ADOÇÃO DE SOLUÇÕES SUB-ÓTIMAS DA FUNÇÂO OBJETIVO ORIGINAL DE UM MODELO NÃO-LINEAR DE SELEÇÃO DE EQUIPAMENTOS EM AMBIENTE JUST IN TIME E COM RELAXAÇÔES

ADOÇÃO DE SOLUÇÕES SUB-ÓTIMAS DA FUNÇÂO OBJETIVO

ORIGINAL DE UM MODELO NÃO-LINEAR DE SELEÇÃO DE

EQUIPAMENTOS EM AMBIENTE JUST IN TIME E COM RELAXAÇÔES

Luiz Cláudio Lopes Alves

D.Sc. em Engenharia de Produção pela COPPE/UFRJ Rua Caruaru, 150, apto 901 – Grajaú – Rio de janeiro – RJ

CEP 20560-210 E-mail: lcalves@ibge.gov.br

Carlos Augusto de Alcantara Gomes

Professor Adjunto IV do IEPG/UNIFEI

R. Prof. Henrique Marques, 168 – Pinheirinho – Itajubá – MG E-mail: alcantaragomes@unifei.edu.br

RESUMO

O presente trabalho, procura analisar a adoçâo de soluções sub-ótimas da função objetivo original (custo total de produção mínimo), de um modelo não-linear de seleção de equipamentos em ambiente Just in Time e com relaxações, ao se otimizá-lo considerando-se mais um critério em conjunto (tempo total de produção mínimo).

Palavras-chave: Just in Time, Just in Case, Otimização conjunta de dois critérios.

ABSTRACT

The present work make a analysis about the adoptions of sub-optimum solutions of the original objective function (minimum total cost of production), of a nonlinear programming model for equipment selection in a Just in Time environment and with relaxations, when we make its optimization considering more one criteria jointly (minimum total time of prduction).

Key-words: Just in Time, Equipment Selection, Jointly optimization of two criteria.

1. INTRODUÇÃO

GUNASEKARAN et alii (1993), propuseram um modelo matemático não-linear de seleção de equipamentos em sistemas de manufatura Just in Time. Este modelo fora reformulado por ALVES(1997) e ALVES et alii (2001), onde foram desenvolvidas três relaxações: a primeira de que poderia ocorrer perda de tempo devido a quebra de máquinas, a segunda de que haveria a geração de sucata e a terceira de que a demanda seria variável. Implicando esta última, em um custo de perda de venda, quando não ocorresse o atendimento à 100% da demanda do público.

O objetivo do presente trabalho é apresentar uma análise de se adotar soluções sub-ótimas da função objetivo original (custo total de produção mínimo), do modelo não-linear de seleção de equipamentos em ambiente Just in Time e com relaxações mencionado acima, ao se otimizá-lo considerando-se mais um critério em conjunto (tempo total de produção mínimo).

Isto pode ocorrer, por exemplo, na área de manufatura, quando rapidez de produção das encomendas, seja também, além de custo, um critério estratégico exigido pelos clientes (PLATTS/GREGORY).

Procura-se, com isto, verificar de quanto e como se reduz o tempo total de manufatura de um sistema de produção em série, com a decisão de se assumir custos maiores de investimento e/ou aluguel em equipamentos, considerando-se o modelo tanto na sua forma ideal Just in Time

(GUNASEKARAN et alii 1993),

como incluindo as relaxações mencionadas acima (ALVES, 1997; ALVES

et alii

2001).

2. O MODELO MATEMÁTICO PARA SELEÇÃO DE EQUIPAMENTOS

O sistema de produção considerado neste trabalho tem múltiplos estágios. A cada estágio podem existir máquinas semelhantes realizando os mesmos tipos de operações.

O modelo desenvolvido busca encontrar o número de máquinas requeridas em cada estágio que minimizam o custo total de produção associado. Sem relaxações, isto é, em ambiente Just in Time segundo GUNESEKARAN et alii (1993). E com relaxações, isto é, em ambiente Just in Case, conforme ALVES (1997) e ALVES et alii (2001).

