Probabilidade, Estatística, Decisões e Segurança em Engenharia Geotécnica PEF-5837

(1)

Probabilidade, Estatística,

Decisões e Segurança em

Engenharia Geotécnica

(2)

2

Informações gerais

• Horário das aulas

Quintas-feiras das 8:30 às 11:30

• Livro texto principal:

Benjamin, J.R. e Cornell, C.A.

-Probability, Statistics, and Decision for

Civil Engineers. McGraw-Hill, 1970 (mais

de um exemplar, em Inglês e Espanhol, em

reserva na Biblioteca)

(3)

Informações gerais (cont.)

• Avaliação

– Teste de uma hora e meia em 28/10/99 (35%) – Exame final de duas horas em 2/12/99 (65%) – Exercícios praticamente em todas as aulas, em

geral do livro do B&C (não recebem nota, mas são essenciais)

– Projeto depende da dinâmica da classe (15%; se houver, o exame final passa a 50%)

(4)

4

Internet

• E-mail

– Waldemar Hachich: whachich@usp.br

– Secretaria de Pós-Graduação: pefpg@edu.usp.br

• Página Web

– sempre que possível, informações das aulas, dos exercícios e do projeto estarão em um “link” em

(5)

Primeira aula (30/9/99)

• Relevância da disciplina: alguns exemplos

• Estatística vs. Teoria das Probabilidades

• Inferência estatística

• Análise de Decisões

• Segurança

(6)

6

Relevância: exemplos

• Estabelecimento de critérios de segurança • Estabelecimento de probabilidades de ruína

(seguros!)

• Estabelecimento de critérios de amostragem para Planos de Auditoria

• Decisão quanto à cravabilidade de estacas “offshore”

• Comparação de processos de investigação do subsolo

(7)

Evolução dos critérios de

segurança

• Minimização de custos – inicial – esperado • Empirismo • Racionalismo • Incrementalismo (“observational method”)

(8)

8

Probabilidade e Estatística: dois

lados de uma mesma moeda

• Estatística: o lado inferencial • Estimativas dos parâmetros dos modelos, a partir de amostras • Probabilidade: o aspecto dedutivo da aleatoriedade • Modelos probabilistas e seus parâmetros (jamais conhecidos!) • “Propriedades” das

amostras (Lindley, D.V. - Introduction to Probability and_{Statistics from a Bayesian viewpoint.}

(9)

Estatística vs. Teoria das

Probabilidades

(Barmett, V. -Comparative Statistical Inference. Wiley, 1973)

(10)

10

Estatística e Análise de Decisões

• Análise de Decisões: prescritiva

• Sugestão de ação a ser tomada em uma situação prática de incerteza • Estatística: descritiva • Descrição de uma situação prática utilizando um modelo probabilista

(11)

Estatística clássica e Bayesiana

• Clássica

– Todas as informações quanto à aleatoriedade estão contidas nos

dados (e só neles)

– “Dados falam por si próprios”

• Bayesiana

– Dados (amostras) são parte das informações disponíveis – Inferências e tomadas de decisões devem processar igualmente as informações anteriores à amostragem

(12)

12

Probabilidades

• Interpretações – Clássica – Frequentista – Objetiva – Subjetiva • Definição axiomática (contorna a questão das interpretações): – 1 ≥ P[A] ≥ 0 – P[S] = 1 – P[A∪B] = P[A] + P[B] se A∩B = ∅ – (A e B: eventos) – S: espaço amostral

(13)

Para a segunda aula (6/10/99)

• Estudar

– Capítulo 1 do B&C

– Capítulo 2 do B&C até a pág. 69

• Resolver

(14)

14

Segunda aula (6/10/99)

• Pano de fundo – exercício 1.9 (B&C) – decisão face a incertezas – diferentes conceitos de probabilidades • Estatísticas de amostras • Modelos probabilistas • Variáveis aleatórias discretas e contínuas

(15)

B&C 1.9 - Decisão frente a incerteza

• Estruturação do processo decisório: árvore de decisão

• Avaliação de conseqüências • Estimação de probabilidades

– Histogramas vs. distribuição de freqüências acumuladas – Com e sem modelo probabilista

• Critério de decisão (por exemplo, minimização do custo esperado)

(16)

16

B&C 1.9 - Capacidade e

custo

(

avaliação das conseqüências

)

Altura da

ensecadeira (m)

Capacidade

(m

3

/s)

Custo

3

200 $15.600

4,5

550 $18.600

Custo de 3 semanas de atraso

(17)

B&C 1.9 - Estruturação da decisão:

