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NÚMEROS COMPLEXOS
1) (UFRGS) A raiz x da equação a2 x - b=0, para a=1+i e b=2-i, é (a) -0,5 - i
(b) -0,5 + i (c) 0,5 - i (d) 0,5 + i (e) -1 - 2i
2) (UFRGS) A forma a + bi de z = (1 + 2i) / (1 - i) é (a) 1/2 + 3/2 i
(b) -1/2 + 3/2 i (c) -1/2 + 2/3 i (d) -1/2 - 2/3 i (e) 1/2 - 3/2 i
3) (UFRGS) O valor de x que torna o número complexo m = 2 + (x-i)×(2-2i) um imaginário puro é (a) -2 (b) -1 (c) 0 (d) i (e) 2
4) (UFPA) Qual o valor de m para que o produto (2+mi)×(3+mi) seja um imaginário puro? (a) 5
(b) 6 (c) 7 (d) 8 (e) 10
2 5) (PUC) O número complexo
i i 2 1 4 4 é igual a ( )a i 1 28 ( )b 1 i 2 8 17 ( )c 4 i 17 15 34 ( )d 4 i 17 19 34 ( )e 16 i 17 25 34
6) (FCMSC) Se z = a+bi, com aR e bR*, então (a) z + z não é um número real
(b) z - z não é um número real (c) z . z não é um número real (d) z / z é número real
(e) z2 é número real
7) Sendo z um número complexo, podemos afirmar que (a) z . z é sempre um número real
(b) 1/z nunca poderá ser igual a - z (c) z2 nunca é negativo
(d) z nunca poderá ser igual a z (e) z4 = z8 apenas para z = 0 ou z = 1
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8) (UFRGS) Se z = a + bi com b 0, a alternativa FALSA é (a) z + z é um número real.
(b) z . z é um número real. (c) z - z não é um número real. (d) z + z é um número real. (e) z = a2 + b2
9) (UFRGS) Se p(z) é um polinômio de coeficientes reais e p(i) = 2–i, então p(-i) vale (a) –2 +i
(b) 2 + i (c) –2 - i (d) 1 + 2i (e) 1 – 2i
10) (UFRGS) Considere Z1= -3 - 2i e Z2=4 - i. A representação trigonométrica de z1 z2 é
(a) (cos /4 + i sen /4) (b) 2 (cos /4 + i sen /4) (c) (cos 3/4 + i sen 3/4) (d) 2 (cos 7/4 + i sen 7/4) (e) (cos 7/4 + i sen 7/4)
11) O valor de (1+i)10 é (a) 1 (b) i (c) 32 (d) 32i (e) 1024i
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12) A forma trigonométrica do número complexo z=(1/2- i/2)-1 é (a) 0,5 (cos(60o) + i sen(60o))
(b) 2 (cos(60o) + i sen(60o)) (c) 2 (cos(45o) + i sen(45o)) (d) 2 (cos(45o) + i sen(45o)) (e) 0,5 (cos(45o) + i sen(45o))
13) A região sombreada na figura representa o conjunto de todo z = r (cos() +i sen()) tal que (a) 0 r 1 e 3/4 5/4 (b) -1 r 1 e -/4 /4 (c) 0 r 1 e -/4 3/4 (d) -1 r 1 e -/4 3/4 (e) 0 r 1 e -/4 /4
14) (UFRGS) Se Z=3+i e Z’=3+3i, então Z×Z’ tem módulo e argumento, respectivamente, iguais a (a) 23 e 30° (b) 32 e 30 ° (c) 32 e 60° (d) 43 e 30° (e) 43 e 60° 450
5 15) (UM) Se z=cos 6°+ i sen 6°, então z15 é igual a (a) 1/2
(b) i (c) 2 (d) 2 (e) 3
16) (PUC) Seja z um número complexo cujo afixo P está representando abaixo no plano Argand-Gauss. A forma trigonométrica do número z é
(a) 3 (cos 150° + i sen 150°) (b) 3 (cos 30° + i sen 30°) (c) 3 (-cos 150° + i sen 150°) (d) 3 (cos 120° + i sen 120°) (e) 3 (-cos 60° + i sen 60°)
17) (CESGRANRIO) O menor n > 0, de modo que i)n
2 1 2
3
( seja real positivo, é (a) 2
(b) 3 (c) 4 (d) 8 (e) 12
18) (PUC) Se as imagens geométricas dos números complexos 0, z e z no plano Argand-Gauss são os vértices de um triângulo equilátero, então a medida do segmento que une as imagens de z e z é (a) 2 z (b) 2 z (c) z (d) 2Re(z) (e) Im(z) -3/2 3/2 P x y
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19) (FURG) As raízes da equação polinomial z3 – 1=0 determinam, no plano complexo, um triângulo. Qual a área desse triângulo?
