Mecânica Newtoniana: Sistema de Partículas

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Considere um sistema de duas partículas de massas m₁ e m₂ mostrado abaixo.

x₁ X_cm x₂ x

m₁ m₂

MX_cm = m₁x₁ + m₂x₂

Se considerarmos que a massa m₁ está na origem, temos a seguinte expressão:

x₁ = 0 X_cm x₂ x

m₁ m₂

MX_cm = m₁x₁ + m₂x₂ = m₁.(0) + m₂x₂ = m₂x₂ => X_cm = (m₂/M)x ₂

Considerando-se um sistema com N partículas, temos a seguinte expressão:

m₁ m₂

MX_cm = m₁x₁ + m₂x₂ +...+ m_Nx_N onde M = m₁ + m₂ +...+ m_N = m_i

e X_cm é a coordenada do centro de massa

x₁ = 0 X_cm x₂ x

...m_N ...x_N

Para os outros eixos, temos:

m₁ m₂

MY_cm = m₁y₁ + m₂y₂ +...+ m_Ny_N onde M = m₁ + m₂ +...+ m_N = m_i

e Y_cm é a coordenada y do centro de massa MZ_cm = m₁z₁ + m₂z₂ +...+ m_Nz_N

x₁ = 0 X_cm x₂ x

...m_N ...x_N

Em notação vetorial, temos: m₁ m₂ MR_cm = m₁r₁ + m₂r₂ +...+ m_Nr_N = m_i r_i onde M = m₁ + m₂ +...+ m_N = m_i e r_i = x_ii + y_ij + z_ik x₁ = 0 X_cm x₂ x ...m_N ...x_N

Para um objeto com uma distribuição contínua de massa, o centro de massa tem a seguinte expressão: 𝑀𝑹_𝑚𝑐 = 𝒓𝑑𝑚 dm r x z y

Exemplo 1. Achar o centro de massa de um sistema constituído de três partículas: m₁

= 2 kg, na origem, m₂ = 4 kg, sobre o eixo dos y em y = 3 m e m₃ = 6 kg sobre o eixo dos x em x = 4 m.

Solução. Abaixo temos o diagrama esquemático para o sistema de partículas. x y m₂ = 4 kg m₃ = 6 kg m₁ = 2 kg y = 3 m x = 4 m

Solução. Ao longo do eixo x, temos: x y m₂ = 4 kg m₃ = 6 kg m₁ = 2 kg y = 3 m x = 4 m MX_cm = m₁x₁ + m₂x₂ + m₃x₃ = 2.0 + 4.0 + 6.4 = 24 kg.m

Solução. Abaixo temos o valor da coordenada X_cm. x y m₂ = 4 kg m₃ = 6 kg m₁ = 2 kg y = 3 m x = 4 m MX_cm = m₁x₁ + m₂x₂ + m₃x₃ = 2.0 + 4.0 + 6.4 = 24 kg.m => X_cm = 24/12 = 2 m

Solução. Ao longo do eixo y, temos: x y m₂ = 4 kg m₃ = 6 kg m₁ = 2 kg y = 3 m x = 4 m MY_cm = m₁y₁ + m₂y₂ + m₃y₃ = 2.0 + 4.3 + 6.0 = 12 kg.m

Solução. A coordenada Y_cm tem o seguinte valor: x y m₂ = 4 kg m₃ = 6 kg m₁ = 2 kg y = 3 m x = 4 m MY_cm = m₁y₁ + m₂y₂ + m₃y₃ = 2.0 + 4.3 + 6.0 = 12 kg.m => Y_cm = 12/12 = 1 m

Exemplo 2. Achar o centro de massa de um sistema constituído de três partículas A, B

e C como mostrado abaixo. Dê a resposta em centímetros.

x (cm) y (cm) 1 2 3 1 2 A B C 300 g 100 g 100 g

Solução. Ao longo do eixo x, temos: MX_cm = m_Ax_A + m_Bx_B + m_Cx_C = 300.2 + 100.1 + 100.3 = 1000 g.cm x (cm) y (cm) 1 2 3 1 2 A B C 300 g 100 g 100 g

Solução. A coordenada X_cm tem o seguinte valor: MX_cm = m_Ax_A+m_Bx_B+m_Cx_C = 300.2+100.1+100.3 = 1000 g.cm => X_cm = 1000/500 = 2 cm x (cm) y (cm) 1 2 3 1 2 A B C 300 g 100 g 100 g

Solução. Ao longo do eixo y, temos: MY_cm = m_Ay_A+m_By_B+m_Cy_C = 300.2+100.1+100.0 = 700 g.cm => Y_cm = 700/500 = 1,4 cm x (cm) y (cm) 1 2 3 1 2 A B C 300 g 100 g 100 g

Exemplo 3. Achar o centro de massa de uma vareta de massa M e comprimento L. x y z x = L dx x

