Materiais Compósitos Teoria Clássica de Laminados

(1)

M a te ri a is C o m p ó s it o s L a m in a d o s E n g e n h a ri a A e ro e s p a c ia l e M e c â n ic a M a n u e l F re it a s

Materiais Compósitos

Teoria Clássica de Laminados

Docente: Prof. Manuel Freitas

Departamento de Engenharia Mecânica

Instituto Superior Técnico

(2)

y

_z

H

x

b

q(x,y)

(3)

Propriedades do laminado (1)

• Considere-se um

laminado de espessura h,

n camadas sendo e

_k

a

espessura de cada

camada

– Para solicitações no plano

Nx, Ny e Txy

– As deformações são

uniformes em toda a

espessura

– As solicitações estão em

equilíbrio com as tensões

no laminado

∑

∫

∑

∫

∑

∫

= + − = + − = + −

=

n k k k xy h h xy xy n k k k y h h y y n k k k x h h x x

e

dz

T

e

dz

N

e

dz

N

1 2 / 2 / 1 2 / 2 / 1 2 / 2 /

)

(

)

(

)

(

τ

σ

(4)

Propriedades do laminado (2)

• As tensões podem ser expressas em função das

deformações, considerando que as deformações

são uniformes (TCL)

ji n k k k ij ij xy y x k n k xy k y k x k xy xy y x k n k xy k y k x k y xy y x k n k xy k y k x k x

A

e

E

A

e

E

T

A

e

E

N

A

e

E

N

=

+

=













+

=

+

=













+

=

+

=













+

=

∑

= = − − − = − − − = − − − 1 _ 0 33 0 32 0 31 1 0 33 0 32 0 31 0 23 0 22 0 21 1 0 23 0 22 0 21 0 13 0 12 0 11 1 0 13 0 12 0 11

que

em

γ

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

(5)

Propriedades globais para solicitações no plano do laminado

[ ]

































−

=





















=





















=

































=





















− =

∑

xy y x xy y y x x xy xy y x xy xy xy y yx x xy y x xy y x ji n k k k ij ij xy y x xy y x

G

E

G

E

G

E

A

h

A

e

E

A

T

N

0 0 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 0 0 0 1 0 0 0 1 _ 0 0 0 33 32 31 23 22 21 13 12 11

1

1 que

em

τ

σ

µ

η

µ

ν

η

ν

τ

σ

γ

ε

γ

ε

• Os coeficientes A

_ij

são independentes da ordem de empilhamento da

camada

• N

_x

e N

_y

provocam distorções angulares devido a A

₁₃

, A

₂₃

, A

₃₁

e A

₃₂

; esta

distorção desaparece quando o laminado apresenta o mesmo número

de camadas com a direcção +

θ

e –

θ

(empilhamento simétrico e

(6)

Propriedades dos tecidos

•Tecidos: 2 direcções de fibras

•Direcção L, (1) ou teia

•Direcção T (2) ou trama

• Sendo n

₁

o número de fios de fibra na direcção 1

• Sendo n

₂

o número de fios de fibra na direcção 2

2

1

2

1

2

1 n

n

k

n

k

n

+

=

+

=

+

=

i

h

k

h

k

h

2

1

1 =

=

(7)

Propriedades das mantas

Laminas com fibras longas aleatóriamente direccionadas

3 .

0 )

1 (

2

8

5

8

3 =

+

=

+

=

ν

_c

c

C

T

L

c

E

G

E

_L

– modulo longitudinal unidireccional de equivalente gramagem

(8)

Exemplo de cálculo

(9)

Teoria clássica vs Teoria 1ª ordem

(10)

Laminados em flexão (1)

• Teoria clássica de laminados

– As secções transversais planas

permanecem planas e normais

ao eixo médio após deformação

– Campo de deslocamentos

• u - direcção x

• v - direcção y

• w - direcção z

0 0 0 0 0

w

y

w

z

v

x

w

z

u

=

∂

−

=

∂

−

=

y

x

w

z

y

w

z

x

w

z

xy xy y y x x

∂

−

=

∂

−

=

∂

−

=

0 2 0 0 2 0 0 2 0

2 γ

γ

ε

(11)

Laminados em flexão (2)

∑ ∫

∫

∑ ∫

∫

∑ ∫

∫

= − − − + − = − − − + − = − − − + −               + + = =               + + = =               + + = = − − − n k z z xy k y k x k h h xy xy n k z z xy k y k x k h h y y n k z z xy k y k x k h h x x k k k k k k zdz E E E zdz M zdz E E E zdz M zdz E E E zdz M 1 33 32 31 2 / 2 / 1 23 22 21 2 / 2 / 1 13 12 11 2 / 2 / 1 1 1

