2.1- Onda - 2 Propagação de Luz

2

Propagação da Luz

Introdução

O meio físico básico de um sistema de comunicação óptico é a fibra óptica. Como já foi dito acima, outros meios poderão ser usados, como a atmosfera ou mesmo um líquido. Ele é o elemento no qual a luz irá propagar transportando o sinal que contém a informação. No caso das fibras ópticas, a grande vantagem é a sua capacidade de confinar a radiação em uma região do espaço, impedindo assim que a luz se espalhe pelo espaço afora, desperdiçando energia. Ela é usada conectando os pontos de partida (transmissor) e chegada (receptor) do sinal durante a transmissão servindo de elemento de conecção entre eles.

2.1- Onda

Para entendermos a propagação de uma onda precisamos primeiro saber: o que é uma onda? Uma onda é uma perturbação que propaga em um meio. É como a ola em um campo de futebol. A princípio estão todos parados. Aí uma linha de pessoas, de alto a baixo na arquibancada, se levanta de modo que quando se abaixa o pessoal em um dos lados, a princípio sentado, se levanta também. Repetindo-se este fato, aquela perturbação, pessoas se levantando, avança pela arquibancada dando a volta por todo o campo. Algo semelhante é uma pedra que cai numa superfície de um lago que está absolutamente quieta. Ao tocar na água, a pedra provoca um movimento no líquido, elevando-o e baixando-o, na forma de um círculo que avança pelo lago. Estes são exemplos de perturbações que podem ser caracterizados como movimentos ondulatórios.

Nos casos apresentados acima temos que as ondas propagam por conta de um meio físico que sofre perturbação. Entretanto, no caso da luz, as ondas são as ondas eletromagnéticas, as quais diferem das que acabamos de comentar porque elas não precisam de um meio físico como suporte

para a sua propagação. Isto é assim porque as ondas eletromagnéticas se constituem de um processo de indução mútua entre os campos elétrico e magnético. Em um dado ponto do espaço, se o campo elétrico alí presente variar no tempo, ao redor do ponto se cria uma circuitação de campo magnético (Lei de Ampère-Maxwell). Nos pontos em volta, onde existem campo magnético, como estes campos são variáveis no tempo, eles induzem uma circuitação de campo elétrico (Lei de Faraday). Desta forma, a presença de ambos os campos vai se espalhando pelo espaço afora, fazendo com que haja o processo de propagação.

de onda, iremos apenas deixar a menção. Como se vê as expressões têm a mesma forma para ambos os campos.

E=E(z±vt) (2.1-1)

B=B(z±vt) (2.1-2)

A fig.(2.1-1) mostra um pulso se deslocando nos dois sentidos do eixo z. Com ela podemos perceber que o campo numa dada posição z irá

estar presente numa posição (z±vt) depois que se passa um tempo t, no qual ele está viajando com velocidade v. O sinal (-) refere-se a ondas se propagando no sentido positivo do eixo dos z, enquanto o sinal (+), à propagação no sentido oposto.

É possível se mostrar que a velocidade de propagação será dada por:

v

o o

= 1

ε µ (2.1-3)

Em conseqüência, para que E(z±vt) seja solução da equação de ondas, a onda eletromagnética deverá se propagar com a velocidade dada pela eq.(2.1-24). Este valor será:

v c x m s

o o

= = 4 1 = • • =

4 10 9 10 3 10

7 9 8

π

µ πε / (2.1-4)

Este é o valor experimentalmente verificado da velocidade da luz no vácuo e é normalmente designado por c. Aqui ele foi obtido, teoricamente, a partir das constantes características das propriedades elétrica e magnética deste meio.

O argumento das funções, dadas nas eqs.(2.1-1) e (2.1-2), possui uma parte descrevendo a dependência espacial da onda, e outra a temporal. Consideremos o caso particular das ondas harmônicas, dadas na forma:

[

]

[

]

E E= _osen (k z vt± ) =E_osen (kz±ωt) (2.1-5)

[

]

[

]

B B= _osen (k z vt± ) =B_osen (kz±ωt) (2.1-6) onde definimos:

ω =kv (2.2.3)

sendo ω a freqüência angular da onda e k é chamado de constante de propagação.

Vamos pontuar aqui que uma onda tem três partes importantes, a saber:

a - Intensidade - (Eo)

b - Fase - (kz±ωt)

z+vt z-vt

Fig.(2.1-1) - Propagação de uma perturbação que

c - Orientação espacial dos campos (polarização)

2.1-1- Intensidade de uma Onda

A intensidade de uma onda determina a potência que está sendo transportada pela onda. A densidade de energia associada a um campo elétrico é dada por:

2 o

E ₂1 E

u = ε (2.4-1)

enquanto a parte associada ao campo magnético é dada por:

2 o

M ₂1 B

u µ

= (2.4-2)

Como E=cB resulta que essas duas densidades são iguais, e a densidade total de energia associada a uma onda eletromagnética, é:

2 o 2 o 2 o M

E u ₂1 E ₂1 B E

u

u =ε

µ + ε = +

= (3-4-3)

A intensidade de uma onda eletromagnética será pois:

2 ocE

=ε

I (2.4-4)

Como E e B são sempre ortogonais entre si, podemos dizer que o vetor ExB tem a direção de propagação da onda. Sendo ExB=EB=E2/c, o vetor S definido por:

S=c2εo (ExB)=ExH (2.4-5)

Ele é chamado de vetor de Poynting, que tem como módulo S o valor da intensidade da onda eletromagnética e a direção e o sentido iguais aos da propagação desta onda.

EXEMPLO (2.4-1) - Calcular o valor médio do vetor de Poynting para o caso de uma onda harmônica, em um determinado ponto fixo do espaço.

