Nota de Aula - Matrizes

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1. MATRIZ:

É uma tabela de elementos dispostos em Linhas e Colunas.

Considerando a tabela abaixo que contém altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas:

Altura Peso Idade Pessoa 1 1,70 70 23 Pessoa 2 1,75 60 45 Pessoa 3 1,60 52 25 Pessoa 4 1,81 72 30

Como uma matriz é uma tabela formada por linhas e colunas, podemos representar a tabela anterior numa matriz:

A = [ 1,70 70 23 1,75 1,60 1,81 60 45 52 25 72 30

] Esta matriz contém 4 linhas e 3 colunas → 𝐴4𝑥3

Generalizando a representação de uma matriz → 𝐴𝑚𝑥𝑛. Sendo m o numero de

linhas e n o número de colunas.

Como para representar uma matriz utilizamos uma letra maiúscula, os seus elementos representamos com letras minúsculas.

Logo temos: 𝐴_𝑚𝑥𝑛 = [ 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 𝑎₂₁ 𝑎_𝑚1 𝑎₂₂ … 𝑎2𝑛 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 ]

Em casos especiais podemos denotar 𝐴_𝑚𝑥𝑛 por [𝑎_𝑖𝑗]

𝑚𝑥𝑛

As matrizes podem ser representadas por:

( ) , [ ] ou ‖ ‖ EXEMPLO: 1.Considerando a matriz 𝐴_2𝑥3=[1 0 −4 4 −3 2] Determine: 𝑎) 𝑎₁₁ 𝑏) 𝑎₂₃ 𝑐)𝑎₂₂ 𝑑)𝑎₁₃+ 𝑎₂₂− 𝑎₂₃ Resposta: a) 1 b) 2 c) -3 d) -9.

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1.1. IGUALDADE DE MATRIZES:

Duas matrizes 𝐴𝑚𝑥𝑛 = (𝑎𝑖𝑗)_𝑚𝑥𝑛 e 𝐵𝑟 𝑥 𝑠 = (𝑏𝑖𝑗)_{𝑟 𝑥 𝑠} são iguais, A = B se elas tem

o mesmo numero de linhas ( m = r ) e colunas ( n = s ) e todos os seus elementos correspondentes são iguais (𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗).

Exemplo:

2) Verifique se as matrizes A e B são iguais. A = (32 1 𝐿𝑜𝑔1 2 ₂2 ₅ ) B = (9 𝑠𝑒𝑛 900 0 2 4 5) Resposta: A = (9 1 0

2 4 5) Sim, as matrizes são iguais. B = (9 1 0

2 4 5)

1.2. Tipos especiais de matrizes:

1.2.1. Matriz quadrada : é toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas. Exemplo: A = [ 1 5 2 3 1 4 7 0 2 ] matriz A de ordem 3x3. B = (2 1 0 0) matriz B de ordem 2x2.

1.2.2. Matriz nula : é a matriz cujo todos os elementos são iguais a 0. Exemplo: A = (0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 ) 3𝑋4 B = (0 0 0 0)2𝑋2

1.2.3. Matriz coluna : é toda matriz que possui uma única coluna. Exemplo: A = [ 1 2 3 ] B = [𝑋 𝑌]

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1.2.4. Matriz linha : é toda matriz que possui uma única linha. Exemplo:

A = [1 2 3] B = [𝑎 𝑏 𝑐]

1.2.5. Matriz diagonal: é uma matriz quadrada [ m = n ] onde 𝑎_𝑖𝑗 = 0 , isto é , os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.

Exemplo: A = [ 5 0 0 0 3 0 0 0 1 ] 3𝑥3 B = [ 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 3]5𝑥5

1.2.6.Matriz Identidade Quadrada :

É a matriz onde 𝑎_𝑖𝑗 = 1 para i = j e 𝑎_𝑖𝑗 para i ≠ j.

Exemplo: 𝐼₃ = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 1 ] 3𝑥3 𝐼₂ = [1 0 0 1]2𝑥2

1.2.7. Matriz Triangular Superior: é uma matriz quadrada onde todos os

elementos abaixo da diagonal principal são nulos , isto é , m = n e 𝑎𝑖𝑗 = 0

para i > j. Exemplo: 𝐴3𝑥3 = [ 𝑎11 𝑎12 𝑎13 0 0 𝑎₂₂ 0 𝑎23 𝑎₃₃] 𝐴4𝑥4 = [ 2 3 1 4 0 0 0 5 0 0 3 4 0 1 2 1 ]

1.2.8. Matriz Triangular Inferior : é a matriz em que m = n e 𝑎𝑖𝑗 = 0 para i < j.

Exemplo: 𝐴_3𝑥3 = [ 1 4 0 0 5 0 3 2 1 ]

