Bifurcação de soluções periódicas

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(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Centro de Ciências Exatas e da Natureza Departamento de Matemática. Mestrado em Matemática. Bifurcação de Soluções Periódicas Evaneide Alves Carneiro DISSERTAÇÃO DE MESTRADO. Recife março de 2006.

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(3) UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Centro de Ciências Exatas e da Natureza Departamento de Matemática. Evaneide Alves Carneiro. Bifurcação de Soluções Periódicas. Trabalho apresentado ao Programa de Mestrado em Matemática do Departamento de Matemática da UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Matemática.. Orientador: Prof. Dr. Hildeberto Eulálio Cabral. Recife março de 2006.

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(7) À minha família e ao Wallisom..

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(9) Agradecimentos. À CAPES pelo apoio financeiro. À minha família, pela educação, carinho e esforço (às vezes sacrifício) para ver um sonho realizado. Ao Wallisom, pelo amor, incentivo, apoio quando as coisas não iam tão bem, enfim, por estar presente em minha vida: Muito Obrigada!!! A todos os professores que fizeram ou fazem parte da minha formação, com quem aprendi e aprendo até hoje. Aos meus amigos de Jaguaribe, Recife, São Carlos e São Paulo. Vocês são muito importantes na minha vida, e sinto muitas saudades!!! Aos funcionários do Departamento de Matemática e da Biblioteca do CCEN. A todos os que foram meus alunos. Ao meu orientador – Prof. Hildeberto – pela paciência e sempre sábias palavras. E aos demais professores da banca: César Castilho e Vicente Francisco de Sousa Neto.. ix.

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(12) xii. AGRADECIMENTOS. Tenho visto tanta coisa Nesse mundo de meu Deus Coisas que prum cearense Não existe explicação Qualquer pinguinho de chuva Fazer uma inundação Moça se vestir de cobra E dizer que é distração Vocês cá da capital Me adesculpe esta expressão No Ceará não tem disso não, Não tem disso não, não tem disso não No Ceará não tem disso não Não tem disso não, não tem disso não Não, não, não, No Ceará não tem disso não, Não, não, não, No Ceará não tem disso não, Nem que eu fique aqui dez anos Eu não me acostumo não Tudo aqui é diferente Dos costumes do sertão Num se pode comprar nada Sem topar com tubarão Vou voltar pra minha terra No primeiro caminhão Vocês vão me adesculpar Mas arrepito essa expressão No Ceará não tem disso não, Não tem disso não, não tem disso não No Ceará não tem disso não Não tem disso não, não tem disso não Não, não, não, No Ceará não tem disso não, Não, não, não, No Ceará não tem disso não. — LUIZ GONZAGA (No Ceará Não Tem Disso Não ).

(13) Resumo. O objetivo desta dissertação é estudar dois métodos de bifurcação de soluções periódicas de uma equação diferencial. Tais métodos permitem obter soluções periódicas de um sistema perturbado quando todas as soluções do sistema não-perturbado são periódicas. Essas idéias podem ser aplicadas para determinar a existência de geodésicas fechadas em superfícies que são perturbações de uma superfície dada, quando desta última já sabemos serem todas as geodésicas fechadas, como a esfera, por exemplo.. Palavras Chave: Soluções Periódicas, Bifurcação, Sistemas Hamiltonianos.. xiii.

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(15) Abstract. The purpose of this work is to study two bifurcation methods of differential equations periodic solutions. These methods leave to find periodic solutions of a perturbed system, when all solutions of non-perturbed system are periodic. We can apply this idea to determine the existence of closed geodesics in surfaces, which are perturbations of others surfaces, whose geodesics are closed, for instance, the sphere.. Key Words: Periodic Solutions, Bifurcation, Hamiltonian Systems.. xv.

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(17) Sumário. Agradecimentos. ix. Resumo. xiii. Abstract. xv. Introdução. 1. 1. Bifurcação de Soluções Periódicas. 3. 1.1. Primeiro Método. 3. 1.2. Segundo Método. 6. 1.3. Caso de uma Variedade Invariante. 2. 3. 14. Considerações Sobre Sistemas Hamiltonianos. 15. 2.1. Variedades Simpléticas. 15. 2.2. Sistemas Hamiltonianos. 17. 2.3. Sistemas Hamiltonianos com Vínculos. 19. O Problema. 25. 3.1. Descrição do Problema. 25. 3.2. Cálculo das Equações. 26 xvii.

(18) xviii 3.3. SUMÁRIO. Aplicação da Técnica de Bifurcação. Bibliografia. 31 35.

(19) Introdução. No presente trabalho, estudamos dois métodos de bifurcação de soluções periódicas de uma equação diferencial. Estes métodos permitem obter soluções periódicas de um sistema perturbado quando todas as soluções do sistema não-perturbado são periódicas. Este é o conteúdo do Capítulo 1. No Capítulo 3, fazemos uma tentativa de usar um dos métodos para determinação de geodésicas fechadas em uma superfície que é uma deformação da esfera. Embora inconclusivo, o esforço neste sentido permitiu desenvolver maior familiaridade com o método e talvez uma modificação no tratamento do problema venha a dar algum resultado. No Capítulo 2, fazemos uma pequena incursão à teoria dos Sistemas Hamiltonianos em preparação ao estudo do Capítulo 3.. 1.

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(21) C APÍTULO 1. Bifurcação de Soluções Periódicas. 1.1 Primeiro Método Consideremos a equação diferencial x˙ = f (x) + ε g(x) + O(ε 2 ),. (1.1). definida em um aberto Ω × I de Rn × R. Suponhamos que o lado direito de (1.1) é de classe Ck , (k ≥ 2) em (x, ε ). Seja ϕ (t, x, ε ) a solução que em t = 0 vale x. O fluxo ϕ (t, x, ε ) tem a mesma classe de diferenciabilidade da equação. Pela Fórmula de Taylor aplicada à função ε 7→ ϕ (t, x, ε ), temos. ϕ (t, x, ε ) = ϕ (t, x, 0) + ε Dε ϕ (t, x, 0) + O(ε 2).. (1.2). Supondo, agora, que existe T ∈ R tal que. ϕ (T, x, 0) = x, para todo x ∈ Ω,. (1.3). buscaremos soluções de (1.1) tais que. ϕ (T, x, ε ) = x.. (1.4). Uma propriedade que o fluxo de uma equação diferencial autônoma satisfaz é a seguinte:. ϕ (t + s, x) = ϕ (t, ϕ (s, x)). Assim, se encontrarmos x tal que ϕ (T, x, ε ) = x, teremos que. ϕ (t + T, x, ε ) = ϕ (t, ϕ (T, x, ε ), ε ) = ϕ (t, x, ε ), e portanto a solução que em t=0 passa por x será uma solução T -periódica de (1.1). 3. (1.5).