γ

ε

τ

γ

ε

σ

γ

ε

σ

∑ ∫

= − − −                       ∂ ∂ ∂ − +       ∂ ∂ − +       ∂ ∂ − = − n k z z xy k y k x k x dz y x w z z E y w z z E x w z z E M k k 1 0 2 2 0 13 2 0 2 2 0 12 2 0 2 2 0 11 1 2

γ

ε

Exemplificando para M

_x

, através da substituição das deformações

Operando a separação dos termos em z e em z

2

3 por o acompanhad 2 por o acompanhad 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 − = − − − − − − = − − − − − − = ⇒ − = ⇒

∑

∫

∑

∫

− − − − k k n k k ij ij z z j z z j k k n k k ij ij z z j z z j z z E D dz z E dz z E z z E B zdz E zdz E k k k k k k k k

Solicitações:

momentos M

_x

, M

_y

e M

_xy

(12)

Laminados em flexão (5)

































=





















− − − − − − − − − xy y x xy y x

E

γ

ε

τ

σ

33 23 13 23 22 21 13 12 11 TL LT T T TL LT L L LT L TL T L LT L TL T L L Tl LT T L TL L TL T L LT L TL T L LT L TL T L

E

que

em

G

E

s

c

E

c

E

s

cs

E

G

E

s

c

E

s

E

c

cs

E

s

c

G

E

s

c

E

G

s

c

E

s

c

E

G

E

s

c

E

c

E

s

E

G

E

s

c

E

s

E

c

E

ν

θ

ν

θ

ν

θ

ν

θ

ν

θ

ν

θ

−

=

−

=

+

−

+

−

=

+

−

=

−

+

−

+

=

−

+

−

+

=

+

=

+

=

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

1 e

1 ))

2 )(

(

)

(

))

2 )(

(

)

(

)

(

)

4 (

)

(

)

(

)

2 (

)

(

)

2 (

2 )

(

)

2 (

2 )

(

2 2 2 2 23 2 2 2 2 13 4 4 2 2 12 2 2 2 2 33 2 2 4 4 22 2 2 4 4 11

(13)

Laminados em flexão (3)





















∂













=

























y

x

w

y

w

x

w

D

B

D

B

D

B

A

B

A

B

A

M

T

N

xy y x xy y x xy y x 0 2 2 0 2 2 0 2 0 0 0 33 32 31 33 32 31 23 22 21 23 22 21 13 12 11 13 12 11 33 32 31 33 32 31 23 22 21 23 22 21 13 12 11 13 12 11

γ

ε

em que:

∑

= − = − = − −

−

=

−

=

−

=

n k k k k ij ij n k k k k ij ij n k k k k ij ij

z

E

D

z

E

B

z

E

A

1 3 1 3 1 2 1 2 1 1

3

2 )

(

Os termos B

_ij

(matriz B de acoplamento) são nulos sempre que existir

simetria no empilhamento

Os termos A

₁₃

=A

₂₃

=0 sempre que o empilhamento for equilibrado, i. e.

tiver pares +

θ

e –

θθθθ

do mesmo lado da simetria

Os termos D

₁₃

e D

₂₃

só são nulos quando o empilhamento tiver apenas

camadas a 0

o

_{e 90}

o

_{; para os empilhamentos com +}

θθθθ

_{e –}

θθθθ

_{verificar-se-á}

sempre D

₁₃

≠

_{0 e D}

(14)

Laminados em flexão - formulação geral (4)

































=





















xy y x xy y x

A

T

N

0 0 0 33 32 31 23 22 21 13 12 11

γ

ε





















∂













=





















y

x

w

y

w

x

w

D

M

xy y x 0 2 2 0 2 2 0 2 33 32 31 23 22 21 13 12 11

3

3 1 3 1 − = −

−

=

∑

k k n k k ij ij

z

E

D

∑

= − −

−

=

n k k k k ij ij

E

z

A

1 1

)

(

(15)

Viga em flexão - exemplo





















∂













=





















y

x

w

y

w

x

w

D

M

_x 0 2 2 0 2 2 0 2 33 32 31 23 22 21 13 12 11

0

x

M

d

x

w

y

x

w

y

w

* 11 2 0 2 0 2 2 0 2 n n

equação

a

teremos

0

0 ])

/90

[0

para

(só

hipótese

por

se

=

∂

=

∂

=

∂

































=





















∂

−

0

1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 0 2 2 0 2 2 0 2 x

M

D

y

x

w

y

w

x

w

(16)

Theory of Laminated Beams - Pure Flexure

• Bernoulli-Euler Theory

• Rectangular Beam

– Depth – h

– Width – b

(17)

Assumptions

• Plane sections normal to the longitudinal

axis remain plane and normal during

bending.

