Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 16 de Outubro de 2010
LIGA D’ELFOS2011 MATCH 1
O Teorema de Napoleão
O teorema de Napoleão diz que se sobre os lados de um triângulo qualquer ABC forem construídos triângulos equiláteros, os ortocentros desses triângulos equiláteros formam igualmente um triângulo equilátero. O objectivo deste match é demonstrar este teorema e uma sua generalização. Denotem por A0o terceiro vértice do
triângulo equilátero construído sobre o lado BC. Da mesma forma, denotem por B0 e C0 os terceiros vértices dos restantes dois triângulos equiláteros (cf. figura). Denotem por OA o
ortocentro do triângulo A0BC, OB o ortocentro de AB0C e
OC o ortocentro de ABC0.
1. Seja F o segundo ponto de intersecção das circunferências circunscritas em A0BC e AB0C. Mostrem que ∠AF B + ∠AC0B = π.
2. Mostrem que as circunferências circunscritas em A0BC, AB0C e ABC0 se inter-sectam num ponto.
3. Mostrem que∠OBOAOC = π − ∠CF B = ∠CA0B = π/3.
4. Mostrem que OBOAOC é equilátero.
5. Suponham que os triângulos A0BC, AB0C e ABC0 não são necessariamente equi-láteros mas que∠AC0B + ∠BA0C + ∠CB0A = π. Mostrem que os suas circun-ferências circunscritas continuam a intersectar-se num ponto F .
6. Mostrem que se num triângulo P QR tomarmos pontos P0sobre o lado QR, Q0 so-bre o lado P R e R0sobre o lado P Q, as circunferências circunscritas nos triângulos P Q0R0, P0R0Q e P0RQ0 intersectam-se num ponto. [Teorema de Miquel]
7. Suponham que A0BC, AB0C e ABC0 não são necessariamente equiláteros mas são semelhantes, pela ordem em que denotamos os seus vértices, i.e., de tal forma que
∠A0BC = ∠AB0C, ∠BCA0 = ∠B0CA, ∠CA0B = ∠CAB0, etc. Mostrem que então OAOBOC é semelhante a estes três triângulos.
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 4 de Dezembro de 2010
LIGA D’ELFOS2011 MATCH 2
Polinómios inteiros
Um polinómio com coeficientes em Q é uma expressão da forma f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · arxr,
com ai ∈ Q. O conjunto de todos os polinómios com coeficientes em Q denota-se por
Q[x]. Um polinómio f ∈ Q[x] diz-se inteiro se f (n) ∈ Z para todo o n ∈ Z. Seja k um inteiro ≥ 1; o coeficiente binomial de ordem k na variável x é por definição:
x k
= x(x − 1)(x − 2) · · · (x − (k − 2))(x − (k − 1)) k(k − 1)(k − 2) · · · 2 · 1 .
Convenciona-se que x0 = 1. Um polinómio f ∈ Q[x] diz-se combinação linear inteira de coeficientes binomiais se existirem a0, . . . , ar ∈ Z, tais que f(x) =
Pr
k=0ak xk. O
operador das diferenças, ∆ : Q[x] → Q[x], é a aplicação definida por ∆f (x) = f (x + 1) − f (x).
1. Mostrem que f (x) = 16x3 − 12x2 + 13x + 3 é um polinómio inteiro. 2. Mostrem que, para todo o k ≥ 0, f (x) = xk é um polinómio inteiro. 3. Seja f (x) = xk, com k ≥ 0. Calculem ∆f (x).
4. Sejam f, g ∈ Q[x] quaisquer. Suponham que ∆f (x) = ∆g(x). Mostrem que então f (x) − g(x) = c, para certo c ∈ Q.
5. Seja f ∈ Q[x] um polinómio qualquer. Suponham que ∆f (x) é combinação linear inteira de coeficientes binomiais. Mostrem que então f também é combinação linear de coeficientes binomiais.
6. Mostrem que um polinómio f (x) ∈ Q[x] é inteiro se e só for combinação linear inteira de coeficientes binomiais.
7. Seja f (x) = Pr
k=0ak xk um polinómio inteiro. Seja p um primo. Mostrem que p
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 8 de Janeiro de 2011
LIGA D’ELFOS2011 MATCH3
Eliminatórias
1. [2009] Um triângulo ABC rodou em torno do ponto C dando origem ao triângulo DEC. O segmento BE intersecta o segmento CD num ponto F . Sabendo que ∠DCA = π/2, ∠CDE = 2π/9 e ∠CED = π/3, determinem ∠BF C.
