Obtenção do Módulo Dinâmico a partir dos Resultados de Ensaios de Creep. Marcelo S. Medeiros Júnior 1 e Jorge Barbosa Soares 2

Obtenção do Módulo Dinâmico a partir dos Resultados de Ensaios de Creep

Marcelo S. Medeiros Júnior

1

e Jorge Barbosa Soares

2

Universidade Federal do Ceará, Departamento de Engenharia de Transportes Campus do Pici, Bl-703, Fortaleza, Ceará, Brasil

RESUMO

A importância de se considerar o comportamento viscoelástico das misturas asfálticas, bem como a possibilidade de contabilizar os efeitos de diferentes temperaturas e freqüências de carregamento neste comportamento, faz com que o módulo dinâmico venha sendo adotado em diversos países como o módulo de rigidez do material. Porém devido ao alto custo de aquisição de equipamentos hidráulicos servo-controlados, o ensaio para obtenção deste parâmetro torna-se impraticável para alguns laboratórios e órgãos rodoviários, em particular para países em desenvolvimento. O presente trabalho objetiva a demonstração do procedimento de conversão de módulo de relaxação para o módulo complexo, sendo que o módulo de relaxação, por sua vez, foi obtido por meio da creep compliance. Este procedimento possibilita a obtenção de valores de módulo dinâmico a partir de resultados de ensaios de creep, estes últimos possíveis de serem realizados em prensas ou equipamentos pneumáticos mais baratos.

ABSTRACT

The importance of considering the viscoelastic behavior of asphalt mixtures, as well as the possibility of taking into account different temperatures and load frequencies, led the dynamic modulus to be adopted in many countries as a representative parameter of the material stiffness. However, because of the high cost of closed loop servo-hydraulic systems, the referred test is difficult to implement for some laboratories and departments of transportation, particularly in the developing countries. The present research attempts to demonstrate that the relaxation modulus can be converted into the complex modulus. In its turn, the relaxation modulus is obtained from creep compliance. This allows one to obtain the dynamic modulus from the results of creep tests, which can be easily performed in pneumatic equipments or simple compression devices, which are less costly.

1 _{Mestrando, Engenharia Civil, UFC} 2 _{PhD, Engenharia Civil, UFC}

INTRODUÇÃO

As estruturas dos pavimentos estão na maioria das vezes sujeitas a cargas dinâmicas provenientes do movimento dos veículos. Devido ao comportamento viscoelástico oriundo da presença do ligante asfáltico (Boza, 2001), a resposta do revestimento asfáltico é diferente para carregamentos estáticos e dinâmicos apresentando uma resposta mais elástica (mobilização de molas no modelo analógico) para carregamentos mais rápidos e mais viscosa (mobilização também dos amortecedores) para cargas estáticas. A temperatura também é um fator de grande influência no comportamento mecânico das misturas, podendo a rigidez do material variar em até uma ordem de grandeza (Fonseca, 1995).

Um módulo de rigidez que leve em consideração os efeitos viscoelásticos do material em sua formulação torna-se imprescindível na correta caracterização de misturas asfálticas e na conseqüente obtenção das tensões e deformações, necessárias ao dimensionamento de estruturas de pavimentos por métodos mecanísticos.

Para materiais viscoelásticos lineares, a relação entre tensão e deformação sob um carregamento sinusoidal harmônico é definida pelo chamado módulo complexo _{E (Pritz,} *

1998), o qual é composto por uma parte real e uma parte imaginária, representativas do comportamento elástico e viscoso do material, respectivamente. O valor absoluto do módulo complexo, │E*│, é conhecido como módulo dinâmico, que por sua vez é definido matematicamente como a relação entre a amplitude da tensão de carregamento (σo) sobre a

amplitude da deformação recuperável (εo): │E*│= σ0/ε0 (Ferry, 1980; Christensen 1982). O módulo dinâmico pode ser obtido de diversas maneiras: por meio de ensaios em vigas prismáticas, flexão em barras, compressão diametral ou compressão uniaxial em corpos cilíndricos, propagação de ondas mecânicas (Clyne et al. 2003) ou até mesmo por meio de modelos de previsão baseados na granulometria dos agregados e características do ligante (Witczack e Fonseca, 1996).

