ) + M ∗ −1 (aij ) + M ∗ −1 (a22 ). Demonstra¸cão. (i) Para o caso (i = 1, j = 2), suponha que M (c) = M (a11 ) + M (a12 ) + M (a22 ) para algum c ∈ R, e escrevemos c = c11 + c12 + c 1 1 + c21 + c22 . Da observa¸cão 2 2. 1.5, temos M ∗ −1 (e1 c + ce1 ) = M ∗ −1 (2a11 ) + M ∗ −1 (a12 ) = M ∗ −1 (2a11 + a12 ), pelo lema 2.6, obtemos e1 c + ce1 = 2a11 + a12 . Logo, c11 = a11 , c12 = a12 , c 1 1 = 0 e 2 2. c21 = 0. Agora, para arbitrário t22 ∈ R22 , pela observa¸cão 1.5 novamente, temos M ∗ −1 (t22 c+ct22 ) = M ∗ −1 (a12 t22 )+M ∗ −1 (t22 a22 +a22 t22 ) = M ∗ −1 (a12 t22 +t22 a22 +a22 t22 ), pelo lema 2.7. Segue que t22 (c22 − a22 ) + (c22 − a22 )t22 = 0, que implica c22 = a22 , por (v) (resp., (iv’)) do Teorema. Portanto, c = a11 + a12 + a22 . Logo, M (a11 + a12 + a22 ) = M (a11 ) + M (a12 ) + M (a22 ). De maneira similar provamos os casos (i = 2, j = 1). (ii) Pela observa¸cão 1.4, podemos concluir que (ii) se verifica.. .

(34) 2.1 O teorema principal. 18. Lema 2.9. Sejam t22 ∈ R22 e aij ∈ Rij (i, j = 1, 2; i 6= j). Então (i) M (a12 t22 + t22 a21 ) = M (a12 t22 ) + M (t22 a21 ); (ii) M ∗ −1 (a12 t22 + t22 a21 ) = M ∗ −1 (a12 t22 ) + M ∗ −1 (t22 a21 ). Demonstra¸cão. Inicialmente, notemos que 2e1 + a12 a21 + a12 + a21 + a21 a12 = (e1 + a12 )(e1 + a21 ) + (e1 + a21 )(e1 + a12 ). Logo, M (2e1 + a12 a21 + a12 + a21 + a21 a12 ) = M ((e1 + a12 )(e1 + a21 ) + (e1 + a21 )(e1 + a12 )) = M ((e1 + a12 )M ∗ M ∗ −1 (e1 + a21 ) +M ∗ M ∗ −1 (e1 + a21 )(e1 + a12 )) = M (e1 + a12 )M ∗ −1 (e1 + a21 ) +M ∗ −1 (e1 + a21 )M (e1 + a12 ) = M (e1 + a12 )M ∗ −1 (e1 ) + M (e1 + a12 )M ∗ −1 (a21 ) +M ∗ −1 (e1 )M (e1 + a12 ) + M ∗ −1 (a21 )M (e1 + a12 ) = M ((e1 + a12 )e1 + e1 (e1 + a12 )) +M ((e1 + a12 )a21 + a21 (e1 + a12 )) = M (2e1 + a12 ) + M (a12 a21 + a21 + a21 a12 ) = M (2e1 ) + M (a12 ) + M (a12 a21 ) + M (a21 ) + M (a21 a12 ), por (i), no lema 2.6, (i), no lema 2.7 e (i), no lema 2.8. Então M (2e1 + a12 a21 + a12 + a21 + a21 a12 ) = M (2e1 ) + M (a12 ) + M (a12 a21 ) + M (a21 ) + M (a21 a12 ). Agora, M ∗ −1 (22 e1 + 2a12 a21 + a12 + a21 ) = M ∗ −1 (22 e1 ) + M ∗ −1 (a12 ) + M ∗ −1 (2a12 a21 ) + M ∗ −1 (a21 ),.