Solução:

No caso de uma onda harmônica, se tem:

) t kz ( sen B E

c2ε_{o o o} 2 ±ω =

S (2.4-6)

dt ) t kz ( sen T 1 E c

S T

0 o

2 2

o

o ±ω

ε >=

<

∫

com o que obtemos:

[

]

2

o o T

0 o

T

0 2

o

oE _T1 1₂ 1₂ cos2(kz t) ₂1c E

c

S = ε

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

ω ± +

ε >=

<

∫

(2.4-7)

Afora energia, podemos mostrar que uma onda transporta momento. A Mecânica Relativística nos informa que a energia de uma partícula é dada por:

4 2 o 2

2_{c m c}

p +

=

ε (2.4-8)

Associando-se uma onda eletromagnética a uma partícula chamada fóton, cuja massa de repouso (mo) é nula, o momento associado a ela será:

c

p=ε (2.4-9)

A energia e o momento de um fóton são calculados com as expressões:

ω = ν =

ε h h (2.4-10)

k

p=h (2.4-11)

A polarização dos campos está vinculada à orientação do campo elétrico (ou magnético) no espaço. Esta orientação define o que chamamos de polarização de uma onda e afeta muitos fenômenos como a reflexão e a refração.

2.2.2 - Fase de Uma Onda

A fase é um elemento fundamental no entendimento de vários fenômenos, como por exemplo o da interferência de ondas. A fase é o argumento da função que descreve uma onda. Como já comentamos, a fase de uma onda é composta de dois termos, um espacial e outro temporal. De fato não é algo simples a visualização conjunta das variações no espaço e no tempo. Desta forma a maneira mais funcional de analisar a fase é fazê-lo separadamente quanto a um e outro, respectivamente. Para simplificar mais ainda façamos uso de ondas harmônicas.

Para analisarmos a fase vamos fazer o seguinte: somar 2π ao argumento da função, o que não altera o valor da intensidade de campo da onda. Ao fazermos este incremento de fase, não determinamos se a sua origem seria oriunda da parte espacial ou temporal. Logo, a variação de fase de 2π tanto poderá ser no valor de z, quanto de t. Seja a variação de fase de origem temporal. Consideremos então que estejamos num dado instante de tempo t. Após um intervalo de tempo T, a fase, como um todo, foi alterada de 2π, daí podemos escrever:

[

±ω +

]

=

[

±ω +ω

]

=

[

±ω + π

]

=E senkz (t T) E senkz t T E senkz t 2

Neste caso, ωT=2π, ou ω=2π/T, e chegamos a:

πν = π =

ω 2

T 2

(2.1-29)

Portanto, podemos dizer que o intervalo de tempo T que mantém inalterada uma onda harmônica é chamado de período da onda. Aqui chamaremos T de período temporal por razões que ficarão claras adiante. A eq. (2.1-29) define a relação que deve existir entre período, freqüência angular ω e freqüência ν.

Tomemos agora, a variação de fase igual a 2π como sendo originada na parte espacial da fase. Desta forma, consideraremos a onda em um dado ponto z e, no mesmo instante, o ponto (z+λ), tal que este deslocamento espacial gere a variação de fase citada. Daí poderemos escrever:

[

+λ ±ω

]

=

[

±ω + λ

]

=

[

±ω + π

]

=E senk(z ) t E senkz t k E senkz t 2

E _{o o o}

Disto vem, kλ=2π e chegamos a:

λ π =2

k (2.1-30)

Portanto, chegamos ao seguinte fato, existe um período espacial dado pôr λ, à semelhança de um período temporal já discutido. A eq. (2.1-30) define a relação entre o módulo do vetor de propagação e este período espacial, normalmente chamado de comprimento de onda.

Isto evidencia que as partes espacial e temporal de uma onda participam em pé de igualdade, ou seja, tanto é possível haver alteração de uma onda através do passar do tempo quanto através da mudança de posição no espaço. A mudança de uma onda no tempo é algo muito comum em eletrônica, pôr exemplo. Já a mudança de fase no espaço é algo próprio da óptica. Assim sendo, em eletrônica se faz a modulação de sinal no tempo, enquanto em óptica se pode modular não apenas no tempo, mas no espaço.

Desta forma, as ondas harmônicas serão descritas pôr funções do tipo:

(

kz t

)

sen

E

E= _o ±ω (2.1-31)

onde E representa o campo elétrico da onda eletromagnética.

O caso discutido acima é o das ondas planas, para as quais a direção de propagação é única, estando ao longo do eixo z. No caso geral de três direções, é fácil se induzir que as ondas planas podem ser descritas por:

(

k x k y k z t

)

E sen

(

t

)

sen

E

E= _{o x} + _y + _z ±ω = _o k•r±ω (2.1-32)

εµ = 1

v (2.6-3)

Aqui, poderemos definir o conceito de índice de refração absoluto n, através da razão:

o o

v c n

µ ε

εµ =

= (2.6-4)

Tomando-se a definição:

ε/εo=εr e µ/µo=µr ,

onde εr e µr são a constante dielétrica relativa e a permeabilidade relativa do meio, respectivamente, segue que:

r r

n= ε µ (2.6-5)

Em geral, para a maioria das substâncias de interesse em óptica, se tem µr~2. Logo:

r

n≈ ε (2.6-6)

2.1-3 - Polarização de uma Onda Eletromagnética

Quando apresentamos a equação de uma onda eletromagnética plana não foi feita nenhuma suposição quanto a orientação dos campos elétrico e magnético. Para a onda propagando ao longo de z poderíamos ter suposto que o elétrico estivesse orientado na direção x e o magnético na direção y. Nenhuma modificação no resultado adviria caso as orientações dos campos fossem trocadas. No espaço vazio não há uma direção privilegiada, a não ser aquela definida pela direção de propagação da onda. Assim sendo, podemos utilizar ondas com ambas orientações dos campos, desde que eles estejam perpendicularmente dispostos entre si e com a direção de propagação, tendo o mesmo significado físico.