Solução. Consideremos a densidade linear representada por , onde =M/L. Temos

que integrar o elemento de massa dm ao longo do eixo x, como indicado abaixo.

x y z x = L dm = dx dx x 𝑑𝑚 = 𝑀 𝑑𝑥 𝐿 = 𝑀 𝐿 𝑑𝑥 = 𝜆𝑑𝑥

Solução. Desenvolvendo a integral, temos: x y z x = L dm = dx dx x 𝑑𝑚 = 𝑀 𝑑𝑥 𝐿 = 𝑀 𝐿 𝑑𝑥 = 𝜆𝑑𝑥

Solução. Resolvendo a integral, temos: x y z x = L dm = dx dx x 𝑑𝑚 = 𝑀 𝑑𝑥 𝐿 = 𝑀 𝐿 𝑑𝑥 = 𝜆𝑑𝑥 L

Solução. O valor da coordenada X_cm está indicado abaixo: x y z x = L dm = dx dx x 𝑑𝑚 = 𝑀 𝑑𝑥 𝐿 = 𝑀 𝐿 𝑑𝑥 = 𝜆𝑑𝑥

Exemplo 4. Achar o centro de massa de um aro semicircular de massa M e raio R.

Escolha a origem sobre o eixo de simetria do aro (o eixo dos y).

x y

Solução. Pela simetria do aro, vemos que a coordenada X_cm é zero.

x y

Solução. Para determinarmos a coordenada Y_cm, vamos considerar um elemento do aro ds com massa dm, como indicado abaixo.

x y X_cm = 0 θ dθ R dm = ds y

Solução. Analisando-se a geometria do sistema, temos: x y X_cm = 0 θ dθ R dm = ds = Rdθ y

Solução. A coordenada y está relacionada com o raio R pela expressão: y = R senθ x y X_cm = 0 θ dθ R dm = ds = Rdθ y

Solução. Integrando-se o elemento de massa dm, temos: x y X_cm = 0 θ dθ R dm = ds = Rdθ y 𝑀𝑌_𝑐𝑚 = 𝑦𝑑𝑚 = 𝑦𝜆𝑑𝑠 = 𝑦𝜆𝑅𝑑𝜃

Solução. Substituindo-se a igualdade y = Rsenθ na integral, e considerando-se os

limites da integral entre 0 e π, temos:

x y X_cm = 0 θ dθ R dm = ds = Rdθ y 𝑀𝑌_𝑐𝑚 = 𝑦𝑑𝑚 = 𝑦𝜆𝑑𝑠 = 𝑦𝜆𝑅𝑑𝜃 𝜋 2 𝜋

Solução. A partir da integral de senθ, temos: x y X_cm = 0 θ dθ R dm = ds = Rdθ y 𝑀𝑌_𝑐𝑚 = 𝑦𝑑𝑚 = 𝑦𝜆𝑑𝑠 = 𝑦𝜆𝑅𝑑𝜃 𝜋 2 𝜋 Tabela de Integrais 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 = −𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐶

Solução. Resolvendo a integral nos limites indicados, temos o resultado abaixo. x y X_cm = 0 θ dθ R dm = ds = Rdθ y 𝑀𝑌_𝑐𝑚 = 𝑦𝑑𝑚 = 𝑦𝜆𝑑𝑠 = 𝑦𝜆𝑅𝑑𝜃 𝜋 2 𝜋 2 2 2 Tabela de Integrais 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 = −𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐶 π

Solução. Isolando Y_cm, temos: x y X_cm = 0 θ dθ R dm = ds = Rdθ y 𝑀𝑌_𝑐𝑚 = 𝑦𝑑𝑚 = 𝑦𝜆𝑑𝑠 = 𝑦𝜆𝑅𝑑𝜃 𝑀𝑌_𝑐𝑚 = 𝜋 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃𝜆𝑅𝑑𝜃 = 𝜆𝑅2 𝜋 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 = 𝜆𝑅2 −𝑐𝑜𝑠𝜃 = −𝜆𝑅2 −1 − 1 = 2𝜆𝑅2 Tabela de Integrais 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 = −𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐶 π

Solução. Uma vez que  = M/(πR), temos: x y X_cm = 0 θ dθ R dm = ds = Rdθ y 𝑀𝑌_𝑐𝑚 = 𝑦𝑑𝑚 = 𝑦𝜆𝑑𝑠 = 𝑦𝜆𝑅𝑑𝜃 𝑀𝑌_𝑐𝑚 = 𝜋 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃𝜆𝑅𝑑𝜃 = 𝜆𝑅2 𝜋 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 = 𝜆𝑅2 −𝑐𝑜𝑠𝜃 = −𝜆𝑅2 −1 − 1 = 2𝜆𝑅2 Tabela de Integrais 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 = −𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐶 π

TIPLER, P. A. & MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. Vol. 1. 6ª Ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. 2012., 759 pp.