(35) 2.1 O teorema principal. 19. pela observa¸caõ 1.5, que implica M (a12 t22 + t22 a21 ) = M (a12 t22 ) + M (t22 a21 ), pela observa¸cão 1.7. (ii) Pela observa¸cão 1.4, podemos verificar que (ii) se verifica.. . Lema 2.10. Seja aij ∈ Rij (i, j = 1, 2; i 6= j). Então (i) M (a12 + a21 ) = M (a12 ) + M (a21 ); (ii) M ∗ −1 (a12 + a21 ) = M ∗ −1 (a12 ) + M ∗ −1 (a21 ). Demonstra¸cão. (i) Suponha que M (c) = M (a12 ) + M (a21 ) para algum c ∈ R e escrevemos c = c11 + c12 + c 1 1 + c21 + c22 . Pela observa¸caõ 1.5, temos M ∗ −1 (e1 c + ce1 ) = 2 2. M ∗ −1 (e1 a12 + a12 e1 ) + M ∗ −1 (e1 a21 + a21 e1 ) que implica M ∗ −1 (2c11 + c12 + c 1 1 + c21 ) = M ∗ −1 (a12 ) + M ∗ −1 (a21 ).. (2.1). 2 2. Em seguida, para arbitrário t22 ∈ R22 , pela observa¸caõ 1.7 e lema 2.9, temos M (c12 t22 + 2c 1 1 t22 +t22 c21 ) = M (a12 t22 )+M (t22 a21 ) = M (a12 t22 +t22 a21 ). Segue que c12 t22 = a12 t22 , 2 2. c 1 1 t22 = 0 e t22 c21 = t22 a21 . Então c12 = a12 , c 1 1 = 0 e c21 = a21 , por (i) (resp., (i’)) 2 2. 2 2. no lema 2.2 e (iv) (resp., (iii’)) no Teorema. Agora, se R satisfaz as condi¸co˜es (i)-(v), do Teorema, então para arbitrário t12 ∈ R12 , por (2.1) e lema 2.5, temos M (2c11 t12 + t12 c21 + c21 t12 ) = M (t12 a21 + a21 t12 ) que implica c11 t12 = 0. Então c11 = 0, por (i) no lema 2.2. Se R satisfaz as condi¸co˜es (i’)-(iv’), do Teorema, então para arbitrários t 1 1 ∈ R 1 1 , 2 2. 2 2. 2. por (2.1) e lema 2.5, temos M (2 c11 t 1 1 ) = 0 que implica c11 t 1 1 = 0. Então c11 = 0, 2 2. 2 2. por (ii’) no Teorema. Em ambos os casos obtemos c11 = 0. Finalmente, para arbitrários t22 ∈ R22 , temos M ∗ −1 (t22 c + ct22 ) = M ∗ −1 (a12 t22 ) + M ∗ −1 (t22 a21 ) = M ∗ −1 (a12 t22 + t22 a21 ), pelo lema 2.9. Segue que t22 c + ct22 = a12 t22 + t22 a21 que implica c12 t22 = a12 t22 , t22 c21 = t22 a21 e c22 t22 + t22 c22 = 0. Então c22 = 0, por (v) (resp., (iv’)) do Teorema. (ii) Pela observa¸cão 1.4, podemos verificar que (ii) vale. Lema 2.11. Sejam a11 ∈ R11 e aij ∈ Rij (i, j = 1, 2; i 6= j). Então (i) M (a11 + a12 + a21 ) = M (a11 ) + M (a12 ) + M (a21 );. .

(36) 2.1 O teorema principal. 20. (ii) M ∗ −1 (a11 + a12 + a21 ) = M ∗ −1 (a11 ) + M ∗ −1 (a12 ) + M ∗ −1 (a21 ). Demonstra¸cão. (i) Suponha que M (c) = M (a11 )+M (a12 )+M (a21 ) para algum c ∈ R, e escrevemos c = c11 +c12 +c 1 1 +c21 +c22 . Para arbitrário t22 ∈ R22 , temos M ∗ −1 (t22 c+ 2 2. ct22 ) = M ∗ −1 (a12 t22 ) + M ∗ −1 (t22 a21 ) = M ∗ −1 (a12 t22 + t22 a21 ), pela observa¸cão 1.5 e lema 2.10. Consequentemente, t22 c + ct22 = a12 t22 + t22 a21 que implica c12 t22 = a12 t22 , c 1 1 t22 = 0, t22 c21 = t22 a21 e c22 t22 + t22 c22 = 0. Então c12 = a12 , c 1 1 = 0, c21 = a21 2 2. 2 2. e c22 = 0, por (i) (resp., (i’)) no lema 2.2, (iv) (resp., (iii’)) e (v) (resp., (iv’)) no Teorema, respectivamente. Agora, se R satisfaz as condi¸co˜es (i)-(v), do Teorema, então para arbitrário t12 ∈ R12 , pela observa¸caõ 1.5 e lema 2.8, temos M ∗ −1 (t12 c+ct12 ) = M ∗ −1 (a11 t12 )+M ∗ −1 (t12 a21 +a21 t12 ) = M ∗ −1 (a11 t12 +t12 a21 +a21 t12 ). Segue que t12 c + ct12 = a11 t12 + t12 a21 + a21 t12 que implica c11 t12 = a11 t12 . Portanto, c11 = a11 , por (i) no lema 2.2. Se R satisfaz as condi¸co˜es (i’)-(iv’), do Teorema, então para arbitrários t 1 1 ∈ R 1 1 , 2 2. 