O custo total do sistema consiste dos seguintes custos: (i) custo devido ao processamento dos produtos (ii) custo devido ao não-balanceamento nas taxas de produção; (iii) investimento em equipamentos; (iv) custo devido a quebra de máquinas (1ª relaxação); (v) custo devido a geração de sucata (2ª relaxação); e (vi) custo devido ao não atendimento à demanda(3ª relaxação).

NOTAÇÃO:

i = índice de produto (i = 1, 2, ..., P);

Di = demanda do produto i por unidade de tempo ou ano;

j = índice de estágio (j = 1, 2, ..., S). • Para o estágio j:

nj = número de máquinas;

Mj = custo por máquina ou taxa de aluguel;

Vj = área do espaço requerido por uma máquina. • Para o i-ésimo produto e j-ésimo estágio:

Apij = tempo médio de processamento para um lote;

Qij = tamanho do lote;

Oij = peso de prioridade dado no processamento (seqüenciamento); αij = custo devido ao processamento por unidade de tempo;

βij = custo de penalidade devido a uma unidade de desbalanceamento nas taxas de produção entre os estágios j e j+1;

PTij = tempo de processamento para um lote;

NPCij = número de ciclos de produção por unidade de tempo;

Tij = tempo de processamento de uma unidade;

kmij = taxa de diminuição no tempo de processamento face a um aumento de uma unidade no investimento de máquinas;

MMij = tempo de processamento por unidade quando o investimento em equipamento é zero; λij = taxa de produção

Cbij = custo devido à perda no tempo de processamento por unidade de tempo; δij = perda média percentual de tempo de processamento;

Csij = custo devido à perda em um lote por unidade de tempo; γij = perda média percentual em um lote;

TM = orçamento de capital máximo disponível para investimento em máquinas; Ω = espaço máximo disponível para máquinas na fábrica;

Mgi = margem de lucro do produto i por unidade de tempo ou ano;

(i) Custo de processamento de produtos:

O custo total devido ao processamento de produto para dada demanda, considerando todos os produtos i e todos os estágios j, por unidade de tempo (ano), é dado por:

{

NPC

ij

.AP

ij

.

α

ij

}

P l i S 1 j

∑∑

= = (2.1) onde:













=

ij i ij

Q

D

NPC

(2.2) ij ij λ 1 AP = (2.3)

{

}

{ }

ij j ij ij

PT

n

.

O

λ

=

(2.4) PTij = Qij

.

Tij (2.5) Tij = MMij – kmij Mj ; Mb ≤ Mj ≤ Mc (2.6) ΣOij = 1 ; para j = 1, 2, ..., S. (2.7)

(ii) Custo devido ao não-balanceamento das taxas de produção entre dois estágios sucessivos:

O custo total devido ao não-balanceamento nas taxas de produção considerando-se todos os produtos e estágios, é dado por:

{

}

[

]

∑∑

= = + −

λ

λ

P l i l -S 1 j ij 1 ij ij

β

(2.8)

(iii) Custo de investimento em equipamento:

O investimento total em equipamento (aluguel de equipamento) por ano, considerando-se todos os estágios, é dado por:

{

}

∑

= n l j j j

n

M

(2.9)

(iv)

Custo devido à quebra de máquinas (1ª relaxação):

O custo devido à quebra de máquinas considerando-se todos os produtos e todos os estágios é dado por:

{

NPC

ij

x

AP

ij

x

ij X

Cb

ij

}

P l i S l j

δ

∑∑

= = (2.10) onde:

δij pertence ao intervalo 0 < δij < 1, e representa a perda média percentual do tempo de

processamento para um lote do produto i, no estágio j, e Cbij o custo desta perda por unidade de tempo

(ano).

(v) Custo devido à geração de sucata (2ª relaxação):

Considerando-se a perda de fabricação como uma percentagem dos lotes, o custo total desta perda será:

{

NPC

ij

x AP

ij

x

γ

ij X

Cs

ij

}

P l i S l j

∑∑

= = (2.11) onde:

γij pertence ap intervalo 0 < γij < 1, e representa a perda média percentual de um lote do

produto i, no estágio j, e Csij o custo desta perda por unidade de tempo (ano).