árvore de decisão

H₂=4,5 m C=550 m3/s Sucesso: D≤ 200 m3/s (1-P[R| H₁]) Fracasso: D>200 m3_/s P[R| H₁] Sucesso: D≤ 550 m3/s (1-P[R| H₂]) Fracasso: D>550 m3/s H₁=3 m C=200 m3/s Nó do acaso $ 15.600 $ 45.600 $ 18.600 Nó de decisão

(18)

18

B&C 1.9 - Demanda:

série histórica

Série histórica de vazões

0 500 1000 1500 2000 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 Ano V a zõ es ( m 3 /s ) Máximas anuais

(19)

Estatísticas da amostra

Média: 886,45 m3_/s

Desvio padrão: 440,89 m3_/s

(20)

20

B&C 1.9 - Demanda:

Histograma(s)

13 intervalos 10 intervalos 0 2 4 6 8 10 12 150 450 750 ₁₀₅₀ ₁₃₅₀ ₁₆₅₀ ₁₉₅₀ 0 2 4 6 8 10 12 200 600 ₁₀₀₀ ₁₄₀₀ ₁₈₀₀ _Mais n = 44 k = 1 + 3,3 log n (Sturges, 1926) 8 intervalos 7 intervalos 0 2 4 6 8 10 12 300 600 900 ₁₂₀₀ ₁₅₀₀ ₁₈₀₀ ₂₁₀₀ _Mai s 0 2 4 6 8 10 12 250 500 750 ₁₀₀₀ ₁₂₅₀ ₁₅₀₀ ₁₇₅₀ ₂₀₀₀ _Mais k = 6,4

(21)

B&C 1.9 - Demanda:

estimação de probabilidades

Freqüências acumuladas 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 500 1000 1500 2000

Vazões máximas anuais (m3/s)

Fr e qüê nc ia 550 200

(22)

22

B&C 1.9 - Critério de decisão

Custos esperados H₂=4,5 m C=550 m3/s 0,045 1-0,045 = 0,955 0,273 1-0,273 = 0,727 H₁=3 m C=200 m3/s $44.236 $40.418 MELHOR DECISÃO $ 15.600 $ 45.600 $ 18.600 Nó de decisão $ 48.600

(23)

Conveniência de um modelo

Freqüências acumuladas 0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 0 1000 2000 3000

Fr eqüênc ia Modelo de extremos tipo I Resistência de um solo 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 50 100 150 200 250 s (kPa) t (k P a) _{Modelo linear} Mohr-Coulomb

(24)

24

Estimação de probabilidades com

modelo

Freqüências acumuladas 0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 0 500 1000 1500 2000 2500

Fr e qüê nc ia 550 200

(25)

25

B&C 1.9 - Impacto do modelo na

decisão

Custos esperados H₂=4,5 m C=550 m3/s 0,016 1-0,016 = 0,984 0,225 1-0,225 = 0,775 H₁=3 m C=200 m3/s $45.119 $41.865 MELHOR DECISÃO $ 15.600 $ 45.600 $ 18.600 Nó de decisão

(26)

26

B&C 1.9 - Influência do tempo?

Série histórica de vazões

R2 = 0,0002 0 500 1000 1500 2000 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 Ano Vaz õ e s ( m 3 /s ) Máximas anuais

• Tempo de exposição ao perigo

(27)

Para a terceira aula (14/10/99)

• Rever

• Estudar

• Resolver

– Exercícios 2.4 e 2.9 do B&C

(28)

28

Terceira aula (14/10/99)

• Fontes de incerteza

• Eventos aleatórios

• Relações entre eventos

• Axiomas da Teoria das Probabilidades

• Probabilidade condicional

• Independência

(29)

Fontes de incerteza

• Variabilidade natural (intrínseca)

• Desconhecimento de todas as causas e

efeitos (de modelo)

– y = f (x₁, x₂, x₃, ..., x_i-1, x_i, x_i+1, x_i+2, ..., x_n ) função determinista aleatoriedade

(30)

30

Espaço amostral

• Espaço amostral: conjunto S de todos os

possíveis resultados de um experimento

• Ponto amostral: ponto associado a um e um

só resultado de um experimento

• Evento: conjunto de pontos amostrais no

espaço amostral S de um experimento

(31)

Tipos de espaço amostral

• Definições operacionais (e seu refinamento)

dependem da aplicação específica

• Espaços amostrais discretos (“estado” do

semáforo em um cruzamento)

• Espaços amostrais contínuos (comprimento

de onda da luz emitida por cada uma das

lentes do semáforo)

