Engenharia Ambiental
Projeto de Física II
MEDIDOR DE ALCANCE
Allan Sutti
RA: 122271076
Caroline Terzella di Giorgio
RA: 122270584
Natália Oliveira
RA: 122270258
Tais Martinelli
RA: 122270991
I. OBJETIVO
Prever e medir com precisão o alcance de um projétil ao ser chocado com outro com mesmo formato e de massa aproximada, a partir dos conceitos de conservação de energia, momento linear e colisão.
II. INTRODUÇÃO
A energia mecânica é a energia que pode ser transferida por meio de forças. A energia mecânica total de um sistema 𝑬𝑴 é a soma da energia
potencial U com a energia cinética K. Se o sistema for conservativo, ou seja, apenas forças conservativas atuam nele, a energia total conserva-se e é uma constante de movimento, além disso, o trabalho realizado por ela é independente do percurso realizado. Pode ser citada como exemplo, a força gravitacional.[1]
A lei da conservação da energia mecânica de um corpo afirma que se um corpo está sob ação de forças conservativas então
𝐸𝑀 = 𝑈 + 𝐾
Dessa forma, é possível resolver vários problemas mecânicos conhecendo os princípios de conservação de energia. Por exemplo, uma pedra que é abandonada de um penhasco. Em um primeiro momento, antes de ser abandonada, a pedra tem energia cinética nula (já que não está em movimento) e energia potencial total. Quando a pedra chegar ao solo, sua energia cinética será total, e a energia potencial nula (já que a altura será zero) [2]. No caso do projeto apresentado esse exemplo é válido para o movimento da esfera.
Dizemos que a energia potencial se transformou, ou se converteu, em energia cinética. Quando não são consideradas as forças dissipativas (atrito, força de arraste, etc.) a energia mecânica é conservada, como representada na
Equação 1 a seguir:
Equação 1: Conservação da energia mecânica potencial gravitacional e
cinética 𝐸𝑀𝐴 = 𝐸𝑀𝐵 𝑈𝐴+𝐾𝐴 = 𝑈𝐵+𝐾𝐵 𝑚. 𝑔. 𝐴+ 1 2𝑚. 𝑣𝐴 2 = 𝑚. 𝑔. 𝐵 + 1 2𝑚. 𝑣𝐵 2
Outra grandeza importante e associada ao movimento de uma partícula de mesma m, é o momento linear definido pela Equação 2:
Equação 2: Momento linear
Quando não existem forças externas atuando no sistema, o vetor momento linear permanece constante. Esse resultado simples, porém geral, expressa a lei da conservação do momento linear. Mesmo que o momento de cada partícula sofra variação, devido à possíveis forças internas, a soma desses momentos permanece invariante, desde que a força resultante externa seja nula.
Uma das aplicações mais importantes das leis de conservação e do momento linear ocorre com os processos de colisões. Quando dois corpos colidem, eles ficam em contato durante um intervalo de tempo muito pequeno quando comparado ao tempo durante o qual os corpos são observados. Durante a colisão, os corpos ficam sujeitos a uma força que varia com o tempo. Forças como essa, que atuam durante um intervalo curto de tempo, comparado com o tempo de observação do sistema, são denominadas forças impulsivas.
Se não houver forças externas, o momento linear não varia durante o processo de colisão. As forças impulsivas que atuam na colisão são forças que não influenciam na conservação do momento linear total do sistema.
No caso da colisão elástica unidimensional de dois corpos de massa 𝑚1 𝑒 𝑚2, cujas velocidades antes e depois da colisão são 𝑣1𝑖, 𝑣2𝑖𝑒 𝑣1𝑓, 𝑣2𝑓 ,
respectivamente. Nesse caso, além da conservação do momento linear, a energia cinética também se conserva pela Equação 3: [3]
Equação 3: conservação da energia cinética na colisão elástica
1 2𝑚1𝑣1𝑖 2+1 2𝑚2𝑣2𝑖 2 = 1 2𝑚1𝑣1𝑓 2+1 2𝑚2𝑣2𝑓 2
Utilizando a Equação 3 e considerando os dois corpos com mesma massa 𝑚1 = 𝑚2 :
𝑣1𝑓 = 𝑣2𝑖 𝑒 𝑣2𝑓 = 𝑣1𝑖
Quando um partícula é lançada com velocidade inicial v0, segundo um
ângulo 𝜃 em relação ao eixo horizontal (lançamento oblíquo), estando sob a ação da aceleração da gravidade, agindo verticalmente para baixo, impondo uma trajetória parabólica, resultante da composição de dois movimentos.