2 2. temos M ∗ −1 (t 1 1 c + ct 1 1 ) = M ∗ −1 (2a11 t 1 1 ). Segue que t 1 1 c + ct 1 1 = 2a11 t 1 1 que 22. 2 2. 2 2. 2 2. 2 2. 2 2. implica c11 t 1 1 = a11 t 1 1 . Portanto, c11 = a11 , por (ii’) no Teorema. 2 2. 2 2. Em ambos os casos temos c11 = a11 . (ii) Pela observa¸cão 1.4, podemos inferir que (ii) vale.. . Lema 2.12. Sejam aii ∈ Rii (i = 1, 2), aij ∈ Rij (i, j = 1, 2; i 6= j) e a 1 1 ∈ R 1 1 . 2 2. 2 2. Então (i) M (aii + aij + a 1 1 ) = M (aii ) + M (aij + a 1 1 ); 2 2. 2 2. (ii) M ∗ −1 (aii + aij + a 1 1 ) = M ∗ −1 (aii ) + M ∗ −1 (aij + a 1 1 ). 2 2. 2 2. Demonstra¸cão. (i) Para o caso (i = 1, j = 2), suponha que M (c) = M (a11 ) + M (a12 + a 1 1 ) para algum c ∈ R, e escrevemos c = c11 + c12 + c 1 1 + c21 + c22 . Para arbitrários 2 2. 2 2. t22 ∈ R22 , pela observa¸caõ 1.5, temos M. ∗ −1. (t22 c + ct22 ) = M ∗ −1 (t22 a11 + a11 t22 ) +. M ∗ −1 (t22 (a12 + a 1 1 ) + (a12 + a 1 1 )t22 ) que implica M ∗ −1 (t22 c + ct22 ) = M ∗ −1 (a12 t22 + 2 2. 2a. 1 1 2 2. 2 2. t22 ). Segue que t22 c + ct22 = a12 t22 + 2a 1 1 t22 que implica c12 t22 = a12 t22 , c 1 1 t22 = 2 2. 2 2. a 1 1 t22 , t22 c21 = 0 e c22 t22 + t22 c22 = 0. Por (i) (resp., (i’)), no lema 2.2, (iv) (resp., 2 2. (iii’)) e (v) (resp., (iv’)), no Teorema, temos c12 = a12 , c 1 1 = a 1 1 , c21 = 0 e c22 = 0. 22. 2 2.

(37) 2.1 O teorema principal. 21. Agora, se R satisfaz as condi¸co˜es (i)-(v), do Teorema, então para arbitrário t12 ∈ R12 , pela observa¸cão 1.5,temos M ∗ −1 (t12 c+ct12 ) = M ∗ −1 (a11 t12 ). Segue que t12 c+ct12 = a11 t12 que implica c11 t12 = a11 t12 . Portanto, c11 = a11 , por (i) no lema 2.2. Se R satisfaz as condi¸co˜es (i’)-(iv’), do Teorema, então para arbitrários t 1 1 ∈ R 1 1 , 2 2. pela observa¸caõ 1.5, temos M. ∗ −1. (t 1 1 c + ct 1 1 ) = M 2 2. ∗ −1. 2 2. (2a11 t 1 1 ) + M. ∗ −1. 2 2. 2 2. (2a 1 1 t 1 1 ) 2 2. 2 2. e M (e1 (t 1 1 c + ct 1 1 ) + (t 1 1 c + ct 1 1 )e1 ) = M (2a11 t 1 1 ) + M (2(a 1 1 t 1 1 )11 ), pela ob2 2. 2 2. 2 2. serva¸cão 1.7, que implica M (2c11 t. 2 2. 1 1 2 2. 2 2. 2. + 2 (c. 11 22. t. 1 1 2 2. )11 ) = M (2a11 t. 2 2. 1 1 2 2. 2 2. ) + M (2(a 1 1 t 1 1 )11 ). 2 2. 2 2. Logo, para arbitrário u22 ∈ R22 , pela observa¸caõ 1.5, temos M ∗ −1 (22 (c11 t 1 1 )u22 ) = 2 2. M ∗ −1 (22 (a11 t 1 1 )u22 ) que implica (c11 t 1 1 )u22 = (a11 t 1 1 )u22 . Portanto c11 = a11 , por 2 2. 2 2. 2 2. (ii’) e (iii’) do Teorema. Em ambos os casos obtemos c11 = a11 . (ii) Pela observa¸cão 1.4, podemos verificar que (ii) vale.. . Similarmente, obtemos o seguinte resultado. Lema 2.13. Sejam aii ∈ Rii (i = 1, 2), aij ∈ Rij (i, j = 1, 2; i 6= j) e a 1 1 ∈ R 1 1 . 2 2. 2 2. Então (i) M (aii + a 1 1 + aji ) = M (aii ) + M (a 1 1 + aji ); 2 2. 2 2. (ii) M ∗ −1 (aii + a 1 1 + aji ) = M ∗ −1 (aii ) + M ∗ −1 (a 1 1 + aji ). 2 2. 2 2. Lema 2.14. Sejam tii ∈ Rii (i = 1, 2), aij ∈ Rij (i, j = 1, 2; i 6= j) e a 1 1 ∈ R 1 1 . 2 2. Então (i) M (aij + 2tii a 1 1 ) = M (aij ) + M (2tii a 1 1 ); 2 2. 2 2. (ii) M ∗ −1 (aij + 2tii a 1 1 ) = M ∗ −1 (aij ) + M ∗ −1 (2tii a 1 1 ). 2 2. 2 2. Demonstra¸cão. Para o caso (i = 1, j = 2), observe que para arbitrário t11 ∈ R11 a12 + 2t11 + 2t11 a 1 1 = (e1 + a 1 1 )(a12 + t11 ) + (a12 + t11 )(e1 + a 1 1 ). 2 2. 2 2. 2 2. 2 2.

