June 04 Hédison K. Sato
GEO046
Geofísica
Aula no 04
GRAVIDADE, FORMA E MOVIMENTOS DA TERRA
A Terra
aA rotação da Terra não é simples e sequer estável.
aExistem interações com outros corpos astronômicos.
aFatores internos provocam alterações sutis na rotação, muitos dos quais relacionam-se com outros fenômenos ou comportamentos estudados em outros ramos da geofísica.
aA rotação da Terra é a causa do seu alargamento equatorial.
aA forma da Terra é o balanço entre duas ações: a gravidade e o efeito centrífugo da rotação.
3
Achatamento polar
aO achatamento polar é da ordem de 1 em 300.
aO geóide é uma equipotencial gravitacional e o nível médio do mar é uma aproximação.
aDe forma localizada, a superfície da Terra afasta-se do geóide. Nos continentes, este afastamento ressalta-se mas, sobre os oceanos, a sua superfície é uma boa aproximação.
4
Achatamento polar
aOs estudos mostram que o alargamento equatorial é ligeiramente maior que o valor de equilíbrio devido a quatro contribuições:
`Gradativamente, a fricção devido as marés está freando a rotação de forma que a elipsidade está reduzindo também. A Terra responde a este processo porém com atraso devido a viscosidade interna.
`As regiões polares foram comprimidas com a carga das geleiras durante as mais recentes seqüências glaciais. O ricochete pós-glacial na direção do equilíbrio isostático está incompleto.
Achatamento polar
aOs estudos mostram que o alargamento equatorial é ligeiramente maior que o valor de equilíbrio devido a quatro contribuições:
`A Terra tende a ajustar a orientação das irregularidades na sua densidade interna de modo que, independente do achatamento polar, o eixo do maior momento de inércia coincida com o eixo de rotação. Em uma escala de 100 milhões anos, a convecção no manto remexe com as irregularidades, enquanto que o alargamento equatorial se ajusta ao eixo de rotação em uma escala de tempo muito menor.
`As marés lunar e solar dilatam a Terra principalmente na direção equatorial, contribuindo para seu achatamento.
Gravidade da Terra
(
)
(
)
pontual. massa uma de potencial do se -aproximar deve potencial o , distâncias grandes a pois , se -obriga P Como Legendre. de polinômios são P onde P P P como escrito ser pode nal gravitacio potencial o nte, Genericame Laplace. de equação a satifaz dele fora nal gravitacio campo o axial, simetria com corpo um Para 0 n 2 1 , 1 () cos cos 0 2 2 1 1 0 0 = = • ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = J r a J r a J J r GM V θ θ L 7Gravidade da Terra
satélites. pelos percebido o é potencial Este io. estacionár ponto um em potencial o fornece apenas Ela Terra. da rotação à os relacionad termos contém não equação Esta : por expresso fica potencial o , P do explicitan Assim, . cos P pois , J que se -obriga massa, de centro o com s coordenada de sistema do origem da ia coincidênc a se -Impondo 2 1 1 • • ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = • = = • . 2 1 cos 2 3 0 2 3 2 2 θ θ r J GMa r GM V 8( )
[
]
L L + − + + = + + − + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − + − = − = − ψ ψ ψ ψ ψ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 sen 2 3 cos 1 cos 2 3 2 1 cos 1 cos 2 1 cos 2 1 r s r s r s r s r s r s r s r s ψ r s r s r GdM q dM G dV Taylor) de (série que do Consideran massa, de ão distribuiç uma DadaGravidade da Terra
∫
∫
∫
∫
+ − − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + − + − = dM ψ s r G dM s r G dM ψ s r G dM r G V dM ψ r s r s ψ r s r G dV 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 sen 2 3 cos sen 2 3 cos 1 volume todo em Integrando seja, ou LGravidade da Terra
Gravidade da Terra
s. coordenada das origem a é massa de centro o pois nulo é termo 2o. O centrada. massa uma de potencial o é termo 1o. O • • + − − − =
∫
∫
∫
∫
dM ψ s r G dM s r G dM ψ s r G dM r G V 2 2 3 2 3 2 sen 2 3 cos 11Gravidade da Terra
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
A B C)
r G dM y x dM z x dM z y r G dM z y x r G z y x s dM ψ s r G dM s r G dM ψ s r G dM r G V + + − = + + + + + − = + + − + + = • + − − − =∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 , sen 2 3 cos do consideran termo, 3o. No 12Gravidade da Terra
(
A B C I)
L r G r GM V OP I dM ψ s r G dM s r G dM ψ s r G dM r G V 3 2 . sen 2 3 cos 3 2 2 3 2 3 2 − + + − − = • + − − − =∫