• Variáveis aleatórias são funções definidas

no espaço amostral do experimento

(32)

32

Tipos de eventos

• Simples – SPT = 10 • Compostos – SPT ≤ 5 • Complementares – A: SPT ≤ 5 – AC_{: SPT > 5} A AC A ∪ AC _{= S} S

(33)

Relações entre eventos

• Mutuamente exclusivos: A ∩ B = ∅

– A: SPT > 10 – B: SPT < 5

• Coletivamente exaustivos: A ∪ B = S

– A: SPT < 10 – B: SPT > 5 A B A B

(34)

34

Partição de um espaço amostral

• Eventos mutuamente exclusivos e

coletivamente exaustivos:

– A_i∩ A_j = ∅ para quaisquer i e j – ∪ A_i = S para todos os i A₁ A_n A_i

(35)

Axiomas da Teoria das

Probabilidades

• A e B: eventos • S: espaço amostral • P[E] = probabilidade do evento E • 1 ≥ P[A] ≥ 0 • P[S] = 1 • P[A∪B] = P[A] + P[B] se A∩B = ∅

(36)

36

Probabilidade da união

• P[A] = P[A ∩ B] + P[Ao] P[B] = P[A ∩ B] + P[Bo]

A

B

A ∩ B

Ao

Bo

• P[A ∪ B] = P[Ao] + P[A ∩ B] + P[Bo]

• P[A ∪ B] = P[A] - P[A ∩ B] + P[A ∩ B] + P[B] - P[A ∩ B]

(37)

Probabilidade condicional

• P[A | B] = P[A ∩ B] / P[B] A B A ∩ B Ao Bo • P[A] = 0,4 (= 4/10) • P[B] = 0,5 (= 5/10) • P[A ∩ B] = 0,1 (=1/10) • P[S] = 1 (=10/10) • B ocorreu ∴ P[B] = 1 (B≡S) • P[B] = 5/5 = 1 • P[A | B] = 1/5 = 0,2

(38)

38

Independência

• P[A | B] = P[A] A B A ∩ B Ao Bo • P[A | B] = P[A ∩ B] / P[B] • P[A | B] = P[A] • P[A ∩ B] = P[A] . P[B]

(39)

Teorema de Bayes

• P[estado | amostra] = P[estado] . P[amostra | estado] P[amostra]

(40)

40

Para a quarta aula (21/10/99)

• Rever

• Estudar

• Resolver

(41)

Quarta aula (21/10/99)

• Teorema da probabilidade total

• Teorema de Bayes

• Modelos probabilistas

(42)

42

Teorema da probabilidade total

• A

_j

: partição do espaço amostral

• P[B] = Σ P[B ∩ A

_j

]

• P[B ∩ A

_j

] = P[B | A

_j

] . P[A

_j

]

• P[B] = Σ P[B | A

_j

] . P[A

_j

]

A₁ A_n A_j B B ∩ A_j

(43)

B&C pág. 65 - Informações

anteriores

Estado

(resistência)

Probabilidades

anteriores

20 0,3

30 0,6

40 0,1

(44)

44

B&C pág. 65 - Qualidade do

ensaio

Estado

Amostras

₂₀

₃₀

₄₀

z

₁

0,7

0,2

0,0

z

₂

0,3

0,6

0,3

z

3

0,0

0,2

0,7

1,0

(45)

B&C pág. 65 - Ensaios de

diferentes qualidades

Estado Amostras ₂₀ ₃₀ ₄₀ z1 0,7 0,2 0,0 z2 0,3 0,6 0,3 z3 0,0 0,2 0,7 1,0 1,0 1,0 Estado Amostras ₂₀ ₃₀ ₄₀ z1 1,0 0,0 0,0 z2 0,0 1,0 0,0 z3 0,0 0,0 1,0 1,0 1,0 1,0 Ensaio imperfeito Ensaio perfeito

(46)

46

B&C pág. 65 - Atualização

• P[estado | amostra] = P[estado] . P[amostra | estado]

(Teorema de Bayes) P[amostra]

• P[E

_j

| z

_i

] = P[E

_j

] . P[z

_i

| E

_j

] / P[z

_i

]

• P[z

_i

] = ?