2. [2008] Um número inteiro positivo N diz-se flexível se existir um número M , ob-tido através de uma permutação dos algarismos de N (não podendo começar com o algarismo 0), tal que M + N ainda se pode obter através de uma permutação dos algarismos de N . Por exemplo, 6147 é flexível porque 6147 + 1467 = 7614. Determinem todos os números flexíveis com 3 algarismos.
3. [2007] Seja ABC um triângulo equilátero e P o ponto de AC tal que P C = 1. A recta que passa por P e é perpendicular a AC intersecta BC em M e intersecta a recta de suporte a AB em Q. O ponto médio de QM é N e BN = 10. Determinem o comprimento do lado do triângulo ABC.
4. [2006] Escrevem-se por ordem crescente os múltiplos de 3 cuja soma com 1 é um quadrado perfeito: 3, 15, 24, 48 . . . Qual é o 2006o múltiplo que se escreve?
5. [2005] Encontrem o menor número inteiro positivo tal que a soma dos seus nove menores múltiplos distintos (incluindo ele próprio) é um número com todos os algarismos iguais.
6. [2004] Sobre os lados CD e DA do quadrado ABCD são construídos triângulos equiláteros. Sejam E o terceiro vértice do triângulo equilátero de base CD e F o terceiro vértice do triângulo equilátero de base DA. Determinem a razão entre a área do triângulo DEF e do quadrado ABCD.
7. [2003] Desenhem um triângulo equilátero ABC e considerem, sobre o lado AB, um ponto D tal que AB = 7AD, sobre o lado BC, um ponto E tal que DE||AC e, sobre o lado AC, um ponto F tal que DF ||BC. Se G é um ponto pertencente DE, qual é a razão entre a área do triângulo F GC e a área do triângulo ABC?
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 5 de Fevereiro de 2011
LIGA D’ELFOS 2011 MATCH 4
Sangaku
Um sangaku é um delicado painel de madeira do Japão dos séculos VII a XVI, no qual se inscreviam problemas de geometria, usando refinadas imagens a cor, ilustrando a situação geométrica em questão e (nem sempre!) a sua solução. Eis 7 sangaku.
1. Sejam A, B, C, D quatro pontos, dispostos por esta ordem, sobre uma circunferên-cia C . Sejam M, N, P, Q ∈ C os pontos médios dos arcos AB, BC, CD e DA, respectivamente. Mostrem que os segmentos M P e N Q são perpendiculares. 2. Seja ABCD um quadrilátero cíclico. Mostrem que os incentros dos triângulos
ABD, BCD, ACD, ABC são vértices de um rectângulo.
3. SejamC1, C2, C3 circunferências de raio r e centros colineares, tais que C1 é
tan-gente externamente aC2 eC2 é tangente externamente a C3. Uma quarta
circunfe-rência C de raio R envolve-as, com C1 e C3 tangentes internamente a ela. Seja l
uma das tangentes a C1 e C3 que não é tangente a C2 e sejam P e Q os pontos de
intersecção de l comC . Mostrem P Q = R + 3r.
4. Seja ABC um triângulo rectângulo em C e seja H o pé da altura em C. Mostrem que CH é igual à soma dos raios dos incírculos dos triânglos ABC, HBC e CAH. 5. Seja ABCD um quadrado com AB = a. O ponto N ∈ AB é tal que os incírculos
de AN C e CN B são congruentes. Calculem os raios destes em função de a. 6. Seja ABC um triângulo com AB = BC. Sejam D ∈ AB e J ∈ CD tais que
AJ ⊥ CD e os incírculos dos triângulos AJ C, ADJ e BCD têm raio igual a r. Mostrem que r = AJ4 .
