Novas Configurações de Antenas, Filtros e FSS
com Fractais de Fuga no Tempo para
Aplicações em Microondas e Ondas
Milimétricas
Diego Ramalho Minervino
Orientador: Prof. Dr. Adaildo Gomes D’Assunção
Tese de Doutorado apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação da UFRN (área de concentração: Telecomunicações) como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Ciências.
Número de ordem PPgEEC: D209
Natal, RN, dezembro de 2017
Minervino, Diego Ramalho.
Novas configurações de antenas, filtros e FSS com fractais de fuga no tempo para aplicações em microondas e ondas milimétricas / Diego Ramalho Minervino. - 2017.
110 f.: il.
Tese (doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação. Natal, RN, 2019. Orientador: Prof. Dr. Adaildo Gomes D'Assunção.
1. Microfita - Tese. 2. Filtros - Tese. 3. Antenas - Tese. 4. FSS - Tese. 5. Microondas - Tese. 6. Ondas milimétricas - Tese. I. D'Assunção, Adaildo Gomes. II. Título.
RN/UF/BCZM CDU 621.396.67
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede
A minha mãe, Fátima, por nunca
ter perdido a fé em mim.
"Nenhum homem realmente
produtivo pensa como se estivesse
escrevendo uma dissertação."
Agradecimentos
À Deus, por tudo.
Ao professor Adaildo Gomes D’Assunção, pela orientação, amizade, paciência, colaboração, respeito, carinho e sugestões para o desenvolvimento deste trabalho. Ao professor Custódio Peixeiro, junto ao IST (Instituto Superior Técnico – Lisboa, PT) pela colaboração, amizade e sugestões para a pesquisa.
Ao professor Paulo Henrique (IFPB), pela amizade e por acreditar em meu potencial e me incentivar a entrar na pós-graduação.
Ao professor Alfredo Gomes Neto (IFPB), pela amizade e por me indicar a pós-graduação.
Ao professor Adaildo Jr. Pela amizade e apoio nas medições.
À minha mãe, Fátima, pelo amor, apoio incondicional, incentivo, compreensão e paciência nos difíceis momentos.
A minha amiga e irmã (consideração), Albanisa, pela ajuda, diversão, apoio, amizade e companheirismo.
Também agradeço aos funcionários do IST, Carlos Brito, António Almeida e Jorge Farinha pela amizade, respeito e por terem me ajudado a construir e medir os protótipos do trabalho.
Resumo
Neste trabalho são investigadas e propostas novas configurações de dispositivos e circuitos de micro-ondas e ondas milimétricas, com configurações fractais de fuga no tempo, como os Conjuntos de Julia e Mandelbrot, que são estruturas definidas por uma relação de recorrência de cada ponto no espaço. Especificamente, será investigada a distribuição das correntes nas superfícies dos elementos condutores de filtros, antenas planares e superfícies seletivas em frequência (FSS) com as geometrias fractais consideradas, para aplicações tanto em sistemas de comunicações sem fio (wireless communication systems), como em sistemas de comunicações em ondas milimétricas, na faixa de frequência entre 0,7 a 30 (GHz). Foram consideradas estruturas planares de transmissão como as linhas de microfita e o coplanar waveguide (CPW), no desenvolvimento de filtros e antenas com geometrias euclidianas e fractais para aplicações em micro-ondas e ondas milimétricas. A opção por estruturas de linhas de microfita para o desenvolvimento de novas configurações de antenas e filtros se justifica pela larga aplicação dessas linhas de transmissão, resultando sempre na fabricação de circuitos planares com estruturas leves, de dimensões reduzidas, de baixo custo, fáceis de construir e, principalmente, fáceis de integrar com outros circuitos de micro-ondas e ondas milimétricas. O grande interesse em relação às aplicações na faixa de ondas milimétricas está associado ao crescimento da utilização nas bandas L e S, a velocidade de transmissão entre circuitos, sistemas de comunicações sem fio e na redução dos componentes para a utilização em comprimentos de micro-ondas e ondas milimétricas. Inicialmente, o estudo das configurações de fractais de fuga no tempo foi voltado para aplicações em micro-ondas em antenas alimentadas por cabo coaxial e CPW. Por fim, foram realizadas simulações, medições e construções dos protótipos de antenas, filtros e FSSs com propósito de validar o trabalho realizado nesta tese de doutorado.
Palavras chaves: Microfita, filtros, antenas, CPW, FSS, micro-ondas, ondas
Abstract
In this work, new configurations of devices and circuits of millimeter waves and microwaves with fracturing configurations of escape-time are investigated and proposed, such as the Julia and Mandelbrot sets, which are structures defined by a recurrence relation of each point in space. Specifically, it will be investigated the distribution of currents on the surfaces of filter conductors, planar antennas and frequency selective surfaces (FSS) with the considered fractal geometries, for applications in both wireless communication systems and systems in millimeter waves, in the frequency range between 0.7 and 30 (GHz). Transmission planar structures such as the microstrip lines and the coplanar waveguide (CPW) were considered in the development of filters and antennas with Euclidean and fractal geometries for microwave and millimeter wave applications. The choice of microstrip line structures for the development of new antenna and filter configurations is justified by the wide application of these transmission lines, always resulting in the manufacture of flat circuits with small structures, low cost, easy to construct and especially easy to integrate with other microwave and millimeter wave circuits. The great interest in applications in the millimeter wave range is associated to the growth of the use in the L and S bands, the speed of transmission between circuits, wireless communications systems and the reduction of components for use in wavelengths and millimeter waves. Initially, the study of time-fracturing fracturing was focused on microwave applications in antennas fed by coaxial cable and CPW. Finally, simulations, measurements and constructions of prototypes of antennas, filters and FSSs were carried out to validate the work done in this doctoral thesis.
Sumário
Lista de Figuras ... i
Lista de Tabelas ... vii
Lista de Símbolos e Abreviaturas ... x
Capítulo 1 Introdução ... 11 Capítulo 2 Fractais ... 16 2.1 – Conjuntos de Mandelbrot ... 19 2.2 – Conjuntos de Julia ... 24 2.3 – Conclusão ... 27 Capítulo 3 Filtros ... 28 3.1 – Filtros de microfita ... 30 3.2 – Conclusão ... 34 Capítulo 4 Antenas ... 35 4.1 – Tipos de antenas ... 36 4.2 – Parâmetros de antenas ... 38 4.3 – Antenas de microfita ... 47 4.4 – Patch circular ... 49 4.5 – Conclusão ... 59
Capítulo 5 Superfícies Seletivas em Frequência ... 60
5.1 – Abordagens teóricas ... 62
5.2 – Conclusão ... 66
Capítulo 6 Resultados Teóricos e Experimentais ... 67
6.1 – Filtros... 68
6.4 – Conclusão ... 95
Capítulo 7 Conclusão ... 97 Referências Bibliográficas ... 99
i
Lista de Figuras
Figura 2.1 - Fractal de Koch: (a) curvas de Koch e (b) Floco de Neve de Koch ... 17 Figura 2.2 - Conjunto de Cantor ... 18 Figura 2.3 - Triângulos de Sierpinski ... 18 Figura 2.4 - Conjunto de Mandelbrot: pontos não divergentes (preto), pontos divergentes (tons de azul) (imagem retirada de um programa gratuito Fraqtive - https://fraqtive.mimec.org/). ... 20 Figura 2.5 - Conjunto de Mandelbrot com d = 2, n = 3 e uma matriz: (a) 10x10 e (b) 1000x1000 ... 21 Figura 2.6 - Conjunto de Mandelbrot com d = 2, n = 9 e uma matriz: (a) 10x10 e (b) 1000x1000 ... 21 Figura 2.7 - Conjunto de Mandelbtot e sua réplica em ad infinitum com zoom de 100 vezes. ... 22 Figura 2.8 - Conjunto de Mandelbrot com d = 2 e com número de iterações n: (a) n =1, (b) n = 2, (c) n = 5 e (d) n = 20. ... 23 Figura 2.9 - Conjunto de Mandelbrot com n = 20 iterações e níveis d: (a) d =2, (b) d = 5, (c) d = 10 e (d) d = 50. ... 23 Figura 2.10 - Conjunto de Julia cujos pontos: (a) não escapam para o infinito e (b) escapam para o infinito. ... 25 Figura 2.11 - Conjunto de Julia d = 2 e c = -0,7 com número de iterações n: (a) n =1, (b) n = 2, (c) n = 5 e (d) n = 20... 26 Figura 2.12 - Conjunto de Julia com c = 0,1 + 0,5i com n = 20 e níveis d: (a) d = 2, (b) d = 3, (c) d = 10 e (d) d = 50... 26 Figura 2.13 - Formação do conjunto de Julia com d = 2, c = 0.28+0.52i e: (a) matriz 10x10 e n = 20, (b) matriz 1000x1000 e n = 20 e (c) matriz 1000x1000 e n = 100. ... 27 Figura 3.1 - Tipos de filtros de microfita; (a) cascata, (b) série, (c) paralelo e (d) série-paralelo ... 30 Figura 3.2 - Linha de transmissão em microfita ... 31
