Integral na reta com Álgebra Linear: caso particular

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Publicação Eletr ônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit

Integral na reta com ´

Algebra Linear:

caso particular

ˆ

Anderson da Silva Vieira – E-mail:anderdsvieira@gmail.com Fatec-Carapicu´ıba e Faculdade M´ario Schenberg, Cotia, SP

Resumo: O objetivo principal desse material é apresentar ao leitor uma maneira de calcular a integral na reta, para um caso particular, usando as definiç ões e resultados que são desenvolvidos em um curso de Álgebra Linear.

Palavras-chave: Integral, Bases, Geradores, Transformac¸˜ao Linear, Operador Inverso.

Sum´ario

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Algebra Linear: Breves defini¸c ˜oes e resultados´ 2

3 Integra¸c˜ao com o operador inverso 8

4 Exerc´ıcios 10

1 Introdu¸c˜ao

Quando o professor de matemática inicia um conceito em sua aula, é muito comum surgir a pergunta de um de seus alunos: “Onde vamos aplicar esse conceito? Muitas vezes precisamos de tantos pré-requisitos para fazer uma aplicação, mesmo em um caso bem particular, mas a emoção de poder fazê-la é inexplicável.

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Se sabemos resolver sistemas lineares, Boldrini (ver [1]) nos apresenta exem-plos aplicados em balanceamento de reaç ões qu´ımicas e em circuito elétrico. Por outro lado, se sabemos os conceitos de operadores invert´ıveis, podemos calcular algumas integrais para um caso particular. O método que descreveremos foi apresentado por David Poole (ver [2]).

Quanto à organização desse material, temos o seguinte: na Seção 2 recorda-mos um pouco dos assuntos estudados em Álgebra Linear que serão importantes; na Seção 3 teremos a resposta para o objetivo desse material; finalizamos com Seção 4

deixando exerc´ıcios para que o leitor aplique a técnica às outras situaç ões.

2 Algebra Linear: Breves defini¸c ˜oes e resultados

´

Nesta seção, os conjuntos U e V serão sempre espaços vetoriais (ver [1]) so-breR. Apenas apresentaremos as definições que nos serão úteis no desenvolver da técnica.

Iniciaremos com as definiç ões sobre os espaços vetoriais.

Consideremos subconjunto S = {u1,· · · , un} ⊂ V. Indicaremos por [S] o

seguinte subconjunto de V constru´ıdo a partir de S:

[S] = {α1u1+ · · · +αnun|α1,· · · , αn ∈R}.

Observa¸c˜ao 2.1. [S] ´e subespa¸co vetorial de V.

Defini¸cão 2.1. O subespa¸co[S] é chamado subespaço vetorial gerado por S.

Cada elemento de [S] é chamado combinação linear de u1,· · · , un.

Defini¸c˜ao 2.2. Seja S= {u1,· · · , un} ⊂V. Consideremos a equa¸c˜ao

α1u1+ · · · +αnun =0. (2.1)

O conjunto S diz-se linearmente independente, caso a equa¸c˜ao (2.1), admite apenas a solu¸c˜ao trivial, α1 = · · · =αn =0.

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Defini¸c˜ao 2.3. Um conjunto S= {u1,· · · , un} ⊂V ´e uma base do V se

(I) S ´e linearmente independente; (II) V= [S].

Defini¸cão 2.4. Se V possui uma base com n vetores, então V tem dimensão n e denotamos

dim V =n.

Agora, passaremos a rever as definiç ões com transformaç ões lineares.

Defini¸cão 2.5. Uma aplica¸cão F: U → V é chamada transformaç ão linear de U em V se, e somente se,

(a) F(u1+u2) = F(u1) +F(u2),∀u1, u2 ∈V;

(b) F(αu) =αF(u),∀α ∈ R e∀u∈ U.

Quando U =V, uma transformação linear F : U→V é chamada de operador

linear.

Para aplicarmos os resultados de Álgebra Linear, precisamos ter uma aplicação que é uma transformação linear. Sendo assim, a seguir, veremos uma proposição que nos garantirá que o operador diferencial D : Pn(R) → Pn(R) definido por

D(p(t)) = p0(t),

para todo polin ˆomio p(t) ∈ Pn(R), ´e um operador linear.