(38) 2.1 O teorema principal. 22. Logo, M (2t11 ) + M (a12 + 2t11 a 1 1 ) 2 2. = M (2t11 + a12 + 2t11 a 1 1 ) 2 2. = M ((e1 + a 1 1 )(a12 + t11 ) + (a12 + t11 )(e1 + a 1 1 )) 2 2. 2 2. ∗. = M ((e1 + a 1 1 )M M 2 2. ∗ −1. (a12 + t11 ). +M ∗ M ∗ −1 (a12 + t11 )(e1 + a 1 1 )) 2 2. = M (e1 + a 1 1 )M. ∗ −1. 2 2. (a12 + t11 ). +M ∗ −1 (a12 + t11 )M (e1 + a 1 1 ) 2 2. = M (e1 + a 1 1 )M. ∗ −1. 2 2. +M. ∗ −1. (a12 ) + M (e1 + a 1 1 )M ∗ −1 (t11 ) 2 2. (a12 )M (e1 + a 1 1 ) + M. ∗ −1. 2 2. (t11 )M (e1 + a 1 1 ) 2 2. = M ((e1 + a 1 1 )a12 + a12 (e1 + a 1 1 )) 2 2. 2 2. +M ((e1 + a 1 1 )t11 + t11 (e1 + a 1 1 )) 2 2. 2 2. = M (a12 ) + M (2t11 + 2t11 a 1 1 ) 2 2. = M (a12 ) + M (2t11 ) + M (2t11 a 1 1 ), 2 2. por (i) no lema 2.12. Então M (a12 + 2t11 a 1 1 ) = M (a12 ) + M (2t11 a 1 1 ). Similarmente, 2 2. 2 2. provamos os casos (i = 2, j = 1), da identidade a21 + 2t22 a 1 1 = (e1 + a 1 1 )(a21 + t22 ) + (a21 + t22 )(e1 + a 1 1 ). 2 2. 2 2. 2 2. (ii) Pela observa¸cão 1.4, podemos inferir que (ii) vale.. . Lema 2.15. Sejam aij ∈ Rij (i, j = 1, 2; i 6= j), tjj ∈ Rjj (j = 1, 2) e a 1 1 ∈ R 1 1 . 2 2. Então (i) M (aij + 2tjj a 1 1 ) = M (aij ) + M (2tjj a 1 1 ); 2 2. 2 2. (ii) M ∗ −1 (aij + 2tjj a 1 1 ) = M ∗ −1 (aij ) + M ∗ −1 (2tjj a 1 1 ). 2 2. 2 2. Demonstra¸cão. Para o caso (i = 1, j = 2), observe que para arbitrário t22 ∈ R22 a12 + 2t22 a 1 1 = (e1 + a 1 1 )(a12 + t22 ) + (a12 + t22 )(e1 + a 1 1 ). 2 2. 2 2. 2 2. 2 2.