Sendo a velocidade uma grandeza vetorial, podemos decompô-la segundo os eixos x e y, com o intuito de estudarmos os movimentos separadamente. Com respeito a vertical, tem-se o movimento uniformemente variado e movimento uniforme segundo o eixo horizontal, visto que a aceleração da gravidade sendo vertical, não tem componente nesta direção.
As equações de posição e velocidade estão agrupadas de acordo com o tipo de movimento, além de considerarmos a origem dos eixos de referência na posição de lançamento da partícula, o que faria de x0 e y0 valores nulos. O
movimento na direção x (MRU) é representado pela Equação 4 e o movimento na direção y (MUV) é representado pela Equação 5: [4]
Equação 4: movimento da partícula na direção x
𝑥 = 𝑥0+ 𝑣0𝑥𝑡
Equação 5: movimento da partícula na direção y
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦−1 2𝑔𝑡
III. MATERIAIS E MÉTODOS 3.1 Materiais Aproximadamente 45cm² de madeira ; Pregos; Martelo; Cortador de madeira; Cabide de metal; Durepoxi ®; Transferidor;
Fita métrica (lona);
Cola instantânea;
Duas esferas de plástico com furo passante;
Linha para crochê de espessura fina;
Coador (de pano) de café;
Balança semi-analítica;
Regua plástica de 30cm;
2 folhas de sulfite;
Papel carbono;
Suporte de madeira em formato de quadrado (lado de 10cm) com furo passante.
Figura 1 – Cortador de Madeira, martelo e pregos
Observação: O diâmetro do coador deverá ser um pouco maior do que o
diâmetro do furo passante do suporte de madeira.
3.2 Métodos da montagem
Figuras 2 (à esq) e 3 (à dir) – Peças de madeira Observações:
I - Peças de mesmo número são iguais e, portanto, possuem as mesmas dimensões.
II - O comprimento do vão da peça 5 foi definido a partir da altura H, L e da maior amplitude possível do transferidor(90°)( vide figura 15). Escolhidas as alturas e considerando o ângulo de 90º, foi calculado o maior alcance possível da esfera para que se assegurasse que ela caísse nesse vão.
Em seguida, as duas peças 6 foram unidas à peça 5, cada uma à uma extremidade, para formar a base do projeto. Utilizou-se para isso martelo e pregos. A figura 4 ilustra essa etapa:
Figuras 4 (à esq.) e 5 (à dir.) – União das peças 5 e 6 e base construída ao
final da etapa
Depois, à base exibida na figura 5, foi anexada a peça 1, conforme mostra a figura 6:
Figura 6 – Peça 1 anexada à base
A próxima etapa foi prender, ainda com pregos, a peça 7 à estrutura construída a fim de firmar a peça 1 com maior segurança à base. Feito isso, o projeto adquiriu a seguinte aparência:
Figura 7 – peça 7 presa à estrutura
Depois, as peças 3 foram pregadas ao projeto para fornecer maior estabilidade à base. Essa etapa também pode ser feita utilizando-se cola de madeira ou cola universal. As peças 3 foram alocadas em cada ângulo formado entre as peças 5 e 6, conforme mostra a figura 8. Além disso, as duas peças 4 e a peça 8 foram pregadas em torno do vão presente na peça 5. Para isso, deixou se uma distancia de 1cm entre o vão e as peças 4, como mostra também a figura 8.
Figura 8 – Projeto após a fixação das peças 3, 4 e 8.