Entretanto, quando uma onda está se propagando em um meio e vai de encontro a uma superfície de separação entre ele e o outro meio, com características ópticas diversas, a situação é outra. No caso, no ponto de incidência,

esta interface cria uma distinção entre as duas possíveis direções de orientação dos campos. Isto ocorre em face das distintas condições de continuidade a que eles ficam sujeitos na interface, as quais dependem da orientação deles em relação àquela superfície. Isto leva à necessidade de se definir a orientação dos campos segundo um sistema de referência, estabelecendo-se assim o conceito de

polarização de uma onda eletromagnética. Com isto, estamos exigindo um tratamento vetorial para o campo

B

E

k

B

E

k

θ

E_y

E_x E

Fig.(2.3-3) - Polarização linear.

eletromagnético. Portanto, a equação de onda tem duas soluções possíveis, que diferem por estarem os campos rotacionados, entre si, de π/2 como indica a fig.(2.3-1).

As duas soluções são linearmente independentes e, como tal, combinações lineares delas fornecem outras soluções possíveis da equação de onda. Nas soluções básicas, acima comentadas, os campos oscilam ao longo de uma linha reta e dizemos que a onda é linearmente polarizada.

Vejamos agora, quais novos tipos de soluções podem advir destas combinações lineares. Tomemos duas soluções linearmente independentes do tipo:

El=Eocos(kz-ωt)i (2.3-1)

E2=Eocos(kz-ωt+δ)j (2.3-2)

A combinação E=aE₁+bE₂, levará a:

(

)

i

(

)

j

E=aE_ocoskz-ωt +bE_ocos kz-ωt+δ

Desta forma

j

i

E=E_x +E_y (2.3-3)

será uma nova solução da equação de onda, onde definimos:

Ey=bE0cos(kz-ωt+δ)

Ex=aE0cos(kz-ωt)

Os valores instantâneos dos componentes do campo elétrico em qualquer ponto do espaço descrevem uma equação paramétrica da curva plana a qual determina o tipo de polarização de uma onda eletromagnética. Fixando Ex e Ey em z=0, teremos

Ex=aE0cos(ωt) (3-3-4)

Ey=bE0cos(ωt+δ) (2.2-5)

Portanto em um período de oscilação, a ponta do vetor E descreverá uma trajetória que será descrita pelas componentes Ex e Ey.

CASO 1

Para δ=±mπ (m=0,1,2..) a eq.(2.3-5) ficará:

Ey=±bE0cos(ωt)

Ex=aE0cos(ωt)

E

θ

Fig.(2.3-4) – Polarização circular.

x

y _abE

E =± (2.3-6)

Portanto a ponta do vetor campo elétrico oscila ao logo de uma reta, cuja orientação no espaço é dada pelo ângulo θ que ele forma com o eixo dos x. Como neste caso tgθ= ±b/a que é uma constante. A reta formará com o eixo dos x (no qual oscila a componente Ex do campo resultante) um ângulo θ igual a

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

θ −

a b

tg 1 _(2.3-7)

Quando b=a a reta estará orientada segundo um ângulo de 45o _{em relação ao eixo dos x, caso} m=0,2,4,...(2n), e 135o _{caso m=1,3,5,...(2n+1).}

CASO 2

Para δ=±mπ/2(m=1,3,5...) a eq.(2.2-5) ficará:

Ey=±bEosen(ωt) (2.3-8)

Ex=aEocos(ωt)

e a trajetória será dada pela equação:

1 E b

E E a

E

2 o 2

2 y 2 o 2

2

x _{+ = (2.3-9)}

Sabendo que tgθ= Ey/Ex = (b/a)tg(ωt). Neste caso, a ponta do vetor descreverá uma elipse e o campo é dito elipticamente polarizado. A excentricidade e da elipse descrita é calculada com a expressão:

a a b2− 21/2 =

e (2.3-10)

A elipse, acima descrita, tem seus eixos (maior e menor) coincidentes com aqueles do sistema de referência (x,y) θ diferente de ωt. Quando a=b, a excentricidade será nula, como se vê na eq.(2.3-10), e a elipse se reduzirá a uma circunferência. Fazendo-se a=b na eq.(2.3-9), teremos:

Ex2+Ey2=a2E2 (2.3-11)

expressão correspondente a de uma circunferência. Neste caso, a onda é dita circularmente polarizada. A polarização circular é a da luz emitida por gases nos quais estão ocorrendo transições radiativas entre os níveis de energia.

E

θ

E

θ

Fig.(2.3-5) – Polarização elíptica. CASO 3

Para δ≠±mπ/2 e reescrevendo as eqs. (2.3-4) e (2.3-5), temos :

Ey=bE0cos(ωt+δ)

Ex=aEocos(ωt)

E a trajetória será dada pela equação abaixo:

δ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + δ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ 2 ₂

o y 2

o y x 2

o

x _sen

bE E cos abE

E E 2 aE

E

Este é o caso geral da polarização elíptica (Fig.2.3-3), sabendo-se que o seu eixo maior é o que está inclinado. A luz emitida por leds e lasers de semicondutor tem uma polarização elíptica.

2.2 – Dispersão de uma Onda Eletromagnética na Matéria

Uma característica importante da matéria se refere à sua forma de interação com uma onda eletromagnética. Tal característica é determinada por vários tipos de processos de interação e neste texto não temos o objetivo de exaurí-los. Vamos, ao invés disto, considerar um dos casos, de fácil visualização e que nos trará as informações que precisaremos obter. Uma delas é o efeito de retardo que a propagação de uma onda eletromagnética tem quando propaga na matéria. Este efeito é conhecido como a dispersão do meio e é uma das características de importância no tratamento da propagação da luz em um meio físico que é usado para o transporte de informação, como é o caso de uma fibra óptica.