(a) 33/4 (b) 33/2 (c) 33 (d) 35 (e) 1
20) Sabendo que ei = cos() + i sen(), ei + 1 vale (a) 0
(b) 1 (c) –1 (d) i (e) –i
21) Um possível logaritmo natural de um número complexo z é ln(z)= i + ln(r), onde r e é o módulo e o argumento de z. Um possível valor para ln(-1) é
(a) i (b) 2i (c) i (d) 2i (e) i/2 22) (UFRGS) (1 + i)15 é igual a (a) 64(1 + i) (b) 128(1 – i) (c) 128(-1 – i) (d) 256(-1 + i) (e) 256(1 + i)
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23) (UFGRS/2006) Sendo z um número complexo e z o seu conjugado, a representação geométrica do conjunto solução da equação z = z -1 é
(a) um segmento de reta. (b) uma reta.
(c) um arco de círculo. (d) um círculo.
(e) uma parábola.
24) (UFRGS) Se u é um número complexo, as representações gráficas de u e iu podem ser
(a)
(b)
(c)
(d)
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25) (FFFCMPA/2006) No gráfico abaixo, os pontos A, B, C são vértices de um triângulo equilátero, inscrito num círculo de raio 1 cujo centro está na origem do sistema de coordenadas. Identificando A, B, C com números complexos z, w, t, nesta ordem, examine as sentenças abaixo.
I - z, w, t são raízes de 1.
II - w, t são números complexos conjugados. III - z, w, t têm o mesmo módulo.
A Quais são verdadeiras? C (a) Apenas I (b) Apenas II (c) Apenas III (d) Apenas II e III (e) I, II e III B
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RESOLUÇÃO
1) a2 x - b = 0, para a = 1 + i e b = 2 - i. a2x=b 5 , 0 4 2 4 4 4 2 4 2 2 2 ) 2 ( 2 2 1 2 1 2 ) ( 2 1 2 ) 1 ( 2 2 2 2 i i i i i i i i i i i i i i i i a b x 2) i i i i i i i i i i 2 3 2 1 2 3 1 1 1 2 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 1 ( 3) m = 2+(x-i)×(2-2i) = 2+(2x-2xi-2i-2) = 2x-2xi-2i = 2x-2(x+1)i. Em m=2x-2(x+1)i, a parte real é a=2x e a parte imaginária é b=-2(x+1). Para ser imaginário puro, a=2x=0 e b=-2(x+1)≠ 0.
Para x=0, temos que a=0 e b=-2≠0, sendo a+bi imaginário puro.
4) (2+mi)×(3+mi)=6+2mi+3mi-m2 = 6-m2+5mi Parte real a=6-m2, parte imaginária b=5m.
