Série de Pagamentos
É bastante freqüente, na prática, a ocorrência de operações financeiras que envolvem seqüências de pagamentos. O mais comum é o caso de pagamentos uniformes (constantes), utilizados nos esquemas de vendas a prazo.
Uma série de pagamentos pode ser classificada:
a) Quanto ao valor das parcelas (PMT): UNIFORMES ou VARIÁVEIS b) Quanto ao número de parcelas/prazo (n): FINITOS (TEMPORÁRIOS)
ou INFINITOS (VITALÍCIOS) c) Quanto ao vencimento da 1ª parcela:
ANTECIPADA, POSTECIPADA ou DIFERIDA
Esquematicamente:
I – Série Uniforme, Finita e Antecipada
Exemplo:
Esquematicamente:
II – Série Uniforme, Finita e Postecipada
Exemplo:
Esquematicamente:
III – Série Uniforme, Finita e Diferida
Exemplo:
Teclas da hp12C
Número de parcelas
Taxa do financiamento
Valor financiado = Valor à vista - Entrada
Valor da parcela constante
Têm sinais contrários
Têm mesma unidade de tempo
VALOR ATUAL (VALOR NA DATA ZERO)
g END
Dada a seqüência uniforme temporária:
Então:
PV
entrada) (sem
.i i) (1
1 - i) 1
.( n
n
+
= +
=VA PMT PV
PV
E
entrada) (com
.i i) (1
1 - i) 1
.( n
n
+
= +
−
=VA E PMT PV
IMPORTANTE: O valor atual (PV) de uma série de pagamentos uniformes, cai um período antes da data do primeiro pagamento.
a n i
VA VA=
Exemplos:
1) Um eletrodoméstico, foi financiado em 4 prestações mensais e
iguais a $326,00, sem entrada, com taxa de 3% ao mês. Determine seu valor a vista.
4 x $326,49
0 1 2 3 4 VA=?
hp12C:
g end
326 CHS PMT 4 n
3 i
PV 1.211,77
3%am
Resp.: O valor à vista desse eletrodoméstico é $1.211,77.
2) Um equipamento no valor de $1.500.000,00 foi financiado em 5
prestações mensais e iguais, sendo a primeira dada com entrada, com taxa de juros de 2,5% ao mês. Determine o valor das
prestações.
(1+4) x $?
0 1 2 3 4 VA=1.500.000,00
hp12C:
g begin
1.500.000 PV 5 n
2,5 i
PMT -314.995,41
2,5%am
Resp.: O valor de cada parcela é
$314.995,41.
3) Uma calculadora é vendida a vista por $160,00 ou em quatro prestações mensais e iguais de $45,49 cada uma, vencendo a primeira um mês após a compra. Qual a taxa de juros do financiamento?
4 x $45,49
0 1 2 3 4 VA=$160,00
?%am
hp12C:
g end
45,49 CHS PMT 4 n
160 PV
i 5,3507 %am
Resp.: A taxa mensal de juros é de 5,3507%.
Exercícios Propostos
1) Imagine que um eletrodoméstico é vendido à vista por $ 1.500,00, mas pode ser financiado a uma taxa de juros de 6% ao mês.
Calcule o valor de cada cheque se:
a) for pago em 5 parcelas mensais e iguais, sem entrada;
b) for pago em 10 parcelas mensais e iguais, sem entrada;
c) for pago com uma entrada de $ 300,00 e o saldo em 4 parcelas mensais e iguais;
d) for pago com uma entrada de 15% e o saldo em 10 parcelas mensais e iguais;
e) for pago com um só cheque, para 90 dias.
Exercícios Propostos
1) Imagine que um eletrodoméstico é vendido à vista por $ 1.500,00, mas pode ser financiado a uma taxa de juros de 6% ao mês.
Calcule o valor de cada cheque se:
a) for pago em 5 parcelas mensais e iguais, sem entrada;
b) for pago em 10 parcelas mensais e iguais, sem entrada;
c) for pago com uma entrada de $ 300,00 e o saldo em 4 parcelas mensais e iguais;
d) for pago com uma entrada de 15% e o saldo em 10 parcelas mensais e iguais;
e) for pago com um só cheque, para 90 dias.
n x $?