(22) 4. INTRODUÇÃO. Substituindo ϕ (T, x, ε ) = x em (1.2), temos:. ϕ (T, x, 0) + ε Dε ϕ (T, x, 0) + O(ε 2) − x = 0.. (1.6). Como ϕ (T, x, 0) = x, ficamos com a seguinte equação G(x, ε ) = Dε ϕ (T, x, 0) + O(ε ) = 0,. (1.7). onde G é de classe Ck−1 em (x, ε ). Suponhamos que existe x∗ ∈ Ω tal que G(x∗ , 0) = Dε ϕ (T, x∗ , 0) = 0 e que, além disso, Dx G(x∗ , 0) é invertível. Neste caso, o Teorema da Função Implícita garante que existe uma vizinhança I0 de ε = 0 e uma função de classe Ck−1 , x = x(ε ), tais que G(x(ε ), ε ) = 0, para todo ε ∈ I0 . Assim, a equação (1.4) será satisfeita para x = x(ε ) e, portanto, teremos soluções T -periódicas de (1.1). Exemplo 1.1.1. Determinar soluções periódicas do sistema ( x˙ = y + ε f1 (x, y) + O(ε 2 ) y˙ = −x + ε f2 (x, y) + O(ε 2 ),. (1.8). com período 2π, quando f1 (x, y) = ax + α x3 e f2 (x, y) = by + β y3 . ! ! ! x f1 0 1 Sejam χ = , f= e A= . A equação torna-se: y f2 −1 0 χ˙ = Aχ + ε f (χ ) + O(ε 2 ),. (1.9). cujo fluxo denotamos por ϕ (t, χ , ε ). O fluxo do sistema não-perturbado é o fluxo linear ϕ (t, χ , 0) = etA χ = (x cos(t) + y sen (t), −x sen (t) + y cos(t)),. (1.10). donde vemos que todas as soluções são periódicas com o mesmo período T = 2π . Seguindo o método descrito acima, procuraremos soluções da equação G(χ ∗ , 0) = 0 com a propriedade adicional de ser Dχ G(χ ∗ , 0) invertível. Pela Fórmula da Variação dos Parâmetros, temos ϕ (t, χ , ε ) = etA χ + ε. Z t 0. e(t−s)A f (esA χ )ds + O(ε 2 )..

(23) 5. INTRODUÇÃO. Como T = 2π, temos eTA = I , donde: Z T. Dε ϕ (T, χ , 0) =. 0. e−sA f (esA χ )ds.. (1.11). Por (1.10), temos f (e χ ) =. a(x cos(t) + y sen (t)) + α (x cos(t) + y sen (t))3. tA. b(−x sen (t) + y cos(t)) + β (−x sen (t) + y cos(t))3. !. e como AT = −A, donde, e−tA =. cos(t) − sen (t). sen (t). cos(t). !. ,. vemos que a integração em (1.11) requer o conhecimento das seguintes integrais: Z 2π. 2. cos (t)dt =. 0. Z 2π. Z 2π 0. cos4 (t)dt =. 0. Z 2π. sen 2 (t)dt = π , sen 4 (t)dt =. 0. Z 2π. sen 2 (t) cos2 (t)dt =. 0. Z 2π. sen (t) cos(t)dt =. 0. Z 2π. 3. sen (t) cos(t)dt =. 0. 3π , 4. π , 4. Z 2π. sen (t) cos3 (t)dt = 0.. 0. A primeira componente de e−tA f (etA χ ) sendo a cos(t)(x cos(t) + y sen (t)) + α cos(t)(x cos(t) + y sen (t))3 −b sen (t)(−x sen (t) + y cos(t)) − β sen (t)(−x sen (t) + y cos(t))3. e a segunda, sendo a sen (t)(x cos(t) + y sen (t)) + α sen (t)(x cos(t) + y sen (t))3 −b cos(t)(−x sen (t) + y cos(t)) − β cos(t)(−x sen (t) + y cos(t))3,. a integração em (1.11) nos dá. Dε ϕ (T, χ , 0) = π. (a + b)x + 43 (α + β )(x3 + xy2 ) (a + b)y + 43 (α + β )(x2 y + y3 ). !. ..

(24) 6. INTRODUÇÃO. Vemos que Dε ϕ (T, χ ∗ , 0) = 0 se, e só se, χ ∗ = (0, 0) ou χ ∗ = (x∗ , y∗ ) é um ponto do círculo 4(a + b) x2 + y2 = − , (1.12) 3(α + β ) 4(a+b) supondo γ = − 3( α +β ) > 0.. Observação 1.1.2. Os pontos do círculo incluem as soluções x∗ = 0, y∗ 6= 0 e x∗ 6= 0, y∗ = 0.. Agora, Dχ Dε ϕ (T, χ , 0) = π. a + b + 94 (α + β )x2 + 43 (α + β )y2 6 4 (α + β )xy. a+b+. 6 4 (α + β )xy 3 9 2 2 4 (α + β )x + 4 (α + β )y. donde se vê imediatamente que, quando χ ∗ = (0, 0), Dχ Dε ϕ (T, χ ∗ , 0) = π. a+b. 0. 0. a+b. !. é invertível, desde que tenhamos (a + b) 6= 0. Assim, existe χ = χ (ε ) com χ (0) = 0 e obtemos uma solução periódica ϕ (t, χ (ε ), ε ) com χ (ε ) próximo de 0. Calculando o determinante de Dχ Dε ϕ (T, χ , 0), encontramos que ele é igual a 27 2 2 2 2 2 2 2 2 π (a + b) + 3(a + b)(α + β )(x + y ) + (α + β ) (x + y ) 16 e verificamos que ele se anula em qualquer ponto do círculo dado em (1.12). Isto é devido ao fato que estas raízes da equação G(χ ∗ , 0) = 0 não são isoladas. Neste caso, não podemos garantir a existência de soluções periódicas de (1.9) com condição inicial χ (ε ) próximas de χ ∗ no círculo, tendo período 2π.. 1.2 Segundo Método Consideremos agora a equação (1.1), supondo que o período das soluções do sistema nãoperturbado depende das condições iniciais, ou seja, existe T : Ω → R tal que ϕ (T (x), x, 0) = x, para todo x ∈ Ω.. !.

(25) 7. INTRODUÇÃO. Por (1.5), uma solução da equação de periodicidade (1.4) será tal que. ϕ (t + T (x), x, ε ) = ϕ (t, ϕ (T (x), x, ε ), ε ) = ϕ (t, x, ε ), e portanto a solução que em t=0 passa por x será uma solução T (x)-periódica de (1.1). Substituindo ϕ (T (x), x, ε ) = x em (1.2), temos. ϕ (T (x), x, 0) + ε Dε ϕ (T (x), x, 0) + O(ε 2) − x = 0. Como ϕ (T (x), x, 0) = x, ficamos com a seguinte equação G(x, ε ) = Dε ϕ (T (x), x, 0) + O(ε ) = 0. Suponhamos que existe x∗ ∈ Ω tal que G(x∗ , 0) = Dε ϕ (T (x∗ ), x∗ , 0) = 0. A derivada (em relação a x) de G(x, 0) em x∗ é dada por:. Dx G(x∗ , 0) · ξ = Dt Dε ϕ (T (x∗ ), x∗ , 0) · (DT (x∗ ) · ξ ) + DxDε ϕ (T (x∗ ), x∗ , 0) · ξ .. (1.13). Seja v = Dt Dε ϕ (T (x∗ ), x∗ , 0). Analisemos dois casos: [Caso I] Se v = 0 e Dx Dε ϕ (T (x∗ ), x∗ , 0) é um isomorfismo, então, de (1.13), Dx G(x∗ , 0). também é um isomorfismo. Portanto, pelo Teorema da Função Implícita, existe uma vizinhança I0 de ε = 0 e uma função x = x(ε ), de classe Ck−1 , tais que G(x(ε ), ε ) = 0, para todo ε ∈ I0 . Neste caso, a equação (1.3) será satisfeita e teremos soluções T (x(ε ))-periódicas de (1.1). [Caso II] Se v 6= 0, suponhamos que:. 1. v não está contido no subespaço Im(Dx Dε ϕ (T (x∗ ), x∗ , 0)); 2. Dx Dε ϕ (T (x∗ ), x∗ , 0) é injetiva quando restrita ao subespaço E = ker DT (x∗ )..