Para finalizar o suporte de madeira, pregou-se a peça 2 à peça 1, 28 cm acima da base dessa última peça. Nessa etapa é essencial que a peça 2 seja alocada exatamente na extremidade da peça 1. O resultado final é exibido na figura 9, a seguir:
Figura 9 – Suporte de madeira finalizado
Com o suporte de madeira finalizado, colou-se a fita métrica com a cola instantânea conforme mostra a figura 10. Tomou-se o cuidado de colocar o zero da fita métrica bem no início do vão. Nessa imagem, a distância citada anteriormente (indicada pela seta) deixada entre o vão e as peças 4 é bem perceptível:
Figura 10 – Fixação da fita métrica ao projeto
Em seguida, abriu-se e cortou-se um cabide de metal de forma que ele se tornasse um “L”. O cabide foi fixado com Durepoxi ® no projeto, de forma que ficasse na direção do centro da peça 2. Aguardou-se a secagem da massa e então encaixou-se um transferidor no cabide. Para isso, fez-se um furo no transferidor utilizando um clipe de metal aquecido. A seguir, a figura 11 ilustra o resultado dessas etapas:
Figura 11 – Vista superior do projeto contendo o cabide e o transferidor
Como o cabide estava em formato de “L”, para colocá-lo no projeto inverteu-se o “L” de forma que a parte horizontal ficasse para cima (vide figura anterior) e a parte vertical ficasse em contato com a traseira da peça 1 e nela fixada com Durepoxi.
A próxima etapa foi a construção de um pêndulo simples utilizando a linha de crochê e uma das esferas. Como a esfera tinha um furo passante, inseriu-se a linha por esse furo e prendeu-se a esfera com um nó. A outra extremidade do fio foi presa ao cabide, conforme mostra a figura 12:
Figura 12 – Pêndulo simples acoplado ao projeto
Por fim, o coador de café foi colocado no furo passante do suporte de madeira e o suporte foi colocado no vão presente na peça 5, de forma que ficasse apoiado nas “distâncias” de 1cm deixadas anteriormente entre o vão e as peças 4, como mostra a figura 13:
Figura 13 - Suporte de madeira e coador adicionados ao projeto
A segunda esfera foi colocada sobre o apoio e o projeto finalizado é exibido na figura 14:
Figura 14 - Projeto finalizado
3.3 Métodos de execução
Primeiramente, as esferas foram pesadas em uma balança semi-analítica por três vezes cada uma.
Depois, uma folha de papel carbono fixa a uma folha de papel sulfite foi colocada sobre o vão da peça 5 de maneira que a extremidade da folha coincidisse com o zero da fita métrica. Depois, suspendeu-se a esfera do pêndulo simples à amplitude de 30°, da qual ela foi abandonada. Ao se chocar com a outra esfera, a segunda se deslocou até tocar o papel carbono. Foram realizados 5 lançamentos para o ângulo de 30° e o mesmo procedimento foi realizado para as amplitudes de 60° e 90°.
Finalizados todos os lançamentos, as folhas foram removidas. A partir das marcas feitas nas folhas de sulfite, mediu-se com uma régua o alcance
(distância da extremidade da folha até cada marca na folha) para cada lançamento. Foram calculadas as médias e desvios-padrão para cada grupo de alcances correspondentes a cada uma das três amplitudes.
IV. RESULTADOS
𝐻 = 29𝑐𝑚 𝑒 𝐿 = 21𝑐𝑚
Figura 15 – Esquema do projeto
Através da esquematização do projeto acima consideramos que: 𝐴 = 𝐿 − 𝐿 cos 𝜃
Utilizamos o conceito de Conservação de energia para encontrar a velocidade no ponto em que chamamos de B. Para isso, usamos a Equação 1 e fizemos as substituições necessárias, sabendo que em A a energia cinética e nula e que em B a energia potencial gravitacional é nula. Assim temos:
𝑚. 𝑔. 𝐴+ 0 = 0 +
1 2𝑚. 𝑣𝐵
2
Portanto a velocidade 𝑣𝐵 é representada pela Equação 6 igual a, 𝑣𝐵 = 2. 𝑔. 𝐴
Quando a esfera 1 (que constitui o pêndulo) atinge a esfera 2 há uma colisão elástica e por isso 𝑣1 = 𝑣2 (de acordo com a Equação 3), ou seja, a velocidade inicial da esfera 2 que está em repouso passa a ser a mesma da velocidade final da esfera 1 quando elas colidem. Isso ocorre, pois há Conservação do Momento linear.