• P[B] = Σ P[B | A

_j

] . P[A

_j

]

para todos os j

(Teorema da probabilidade total)

(47)

B&C pág. 65

(48)

48

Variáveis aleatórias

• Variável aleatória: função definida no

espaço amostral

• 1 ponto amostral (evento simples) ⇒

⇒ um valor da variável aleatória

• Escolhas “naturais”

• Descrição do comportamento da variável:

lei probabilista

(49)

Distribuições de variáveis

aleatórias discretas

• Função probabilidade (variável discreta)

• Função distribuição (discreta)

• Propriedades dessas funções (decorrentes

dos axiomas da Teoria das Probabilidades)

• Histograma vs. Função probabilidade

• Curva de freqüências acumuladas vs.

função distribuição

(50)

50

Distribuições de variáveis

aleatórias contínuas

• Função densidade de probabilidade

(variável contínua)

• Função distribuição (contínua)

• Propriedades dessas funções (decorrentes

dos axiomas da Teoria das Probabilidades)

(51)

Distribuições conjuntas

0 1 2 3 4 5 0 ₄₅ 90 135 180 225 270 315 28 15,5 5,5 28 21,5 15,5 10 5,5 1,5

(52)

52

Outras distribuições associadas às

distribuições conjuntas

• Distribuições marginais

(53)

Para a quinta aula (28/10/99)

• Rever

• Estudar

– Capítulo 2 do B&C até o final

• Resolver

– Exercício 2.40 – Exercício 2.32 – Exercício 2.36c

(54)

54

Quinta aula (28/10/99)

• Distribuições de variáveis (discretas e

contínuas)

• Média, variância e coeficiente de variação

das distribuições

• Distribuições derivadas

– Método direto

– Simulação (Monte Carlo, por exemplo) – Método dos momentos

(55)

Para a quinta aula (4/11/99)

• Rever

• Estudar

– Capítulo 2 do B&C até o final

• Resolver

– Exercício 2.10 – Exercício 2.32 – Exercício 2.36c

(56)

56

Sexta aula (4/11/99)

• Média, variância e coeficiente de variação

das distribuições

• Distribuições derivadas

– Método direto

– Simulação (Monte Carlo, por exemplo) – Método dos momentos

(57)

Para a sétima aula (11/11/99)

• Rever e estudar

• Capítulo 2 do B&C até o final

• Resolver

– Exercício 2.43 – Exercício 2.47 – Exercício 2.50

(58)

58

Décima aula (2/12/99)

• Amostragem

• Estimação

– Método dos momentos

– Método da máxima verossimilhança

• Estimativas vs. estimadores

• Propriedades dos estimadores

– tendência – eficiência – consistência

(59)

Amostragem aleatória

• Amostra simples de magnitude n

– simples ⇒ aleatória, cada observação é independente de todas as outras

– magnitude n ⇒ n observações: x₁, x₂, x₃, ..., x_n

(60)

60

Momentos da amostra

(

)

n

1 x

x

s

n

1 x

x

2 n 1 i i 2 X n 1 i i

⋅

−

=

⋅

=

∑

= = • Média amostral (medida de tendência central) • Variância amostral (medida de dispersão)

(61)

Momentos da população (modelo)

dx

).

x

(

f.

)

m

x

(

dx

).

x

(

f.

x

m

X 2 X 2 X X X

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ −

−

=

σ

=

• Média (medida de tendência central) • Variância (medida de dispersão)

(62)

62

Exemplo 1: População Normal (Gauss)

2 2 2 2 ) m x ( 2 1 2 X ) m x ( 2 1 X 2 2 2 X X b ) a x ( 2 1 X e 2 1 ) x ( f e 2 . 1 ) x ( f b m a m e 2 . b 1 ) x ( f σ − ⋅ −     σ − −     − − ⋅ πσ = ⋅ π σ = σ = = σ = = ⋅ π =

X

~

N

(

a

,

b

)

,

m

(

N

~

X

σ

)

,

m

(

N

~

X

σ

2

Resistência de um material dúctil =

soma das resistências de cada uma das fibras (Teorema do Limite Central)

• Dois

parâmetros

– a, b ou – m, σ ou – m, σ2

(63)

Exemplo 2: População Exponencial

2 2 T T t T

1

1 m

e

.