Proposi¸c˜ao 2.1. Mostre que D ´e um operador linear.

Demonstra¸c˜ao. Sejam p(t), q(t) ∈ Pn(R) e α∈ R. Desta forma,

D(p(t) +q(t)) = (p(t) +q(t))0 = p0(t) +q0(t)

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al´em disso,

D(α p(t)) = (α p(t))0 = α p0(t) = αD(p(t)).

Portanto, D ´e um operador linear.

Indicaremos por L(U, V) o conjunto das transformaç ões lineares de U em V. Se U=V, o conjunto dos operadores lineares de U será denotado por L(U).

Como vamos precisar da matriz associada à transformação linear, apresenta-remos os passos de como obtê-la.

Suponhamos que β = {u1, u2,· · · , un} e β0 = {v1, v2,· · · , vm} sejam bases de

U e V, respectivamente. Dado u ∈U, podemos escrevˆe-lo como

u =x1u1+x2u2+ · · · +xnun ⇒ [u]β =         x1 x2 .. . xn         (2.2) e como T(u) ∈ V, ent˜ao T(u) = y1v1+y2v2+ · · · +ymvm ⇒ [T(u)]β0 =         y1 y2 .. . ym         . (2.3) Como T(uj) ∈ W, 1≤ j≤n, ent˜ao T(uj) = α1jv1+α2jv2+ · · · +αmjvm ⇒ [T(uj)]β0 =         α1j α2j .. . αmj         .

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Ent˜ao, a partir de algumas contas obtemos em forma matricial         y1 y2 .. . ym         =         α11 α12 · · · α1n α21 α22 · · · α2n .. . ... . .. ... αm1 αm2 · · · αmn         .         x1 x2 .. . xn         .

desta forma, se escrevemos

[T]β β0 =         α11 α12 · · · α1n α21 α22 · · · α2n .. . ... . .. ... αm1 αm2 · · · αmn         = h[T(u1)]β0 [T(u2)]β0 · · · [T(un)]β0 i temos [T(u)]_β0 = [T]β β0[v]β. (2.4) A matriz [T]β

β0 é chamada matriz de T em relação às β e β

0_{. Note que a ordem da}

matriz[T]β

β0 ´e dim U×dim V.

Exemplo 2.1. Seja D : P3(R) → P2(R) a transforma¸c˜ao D(p(t)) = p0(t). Sejam β =

{1, x, x2, x3}e β0 = {1, x, x2}sejam bases de P3(R) e P2(R), respectivamente.

(a) Encontre a matriz[D]β

β0. Note que • D(1) =0=0·1+0·x+0·x2; • D(x) =1=1·1+0·x+0·x2; • D(x2) = 2x =0·1+2·x+0·x2; • D(x3) = 3x2 =0·1+0·x+3·x2; ou seja, [D]β β0 =      0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3      .

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(b) Usando o item (a), calcule D(5−x−2x3)e D(a+bx+cx2+dx3). Neste item, queremos aplicar a equa¸c˜ao (2.4).

Inicialmente, temos que

[5−x−2x3]β =         5 −1 0 −2         e[a+bx+cx2+dx3]β =         a b c d         . Logo, [D(5−x−2x3)]_β0 = [D]β β0[(5−x−2x 3_] β =      0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3              5 −1 0 −2         =      −1 0 −6      e [D(a+bx+cx2+dx3)]_β0 = [D]β β0[a+bx+cx 2₊_dx3_] β =      0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3              a b c d         =      b 2c 3d      . Portanto, D(5−x−2x3) = −1·1+0·x+ (−6) ·x2 = −1−6x2e D(a+bx+cx2+ dx3) = b·1+2c·x+3d·x2 =b+2cx+3dx2.

Observa¸c˜ao 2.2. O exemplo anterior, tem como objetivo calcular a derivada de um polinˆomio

usando matriz de uma transforma¸c˜ao linear. Claramente, se utilizamos as regras de deriva¸c˜ao obtemos o desejado.

O pr ´oximo exemplo ter´a como proposta: trabalhar com um operador linear.