Porém as formas mais difundidas de obtenção do módulo dinâmico são as que utilizam carregamentos harmônicos, sendo medidos então os deslocamentos oriundos dessa solicitação. Para realizar este procedimento é necessário um equipamento de acionamento hidráulico servo-controlado e um sistema de aquisição de dados responsável pela leitura dos sensores. Este sistema hidráulico deve ser capaz de aplicar cargas em freqüências na faixa de 0,01Hz até 25Hz. É necessária também uma câmara com temperatura controlada que atue na faixa de -20°C até 40°C. O equipamento necessário à execução do ensaio tem o seu custo atual variando entre 30.000 e 250.000 dólares, o que o torna inviável para órgãos rodoviários e laboratórios de pavimentação em países em desenvolvimento.

Segundo a teoria da viscoelasticidade linear, é possível se descrever completamente o comportamento de um material viscoelástico conhecendo-se somente a sua função creep

compliance ou o seu módulo de relaxação (Findley et al., 1989). São conhecidas também as

identidades matemáticas de transformação do domínio de tempo para o domínio de freqüência, como a apresentada na Equação 1, que relaciona o módulo complexo com o módulo de relaxação para o caso unidimensional (Chistensen, 1982).

( )

= +

_∫

∞

( ) ( )

+

_∫

∞

( ) ( )

0 0 *

_ω

_E(0)

_ω

_E

_ξ

_sen

_ωξ

_d

_ξ

_i

_ω

_E

_ξ

_cos

_ωξ

_d

_ξ

E (1) onde: *

E : módulo complexo (domínio da freqüência); E : módulo de relaxação (domínio do tempo);

ω : freqüência;

A Equação 1 permite que os valores de módulo complexo sejam inferidos por meio de resultados de ensaios de relaxação, que por sua vez podem ser obtidos por meio do ensaio de

creepatravés da Equação 2 (Ferry, 1980; Schapery, 1982).

(

t

) ( )

E d E

(

t

) ( )

D d t D t t = − = −

∫

∫

0 0 τ τ τ τ τ τ (2) onde: E : módulo de relaxação; D : creep compliance; t : instante de tempo atual;

τ : escala de tempo genérica.

A facilidade de execução do ensaio de creep faz com que ele se torne uma alternativa acessível aos laboratórios de pavimentação e órgãos rodoviários que não dispõem de equipamentos de ensaios dinâmicos, afinal o ensaio de creep pode ser realizado satisfatoriamente até em prensas de adensamento como as apresentadas na Figura 1.

Tendo em vista essa característica, o presente trabalho se propõe a conceituar matematicamente o processo de interconversão entre as propriedades creep compliance e módulo complexo.

Figura 1 – Ensaios de creep em misturas asfálticas realizados em prensas de adensamento 1. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

A reposta R de materiais viscoelásticos a uma solicitação S qualquer (seja esta tensão ou deformação) em um determinado instante t , exibe uma relação de dependência com o histórico desta solicitação. Isto significa que a resposta R é um mapeamento funcional

do histórico de S até o instante t conforme indica a expressão 3 (Schapery, 1982):

( )

t

F

{

t

S

( )}

t

R

=t

_,

−∞ =

=

τ τ (3) onde:

}

{

F : funcional linear de S;

t : instante de tempo atual;

O asfalto, e conseqüentemente as misturas asfálticas, possuem essa dependência (Findley et al., 1989; Schapery, 1982) que pode ser facilmente observada por meio dos

ensaios decreep ou relaxação (Christensen, 1982).