(vi) Custo devido ao não atendimento à demanda (3ª relaxação):

Considerando-se o não atendimento à demanda, em virtude de suas variações probabilísticas, como uma percentagem dos lotes dos produtos i no último estágio de produção, o custo total desta perda será:

[

]

       

∑

∑

= = P 1 i S 1 j ij ij ij i i x Mg NPC xAP x

α

µ

(2.12) onde:

µi, pertence ao intervalo 0 < µi < 1, e representa a quantidade média percentual, deixada de

vender, de um lote do produto i no último estágio de produção e, onde Mgi é a margem de lucro do

produto i por unidade de tempo ou ano.

3. FORMULAÇÃO DO MODELO

[

]

+         α =

∑∑

= = P 1 i S 1 j ij ij ijx AP x NPC Z Min

[

]

(

)

+         − +

∑ ∑

= − = + P l i 1 S l j ij 1 ij ij λ β λ

[

]

+         +

∑

= S l j j jn M

[

]

+         +

∑∑

= = P l i S l j Cbij δ x x AP NPCij ij ij X (3.1)

[

]

+         +

∑∑

= = P l i S l j ij ij X ij ij x AP x γ Cs NPC         +

∑

∑

= ixMgi = [NPCijxAPijx ij] P 1 i S 1 j

α

µ

Sujeito às seguintes restrições:

{

M

n

}

TM

S l j j j

≤

∑

= (3.2)

{

}

≤

Ω

∑

=

s

V

n

l j j j (3.3) 0 < δij< 1 (3.4) 0 < γij< 1 (3.5) 0 < µi< 1 (3.6) 4. EXEMPLO

Seja um sistema de produção em série de quatro estágios que fabrica três produtos ao qual aplicaremos o modelo em estudo. Os dados de entrada do exemplo estão apresentados na tabela 4.1

TABELA 4.1. DADOS DE ENTRADA DO MODELO MATEMÁTICO

P=3 S=4

Parâmetros Produto 1 Produto 2 Produto 3

Variáveis Estág. 1 Estág. 2 Estág. 3 Estág. 4 Estág. 1 Estág. 2 Estág. 3 Estág. 4 Estág. 1 Estág. 2 Estág. 3 Estág. 4

D 3000 2000 4000 M (x 102_{) 50,00 55,00 40,00 60,00 50,00 55,00 40,00 60,00 50,00 55,00 40,00 60,00} V 60,00 50,00 80,00 40,00 60,00 50,00 80,00 40,00 60,00 50,00 80,00 40,00 Q 800 800 800 800 700 700 700 700 900 900 900 900 km (x 10-3_{) 0,20 0,30 0,40 0,30 0,10 0,40 0,30 0,20 0,20 0,30 0,20 0,20} O 0,20 0,40 0,50 0,50 0,60 0,30 0,30 0,20 0,20 0,30 0,20 0,30 α=Cb=Cs 2,00 1,50 3,00 2,00 3,00 2,50 1,00 2,00 2,00 2,00 2,00 1,00 δ 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 γ 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 µ 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 Mg 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 Ω (x 105_{) 60,00 90,00 60,00 80,00 90,00 80,00 80,00 70,00 80,00 100,00 80,00 90,00} MM 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 Mb = 1,0 x 103 Mc = 2,0 x 103 Ω = 3,0 x 103 TM = 6,0 x 106

O propósito do planejamento de capacidade é obter um fluxo de materiais com investimento ótimo de equipamentos.

Utilizando-se o método de Hooke & Jeeves (Busca Direta), (BAZARAA, M.S.,et alii, 1979), para resolução do problema matemático, que é de natureza não-linear, apresenta-se os resultados das otimizações dos modelos, até a 42ª iteração. Os dados iniciais utilizados neste método estão apresentados na tabela 4.2.

Os resultados das otimizações estão organizados nas tabelas 4.3 e 4.4 conforme apresentadas a seguir, permitindo visualizar-se as recuperações de custo nas otimizações tanto do modelo original como no modelo que inclue as relaxações, respectivamente. Permitem observar-se também, objetivo do presente trabalho, as reduções do tempo total de produção conforme se considere soluções sub-ótimas em termos de custos, uma vez que suas variáveis de decisão, número de máquinas dimensionadas para cada estágio, assumem valores maiores.