Para ser imaginário puro, a=6-m2=0 e b=5m≠ 0. Se 6-m2=0, então 6=m2, m=±√ 6. Se 5m≠ 0, então m≠ 0. Logo, m=±√ 6 5) 17 4 16 1 4 4 16 4 16 4 4 4 4 4 4 i i i i i i i i 2 4 2 2 2 2 1 2 1 i i i i i i 34 25 32 34 17 8 32 34 17 ) 4 16 ( 2 2 17 4 16 ) 2 ( 17 4 16 2 1 4 4 i i i i i i i i i i i 34 25 17 16 34 25 34 32 i i
10 Outro modo: 64 16 16 4 72 18 32 8 8 2 8 2 8 2 9 4 8 2 9 4 2 8 4 8 2 ) 4 ( ) 4 ( 2 4 2 1 4 4 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 34 25 17 16 68 50 68 64 68 50 64 6) Seja z=a+bi.
(a) Falso: z + z =(a+bi)+(a-bi)=2a, que é um número real.
(b) Verdade: z - z =(a+bi)-(a-bi)=2bi, que nunca é um número real, pois b≠0. (c) Falso: z . z =(a+bi)(a-bi)=a2-abi+abi+b2=a2+b2, que é um número real.
(d) Falso: z /z = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a b abi a b abi abi a b abi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a , que não é número real.
(e) Falso: z2=zz=(a+bi)(a+bi)=a2+abi+abi+b2=a2+b2+2abi, que pode ser não real.
7) Seja z=a+bi.
(a) Verdade: z.z =(a+bi)(a-bi)=a2-abi+abi+b2=a2+b2, que é sempre um número real. (b) Falso: 1/i = -i. Logo, pode ocorrer que 1/z seja igual a - z.
(c) Falso: i2=-1. Logo pode ocorrer que z2 seja negativo. (d) Falso: Se z=2+0.i, então z=2-0.i. Assim, z=z .
(e) Falso: i4=1 e i8=1. Logo, pode ocorre que z4 = z8 para z≠ 0 e z≠ 1.
8) Seja z = a + bi com b 0.
(a) Verdade: z + z =(a+bi)+(a-bi)=2a, que é um número real.
(b) Verdade: z.z =(a+bi)(a-bi)=a2-abi+abi+b2=a2+b2, que é sempre um número real. (c) Verdade: z - z =(a+bi)-(a-bi)=2bi, que nunca é um número real, pois b≠ 0.
(d) Falsa: z + z =(a+bi)+(a+bi) = 2a+2bi = 2a-2bi, que não é um número real, pois b≠ 0. (e) Verdade: b r2=a2+b2 r=|z|= a2 b2 a r
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9) O polinômio p(z) poderá ser definido por p(z)=2-z, pois, neste caso, ocorrerá que p(i)=2-i.
Sendo p(z)=2-z, temos que p(-i)=2-(-i)=2+i.
10) z1+z2 = (-3+2i)+(4-i)=1+i. 11) Em z=1+i, a=1 e b=1. z10 = (√2)10(0+i1) = (√2)10i = (21/2)10i = 25i = 32i. 12) i i i i i i i i i 1 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 ) 5 , 0 5 , 0 ( ) 5 , 0 5 , 0 ( ) 5 , 0 5 , 0 ( 1 5 , 0 5 , 0 1 ) 5 , 0 5 , 0 ( 2 1 2 1 2 2 1 1 Em z=1+i, a=1 e b=1. 13) i r ) r=√2 e =45. z=√2(cos(45)+isen(45). z10=(√2)10 (cos(1045)+isen(1045)) z10=(√2)10 (cos(450)+isen(450)) cos(450)=cos(90)=0. sen(450)=sen(90)=1. r2=12+12=2 r=√ 2 =45 z=√2(cos(45) + i sen(45)) r ) 450 z
Qualquer complexo z na região sombreada tem o seu módulo r variando de zero a 1. Logo, 0 ≤ r ≤ 1.
O menor argumento é o do complexo z1 e o maior é do z2. Logo, -45 ≤ ≤ 135. Ou seja, -/4 ≤ ≤ 3/4. z1 z2 r ) 1 1 r=√ 2 e =45. z=√ 2(cos(45)+isen(45). z=√ 2(cos(/4)+isen(/4). 1 1 )-450 z2
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14) z×z´ = (√ 3+i)×(3+√ 3i) = 3√ 3+3i+3i-√3 = 2√3+6i Em z×z´ =2√ 3+6i, a=2√ 3 e b=6.