(39) 2.1 O teorema principal. 23. Logo, M (a12 + 2t22 a 1 1 ) 2 2. = M ((e1 + a 1 1 )(a12 + t22 ) + (a12 + t22 )(e1 + a 1 1 )) 2 2. 2 2. ∗. = M ((e1 + a 1 1 )M M. ∗ −1. 2 2. (a12 + t22 ). +M ∗ M ∗ −1 (a12 + t22 )(e1 + a 1 1 )) 2 2. = M (e1 + a 1 1 )M. ∗ −1. 2 2. (a12 + t22 ). +M ∗ −1 (a12 + t22 )M (e1 + a 1 1 ) 2 2. = M (e1 + a 1 1 )M. ∗ −1. 2 2. +M. ∗ −1. (a12 ) + M (e1 + a 1 1 )M ∗ −1 (t22 ) 2 2. (a12 )M (e1 + a 1 1 ) + M. ∗ −1. 2 2. (t22 )M (e1 + a 1 1 ) 2 2. = M ((e1 + a 1 1 )a12 + a12 (e1 + a 1 1 )) 2 2. 2 2. +M ((e1 + a 1 1 )t22 + t22 (e1 + a 1 1 )) 2 2. 2 2. = M (a12 ) + M (2t22 a 1 1 ), 2 2. por (ii) no lema 2.7. Então M (a12 + 2t22 a 1 1 ) = M (a12 ) + M (2t22 a 1 1 ). Similarmente, 2 2. 2 2. provamos o caso (i = 2, j = 1) usando a identidade a21 + 2t11 + 2t11 a 1 1 = (e1 + a 1 1 )(a21 + t11 ) + (a21 + t11 )(e1 + a 1 1 ). 2 2. 2 2. 2 2. (ii) Pela observa¸cão 1.4, podemos concluir que (ii) vale.. . Lema 2.16. Sejam aij ∈ Rij (i, j = 1, 2; i 6= j) e a 1 1 ∈ R 1 1 . Então 2 2. 2 2. (i) M (aij + a 1 1 ) = M (aij ) + M (a 1 1 ); 2 2. 2 2. (ii) M ∗ −1 (aij + a 1 1 ) = M ∗ −1 (aij ) + M ∗ −1 (a 1 1 ). 2 2. 2 2. Demonstra¸cão. Para o caso (i = 1, j = 2), suponha que M (c) = M (a12 ) + M (a 1 1 ) 2 2. para algum c ∈ R, e escrevemos c = c11 + c12 + c 1 1 + c21 + c22 . Para arbitrário 2 2. t11 ∈ R11 , temos M M. ∗ −1. (t11 a12 ) + M. ∗ −1. ∗ −1. ct11 = t11 a12 + 2t11 a. (t11 c + ct11 ) = M. (2t11 a 1 1 ) = M 2 2. 1 1 2 2. ∗ −1. ∗ −1. (t11 a12 + a12 t11 ) + M ∗ −1 (t11 a 1 1 + a 1 1 t11 ) = 2 2. 2 2. (t11 a12 + 2t11 a 1 1 ), pelo lema 2.14. Logo, t11 c + 2 2. que implica t11 c11 + c11 t11 = 0, t11 c12 = t11 a12 , t11 c 1 1 = t11 a 1 1 2 2. 2 2. e c21 t11 = 0. Então c11 = 0, c12 = a12 , c 1 1 = a 1 1 e c21 = 0. Finalmente, para 2 2. 2 2. arbitrário t22 ∈ R22 , temos M ∗ −1 (t22 c + ct22 ) = M ∗ −1 (t22 a12 + a12 t22 ) + M ∗ −1 (t22 a 1 1 + 2 2. a 1 1 t22 ) = M ∗ −1 (a12 t22 ) + M ∗ −1 (2t22 a 1 1 ) = M ∗ −1 (a12 t22 + 2t22 a 1 1 ), pelo lema 2.15. 2 2. 2 2. 2 2.

(40) 2.1 O teorema principal. 24. Logo, t22 c + ct22 = a12 t22 + 2t22 a 1 1 que implica t22 c22 + c22 t22 = 0. Então c22 = 0, por 2 2. (v) (resp., (iv’)) do Teorema. Similarmente, provamos o caso (i = 2, j = 1). (ii) Pela observa¸cão 1.4, podemos inferir que (ii) vale.. . Lema 2.17. Sejam a11 ∈ R11 e a22 ∈ R22 e a 1 1 ∈ R 1 1 . Então 2 2. 22. (i) M (a11 + a 1 1 + a22 ) = M (a11 ) + M (a 1 1 ) + M (a22 ); 2 2. 2 2. (ii) M ∗ −1 (a11 + a 1 1 + a22 ) = M ∗ −1 (a11 ) + M ∗ −1 (a 1 1 ) + M ∗ −1 (a22 ). 2 2. 2 2. Demonstra¸cão. (i) Suponha que M (c) = M (a11 ) + M (a 1 1 ) + M (a22 ) para algum c ∈ 2 2. R, e escrevemos c = c11 + c12 + c 1 1 + c21 + c22 . Para arbitrário t11 ∈ R11 , temos 2 2. M ∗ −1 (t11 c + ct11 ) = M ∗ −1 (t11 a11 + a11 t11 ) + M ∗ −1 (t11 a 1 1 + a 1 1 t11 ) + M ∗ −1 (t11 a22 + 2 2. a22 t11 ) = M. ∗ −1. (t11 a11 + a11 t11 ) + M. ∗ −1. (2t11 a 1 1 ) = M. 2 2. ∗ −1. 2 2. (t11 a11 + a11 t11 + 2t11 a 1 1 ), 2 2. pelo lema 2.12 ou lema 2.13. Segue que t11 c + ct11 = t11 a11 + a11 t11 + 2t11 a 1 1 que 2 2. implica t11 c11 + c11 t11 = t11 a11 + a11 t11 , t11 c12 = 0, t11 c. 1 1 2 2. = t11 a. 11 22. e c21 t11 = 0.. Portanto, c11 = a11 , c12 = 0, c 1 1 = a 1 1 e c21 = 0. Em seguida, para arbitrário 2 2. 