(e) antena patch fractal. ... 37
Figura 4.2 - Antenas do tipo; (a) monolopos planares com patch circular, (b) arranjo de patches quadrados usando fractal de Peano, (c) arranjo linear 4x2, (d) arranjo linear tipo monopolo 2x1, (e) arranjo linear tipo monopolo 4x1 e (f) arranjo linear tipo monopólio 4x2 ... 38
Figura 4.3 - Diagramas de radiação; (a) bi dimensional e (b) tridimensional. ... 40
Figura 4.4 - Tipos de diagramas de radiação; (a) isotrópico, (b) direcional e (c) omni-direcional. ... 41
Figura 4.5 - Exemplo de uma antena com polarização circular: (a) razão axial (adimensional) e (b) S11 da antena com os pontos de polarização circular ... 45
Figura 4.6 - Patch de microfita ... 48
Figura 4.7 - Elementos geométricos para o patch; (a) circular, (b) quadrado, (c) retangular, (d) losango, (e) pentágono, (f) fractal de Julia com d = 3 e c = 0,5 + 0,51i, (g) fractal de Julia com d = 4 e c = 0,72 + 0,35i, (h) fractal de Julia com d = 5 e c = 0,66 + 0,13i, (i) fractal de Mandelbrot com d = 2, (j) fractal de Mandelbrot com d = 3 e (l) fractal de Mandelbrot com d = 4. ... 48
Figura 4.8 - S11 dos patches circular e dos fractais de Julia. ... 53
Figura 4.9 - Diagramas de radiação dos patches circular e Julia em: (a) = 0° e (b) = 90°. ... 54
Figura 4.10 - S11 dos patches circular e dos fractais de Mandelbrot ... 54
Figura 4.11 - Diagramas de radiação dos patches circular e Mandelbrot em: (a) = 0° e (b) = 90°. ... 55
Figura 4.12 - S11 das antenas patches circular e Mandelbrot ... 56
Figura 4.13 - Diagramas de radiação dos patches circular e Mandelbrot CPW em: (a) = 0° e (b) = 90°. ... 57
Figura 4.14 - Patch circular no topo, logo abaixo, da esquerda para direita, os fractais de Mandelbrot (2ª linha) e Julia (3ª linha) com d = 2, 3, 4, 5 e 6, respectivamente, e os modelos CPW com o patch circular e os fractais Mandelbrot com d = 4 e 5. ... 58
Figura 5.1 - Modelos de FSS; (a) tipo abertura e (b) tipo patch ... 60
Figura 5.2 - Exemplo de cascateamento de FSS. ... 61
Figura 6.1 - Filtro de Julia com c = -0,43x + 0,56iy em microfita no substrato de tecido (jeans) alimentado por cabo coaxial ... 69 Figura 6.2 - Resultado experimental do filtro da Figura 6.1 ... 69 Figura 6.3 - Filtro de Julia com c = -0,69x – 0,007iy em microfita no substrato de tecido (jeans) alimentado por cabo coaxial ... 70 Figura 6.4 - Resultado experimental do filtro da Figura 6.3 ... 70 Figura 6.5 - Filtro de Julia com c = -0,15x + 0,73iy em microfita no substrato de tecido (jeans) alimentado por linhas de microfita. ... 71 Figura 6.6 - Resultado experimental do filtro da Figura 6.5 ... 71 Figura 6.7 - Fotografias (a) Câmara anecóica (IST) e (b) antena fixada para medição do diagrama de radiação. ... 74 Figura 6.8 - Antena do tipo CPW com geometria circular para faixa de ondas milimétricas ... 75 Figura 6.9 - Resultado experimental da antena da Figura 6.8 ... 75 Figura 6.10 - Antena fractal de Julia (d = 3 e c = 0,5x + 0,42iy) alimentada por cabo coaxial ... 77 Figura 6.11 - Resultado experimental (S11) da antena da Figura 6.10 ... 78 Figura 6.12 - Resultado experimental do diagrama de radiação da antena da Figura 6.10, nas frequências de: (a) 9,04 GHz, (b) 17,58 GHz, (c) 19,75 GHz, (d) 23,55 GHz e (e) 25,69 GHz ... 79 Figura 6.13 - Antena fractal de Julia (d = 2 e c = -0,39x + 0,55iy) alimentada por cabo coaxial ... 80 Figura 6.14 - Resultado experimental (S11) da antena da Figura 6.13 ... 81 Figura 6.15 - Resultado experimental do diagrama de radiação da antena da Figura 6.13 na frequência de: (a) 21,5 GHz e (b) 24,2 GHz ... 81 Figura 6.16 - Antena fractal de Julia (d = 2 e c = -0,7x) alimentada por cabo coaxial .. 82 Figura 6.17 - Resultado experimental (S11) da antena da Figura 6.16... 83
Figura 6.18 - Resultado experimental do diagrama de radiação da antena da Figura 6.16 nas frequências em: (a) 11,2 GHz e (b) 18,9 GHz ... 83 Figura 6.19 - Antena fractal de Mandelbrot (d = 2 e n = 20) alimentada por cabo coaxial ... 84 Figura 6.20 - Resultado experimental (S11) da antena da Figura 6.19 ... 85
Figura 6.22 - Antena fractal de Mandelbrot (d = 4 e n = 20) alimentada por cabo coaxial ... 86 Figura 6.23 - Resultado experimental (S11) da antena da Figura 6.22 ... 87 Figura 6.24 - Resultado experimental do diagrama de radiação da antena da Figura 6.22 nas frequências de: (a) 15,8 GHz e (b) 27,2 GHz... 87 Figura 6.25 - Antena fractal de Mandelbrot (d = 3 e n = 20) alimentada por cabo coaxial ... 88 Figura 6.26 - Resultado experimental (S11) da antena da Figura 6.25 ... 89 Figura 6.27 - Resultado experimental do diagrama de radiação, na frequência 24,76 GHz, da antena da Figura 6.25 ... 89 Figura 6.28 - Superfície seletiva em frequência construída no tecido (brin) com geometria de Mandelbrot (d = 2 e n =20) do patch. ... 91 Figura 6.29 - Resultado experimental (S21) da FSS da Figura 6.28 ... 91 Figura 6.30 - Resultado experimental da FSS de Mandelbrot (d = 3 e n = 20), simulada e medida no tecido brin. ... 92 Figura 6.31 - Superfície seletiva em frequência construída no tecido (brin) com geometria de Mandelbrot (d = 4 e n = 20) do patch. ... 93 Figura 6.32 - Resultado experimental (S21) da FSS da Figura 6.31 ... 93 Figura 6.33 - Células das FSSs de Mandelbrot e suas respectivas orientações de polarização com: (a) d = 5 e (b) d = 6. ... 94 Figura 6.34 - Resultados simulados das FSSs de Mandelbrot (Figura 6.33) com d = 5 e d = 6 com estabilidade angular. ... 95
Lista de Tabelas
Tabela 4.1 - Dados calculados do patch circular com uso das equações aproximadas
(4.14 – 4.15) usando r = 2,2 e h = 0,51 mm ... 51
Tabela 4.2 - Dados simulados das antenas com geometrias circular e fractais de fuga no tempo ... 53
Tabela 6.1 - Dados simulados e medidos dos filtros ... 72
Tabela 6.2 - Dados da antena CPW circular ... 76
Tabela 6.4 - Dados S11 da antena fractal de Julia com d = 3 e c = 0,5x + 0,42iy ... 80
Tabela 6.5 - Dados da antena fractal de Julia com d = 2 e c = -0,39x + 0,55iy ... 82
Tabela 6.6 - Dados da antena fractal de Julia com d = 2 e c = -0,7x ... 84
Tabela 6.7 - Dados da antena fractal de Mandelbrot com d = 2 com n = 20. ... 86
Tabela 6.8 - Dados da antena fractal de Mandelbrot com d = 4 e n = 20 ... 88
Tabela 6.9 - Dados da antena fractal de Mandelbrot com d = 3 e n = 20. ... 90
x
Lista de Símbolos e Abreviaturas
permeabilidade magnética
BW bandwidth
CPW coplanar waveguide fc frequência de corte fr frequência de ressonância
FSS superfície seletiva em frequência h altura do substrato dielétrico
l comprimento da linha de transmissão MoM Método dos Momentos
P.H polarização horizontal P.V polarização vertical
r raio do círculo
R resistência
t espessura da camada de metalização da linha de microfita TEM transverse electromagnetic
TLM modelo de linha de transmissão W largura da linha de microfita Zc impedância do circuito
Zn Valor da iteração n dos fractais de fuga no tempo
n número de iterações dos fractais de fuga no tempo c pontos de iteração dos fractais de fuga no tempo d nível dos fractais de fuga no tempo
ε permissividade elétrica
εr permissividade elétrica relativa
εre permissividade elétrica efetiva
η impedância característica do meio
Capítulo 1
Introdução
O uso de fractais, em sistemas de telecomunicações, vem se tornando comum devido a sua característica geométrica de autosimilaridade, dimensões não-Euclidianas e perímetro infinito [1]-[14]. Essas características dos fractais, em telecomunicações, têm propriedades de aumentar o comprimento elétrico do dispositivo, fazendo com que o mesmo tenha redução de suas características de propagação, como a frequência. Essa característica faz com que o dispositivo seja miniaturizado, podendo chegar a 50% de redução ou mais [15]-[16].