Vamos considerar o efeito de polarização eletrônica que ocorre devido à interação de um campo elétrico com um átomo, iteração esta que causa deformação na nuvem eletrônica atômica. A fig.(2.2-1) ilustra o que acabamos de mencionar. Vamos analisar isto para um átomo simples como o de hidrogênio.

Consideremos o átomo como sendo uma nuvem eletrônica esférica envolvendo o seu núcleo. Sob a ação de um campo elétrico externo, ocorre um deslocamento tanto da nuvem eletrônica quanto do núcleo, separando os centros de cargas positivas e negativas. Assim sendo,

E≠0 E=0

x

-+

-

+

surge um pequeno dipolo elétrico p e uma força restauradora. Esta última, oriunda da atração entre as cargas, tende a trazer o sistema ao seu estado inicial. Assumiremos que essa força seja do tipo F = -Kx, como foi visto no ex.(2.1-2), sendo x a distância dos centros de carga positiva (núcleo) e negativa (elétron).

Se o campo fosse constante, a condição de equilíbrio das forças envolvidas seria:

E K

e x 0 Kx

eE− = ∴ =−

− (2.2-1)

A magnitude do momento de dipolo elétrico será:

E K e ex

p=− = 2 (2.2-2)

Se fizermos K m= ω_o2_{, onde m é a massa do elétron e ω}

o uma freqüência natural associada ao sistema, teremos:

E E

m e

p _{2 e o}

o 2

ε α = ω

= (2.2-3)

onde

2 o o

2 e

m e

ω ε =

α

é a polarizabilidade eletrônica.

________________________________________________________________________________

EXEMPLO(2.2-1) - Estimar o valor da freqüência natural de um átomo de hidrogênio, usando a lei de Gauss.

Solução

Para resolvermos o problema proposto, vamos considerar o seguinte modelo para o átomo de hidrogênio. Assumiremos que o

elétron seja representado por uma nuvem de carga, distribuída uniformemente numa esfera de raio R, centrada no núcleo em x=0. A força de atração entre o núcleo e a distribuição eletrônica, mantém a nuvem eletrônica em sua forma estável. Com a ação do campo externo, a nuvem se afastará da posição de equilíbrio e surgirá uma força que tenderá a trazê-la à posição estável anterior.

E=0 E≠0

R x

Fig.(2.2-2) - Distribuição esquemática das cargas em um átomo

Seja x a distância dos centros de cargas (positiva e negativa), na nova situação de equilíbrio. Nesta situação, a força do campo será igual à força Coulombiana que tende a trazer as cargas às suas posições sem a presença do campo elétrico. No nosso modelo, a força de restauração, conforme a lei de Gauss, será exercida pela fração de carga δq que não envolve o próton, sendo aquela localizada na esfera de raio x, indicada na Fig.(2.2-2). A fração de carga, fora deste volume, não produz força sobre o próton porque o campo elétrico, gerado por ela sobre a carga, é nulo. Então :

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π ρ =

δ _x3

3 4

q (2.2-4)

Como

3

R 3 4

e π − =

ρ , vem

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =

δ 3₃

R x e

q (2.2-5)

A força Coulombiana Fc, entre a fração de carga negativa e o próton será pois :

x R 4

e x

1 R x 4

e

F ₃

o 2

2 3 3

o 2 c

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

πε − = πε

−

= (2.2-6)

Como se vê, a força tem um sinal negativo por ser de atração, e varia linearmente com a distância entre os centros de cargas. Logo, ela é do tipo F=-Kx, onde :

3 o 2

R 4

e K

πε

= (2.2-7)

Para estimarmos o valor de K, tomemos o valor de R igual ao raio da órbita do estado fundamental do átomo de hidrogênio, que é aproximadamente igual a 0,5 Å, logo, o valor de K será:

(

) ( )

(

)

1,84 10 (N/m) 10

5 , 0

10 9 10

60 , 1

K ₃ 3

10 9 2

19

⋅ = ⋅

⋅ ⋅ ⋅

=

− −

Como a força de restauração é do tipo oscilador harmônico (F = -Kx), podemos pensar que o átomo de hidrogênio é tal que sua nuvem eletrônica poderá oscilar como uma mola. Neste caso, o átomo terá uma freqüência natural de oscilação dada por ωo = (K/m)1/2. Para os valores de K e da massa do elétron, vem :

s / rad 10 49 , 4 m

K 1/2 ₁₆

o =_⎢⎣⎡ _⎥⎦⎤ = ⋅

ω

acima mencionado. No espectro óptico, o ωo calculado corresponde a uma freqüência de 7,15.1015 Hz, a qual se situa no intervalo de luz ultravioleta.

Uma grandeza importante que pode ser estimada é a distância entre os centros de carga quando o átomo está a ação de um campo elétrico. Tomando a condição de equilíbrio do sistema de cargas do átomo imerso em um campo elétrico E, temos:

E . e x R 4

e

3 o

2

− = πε

−

Logo :

E e

R 4

x o 3

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛ πε

= (2.2-8)

onde usamos a eq.(l.l-19). O resultado mostra que o deslocamento é proporcional ao campo elétrico aplicado.

Se a intensidade do campo for igual a 106 _{V/m, um valor significativamente alto, teremos:}

(

)

( )(

)

8,68.10 m 10

. 6 , 1 . 10 . 9

10 . 10 . 5 , 0

x _{9 19}6 17

3 10

− −

−

=

=

Tal deslocamento é 1,72x106 vezes menor do que o raio do átomo de hidrogênio. Portanto, mesmo campos intensos como o que consideramos, ainda alteram muito pouco a estrutura atômica.