∫
∫
∫
nal gravitacio potencial o Assim, eixo do torno em inércia de momento o é termo 4o. OGravidade da Terra
(
)
(
)
(
)
. 2 1 cos 2 3 , cos . 3 1 2 . ) ( , , , 1 , 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + − = = − − − − = − + = = = + + + + = θ θ A C r G r GM V n n A C r G r GM V n A C A I A B z n m l OP l, m, n Cn Bm Al I Como Assim, seja ou de torno em simetria a e seja ou , de diretores cossenos os são onde que do ConsideranGravidade da Terra
satélites. pelos medido sido tem conforme seja, ou nte anteriorme deduzida equação a Similar , 10 082626 . 1 ) ( 2 1 cos 2 3 3 2 2 2 3 2 2 − × = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = Ma A C J r J GMa r GM V θ 15Gravidade da Terra c/ rotação
. cos 2 1 2 1 sen 2 3 ) ( , . sen 2 1 2 1 cos 2 3 ) ( 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 φ ω φ φ θ ω θ r A C r G r GM U r A C r G r GM U − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + − = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + − = : fica nal gravitacio potencial o latitude da termos Em é nal gravitatio potencial o Terra, da rotação a Incluindo 16
Gravidade da Terra c/ rotação
. 2 1 2 ). ( 2 1 ) ( 2 2 2 2 2 2 0 3 0 2 2 3 0 GM c a a c c a Ma A C a c a f f U A C c G c GM U a A C a G a GM U c a ω ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = − = − + − = − − − − = : por expresso ser pode o achatament o e acima, potenciais os se -iguala constante, potencial de superfície a é geóide o que do Consideran , são potenciais os ), (raio pólos nos e ) (raio Equador No
Gravidade da Terra c/ rotação
(
)
. 1 . 1 tan 1 tan tan tan , 2 2 2 2 2 2 r U U r r U g f e c a g g ∂ ∂ − ≈ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − = − = − = = φ φ φ φ φ φ φ por dada é geóide no gravidade A é ambas entre relação a a geocêntric latitude da geográfica latitude a do Distingüin[
1 0.0053024sen 0.0000059sen 2]
. 780327 . 9 2 sen 8 5 8 sen 14 17 2 5 1 . , sen 2 5 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 m/s números, em ou, es, aproximaçõ algumas em ordem segunda de termos Retendo onde que escrever se -pode es, manipulaçõ algumas Após g g g g e e g mf f mf f m g g GM a m f m g g φ φ φ φ ω φ − + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + = = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + =Gravidade da Terra c/ rotação
19
a Período de 25780 anos.
a Descreve um cone com um ângulo de 47o.
a Independente do lado, o torque sempre tende a alinhar o plano do Equador com a direção do Sol ou da Lua.
a Além da força central -m (∂V/ ∂r), existe um torque -m (∂V/ ∂φ) em uma massa m instalada em (r, φ), que exerce um torque igual e oposto sobre a Terra.
a A NUTAÇÃO é o movimento de oscilação angular do eixo da Terra no plano contendo o eixo de precessão.
Precessão
20 nutação. a causa que torque o é eixo o sobre componente O vale centro seu no torque o ), ( posição na Sol o do Consideran , . cos sen ) ( 3 3 Ox L A C R GM V M L R, x S S φ φ φ φ − = ∂ ∂ =Precessão
. cos sen ) ( 2 3 , 2 1 sen . sen cos sen ) ( 3 sen tan tan sen sen sen . sen cos sen ) ( 3 3 2 2 3 3 θ θ α α θ θ β θ φ α θ φ β φ φ A C R GM L / A C R GM L A C R GM L Oy L S y S y S y y − = = − = = = − = de média a Como , e , que do Consideran precessão. a causa que torque o é eixo o sobre componente O
Precessão
x y Lr S M φ cos R β βPrecessão
. " 3846 . 50 . cos 2 3 sen cos sen ) ( 2 3 cos sen ) ( 2 3 2 3 2 3 ano lunar, ão contribuiç a do Consideran : será precessão a para Sol do ão contribuiç a Assim, Kepler). de lei (terceira onde fica Terra da eixo do precessão de angular de A velocida P PS 2 S = + = − = Ω = = − = − = = Ω PL PS S S S S S y S C A C R GM C A C C A C R GM C L ω ω ω θ ω ω θ ω ω θ θ ω ω θ θ ω ω 23Ciclos de Milankovitch
aVariação da excentricidade da órbita da Terra`Força gravitacional de Júpiter modifica a órbita da Terra
`Períodos de 100 mil e 400 mil anos
`Excentricidade varia de 0.005 a 0,06
`Atualmente é 0,0174, ou 3% de diferença entre os semi-eixos (5 milhões de km), alcançando 12%.
aVariação da inclinação do eixo da Terra em relação ao plano da órbita da Terra
`Devido a interações gravitacionais com outros planetas,
`A inclinação do eixo da Terra oscila entre 22,1oe 24,6o, `Com um período de 41 mil anos.