15) z=1(cos(6)+isen(6)) z15=115(cos(156) + isen(156)) z15 = cos(90) + isen(90) z15 = 0+i1= i 16) 17) Em i 2 1 2 3 , a=√3/2 e b=1/2. z=1((cos(30)+isen(30)).
zn = (1n)(cos(n30)+isen(n30)) = cos(n30)+isen(n30) Para ser real, sen(n30) tem que ser zero.
O menor valor positivo para n de forma que sen(n30) seja zero é 12, uma vez que sen(1230)=sen(360)=0. -3/2 3/2 2√3 6 r r2 = (2√3)2+62 = 12+36 = 48 r= 48 =4√3 sen()= 2 3 12 3 6 3 4 6 . Logo, =60. ) 6 r √3/2 r2 = (√3/2)2 + (-3/2)2 = 3/4+9/4 = 12/4 = 3. r=√ 3 sen(α)= 2 1 3 1 2 3 3 2 3 Logo, α=30. Se α=30, então =150.
Logo, z=√ 3(cos(150)+isen(150).
( 1/2 √ 3/2 1/2 ) r2 = (√3/2)2 + (1/2)2 = 3/4+1/4 = 1 r=1. sen() = 1/2 1 2 / 1 . Logo, =30. r
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18) Seja z=a+bi. Logo, z=a-bi. A medida do segmento que une z e z é o lado ℓ do triângulo. Como o triângulo é equilátero, ℓ é o módulo de z
19) z3=1 3 1
z {z1, z2, z3} Uma raiz cúbica de 1 é 1. Seja z1=1.
z1, z2, z3 definem 3 vetores simétricos em um círculo centrado na origem e raio 1.
Devido à simetria, o ângulo entre os vetores é de 120.
20) Se ei = cos() + isen(), então ei = cos() + isen().
ei =-1 + i0 = -1. ei = -1 ei + 1 = 0
21) O número complexo -1 tem argumento e módulo 1:
b -b a z z b b ℓ z1 z3 z2 60 1 60
No triângulo sombreado, temos:
1 2 / ) 60 ( sen 2 2 3 3
4 3 3 4 3 3 4 3 2 2 A 120 -1 ln(z)= i + ln(r) ln(-1)=i + ln(1) 0 ) 1 ( log ) 1 ln( e 14 22) (1 + i) = 2(cos(45°)+isen(45°)) (1 + i)15 = (2)15(cos(45°15) + isen(45°15)) = (2)15(cos(675°) + isen(675°)) =
(2)15(cos(315°) + isen(315°)) = (2)15(cos(45°) - isen(45°))
=
i
i i 2 i2 128 128i 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 7 8 8 16 16 15 23) 1 _ z z z z 1 _ 1 _ z zz=a+bi (a+bi)×(a-bi)=1 a2 - abi + abi +b2 = 1
a2 + b2 = 1, que á a equação de um círculo no plano complexo, centrada em (0, 0) e raio 1.
24) i tem módulo 1 e argumento 90.
i×u tem módulo 1r = r e argumento 90+.
Logo, u e i×u tem mesmo módulo e formam um ângulo de 90. Os únicos possíveis são as representações da alternativa (a) iu u 1 1 45° 2 a b i i = 1(cos(90) + isen(90) u = r(cos()+isen())
15 25)
(I) z, w, t são raízes de 1: Verdade.
As raízes cúbicas de 1 são os complexos z=1, w, t, cujas representações no plano complexo são vetores que formam um ângulo de 120º entre si, conforme o desenho.
(II) w, t são números complexos conjugados: Verdade. Conforme a figura, w=a+bi e t=a+bi.
(III) z, w, t têm o mesmo módulo: Verdade
As raízes cúbicas de 1 são os complexos z=1, w, t, cujas representações no plano complexo são vetores de módulo 1, raios do círculo.
A B C z w t a b -b
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