Mandelbrot definiu fractal como "um sistema organizado para o qual a dimensão de Hausdorff-Besicovitch excede estritamente a dimensão topológica Euclidiana, cujas estruturas sejam auto-semelhantes, ou a dimensão de Hausdorff é igual a dimensão de Minkowski-Bouligand” [1]. Ou seja, na dimensão Euclidiana, os valores são inteiros, por exemplo, um ponto a dimensão é zero, uma linha a dimensão é um, e assim, sucessivamente. A dimensão fractal pertence aos números Reais, ou seja, uma dimensão fractal poderá ter um valor como 1,513, por exemplo [1]-[5]. Simplificando, o todo forma a parte e a parte forma o todo, ou ainda, a parte reflete o todo, assim como, o todo reflete a parte [1]-[5].
Os fractais podem ser denominados em três categorias principais. Estas categorias são determinadas pelo modo como o fractal é formado ou gerado, são elas [2]-[5]:
Os sistema de funções iteradas possuem uma regra fixa de substituição geométrica. Conjunto de Cantor, triângulo de Sierpinski, curva de Peano, floco de neve de Koch, curva do dragão de Harter-Heighway, T-Square, esponja de Menger, são alguns dos exemplos deste tipo de fractal.
Os fractais de fuga no tempo são fractais definidos por uma relação de recorrência em cada ponto do espaço (tal como o plano complexo). Exemplos deste tipo são os conjuntos de Mandelbrot e de Julia e o fractal de Lyapunov.
Os fractais aleatórios são gerados por processos estocásticos ao invés de determinísticos, por exemplo, terrenos fractais e o vôo de Lévy.
Ainda, também podem ser classificados de acordo com sua autossimilaridade. Existem três tipos de autossimilaridade encontrados em fractais [1]-[5]:
Autossimilaridade exata - é a forma em que a autossimilaridade é mais evidente. O fractal é idêntico em diferentes escalas exemplos desses fractais são os gerados por sistemas de funções iterativas geralmente apresentam uma autossimilaridade exata.
Quase-autossimilaridade - é uma forma mais solta de autossimilaridade. O fractal aparenta ser, aproximadamente, idêntico em escalas diferentes. Fractais quase-autossimilares contém pequenas cópias do fractal inteiro de maneira distorcida ou degenerada. Os fractais definidos por relações de recorrência, como os conjuntos de Mandelbrot, são exemplos dessa quase-autossimilaridade.
Autossimilaridade estatística - é a forma menos evidente de autossimilaridade. O fractal possui medidas numéricas ou estatísticas que são preservadas em diferentes escalas. Os fractais aleatórios são exemplos de fractais que possuem autossimilaridade estatística.
Neste trabalho, foram desenvolvidas configurações de antenas e filtros com motivos fractais de fuga no tempo para aplicações em micro-ondas e ondas milimétricas.
Em relação ao estudo de circuitos com geometrias fractais de fuga no tempo neste trabalho, destacam-se os conjuntos de Julia e Mandelbrot, pois tais geometrias não foram abordadas em aplicações de circuitos integrados de micro-ondas (ou de ondas milimétricas) [61], destacam-se a diferente forma de iteração e os níveis desses fractais quando comparados com os fractais de iteração ou geométricos, como, por exemplo, as curvas de Koch. Nestes casos, dependendo da iteração da equação complexa dos fractais de Julia e de Mandelbrot, as geometrias se tornam complexas e similares às dos neurônios e do sistema circulatório humano [7]-[13]. Portanto, o estudo destes fractais é oportuno e permitirá determinar as respostas de antenas de microfita e de coplanar waveguide (CPW) à excitação através de correntes elétricas ou de ondas eletromagnéticas, além de permitir
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 13
comparar os seus resultados com os das antenas de microfita e de CPW projetadas com geometrias tradicionais [41]-[60].
Os estudos observados, em relação ao uso dos conjuntos de Julia e Mandelbrot, foram relacionados à criptografia, sistemas embarcados e engenharia biomédica, mas não tendo sido observados estudos dessas geometrias para aplicações em antenas, filtros e FSSs, por exemplo, o que justifica a execução desta tese [7]-[13].
Atualmente, o espectro de frequências disponibilizado para os sistemas de telecomunicações, na faixa inferior de micro-ondas (até 10 GHz), se encontra saturado devido ao grande aumento da demanda por novos serviços, em decorrência do incrível avanço tecnológico na área. Assim, tornou-se indispensável o desenvolvimento de sistemas com aplicações em frequências mais elevadas e, em particular, em ondas milimétricas (30 a 300 GHz) [17]-[32].
O desenvolvimento de sistemas de comunicações de quarta e quinta gerações e das redes massivas de sensores (IoT – Internet of Things), tem requerido a identificação de materiais adequados (com baixas perdas) e a realização de estudos visando o desenvolvimento de novos componentes, como conectores, laminados e circuitos, como filtros, FSS e antenas [17]-32]. A despeito do desafio tecnológico, que inclui o estudo de propagação de ondas e o desenvolvimento de novos circuitos, com dimensões milimétricas que possibilitará a redução dos tamanhos dos dispositivos e/ou manterem suas dimensões, aumentando suas capacidades e velocidades de transmissão entre os circuitos [17]-[32].
Sabe-se que à medida que as frequências vão aumentando, em contra partida, os comprimentos de onda vão diminuindo, fazendo que os desafios em se obter materiais mais adequados, de baixas perdas, compactos, fáceis de produzir e de custo reduzido sejam mais elevados [17]-[32].
Alguns trabalhos vêm sendo desenvolvidos em ondas milimétricas (30 a 300 GHz) com o intuito de propor alternativas à utilização das bandas L e S [17][32]. A pesquisa em ondas milimétricas vem aumentando ao longo dos anos, devido à demanda por serviços em comunicações sem fio mais rápidos, maiores larguras de banda e menos interferências com outras faixas de frequência, demasiadamente saturadas devido ao grande aumento de dispositivos no mercado, além disso, é possível estender o conhecimento das características de propagação em ondas milimétricas em substratos dielétricos, por exemplo [17]-[32].