0 1 2 ... n VA=1500
...
a) f reg g end 1500 PV 5 n 6 i PMT-356,09 b) f reg g end 1500 PV 10 n 6 i PMT-203,80
c) f reg g end 1500 e 300 - 1200 PV 4 n 6 i PMT-346,31 d) f reg g end 1500 e 15 % - 1275 PV 10 n 6 i PMT-173,23 e) f reg 1500 PV 6 i 3n FV -1786,52
E
2) Calcule o preço à vista de cada mercadoria abaixo relacionada considerando uma taxa de juros de 6% ao mês:
a) o bem A é vendido em 4 parcelas mensais e iguais de $ 100,00, sem entrada;
b) o bem B é vendido em 4 parcelas mensais e iguais de $ 200,00, sem entrada;
c) o bem C é vendido em 8 parcelas mensais e iguais de $ 100,00 sem entrada;
d) o bem D é vendido com uma entrada de $ 200,00, mais 5 parcelas mensais e iguais de 120,00;
e) o bem E é vendido com uma entrada de $ 100,00, mais 7 parcelas mensais e iguais de $ 100,00 3) Uma loja vende eletrodomésticos e usa uma taxa de juros de 3% para financiamento. Apresente :
a) Qual a prestação de um bem de $ 800,00 que é vendido em 10 prestações mensais e iguais, sem entrada?
b) Qual a nova prestação caso o bem acima seja vendido em 10 parcelas, sendo a primeira dada como entrada?
c) Qual a prestação se um bem de $ 600,00 a vista for pago em 5 parcelas mensais e iguais, sendo a primeira dada como entrada?
d) Qual o valor a vista de um bem que é vendido em 6 parcelas mensais e iguais de $ 250,00 sem entrada?
e) Qual o valor a vista do bem caso seja vendido em 6 parcelas mensais e iguais de $ 250,00 sendo a primeira dada à vista?
4) Você quis comprar um carro novo $ 25.000,00 e para isso deu o seu carro usado como entrada e
financiou o restante em 30 parcelas mensais e iguais de $ 450,00. Se a taxa de juros do financiamento é de 2% ao mês, apresente o valor do seu carro usado.
Exercícios Fixação (livro - páginas:161 a 163)
2) Calcule o preço à vista de cada mercadoria abaixo relacionada considerando uma taxa de juros de 6% ao mês:
n x PMT
0 1 2 ... n VA=?
d) o bem D é vendido com uma entrada de $200,00, mais 5 parcelas mensais e iguais de 120,00;
f reg g end 5 n 6 i 120 CHS PMT PV505,48 e 200 +705,48
e) o bem E é vendido com uma entrada de $ 100,00, mais 7 parcelas mensais e iguais de $ 100,00
f reg g end 7 n 6 i 100 CHS PMT PV558,24 e 100 + 658,24
Ou
f reg g begin 8 n 6 i 100 CHS PMT PV658,24
a) o bem A é vendido em 4 parcelas mensais e iguais de $ 100,00, sem entrada;
f reg g end 4 n 6 i 100 CHS PMT PV346,51
b) o bem B é vendido em 4 parcelas mensais e iguais de $ 200,00, sem entrada;
f reg g end 4 n 6 i 200 CHS PMT PV693,02
c) o bem C é vendido em 8 parcelas mensais e iguais de $ 100,00 sem entrada;
f reg g end 8 n 6 i 100 CHS PMT PV620,98
n x PMT
0 1 2 ... n VA=?
E
3) Uma loja vende eletrodomésticos e usa uma taxa de juros de 3% para financiamento.
Apresente :
a) Qual a prestação de um bem de $ 800,00 que é vendido em 10 prestações mensais e iguais, sem entrada?
f reg g end 800 PV 10 n 3 i PMT-93,78
b) Qual a nova prestação caso o bem acima seja vendido em 10 parcelas, sendo a primeira dada como entrada?
f reg g begin 800 PV 10 n 3 i PMT-91,05
c) Qual a prestação se um bem de $ 600,00 a vista for pago em 5 parcelas mensais e iguais, sendo a primeira dada como entrada?
f reg g begin 600 PV 5 n 3 i PMT-127,20
d) Qual o valor a vista de um bem que é vendido em 6 parcelas mensais e iguais de $ 250,00 sem entrada?
f reg g end 6 n 3 i 250 CHS PMT PV1354,30
e) Qual o valor a vista do bem caso seja vendido em 6 parcelas mensais e iguais de $ 250,00 sendo a primeira dada à
vista?
f reg g begin 250 CHS PMT 6 n 3 i PV1394,93
n x PMT 0 1 2 ... n VA=?
END
0 1 2 ... n VA
(1+n) x PMT BEGIN
4) Você quis comprar um carro novo $ 25.000,00 e para isso deu o seu carro
usado como entrada e financiou o restante em 30 parcelas mensais e iguais de $ 450,00. Se a taxa de juros do financiamento é de 2% ao mês, apresente o valor do seu carro usado.