)

t

(

f

λ

=

σ

λ

=

λ

=

λ

_T

_~

_EX

₍

_λ

₎

Tempo entre carros sucessivos

Passagem de carros segue modelo Poisson (vide item 3.2 do B&C)

• Um único parâmetro

(64)

64

Estimação: método dos momentos

.

etc

s

ˆ

x

m

ˆ

2 X 2 X X

=

σ

=

• Igualar momentos da amostra aos correspondentes da

população (tantos quantos forem os parâmetros do modelo probabilista)

• Deduzir estimativas dos parâmetros (resolver m equações a m incógnitas; m = número de parâmetros do modelo) ... ˆ ... bˆ ... aˆ = λ = = ... ˆ ... ˆ ... mˆ 2 = λ = σ = ou

(65)

Estimação: exemplo 1 (Normal)

• Deduzir estimativas dos parâmetros (resolver m equações a m incógnitas; m = número de parâmetros do modelo) 2 X 2 X X

s

ˆ

x

m

ˆ

=

σ

=

2 X X X s ˆ ˆ bˆ x mˆ mˆ aˆ = σ = σ = = = =

(66)

66

Estimação: exemplo 2 (exponencial)

• Deduzir estimativas dos parâmetros (resolver m equações a m incógnitas; m = número de parâmetros do modelo)

t

m

ˆ

_T

=

t 1 mˆ 1 ˆ T = = λ

(67)

Estimativas vs. estimadores

• Estimativas – valores – constantes – após a amostragem ( x₁, x₂, x₃, ..., x_n) • Estimadores – regras – variáveis aleatórias – antes da amostragem propriamente dita (X₁, X₂, X₃, ..., X_n) X

s

x

X

S

X

(68)

68

Para a décima primeira aula

(9/12/99)

• Continuar folheando o cap. 3 do B&C

• Rever e estudar

• Capítulo 4 do B&C até a página 396

• Resolver

– Exercício 4.18 – Exercício 4.41 – Exercício 4.42

(69)

Décima primeira aula (9/12/99)

• Estimação clássica

• Estimação bayesiana

(70)

70

Estimação

• Estimação clássica

– Estimação pontual

• Método dos momentos

• Método da máxima verossimilhança

– Estimação por intervalos

• Intervalo de confiança • Teste de hipótese

(71)

Estimadores da variância

2 n 1 i 2 i 2 2 2 n 1 i 2 i n 1 i n 1 i 2 n 1 i i 2 i n 1 i 2 i 2 i n 1 i 2 i 2 X X n 1 S X X 2 X n 1 X n 1 X X n 2 X n 1 ) X X X 2 X ( n 1 ) X X ( n 1 S − ⋅ = = + ⋅ − ⋅ = = ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ = = + − ⋅ = = − ⋅ =

∑

= = = = = = = 2 n 2 i 2 * n 1 i 2 i 2 * X X 1 n 1 S ) X X ( 1 n 1 S − ⋅ − = = − ⋅ − =

∑

=

(72)

72

Estimadores tendenciosos

[ ]

[ ] [ ]

(

)

(

[ ] [ ]

)

(

)

[ ]

2 X 2 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X n 1 i 2 X 2 X 2 n 1 i 2 i i 2 n 1 i 2 i 2 n 1 n S E m n m m n m n 1 X E X Var X E X Var n 1 X E X E n 1 S E σ − = =       + σ − + σ = =       + σ − + σ ⋅ = = + − + ⋅ = = − ⋅ =

∑

= = =

[ ]

2 X 2 * n 1 i 2 i 2 * S E ) X X ( 1 n 1 S σ = − ⋅ − =

∑

=

(73)

Distribuições de estimadores

(distribuições amostrais)

• Estimador de m

_X

: (média

amostral)

– média do estimador: m_X

– desvio padrão do estimador: σ_X/n

– distribuição do estimador: Normal (teorema do limite central) X mˆ _X =

)

n

/

,

m

(

N

~

m

ˆ

)

n

/

,

m

(

N

~

X

X X X X X

σ

(74)

74

Estimação por intervalos

Intervalo de confiança

• Utilizar distribuição amostral

– escrever desigualdade probabilista

– rearranjar a desigualdade para isolar o parâmetro de interesse

– substituir na desigualdade o valor observado da estatística da amostra

(75)

Estimação por intervalos

Teste de hipótese

• Utilizar distribuição amostral

• Construir intervalo de confiança

• Nível do teste é a probabilidade do evento

complementar ao intervalo de confiança

(76)

76

Estimadores de máxima

verossimilhança

∑ λ = λ λ = λ λ = σ λ = λ = = λ − λ λ − n 1 i i t n n 2 1 t T 2 2 T T t T e . ) t ,..., t , t | ( L e . ) | t ( f 1 1 m e . ) t ( f

(77)

Para a décima segunda aula

(16/12/99)

• Prova final de 2 horas, sem consulta

• Rever

– Capítulo 1 do B&C – Capítulo 2 do B&C

– Capítulo 4 do B&C até a página 396

• Folhear

• Resolver (ou rever)

– Todos os exercícios propostos