7. Sejam ABC um triângulo rectângulo em C e C a sua circunferência circunscrita. SejamC1 eC2 duas circunferências de raios r1 e r2, respectivamente, tais que C1 é
tangente a AC, pelo exterior de ABC, em M , o ponto médio de AC,C2 é tangente
a BC, pelo exterior de ABC, em N , o ponto médio de BC e ambas C1 e C2 são
tangentes (internamente) a C . Seja C1, de raio r1, uma circunferência tangente a
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 5 de Março de 2011
LIGAD’ELFOS2011 MATCH 5
Polinómio cromático
Seja G um grafo simples, isto é, um objecto matemático especificado por um conjunto de vértices VG, finito, e um conjunto de arestas EG ⊂ V2G, onde V2G denota o conjunto
de pares (não-ordenados) de elementos de VG. Uma coloração dos vértices de G com
t cores é, formalmente, uma função f : VG → {1, 2, . . . , t}. Uma coloração válida de
G é uma coloração que satisfaz f (v1) 6= f (v2) sempre que v1 e v2 sejam extremos da
mesma aresta. Denotemos por χG(t) a cardinalidade do conjunto de todas as colorações
válidas de G com t cores. Esta função de t (que depende de G) designa-se por polinómio cromático de G; mostraremos que χG(t) é, de facto, um polinómio na variável t. Dada
uma aresta e ∈ EG podemos criar dois novos grafos a partir de G. A elipse de e, que se
denota por G − e, é o grafo que se obtém de G eliminando a aresta e. A contracção de e, que se denota por G/e, é o grafo que se obtém de G colapsando num único vértice os dois extremos de e (de modo que G/e tenha, efectivamente, menos um vértice), remo-vendo o lacete em que se transforma a aresta e e, no caso em que entre o “novo” vértice e um outro vértice existam mais do que uma aresta, removendo o número necessário de arestas entre estes vértices, para que reste apenas uma.
1. Calculem o polinómio cromático do grafo G com n vértices e EG = ∅.
2. Calculem χG(t) para G com n vértices e todas as arestas possíveis entre eles.
3. Seja e ∈ EG. Mostrem que χG(t) = χG−e(t) − χG/e(t).
4. Mostrem que χG(t) é um polinómio na variável t, de grau igual a n = |VG|.
5. Suponham que G1 e G2 são dois grafos. Seja G o grafo que se obtém considerando
a reunião de G1 com G2. Mostrem que χG(t) = χG1(t)χG2(t).
6. Uma árvore é um grafo no qual quaisquer 2 vértices se podem ligar através de um caminho percorrendo as arestas e no qual não existem caminhos não-triviais cujo início e fim coincidam. Calculem o polinómio cromático de uma árvore.
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 2 de Abril de 2011
LIGA D’ELFOS2011 MATCH6
Russia versus USA
1. [ARO2004] Seja ABCD um quadrilátero cíclico. As bissectrizes externas dos ângulos ∠DAB e ∠ABC intersectam-se em K; as bissectrizes externas dos ân-gulos∠ABC e ∠BCD intersectam-se em L; as bissectrizes externas dos ângulos ∠BCD e ∠CDA intersectam-se em M e, finalmente, as bissectrizes externas dos ângulos ∠CDA e ∠DAB intersectam-se em N . Sejam K1, L1, M1 e N1 os
or-tocentros dos triângulos ABK, BCL, CDM e DAN , respectivamente. Mostrem que o quadrilátero K1L1M1N1 é um paralelogramo.
2. [USAMO2005] Determinem todos os números compostos, n, para os quais é pos-sível dispor os divisores ≥ 1 de n num círculo de maneira a que quaisquer dois divisores adjacentes não sejam primos entre si.
3. [ARO2006] Mostrem que se um inteiro a > 1 é tal que (a − 1)3+ a3 + (a + 1)3 é um cubo perfeito então 4|a.
4. [USAMO2007] Mostrem que para todo o inteiro não-negativo, n, o número 77n+ 1 é um produto de pelo menos 2n + 3 primos, não necessariamente distintos.
5. [ARO2008] Suponham que cada face de um tetraédro (não necessariamente regu-lar) cabe dentro de uma circunferência de raio 1. Mostrem que então o tetraédro cabe dentro de uma esfera de raio 3
2√2.
6. [USAMO2009] Seja n um inteiro positivo. Determinem a cardinalidade do maior subconjunto de {−n, −n + 1, . . . , n − 1, n} que não contenha três elementos a, b, c (não necessariamente distintos) satisfazendo a + b + c = 0.
7. [ARO2010] Considerem duas rectas que se intersectam em P e são tangentes a uma circunferência O nos pontos A e B. Seja Z o centro de O. C é um ponto no arco menor AB distinto do ponto médio desse arco. As rectas AC e P B intersectam-se em D e as rectas BC e AP intersectam-se em E. Mostrem que os circuncentros dos triângulos ACE, BCD e P CZ são colineares.
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 13 de Abril de 2011
LIGAD’ELFOS2011 MATCH 7
USA versus Russia
1. [USAMO2004] Sejam a, b, c > 0. Mostrem que
(a5 − a2 + 3)(b5 − b2 + 3)(c5 − c2 + 3) ≥ (a + b + c)3.
2. [ARO2005] Seja {x1, . . . , x10} um conjunto de 10 números reais não-nulos.
