4
1
5
2
0011 00104
1
5
2
0011 0010No que segue, seja K
R
ou KC
.Definição Um espaço vetorial (ou espaço linear) sobre K é um conjunto não vazio
com duas operações designadas por adição e multiplicação escalar que associam,
respetivamente, a cada par de elementos um elemento único
e a cada K um elemento único de tal modo que as seguintes
condições são satisfeitas para quaisquer e K :
u
,
v
,
w
,...
V
V
u
,
u
V
,
,
V
v
u
,
u
v
V
V
w
v
u
,
,
4
1
5
2
0011 0010(a1) a adição é comutativa:
(a2) a adição é associativa:
(a3) existe elemento neutro para a adição: existe um elemento tal que,
para cada
(a4) cada elemento possui um inverso aditivo: para cada existe
tal que (m1) (m2) (m3) (m4)
,
V
u
,
V
u
V
u
;
v
v
u
u
;
u
u
u
;
u
v
u
v
;
u
u
.
1
u
u
;
w
v
u
w
v
u
;
0
u
u
u
u
;
0
0
u
u
u
V
0
4
1
5
2
0011 0010Se é um espaço vetorial sobre K , então os elementos de designam-se
por
vetores
e os de K por
escalares
.
O elemento neutro da adição em toma o nome de
vetor nulo
e denota-se
por ou por
0
V
V
V
.
0
V 4
1
5
2
0011 0010Exemplos
(a) K é um espaço vetorial sobre K. Os vetores são, neste caso, os elementos de K.
(b) Para cada inteiro positivo o conjunto Kn de todos os n-uplos ordenados
de elementos de K, é um espaço vetorial sobre K, com as operações de adição e multiplicação escalar assim definidas:
Para Kn e K ,
v
v
v
n
v
1,
2,...,
n 1,
,
,...,
.
,...,
,
2 1 2 2 1 1 n n nv
v
v
v
w
v
w
v
w
v
w
v
n nw
w
w
w
v
v
v
v
1,
2,...,
,
1,
2,...,
4
1
5
2
0011 0010O vetor Kn também pode ser representado na forma
matricial:
Deste modo, temos
nv
v
v
v
1,
2,...,
.
2 1
nv
v
v
v
.
,
2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1
n n n n n nv
v
v
v
v
v
v
w
v
w
v
w
v
w
w
w
v
v
v
w
v
4
1
5
2
0011 0010(c) Representa-se por K o conjunto de todas as matrizes
com elementos em K. Então K é um espaço vetorial sobre K , para as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação de uma matriz por um escalar.
(d) Seja um inteiro positivo. O conjunto Pn de todos os polinómios de grau com coeficientes em K, é um espaço vetorial sobre K em relação
à adição e à multiplicação escalar abaixo definidas.
Se Pn e K ,
n
m
n mM
n mM
1
n
,
n
n
n n nx
q
x
b
b
x
b
x
a
x
a
a
x
p
0 1...
,
0 1...
...
.
,
...
1 0 1 1 0 0 n n n n nx
a
x
a
a
x
p
x
b
a
x
b
a
b
a
x
q
x
p
4
1
5
2
0011 00104
1
5
2
0011 0010Sejam um espaço vetorial sobre K e um subconjunto não vazio de Diz-se que é um subespaço vetorial (ou subespaço) de se é um espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação escalar definidas em
Teorema 1 Um subconjunto de um espaço vetorial sobre K é um subespaço vetorial de se e só se as seguintes condições se verificam:
(a)
(b) para todo
(c) para todo K e para todo
v
S
,
;
2 1v
S
v
V
S
V
.
S
V
S
.
V
,
,
2 1v
S
v
v
S
.
S
V
V
;
0
S
4
1
5
2
0011 0010Observação Todo o espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços vetoriais: o subespaço nulo e o próprio espaço vectorial (subespaços triviais).
Exemplos
Os subespaços não triviais do espaço vetorial real R3 são:
- qualquer recta que passe na origem R3
onde R não são todos nulos e R não são todos nulos. - qualquer plano que passe na origem
R3
onde R não são todos nulos.
, , : 1 1 1 0 2 2 2 0 1 x y z a x b y c z e a x b y c z S 0
,
,
:
0
2x
y
z
ax
by
cz
S
V
V
1 1 1,
b
,
c
a
c
b
a ,
,
2 2 2,
b
,
c
a
4
1
5
2
0011 00104
1
5
2
0011 00104
1
5
2
0011 00104
1
5
2
0011 0010Sejam
um espaço vetorial sobre K e
(a)
O conjunto S diz-se
linearmente independente
se, para quaisquer
K ,
(b)
S diz-se
linearmente dependente
se existem escalares , K ,
não todos nulos (isto é, com pelo menos um diferente de zero), tais que
Teorema 2
Seja um subconjunto de um espaço vetorial
sobre K, onde . O conjunto é linearmente dependente se e só
se pelo menos um dos vetores é combinação linear dos restantes
vetores.
.
,...,
,
2 1v
v
V
v
S
n
V
;
0
...