(26) 8. INTRODUÇÃO. Neste caso, de (1.13), a hipótese (i) implica que, se Dx G(x∗ , 0) · ξ = 0, temos DT (x∗ ) · ξ = 0 e Dx Dε ϕ (T (x∗ ), x∗ , 0) · ξ = 0 e da hipótese (ii) segue-se que ξ = 0. Portanto, Dx G(x∗ , 0) é injetiva, logo é um isomorfismo, e segue-se a mesma conclusão do caso anterior. A determinação de soluções periódicas por estes métodos requer o conhecimento de X (t) = Dε ϕ (t, x, 0), que por sua vez requer a solução de um sistema linear com coeficientes periódicos, como veremos a seguir. Como ϕ (t, x, ε ) é solução de (1.1), temos:. Dt ϕ (t, x, ε ) = f (ϕ (t, x, ε )) + ε g(ϕ (t, x, ε )) + O(ε 2). Derivando a expressão acima em relação a ε e trocando a ordem de derivação do lado esquerdo, obtemos: Dt Dε ϕ (t, x, ε ) = D f (ϕ (t, x, ε ))·Dε ϕ (t, x, ε )+g(ϕ (t, x, ε ))+ ε Dg(ϕ (t, x, ε ))·Dε ϕ (t, x, ε )+O(ε ). Agora, tomando ε = 0, obtemos Dt Dε ϕ (t, x, 0) = D f (ϕ (t, x, 0)) · Dε ϕ (t, x, 0) + g(ϕ (t, x, 0)). Sabemos que Dε ϕ (0, x, 0) = 0, pois ϕ (0, x, ε ) = x, para todo ε . Denominando A(t) = D f (ϕ (t, x, 0)) temos que X (t) é solução do seguinte sistema linear com coeficientes periódicos (de período igual a T (x)): (. X˙ = A(t)X + g(ϕ (t, x, 0),t), X (0) = 0. (1.14). Uma vez obtido o fluxo da equação linear homogênea associada a (1.14), a fórmula da variação dos parâmetros nos fornecerá a solução procurada para a equação não-homogênea. A dificuldade para a obtenção do fluxo da equação homogênea é a presença de algum termo não-constante. Temos que buscar uma representação de Floquet, o que em geral não é fácil..

(27) 9. INTRODUÇÃO. Exemplo 1.2.1. Pesquisar soluções periódicas para o sistema ( x˙ = (γ + r2 )y + ε f1 (x, y) + O(ε 2 ). y˙ = −(γ + r2 )x + ε f2 (x, y) + O(ε 2 ),. onde r =. p. (1.15). x2 + y2 , f1 = ax e f2 = by.. O fluxo do sistema não-perturbado é ϕ (t, x, y; 0) = (x0 (t), y0(t)), onde ( x0 (t) = x cos((γ + r2 )t) + y sen ((γ + r2 )t) y0 (t) = −x sen ((γ + r2 )t) + y cos((γ + r2 )t).. (1.16). Assim, todas as soluções são periódicas com o período dado por T = T (x, y) =. Sejam χ =. x. !. , f = y corresponde à equação. f1 f2. !. e A=. 2π . γ + x2 + y2 0. 1. −1 0. !. (1.17). , de modo que o sistema (1.15). χ˙ = (γ + r2 )Aχ + ε f (χ ) + O(ε 2 ),. (1.18). cujo fluxo denotamos por ϕ (t, χ , ε ). Queremos saber se a equação de periodicidade. ϕ (T (χ ), χ , ε ) = χ admite uma solução. Fazendo f0 (χ ) = (γ + r2 )Aχ e usando o processo descrito no Segundo Método, temos que encontrar a solução do problema de valor inicial ( X˙ = B(t)X + f (ϕ (t, χ ; 0)) (1.19) X (0) = 0, onde a matriz B(t) = D f0 (ϕ (t, χ ; 0)) e o termo não-homogêneo f (ϕ (t, χ ; 0)) são periódicos em t de período T (χ ). Tal solução nos dará Dε ϕ (t, χ ; 0) = X (t) e, por conseguinte, ~v = Dt Dε ϕ (T, χ , 0) = X ′ (T ), onde T = T (χ )..

(28) 10. INTRODUÇÃO. Como D f0 (χ ) · ξ = (γ + r2 )Aξ + 2hχ , ξ iAχ , fazendo χ0 (t) = ϕ (t, χ ; 0) e notando que kχ0 (t)k = kχ (t)k = r(t), obtemos B(t)X = D f0 (χ0 (t))X = (γ + kχ k2 )AX + 2hχ0 (t), X iAχ0(t) e, assim, temos que resolver a seguinte equação linear com coeficientes periódicos de período T (χ ): X˙ = (γ + kχ k2 )AX + 2hχ0 (t), X iAχ0(t) + f (χ0(t)),. (1.20). com condição inicial X (0) = 0. Consideremos a rotação R(t) pelo ângulo −(γ + r2 )t. Na base canônica e1 , e2 de R2 , temos: R(t) · e1 = cos((γ + r2 )t)e1 − sen ((γ + r2 )t)e2 R(t) · e2 = sen ((γ + r2 )t)e1 + cos((γ + r2 )t)e2, cuja matriz, nesta base, é cos((γ + r2 )t). sen ((γ + r2 )t). − sen ((γ + r2 )t) cos((γ + r2 )t). !. .. Consideremos, agora, a mudança de variáveis X = R(t)U.. (1.21). Como R(t)χ = R(t)(xe1 + ye2 ) = χ0 (t), a equação (1.20) é transformada na equação ˙ = (γ + r2 )ARU + 2hRχ , RU iARχ + f (R(t)χ ) RU˙ + RU ou ˙ + (γ + r2 )R−1 ARU + hχ ,U iR−1ARχ + R−1 f (Rχ ). U˙ = −R−1 RU Uns cálculos mostram que R−1 R˙ = (γ + r2 )A e. R−1 AR = A,. de modo que a equação diferencial se reduz a U˙ = −(γ + r2 )AU + (γ + r2 )AU + 2hχ ,U iAχ + R−1 f (Rχ ).

(29) 11. INTRODUÇÃO. = 2hχ ,U iAχ + R−1 f (Rχ ),. (1.22). cuja equação linear homogênea, agora, tem coeficientes constantes. Fazendo U = (u, v), a equação homogênea associada a (1.22), em coordenadas, é: : ( u˙ = 2y(xu + yv) v˙ = −2x(xu + yv). ou u˙ v˙. !. 2xy. =. !. 2y2. −2x2 −2xy. u v. !. =B. u v. !. ,. isto é, U˙ = BU.. (1.23). A matriz B é nilpotente de ordem 2, logo etB = I + tB, e assim o fluxo de (1.23) é dado por ψt (U ) = etBU, onde tB. e =. 1 + 2xyt. 2y2t. −2x2 t. 1 − 2xyt. !. .. (1.24). Pela Fórmula da Variação dos Parâmetros, o fluxo de (1.22), isto é, o fluxo da equação U˙ = BU + G(t),. (1.25). onde G(t) = R−1 f (Rχ ) é dado por. φ (t,U ) = etBU +. Z t. e(t−s)B G(s)ds.. 0. Como R(χ ) = χ0 (t) = ϕ (t, χ , 0), de (1.16), temos f (R(χ )) =. a(x cos((γ + r2 )t) + y sen ((γ + r2 )t)) b(−x sen ((γ + r2 )t) + y cos((γ + r2 )t)). !. (1.26). A solução de (1.19) corresponde, via (1.21), à solução de (1.25) com U (0) = 0. Assim, precisamos achar.