Exemplo 2.2. Seja

D

o espa¸co vetorial de todas as fun¸c˜oes deriv´aveis. Considere o subespa¸co W de

D

dado por W = [e3x, xe3x, x2e3x].

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(a) Mostre que β= {e3x, xe3x, x2e3x} ´e linearmente independente. Sejam α1, α2, α3∈ R tais que

α1e3x+α2xe3xα3x2e3x =0, ∀x ∈ R.

Como e3x nunca se anula para qualquer valor real para x, ent˜ao

α1+α2x+α3x2=0, ∀x ∈R.

Sabendo que a equa¸cão acima vale para todo n úmero real x; em particular, vale para os seguintes valores de x: 0,-1,1. Sendo assim, teremos um sistema homogêneo de três equa¸cões e três incógnitas que apresenta a única solu¸cão α1 = α2 =α3 = 0. Portanto, β

´e linearmente independente.

(b) Mostre que o operador diferencial D(p(x)) = p0(x) aplica W em W. Seja p(x) ∈ W, sendo assim p(x) = ae3x+bxe3x+cx2e3x. Ent˜ao,

D(p(x)) = (ae3x+bxe3x+cx2e3x)0

= (3a+b)e3x+ (3b+2c)xe3x+ (3c)x2e3x.

Como D(p(x))é uma combina¸cão linear dos elementos de que geram W, então D(p(x)) ∈ W.

(c) Encontre[D]_β.

Do item (a), j´a temos que D(ae3x+bxe3x+cx2e3x) = (3a+b)e3x+ (3b+2c)xe3x+ (3c)x2e3x, logo [D(e3x)]_β =      3 0 0      ,[D(xe3x)]_β =      1 3 0      e [D(x2e3x)]_β =      0 2 3      ; isto ´e, [D]β β =      3 1 0 0 3 2 0 0 3      .

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Note que [D(5e3x+2xe3x−x2eex)]_β = [D]β_β[5e3x+2xe3x−x2eex]_β =      3 1 0 0 3 2 0 0 3              5 2 −1 d         =      17 4 −3      ;

ent˜ao D(5e3x+2xe3x−x2eex) =17e3x+4xe3x−3x2eex.

Agora recordaremos algumas propriedades dos operadores.

(I) Se T é invert´ıvel e T−1 é seu inverso, então

T◦T−1 =T−1◦T = I.

(II) T ´e invert´ıvel se, e somente se, ker(T) = {0}

(III) Se T é invert´ıvel e β é uma base de V, então T−1 : V →V é linear e h

T−1i

β

= [T]−_β1

Note que T ´e invert´ıvel se, e somente se, det[T]_β 6=0.

3 Integra¸c˜ao com o operador inverso

Quando damos in´ıcio ao estudo de integrais, o começo do desenvolvimento da teoria é pensar em primitivas/antiderivadas e percebemos que a integral é “o ca-minho inverso” da derivada. Sendo assim, se temos que o operador linear diferencial D(p(x)) = p0(x) é invert´ıvel, então podemos dizer que

D−1(p0(x)) = Z

p0(x)dx= p(x).

Evidentemente, sabemos que deveria aparece uma constante; por outro lado, como es-tamos com operadores, sabemos que o operador linear (transformação linear) associa o vetor nulo ao vetor nulo. Por isso neste caso, a constante é nula.

A seguir, veremos como calcular a integral utilizando o operador linear in-verso.

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Exemplo 3.1. Seja

D

o espa¸co vetorial de todas as fun¸c˜oes deriv´aveis. Considere o subespa¸co W de

D

dado por W = [e3x, xe3x, x2e3x]. Sejam operador diferencial T(p(x)) = p0(x)em W e β= {e3x, xe3x, x2e3x} a base de W.

(a) Mostre que D ´e invert´ıvel. Vimos no Exemplo2.2 que

[D]β β =      3 1 0 0 3 2 0 0 3      .