2 2. t22 ∈ R22 , temos M ∗ −1 (t22 c + ct22 ) = M ∗ −1 (t22 a11 + a11 t22 ) + M ∗ −1 (t22 a 1 1 + a 1 1 t22 ) + 2 2. 2 2. M ∗ −1 (t22 a22 + a22 t22 ) = M ∗ −1 (2t22 a 1 1 + t22 a22 + a22 t22 ), pelo lema 2.12 ou 2.13. Segue 2 2. que t22 c + ct22 = 2t22 a 1 1 + t22 a22 + a22 t22 que implica t22 c22 + c22 t22 = t22 a22 + a22 t22 . 2 2. Portanto c22 = a22 , por (v) (resp., (iv’)), do Teorema. (ii) Pela observa¸cão 1.4, podemos concluir que (ii) vale.. . Lema 2.18. Sejam aij ∈ Rij (i, j = 1, 2; i 6= j) e a 1 1 ∈ R 1 1 . Então 2 2. 2 2. (i) M (aii + aij + a 1 1 ) = M (aii ) + M (aij ) + M (a 1 1 ); 2 2. 2 2. (ii) M ∗ −1 (aii + aij + a 1 1 ) = M ∗ −1 (aii ) + M ∗ −1 (aij ) + M ∗ −1 (a 1 1 ). 2 2. 2 2. Demonstra¸cão. Segue dos lemas 2.12 e 2.16.. . Lema 2.19. Sejam aij ∈ Rij (i, j = 1, 2; i 6= j) e a 1 1 ∈ R 1 1 . Então 2 2. 2 2. (i) M (aii + aji + a 1 1 ) = M (aii ) + M (aji ) + M (a 1 1 ); 2 2. 2 2. (ii) M ∗ −1 (aii + aji + a 1 1 ) = M ∗ −1 (aii ) + M ∗ −1 (aji ) + M ∗ −1 (a 1 1 ). 2 2. Demonstra¸cão. Segue dos lemas 2.13 e 2.16.. 2 2. .

(41) 2.1 O teorema principal. 25. Lema 2.20. Sejam aij ∈ Rij (i, j = 1, 2; i 6= j) e a 1 1 ∈ R 1 1 . Então 2 2. 2 2. (i) M (a11 + aij + a 1 1 + a22 ) = M (a11 ) + M (aij ) + M (a 1 1 ) + M (a22 ); 2 2. 2 2. (ii) M ∗ −1 (a11 + aij + a 1 1 + a22 ) = M ∗ −1 (a11 ) + M ∗ −1 (aij ) + M ∗ −1 (a 1 1 ) + M ∗ −1 (a22 ). 2 2. 2 2. Demonstra¸cão. (i) Para o caso (i = 1, j = 2), suponhamos que M (c) = M (a11 ) + M (a12 ) + M (b 1 1 ) + M (a22 ) para algum c ∈ R, e escrevemos c = c11 + c12 + c 1 1 + 2 2. 2 2. c21 + c22 . Para arbitrário t11 ∈ R11 , temos M ∗ −1 (t11 c + ct11 ) = M ∗ −1 (t11 a11 + a11 t11 ) + M ∗ −1 (t11 a12 + a12 t11 ) + M ∗ −1 (t11 b 1 1 + a 1 1 t11 ) + M ∗ −1 (t11 a22 + a22 t11 ) = M ∗ −1 (t11 a11 + 2 2. 2 2. a11 t11 + t11 a12 + 2t11 a 1 1 ), pelo lema 2.18. Logo, t11 c + ct11 = t11 a11 + a11 t11 + t11 a12 + 2 2. 2t11 a 1 1 que implica t11 c11 + c11 t11 = t11 a11 + a11 t11 , t11 c12 = t11 a12 , t11 c 1 1 = t11 a 1 1 2 2. 2 2. e c21 t11 = 0. Então c11 = a11 , c12 = a12 , c. 1 1 2 2. =a. 1 1 2 2. 2 2. e c21 = 0. Agora, para arbitrário. t22 ∈ R22 , pela observa¸caõ 1.5 novamente, temos M ∗ −1 (t22 c + ct22 ) = M ∗ −1 (t22 a11 + a11 t22 ) + M ∗ −1 (t22 a12 + a12 t22 ) + M ∗ −1 (t22 b 1 1 + a 1 1 t22 ) + M ∗ −1 (t22 a22 + a22 t22 ) = 2 2. 2 2. M ∗ −1 (a12 t22 +2t22 a 1 1 +t22 a22 +a22 t22 ), pelo lema 2.19. Consequentemente, t22 c+ct22 = 22. a12 t22 + 2t22 a 1 1 + t22 a22 + a22 t22 que implica t22 c22 + c22 t22 = t22 a22 + a22 t22 . Então 2 2. c22 = a22 , por (v) (resp., (iv’)), do Teorema. Similarmente, provamos o caso (i = 2, j = 1). (ii) Pela observa¸cão 1.4, podemos inferir que (ii) vale.. . Lema 2.21. Sejam aij ∈ Rij (i, j = 1, 2; i 6= j), t22 ∈ R22 e a 1 1 ∈ R 1 1 . Então 2 2. 2 2. (i) M (a12 t22 + 2a 1 1 t22 + t22 a21 ) = M (a12 t22 ) + M (2a 1 1 t22 ) + M (t22 a21 ); 2 2. 2 2. (ii) M ∗ −1 (a12 t22 + 2a 1 1 t22 + t22 a21 ) = M ∗ −1 (a12 t22 ) + M ∗ −1 (2a 1 1 t22 ) 2 2. 2 2. + M ∗ −1 (t22 a21 ). Demonstra¸cão. Em primeiro lugar, observamos que (e1 + a12 + a21 )(e1 + a 1 1 ) + (e1 + a 1 1 )(e1 + a12 + a21 ) = 2e1 + a12 + a 1 1 + a21 . 2 2. 2 2. 2 2.