24
Ciclos de Milankovitch
aPrecessão do eixo da Terra`Foi dito que o período da precessão do eixo da Terra é de 25780 anos.
`Entretanto, a força gravitacional de Júpiter altera este tempo de forma que o período real varia de 19 mil a 23 mil anos.
aMilankovitch teorizou sobre o comportamento climático associado às variações de insolação devido a esses ciclos.
`Um estudo com amostras de grandes profundidades marinhas, publicado em 1976, encontrou correspondência entre os períodos de Milankovitch com os de mudanças climáticas.
Marés
( )
( )
cos . 2 3 cos 2 1 1 ' . cos 2 ' . 2 1 ' 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + = − + = − − = − − L ψ ψ ψ ω R a R a R a R R aR a R R r R GM W P L ordem, segunda de termos os do Consideran onde é Lua, a devido , ponto no adicional nal gravitacio potencial OMarés
. sen 2 1 2 1 cos 2 3 2 1 1 ) ( . cos 2 sen , cos sen cos 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 θ ω ψ ω ψ θ λ θ ψ a R Gma m M m R Gm W m M G R R m M m b ba a b r L − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = + = + = − + = = fica adicional nal gravitacio potencial o assim e disso, Além temos Como 2 C 27Marés
(
3cos 1)
. 2 1 cos 2 3 2 3 2 2 3 2 2 − = ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ψ δ δ ψ R Gma a W g g R Gma W : vale variação a rígida, Terra a do Consideran ial. equipotenc superfície a deformando Lua, -Terra eixo o com alinhado ordem, segunda de zonal harmônico representa anterior expressão da termo segundo O 28Marés
(
)
eclíptica. da inclinação a , importante mais e, lunar órbita da precessão solar, e lunar órbitas das planos dos ento desalinham órbitas, das dades excentrici as : ades periodicid Outras horas. 12 e 12,42 de períodos os envolvendo batimentos com 2,7, 0,46) -0,46)/(1 (1 fator pelo mente aproximada varia maré da amplitude a Assim, lunar. da 0,46 de cerca é solar ão contribuiç A nte, Relativame = + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 3cos2 1 3 ψ δ R a M m g gIsostasia
aDistribuição bimodal das elevações.
aA maior parte das elevações continentais está no primeiro km.
aNos oceanos as depressões estão, em média, acima de 5 km.
aConsiderando a diferença das densidades da crosta e da água do mar (1750 kg/m3), os
continentes têm um excesso de massa da ordem de 9×106 kg/m2
acima do solo oceânico.
Isostasia
aApesar do excesso de massa apontado, não há evidências de desvios entre o geóide e o elipsóide correlacionados aos continentes. 31Isostasia
aDeflexão do fio de prumo próximo ao Himalaia:
A) deflexão teórica que causada pela massa das montanhas. B) deflexão observada
a qual é claramente menor.
C) posição sem deflexão.
aA justificativa para essas observações é dada supondo que as “raízes” dos continentes têm menor densidade que o manto sub-oceânico.
aEste é o princípio da isostasia.
aDa sísmica, estima-se que a espessura da crosta continental varia entre 35 e 40 km, enquanto a oceânica, tem em média 5 km.
32
Isostasia
(
)
(
)
(
)
. ) ( ) ( , , , , 2 2 2 0 2 0 2 2 2 2 2 t t d d h a h t d r dx x r dx x r dx x r m c a t a t a d a m h a d a c ρ ρ ρ ρ π ρ π ρ π + − = + << + =∫
∫
∫
− − − + − Supondo . continente do raio o é onde : substitui os que manto e crosta da ao s continente dos inércia de momento o igualando geóide, no elipsidade haja não que tal l continenta modelo um ImpondoIsostasia
(h t) 0t. t d c ρ ρ + = = naequaçãoanterior, fazendo seja, ou o, compensaçã de de profundida única uma tendo menores, são densidades suas pois elevam se continente do altas partes As Pratt H. J. de Modelo ( ) ( ). 0 t d t d h m c c − = − + = ρ ρ ρρ . Assim,daequaçãoanterior: seja, ou densidade, mesma a têm oceânica e l continenta crostas As de. profundida em se -refletem continente do altas partes As Airy B. G. de Modelo
Soerguimento pós-glacial
aA Escandinávia soergue-se após a última glaciação. aOs modelos dinâmicos do processo permitem estimar a viscosidade do manto. em mm/ano 35Referências
aSharma, P. V., 1986, Geophysical methods in geology. 2. ed., Elsevier, New York.
aStacey, F. D., 1992, Physics of the earth. 3. ed., Brookfield Press, Brisbane, Austrália.
aTelford, W. M., Geldart, L. P., Sheriff, R. E. e Keys, D. A., 1978, Applied Geophysics, Cambridge University Press.