________________________________________________________________________________

No ex.(2.2-1), foi estimada a freqüência natural ωo de um átomo de hidrogênio e verificou-se que verificou-seu valor corresponde a algo da ordem de 1016 _{Hz, correspondendo à faixa do ultravioleta.} Consideremos que a quantidade de dipolos pôr unidade de volume seja n. Disto segue que a magnitude P da polarização total é dada pôr:

p P=n

E E

P 2 e o

o 2

m

ne _{=χ ε}

ω

= (2.2-9)

onde χ_e =nα_e é a susceptibilidade elétrica estática do meio:

(

)

₂

o 3

o 2 o 2

e 3,19 10 n

m ne

ω ⋅ = ε ω =

χ (2.2-10)

De acordo com a definição do vetor deslocamento elétrico,

P E

D=εo + (2.2-11)

E

P=χ_eε_o (2.2-12)

O vetor deslocamento elétrico pode ser escrito como

D=εE (2.2-13)

onde ε é chamada de constante dielétrica, ou permissividade elétrica. Esta grandeza será dada por:

(

e

)

o 1+χ ε =

ε (2.2-13)

Assim sendo, a permissividade estática, aqui discutida, será:

D n E

o o

= +⎛ ⋅

⎝

⎜⎜1 319 10, 3 ₂⎞_⎠⎟⎟

ω ε (2.2-14)

e

ε

ω ε

= +⎛ ⋅

⎝

⎜⎜1 319 10, 3 n₂⎞_⎠⎟⎟

o

o (2.2-14)

2.2-2 – Dispersão Dinâmica de um Meio

Para continuarmos a nossa análise sobre a interação de uma onda eletromagnética com um meio vamos considerar, por simplicidade, que o meio seja um gás de átomos de hidrogênio. Para estudarmos um caso dinâmico, vamos considerar que o campo elétrico que atua sobre o meio seja harmônico, do tipo E=Eocosωt. A equação para o movimento da nuvem eletrônica será obtida a partir da segunda lei de Newton:

E

R F

F

ma= + (2.2-15)

Nela, m é a massa do elétron, a a aceleração (a=d2_x/dt2_{) e os termos da direita determinam a} resultante das forças que atuam sobre a nuvem, a saber: a força causada pelo campo externo (FE =-eEocosωt) e a força de restauração (FR=-Kx). A eq.(2.2-15) poderá ser escrita na forma:

t cos eE Kx dt

x d

m _o

2 2

ω −

−

= (2.2-16)

Mais uma vez vamos definir 2 o m

K= ω , sendo ωo a freqüência natural do sistema. Logo, a eq.(2.2-16) será re-escrita na forma:

t cos m eE x dt

x

d _{2 o}

o 2 2

ω −

= ω

+ (2.2-17)

t cos A

x= ω (2.2-18)

Derivando-se a solução apresentada, e substituindo-se o resultado na anterior, pode-se determinar o valor da constante A. Com isto a solução terá a seguinte forma:

(

)

E cos t m

e

x _{2 2 o}

o ω ω − ω −

= (2.2-19)

Logo, o movimento da nuvem eletrônica será harmônico e com a mesma freqüência do campo externo. Com tal movimento, o dipolo elétrico induzido será:

(

)

(

)

E E

m e t cos E m e ex

p _{e o}

o 2 2 o 2 o 2 2 o 2 ε α = ε ω − ω = ω ω − ω = −

= (2.2-19)

onde:

( )

₍

₎

o 2 2 o 2 e e m e ε ω − ω = ϖ α = α

é a polarizabilidade elétrica dinâmica. A susceptibilidade elétrica do sistema, agora dinâmica, será:

(

2o 2

)

o 2 e m ne ε ω − ω =

χ (2.2-20)

A permissividade elétrica dinâmica é obtida como conseqüência imediata da equação anterior, através da eq. (2.2-13). Ela será:

(

)

(

_{2 2}

)

o

o 3 o o 2 2 o

2 _{3,19 10 n}

1 m ne 1 ε ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ω − ω ⋅ + = ε ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ε ω − ω + = ε (2.2-21)

Como mostra a fig.(2.2-3), ωo é uma freqüência de ressonância do átomo de hidrogênio. O caso foi estudado com uma aproximação muito simples, pois um átomo deve ser estudado através da mecânica quântica e não da mecânica newtoniana ou clássica. Contudo, ele serve como introdução e apresenta resultados gerais verdadeiros.

Vamos então ressaltar aqui um resultado muito importante. Quando o campo elétrico atuar sobre o átomo este se polarizará, tornando-se um dipolo elétrico que oscila com a mesma freqüência do campo. Desta forma cada átomo funciona como uma antena, irradiando ondas eletromagnéticas com a mesma freqüência do campo que atua sobre

ε(0)

ε_o

ω_ο ω

ε(ω)

ele. Assim podemos vislumbrar que a propagação de uma onda eletromagnética na matéria se dá com o campo elétrico da onda transferindo energia para os átomos. Estes funcionam como antenas que emitem na mesma freqüência do campo, devolvendo a energia recebida ao campo eletromagnético. Este processo de receber e re-emitir a onda, faz com que, em média haja uma velocidade de propagação menor qo que quando não há átomos no meio.