(30) 12. INTRODUÇÃO. φ (t, 0) = etB. Z t. e−sB G(s)ds.. (1.27). 0. De (1.21), temos X (t) = R(t)φ (t, 0), donde, fazendo T = T (x, y), temos ~v = R′ (T )φ (T, 0) + R(T )φ ′ (T, 0) = (γ + r2 )Aφ (T, 0) + φ ′(T, 0).. (1.28). Para encontrar Dε ϕ (T, χ ; 0) = X (T ) = φ (T, 0) e ~v, temos que fazer a integração E=. Z T. e−tB G(t)dt.. (1.29). 0. De (1.24), temos e−tB =. 1 − 2xyt. −2y2t. 2x2t. 1 + 2xyt. !. ,. donde, fazendo µ = (γ + r2 ), temos e−tB R−1 =. (1 − 2xyt) cos(µ t) − 2y2t sen (µ t). (2xyt − 1) sen ((µ t) − 2y2t cos(µ t). !. . 2x2t cos(µ t) + (1 + 2xyt) sen (µ t) −2x2 t sen (µ t) + (1 + 2xyt) cos(µ t) (1.30). Vemos de (1.26) e (1.30) que a integração em (1.29) requer o cálculo das seguintes integrais: Z T 0. cos (µ t)dt = 2. Z T 0. Z T 0. Z T 0. 0. sen 2 (µ t)dt =. π , µ. sen (µ t) cos(µ t)dt = 0.. t cos (µ t)dt = 2. Z T. Z T 0. π2 t sen (µ t)dt = 2 , µ 2. t sen (µ t) cos(µ t)dt = −. Procedendo a esta integração, obtemos para Dε ϕ (T, χ , 0) = eT B E. π . 2µ 2.

(31) 13. INTRODUÇÃO. e ~v = µ AeT B E + BeT B + G(T ) as seguintes expressões:. . Dε ϕ (T, χ , 0) =  ~v =. (a+b)π 2(a−b)π 2 2(a+b)π 2 2 2(a+b)π 2 3 x + xy − x y − y 2 2 µ µ µ µ2 (a+b)π 2(a+b)π 2 2 2(a−b)π 2 2(a+b)π 2 3 xy − µ 2 x y + µ 2 x µ y+ µ2. 0. µ. −µ. 0. !. X (T ) +. 2xy. 2y2. −2x2 −2xy. !. X (T ) +. .  = X (T ), (1.31) ax by. !. .. (1.32). Ilustremos a aplicação do método em duas situações: Suponhamos primeiro γ > 0 e seja χ ∗ = (0, 0). Então Dε ϕ (T, χ ∗ , 0) = 0,~v = 0 e ! (a+b)π 0 µ Dχ Dε ϕ (T, χ ∗ , 0) = , (a+b)π 0 µ logo é um isomorfismo quando (a + b) 6= 0. Estamos assim no [Caso I] do Segundo Método e concluímos que existe uma solução T (χ (ε ))−periódica de (1.15) próxima da origem. Para um exemplo de aplicação do [Caso II], suponhamos γ = 0 e a = −b. Neste caso, os pontos χ ∗ = (x, 0), para todo x 6= 0, são zeros de Dε ϕ (T, χ , 0), mas ! 0 0 Dχ Dε ϕ (T, χ ∗ , 0) = π 2 0 4b x µ2 não é isomorfismo. Temos ~v = (ax, 0) 6= 0 e π ker DT (χ ∗ ) = ker −4 x3. 0. . = h(0, 1)i.. Com isso, temos que ~v ∈ / Im(Dχ Dε ϕ (T, χ ∗ , 0)). Além disso, se tivermos ! ! ! 0 0 0 0 Dχ Dε ϕ (T, χ ∗ , 0) · (0, η ) = = , π 2 0 4b x η 0 2 µ. então η = 0. Logo, Dχ Dε ϕ (T, χ ∗ , 0) é injetiva quando restrita a ker DT (χ ∗ ). Portanto as hipóteses de método são satisfeitas e concluímos que, na vizinhança de qualquer ponto da forma χ ∗ = (x, 0), x 6= 0, passa uma solução T (χ (ε ))−períodica de (1.15). Esta mesma análise se aplica aos pontos da forma χ ∗ = (0, y), com y 6= 0..

(32) 14. INTRODUÇÃO. 1.3 Caso de uma Variedade Invariante Suponhamos, agora, que para cada ε , o fluxo ϕ (t, x, ε ) da equação (1.1) deixa invariante uma superfície Mε ⊂ Ω. Para a equação de periodicidade. ϕ (T, x, ε ) = x [ou ϕ (T (x), x, ε ) = x] não poderíamos, em princípio, reescrevê-la na forma. ϕ (T, x, ε ) − x = 0, pois, no ambiente curvo, não-euclideano, a diferença dos vetores poderia não fazer sentido. Mas como para todo ε , Mε ⊂ Rn , esta diferença não só faz sentido como podemos fazer a expansão em ε , como anteriormente, para obter Dε ϕ (T, x, ε ) + O(ε ) = 0, impondo adicionalmente a restrição de que x ∈ Mε . No capítulo 3 aplicaremos estas idéias ao fluxo geodésico de uma perturbação da esfera. Antes faremos, no próximo capítulo, algumas considerações sobre Sistemas Hamiltonianos..

(33) C APÍTULO 2. Considerações Sobre Sistemas Hamiltonianos. Neste capítulo, estudaremos alguns fatos sobre sistemas hamiltonianos que serão usados na abordagem do problema no Capítulo 3.. 2.1 Variedades Simpléticas Definição 2.1.1. Uma variedade simplética é um par (M, ω ), onde M é uma variedade C∞ e ω é uma 2−forma diferencial fechada e não-degenerada sobre M . Como ω é bilinear e não-degenerada em cada espaço tangente, então, para cada p ∈ M, obtemos um isomorfismo: L : Tp M −→ Tp∗ M, v 7−→ L · v = ω (−, v). Fixado um sistema de coordenadas ϕ (p) = (x1 (p), · · · , xn (p)) num aberto U de M temos a base ∂ ∂ ,··· , em Tp M ∂ x1 ∂ xn e sua dual dx1 , · · · , dxn em Tp∗ M. Se L = (Li j ) é a matriz de L nestas bases, isto é, L· obtemos. ∂ = Li j dxi , ∂xj ∑ i. ∂ ∂ ∂ ∂ Li j = L · · =ω , . ∂xj ∂ xi ∂ xi ∂ x j 15.

(34) 16. INTRODUÇÃO. Assim, a matriz L é anti-simétrica e como L é um isomorfismo, esta matriz é invertível. De LT = −L, obtemos det L = (−1)n det L, donde concluímos que n é par. Isso mostra que toda variedade simplética tem dimensão par. Se u = ∑ ui ∂∂xi e v = ∑ v j ∂∂x j são vetores em Tp M, então ∂ ∂ ω (u, v) = ∑ ui v j ω , = ∑ Li j ui v j , ∂ xi ∂ x j i, j i, j isto é, nas coordenadas U = (u1 , · · · , un ) e V = (v1 , · · · , vn ), temos. ω (u, v) = U T LV.. (2.1). Exemplo 2.1.2. O exemplo padrão de uma variedade simplética é o espaço R2n com a forma simplética canônica ω dada pela matriz L = J ,onde, ! 0 I J= , −I 0. sendo I a matriz identidade n × n. Assim, para X ,Y ∈ R2n , temos ω (X ,Y ) = X T JY.. (2.2). Exemplo 2.1.3. Outro exemplo importante da ocorrência natural de uma variedade simplética é o fibrado cotangente P = T ∗ M de uma variedade C∞ . Define-se em P uma 1−forma diferencial canônica, da seguinte maneira: Dado (p, q) ∈ T ∗ M, com p ∈ M e q ∈ (TpM)∗ , fazemos θ(p,q) · v = q(Dπ (p, q) · (v)),. onde v ∈ T(p,q) (T ∗ M), π : T ∗ M → M é a projeção e Dπ (p, q) : T(p,q) (T ∗ M) → Tp M é a sua derivada. Agora definimos em T ∗ M uma 2−forma ω fazendo: ω = −d θ . Dada uma variedade simplética (M 2n , ω ), dizemos que um sistema de coordenadas. ϕ (p) = (x1 (p), · · · , x2n (p)) ∂ ∂ é canônico se, para cada ponto do domínio de ϕ , a matriz L = ω ∂ xi , ∂ x j é a matriz. simplética padrão J.. É um teorema devido a G. Darboux que na vizinhança de qualquer ponto existe um sistema canônico de coordenadas. Assim, localmente, uma variedade simplética é o R2n com a forma simplética padrão. Ver [7]..

