Reconstrução Geométrica
a Partir de Imagens
TIC-10.073
Reconstrução Geométrica
a Partir de Imagens
TIC-10.073
Professor Leandro Augusto Frata Fernandes
laffernandes@ic.uff.br
Professor Leandro Augusto Frata Fernandes
laffernandes@ic.uff.br
Material disponível em
http://www.ic.uff.br/~laffernandes/teaching/2016.1/tic-10.073
Aula 4
Conteúdo
Geometria Projetiva 2D
Tópicos da Aula
Tópicos da Aula
•
Invariante à transformação projetiva
Razão anarmônica
•
Recuperação de propriedades afins
e métricas a partir de imagens
Leituras
Hartley and Zissermann, 2nd ed., 2004, Seções 2.5 a 2.7
2
Razão Anarmônica
Razão Anarmônica
Geometria Projetiva 2D
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Razão Anarmônica
Razão Anarmônica
•
Razão anarmônica
(cross ratio) é uma grandeza
escalar
invariante
à transformações projetivas
cross x
, x
, x
, x
x
, x
x
, x
x
, x
x
, x
para
x
, x
det
̅
̅
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A notação e a imagem assume ℙ
,
Recuperação de Propriedades
Afins e Métricas
Recuperação de Propriedades
Afins e Métricas
Geometria Projetiva 2D
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Propriedades de Interesse
Propriedades de Interesse
•
Propriedades obtidas partir da
linha no infinito
Paralelismo, razão entre distâncias paralelas e razão
entre áreas
•
Propriedades obtidas a partir de
pontos circulares
4
Linha de Fuga
Linha de Fuga
•
A reta no infinito
l
mapeia para uma reta finita
(linha de fuga) sob
transformações projetivas
TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 7
l
l
l
0
0
1
(Transformação projetiva)
Retificação Afim
Como explorar a invariância da linha no infinito
Retificação Afim
Como explorar a invariância da linha no infinito
•
A reta no infinito
l
é fixa
sob
transformações afins
i.e., ela permanece no infinito após a transformação
l′
!
l
"
0
#t
"
1
0
0
1
0
0
1
l
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Transformações afins preservam
paralelismo
,
razão entre distâncias paralelas
e
entre áreas
Retificação afim mapeia a linha de fuga
de volta para o infinito, o que permite
Retificação Afim
Como explorar a invariância da linha no infinito
Retificação Afim
Como explorar a invariância da linha no infinito
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(Projeção)
$(Retificação)
Realidade
Dados Disponíveis
Objetivo
!(Transformação afim)
l
%
&
'
l
l
0
0
1
l
0
0
1
$
1
0
0
0
1
0
%
&
'
Retificação Afim
Retificação Afim
l
l
l
l
v
v
l
v
v
)
$*
Resultado
Preencha cada pixel
+, ,
da imagem resultante com a
intensidade na posição
/, */
6
Cálculo de Ponto de Fuga
A partir de taxas de comprimentos
Cálculo de Ponto de Fuga
A partir de taxas de comprimentos
TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 11
v
a
$b
$c
$Informação conhecida
dist a, b %
dist b, c &
Informação medida sobre a imagem
dist a′, b′ %′
dist b′, c′ &′
Passo 1
Coloque a, b e c em ℙ
como
0,1
,
%, 1
e
% 1 &, 1
Passo 2
Coloque a′, b′ e c′ em ℙ
como
0,1
,
%′, 1
e
%′ 1 &′, 1
Passo 3
Calcule a matriz
2que mapeia
a ↦ a′, b ↦ b′ e c ↦ c′
Passo 4
Obtenha v′ sobre a reta como
v
$2
1
0
Pontos Circulares
Pontos Circulares
•
Pontos circulares
(ou pontos absolutos) são um
par de
pontos no infinito
com
* imagináro
Permitem a construção de círculos como cônicas a partir
de cinco pontos
I 1
1
5
0
e J #
1
5
0
para 5 #1
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Cálculo de Ângulos
Como explorar a invariância de pontos circulares
Cálculo de Ângulos
Como explorar a invariância de pontos circulares
•
Os pontos circulares
I e J são fixos
sob
similaridades
i.e., eles permanece no infinito após a transformação
I
$
7
I
s cos 9
#: sin 9
<
=
: sin 9
: cos 9
<
>
0
0
1
1
5
0
1
5
0
I
J
$
7
J J
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Similaridades preservam
paralelismo
,
razão entre distâncias
,
entre áreas
e
ângulos
Retificação para mapear os pontos
circulares de volta para o infinito, e
recuperar as propriedades citadas
Cálculo de Ângulos
Como explorar a invariância de pontos circulares
Cálculo de Ângulos
Como explorar a invariância de pontos circulares
•
A cônica dual aos pontos circulares
? e @ também é
fixa
sob
similaridade
A
∗
I J
1 J I
A
∗ $
7
A
∗
7
A
∗
No sistema Euclidiano de coordenadas: A
∗1
0
0
1
0
0
0
0
0
.
8
Cálculo de Ângulos
Como explorar a invariância de pontos circulares
Cálculo de Ângulos
Como explorar a invariância de pontos circulares
•
Em geometria Euclidiana, para o cosseno do ângulo
entre as retas l %, &, '
e m %′, &′, '′
temos
cos 9
% %
$
1 & &′
%
1 &
%′
1 &′
•
A expressão análoga invariante à transformações
projetivas
é dada por
cos 9
l
A
∗
m
l
A
∗
l m
A
∗
m
TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 15
l
A
∗
m 0 para
retas ortogonais.
Cálculo de Razão entre Distâncias
Como explorar a invariância de pontos circulares
Cálculo de Razão entre Distâncias
Como explorar a invariância de pontos circulares
TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 16
x
y
z
x′
y′
z′
l′
m′
n′
dist y, z
dist x, z
sin F
sin G
l′
m′
n′
F
G
cos F
cos G
Propriedades Métricas a Partir de Imagens
Propriedades Métricas a Partir de Imagens
TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 17
A
∗ $
A
∗
!
7
A
∗
!
7
!
7
A
∗
7
!
!
A
∗
!
H H
H H
v
v
H H
v
H H
v
H é a componente afim e v a componente projetiva.
A decomposição A
∗ $′
1
0
0
1
0
0
0
0
0
′
mostra que a retificação é dada por ′.
Propriedades Métricas a Partir de Imagens
Caso 1: retificação métrica a partir da afim
Propriedades Métricas a Partir de Imagens
Caso 1: retificação métrica a partir da afim
•
Após a retificação afim, A
∗
reduz para
A
∗ $
H H
0
0
0
•
As imagens l′ e m′ de um par de retas
ortogonais no mundo definem a relação
l′
H H
0
0
0
m′ cos
I
2
0
•
O que fazer: Resolva o sistema homogêneo formado
considerando dois pares de retas ortogonais. As três
10
Propriedades Métricas a Partir de Imagens
Caso 2: retificação métrica a partir da imagem original
Propriedades Métricas a Partir de Imagens
Caso 2: retificação métrica a partir da imagem original
•
As imagens l′ e m′ de um par de retas
ortogonais no mundo definem a relação
l′
H H
H H
v
v
H H
v
H H
v
m′ cos
I
2
0
•
O que fazer: Resolva o sistema homogêneo formado
considerando cinco pares de retas ortogonais. As seis
variáveis são os coeficientes da matriz A
∗ $
TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 19