Pesquisas recentes nos mostram que a utilização das faixas em ondas milimétricas, nas quais serão implementadas à tecnologia 5G e IoT, aumentaram a velocidade das comunicações sem fio em 100 vezes, também fará que cidades inteiras tornem-se inteligentes, com todos os dispositivos conectados, como por exemplo, geladeira, lâmpadas, fogões, quadros de energia e até tubulações de água [17]-[32]. Mas, para isso, além de modelos matemáticos de propagação, dispositivos que possuam boas respostas nestas faixas de frequência, como antenas, filtros, coplanar waveguide (CPW), superfícies seletivas em frequência (FSS) entre outros dispositivos devem ser pesquisados, testados e enfim produzidos para atenderem a demanda desses serviços de comunicações sem fio [17]-[32].
Portanto, o avanço dos estudos em ondas milimétricas, e principalmente, com a utilização de geometrias de fractais de fuga no tempo, é muito importante para o desenvolvimento de novos dispositivos e circuitos integrados de altas frequências, pois essas geometrias fractais de fuga são capazes de reduzir a superfície metálica do condutor em até 60% e também, reduzir em até, aproximadamente, 40% a frequência de ressonância projetada para o dispositivo em questão [61]. Os fractais de fuga no tempo, além de existirem inúmeras possibilidades de formas geométricas, como os Conjuntos de Julia, também possibilitará observar o comportamento dessas geometrias em aplicações como antenas, filtros e FSS. Desse modo, a análise do comportamento da distribuição de corrente na superfície do condutor com essas geometrias de fractais de fuga no tempo, torna-se relevante devido aos detalhes da borda da geometria, além disso, é possível reproduzi-las em três dimensões, pois se trata de uma geometria que recorre a vários pontos no espaço.
Foram utilizados softwares comerciais como o Ansoft Designer e o Ansoft HFSS, para a modelagem das geometrias estudadas, além de programas computacionais, de criação de imagens, na etapa de projeto, com a definição do layout de cada configuração considerada. Em seguida, foram construídos e medidos protótipos para a verificação das suas respostas em frequência, através de analisadores de rede, nos Laboratórios de Telecomunicações do IST-IT (Instituto Superior Técnico – Instituto de Telecomunicações), em Lisboa, UFRN (Universidade Federal do Rio Grande do Norte) e do IFPB (Instituto Federal da Paraíba). Foram efetuadas comparações entre os resultados simulados e medidos para fins de validação do trabalho.
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 15
A contribuição principal desta tese de doutorado são as aplicações das geometrias de fractais dos Conjuntos de Julia e Mandelbrot em antenas, filtros e FSS, em micro-ondas e ondas milimétricas, principalmente, podendo ser aplicadas nas comunicações de quarta e quinta gerações, IoT, aplicações médicas, militares e onde os profissionais necessitem de dispositivos vestíveis, para comunicação. Foram obtidos resultados teóricos e experimentais, tais como, largura de banda, diagrama de radiação (caso das antenas), ganho, polarização e frequências de ressonância.
A apresentação desta tese está dividida em seis capítulos, de forma a evidenciar os referenciais teóricos e experimentais para o estudo dos circuitos e das estruturas mencionadas.
O Capítulo 2 apresenta uma breve história dos tipos de fractais, com ênfase nos fractais de fuga no tempo, detalhando o desenvolvimento desses fractais e como abordar essas geometrias em dispositivos como as antenas e as FSS.
O Capítulo 3 descreve as características principais dos filtros de microfita, abordando a teoria de linhas de microfita.
O Capítulo 4 apresenta as características principais das antenas, priorizando os diagramas de radiação, largura de banda, ganho e polarização. Um subcapítulo sobre antenas de microfita é apresentado com foco em particular nos patches circulares, pois são deles que deriva-se os fractais de Julia e Mandelbrot. Essas antenas foram projetadas em micro-ondas (até 30 GHz) que possam ser aplicadas em sistemas de quarta e quinta gerações.
O Capítulo 5 abordará a teoria básica sobre superfícies seletivas em frequência (FSS), pois foram feitas três estruturas com as geometrias de Mandelbrot em tecido, com aplicações em dispositivos vestíveis.
O Capítulo 6 apresenta os resultados simulados e medidos realizados dos filtros, projetados em substratos de tecido para micro-ondas. Antenas, todas projetadas para aplicações em até 30 GHz com uso do substrato Duroid 5880 e, por fim, as FSS todas projetadas em tecido.
Capítulo 2
Fractais
No passado, final do século XIX, matemáticos tem-se preocupados em grande parte com conjuntos e funções para que os métodos de cálculo clássico possam ser aplicados. Estas novas estruturas, na época, com definições ou funções que são suficientemente suaves ou regulares (exemplo, curvas de Koch) foram ignoradas e denominadas como “patológicas” ou dignas de estudo. Certamente, elas foram consideradas como curiosidades individuais e apenas, raramente, foram pensadas como uma classe para a qual uma teoria geral poderia ser aplicada [22]-[26].
Com o passar dos anos, esta atitude mudou. Foi percebido que uma grande quantidade de objetos “não-regulares” existiam na matemática. Além disso, conjuntos irregulares fornecem uma representação melhor de muitos fenômenos materiais do que as geometrias clássicas [23]-[26]. A geometria fractal fornece um quadro geral para o estudo de tais conjuntos irregulares.
Em 1872, Karl Weierstrass [22]-[26], descreveu uma função contínua, porém não diferenciável em todo o seu domínio. Helge Von Koch [8], em 1904, fez infinitas adições de triângulos ao perímetro de um triângulo inicial, cujo nome ficou conhecido como “Floco de Neve de Koch” (Figura 2.1). No limite, a curva de Koch possui as mesmas características da função de Weierstrass, contudo sua definição é mais simples e intuitiva.
A curva de Von Koch, da origem a geometria conhecida como “Flocos de Neve de Koch” (Figura 2.1b). Sendo E0 um segmento de linha da unidade de comprimento. O
conjunto E1 consiste em quatro segmentos obtidos por remoção do terceiro meio de E0 e
substituindo-o pelos dois outros lados do triângulo equilátero com base no seguimento removido. Construímos E2, aplicando o mesmo procedimento para cada um dos segmentos
CAPÍTULO 2. FRACTAIS 17
médio de cada segmento de linha reta de Ek-1 pelos outros dois lados de um triângulo
equilátero. Quando k é grande, as curvas de Ek-1 diferem apenas em pequenos detalhes e
como k tende ao infinito, a sequência de curvas poligonais Ek se aproxima de uma curva
limite F, chamando a curva de Von Koch [23]-[26].
Outro fractal é conjunto de Cantor é um dos fractais mais conhecidos e mais facilmente construídos, no entanto, ele exibe muitas características típicas fractais. Ele é constituído a partir de uma unidade de intervalo por uma sequência de operações de redução (Figura 2.2). Deixando E0 no intervalo [0,1], E1 será obtido pela redução do terço médio de E0, de modo
que E1 consiste em dois intervalos [0,1/3] e [2/3, 1]. Excluindo os terços médios desses
intervalos obtemos E2, assim E2 compreende os quatro intervalos [0,1/9], [2/9, 1/3], [2/3,
7/9] e [8/9, 1]. Continuando, dessa forma, obtemos Ek excluindo um terço de cada intervalo
de Ek-1. Assim Ek consiste em 2k intervalos de cada comprimento de 3-k [23]-[26].
Figura 2.2 - Conjunto de Cantor
Uma das aplicações para esse tipo de fractal pode ser vista em antenas de microfita com aplicações em bandas ultra largas como também serem aplicadas em antenas ou filtros reconfiguráveis devido as suas características fractais como visto na Figura 2.2.
Muitos outros conjuntos podem ser construídos utilizando o procedimento de recursão. Por exemplo, o triângulo de Sierpinski é obtido por remoção repetida (invertida) de triângulos equiláteros de um triângulo equilátero inicial da unidade de lado de comprimento (Figura 2.3), outra definição é a substituição repetida de um triângulo equilátero por três triângulos de meia altura [23]-[26].
Figura 2.3 - Triângulos de Sierpinski
Inúmeras aplicações com essas geometrias vistas foram utilizadas em antenas [18], FSS [27]-[31] e filtros [32], com objetivos de aumentar o comprimento elétrico da estrutura, assim, reduzindo seu tamanho, ou seja, a cada iteração do fractal a frequência de ressonância da estrutura diminui [18].