(35) 17. INTRODUÇÃO. 2.2 Sistemas Hamiltonianos Definição 2.2.1. Um Sistema Hamiltoniano é uma terna (M, ω , H), onde (M, ω ) é uma variedade simplética e H ∈ C∞ (M). A função H é chamada o Hamiltoniano ou energia total do sistema. O campo de vetores XH definido pela condição. ω (XH ,Y ) = dH(Y ), para todo campo Y em M,. (2.3). é chamado o campo Hamiltoniano do sistema, e seu fluxo ϕtXH é o fluxo Hamiltoniano. Proposição 2.2.2. Se λ , G ∈ C∞ (M), então: Xλ G = λ XG + GXλ . Prova:. ω (Xλ G ,Y ) = d λ G(Y ) = λ dG(Y ) + Gd λ (Y ) = = λ ω (XG ,Y ) + Gω (Xλ ,Y ) = ω (λ XG + GXλ ,Y ), para todo Y. Como ω é não-degenerada, Xλ G = λ XG + GXλ .. As curvas integrais do campo XH , σ (t) = ϕtXH (p), p ∈ M, são caracterizadas pela condição. σ ′ (t) = XH (σ (t)),. σ (0) = p.. No R2n com a forma simplética padrão (2.2) e o produto interno Euclideano h , i, a equação (2.3) é escrita na forma XHT JY = h∇H,Y i,. para todo Y,. e como XHT JY = hXH , JY i = hJ T XH ,Y i = hJ −1 XH ,Y i, concluímos que hJ −1 XH ,Y i = h∇H,Y i, para todo Y ∈ R2n , logo XH = J∇H.. (2.4).

(36) 18. INTRODUÇÃO. Assim, a equação que define as curvas integrais de XH é X˙ = J∇H(X ),. (2.5). ou, reescrevendo os pontos de R2n na forma X = (x, y) ∈ Rn × Rn , x˙ = Hy,. y˙ = −Hx ,. (2.6). onde Hx e Hy são os gradientes de H em relação a x(mantendo y fixo) e em relação a y(mantendo x fixo). A equação (2.5) ou as equações (2.6) são as equações Hamiltonianas definidas pela função Hamiltoniana H = H(x, y). Assim, um sistema Hamiltoniano é definido num aberto de R2n em termos de coordenadas (x1 , . . ., xn , y1 , . . . , yn ) por x˙j =. ∂H , ∂yj. y˙j = −. ∂H ∂xj. ( j = 1, · · · , n),. (2.7). onde H = H(x1 , . . ., xn , y1 , . . . , yn ). Definição 2.2.3. O Colchete de Poisson de duas funções F, G : U → R diferenciáveis no aberto U ⊂ R2n é a função {F, G} definida por {F, G}(X ) = ∇F(X )T J∇G(X ),. X ∈ U.. Em coordenadas (x1 , . . ., xn , y1 , . . . , yn ), o Colchete de Poisson é dado por ∂F ∂G ∂G ∂F − . {F, G} = ∑ ∂ xi ∂ yi ∂ xi ∂ yi Se D(U ) é o espaço das funções diferenciáveis de U em R, a aplicação { , } : D × D −→ D,. (F, G) 7−→ {F, G}. é, claramente, bilinear e anti-simétrica. Observação 2.2.4. Ela também satisfaz a Identidade de Jacobi {{F, G}, H} + {{H, F}, G} + {{G, H}, F} = 0,. dando, assim, uma estrutura de Álgebra de Lie a D(U )..

(37) 19. INTRODUÇÃO. 2.3 Sistemas Hamiltonianos com Vínculos Consideremos a variedade simplética R2n com a forma simplética canônica. Sejam Gi : R2n → R, i = 1, 2..., 2m funções diferenciáveis e analisemos o conjunto M = {x ∈ R2n |Gi (x) = 0, i = 1, ..., 2m}. Proposição 2.3.1. Se {∇G1 , ..., ∇G2m } é L.I., então M é uma subvariedade de R2n cuja dimensão é 2n − 2m. Esta proposição é um corolário do seguinte teorema visto no curso de Análise no Rn : Teorema 2.3.2. Seja F : U −→ Rm uma função de classe Ck (k ≥ 1) definida no aberto U ⊂ Rn . Seja c ∈ Rm um valor regular de F , isto é, c é tal que, para todo p ∈ F −1 (c), a derivada DF(p) : Rn −→ Rm é sobrejetiva. Então, M = F −1 (c) é uma variedade diferenciável de Rn , de dimensão n − m e, para cada ponto p ∈ U , Tp M = ker DF(p). Prova:. Ver [8].. Proposição 2.3.3. A variedade M é simplética se e só se det({G j , Gk }) 6= 0. Prova:. Ver [10].. Dado um Hamiltoniano H : R2n −→ R, quando M ⊂ R2n é uma variedade simplética, temos que a função Hamiltoniana HM = H|M : M −→ R induz um campo Hamiltoniano XHM em M. Ocorre que XHM 6= XH |M , pois, em geral, o campo XH em R2n não é tangente à subvariedade M ⊂ R2n . Para, a partir de H obtermos um campo tangente a M, consideramos a função 2m. H ∗ = H − ∑ λ jG j,. (2.8). j=1. para certas funções λ j ∈ C∞ (R2n ), j = 1 · · · , 2m que serão determinadas precisamente para fazerem XH ∗ ser tangente a M. Para que isso aconteça, devemos ter, para todo k = 1, · · · , 2m, 0 = hXH ∗ , ∇Gk i..

(38) 20. INTRODUÇÃO. Agora, usando (2.4), podemos reescrever a última igualdade como 0 = hJ∇H ∗ , ∇Gk i. Usando (2.8) temos 2m 2m 2m 0 = J∇ H − ∑ λ j G j , ∇Gk = Gk , H − ∑ λ j G j = {Gk , H} − ∑ λ j {Gk , G j }. . j=1. j=1. j=1. (2.9). A última equação permite calcular os λ j , uma vez que, sendo M simplética (por hipótese), a Proposição 2.3.3 dá det({G j , Gk }) 6= 0. j, k = 1, · · · , 2m.. Teorema 2.3.4. O campo de vetores induzido pela função hamiltoniana (2.8) é o campo 2m. X. H∗. = XH − ∑ λ j (x)XG j .. (2.10). j=1. Prova:. Ver [2].. Definição 2.3.5. Denominamos a terna (M, J|M , H ∗ ) de sistema vinculado e o campo XH ∗ de campo vinculado à variedade simplética M . Exemplo 2.3.6. [Fluxo Geodésico na Esfera]. Seja S2 a esfera unitária em R3 . Consideremos as funções G1 , G2 : R6 −→ R dadas por G1 (x, y) = kxk2 − 1. e G2 (x, y) = hx, yi.. Podemos descrever o fibrado tangente de S2 como sendo M = T S2 = {(x, y) ∈ R6 |G1 (x, y) = G2 (x, y) = 0}.. Como { , } é uma aplicação anti-simétrica, temos {G1 , G1 } = {G2 , G2 } = 0.. Calculemos agora {G1 , G2 }..