0
...
1 2 2 2 1 1
n n nv
v
v
.
0
...
2 2 1 1
v
nv
nv
n
1,
2,...,
n
1,
2,...,
2
n
v
v
v
nS
1,
2,...,
S
V
1
n
4
1
5
2
0011 0010Teorema 3
Seja um subconjunto de um espaço
vetorial sobre K e seja um conjunto que se obtenha
de efetuando uma sequência finita de operações elementares dos tipos:
(e1)
troca das posições dos vetores e , com
(e2)
multilicação do vetor por um escalar diferento de zero;
(e3)
substituição do vetor por
onde e é um escalar.
Tem-se, é linearmente dependente (linearmente independente) se e só
se é linearmente dependente (linearmente independente)
K
v
v
v
nS
1,
2,...,
V
w
w
w
nS
'
1,
2,...,
S
iv
jv
;
j
i
1
,
2
,...,
,
,
i
n
v
i
1
,
2
,...,
,
,
i
n
v
i
1
,
2
,...,
,
,
j
n
v
v
i
j
j
i
S
'
S
4
1
5
2
0011 00104
1
5
2
0011 0010Seja um espaço vetorial sobre K e vetores de .
Então o conjunto K
é um subespaço vetorial de , designado por
subespaço gerado
por
O subespaço vetorial gerado por denota-se frequentemente
por
nv
v
v
,...,
,
2 1
v
v
n v
n nS
1 1
2 2...
:
1,
2,...,
.
,...,
,
2 1v
v
nv
.
,...,
,
2 1v
v
nv
nv
v
v
,...,
,
2 1V
V
V
4
1
5
2
0011 0010Teorema 4
Seja um subconjunto de um espaço
vetorial sobre K e seja um conjunto que se obtenha
de efetuando um sequência finita de operações elementares dos tipos:
(e1)
troca das posições dos vetores e , com
(e2)
multilicação do vetor por um escalar diferento de zero;
(e3)
substituição do vetor por
onde e é um escalar.
Tem-se
K
v
v
v
nS
1,
2,...,
V
w
w
w
nS
'
1,
2,...,
S
iv
jv
;
j
i
1
,
2
,...,
,
,
i
n
v
i
1
,
2
,...,
,
,
i
n
v
i
1
,
2
,...,
,
,
j
n
v
v
i
j
j
i
.
,...,
,
,...,
,
2 1 2 1v
v
nw
w
w
nv
4
1
5
2
0011 00104
1
5
2
0011 0010Seja um espaço vetorial sobre K e Diz-se que é uma base de se:
(a) é um conjunto linearmente independente;
(b) é um conjunto gerador de ; ou seja
Dito de outro modo, todo o vetor de pode escrever-se como combinação linear dos vetores
Um espaço vetorial diz-se finitamente gerado se existe um um número natural e tais que
V
v
v
v
B
n
1,
2,...,
.
,...,
,
2 1v
v
nv
V
V
v
v
v
n
,...,
,
2 1V
v
1,
v
2,...,
v
n.
V
V
B
B
V
.
,...,
,
2 1v
v
nv
V
V
B
n
4
1
5
2
0011 0010
0
4
1
5
2
0011 0010Teorema 6 Seja um espaço vetorial de dimensão . Tem-se:
(a) todo o conjunto gerador de 𝑉 tem pelo menos 𝑛 vetores;
(b) todo o conjunto linearmente independente de vetores de 𝑉 tem no máximo 𝑛 vetores.
Teorema 7 Seja 𝑉 um espaço vetorial de dimensão 𝑛. Tem-se:
(a) todo o conjunto linearmente independente, com 𝑛 vetores de 𝑉, é uma base de 𝑉;
(b) todo o conjunto gerador de 𝑉, com 𝑛 vetores, é uma base de 𝑉.
4
1
5
2
0011 0010Teorema 8 Seja um espaço vetorial sobre K e seja
Então é uma base de se e só se todo o vetor de se escreve, de
uma única maneira, como combinação linear dos vetores de ; ou seja, existem escalares K, únicos, tais que
Os escalares designam-se por coordenadas de na base , e escreve-se abreviadamente
ou
.
,...,
,
2 1v
v
V
v
B
n
n
1,
2,...,
v
1v
1 2v
2...
nv
n.
v
B
V
B
n
B v
1,
2,...,
.
2 1
n Bv
V
B
V
n
1,
2,...,
4
1
5
2
0011 0010Teorema 9 Seja um espaço vetorial finitamente gerado e um subespaço de Tem-se:
(a) dim ( ) dim( );
(b) se dim( ) = dim( ), então
V
S
V
.
S
V
V
4
1
5
2
0011 0010Ao escolhermos uma base para um espaço vetorial estamos a adotar um sistema referencial no qual podemos expressar qualquer vetor de .
Em algumas aplicações, um problema é descrito usando uma certa base , mas a solução torna-se mais fácil se mudarmos da base para uma nova base .
Na Física, por exemplo, alguns problemas tornam-se bem mais simples se o referencial que descreve o movimento for escolhido de forma conveniente.