1.2.9. Matriz simétrica : é a matriz m = m e 𝑎_𝑖𝑗 = 𝑎_𝑗𝑖.

Exemplo: B = [ 4 3𝑎12 ₁ 3𝑎21 1 2 0 0 5 ] 3𝑥3 E = [ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑₁₄ 𝑏 𝑒 𝑓 𝑔 𝑐 𝑑41 𝑓 𝑔 𝑛 𝑖 𝑖 𝑘 ] 4𝑥4

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1.3. OPERAÇÕES COM MATRIZES:

1.3.1. ADIÇÃO: O resultado da adição de matrizes de mesma ordem,

𝐴𝑚𝑥𝑛=[𝑎𝑖𝑗] e 𝐵𝑚𝑥𝑛=[𝑏𝑖𝑗] , é uma matriz mXn que denominamos por A + B ,

cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B. Isto é: A + B = [𝑎_𝑖𝑗+ 𝑏_𝑖𝑗] 𝑚𝑋𝑛 Exemplo : A [ 1 −1 4 2 0 5 ] + B [ 0 4 −2 1 5 0 ] = A+B [ 1 3 2 3 5 5 ] Exercícios: 1) CONSIDERE as matrizes A = [1 2 3 2 1 −1] B = [ −2 0 1 3 0 1] C = [ −1 2 4 ] D = [2 −1] Calcule: a) A + B b) B - A. c) B – C. Resposta: a)[−1 2 4 5 1 0] b)[−3 −2 −2 1 −1 2 ]

c) B – C não é possível pois o tamanho das matrizes é diferente 𝐵_2𝑥3 𝑒 𝐶3𝑥1

2) Seja 𝐴2𝑥3 = { 𝑖, 𝑠𝑒 𝑖 ≥ 𝑗 𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗 , CONSTRUIR a matriz A Resposta : A = [1 3 4 2 2 5] 3) Sendo 𝐴_3𝑥3= { 𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗 𝑖 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗 0 , 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗 CONSTRUIR a matriz :

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Resposta : A = [ 2 3 4 1 0 0 −1 0 3 ] 4) Sejam : A = [1 2 3 2 1 −1] B = [ −2 0 1 3 0 1] C = [ −1 2 4 ] Encontre : a) A + B. b) A - C. Resposta : a)[−1 2 4 5 1 0]

b) Não é possível, pois as matrizes são de ordens diferentes.

1.3.2. MULTIPLICAÇÃO ESCALAR: Sendo A = [𝑎𝑖𝑗]_{𝑚 𝑥 𝑛} e K um numero, então

definimos uma nova matriz.

K . A = [𝐾 𝑎_𝑖𝑗] 𝑚𝑥𝑛 Exemplo : -2 . [2 10 1 −3] = [ −4 −20 −2 6 ]

1.3.3. TRANSPOSIÇÃO : dada uma matriz A = [𝑎_𝑖𝑗]

𝑚 𝑥 𝑛, podemos obter uma

outra matriz A’ = [𝑏_𝑖𝑗]

𝑚 𝑥 𝑛 , cujas linhas são as colunas de A , isto é : 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖..

A’ ou 𝐴𝑇_{é denominada transposta de A.}

Exemplo : a) A = [ 20 1 −1 3 4 ] 3𝑥2 , logo A’ = [2 0 −1 1 3 4 ] b) B = [1 3 3 2] B’ = [ 1 3 3 2] c) C = [1 2] C’ = [1 2]

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PROPRIEDADES :

I – Uma matriz é simétrica , se e somente se, ela for igual a sua transposta, isto é , A = A’.

Ex: B = [1 3

3 2] B’ = [ 1 3 3 2]

II – A’’ = A , isto é, se a transposta da transposta de uma matriz for ela mesma.

Ex: A = [3 4 5 6 7 0] A’ = [ 3 6 4 5 7 0 ] A’’ = [3 4 5 6 7 0]

III – (A + B)’ = A’ + B’ , a transposta de uma soma de matrizes é igual a soma das transpostas de cada matriz.

Ex: A = [5 4 3 2] B = [ 1 3 3 0] (A + B) = [5 4 3 2] + [ 1 3 3 0] = [ 6 7 6 2] (A + B)’ = [6 6 7 2] A’ + B’ = [ 6 6 7 2]

IV – (K . A)’ = K . A’ , onde K é qualquer escalar.