(39) 21. INTRODUÇÃO. Temos ∇G1 (x, y) = (2x, 0) e ∇G2 (x, y) = (y, x). Assim. {G1 , G2 } = ∇GT1 J∇G2 =. . 2x 0. 0. . I. −I 0. !. y x. !. = 2kxk2 = 2 = −{G2 , G1 }. (2.11). Portanto det. {G1 , G1 } {G1 , G2 } {G2 , G1 } {G2 , G2 }. !. 0. =. 2. −2 0. !. = 4 6= 0,. para todo x ∈ M.. Assim, pelo discutido acima, a estrutura simplética canônica de R6 induz uma estrutura simplética em M . Pela Segunda Lei de Newton, o movimento de uma partícula livre em R6 , não sujeita à ação de qualquer campo de forças, é descrito pela equação x¨ = 0, ou equivalentemente, pelas equações Hamiltonianas ( x˙ = y y˙ = 0,. associadas ao Hamiltoniano H(x, y) =. kyk2 2 .. Portanto, o fluxo geodésico em R6 é o fluxo do campo Hamiltoniano XH , com H(x, y) = kyk2 2 . Consideremos, então, o sistema vinculado (M, J|M , XH ∗ ), onde H ∗ = H − λ 1 G1 − λ 2 G2 =. kyk2 − λ1 (kxk2 − 1) − λ2 hx, yi. 2. Determinamos λ1 e λ2 usando (2.9). Temos 0 = {G1 , H − λ1 G1 − λ2 G2 } = {G1 , H} − λ2 {G1 , G2 } 0 = {G2 , H − λ1 G1 − λ2 G2 } = {G2 , H} − λ1 {G2 , G1 }. Portanto, λ2 =. {G1 , H} {G1 , G2 }. e λ1 = −. {G2 , H} . {G1 , G2 }. e. (2.12).

(40) 22. INTRODUÇÃO. Já sabemos que {G1 , G2 } = 2 e {G2 , G1 } = −2. Calculemos {G1 , H} e {G2 , H}. Como ∇H = (0, y) temos. {G2 , H} =. {G1 , H} =. Portanto, λ1 =. −kyk2 2. . . y x. 2x 0. . 0. I. −I 0 0. I. −I 0. !. 0. !. 0. y. y. !. = kyk2 .. !. = 2hx, yi.. e λ2 = hx, yi = 0.. Assim, de (2.12), temos H ∗ (x, y) =. kyk2 kyk2 kxk2 kyk2 kxk2 kyk2 kyk2 − λ1 (kxk2 − 1) − λ2 hx, yi = − + = . 2 2 2 2 2. Logo, as equações para o fluxo geodésico na esfera S2 são: ( x˙ = Hy∗ = kxk2 y = y y˙ = −Hx∗ = −kyk2 x.. (2.13). Exemplo 2.3.7. [Pêndulo Esférico]. Seja e3 o terceiro vetor da base canônica do R3 , e consideremos o movimento de uma partícula de massa 1, sujeita à ação do campo gravitacional F = µ e3 (movimento em queda livre). Escolhamos convenientemente as unidades de modo que µ = 1. Tal movimento é descrito pelo Hamiltoniano H : T R3 −→ R dado por H(x, y) =. kyk2 + hx, e3 i. 2. Suponhamos agora que a partícula move-se apenas em S2 (pêndulo esférico). Usando as mesmas funções G1 e G2 do exemplo anterior, então o Hamiltoniano do sistema vinculado é kyk2 H ∗ = H − λ 1 G1 − λ 2 G2 = + hx, e3 i − λ1 (kxk2 − 1) − λ2 hx, yi. (2.14) 2 Impondo as condições dadas em (2.9) temos.

(41) 23. INTRODUÇÃO. λ2 =. {G1 , H} {G1 , G2 }. e λ1 = −. {G2 , H} . {G1 , G2 }. Já sabemos que {G1 , G2 } = 2 e {G2 , G1 } = −2. Calculemos {G1 , H} e {G2 , H}. Como ∇H = (e3 , y) temos. {G2 , H} =. . y x. {G1 , H} =. Portanto, λ1 =. −kyk2 +hx,e3 i 2. . . 2x 0. 0. I. −I 0. . 0. !. e3 y I. −I 0. !. !. = kyk2 − hx, e3 i.. e3 y. !. = 2hx, yi.. e λ2 = hx, yi = 0.. Assim, de (2.14), temos H ∗ (x, y) =. kyk2 kyk2 kyk2 3 kxk2 (kyk2 − hx, e3 i) − λ1 (kxk2 −1)− λ2 hx, yi = − + hx, e3 i+ = 2 2 2 2 2 3 kxk2 (kyk2 − hx, e3 i) = hx, e3 i + . 2 2. Logo, as equações para o movimento restrito à esfera S2 são:   x˙ = Hy∗ = kxk2 y = y e 3 ∗ 2 3  y˙ = −Hx = − 2 e3 + x(kyk − hx, e3 i) − 2 = −(hx, Fi + kyk2 )x + F.. (2.15).

(42)

(43) C APÍTULO 3. O Problema. 3.1 Descrição do Problema Seja Sρ a esfera de raio ρ em R3 , p ∈ Sρ , e consideremos a superfície M = ∑ε obtida da esfera por meio de uma perturbação radial: p p 3 , M := x ∈ R |x = ρ + ετ ρ ρ onde τ : S1 → R é uma função diferenciável.

(44)

(45)

(46)

(47) x Como se x ∈ M, então ||x|| =

(48)

(49) ρ + ετ ( ||x|| )

(50)

(51) . Desde que τ é diferenciável, é possível escolher ε suficientemente pequeno de modo que ρ + ετ seja positivo, e assim teremos x ||x|| = ρ + ετ . ||x|| x q = ( ||x|| ) ∈ S1 ,. Definindo as funções . x G1 (x, y) = ||x|| − ρ − ετ ||x||. . e. G2 (x, y) =< ∇x G1 (x, y), y >, o fibrado tangente à variedade M é dado por T M := {(x, y) ∈ R6 |G1 (x, y) = 0, G2 (x, y) = 0}. Consideremos o hamiltoniano das geodésicas de R6 , H(x, y) = capítulo anterior, como ! 0 I {G1 , G2 } = (∇G1 )T J∇G2 = ∇x G1 0 −I 0 25. ||y||2 2 .. De acordo com o. ∇x G2 ∇y G2. !. =.

(52) 26. INTRODUÇÃO. =. . 0 ∇x G1. ∇x G2. . ∇y G2. !. = ||∇x G1 (x, y)||2 > 0,. T M é uma variedade simplética, pela Proposição (2.3.3). Além disso, o Hamiltoniano das geodésicas de T M é dado por H ∗ = H − λ 1 G1 − λ 2 G2 , onde λ1 e λ2 são determinados pelas condições {G1 , H ∗ } = {G2 , H ∗ } = 0. O fluxo das equações em R6 = R3 × R3 , ( x˙ = Hy∗. (3.1). y˙ = −Hx∗ ,. deixa T M invariante. As geodésicas de M são as soluções destas equações restritas às condições G1 (x, y) = 0 e G2 (x, y) = 0. Se denotarmos por ϕ (t, x, y; ε ) o fluxo das equações (3.1), então ϕ (t, x, y; 0) = ϕ0 (t, x, y) = (x0 (t), y0(t) é o fluxo geodésico na esfera, logo: kyk x kyk y x0 (t) = kxk cos t + sen t , (3.2) kxk kxk kxk kyk. y0 (t) =. . . kyk x kyk y t + kyk cos t . − kyk sen kxk kxk kxk kyk. O período de ϕ0 (t, x, y, ) é T (x, y) =. 2π kxk kyk .. (3.3). O problema que queremos resolver é:. Existe solução x = x(ε ), y = y(ε ) para a equação. ϕ (T (x, y), x, y; ε ) = (x, y)? (3.4). 3.2 Cálculo das Equações O objetivo desta seção é calcular explicitamente (em função de τ ) as equações (3.1). Comecemos com as expressões de λ1 e λ2 ..