Para complementar a nossa discussão sobre a dispersão dinâmica de um meio. vamos discutir a polarização de um átomo de hidrogênio, sob a ação de um campo elétrico externo, levando em consideração os efeitos da emissão de radiação, quando as cargas são aceleradas. Anteriormente, foi ana1isado o caso de um átomo de hidrogênio sob a ação de um campo elétrico, não havendo sido considerado nenhum efeito de amortecimento do movimento oscilatório das suas cargas. Como sabemos, cargas elétricas ao serem aceleradas emitem radiação eletromagnética. No eletromagnetismo clássico, não há restrições e toda carga acelerada emite radiação. Assim sendo, o elétron ao sofrer uma ação externa, acelerando-o, emite radiação. Isto causa um efeito de freio na oscilação. Vamos representar isto, adicionando à eq.(2.2.17) um termo tipo -γ(dx/dt). Na verdade estamos usando a idéia clássica de amortecimento do movimento de um corpo em um meio viscoso. A equação do movimento ficará:

t i o 2

2

e eE dt dx Kx dt

x d

m =− −γ − ϖ (2.2-22)

Usando-se mais uma vez a definição K=mω_o2temos,

t i o 2

o 2

2

e m eE x dt dx m dt

x

d ₊ γ _{+ω =−} ω _(2.2-23)

A solução de tal equação é:

( )

(

)

o i t

2 2 o t i

o E e

m i m

e

e x t

x ω ω

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γω + ω − ω

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

= (2.2-24)

onde a barra sobre as letras, indica que as grandezas são complexas.

A posição da nuvem eletrônica será dada pela parte real da eq. (2.2-24). Esta equação poderá ser manuseada algebricamente e escrita na forma:

( )

(

)

(

)

⎥⎦ ω = ω φ

⎤ ⎢

⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γω − ω − ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γω + ω − ω

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

= ₂ 2_o 2 _o i t _o i t i

2 2 2 o

e e x e E m i

m m

e

t

x (2.2-25)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = φ − o o 1 ' x '' x

tg (2-2-26)

Assim sendo, a nuvem eletrônica se move com a mesma freqüência do campo externo, mas, agora o seu movimento apresenta uma diferença de fase φ em relação ao campo externo aplicado.

Por outro lado, a amplitude do movimento xo é calculada através da expressão:

2 o 2 o

o x x

x = ′ + ′′ (2.2-27)

onde

(

)

₂ 2

(

2o 2

)

o 2 2 o o E m m e

x ω −ω

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γω + ω − ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

′ (2.2-28)

(

)

₂ o

2 2 2 o

o _m E

m m e x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γω + ω − ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

′′ (2.2-29)

Usando as eqs.(2.2-28) e (2.2-29) na eq.(2.2-26), obtemos:

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω − ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γω − =

φ − _{2 2}

o

1 m

tg (2-2-30)

Já dissemos que o movimento da nuvem eletrônica ocorre com uma defasagem φ em relação à vibração do campo externo e é interessante se observar que γ = 0 leva a φ = 0. Isto indica que o movimento da nuvem só ocorre em fase com o campo caso não haja o efeito de emissão, que atua como um freio eletromagnético.

Seguindo os mesmos procedimentos adotados na eq.(2.2-2), podemos calcular a polarização do meio. O dipolo induzido será dado pôr:

x e p=−

(

)

(

)

E

m i m e e E m i m e p 2 2 o 2 t i o 2 2 o 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γω + ω − ω ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γω + ω − ω ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

= ω _(2-2-31)

Tomando a densidade volumétrica de momentos de dipolos elétricos como sendo n, obtemos para a polarização do meio:

(

)

⎟ ω = ω φ

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γω + ω − ω ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

= _o i t _o i t i

2 2 o 2 e e P e E m i m ne

P (2.2-32)

onde:

(

)

(

)

o

2 2 o 2 2 2 2 o 2 o E m m ne '

P ω −ω

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γω + ω − ω ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = (2.2-33)

(

_{2 2}

)

2 2 o o 2 o E m m m ne '' P ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γω + ω − ω ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −

= (2.2-34)

e φ já é conhecido. O valor mensurável da polarização do meio será dado pela sua parte real dada pela eq.(2.2-33).

A susceptibilidadeχepoderá ser facilmente obtida a partir da substituição da eq.(2.2-34) na eq. (2.2-13). Ela será dada pela função:

(

)

₍

₎

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γω − ω − ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γω + ω − ω ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ε = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γω + ω − ω ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ε = χ m i m m ne m i m ne 2 2 o 2 2 2 2 o o 2 2 2 o o 2

e (2.2-35)

Como já fizemos anteriormente, podemos aqui definir a constante dielétrica complexa na forma:

'' i '+ε ε = ε

(

)

(

)

(

)

⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γω + ω − ω ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ε − ε ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ω − ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γω + ω − ω ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ε + = ε m m m ne i m m ne 1 2 2 2 2 o o 2 o 2 2 o 2 2 2 2 o o 2 (2.2-36)

vemos que o termo de amortecimento é o responsável pôr isto. A razão física para este resultado, pode ser entendida da seguinte forma: quanto maior for a amplitude das oscilações x(t), em face de ω→ω_o, maiores serão a energia e a aceleração a serem alcançadas pela carga. No caso, é a perda de energia que a nuvem sofre, em face da irradiação de ondas eletromagnéticas (classicamente), que impede que o movimento tenha uma amplitude que tenda para infinito quandoω=ωo. A fig.(2.2-4) ilustra o comportamento das partes real e imaginária da constante dielétrica conforme calculamos na eq.(2.2-36).

Como a constante dielétrica obtida é complexa, o índice de refração dela decorrente também o será, isto é: n=n+iK. A parte real (n) do índice de refração determina a velocidade de propagação de uma onda, enquanto a parte imaginária (K) a atenuação (ou amplificação) que a onda experimenta no meio.

Na fig.(2.2-5) é apresentado o índice de refração do GaAs em função da energia dos fótons e vários valores de concentração de dopantes do tipo doador. Observa-se que próximo ao valor da energia refernte à banda proibida, o índice de refração apresenta uma caracterísitica ressonante, como discutimos anteriormente. Esta característica se torna mais proeminente à medida em que o semicondutor tem uma menor concentração de impurezas (no=5,9x1017 cm-3).

