Porcentagem e juros
Resumo
Porcentagem
Porcentagem é uma fração de denominador 100.
Ex.: 3
0, 03 3%
100 = = 37 0, 37 37%
100 = =
Mas, e se a fração não tiver denominador 100? É só transformarmos essa fração em uma que tenha denominador 100.
Ex.: 2 40
5 =100 =40%.
Obs.: Se quisermos calcular x% de algum valor y, basta multiplicarmos. Ou seja:
% de
100 x y = x y
Fatores multiplicativos
Para facilitar o cálculo de um valor resultante de um aumento ou desconto percentual, utilizam-se os fatores multiplicativos.
Imagine uma quantidade C que será aumentada em x%. O resultado desse aumento pode ser calculado por:
→ Valor final = 1
100 100
x x
C+ =C C +
Agora imaginemos que C sofra uma redução de x%.
Assim, temos que:
→ Valor final = 1
100 100
x x
C− =C C −
Resumindo:
→ Fator de aumento = 1 100 + x
→ Fator de desconto = 1 100
− x
Juros
A palavra juros é bem familiar ao nosso cotidiano e está amplamente difundida nos mais variados segmentos.
Por exemplo, se uma pessoa pega empréstimo em um banco ou atrasa alguma conta, sabemos que correm juros em cima dessa aplicação. Normalmente, quando se realiza alguma dessas operações, fica estabelecida uma taxa de juros de x% por período, dia, mês ou ano.
Vejamos a seguir alguns termos muito usados em matemática financeira:
• U.M.: unidade monetária (Real, dólar, euro...).
• C: o capital inicial.
• t: tempo.
• i: a taxa de juros.
• M: montante, que corresponde ao capital acrescido dos juros.
• J: juros, que correspondem ao valor obtido quando aplicamos uma taxa de juros sobre o capital.
É sempre verdade que M= +C J .
Juros simples
É a modalidade de juros cuja taxa é aplicada sempre sobre o capital inicial. Sendo a taxa constante e o capital inicial também constante, os juros de cada período também serão constantes.
Para calcularmos os juros, temos:
(
1)
M =C +it ou J =C i t. .
• O tempo e a taxa devem estar na mesma unidade de tempo para se calcular os juros.
E ainda, a taxa não deve ficar em porcentagem, e sim em decimal.
• As parcelas de um pagamento parcelado a juros simples estão em uma progressão aritmética! Cada parcela é sempre acrescida de um valor fixo que, aqui, chamamos de juros.
Juros compostos
É a modalidade de juros em que a taxa é aplicada sobre o montante do período anterior. Diferente do regime de juros simples, onde se calcula primeiro os juros e posteriormente o montante, nos juros compostos calcula- se diretamente o montante, aplicando ao capital inicial o fator multiplicativo elevado ao número de períodos decorridos:
( )( )( ) ( )
1 1 1 ... 1M =C +i +i +i +i por t vezes.
Assim, temos:
( )
. 1 t M = C +i
• As parcelas pagas no regime de juros compostos estão em progressão geométrica!
Exercícios
1. O gráfico abaixo apresenta informações sobre a participação dos três únicos vendedores de uma pequena corretora no valor total de vendas de seguros, no segundo quadrimestre de 2015
Com base nas informações apresentadas, assinale a alternativa que contém uma afirmação correta.
a) Não houve mês em que dois vendedores tiveram o mesmo valor de venda.
b) O valor das vendas de Roberto, em junho, e o valor das vendas de Ana, em julho, foram necessariamente iguais.
c) O valor das vendas de Mário, em agosto, foi necessariamente menor que o valor das vendas de Ana, em julho.
d) No mês de maio, o valor das vendas de Ana necessariamente correspondeu a 250% do valor das vendas de Mário.
e) Em todos os quatro meses do segundo trimestre de 2015, os valores em vendas da corretora foram iguais.
2. Devido ao reajuste de preços dos fornecedores, o dono de uma loja aumentou os valores de todos os produtos em 20%. Percebendo uma grande queda nas vendas, decidiu dar um desconto de 20% sobre o valor aumentado inicialmente. Com isso,o preço final de venda corresponde.
a) ao valor original reduzido em 2%.
b) ao valor do preço original.
c) ao valor do preço original aumentado em 4%.
d) ao valor do preço original reduzido em 4%
e) ao valor do preço original aumentado em 2%.