21
Tabela 1: Massa das esferas Esfera 1 (±0,05)g Esfera 2 (±0,05)g 33,65 33,57 33,66 33,59 33,63 33,56 (33,64± 0,01)g (33,57± 0,01)g
Para encontrar o tempo de queda utilizamos a Equação 5 e fazendo as substituições necessárias obtivemos a Equação 7:
𝑦 𝑡 = 𝑦0+ 𝑣0𝑦 + 1 2𝑔. 𝑡𝑞 2 → 0 = 𝐻 + 0 −1 2𝑔. 𝑡𝑞 2
Equação 7: Tempo de queda da esfera 2.
𝑡𝑞 = 2𝐻 𝑔
Considerando que o lançamento é horizontal, ou seja, 𝑣𝐵 na direção do eixo x,
foi encontrado o alcance X, fazendo as substituições precisas na Equação 4 temos: 𝑥 𝑡 = 𝑥0+ 𝑣0𝑡 → 𝑋 = 0 + 𝑣𝐵𝑡𝑞 → 𝑋 = 𝑣𝐵𝑡𝑞 Substituindo as Equações 6 e 7 em X: 𝑋 = 2. 𝑔. 𝐴. 2𝐻 𝑔
Como 𝐴 = 𝐿 − 𝐿 cos 𝜃 então:
𝑋 = 2𝑔 𝐿 − 𝐿 cos 𝜃 .2𝐻 𝑔
Equação 8: ALCANCE
𝑿 = 𝟐 𝑯. 𝑳 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝜽
Para o experimento, usamos a Equação 8 para a determinação do alcance para três diferentes amplitudes, ou seja, diferentes valores de 𝜃.
As constantes possuem valores: 𝐻 = 29𝑐𝑚 𝑒 𝐿 = 21𝑐𝑚.
Após efetuar os lançamentos de três ângulos diferentes (30°, 60° e 90°), foram obtidos os seguintes alcances (vide anexos 1 e 2):
Tabela 2 : Alcances obtidos experimentalmente para cada 𝜃
30° (±0,05)cm 60° (±0,05)cm 90° (±0,05)cm R1 14,70 33,80 46,20 R2 14,30 30,00 42,60 R3 18,20 34,30 45,40 R4 17,10 33,50 48,00 R5 17,30 33,60 47,50 𝑅 (±σR) (16±2)cm (33±2)cm (46±2)cm
Utilizando a Equação 8, os alcances(X) esperados para cada ângulo 𝜃.
Tabela 3 : Alcances calculados para cada ângulo
Ângulo Alcance (cm) 30° 18,1 60° 34,9 90° 49,4
V. DISCUSSÃO
Os alcances calculados, utilizando a Equação 8 e representados na
Tabela 3 são muito próximos dos alcances obtidos experimentalmente para
cada ângulo, como comparado com a Tabela 2. Não foram exatamente iguais pois houve perda de energia durante o processo que não foi considerada – embora o experimento tenha sido feito em ambiente fechado - , assim como o fio que sustenta o projétil foi considerado ideal.
Deve ser considerado também o erro no momento onde o alcance experimental foi verificado pelo fato de não haver uma boa vista já que o projétil cai muito rápido.
Além disso, o local onde a fita métrica foi colada não foi exatamente na reta abaixo de onde haverá colisão entre os corpos. Desse modo foi necessário somar 3 cm no alcance obtido experimentalmente.
Nota-se que quando a segunda bolinha cai dentro do coador, o mesmo tende a escorregar alguns centímetros após o choque, isso se deve à conservação do momento linear.
Por último, deve-se tomar cuidado para não entortar o fio do corpo que irá chocar-se com o segundo pois poderá haver um desvio de percurso deste, o que pode fazê-lo cair para fora do caminho do coador.
VI. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] LINO, Paulo. “A Conservação da energia mecânica”. Disponível em
http://www.blogdaengenharia.com/wp-content/uploads/2013/03/A- Conserva%C3%A7%C3%A3o-da-Energia-Mec%C3%A2nica-%E2%80%93-Parte-01.pdf
[2] Autor desconhecido. “Conservação de energia mecânica”. Disponível em
http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Dinamica/energia3.php [3] Autor desconhecido. “Colisão e as leis de conservação de energia a
momento linear”. Disponível em
http://www.ufjf.br/fisica/files/2010/03/Colis%C3%A3o-e-as-leis-da-conserva%C3%A7%C3%A3o.pdf
[4] SILVA, Romero. “Lançamento de projétil”. Disponível em