• Beam geometry and material properties are

symmetric about the neutral axis.

(Symmetric ply geometry.)

• Linear Elastic Behavior

• No shear coupling (0

o

_{or 90}

o

_{plies only!)}

• Perfectly bonded plies

(18)

ρφ

1 j

z

j

z

_j-1

z

₀

=0

N/2

h

b

Laminated Beam Before Deformation

z

y

(19)

z

y

x

ρρρρ

φφφφ

M

Laminated Beam

After Deformation

(20)

Strain

(

)

plane

-by xy

defined

surface

neutral

the

from

distance

figure

in

defined

angle

bending

during

surface

neutral

of

curvature

of

radius

:

Where

=

−

+

=

z

x

φ

ρ

ρφ

φ

ρ

ε

(21)

Stress

( ) ( ) ( )

( )

longitudin

al

strain

of

j

layer

or

ply

in

x

direction

x

in

ply

or

layer

j

of

Modulus

s

Young'

:

Where

:

ply

j

in

Stress

th th th

=

j x j x j x j x j x

E

ε

σ

(22)

22 Combining Results

( ) ( )

ρ

=

σ

_x

_j

E

_x

_j

z

(23)

Equilibrium

dz

b

z

dz

b

z

M

h h h

x

∫

=

−

2 2 2

0

2 σ

σ

(24)

Ply-by Ply













+

=

∫

−

dz

b

z

dz

b

z

dz

b

z

dz

b

z

j j h

z

x

z

x

z

x

1 2 1 1 2

0

2

2 σ

σ

L

(25)

Equilibrium

(

)

ply.

j

of

outside

to

surface

neutral

from

distance

is

plies

of

number

total

is

)

(

3

2 th

3

1

3

2

1 j

j

N

j

x

z

N

z

E

b

M

₋

=

−

=

∑

ρ

(26)

Equilibrium

(

3

1 )

)

(

3

2

2 ₂

1

3

3 +

−

=

∑

=

j

E

N

bh

M

N

jh

z

N

j

x

j

ρ

Assume N is even

(27)

Homogeneous Beam

Where:

Effective flexural modulus (Young's Modulus)

cross-sectional area

3 f yy _f 3 2 yy f

E I

_{E bh}

M

12 bh

I

z dA

12 E

A

=

ρ

=

====

∫∫∫∫

(28)

Flexural Modulus

(

)

(

3

1 )

)

(

8 )

(

8

2

1

3

1

3

2

1

3 +

−

=

−

=

∑

=

−

=

j

E

N

E

or

z

E

h

E

N

j

x

f

j

N

j

x

f

(29)

Deflection

M

dx

w

d

I

E

_f

_yy

₂

=

2 Formula

Deflection

-Beam

in

modulus

flexural

effective

by

E

Replace

(30)

10/10/2011

Laminated Beam Theory

30 L

x

P

yy

f

I

E

Cantilever Laminated Beam Under a Concentrated Tip

Load

(31)

Deflection

L

x

at

I

E

PL

w

M

dx

w

d

I

E

yy

f

yy

f

=

⇒

=

3

3 max

2

(32)

Euler Buckling

conditions

end

incluing

length

effective

the

:

Where

e

2 e

2 =

=

L

I

E

P

_cr

π

f

yy

(33)

Stresses

Stress in j

th

_ply:

( ) ( )

( )













=

f

j

x

yy

j

x

yy

f

j

x

f

yy

f

j

x

j

x

E

I

Mz

z

E

I

E

M

bh

E

I

E

M

z

E

σ

12 σ

3 ρ

ρ

(34)

1

2

3 (((( )))) (((( )))) (((( ))))

E

x 3

>>>>

E

x 2

>>>>

E

x 1

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

E

x 1

====

E

x 3

<<<<

E

x 2

Isotropic

Stresses

(35)

Observations

• Homogeneous formula with correction

factor

• Maximum stress does not always

occur on the outer surface (farthest

away from neutral axis).

• Maximum stress occurs when (E

_x

)

_j

z is

maximum.