30 x $450
0 1 2 ... 30 VA=25000
E
f reg g end 30 n 2 i 450 CHS PMT PV
10.078,41 e 25000
x><y – 14.921,60 Valor financiado Valor da Entrada(EXTRA) Qual a taxa de juros dos financiamentos abaixo?
a)
0 1 2 ... 9 VA=229
(1+9)x 26,90 BEGIN
f reg g begin 229 PV 10 n 26,90 CHS PMT i 3,7725 %am
b)
15 x 46,90 0 1 2 ... 15 VA=599
END
f reg g end 599 PV 15 n 46,90 CHS PMT i 2,0809 %am
Série Diferida
Período de carência
Ex.1A - Um terreno é vendido a vista por $50mil ou prazo em seis parcelas mensais e iguais, vencendo a primeira três meses após a compra. Se a taxa de juros do
financiamento é de 2%am, qual o valor das prestações?
6 x $?
0 1 2 3 4 ... 8 VA=50.000
+5
1º passo: Levar o dinheiro (50mil) para a série na data da primeira parcela
f reg 50000 PV 2 i 3 n FV-53060,40 data 3
f fin-53060,40 CHS PV g begin 6 n 2 i data 3
PMT-9.286,91
2º passo: determinar o valor da parcela
Ex.1B - Um terreno é vendido a vista por $50mil ou prazo em seis parcelas mensais e iguais, vencendo a primeira três meses após a compra. Se a taxa de juros do
financiamento é de 2%am, qual o valor das prestações?
6 x $?
0 1 2 3 4 ... 8 VA=50.000
+5
1º passo: Levar o dinheiro (50mil) para a série na data anterior à primeira parcela
f reg 50000 PV 2 i 2 n FV-52.020,00 data 2
f fin-52.020,00 CHS PV g end 6 n 2 i data 2
PMT-9.286,91
2º passo: determinar o valor da parcela
Ex.2A - Uma moto é vendida a prazo em dez parcelas mensais e iguais a $2mil cada, vencendo a primeira dois meses após a compra. Qual preço a vista se a taxa de juros do financiamento é de 3,5%am?
10 x $2mil
0 1 2 3 4 ... 11 VA=?
+9 BEGIN
1º passo: Determinar PV na data 2
f reg g begin 10 n 2000 CHS PMT 3,5 i PV 17.215,37
data 2
2º passo: Levar o dinheiro para a data Zero f fin 17.215,37 CHS FV 2 n 3,5 i
data 2 PV16.070,73
Ex.2B - Uma moto é vendida a prazo em dez parcelas mensais e iguais a $2mil cada, vencendo a primeira dois meses após a compra. Qual preço a vista se a taxa de juros do financiamento é de 3,5%am?
10 x $2mil
0 1 2 3 4 ... 11 VA=?
+9 END
1º passo: Determinar PV na data 1 f reg g end 10 n 2000 CHS PMT 3,5 i PV 16.633,21
data 1
2º passo: Levar o dinheiro para a data Zero f fin 16.633,21 CHS FV 1 n 3,5 i
data 1 PV16.070,73
Ex.3 - Uma moto é vendida a vista por $18.000,00 ou a prazo em vinte parcelas mensais e iguais a $1mil cada, vencendo a primeira três meses após a compra.
Qual a taxa mensal de juros do financiamento?
20 x $1mil
0 1 2 3 4 ... 22 VA=18000
+19
Cálculo da taxa de juros de uma série diferida
Teclas do cash flow
Sendo:
NPV ... Net Present Value (Valor Presente Líquido)
IRR ... Internal Rate of Return (Taxa Interna de Retorno)
Ex.3 - Uma moto é vendida a vista por $18.000,00 ou a prazo em vinte parcelas mensais e iguais a $1mil cada, vencendo a primeira três meses após a compra.
Qual a taxa mensal de juros do financiamento?
20 x $1mil
0 1 2 3 4 ... 22 VA=18000
+19
f reg
18.000 g CF0 0 g CFj
2 g Nj
1.000 CHS g CFj 20 g Nj
f IRR 0,8562 %am
Ex.2C - Uma moto é vendida a prazo em dez parcelas mensais e iguais a $2mil cada, vencendo a primeira dois meses após a compra. Qual preço a vista se a taxa de juros do financiamento é de 3,5%am?
10 x $2mil
0 1 2 3 4 ... 11 VA=?
+9