Ex: A = [1 5 0 2] K = 2 (K . A)’ 2 . [1 5 0 2] = [ 2 10 0 4] K . A’ = 2 . [1 5 0 2] = [ 2 10 0 4] 1.3.3. Combinações Lineares

Considerando as matrizes 𝐴₁, 𝐴₂, 𝐴₃, … , 𝐴_𝑛 matrizes de mesmo tamanho e 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … , 𝑐𝑛 são escalares, então uma expressão da forma:

𝑐₁𝐴₁, +𝑐₂𝐴₂, … , 𝑐_𝑛𝐴_𝑛

É denotado combinação linear de 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴𝑛 com coeficientes

𝑐₁, 𝑐₂, 𝑐₃, … , 𝑐_𝑛

Exemplo: Considerando as matrizes

𝐴 = [2 3 4

1 3 1] 𝑒 𝐵 = [

0 2 7

−1 3 5], CALCULE 2A +3B

Temos que 2A + 3B é uma combinação linear de 𝐴 𝑒 𝐵 com coeficientes escalares 2 e 3.

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EXERCÍCIOS :

1) Se A é uma matriz triangular superior , então A’ é : A = [ 1 2 3 0 4 5 0 0 7 ] Resposta : A’ = [1 0 02 4 0 3 5 7 ]

2) Julgue os itens abaixo como verdadeiro (V) ou falso (F). a) (- A)’ = -(A’) b) (A + B)’ = B’ + A’ Resposta : a) Verdadeira. b) [𝑎 𝑏 𝑐 𝑑] + [ 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ] = [ 𝑎 + 𝑒 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑔 𝑑 + ℎ] [_𝑓𝑒 𝑔_{ℎ] + [}𝑎_𝑏 _𝑑𝑐] = [𝑒 + 𝑎_{𝑏 + 𝑓} _{ℎ + 𝑑}𝑔 + 𝑐]

1.3.4. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES:

Definição de multiplicação de matrizes :

Se A é uma matriz m x r e B uma matriz r x n , então o produto A x B é a matriz

m x n cujas entradas são determinadas como segue. Para deter a entrada na

linha “ i ” de A e a coluna “ j ” de B. Multiplique as entradas correspondentes desta linha e desta coluna então some os produtos resultantes.

Exemplo:

1. Um comprador de empresa X está pesquisando o preço de cestas básicas. Ele criou três tipos de cesta básica, sendo:

Cesta 1 2 Kg de feijão; 5 KG de arroz; 1 L de óleo Cesta 2 3 Kg de feijão; 10 KG de arroz; 2 L de óleo Cesta 3 1 Kg de feijão; 5 Kg de arroz; 1 L de óleo

A partir das referências das cestas básicas ele pesquisou em dois mercados os valores dos produtos detendo:

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I – Mercado 1: feijão Kg R$ 10,00; arroz Kg R$ 2,90; óleo L R$ 3,90 II – Mercado 2: feijão Kg R$ 12,50; arroz Kg R$ 3,20; óleo L R$ 4,20

No final dessa pesquisa ele precisou apresentar o valor de cada cesta básica, nos dois mercados.

Mercado1 Cesta 1 = [2 𝑥 10 5 𝑥 2,90 1 𝑥 3,90] = [20 14,50 3,90] Mercado 2 Cesta 1 = [2 𝑥 12,50 5 𝑥 3,20 1 𝑥 4,20] = [25 16 4,20] Mercado 1 Cesta 2 =[3 𝑥 10 10 𝑥 2,90 2 𝑥 3,90] = [30 29 7,80] Mercado 2 Cesta 2 = [3 𝑥 12,50 10 𝑥 3,20 2 𝑥 4,20] = [37,50 32 8,40] Mercado 1 Cesta 3 = [1 𝑥 10 5 𝑥 2,90 1 𝑥 3,90] = [10 29,50 3,90] Mercado 2 Cesta 3 = [1 𝑥 12,50 5 𝑥 2,90 1 𝑥 4,20] = [12,50 16 4,20] [𝐶1 𝐹 2 𝐴 5 𝑂 1 𝐶2 3 10 2 𝐶3 1 3 1 ] x [ 𝐹 𝑆1 10 𝑆2 12,50 𝐴 2,90 3,20 𝑂 3,90 4,20 ] = [ 38,40 45,20 66,80 77,90 24,40 32,70 ] 2 x 10 + 5 x 2,90 + 1 x 3,90 3 x 10 + 10 x 2,90 + 2 x 3,90 1 x 10 + 5 x 2,90 + 1 x 3,90 2 x 12,50 + 5 x 3,20 + 1 x 4,20 3 x 12,50 + 10 x 3,20 + 2 x 4,20 1 x 12,50 + 5 x 3,20 + 1 x 4,20 2) Seja A = [ 2 𝑥2

2𝑥 − 1 0] , se A’ = A então quanto vale x? R.: 1

3)Considere as matrizes e calcule A x B : A = [1 2 4 2 6 0] B = [ 4 1 4 3 0 −1 3 1 2 7 5 2 ] Resposta : A x B = [12 27 30 13 8 −4 26 12]