(42) 2.1 O teorema principal. 26. Logo, M ∗ −1 (2e1 + a12 + a 1 1 + a21 ) 2 2. = M. ∗ −1. = M. ∗ −1. 2 2. +M = M. ((e1 + a12 + a21 )(e1 + a 1 1 ) + (e1 + a 1 1 )(e1 + a12 + a21 )) ((e1 + a12 + a21 )M. −1. −1. 2 2. M (e1 + a 1 1 ) 2 2. M (e1 + a 1 1 )(e1 + a12 + a21 )) 2 2. ∗ −1. (e1 + a12 + a21 )M (e1 + a 1 1 ) 2 2. +M (e1 + a 1 1 )M. ∗ −1. 2 2. (e1 + a12 + a21 ). = (M ∗ −1 (e1 ) + M ∗ −1 (a12 ) + M ∗ −1 (a21 ))(M (e1 ) + (M (a 1 1 )) 2 2. +(M (e1 ) + M (a 1 1 ))(M. ∗ −1. 2 2. (e1 ) + M. ∗ −1. (a12 ) + M. ∗ −1. (a21 )). = (M ∗ −1 (e1 )M (e1 ) + M (e1 )M ∗ −1 (e1 )) +(M ∗ −1 (e1 )M (a 1 1 ) + M (a 1 1 )M ∗ −1 (e1 )) 2 2. +(M. ∗ −1. 2 2. (a12 )M (e1 ) + M (e1 )M ∗ −1 (a12 )). +(M ∗ −1 (a12 )M (a 1 1 ) + M (a 1 1 )M ∗ −1 (a12 )) 2 2. +(M. ∗ −1. 2 2. (a21 )M (e1 ) + M (e1 )M ∗ −1 (a21 )). +(M ∗ −1 (a21 )M (a 1 1 + M (a 1 1 )M ∗ −1 (a21 )) 2 2. = M. ∗ −1. (e1 M. −1. 2 2. M (e1 ) + M. −1. M (e1 )e1 ). +M ∗ −1 (e1 M −1 M (a 1 1 ) + M −1 M (a 1 1 )e1 ) 2 2. +M. ∗ −1. (a12 M. −1. 2 2. M (e1 ) + M. −1. M (e1 )a12 ). +M ∗ −1 (a12 M −1 M (a 1 1 ) + M −1 M (a 1 1 )a12 ) 2 2. +M. ∗ −1. (a21 M. −1. 2 2. M (e1 ) + M. −1. M (e1 )a21 ). +M ∗ −1 (a21 M −1 M (a 1 1 ) + M −1 M (a 1 1 )a21 ) 2 2. = M. ∗ −1. (e1 e1 + e1 e1 ) + M. +M. ∗ −1. +M. ∗ −1. = M. ∗ −1. 2 2. ∗ −1. (e1 a 1 1 + a 1 1 e1 ) 2 2. (a12 e1 + e1 a12 ) + M. ∗ −1. (a21 e1 + e1 a21 ) + M. ∗ −1. (2e1 ) + M. ∗ −1. (a12 a 1 1 + a 1 1 a12 ) 2 2. (a 1 1 ) + M 2 2. 2 2. 2 2. (a21 a 1 1 + a 1 1 a21 ) 2 2. ∗ −1. 2 2. (a12 ) + M ∗ −1 (a21 ).. Isto implica que M ∗ −1 (2e1 + a12 + a 1 1 + a21 ) = M ∗ −1 (2e1 ) + M ∗ −1 (a 1 1 ) + M ∗ −1 (a12 ) + M ∗ −1 (a21 ). 2 2. 2 2.