3. O Produto Interno Bruto (PIB) é uma representação da soma dos valores monetários de todos os bens e serviços produzidos em uma determinada região em um determinado espaço de tempo. O Balinsky (país fictício) tinha em 2016 um PIB que em comparação com o PIB de 2015 cresceu 2%. Já em 2017 o PIB de Balinsky diminui 5% em relação à 2016. A previsão para 2018 é de um crescimento de 3% em relação à 2017. Dessa forma, se a previsão para 2018 se confirmar, podemos afirmar que a variação do PIB de Balinsky do período de 2015 à 2018 foi:
Assinale a alternativa CORRETA .
a) Um decrescimento de aproximadamente 0,2%.
b) Não cresceu nem diminui.
c) Um aumento de aproximadamente 1,8%.
d) Um decrescimento de mais de 2%.
e) Um acréscimo de menos de 1%
4. Transmitida pelo mosquito Aedes aegypti, a dengue é uma doença viral que se espalha rapidamente no mundo. Nos últimos 50 anos, a incidência aumentou 30 vezes, com ampliação da expansão geográfica para novos países e, na presente década, para pequenas cidades e áreas rurais. É estimado que 50 milhões de infecções por dengue ocorram anualmente e que aproximadamente 2,5 bilhões de pessoas morem em países onde a dengue é endêmica.
No Brasil, a transmissão vem ocorrendo de forma continuada desde 1986, intercalando-se com a ocorrência de epidemias, geralmente associadas com a introdução de novos sorotipos em áreas anteriormente indenes ou alteração do sorotipo predominante. O maior surto no Brasil ocorreu em 2013, com aproximadamente 2 milhões de casos notificados. Atualmente, circulam no país os quatro sorotipos da doença.
Considerando o texto acima, podemos afirmar que:
a) Nos últimos 50 anos, a incidência de dengue aumentou 2000%.
b) Nos últimos 50 anos, a incidência de dengue aumentou 3000%.
c) Nos últimos 50 anos, a incidência de dengue aumentou 1000%.
d) Nos últimos 50 anos, a incidência de dengue aumentou 4000%.
e) Nos últimos 50 anos, a incidência de dengue aumentou 5000%.
5. Diante da crise que o país atravessa, uma financeira oferece empréstimos a servidores públicos cobrando apenas juros simples. Se uma pessoa retirar R$8.000,00 desta financeira, à taxa de juros de 16% ao ano, quanto tempo levará para pagar um montante de R$8.320?
a) 2 meses b) 3 meses c) 4 meses
6. Um rapaz possui um carro usado e deseja utilizá-lo como parte do pagamento na compra de um carro novo. Ele sabe que, mesmo assim, terá que financiar parte do valor da compra. Depois de escolher o modelo desejado, o rapaz faz uma pesquisa sobre as condições de compra em três lojas diferentes.
Em cada uma, é informado sobre o valor que a loja pagaria por seu carro usado, no caso de a compra ser feita na própria loja. Nas três lojas são cobrados juros simples sobre o valor a ser financiado, e a duração do financiamento é de um ano. O rapaz escolherá a loja em que o total, em real, a ser desembolsado será menor. O quadro resume o resultado da pesquisa.
A quantia a ser desembolsada pelo rapaz, em real, será a) 14.000.
b) 15.000.
c) 16.800.
d) 17.255.
e) 17.700.
7. Em 2000, certo país da América Latina pediu um empréstimo de 1 milhão de dólares ao FMI (Fundo Monetário Internacional) para pagar em 100 anos. Porém, por problemas políticos e de corrupção, nada foi pago até hoje e a dívida foi sendo “rolada” com a taxação de juros compostos de 8,5% ao ano.
Determine o valor da dívida no corrente ano de 2015, em dólar. Considere (1,085)5 ≅ 1,5.
a) 1,2 milhões.
b) 2,2 milhões.
c) 3,375 milhões.
d) 1,47 milhões.
e) 2 milhões.
8. Renato comprou um carro por R$ 19.000,00. Meses depois, vendeu o carro para seu primo por R$ 20.000,00. Passados mais alguns meses, Renato recomprou o carro do seu primo por R$ 20.500,00 e, em seguida, o vendeu para outra pessoa por R$ 22.000,00. Com o saldo de suas negociações, Renato teve um lucro aproximado, sobre o valor do carro inicialmente adquirido por ele, de
a) 11%
b) 15%
c) 13%
d) 19%
e) 17%
9. O esquema apresenta a concentração de álcool presente em cada 200 mL de diferentes tipos de bebidas.
De acordo com as informações, indique qual o número máximo de taças de vinho, de 300 mL, que podem ser consumidas, semanalmente, por uma mulher que se enquadre no grupo de médio risco.
a) 0 b) 4 c) 7 d) 9 e) 14
10. A conta de telefone de uma loja foi, nesse mês, de R$ 200,00. O valor da assinatura mensal, já incluso na conta, é de R$ 40,00, o qual dá direito a realizar uma quantidade ilimitada de ligações locais para telefones fixos. As ligações para celulares são tarifadas separadamente. Nessa loja, são feitas somente ligações locais, tanto para telefones fixos quanto para celulares. Para reduzir os custos, o gerente planeja, para o próximo mês, uma conta de telefone com valor de R$ 80,00. Para que esse planejamento se cumpra, a redução percentual com gastos em ligações para celulares nessa loja deverá ser de a) 25%
b) 40%
Gabarito
1. D
2. D
3. A
4. B
5. B
6. C
7. C
8. C
9. D
10. E