Observe que det[D]β

β

=276=0, ent˜ao D ´e um operador invert´ıvel e

[D−1]β β =      1 3 19 272 0 1₃ −2₉ 0 0 1₃      . (b) Calcule Z x2e3xdx. Veja que [x2e3x]_β =      0 0 1      . Ent˜ao, Z x2e3xdx β =hD−1(x2e3x)i β = [D−1]β_β[x2e3x]_β =      1 3 19 272 0 1₃ −2 9 0 0 1₃           0 0 1      =      2 27 −2 9 1 3      ; portanto, Z x2e3xdx= 2 27e 3x₋2 9xe 3x₊1 3x 2_e3x_.

Observa¸c˜ao 3.1. Veremos como ´e calculada a integral

Z

x2e3xdx usando as ferramentas do C´alculo. Usando a integra¸c˜ao por partes, sejam

u =x2 =⇒ du=2x dx dv=e3xdx=⇒ v= e3x₃ .

(10)

Ent˜ao, Z x2e3xdx=x2e 3x 3 − Z 2xe 3x 3 dx=x 2e3x 3 − 2 3 Z xe3xdx.

Para calcular R xe3xdx, mais uma vez vamos utilizar a integra¸c˜ao por partes. Sejam u= x=⇒ du =dx dv=e3xdx=⇒ v= e3x₃ . Logo, Z xe3xdx =xe 3x 3 − Z _e3x 3 dx=x e3x 3 − e3x 9 +c1, onde c1 ´e uma constante. Desta forma,

Z x2e3xdx = x2e 3x 3 − 2 3 Z xe3xdx = 1 3x 2_e3x₋2 3 xe 3x 3 − e3x 9 +c1 = 1 3x 2_e3x₋2 9xe 3x₊ 2 27e 3x₊_c = 2 27e 3x₋2 9xe 3x₊1 3x 2_e3x₊_c.

4 Exerc´ıcios

1. Seja

D

o espaço vetorial de todas as funç ões deriváveis. Considere o subespaço W de

D

dado por W = [sin(x), cos(x)]. Sejam operador diferencial T(p(x)) =

p0(x)em W e β = {sin(x), cos(x)} a base de W.

(a) Mostre que β = {sin(x), cos(x)} ´e linearmente independente.

(b) Mostre que o operador diferencial D(p(x)) = p0(x) aplica W em W. (c) Encontre [D]_β.

(d) Calcule D(3 sin(x) −5 cos(x))indiretamente usando (a). (e) Mostre que D ´e invert´ıvel e determine [D−1]β

β.

(f) Calcule Z

sin(x) −3 cos(x)dx.

2. Seja

D

dado por W = [e2x, e−2x]. Sejam operador diferencial T(p(x)) = p0(x) em W e β = {e2x, e−2x} a base de W.

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(a) Mostre que β = {e2x, e−2x} ´e linearmente independente.

(d) Calcule D(e2x−3e−2x) indiretamente usando (a). (e) Mostre que D ´e invert´ıvel e determine [D−1]β

β.

(f) Calcule Z

5e−2xdx.

3. Seja

D

dado por W = [e2x, e2xsin(x), e2xcos(x)]. Sejam operador diferencial T(p(x)) = p0(x)em W e β = {e2x, e2xsin(x), e2xcos(x)}a base de W.

(a) Mostre que β = {e2x, e2xsin(x), e2xcos(x)} ´e linearmente independente. (b) Mostre que o operador diferencial D(p(x)) = p0(x) aplica W em W.

(c) Encontre [D]_β.

(d) Calcule D(3e2x+2e2xsin(x) −e2xcos(x))indiretamente usando (a). (e) Mostre que D ´e invert´ıvel e determine [D−1]β

β.

(f) Calcule Z

−2e2xsin(x) +e2xcos(x)dx.

4. Seja

D

dado por W = [sin(x), cos(x), x sin(x), x cos(x)]. Sejam operador dife-rencial T(p(x)) = p0(x)em W e β= {sin(x), cos(x), x sin(x), x cos(x)}a base de W.

(a) Mostre que β = {sin(x), cos(x), x sin(x), x cos(x)} ´e linearmente indepen-dente.

(d) Calcule D(cos(x) +2x cos(x))indiretamente usando (a). (e) Mostre que D ´e invert´ıvel e determine [D−1]β_β.

(f) Calcule Z

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Referˆencias

[1] Jose Luiz Boldrini. ´Algebra linear. HARBRA, 1986. 2