TABELA 4.2 - DADOS INICIAIS PARA O MÉTODO DE BUSCA DIRETA

Parâmetros Valor Notação Descrição

Mj Número inicial de máquinas 4.6.8.10

EPS Valores iniciais do tamanho do passo 4.4.4.4

NSTAGE Número total de estágios (S) 4

ITMAX Número máximo de iterações permitido 500

NKAT Número máximo de vezes que o passo inicial será reduzido 20 EPSY Erro da função objetivo para convergência 0,0001 ALPA Fator para estender tamanhos de passos iniciais 4.0 BTA Fator para reduzir os tamanhos dos passos iniciais 0,50

TABELA 4.3 - RESULTADOS SEM AS RELAXAÇÕES (GUNASEKARAN et al., 1993)

Iteração Número de máquinas

Custo devido ao proces- samento ($) Custo devido ao não- balancea-mento ($) Investi-mento em máquina ($) Custo total (Z) ($) Tempo total de produção (unidade de tempo)

Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3 Estágio 4 (x104) (x104) (x104) (x104) (x103)

1 4 6 8 10 4,1213 23,79610 14,500 42,4175 11043,288

9 4 2 4 6 7,0056 11,81060 8,300 27,1162 18866,221

18 4 1 1 1 18,2100 2,99637 3,550 24,7563 51607,666

24 4 3 3 3 7,3908 8,98912 6,650 23,0299 20532,555

42 4 2 2 2 10,0960 5,59928 5,100 21,1883 28301,332

Redução do tempo total de produção se adotarmos a solução sub-ótima da iteração 24 na tabela 4.3, (modelo Just in Time):

(1 - 20532,555/28301,332)x100 = 27,45 %

Aumento do custo total de produção se adotarmos a solução sub-ótima da iteração 24 na tabela 4.3, (modelo Just in Time):

(23,0299/21,1883 -1)x100 = 8,69 %

TABELA 4.4 - RESULTADOS COM AS 1a + 2a + 3ª RELAXAÇÕES

(ALVES, 1997; ALVES

et alii

2001).

Ite- ra-ção Número de máquinas Custo devido ao proces- samen-to ($) Custo devido ao não- balan- cea-mento ($) Investi-mento em máqui-na ($) Custo de devido à quebra de máquina ($) 1a relaxação Custo de devido à sucata ($) 2a relaxação Custo devido à perda de venda ($) 3a relaxação Custo total (Z) ($) Tempo total de produção (unidade de tempo) Est 1 Est 2 Est 3 Est 4 (x104_{) (x10}4_{) (x10}4_{) (x10}4_{) (x10}4_{) (x10}4_{) (x10}4_{) (x10}3₎

1 4 6 8 10 4,1213 23,79610 14,500 0,8243 0,1649 0,1649 43,5716 13693,677 9 4 2 4 6 7,0056 11,81060 8,300 1,4011 0,2802 0,2802 29,0777 23394,100 18 4 1 1 1 18,2100 2,99637 3,550 3,6420 0,7284 0,7284 29,8551 63993,500

24 4 3 3 3 7,3908 8,98912 6,650 1,4782 0,2956 0,2956 25,0993 25460,300

42 4 2 2 2 10,0960 5,59928 5,100 2,0192 0,4038 0,4038 24,0151 35093,600

Redução do tempo total de produção se adotarmos a solução sub-ótima da iteração 24 na tabela 4.4, (modelo Just in Case):

(1 - 25460,300/35093,600)x100 = 27,45 %

Aumento do custo total de produção se adotarmos a solução sub-ótima da iteração 24 na tabela 4.4, (modelo Just in Case):

5. ANÁLISE GRÁFICA DOS RESULTADOS

Colocando-se nos gráficos 5.1 e 5.2 abaixo, os resultados de tempo total de produção (eixo das

ordenadas), e do custo total de produção (eixo das abcissas), das iterações 1, 9, 24 e 42 apresentados nas tabelas 4.3 e 4.4 acima, podemos ilustrar como se comportam os valores destas duas variáveis, no processo de otimização do exemplo considerado, considerando-se o modelo sem e com relaxações respectivamente. Cabe ressaltar que estas duas variáveis podem, eventualmente, retratar duas necessidades essenciais dos clientes, e portanto, certamente, seriam dois critérios estratégicos a serem considerados pelas empresas (PLATTS/GREGORY) em suas atividades de planejamento.