(53) 27. INTRODUÇÃO −<∇x G2 (x,y),y> ||∇x G1 (x,y)||2. Afirmação 3.2.1. λ1 =. e λ2 =. <∇x G1 (x,y),y> ||∇x G1 (x,y)||2. Prova: Sabemos que λ1 e λ2 são determinados pelas condições {G1 , H ∗ } = {G2 , H ∗ } = 0. Assim, temos: 0 = {G1 , H ∗ } = {G1 , H} − λ1 {G1 , G1 } − λ2 {G1 , G2 }. Logo. λ2 =. {G1 , H} . {G1 , G2 }. Analogamente 0 = {G2 , H ∗ } = {G2 , H} − λ1 {G2 , G1 } − λ2 {G2 , G2 } Portanto. λ1 =. {G2 , H} . {G2 , G1 }. Agora {G1 , H} =. . ∇x G1 0. . 0. −I 0. {G2 , H} =. =. . I. . !. 0 y. !. ∇x G2 ∇y G2. −∇x G1 ∇x G2. . =. . 0. 0 y. 0 ∇x G1. I. −I 0 !. !. 0. . y 0 y. !. !. = h∇x G1 (x, y), yi.. =. = h∇x G2 (x, y), yi.. {G1 , G2 } = ||∇x G1 (x, y)||2 . Portanto,. λ1 = λ2 =. − < ∇x G2 (x, y), y > , ||∇xG1 (x, y)||2. < ∇x G1 (x, y), y > G2 (x, y) = . 2 ||∇x G1 (x, y)|| ||∇x G1 (x, y)||2. Em T M, temos G1 = G2 ≡ 0, logo λ2 = 0. Assim, o campo hamiltoniano em T M é: XH ∗ = XH − λ1 XG1 − G1 Xλ1 − λ2 XG2 − G2 Xλ2 = XH − λ1 XG1 ..

(54) 28. INTRODUÇÃO. Além disso, Hx∗ = Hx − λ1x G1 − λ1 G1x − λ2x G2 − λ2 G2x = Hx − λ1 G1x . Hy∗ = Hy − λ1y G1 − λ1 G1y − λ2y G2 − λ2 G2y = Hy. Portanto, as equações em T M são dadas por: ( x˙ = Hy∗ = Hy = y,. y˙ = −Hx∗ = −Hx + λ1 G1x = λ1 G1x .. (3.5). Pasemos agora ao cálculo efetivo de λ1 e G1x . x , temos: Como G1 (x, y) = ||x|| − ρ − ετ ||x|| hx, vi x x − ε Dτ Dx G1 (x, y) · v = · D ·v . kxk kxk kxk Portanto, h∇x G1 (x, y), vi = Assim, obtemos. Agora,. . x x T x ,v −ε D ∇τ ,v . kxk kxk kxk. x T x x ∇x G1 (x, y) = − εD ∇τ . kxk kxk kxk. (3.6). xhx,vi kxk · v − kxk x 1 hx, vix 1 1 D ·v = = v − = (v − Proj v) = Projx⊥ v. x kxk kxk2 kxk kxk2 kxk kxk x Observemos que D kxk é uma aplicação simétrica, pois:. . Assim,. x 1 1 D · v, w = hv, wi − hx, vihx, wi = kxk kxk kxk3 1 1 x = hw, vi − hx, wihx, vi = D · w, v . kxk kxk3 kxk . x D kxk. T. . x =D kxk. . =. 1 Projx⊥ . kxk.

(55) 29. INTRODUÇÃO. Portanto, chegamos a: x 1 x ∇x G1 (x, y) = −ε Projx⊥ ∇τ . kxk kxk kxk. (3.7). Da equação acima, tiramos:. 2 1 x . . k∇x G1 (x, y)k = 1 + ε Projx⊥ ∇τ kxk2 kxk 2. 2. (3.8). Para o cálculo de λ1 , precisamos de (∇x G2 (x, y) · y). Comecemos notando que ∇x G2 (x, y) · v = hDx ∇x G1 (x, y) · v, yi Portanto, precisamos encontrar Dx ∇x G1 (x, y) · v. Derivando(em relação a x) a expressão (3.6) temos: x 1 x 1 x D ·v−ε D · v Projx⊥ ∇τ + Projx⊥ D ∇τ ·v . kxk kxk kxk kxk kxk Agora . . x x x D ∇τ · v = D∇τ · D ·v = kxk kxk kxk x 1 1 x · Projx⊥ v = D∇τ · Projx⊥ v. = D∇τ kxk kxk kxk kxk E ainda. . 1 hx, vi . D ·v = − kxk kxk3. Portanto, Dx ∇x G1 (x, y) · v = 1 1 hx, vi x x = Projx⊥ v − ε − Projx⊥ ∇τ + Projx⊥ D∇τ · Projx⊥ v = kxk kxk3 kxk kxk2 kxk 1 hx, vi x 1 x = Projx⊥ v + ε ∇τ − D∇τ · Projx⊥ v . kxk kxk2 kxk kxk kxk . Assim, o termo procurado é: h∇x G2 (x, y), yi = Dx G2 (x, y) · y = hDx ∇x G1 (x, y) · y, yi =.

(56) 30. INTRODUÇÃO. 1 hx, yi x 1 x = hProjx⊥ y, yi+ ε Projx⊥ ∇τ ,y − Projx⊥ D∇τ ·Projx⊥ y , y . kxk kxk3 kxk kxk2 kxk De (3.8) temos: 1 = k∇x G1 (x, y)k2. 1. 2 =. 1 x. 1 + ε 2 kxk 2 Projx⊥ ∇τ kxk . 2. x 1 Proj ⊥ ∇τ + O(ε 4 ). = 1−ε x. 2 kxk kxk 2. Assim:. − < ∇x G2 (x, y), y > 1 =− hProjx⊥ y, yi + ε Q(x, y) + O(ε 2 ), 2 ||∇x G1 (x, y)|| kxk hx,yi x x 1 onde Q(x, y) = − kxk2 kxk Projx⊥ ∇τ kxk , y − Projx⊥ D∇τ kxk ·Projx⊥ y , y .. λ1 =. Como Projx⊥ y = y − hx,yi x, podemos reescrever λ1 da seguinte maneira: kxk2. λ1 = −. kyk2 hx, yi2 + + ε Q(x, y) + O(ε 2 ). kxk kxk3. Agora usamos (3.7) para calcular λ1 ∇x G1 (x, y) = kyk2 hx, yi2 x kyk2 x hx, yi2 x =− x+ x+ ε Q(x, y) + Projx⊥ ∇τ − Projx⊥ ∇τ +O(ε 2 ) = kxk2 kxk4 kxk kxk2 kxk kxk4 kxk 1 2 2 2 = hx, yi − kxk kyk x + ε P(x, y) + O(ε 2 ). kxk4 Logo, as equações (3.5) ficam:   x˙ = y 1 2 2 2  y˙ = 4 hx, yi − kxk kyk x + ε P(x, y) + O(ε 2 ) kxk. (3.9). Observação 3.2.2. Na esfera unitária, temos ε = 0, hx, yi = 0 e kxk = 1. Neste caso, as equações (3.9) ficam: ( x˙ = y, y˙ = −kyk2 x,. que são as já conhecidas equações das geodésicas da esfera.[Deduzidas no Exemplo (2.3.6).].