(43) 2.1 O teorema principal. 27. Portanto, para um elemento arbitrário t22 ∈ R22 , temos M (a12 t22 + 2a 1 1 t22 + t22 a21 ) = M (a12 t22 ) + M (2a 1 1 t22 ) + M (t22 a21 ), 2 2. 2 2. pela observa¸caõ 1.7. (ii) Pela observa¸cão 1.8 e usando a mesma identidade do caso anterior, provamos que (ii) vale.. . Lema 2.22. Sejam aij ∈ Rij (i, j = 1, 2; i 6= j) e a 1 1 ∈ R 1 1 . Então 2 2. 2 2. (i) M (aii + aij + a 1 1 + aji ) = M (aii ) + M (aij ) + M (a 1 1 ) + M (aji ); 2 2. 2 2. (ii) M ∗ −1 (aii + aij + a 1 1 + aji ) = M ∗ −1 (aii ) + +M ∗ −1 (aij ) + M ∗ −1 (a 1 1 ) + M ∗ −1 (aji ). 2 2. 22. Demonstra¸cão. (i) Para o caso (i = 1, j = 2), suponha que M (c) = M (a11 ) + M (a12 ) + M (a 1 1 ) + M (a21 ) para algum c ∈ R, e escrevemos c = c11 + c12 + c 1 1 + c21 + c22 . Para 2 2. 2 2. arbitrário t22 ∈ R12 , pela observa¸cão 1.5, temos M ∗ −1 (t22 c + ct22 ) = M ∗ −1 (t22 a11 + a11 t22 )+M ∗ −1 (t22 a12 +a12 t22 )+M ∗ −1 (t22 a 1 1 +a 1 1 t22 )+M ∗ −1 (t22 a21 +a21 t22 ) implicando 2 2. 2 2. M ∗ −1 (t22 c + ct22 ) = M ∗ −1 (a12 t22 + 2a 1 1 t22 + t22 a21 ), pelo lema 2.21. Logo, t22 c + ct22 = 2 2. a12 t22 + 2a 1 1 t22 + t22 a21 . Segue que c12 t22 = a12 t22 , c 1 1 t22 = a 1 1 t22 , t22 c21 = t22 a21 e 2 2. 2 2. 2 2. t22 c22 + c22 t22 = t22 a22 + a22 t22 . Portanto, c12 = a12 , c 1 1 = a 1 1 , c21 = a21 e c22 = a22 , 2 2. 22. por (i) (resp., (i’)), no lema 2.2, e (iv) e (v) (resp., (iii’) e (iv’)), no Teorema. Agora, se R satisfaz as condi¸cões (i)-(vi), do Teorema, então para arbitrário t12 ∈ R12 , pela observa¸cão 1.5 e lema 2.8, temos M ∗ −1 (t12 c + ct12 ) = M ∗ −1 (a11 t12 )+ M ∗ −1 (t12 a21 + a21 t12 ) = M ∗ −1 (a11 t12 + t12 a21 + a21 t12 ) que implica c11 t12 = a11 t12 . Portanto, c11 = a11 , por (i), do lema 2.2. Se R satisfaz as condi¸co˜es (i’)-(iv’), do Teorema, então para arbitrário t 1 1 ∈ R 1 1 , 2 2. temos M. ∗ −1. (t 1 1 c+ct 1 1 ) = M 2 2. ∗ −1. 2 2. (2a11 t 1 1 )+M 2 2. ∗ −1. (2a 1 1 t 1 1 ) que implica M 2 2. ∗ −1. 22. 2 2. (2c11 t 1 1. 2 2. +2c 1 1 t 1 1 ) = M (2a11 t 1 1 + 2a 1 1 t 1 1 ), pelo lema 2.17. Logo, c11 t 1 1 + c 1 1 t 1 1 = a11 t 1 1 + 2 2. 22. 2 2. 2 2. 2 2. 2 2. 2 2. 2 2. 2 2. a 1 1 t 1 1 , que implica c11 t 1 1 = a11 t 1 1 . Então c11 = a11 , por (ii’), do Teorema. 2 2. 2 2. 2 2. 2 2. Em ambos os casos conclu´ımos que c11 = a11 . Similarmente, provamos o caso (i = 2, j = 1). (ii) Pela observa¸cão 1.4, podemos inferir que (ii) vale.. . Lema 2.23. Sejam aij ∈ Rij (i, j = 1, 2; i 6= j) e a 1 1 ∈ R 1 1 . Então 2 2. 2 2. (i) M (a11 + a12 + a 1 1 + a21 + a22 ) = M (a11 ) + M (a12 ) + M (a 1 1 ) + M (a21 ) + M (a22 ); 2 2. 2 2.