Como observação informamos que a iteração 18 foi descartada por apresentar valores de tempo total de produção em ambas tabelas 4.3 e 4.4 muito superiores aos das demais iterações no processo de otimização de busca direta apresentado.

Gráfico 5.1 - Tempo Total de Produção x Custo Total de Produção - Sem Relaxação

42a. iter. 24a. Iter. 9a. Iter. 1a. Iter. 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 0 10 20 30 40 50

Custo Total de Produção

T e m po t o ta l de P roduç ã o

Gráfico 5.2 - Tempo Total de Produção x Custo Total de Produção - Com Relaxação

42a. iter. 24a. Iter. 9a. Iter. 1a. Iter. 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 0 10 20 30 40 50

Custo Total de Produção

Te m p o t o ta l de P rodu ç ã o

Analisando-se os dois gráficos acima percebe-se que tempo e custo são inversamente

proporcionais, e que, também, não variam linearmente. Isto é, para decréscimos iguais (ou acréscimos iguais) dos valores de custo total , a partir de determinados pontos das curvas (próximos aos valores da 24ª _{iteração), os acréscimos (decréscimos) correspondentes dos valores de tempo total de produção,}

variam mais que proporcionalmente.

As soluções sub-ótimas, no caso para a 24ª _{iteração, em ambos os processos de otimização,}

sem e com relaxações, no exemplo considerado neste trabalho, situam-se na região de valores de tempo e custo para onde o trade-off entre ambas variáveis nos leva simultaneamente a valores marginais ótimos tanto para custo total de produção como para tempo total de produção (veja gráficos 5.1 e 5.2).

6. CONCLUSÕES

Verifica-se que, com a adoção de soluções sub-ótimas em termos do objetivo inicial do modelo, minimização do custo total de produção, em ambas situações consideradas, sem e com relaxações, outra variável que também pode ser tão ou mais importante no estabelecimento de estratégias empresariais, ou seja, o tempo total de produção, tem acréscimos marginais crescentes para valores de custo total de produção decrescentes abaixo de certos valores (próximos aos valores da 24ª

iteração, veja gráficos 5.1 e 5.2).

Isto sugere que se realize um trade-off entre estas duas variáveis, de modo a se decidir por uma política de investimentos em máquinas que seja ótima segundo estes dois critérios, ou seja de menor custo total de produção e menor tempo total de produção, simultaneamente.

No exemplo visto, verifica-se que a penúltima iteração do processo de otimização considerado já nos leva a decréscimos substanciais no tempo (27,5%, sem e com relaxação), com acréscimos não significativos no custo total (8,69% e 4,51%, sem e com relaxação, respectivamente).

Poder-se-ia, portanto, ao invés de decidir-se pela quantidade de equipamentos determinada na 42ª _{iteração, decidir-se por acrescentar mais uma máquina nos 2}º_{, 3}º _{e 4}º _{estágios, diminuindo-se}

sensivelmente o tempo total de produção sem acréscimos expressivos de custo total de produção, principalmente no caso de se estar trabalhando em ambiente just in case (4,51% de acréscimo do custo).

BIBLIOGRAFIA

ALVES, L.C.L., 1997. Um modelo para seleção de equipamentos em sistemas de produção

Just-in-Case: O caso da relaxação do ambiente Just-in-Time. Tese D.Sc., COPPE, UFRJ, Rio de

Janeiro, Brasil, 142p.

ALVES, L.C.L., ALCANTARA GOMES, C.A., FUKS, S., 2001. Avaliação da Perda de Efetividade em um Sistema de Manufatura com Demanda Variável, através de um Modelo Não Linear de Seleção de Equipamentos, XXXIII SBPO, Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, Campos de Jordão, S.P., Brasil.

BAZARAA, M. S., SHERALI, H. D., SHETTY, C. M., 1979. Nonlinear programming. 2ª edição, 1993, John Wiley & Sons, inc., 638p.

GUNASEKARAN, A., GOYAL, S.K., MARTIKAINEM, T., YLI-0LLI, P., 1993. Equipment selection problem in Just-in-Time manufacturing systems. Journal of the Operational

Research, v.44, n.4, p.345-353.

PETERSON, R., SILVER, E.A., 1979. Decision Systems for Inventory Management and Production Planning, John Wiley & Sons, 799p.