2.1 CONJUNTOS DE MANDELBROT 19
2.1 – Conjuntos de Mandelbrot
Sistemas dinâmicos complexos são campos fascinantes da matemática. Tem tanto apelo visual das infinitas belas variações fractais, como também o apelo intelectual dos desenvolvimentos matemáticos sofisticados. Seus desafios teóricos têm atraído pesquisadores de todo mundo [1]-[16].
Um objeto central do estudo de sistemas dinâmicos complexos é o conjunto de Mandelbrot (M) uma forma fractal clássica dos polinômios quadráticos fc(z) = z2 + c. O
conjunto de Mandelbrot tem uma definição extremamente simples: é um fractal definido como um conjunto de pontos “c”, no plano complexo, para o qual a sucessão definida recursivamente (que não tende ao infinito) é representada por [15]:
𝑀 = {𝑐 ∈ ℂ: 𝑓𝑐𝑛(𝑧) 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑛 → ∞}
No entanto M apresenta uma estrutura geométrica e combinatória rica, com muitos detalhes intrigantes. Embora esteja definido em termos de polinômios quadráticos o conjunto de Mandelbrot reaparece em, virtualmente, todos os outros membros da família de mapas racionais, como pode ser observado em experiências de computador [15].
A teoria matemática do conjunto de Mandelbrot e objetos relacionados sofreu um rápido desenvolvimento durante as duas últimas décadas [4]-[16]. Seus artigos vão desde a exposição sistemática do conhecimento atual sobre o conjunto de Mandelbrot, até novos trabalhos com resultados inéditos ou difíceis de encontrar na literatura [14].
Fixado um número inteiro 2 ≤ d ≤ ∞ na equação fc(z)zd c, o conjunto de Mandelbrot é definido genericamente como 𝑀𝑑 ⊂ ℂ tal que, o conjunto de pontos c com o conjunto de Julia J(fc) estão conectados. Equivalentemente, c não tende ao infinito, pois se
trata de pontos recorrentes no espaço do plano complexo. O conjunto de Mandelbrot tradicional é a versão quadrada M2, ou seja,
(2.1) O conjunto de Mandelbrot pode-se ser definido como o conjunto de todos os pontos c do plano complexo para os quais a série de iterações,
c z z
(2.2) em que
(2.3) e
(2.4) não diverge para infinito, ou seja, aqueles pontos para os quais |Zn| se mantém finito após
um número qualquer de iterações. Observa-se na Figura 2.4 em que |Zn| diverge para o
infinito (tons de azul) e |Zn| não diverge para o infinito (tons de preto). Na Figura 2.5a,
observa-se o conjunto de Mandelbrot em uma matriz 10x10, ou seja, 100 pontos no espaço complexo, com d igual a 2 e n igual a 3, na Figura 2.5b a matriz é 1000x1000 pontos no espaço, ou seja, quanto mais pontos no espaço mais a geometria é suavizada. Na Figura 2.6, o mesmo processo de iteração como na Figura 2.5 foi realizado, com a diferença que desta vez, o n é igual a 9.
Figura 2.4 - Conjunto de Mandelbrot: pontos não divergentes (preto), pontos divergentes
(tons de azul) (imagem retirada de um programa gratuito Fraqtive - https://fraqtive.mimec.org/). c Z Zn1 nd 0 0 Z iy x c
2.1 CONJUNTOS DE MANDELBROT 21
Figura 2.5 - Conjunto de Mandelbrot com d = 2, n = 3 e uma matriz: (a) 10x10 e (b)
1000x1000
Figura 2.6 - Conjunto de Mandelbrot com d = 2, n = 9 e uma matriz: (a) 10x10 e (b)
1000x1000
O conjunto de Mandelbrot, em sua representação gráfica, pode ser dividido em um conjunto infinito de cardioides, localizado ao centro do plano complexo [6]. Existe uma infinidade (contável) de quase círculos (o maior deles é a única figura que, de fato, é um círculo exato e localiza-se à esquerda do cardioide) que tangenciam o cardioide e variam de tamanho com raio tendendo assintoticamente a zero [6].
Cada um desses círculos tem seu próprio conjunto infinito (contável) de pequenos círculos cujos raios também tendem assintoticamente a zero. Esse processo se repete infinitamente, gerando uma figura fractal. Dentro do conjunto de Mandelbrot há réplicas do conjunto ad infinitum (Figura 2.7). É uma característica dos objetos fractais. Só a limitada precisão das computações faz com que, a partir de certa altura, o conjunto ad infinitum deixe de acontecer [6].
Figura 2.7 - Conjunto de Mandelbtot e sua réplica em ad infinitum com zoom de 100
vezes.
Com o uso das equações (2.1)-(2.4), pode-se formar as imagens fractais de Mandelbrot com o nível de iteração que se deseja, na Figura 2.8, assim como nas Figura 2.5 e Figura 2.6 observa-se essas iterações e como os conjuntos de Mandelbrot são formados, desse modo temos:
2.1 CONJUNTOS DE MANDELBROT 23
Figura 2.8 - Conjunto de Mandelbrot com d = 2 e com número de iterações n: (a) n =1, (b)
n = 2, (c) n = 5 e (d) n = 20.
O conjunto de Mandelbrot à medida que aumenta o nível do fractal (d ) ele tende a se tornar novamente a geometria circular que o derivou [ver equação (2.2)]. Podem-se observar essas características do fractal na Figura 2.9.
Figura 2.9 - Conjunto de Mandelbrot com n = 20 iterações e níveis d: (a) d =2, (b) d = 5,
2.2 – Conjuntos de Julia
O conjunto de Julia de uma função complexa foi nomeado pelo matemático francês Gaston Julia, que descobriu no século XX, muitas das propriedades básicas deste conjunto. Uma precisa definição de conjunto de Julia de um polinômio é: a fronteira da coleção de pontos (os pontos c da equação (2.2)) cujas órbitas escapam para o infinito (em que |Zn| não
diverge para o infinito). Isto significa que pontos, em um conjunto de Julia, têm órbitas que não escapam para o infinito (Figura 2.10a), mas arbitrariamente muito perto existem pontos cujas órbitas escapam (Figura 2.10b) [2]-[5].
O conjunto de Julia é uma derivação ao conjunto de Mandelbrot, cada ponto no plano complexo no conjunto de Mandelbrot corresponde a um conjunto de Julia diferente. Os pontos que pertencem ao conjunto de Mandelbrot correspondem precisamente aos conjuntos de Julia conexos (Figura 2.10a), e os pontos fora do conjunto de Mandelbrot correspondem aos conjuntos de Julia desconexos (Figura 2.10b) [2]-[5].
Intuitivamente, os conjuntos de Julia correspondem aos pontos próximos à fronteira do conjunto de Mandelbrot, pontos mais internos ao conjunto de Mandelbrot correspondem a formas geométricas relativamente simples, enquanto os pontos mais externos lembram poeira rodeada por manchas de cores, isso significa que à medida que os pontos c do conjunto de Julia ficam mais afastados da geometria conexa de Mandelbrot a imagem do conjunto de Julia torna-se desconexa, lembrando grãos de areia espalhado em uma superfície (Figura 2.10). Alguns programas, como o Fractive, permitem que o usuário escolha um ponto e veja o conjunto de Julia correspondente, tornando fácil a navegação [2]-[5].
O conjunto de Mandelbrot contém estruturas muito semelhantes aos conjuntos de Julia, de fato, para qualquer valor c, a região do conjunto de Mandelbrot ao redor de c lembra o centro do conjunto de Julia com parâmetro c [2]-[5].
Os conjuntos de Julia fornecem uma ilustração mais marcante de como um processo, aparentemente, simples pode levar a conjuntos altamente complexos. No plano complexo uma simples função como f(z)z2 c, com c uma constante, pode dar origem a fractais de uma aparência exótica (Figura 2.10) [2]-[5].
2.2 CONJUNTOS DE JULIA 25
Figura 2.10 - Conjunto de Julia cujos pontos: (a) não escapam para o infinito e (b) escapam
para o infinito.