Assumindo-se que o material é viscoelástico linear, ou seja, que o material obedece aos princípios de homogeneidade e superposição [5], a expressão 3 pode ser facilmente expandida para uma formulação integral com o auxílio de funções unitárias de pulso, que seguem a seguinte lei de formação (Equação 4) (Kreysig, 1993):

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = < − τ τ τ τ t t t t H , 1 , 2 1 , 0 ) ( (4)

Tomemos como exemplo uma solicitação monotônica iniciada no instante τ e de amplitude ∆S, como visto na Figura 2.

Figura 2 – Solicitação monotônica

Observando-se a Figura 2 pode-se definir a solicitação S da seguinte maneira (Equação 5):

)

(

)

(

t

=

∆

S

×

H

t

−

τ

S

(5)

A solicitação S definida na Equação 5 produz uma resposta R qualquer iniciada no instante

(

t−τ

)

, convenientemente definida pela Equação 6:

)

(

−

τ

×

=

R

H

t

R

_H (6)

Da Equação 6, conclui-se que, para um determinado instante t , a resposta R_H

dependerá de todo o histórico de solicitação, desde o início de sua aplicação até o instante atual t , mas não para instantes posteriores. O fato da não consideração do efeito de

envelhecimento do material é conhecido como axioma da não retroatividade (Schapery, 1982). Em alguns problemas de engenharia esses efeitos são deveras acentuados, como em processos de cura, degradação química, secagem ou no caso de misturas asfálticas, o envelhecimento do ligante devido à oxidação. Porém, por questões de simplificação matemática, a análise e a consideração desse efeito estão fora do escopo do presente trabalho.

Utilizando-se do princípio da superposição e generalizando-se a solicitação para um número n infinito de pulsos de carregamento ∆ (Figura 3) e assumindo-se que estes pulsos S_i

unitários variam continuamente ao longo do intervalo considerado, chega-se à seguinte formulação (Equação 7): i i i n i H

S

R

R

i

τ

τ

τ

∆

∆

∆

=

∑

= → ∆ 0 0

lim

₍₇₎

Que, por definição, pode ser escrita como apresentado na Equação 8:

∫

∞ −

∂

∂

−

=

t

R

_H

t

S

d

R

τ

τ

τ

)

(

₍₈₎

Figura 3 – Esquema de uma solicitação genérica S

A Equação 8 é conhecida como integral de convolução (Kreysig, 1993) e é uma das formas de se representar a relação constitutiva para materiais viscoelásticos lineares. Vale salientar que até o presente momento as solicitações aplicadas ao material, bem como as conseqüentes respostas, foram tratadas de maneira genérica, não sendo definidas como solicitações de tensão ou de deformação. Isso ocorreu devido ao fato da formulação teórica para os dois casos ser idêntica. Daqui por diante, porém, será considerado que um corpo de prova foi sujeito ao ensaio de relaxação, onde a solicitação é uma deformação prescrita.

A função de relaxação E

( )

t é definida com a variação de tensão σ com relação ao tempo, resultante da aplicação de uma deformação constante ε₀ (Equação 9).

( )

( )

0

ε

σ

t t E = ₍₉₎ Substituindo-se 9 em 8 tem-se:

( )

_∫

∞ −

∂

∂

−

=

t

d

t

E

t

τ

τ

ε

τ

σ

(

)

(10)

A função de relaxação, ou módulo de relaxação, como é mais conhecida, é obtida por meio de solicitações monotônicas, ou seja, sem variação com o tempo. Entretanto, são possíveis também relações constitutivas baseadas em parâmetros de caracterização dinâmicos, a exemplo do módulo complexo. A formulação matemática do módulo complexo é apresentada mais adiante.

Notemos que a integração na Equação 10 é feita de ∞− até ao instante atual t. Entretanto, se considerarmos que o carregamento já se estabilizou em uma freqüência definida, livre de vibrações transientes, podemos convenientemente mudar os limites de integração e as variáveis de integração para os indicados na Equação 11:

( )

=−∞

_∫

∂

(

_∂−

)

0 ) ( ξ ξ ξ ε ξ σ t E t d ₍₁₁₎ Onde: τ ξ = t− .