Supo-nham que para qualquer par de números neste conjunto a sua soma ou o seu produto é um número racional. Mostrem que os quadrados destes 10 números são racionais. 3. [USAMO2006] Determinem os inteiros positivos, n, para os quais existem k ≥ 2
números racionais positivos a1, a2, . . . , ak tais que
a1 + a2 + · · · + ak = a1 · a2· · · ak = n.
4. [ARO2007] Seja ABC um triângulo acutângulo; sejam M e N os pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente; seja H o pé da altura de ABC ao vértice B e seja P o segundo ponto de intersecção dos circuncírculos dos triângulos AHN e CHM . Mostrem que P H passa pelo ponto médio de M N .
5. [USAMO2008] Seja ABC um triângulo escaleno, acuntângulo; sejam M , N e P os pontos médios dos lados BC, CA e AB, respecivamente; sejam D e E os pontos de intersecção da recta AM com as mediatrizes dos lados AB e AC, res-pectivamente, e seja F o ponto no interior de ABC onde se intersectam as rectas BD e CE. Mostrem que os pontos A, N , F e P pertecem a uma circunferência. 6. [ARO2009] Sejam x e y dois inteiros tais que 2 ≤ x, y ≤ 100. Mostrem que existe
um inteiro positivo, n, tal que x2n + y2n não é primo.
7. [USAMO2010] Seja AXY ZB um pentágono convexo inscrito num semi-círculo de diâmetro AB. Denotem por P, Q, R, S os pés das perpendiculares às rectas AX, BX, AZ, BZ, respectivamente, que passam por Y . Mostrem que a amplitude do ângulo agudo formado pelas rectas P Q e RS é 12∠XOZ, onde O é o ponto médio do segmento AB
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 28 de Maio de 2011
LIGAD’ELFOS2011 MATCH 8
Sangaku II
Os sangaku, populares do início do século XVII até meados do século XIX, eram oferta-dos a santuários Xinto e a templos Budístas do Japão; em forma de agradecimento pela inspiração divina ou para desafio de devotos vindouros com igual apreço pela arte.
1. SejaC uma circunferência e l1, l2 as duas tangentes aC por um ponto A no exterior
de C . Sejam B e C os pontos de tangência. Mostrem que C passa pelo incentro do triângulo ABC.
2. Considerem C1, C2, C3 circunferências no mesmo semiplano definido por uma
recta, tangentes a esta recta e duas a duas tangentes exteriormente. Determinem a relação entre os raios r1, r2 e r3 das três circunferências.
3. Sejam C1 e C2 circunferências de raios distintos e r a recta pelos seus centros;
suponham r horizontal e C1 à esquerda de C2. Sejam A, B ∈ C1, C, D ∈ C2, da
esquerda para a direita, as intersecções com r. Seja C10 a circunferência tangente internamente aC1 e às duas tangentes a C2 por A e seja C20 tangente internamente
aC2 e às duas tangentes aC1 por D. Mostrem que os raios deC10 eC20 coincidem.
4. Seja ABCD um quadrado com lado a e N o ponto médio de AB. Seja P a inter-secção de N C e BD. Calculem, em função de a, o raio do incírculo de DP C. 5. Num quadrado ABCD, E ∈ AB é tal que DE é tangente à circunferência C1 de
centro no ponto médio de BC e raio AB/2. Sejam C2, de raio r2, o incírculo de
ADE e F ∈ AD, H ∈ CD tais que F H é tangente aC1 eC2. Seja G a intersecção
de DE com F H. SejaC3, de raio r3, o incírculo de DGH. Mostrem que 2r2 = 3r3.
6. Dado ABC inscrito numa circunferência, o segmento que une os pontos médios do lado BC e do arco BC designa-se por sagitta de BC e o seu comprimento denota-se por vA. Analogamente, vB e vC são os comprimentos das sagittas das cordas AC
e AB, respectivamente. Sejam a = BC, b = AC, c = AB, r o raio do incírculo e s o semiperímetro de ABC. Mostrem que r(r + 2va) = (s − b)(s − c).
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 18 de Junho de 2011
LIGA D’ELFOS2011 MATCH9
Funções Olímpicas
1. [2004] Determinem a função f : R \ {0, 1} → R que satisfaz a: f (x) + f (1 − 1/x) = 1 + x, ∀ x ∈ R \ {0, 1} .
2. [2005] Calculem todas as funções f : R → R tais que
f (x + y) + f (x) + f (y) = f (xy) + 2xy + 1, ∀ x, y ∈ R.