Conjuntos de Julia surgem em conexão com a iteração de uma função de uma variável complexa f, de modo que estão relacionadas com os sistemas dinâmicos. No entanto, por limitar-se a funções que são analíticas no plano complexo, isto é, diferenciável na medida em que f'(z)limw0
f
zw
f z
w
, existe um número complexo, onde 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ, assim podem-se usar técnicas poderosas da teoria da variável complexa para obter informações mais detalhadas sobre a estrutura de tais conjuntos [2]-[5].Do mesmo modo que o conjunto de Mandelbrot é formado, o conjunto de Julia também é, ou seja, o número de iterações (n), a quantidade de pontos no espaço e o nível (d), com a diferença que o ponto no espaço complexo é fixo, assim, como exemplo, uma geometria que foi utilizada como antena nesta tese (Figura 6.16) (Julia d = 2 e c = -0,7) vê-se a formação da geometria de Julia de acordo com o número de iterações:
Figura 2.11 - Conjunto de Julia d = 2 e c = -0,7 com número de iterações n: (a) n =1, (b) n
= 2, (c) n = 5 e (d) n = 20.
Também se pode observar, igualmente com o fractal de Mandelbrot que à medida que é aumentado o nível do fractal, o mesmo tende a voltar à geometria que a derivou, a geometria circular, observa-se essa relação na Figura 2.12:
Figura 2.12 - Conjunto de Julia com c = 0,1 + 0,5i com n = 20 e níveis d: (a) d = 2, (b) d =
3, (c) d = 10 e (d) d = 50.
Também é importante notar, que a quantidade de pontos no espaço e o nível de iteração n são importantes para que a geometria tenha uma forma melhor definida Figura 2.13.
2.2 CONJUNTOS DE JULIA 27
Figura 2.13 - Formação do conjunto de Julia com d = 2, c = 0.28+0.52i e: (a) matriz 10x10
e n = 20, (b) matriz 1000x1000 e n = 20 e (c) matriz 1000x1000 e n = 100.
2.3 – Conclusão
Neste capítulo foi visto uma breve história dos fractais ditos como fractais geométricos ou fractais de funções iteradas, conceitos a respeito dos mesmos, alguns exemplos e uma visão um pouco mais elaborada em relação aos fractais geométricos com embasamentos matemáticos e algumas aplicações. Também existem os fractais aleatórios que são determinados por processos estocásticos ao invés de determinísticos.
Foi visto, com mais detalhes, os conjuntos de Mandelbrot e Julia, objeto desta tese, que são os fractais conhecidos como fractais de fuga no tempo, que são uma recorrência de cada ponto no espaço complexo, suas apresentações matemáticas e como são formados. Aplicações destas geometrias serão vistas no capítulo de filtros, antenas e FSS.
O estudo destas geometrias fractais de fuga no tempo, em particular o fractal de Julia, nos permite uma possibilidade quase infinita de formas, que possibilitam uma redução nas antenas, filtros e FSS que utilizam geometrias circulares. Existe um limiar em que a geometria de Julia se aproxima da frequência de ressonância do patch circular que será visto no capítulo 4.
Este capítulo é fundamental para os capítulos seguintes, pois se trata de uma geometria que foi utilizada para modelamento dos dispositivos desta tese, tais como as antenas alimentadas por cabo coaxial, FSS e os filtros.
Capítulo 3
Filtros
Um filtro é um circuito de duas portas utilizado para controlar a resposta de frequência de certo ponto num sistema de RF, micro-ondas ou ondas milimétricas, proporcionando transmissão à frequência dentro da banda passante do filtro e de atenuação na faixa de rejeição do filtro. Quanto à resposta em frequência, os filtros podem ser classificados em: passa-baixa, passa-alta, passa-faixa e rejeita-faixa. As aplicações podem ser encontradas virtualmente, em, qualquer tipo de comunicação de RF, micro-ondas ou ondas milimétricas [24]-[44].
O desenvolvimento da teoria e da prática de filtros começou nos anos que procederam a II Guerra Mundial por pioneiros como Mason, Darlington, Fano, Lauson e Richards. O método de parâmetro por imagens do filtro foi desenvolvido no final de 1930 e foi útil para filtros de baixa frequência nos rádios e telefonia. No início de 1950 um grupo no Stanford Reaserch Institute, (composto por G. Matthaei, L. Young, E. Jones, S. Cohn, entre outros) tornou-se muito ativo no desenvolvimento de filtros e acopladores de micro-ondas.
Atualmente, a maioria dos projetos dos filtros, de micro-ondas e ondas milimétricas, são feitos com projetos assistidos por computador, com base no método de perda de inserção. Por causa de contínuos avanços na síntese com elementos distribuídos, o aumento de supercomputadores de baixa temperatura, o avanço no desenvolvimento de novos materiais, a incorporação de dispositivos ativos em filtros, design de filtros de micro-ondas e ondas milimétricas continua sendo uma área de pesquisa muito ativa [24]-[44].
Um processo mais moderno, o chamado método de perda de inserção, utiliza técnicas de síntese de rede para projetar filtros com resposta de frequência completamente específica. O projeto é simplificado, começando com os protótipos de filtros passa-baixa que são normalizados em termos de impedância e frequência. Transformações, como as de
3.1 FILTROS DE MICROFITA 29
Richard e identidade de Kuroda são, então, aplicadas para converter os designs de protótipos para o nível de faixa de frequência e impedância desejadas [36], [39].
Os filtros podem ser desenvolvidos a partir de elementos concentrados (com indutores e capacitores) ou de elementos distribuídos (com seções de linhas de transmissão e stubs). Também existe a possibilidade de constituição com elementos unicamente passivos, ou com a incorporação de elementos ativos (como varactores, diodos pin e chaves MEMS) [36], [39].
Os filtros passivos são muito utilizados na área de Telecomunicações, em sistemas de comunicações, de radar e de telemetria, por exemplo, além de aplicações industriais e médicas, pois, não necessitam de alimentação para funcionarem. Por outro lado, os filtros ativos necessitam de uma alimentação externa para funcionarem, contudo sua precisão de resposta em frequência é maior [36], [39].
Recentemente, o desenvolvimento de novas configurações de filtros tem aumentado o interesse de muitos pesquisadores. Isto está relacionado com o grande aumento na utilização do espectro eletromagnético, o que tem dificultado a expansão dos sistemas de telecomunicações atuais, por parte das concessionárias de telecomunicações, para atendimento da demanda crescente da sociedade por novos bens e serviços na área [36]-[44]. Além disso, também existe a demanda específica para atender aos requisitos dos sistemas de comunicações mais avançados.
Por isso, atualmente, pesquisadores de todo o mundo estão desenvolvendo pesquisas em filtros objetivando, por exemplo, o aumento da eficiência, a miniaturização e a melhoria de desempenho nas regiões de transição (rejeição/transmissão) desses dispositivos, como também realizam pesquisas sobre filtros reconfiguráveis, que permitam o ajuste de suas características principais, tais como frequências de corte, faixas de transmissão/rejeição e largura de banda (transmissão/rejeição) [31]-[44].
O desenvolvimento de novas configurações de filtros, em estruturas planares (como as de microfita), é parte essencial, tanto ao desenvolvimento de novas tecnologias para sistemas de comunicações, como ao desenvolvimento de novos dispositivos portáteis [43], [44].
Neste capítulo é apresentado, de forma resumida, modelos de filtros em microfita e conceito de linha de microfita.
3.1 – Filtros de microfita
Geralmente, os filtros de microfita são compostos por associações (em série, em paralelo e em cascata) de seções de linhas de transmissão e/ou de stubs (em curto e/ou em aberto), como mostrado na Figura 3.1. Estes filtros são muito utilizados nas faixas de microondas e ondas milimétricas, em sistemas de comunicações sem fio e em inúmeras aplicações, tais como, Wi-Fi, WiMax, Bluetooth, 5G, entre outros [24]-[44]. As geometrias mais adequadas dependem das aplicações, por exemplo, filtros em cascata (Figura 3.1a) são utilizados para aplicações rejeita-faixa, ou stubs em aberto (Figura 3.1c), utilizados em sistemas passa-faixas, mas de modo geral, as geometrias Euclidianas são as mais comuns em filtros de microfita, diferente das geometrias dispostas nesta tese, como os fractais de fuga no tempo (Capítulo 2 e Capítulo 6). Os filtros podem ser encontrados em diversos dispositivos, sendo eles, portáteis, transmissores e receptores de micro-ondas para sistemas de comunicações de alta potência, TV digital, sistemas de radar, sistemas de telemetria, dentre outros [24]-[44].