Ao mudarmos os limites de integração da Equação 11 temos que: para τ =−∞, ξ =∞, e, quando τ =t, ξ =0. O sinal negativo é conseqüência da troca entre os limites superiores e inferiores de integração.

Considere-se então o material sujeito a uma solicitação harmônica, representada para melhor conveniência, em sua forma complexa pela Equação 12.

( )

t

ε

_o

e

i t

ε

_o

[

ω

t

i

sen

ω

t

]

ε

=

ω

=

cos

+

(12) Onde: 0 ε : amplitude da solicitação; ω : freqüência da solicitação; t : tempo.

Ou, para o instante t−ξ:

(

ξ

)

ε

ε

[

ωξ

ωξ

]

ε

t

−

=

_o

e

iωt

e

−iωξ

=

_o

e

iωt

cos

−

i

sen

(13)

Substituindo-se 13 em 11 obtemos a Equação 14:

( )

ε ω

( )(

ξ ωξ ωξ

)

ξ σ t eiωt E sen icos d 0 0 + =

∫

∞ (14) De acordo com a Equação 14, pode-se observar que σ é a resposta para a

( )

t

solicitação harmônica i t oeω

ε . Esta resposta tem a mesma freqüência da solicitação, porém desfasada de um ângulo δ , conhecido como ângulo de fase. Na Figura 4 podemos observar graficamente o comportamento das funções σ e

( )

t ε para um ciclo de carregamento.

( )

t

Figura 4 – Tensão e deformação oscilantes

Para esta situação onde o corpo está submetido a uma solicitação harmônica complexa, a relação entre tensão e deformação recebe o nome de módulo de relaxação complexo, ou simplesmente módulo complexo (Equação 15) (Lakes, 1998).

( )

t i

e

t

E

_ω

ε

σ

0 *

₌

(15) Substituindo-se 15 em 14, chega-se à Equação 1 como se queria demonstrar, sendo a

mesma repetida novamente aqui:

( )

= + ∞

_∫

( ) ( )

+

_∫

∞

( ) ( )

0 0

*

_ω

_E(0)

_ω

_E

_ξ

_sen

_ωξ

_d

_ξ

_i

_ω

_E

_ξ

_cos

_ωξ

_d

_ξ

E

A Equação 1 é composta de duas partes, uma real e uma imaginária, sendo a parte real representativa do comportamento elástico do material e a parte imaginária representativa do comportamento viscoso. Chamando de *

1

E a parte real e * 2

E a parte imaginária, tem-se:

( )

= +

_∫

∞

( ) ( )

0 * 1

ω

E(0)

ω

E

ξ

sen

ωξ

d

ξ

E (16)

( )

=

_∫

∞

( ) ( )

0 * 2

ω

ω

E

ξ

cos

ωξ

d

ξ

E (17)

Logo o módulo dinâmico pode ser obtido pela Equação 18:

( ) ( )

_* 2 2 2 * 1 *

_E

_E

E

=

+

(18)

2. MÉTODOS EXPERIMENTAIS

A fim de verificar a aplicação das relações apresentadas na Equação 1 foram utilizados dados experimentais de ensaios de creep descritos em (Berthlot et al., 2003). No referido

estudo os autores realizaram ensaios a temperatura de 20oC e tensão de carregamento cíclica de 0,10MPa de amplitude. As curvas de creep compliance foram regredidas utilizando-se uma

série de Prony (Equação 19), com 4 termos, depois convertidas para a série de Prony equivalente ao módulo de relaxação (Equação 20) pelo processo descrito em (Park e Kim, 1999; Oza et al., 2003), onde D(∞), E(0), Dk, Ek, τk e ρk são propriedades do material obtidas

pelo processo de regressão descrito por Schapery em (Schapery,1984a; Schapery 1984b):

( )

( )

_∑

(

)

= −

−

+

∞

=

n k t k k

e

D

D

t

D

1 /

1

τ ₍₁₉₎

( )

( )

_∑

= −

+

=

n k t k k

e

E

E

t

E

1 /

0

ρ ₍₂₀₎

Os gráficos das creep compliances dos quatro corpos de prova, CP – 01 a CP – 04 do

trabalho de referência são mostrados na Figura 5, e os coeficientes da série de Prony para o módulo de relaxação são apresentados na Tabela 1.