Já que falamos de energia do meio e do campo, vamos calcular a potência W

envolvida na interação entre eles. Ela será calculada a partir da expressão:

(

)

(

)

(

)

[

ω +φ + ω +φ

]

ω =

= P cos t isen t

dt d cos E dt

P d E

W _{o o} (2.2-37)

ω

ε

,

ε

,

₍₀₎

_ε

_,,

ω

_ο

Fig.(2.2-4) -Gráfico das partes real e imaginária da constante dielétrica em unidades arbitrárias.

A eq.(2.2-37) poderá ser re-escrita na forma:

(

)

(

)

[

sen t cos t icos t cos t

]

X iQ P

E

W= o oω− ω +φ ω + ω +φ ω = + (2.2-38)

A potência complexa nos lembra os resultados obtidos num circuito RC de corrente alternada, para o qual há uma parte real correspondente à dissipação de energia, e uma imaginária, correspondendo ao armazenamento de energia elétrica nos elementos capacitivos. Esta potência não dissipada é chamada de reativa, sendo trocada entre a fonte e os elementos reativos (capacitores). Dessa forma, podemos entender que a energia transportada pelo campo elétrico da onda eletromagnética realiza, na sua interação com a matéria do meio, dois tipos de fenômenos.

O primeiro, é o de troca de energia com a matéria, o que leva ao efeito denominado de

dispersão, e está relacionado com a dinâmica de propagação da onda no meio. Podemos mentalizar que a propagação é provocado pela cessão de energia do campo elétrico para este meio que reemite tal energia na forma de onda eletromagnética na mesma freqüência. Desta forma se estabelece a velocidade com que uma onda monocromática se propaga, levando à velocidade de fase. Se considerarmos que este processo de troca depende da freqüência da onda, ou seja, depende do seu comprimento de onda, temos a origem do índice de refração depender do comprimento de onda da radiação. Este processo, sem perda ou ganho de energia pelos dois parceiros, meio e campo eletromagnético, é denominado de um processoparamétrico.

O efeito da dispersão leva a um retardo na propagação da onda eletromagnética dentro deste meio. Tal atraso depende da freqüência da onda e termina sendo responsável pelo alargamento de uma pulso óptico que esteja propagando no meio. A razão está no fato de que um pulso óptico é um pacote de onda, e este contem uma faixa de freqüências ópticas. Ao propagar, haverá diferença de velocidades de propagação entre tais freqüências e o pulso se alargará.

O segundo, é o efeito em que há perda de energia, já que o campo eletromagnético entrega energia ao meio que finda pôr dissipá-la, ou seja entregando ao meio externo (banho térmico) originando a parte imaginária da constante dielétrica calculada acima. Este efeito é chamado de

absorção, e é um dos que causam a atenuação da onda eletromagnética à medida que ela propaga num meio. Para finalizar diremos que, em certas condições, como a que ocorre com a inversão de população em um laser, é possível se provocar um fluxo de energia do meio para o campo eletromagnético. Isto é o efeito da amplificação óptica

2.3 - Velocidades de Fase e de Grupo

Uma onda harmônica perfeita, sen(kz-ωt) possui uma velocidade de propagação cujo valor se obtém através da fase, dada pela razão ω/k. Assim a velocidade v=ω/k é chamada de velocidade de fase. Pela própria definição de uma onda harmônica, podemos induzir que ela é uma abstração sem realidade física no campo prático. A começar pelo fato de uma onda distribuída infinitamente ao longo de uma dada direção. Qualquer fonte geradora de luz, na verdade, emite radiação em pulsos ou trens de ondas. Em determinadas condições, eles podem formar um conjunto de trens com um comportamento próximo a uma onda harmônica.

Sejam as ondas descritas por:

(

kz t

)

sen

E

E₁= _o −ω e E₂=E_osen

(

k′z−ω′t

)

A onda resultante da soma das duas será:

(

)

(

)

[

sen kz t sen kz t

]

E E E

E= ₁+ ₂ = _o −ω + ′ −ω′

Usando-se a relação trigonométrica: ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ξ−η ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ξ+η =

η + ξ

2 cos 2 sen 2 sen

sen , temos:

(

) (

)

(

) (

)

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ − ′ − ω−ω′ ⎥⎦

⎤ ⎢⎣

⎡ + ′ − ω+ω′ =

2

t z

k k cos . 2

t z

k k sen E 2

E _o (2.3-1)

Usando as condições ∆k«k e ∆ω«ω, bem como considerando o meio sem singularidades quanto à dispersão, podemos escrever: k+k'≅2k e ω+ω'≅2ω. A equação (2.3-1) ficará:

(

kz t

)

sen

2 t kz cos E 2

E _{o ⎥} −ω

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛∆ −∆ω =

A fig.(2.3-1) apresenta o gráfico de uma onda deste tipo. O resultado é uma onda de amplitude modulada, dada por :

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛∆ −∆ω

2 t kz cos E 2 o

A amplitude, por si só, é um movimento ondulatório cuja velocidade de propagação é:

v

k

g = ∆ω_∆ (2.3-2)

Como vemos na fig.(2.3-1), a onda é constituída de uma seqüência de grupos formados pela modulação da amplitude. Cada grupo desse se desloca com a velocidade dada pela eq.(2.3-2), sendo por isto chamada de velocidade de grupo (do pacote).