3. [2006] Determinem todas as funções f : R+ → R+ que satisfazem a:
f (x)f (y) = 2f (x + yf (x)), ∀ x, y ∈ R+.
4. [2007] Calculem todas as funções f : R+ → R+que satisfazem a:
f f (x) yf (x) + 1 = x xf (y) + 1, ∀ x, y ∈ R +.
5. [2008] Considerem todas as funções f : N → N que, para quaisquer m, n ∈ N, satisfazem f (m + n) ≥ f (m) + f (f (n)) − 1 . Determinem todos os possíveis valores de f (2007).
6. [2009] Determinem as funções f : R → R tais que ∀ x, y, z ∈ R se tenha: x3 + f (y)x + f (z) = 0 =⇒ f (x)3 + yf (x) + z = 0.
7. [2010] Calculem todas as funções f : R → R que satisfazem a: f (bxcy) = f (x)bf (y)c, ∀ x, y ∈ R.
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 6 de Julho de 2011
LIGAD’ELFOS2011 MATCH10
Teoria de Números Olímpica
1. [2004] Um inteiro positivo diz-se alternado se cada dois dígitos consecutivos na sua representação decimal têm paridades diferentes. Determinem todos os inteiros positivos, n, tais que n tenha um múltiplo que é alternado.
2. [2005] Mostrem que não existe um inteiro positivo, n, tal que 2n2 + 1, 3n2 + 1 e 6n2 + 1 sejam quadrados perfeitos.
3. [2006] Sejam a1, a2, . . . , an inteiros tais que n | (a1+ a2+ · · · + an). Mostrem que
existem duas permutações (b1, b2, . . . , bn) e (c1, c2, . . . , cn) de (1, 2, . . . , n) tais que
para todo o inteiro i com 1 ≤ i ≤ n se tenha n | (ai− bi− ci).
4. [2007] Mostrem que a equação:
x7 − 1 x − 1 = y
5 − 1
não tem soluções inteiras.
5. [2008] Determinem todos os pares de inteiros (a, b) tais que 7a− 3b divida a4+ b2.
6. [2009] Seja f : N → N uma função não constante tal que (a − b) | (f (a) − f (b)) para quaisquer a, b ∈ N distintos. Mostrem que existem infinitos números primos p tais que p | f (c) para algum c ∈ N.
7. [2010] Determinem todas as funções g : N → N tais que (g(m) + n)(g(n) + m) é um quadrado perfeito, para quaisquer m, n ∈ N.
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 9 de Setembro de 2011
LIGA D’ELFOS2011 MATCH FINAL
O Teorema de Stanley
Seja n um inteiro positivo. Uma partição de n é uma decomposição de n como soma de inteiros positivos. As parcelas de uma partição de n designam-se por partes dessa partição. Por exemplo, as partições de 5 são: 5, 4 + 1, 3 + 2, 3 + 1 + 1, 2 + 2 + 1, 2 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1 + 1; há apenas uma partição com 1 partes; duas com 2 partes; etc. O número de partições n denota-se por p(n). Dado um inteiro 0 < k ≤ n e τ uma partição de n, o número de partes que ocorrem em τ pelo menos k vezes denota-se por dk(τ ). Assim, para τ = 2 + 1 + 1 + 1, temos d1(2 + 1 + 1 + 1) = 2; d2(2 + 1 + 1 + 1) = 1;
d3(2 + 1 + 1 + 1) = 1, d4(2 + 1 + 1 + 1) = 0, etc. O Teorema de Stanley diz que o
número de vezes que 1 ocorre entre as partições de n coincide com P
τd1(τ ), onde τ
varia no conjunto de todas as partições de n. Assim, o número 1 ocorre 12 vezes entre as partições de 5, o que coincide com 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1.
1. Calculem o número de partições de n com duas partes.
2. Mostrem que o número de partições de n com k partes é igual ao número de parti-ções de n com máximo do conjunto das partes igual a k.
3. Seja k < n. Mostrem que o número de partições de n que contêm pelo menos k vezes o inteiro 1 é igual a p(n − k).
4. Mostrem que o número de vezes que 1 ocorre de entre todas as partições de n é igual a p(n − 1) + p(n − 2) + · · · + p(1) + 1.
5. Seja r < n. Mostrem que o número de partições de n em que r ocorre como uma parte é igual a p(n − r).
6. Demonstrem o Teorema de Stanley.
7. Seja k < n. Mostrem que o número de vezes que k ocorre como uma parte de uma partição de n coincide com P
τ dk(τ ), onde τ varia no conjunto de todas as