Para efeito de exemplificação do que foi discutido, será realizada a conversão do módulo de relaxação do corpo de prova CP – 01, para a freqüência de 1Hz, a partir da Equação 20.

( )

_{t 1,89 10}2 _{2,23 10}1_e t/20 _{9,07 10}1_e t/2 _{1,4 10}1_e t/1 _{2,7 10}2_e t/0,2

E = × + × − + × − + × − + × − (21)

Tabela 1 – Valores de EK e ρn (adaptado de Berthlot et al., 2003)

Corpo de Prova N EK (MPa) ρn (seg.)

0 1,89E+02 -- 1 2,23E+01 20,0 2 9,07E+01 2,0 3 1,40E+01 1,0 CP – 01 4 2,70E+02 0,2 0 1,89E+02 -- 1 3,92E+01 20,0 2 1,21E+02 2,0 3 9,98E+00 1,0 CP – 02 4 1,93E+02 0,2 0 2,08E+02 -- 1 2,53E+01 20,0 2 1,14E+02 2,0 3 8,16E+00 1,0 CP – 03 4 2,09E+02 0,2 0 2,63E+02 -- 1 3,26E+01 20,0 2 1,04E+02 2,0 3 -7,67E+00 1,0 CP – 04 4 1,30E+02 0,2

Para se obter a parte real do módulo complexo para a freqüência de 1Hz, substitui-se 21 em 16, aonde se obtém a expressão seguinte:

( )

+

( )

+

( )

+

+ ×

=

∫

_e−ξ _senξ _dξ

∫

_e−ξ _senξ _dξ

∫

_e−ξ _senξ _dξ

E 100 0 1 / 100 0 2 / 100 0 20 / 2 * 1 1,89 10 22,3 90,7 14

( )

ξ ξ ξ _{sen d} e

∫

− + 100 0 2 , 0 / 270 (22)

Observe-se que o limite de integração de 0 a 100 corresponde ao período de ensaio realizado por Berthlot et al., (2003), conforme indicado na Figura 5. A Equação 22 deve ser

então resolvida, lembrando-se que:

( )

_{( )}

[

( )

( )

]

∫

− + + = − − ξω ω ξω ω ξ ξω _ρ ρ ξ ξ ρ ρ 1 _cos 2 2 1 1 1 sen e d sen e ₍₂₃₎

Um procedimento idêntico deve ser realizado para a obtenção da parte imaginária do módulo complexo *

2

E , fazendo uso da Equação 24:

( )

_{( )}

[

( )

( )

]

∫

− + + = − −

ξω

ω

ξω

ω

ξ

ξω

_ρ ρ ξ ξ ρ ρ _d e _sen e cos 1cos 2 2 1 1 1 (24)

De posse das duas componentes do módulo complexo, estas são substituídas na Equação 18 para se obter o módulo dinâmico. O procedimento descrito foi realizado para os quatro corpos de prova de Berthlot et al., (2003) considerando quatro valores distintos de

freqüência. Na Tabela 2 são apresentados os resultados dos módulos dinâmicos para valores de freqüência de 0,1; 1; 5 e 10Hz para os quatro corpos de prova do estudo de referência.