Se considerarmos uma mistura de ondas com diferenças infinitesimais em k e ω:

v d

dk

g = ω (2.3-3)

Como kv= ωe v é função da freqüência, devido ao índice de refração do meio, podemos obter uma relação entre v e vg. Derivando-se a relação kv=ω em relação a k, temos:

g

v dk d dk dv k

v+ = ω=

vg

Fig.(2.3-1) - Onda resultante da soma de duas ondas harmônicas

e

g

g v k _dkdv v k _ddv d_dk v k_ddvv

v

ω + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

ω + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =

da qual, simplificando-se, vem:

ω ω − =

ω − =

d dv v 1

v

d dv k 1

v

v_g (2.3-4)

Sendo v=c/n devido ao efeito de dispersão, onde n=n(ω). Temos:

ω − = ω − =

ω d

dn n v d dn n

c d

dv

2

Substituindo-se este resultado na eq.(2.3-4), obtemos:

ω ω + =

d dn n 1

v

v_g (2.3-5)

A eq. (2.3-5) poderá ser reescrita como:

( )

ω = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

ω ω + =

N c

d dn n 1 n

c

v_g (2.3-6)

onde:

( )

⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

ω ω + = ω

d dn n 1 n

N (2.3-7)

Desta forma a velocidade de grupo é calculada de forma semelhante à de fase, diferenciando-se por diferenciando-se usar um índice de refração efetivo N(ω), é chamado de índice de grupo, ao invés do índice do material n(ω). O índice de refração efetivo incorpora o índice do meio e um termo no qual está contida a sua dependência com a freqüência (ω/n)(dn/dω). Ou, em outras palavras, ele contém a dispersão do meio.

Da eq.(2.3-6) salientamos duas situações. A primeira, quando (dn/dω)>0; a velocidade de grupo é menor que a de fase e a dispersão do meio é dita NORMAL. A segunda, quando (dn/dω)<0; a velocidade de grupo é maior que a de fase e a dispersão do meio é ANÔMALA. Neste caso,

0 d dn_〉

ω

0 d dn_〈

ω

0 d dn_〉

ω

dependendo do valor da derivada (dn/dω), vg pode até ser maior que a da luz no meio. Nos casos de dispersão anômala nos quais vg>c, mesmo a velocidade de grupo perde o sentido físico.

2.4 - Tempo de Atraso em um Meio

Como vimos as velocidades de fase e de grupo dependem do comprimento de onda da radiação eletromagnética. Desta forma podemos introduzir um conceito muito importante do ponto de vista prático: o tempo de atraso. Tempo de atraso corresponde ao tempo gasto por um pacote de onda eletromagnética para percorrer uma dada distância L.

Dessa maneira, para que um modo percorra uma distância L o tempo consumido será dado por:

c LN v

L

g

= =

τ (2.4-1)

e com o uso da eq.(2.3-7), teremos:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

λ λ − =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

ω ω + =

τ

d dn n 1 c nL d

dn n 1 c nL

(2.4-2)

Em termos práticos, o tratamento da dispersão é feito usando-se a dependência do tempo de atrso com o comprimento de onda ao invés da freqüência, de modo que a partir daqui, adotaremos o mesmo procedimento. De posse da eq.(2.4-2) se pode calcular o tempo de atraso por unidade de comprimento (T), em geral expresso em unidades de ps/km, e que será dado por:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

λ λ − =

d dn n 1 c n

T (2.4-3)

Desta forma, caso se esteja usando um pulso de luz para a transmissão de informação em um meio material qualquer, este pulso sofrerá um alargamento no tempo (ou no espaço), advindo da

dependência de τ, ouT, com o comprimento de onda. Por ser limitado em tempo, o pulso de luz possui intrínsicamente uma faixa de

freqüências, ou comprimentos de onda, na sua composição espectral. Desta maneira, conquanto as diversas freqüências que compõem o pulso sejam emitidas de um ponto ao mesmo tempo, à medida que o pulso propaga as diferentes freqüências irão se separando no espaço, por conta da dependência da velocidade de grupo de cada freqüência com a sua freqüência. Esta dependência, neste caso, ocorre por intermédio da dependência índice de refração (ou do índice de grupo) com a freqüência (ou comprimento de onda). Este efeito de atraso se rotula como sendo

dispersão cromática, já que depende do comprimento de onda, ou de uma certa

L

∆t

g v

L t=

0 t=

forma da cor da luz. A fig.(2.4-1) ilustra a propagação de um pulso óptico, estando indicada a distribuição espectral e o alargamento do pulso devido aos retardos que cada freqüência sofre devido ao efeito da variação do índice de refração com o comprimento de onda (dispersão cromática).

Sendo um pulso suave, podemos estimar o alargamento do pulso pela separação entre os pulsos com comprimento de onda central λ e λ +∆λ. Usando-se a eq.(2.4-1) teremos:

λ ∆ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

λ ∂ ∂ = λ ∆ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ λ ∂

∂ = λ ∆ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ λ ∂

∂ = τ

∆ N L

c 1 c

N L v

L

g

(2.4-4)

de modo que teremos:

λ ∆ =

τ

∆ D_λ L (2.4-5)

onde

λ ∂ ∂ =

λ N

c 1

D (2.4-6)

é chamado de coeficiente de dispersão, sendo, em geral, expresso em unidades de ps/nm-km. Na eq.(2.4-6) foi usado o módulo de Dλ para que o alargamento seja obtido como uma grandeza

positiva. O coeficiente de dispersão por sua vez pode ser positivo ou negativo. No primeiro caso se diz que há uma dispersão normal, enquanto no segundo caso se diz que a dispersão é anômala, exatamente como se discutiu na seção (2.3).

No caso da dipersão de origem cromática, usando-se a eq.(2.3-7), teremos:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

λ λ − λ ∂

∂ =

λ

d dn n 1 n c 1

D (2.4-7)

ou

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

λ ∂ λ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

λ λ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

λ ∂ ∂ =

λ ₂

2

d n d

dn n 1 n c 1