Função Exponencial
Texto de Apoio
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Definição e Propriedades Básicas de Potência
Dado um número real a e n um número inteiro positivo, definimos a potência de base a e exponente n,também chamada de a n-ésima potência de a, como:
• a1 = a; • an= a · a · . . . · a | {z } n vezes . • a−n = 1 an = 1 a · a · . . . · a | {z } n vezes , com a 6= 0. • Definimos a0 = 1, para a 6= 0.
Desse modo, para qualquer número real a 6= 0 e n um número inteiro, a potência an
está bem definida.
O conceito de potências pode ser estendido para expoentes racionais. Quando estudamos potências, vimos que
(m√
a)m = (a1/m)m = am/m = a.
Assim, definimos agora a potência de a e expoente racional n
m como sendo
an/m = (a1/m)n = (m√
a)n, com a > 0.
Seja a um número real positivo (a ∈ R+) e x um número irracional (x ∈ I),
definimos ax utilizando aproximações de x por números racionais.
Desse modo, definimos ax para qualquer número real x.
Lembremos a seguir algumas propriedades das potências. No quadro abaixo, a e b são números reais positivos e x e y quaisquer números reais.
Propriedades das potências • ax· ay = ax+y • ax ay = a x−y, a 6= 0 • ax· bx = (a · b)x • ax bx = a b x , b 6= 0 • (ax)y = ax·y
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Função Exponencial
Definição 1. A função exponencial com base a é definida como sendo a função dada pela lei
f (x) = ax,
onde a é um número real maior que zero e diferente de um, isto é, a ∈ R∗
+ e a 6= 1.
Observação 1.
a) Na função exponencial, a variável aparece no expoente e não dever ser confundida com a função potência f(x) = xn, já que nesta última a variável está na base.
Exemplo: • Funções exponênciais • f(x) = 2x • f(x) = 21(x+1) • Funções Polinomiais • f(x) = x2 • f(x) = (x + 1)21
b) A condição a > 0, foi imposta para garantir que f(x) esteja definida para todo número real.
Por exemplo, se a = −1 então f(x) = (−1)x. Calculando f(1
2): f (1
2) = (−1)
1
2 =p(−1)
Assim, não teremos um valor real para f(1
2). Daí a necessidade de se colocar a condição a > 0.
c) Se a = 0, temos três pontos a considerar:
• se x < 0 , f(x) = 0x = 0, não é definido, por exemplo, 0−2.
d) a = 1 foi excluído, pois para qualquer x, f(x) = 1x = 1 é uma função constante.
Notemos que se a é um número real maior que zero e diferente de um, isto é, a ∈ R∗+ e a 6= 1, f(x) = ax é um número real maior que zero. Além disso, se
y = ax, temos que logay = logaax, e como, logaax = x, concluímos que logay = x.
2.1
Gráficos
Para entender um pouco melhor as funções exponenciais, apresentaremos alguns gráficos e tiraremos, a partir destes, algumas conclusões.
Para isso, consideraremos dois casos: I) Se 0 < a < 1
A base é um número real, maior que zero e menor que um (0 < a < 1). A função é decrescente, isto é, à medida que a variável x aumenta, o valor da função diminui.
Assim, mais formalmente podemos dizer que se x1 e x2 são números reais
tais que x1 < x2, então f(x1) > f (x2) (no nosso caso é o mesmo que dizer
ax1 > ax2).
Vejamos o gráfico abaixo da função quando a = 1
2, ou seja , f(x) =
1 2
x :
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −1 1 2 3 4 5 6 7 0 g(x) = (1/2)x
Após uma análise do gráfico apresentado acima, três fatos podem ser conside-rados:
a) A função é decrescente, isto é, se x1 < x2, então ax1 > ax2;
b) Quando x vai para menos infinito, isto é, os valores de x estão cada vez mais a esquerda na reta real horizontal, os valores da função vão para infinito; c) Quando x vai para mais infinito, isto é, os valores de x estão cada vez
mais a direita na reta real horizontal, os valores da função se aproximam indefinidamente de zero.
II) Se a > 1
Neste caso, a função f(x) = ax é crescente, ou seja, à medida que a variável x
aumenta, a imagem f(x) aumenta.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −1 1 2 3 4 5 6 7 0 f (x) = 2x
Após uma análise do gráfico apresentado acima, três fatos podem ser conside-rados:
a) A função é crescente, isto é, se x1 < x2, então ax1 < ax2;
b) Quando x vai para menos infinito, isto é, quando os valores de x estão cada vez mais a esquerda na reta real horizontal, os valores da função se aproximam indefinidamente de zero;
c) Quando x vai para mais infinito, isto é, quando os valores de x estão cada vez mais a direita na reta real horizontal, os valores da função vão para infinito.
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Características e Propriedades
Seja f(x) = ax uma função exponencial, com a > 0 e a 6= 1, temos que:
1) Quando x = 0, então f(x) = a0 = 1, ou seja, o par ordenado (0, 1) pertence
a função; graficamente corresponde a cortar o eixo das ordenadas em 1.Observe que isso acontece am ambos os gráficos apresentados anteriormente.
2) Se 0 < a < 1, a função f é decrescente. Assim, por exemplo, as funções f (x) = 1 2 x , f (x) = 1 π x , e f(x) = (0, 9)x são funções decrescentes.
3) Se a > 1, a função é crescente. Assim, por exemplo, as funções f (x) = 2x, f (x) = ex, e f(x) = (4, 5)x são funções crescentes.
4) Para todo a > 0 e a 6= 1, temos que ax1 = ax2 se e somente se, x
1 = x2, para
quaisquer números reais x1 e x2.
5) O domínio de f, denotado por Dom(f), é o conjunto dos números reais, isto é, Dom(f ) = R.
6) O seu conjunto imagem de f, denotado por Im(f), é dado por Im(f) = R∗ +.
Exemplo 1. Dada a função
f (x) = 2 3
1−x ,
notemos que ela está definida para qualquer número real x. Assim, seu domínio é Dom(f) = R. Além disso, uma vez que a = 2
3 < 1, temos que esta função é
decrescente.
Exemplo 2. Consideremos agora a função g(x) = 2(3−xx ).
Neste caso, observemos que no expoente aparace a fração x
3−x . Assim, o
denomina-dor 3 − x não pode ser zero, isto é,
3 − x 6= 0,
ou seja,
x 6= 3.
Dessa forma, o domínio da função é Dom(g) = R − {3}. Além disso, uma vez que a = 2 > 1,temos que esta função é crescente.
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Sugestão de leitura
[1] FILHO, B. , SILVA, C., Matemática aula por aula. Volume único., São Paulo, FTD, 2000.
Referências
[1] IEZZI, G. et al., Matemática: Volume Único, 5ª Ed., São Paulo, Atual, 2011. [2] IEZZI, G., DOLCE, O., DEGENSZAJN, D., PÉRIGO, R., ALMEIDA, N. de.