Tabela 2 – Resultados dos valores de │E*│ para quatro freqüências de ensaio Corpo de Prova

ω

(Hz) |E*| (MPa)

0,1 202,7 1 728,2 5 2207,6 CP – 01 10 3325,0 0,1 219,3 1 1083,6 5 3183,7 CP – 02 10 4434,6 0,1 222,5 1 819,0 5 2491,3 CP – 03 10 3695,4 0,1 279,5 1 935,5 5 2487,4 CP – 04 10 4592,5 3. CONCLUSÕES

Um método para interconversão entre propriedades viscoelásticas foi apresentado com o intuito de tornar possível a utilização de equipamentos de baixo custo (pneumáticos ou prensas de adensamento) para se obter o módulo dinâmico, este obtido por meio de equipamentos hidráulicos de maior custo. De posse da creep compliance, obtida por

equipamentos mais simples, é realizada a sua conversão para módulo de relaxação que, por sua vez, é utilizado para a obtenção do módulo dinâmico.

O processo permite que órgãos rodoviários e centros de pesquisa e ensino de engenharia tenham acesso a este parâmetro de caracterização (módulo dinâmico) que possibilita uma análise mais completa do material, cuja resposta estrutural é sabidamente dependente da freqüência e do tempo de aplicação de carga.

REFERÊNCIAS

Berthelot, C. F.; Allen, D. H.; Searcy, C. R., Method for performing accelerated characterization of viscoelastic constitutive behavior of asphalt concrete, Journal of Materials in Civil Engineering, pp. 496-505 (2003).

Boza, F. M., Partal, P.,Navarro, J. E F., Gallegos, C., Rheology and microstructure of asphalt binders, Rheologica Acta, n 40, pp. 135-141 (2001).

Christensen, R. M., Theory of Viscoelasticity (2ª ed.), Academic, New York, USA (1982).

Clyne T. R.; Mihai X. L.; Marasteanu O.; Eugene L., Dynamic and Resilient Modulus of Mn/Dot Asphalt Mixtures, Technical Report, MN/RC 2003-09, Department of Civil Engineering, University of Minnesota, Minneapolis, USA (2003).

Ferry, J. D., Viscoelastic properties of polymers (3ª ed.), Wiley, New York, USA (1980).

Findley, W. N.; Lai, J. S.; Onaran, K., Creep and Relaxation of Nonlinear Viscoelastic Materials, Dover Publications, Inc. New York (1989).

Fonseca, O.A., Development of a Time-Dependent Model For the Dynamic Modulus of Asphalt Mixes, Tese de Doutorado, University of Maryland, Maryland, USA (1995).

Kreysig, E., Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons, Inc. (1993). Lakes, R. S., Viscoelastic Solids, CRC Press, Boca Raton, Florida, USA (1998).

Oza, A.; Vanderby Jr, R.; Lakes, R.S., Interrelation of creep and relaxation for nonlinearly viscoelastic materials: application to ligament and metal, Rheologica Acta,

pp. 557-568 (2003).

Park, S. W. e Y. R. Kim, Interconversion Between Relaxation and Creep Compliance for Viscoelastic Solids, Journal of Materials in Civil Engineering, v. 11, nº 1, pp. 76-81

(1999).

Pritz, T., Frequency Dependences of Complex Moduli and Complex Poisson`s Ratio of Real Solid Materiasl, Journal of Sound and Vibration, n 214, pp. 83-104 (1998).

Witczak, M. W.; Fonseca, O. A., Revised Predictive Model for Dynamic (Complex) Modulus of Asphalt Mixtures, Transportation Research Record, pp. 15-23 (1996).

Schapery, R. A., Theory of Viscoelasticity, Lecture Notes, Unpublished (1982).

Schapery, R. A., Correspondence Principles and a generalized J integral for large deformation and fracture analysis of viscoelastic media, International Journal of Fracture, n

25, pp. 192-223 (1984).

Schapery, R. A., Viscoelastic behavior and analysis of composite materials,

Mechanics of Composite Materials, G. P. Sendeckyj, Ed. Academic, San Diego, pp. 85-168