Figura 3.1 - Tipos de filtros de microfita; (a) cascata, (b) série, (c) paralelo e (d)
3.1 FILTROS DE MICROFITA 31
Linhas de microfita
A configuração típica de uma linha de microfita, ou apenas microfita, está ilustrada na Figura 3.2. Sua estrutura é constituída por uma fita condutora uniforme, de largura W e espessura t, impressa em um substrato dielétrico com permissividade elétrica relativa εr,
que por sua vez está montado sobre um plano de terra [25]-[39].
Geralmente, dispositivos projetados para operarem em até 10 GHz, nos cálculos para projetos de filtros e de outros circuitos de microfita, inclusive de antenas, a espessura da camada metálica fita condutora t é desprezível (aproximadamente 12 m), mas acima dessa faixa de frequência os efeitos da espessura t são considerados [14]. Esta aproximação simplifica a análise e o projeto dos circuitos desejados, sem afetar de forma significativa ou não afetar os resultados dos circuitos integrados, na maioria das aplicações, na faixa de micro-ondas entre 300 MHz até 10 GHz, pois acima de 10 GHz, as perturbações dos meios, em que a onda passa, começam a interferir em seu comportamento [25]-[39].
Figura 3.2 - Linha de transmissão em microfita
Na linha de microfita, a propagação de ondas se dá na direção do seu eixo principal, ao longo da estrutura. Os campos elétrico e magnético se concentram na região abaixo da fita condutora, mas se distribuem em toda a região dielétrica (que não é homogênea) constituída por ar (região acima da fita condutora, quando se trabalha com a fita suspensa) e pelo material do substrato dielétrico [25]-[39].
t
h W
Devido à sua constituição, a microfita não pode propagar uma onda TEM, apenas com componentes transversais dos campos não nulas, e a velocidade de propagação não depende apenas da permissividade, εr, e da permeabilidade, µ, do material dielétrico. A não
homogeneidade da região dielétrica, composta pelo substrato dielétrico e pelo ar (quando possível), acarreta o surgimento de componentes longitudinais dos campos elétrico e magnético, e em consequência a velocidade de propagação dependerá das dimensões da microfita e das propriedades do substrato dielétrico [25]-[39].
Quando as componentes longitudinais dos campos elétrico e magnético (associados ao modo de propagação em uma linha de microfita) são muito menores que as componentes transversais, elas podem ser desprezadas. Neste caso, as características do modo de propagação se aproximam das de um modo TEM. Isto permitiu definir o modelo de análise conhecido como “aproximação quase-TEM”, que é válida especialmente para a faixa de frequências de microondas 300 MHz a 10 GHz [25]-[39].
Nestas condições, a permissividade relativa efetiva, re, e a impedância característica da
microfita, Zc, podem ser expressas, para W/h ≤ 1, como [39]:
(3.1)
(3.2)
e para W/h ≥ 1, como:
(3.3)
(3.4)
sendo η = 120π Ω, que é a impedância característica do espaço livre.
0,5 2 1 04 , 0 12 1 2 1 2 1 h W W h r r re h W W h Z re c 0,25 8 ln 2 5 , 0 12 1 2 1 2 1 W h r r re 1 444 , 1 ln 677 , 0 393 , 1 h W h W Z re c
3.1 FILTROS DE MICROFITA 33
Similarmente, existem expressões aproximadas para a síntese de linhas de microfita, quando o objetivo principal é determinar suas dimensões físicas a partir da escolha da impedância característica desejada e das propriedades do material do dielétrico utilizado. As expressões de síntese apresentadas em (3.5) a (3.7) estão entre as mais usadas [39].
(3.5)
onde,
(3.6)
e
(3.7)
A ocorrência de descontinuidades em circuitos de microfita, como filtros, é muito comum, tanto por imposições dos projetos como pela necessidade de redução das suas dimensões, especialmente por envolverem a utilização de stubs (terminados em circuito-aberto ou curto-circuito), gaps, curvas e junções de seções de microfita distintas [39].
Neste trabalho, são considerados os casos de tocos inseridos na geometria fractal de Julia para uma melhor resposta do filtro (Figura 6.1, Figura 6.3, Figura 6.5, Erro! Fonte de
referência não encontrada.). Em geral, o efeito dessas descontinuidades é analisado
através de circuitos equivalentes, que permitem obter expressões aproximadas e precisas, que podem ser incorporadas em programas de análise. Existem numerosas formas de expressões para descontinuidades de microfita disponíveis na literatura [25]-[39].
2 ; 61 , 0 39 , 0 ) 1 ln( 2 1 ) 1 2 ln( 1 2 2 ; 2 8 2 h W B B B h W e e h W r r r A A r r r r Z A 0,11 23 , 0 1 1 2 1 60 0 r Z B 0 2 377
3.2 – Conclusão
Neste capítulo foi visto uma introdução sobre filtros e os processos de desenvolvimento e síntese que existem na literatura. Embora, os métodos de desenvolvimento e síntese dos filtros são apenas o ponto de partida para a construção do filtro, os mesmos são finalizados nos softwares comerciais Ansoft Designer e HFSS. Foi apresentada a teoria de filtros usados nas áreas de Eletrônica e de Telecomunicações, tanto em sistemas de comunicações, radar e telemetria, como em aplicações industriais, médicas, ondas milimétricas e 5G.
Também foram apresentadas as equações, aproximadas, de projeto e as seções de linhas de microfita.
Uma atenção especial foi dada ao projeto de filtros para aplicações na faixa de micro-ondas em substratos têxteis com geometrias fractais de Julia com tocos de impedância, de maior interesse nesta tese. Este capítulo é a base teórica em que, os filtros construídos nesta tese, estão fundamentados.
Capítulo 4
Antenas
Uma antena é um dispositivo que transmite/recebe ondas eletromagnéticas. Ela é um componente intermediário entre o espaço livre e um dispositivo de guiamento. Um dispositivo de guiamento, ou linha de transmissão, pode ter a forma de um cabo coaxial, um tubo oco (guia de onda) ou uma linha de microfita, sendo usado para transportar a energia eletromagnética da fonte de transmissão à antena ou da antena ao receptor [45]-[48].
No circuito equivalente, a fonte é representada por uma linha de impedância característica Ze e a antena é representada por uma carga ZA
RLRr
jXA conectada àlinha de transmissão. A resistência de carga RL é usada para representar as perdas de
condução e dielétricas associadas à estrutura da antena, enquanto Rr, refere-se como
resistência de radiação e é usada para representar a parte imaginária da impedância associada à radiação da antena [45], [47].
Ondas refletidas na interface, junto com ondas viajando da fonte à antena, criam, ao longo do comprimento da linha de transmissão, padrões de interferência construtiva e destrutiva, referidos como ondas estacionárias, que representam bolsões de concentração e armazenamento de energia, características de dispositivos ressonantes. Se o sistema de antena não for adequadamente projetado, a linha de transmissão pode, em grande parte, funcionar como um dispositivo de armazenamento e energia [45], [47].
Para sistemas de comunicações sem fio, a antena é um dos componentes cruciais. Um bom projeto de antena pode amenizar outros requisitos do sistema e melhora o desempenho do mesmo. O sistema 5G é um exemplo no qual a recepção/transmissão podem ser melhorados com o uso de antenas de alto desempenho [57]. As antenas exercem em um sistema a mesma função em que os olhos e os óculos exercem nas pessoas, ou seja, se a
visão está mal, a recepção dos sinais de imagem são maus, neste caso se faz necessário o uso de um dispositivo que melhore a recepção, os óculos.