(57) 31. INTRODUÇÃO. 3.3 Aplicação da Técnica de Bifurcação O sistema (3.9) é um sistema da forma (1.1) com 1 2 2 2 f (x, y) = y, hx, yi − kxk kyk x kxk4. e. g(x, y) = (0, P(x, y)).. Logo, para montarmos o sistema com coeficientes periódicos (1.14), precisamos calcular D f (ϕ (t, x, 0)), onde ϕ (t, x, 0) é o fluxo geodésico na esfera dado em (3.2) e (3.3), ou seja, se ϕ (t, x, 0) = (x0 (t), y0(t)), então: . kyk x kyk y x0 (t) = kxk cos t + sen t , kxk kxk kxk kyk y0 (t) =. . . (3.10). x kyk y kyk t + kyk cos t . − kyk sen kxk kxk kxk kyk . (3.11). Calculando a derivada e aplicando no fluxo não-perturbado, temos ky0 k2 2hx0 , ξ i 2hy0 , η i D f (x0 , y0 ) · (ξ , η ) = η , − x0 − x0 . ξ− kx0 k2 kx0 k2 kx0 k2 Mas kx0 k = kxk e ky0 k = kyk. Portanto, o sistema homogêneo associado a (1.14) fica:   ξ˙ = η , (3.12) 2 kyk 2 2 2  η˙ = − 2 ξ + 4 kyk hx0 , ξ i − kxk hy0 , η i x0 kxk kxk O sistema acima é um sistema linear com coeficientes periódicos. Buscaremos uma mudança de coordenadas que seja uma Transformação de Floquet, ou seja, que transforme (3.12) em um sistema com coeficientes constantes. Dado (x, y) ∈ T S(fibrado tangente da esfera de raio ρ ), consideremos o seguinte referencial ortonormal em R3 : x y x y F= , ,e = × . kxk kyk kxk kyk Seja R(t) a rotação em torno de e, pelo ângulo. kyk kxk t,. no sentido de. x kxk. para. y kyk ,. ou seja.

(58) 32. INTRODUÇÃO.  kyk kyk y x x   R(t) · kxk = cos kxk t kxk + sen kxk t kyk    kyk kxk t. y = − sen R(t) · kyk      R(t) · e = e.. x kxk. + cos. kyk kxk t. y kyk. (3.13). Observação 3.3.1. Note que R(t)x = x0 (t) e R(t)y = y0 (t). Consideremos a seguinte mudança de coordenadas ( ξ = R(t)u. η = R(t)v. (3.14). Usando a primeira das equações (3.11), temos ˙ = ξ˙ = η = Rv. Ru˙ + Ru Logo ˙ + v = −Σu + v, u˙ = −R−1 Ru ˙ Agora onde Σ = R−1 R. y kyk x ˙ = 0. = y0 (t), R˙ =− x0 (t) e R(e) R˙ kxk kyk kxk Portanto . y kyk −1 kyk = R y0 (t) = y e Σ =− R x0 (t) = − x. kyk kxk kxk kyk y x Observação 3.3.2. Σ atua na base fixa kxk , kyk , e levando-a nos vetores fixos y, − kxk x, 0. x Σ(e) = 0, Σ kxk. . −1. . Logo, Σ é independente de t . Ela é, na verdade, uma matriz anti-simétrica constante. Pela segunda equação em (3.12), temos 2 kyk 2 2 2 ˙ = η˙ = − Rv˙ + Rv R(u) + kyk hx0 , Rui − kxk hy0 , Rvi Rx. kxk2 kxk4 Assim. kyk2 2 2 2 v˙ + Σv = − u+ kyk hx, ui − kxk hy, vi x. kxk2 kxk4.

(59) 33. INTRODUÇÃO. Portanto, o sistema (3.12) é transformado em   u˙ = −Σu + v 2 kyk 2 2 2  v˙ = −Σv − 2 u + 4 kyk hx, ui − kxk hy, vi x, kxk kxk. (3.15). que é um sistema linear com coeficientes constantes.. Escrevendo u e v em coordenadas na base F e denominando W = (u, v), reescrevemos (3.15) como ˙ = AW, W onde. . 0. kyk kxk. 0. 1. 0.  kyk  − 0 0 0 1  kxk   0 0 0 0 0  A =  kyk2 kyk  kxk2 0 0 0 − kxk  2   0 0 − kyk 0 − kyk kxk kxk2  2 kyk 0 0 − kxk2 0 0. 0. .  0    1    0    0   0. No cálculo da solução de (3.15), mostrou-se útil fazer uma segunda mudança de coordenadas W = P(Z). O fluxo do sistema na varíavel Z = (z1 , . . . , z6 ) foi então determinado como sendo kyk kyk kyk2 2 kyk i kxk t −i kyk t kxk z1 t + z2 , − z1 t − 2 z2 t + z3 , z4 , e ψ (t, Z) = z1 , z5 , e z6 . kxk kxk2 kxk Voltando às variáveis (ξ , η ), temos que a matriz fundamental do sistema (3.12) é X (t) = R(t)PZ(T ), sendo Z(t) é a matriz fundamental do sistema Z˙ = BZ, onde B = P−1 AP. Pela Fórmula da Variação dos Parâmetros, concluímos que Dε ϕ (T (x, y), x, y; 0) = X (T (x, y)). Z T (x,y). X −1 (s)g(s)ds.. 0. kyk Fazendo os cálculos, denominando a = kxk , b = kxk kyk , 1 x0 A = D∇τ · y0 , y0 kxk3 kxk. (3.16).

(60) 34 e. INTRODUÇÃO. . . . x0 V = A (kxk cos(at), kxk sen (at), 0 + a Projx⊥ ∇τ 0 kxk. temos. . 2. . ,. h(b cos(at), b sen (at), 0), V i.   b b − cos(at)t + 2 sen (at), − 2 cos(at) − sen (at)t, 0 , V        h(−a cos(at)t 2 + sen (at)t − b cos(at), −a sen (at)t 2 − cos(at)t − b sen (at), 0), V i      b b − 2 sen (at), 2 cos(at), 0 , V X −1 (t)g(t) =       b −iat  0, 0, 2i e ,V       −b iat 0, 0, 2i e ,V   (3.17). Integrando (3.17) e substituindo em (3.16), teríamos Dε ϕ (T, x, y; 0). Estaríamos assim em condições de verificar a aplicabilidade do Segundo Método de bifurcação. Para calcular a integral em (3.17), poderíamos escolher uma função τ específica e assim encontrar A e V , ou buscar propriedades da função τ que tornassem possível a aplicação do método de maneira conclusiva. Esse é o passo seguinte a esta dissertação.. .               .              .

(61) Referências Bibliográficas. [1] Cabral, H. E., Equações Diferencias Ordinárias, Notas de Curso, UFPE, 2000. [2] Deift, P., Lund, F. e Trubowitz, E., Nonlinear Wave Equations and Constrained Harmonic Motion, Commun. Math. Phys. 74, 141-188(1980). [3] Do Carmo, M. P., Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, N.Jersey , 1976. [4] Duistermaat, J.J., On Periodic Solutions near Equilibrium Points of Conservative Systems, Rational Mech. Anal., vol. 45, 143-160(1972). [5] Friederich, K. O., Lectures on Advanced Ordinary Differential Equations, N.Y., 1956. [6] Hirsch, M. W. e Smale, S., Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press, N.Y., 1974. [7] Lang, S., Differential Manifolds., Adisson-Wesley Series in Mathematics, 1972. [8] Lima, E. L., Curso de Análise, Vol. 2, IMPA, R.J., 1981. [9] Meyer, K. R. e Hall, G.R., Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and N-Body Problem, Springer-Verlag, N.Y., 1995. [10] Oliveira, A. V., Sistemas Integráveis, Tese de Mestrado, UFPE, 2003.. 35.

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(63) Este volume foi tipografado em LATEX na classe UFPEThesis (www.cin.ufpe.br/~paguso/ufpethesis)..

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