4.1 – Tipos de antenas
Existem na literatura, modelos de antenas que podem ser estudadas com seus modelos matemáticos, projetadas e construídas, como os arranjos de antenas, antenas patch com alimentações por linha de microfita, CPW, antenas com alimentação coaxial, antenas do tipo corneta, antenas em tecido e mais uma gama de antenas existentes (Figura 4.1 e Figura 4.2). Cada antena tem sua particularidade e utilidade, existem tipos de antenas apropriadas para transmissão de longo alcance (arranjos ou antenas de alto ganho) que possuem um ganho elevado para a transmissão, antenas cornetas (que são utilizadas para padronização de antenas) também muito utilizadas em câmaras anecóicas e medições de FSS (Frequency Selectives Surfaces), antenas do tipo CPW ou monopolo são bastante utilizadas em dispositivos móveis devido as suas características de radiação omni-direcional, antenas em tecido que podem ser utilizadas em fardamentos militares e/ou em hospitais para monitoramento de indivíduos, entre outras.
Nesta tese, os conceitos básicos de alguns tipos de antenas, parâmetros fundamentais (que servem para qualquer tipo de antena) serão vistos. Por fim, as antenas planares, terão uma ênfase maior, principalmente as circulares e as antenas fractais de fuga no tempo, que são os conjuntos de Julia e Mandelbrot [45], [47].
4.1 TIPOS DE ANTENAS 37
Figura 4.1 - Tipos de antenas; (a) corneta em uma câmara anecóica, (b) antena fractal de
Julia no tecido, (c) antena tipo CPW, (d) cornetas sendo usadas para aferição de FSS e (e) antena patch fractal.
Figura 4.2 - Antenas do tipo; (a) monolopos planares com patch circular, (b) arranjo de
patches quadrados usando fractal de Peano, (c) arranjo linear 4x2, (d) arranjo linear tipo monopolo 2x1, (e) arranjo linear tipo monopolo 4x1 e (f) arranjo linear tipo monopólio 4x2
4.2 – Parâmetros de antenas
Para descrever o desempenho de uma antena a definição de diversos parâmetros se faz necessária. Alguns desses parâmetros são inter-relacionados e nem todos são necessários ser especificados para uma descrição completa do desempenho da antena. As definições e os desenvolvimentos matemáticos apresentados são limitados dos parâmetros das antenas desta tese, tais quais são eles; diagrama de radiação, diretividade, eficiência de antenas, ganho, largura de banda, polarização e impedância de entrada. Essas definições são importantes para entendermos mais a frente os dados coletados, pois algumas medições realizadas nesta tese, em laboratório, dos protótipos construídos, foram utilizados esses parâmetros fundamentais de antenas [45], [47].
4.2 PARÂMETROS DE ANTENAS 39
Diagrama de radiação
O diagrama de radiação de uma antena é definido como “uma função matemática ou representação gráfica das propriedades de radiação da antena em função das coordenadas espaciais. Na maioria dos casos, o diagrama de radiação é determinado na região de campo distante e é representado como uma função das coordenadas direcionais. As propriedades de radiação, intensidade de campo, diretividade, fase ou polarização.” A propriedade de radiação de maior interesse é a distribuição bi ou tridimensional (Figura 4.3) de energia radiada em função da posição do observador ao longo de um percurso ou superfície de raio constante. Uma curva representando o campo elétrico (magnético) recebido a um raio constante é referida como diagrama de amplitude de campo [45], [47].
Para esta tese de doutorado o que será levado em consideração no estudo de caso são os lóbulos principais. Um lóbulo principal é definido como “o lóbulo de radiação que contém a direção de máxima radiação [47]”.
Para um diagrama de amplitude de uma antena em geral haverá três componentes de campo elétrico (Er, Eθ, E) em cada ponto de observação na superfície de uma esfera de raio
r = re. Na região de campo distante, para todas as antenas, a componente radial E é nula ou
desprezível em comparação com qualquer uma das outras componentes [47]. Dependendo da sua geometria e da distância de observação, pode haver somente uma, duas ou todas as três componentes e a magnitude de campo elétrico total seria [47]:
(4.1)
Existem três tipos de diagramas de radiação: isotrópicas, direcionais e omni-direcionais (Figura 4.4).
Um radiador isotrópico (Figura 4.4a) é definido como “uma antena hipotética sem perda que tem a mesma radiação em todas as direções.” Seria uma antena ideal, contudo não realizável fisicamente, este tipo de antena é utilizada como referência para expressar as propriedades direcionais de antenas reais [47].
2 2 2 E E E E r
Uma antena direcional (Figura 4.4b) é aquela que “tem a propriedade de radiar ou receber ondas eletromagnéticas mais eficientemente em algumas direções que em outras.” Este termo é usualmente aplicado a uma antena cuja diretividade máxima é significativamente maior que um dipolo de meia-onda [47].
Uma antena omnidirecional (Figura 4.4c) é aquela que “tem diagrama essencialmente não-direcional em um dado plano e um diagrama direcional em qualquer plano ortogonal.” Um diagrama omni-direcional é, então, um tipo especial de diagrama direcional [47].
4.2 PARÂMETROS DE ANTENAS 41
Figura 4.4 - Tipos de diagramas de radiação; (a) isotrópico, (b) direcional e (c)
omni-direcional.
Diretividade
A diretividade de uma antena é definida como “a razão entre a intensidade de radiação em uma dada direção da antena e a intensidade de radiação média [47]”. A intensidade de radiação média é igual à potência total radiada pela antena dividido por 4π. Se a direção não for especificada, a direção de máxima intensidade de radiação fica implícita. Assim temos que a diretividade pode ser escrita como [45], [47]:
(4.2)
onde U é a intensidade de radiação e Prad é a potência radiada.
No caso de antenas com lóbulo principal estreito, ou seja, lóbulo direcional, o ângulo sólido de feixe é aproximadamente igual ao produto das larguras de feixe de meia potência em dois planos perpendiculares.
Se as larguras de feixe forem dadas em graus a equação de diretividade pode ser escrita como [47]: (4.3) rad P U U U D 4 0
d d d d D 2 1 2 1 2 0 41253 180 4 No caso de conjuntos planos, uma melhor aproximação pode ser representada por [47]: (4.4)
Frequentemente é conveniente expressar a diretividade em decibéis (dB), assim podemos transformar a diretividade adimensional em dB.
Eficiência de antenas
A eficiência total de uma antena e0 leva em consideração as perdas nos terminais de
entrada e no interior da estrutura da antena. Essas perdas podem ser divididas em [47]:
Reflexões causadas por descasamento de impedâncias entre a linha de transmissão e a antena.
Perdas I2R (em condutores dielétricos). Em geral, a eficiência total pode ser escrita como:
(4.5) onde
e0 → eficiência total (adm)
er → eficiência de reflexão (descasamento) = (1-||2) (adm)
ec → eficiência condutiva (adm)
ed → eficiência dielétrica (adm)
→ coeficiente de reflexão de tensão na entrada dos terminais da antena
Zin Z0
Zin Z0
, onde Zin é a impedância de entrada da antena e Z0 é a impedância
característica da linha de transmissão.
VSWR é a taxa de onda estacionária de tensão
1 1 .
Usualmente ec e ed são de cálculo difícil, mas podem ser determinados
experimentalmente através de um aparelho chamado Wheeler cap [72].
d d A graus D 2 1 2 0 32400 ) ( 32400 d c ree e e0
4.2 PARÂMETROS DE ANTENAS 43
Ganho
Outra medida útil para descrever o desempenho de uma antena é o ganho. Embora o ganho de uma antena seja, aproximadamente, relacionado à diretividade, esta é uma medida que leva em consideração, tanto a eficiência como as propriedades direcionais da antena.
Ganho de uma antena (em uma dada direção) é definido como “a razão entre a intensidade de radiação que seria obtida se a potência aceita pela antena fosse radiada isotropicamente.” A intensidade de radiação correspondente à potência radiada isotropicamente é igual à potência aceita pela antena dividida por 4π. O ganho é expresso na forma de equação como [47]:
(4.6)
onde,
(4.7)
Largura de banda
A largura de banda de uma antena é definida como “a faixa de frequências na qual o desempenho da antena, referido algumas características, atende um padrão especificado.” A largura de banda pode ser considerada a faixa de frequências, nos dois lados de uma frequência central, na qual as características da antena (impedância de entrada, ganho, etc.) tem valores dentro de limites aceitáveis definidos a partir dos correspondentes valores na frequência central. Desse modo podemos escrever a largura de banda como [47]:
(4.8) onde,
ffinal é a frequência superior de operação aceitável
finicial é a frequência inferior de operação aceitável
in P U G4 (,) e P P rad in inicial final f f BW
