Lei de Gauss
1. Fluxo elétrico
A palavra fluxo se relaciona com o ato de escoar que no estudo dos fluidos representam as linhas de corrente do escoamento do fluido. Cada molécula do fluido apresenta a sua velocidade vetorial dentro do escoamento. Se este vetor velocidade é constante em módulo, direção e sentido o escoamento é dito fluxo estacionário no espaço.
Se dispusermos uma área A perpendicularmente às linhas de corrente do campo de escoamento de um fluido, temos o fluxo do campo de velocidade representando pela vazão através da área A.
Se a área A gira de um ângulo θ, a projeção da área de A cos θ, na direção perpendicular à corrente, é menor do que A e consequentemente o número de linhas de campo que atravessam esta área é menor do que no caso na direção perpendicular. A área se orienta por um vetor diretor conectado perpendicular ao plano de área A.
As linhas de força definidas por Faraday que representam os campos elétricos de cargas elétricas também produzem um fluxo elétrico através de uma área A descrita por um produto vetorial
E = E.A
entre o vetor campo elétrico E e a área vetor diretor A, onde é o ângulo entre os dois vetores.
Se a carga que origina o campo for negativo, então, como o campo elétrico é dirigido para a carga, o fluxo é negativo.
2. Lei de Gauss
A lei de Gauss é uma relação matemática, idealizada por Carl Friedrich Gauss, que estabelece a intensidade de de qualquer fonte de emissão com seu fluxo Φ produzido que atravessa uma superfície fechada que envolve a fonte.
Podemos exemplificar a fonte como cargas elétricas produzindo campos elétricos, massas gerando campos gravitacionais, uma estrela emitindo luz em todas as direções, um material radioativo emitindo radioatividade.
O fluxo através de uma superfície fechada que contém uma carga elétrica q em seu interior é o resultado do produto escalar descrito por uma integral de superfície fechada, chamada de superfície Gaussiana,
Dda onde D.dA é um produto escalar elementar do vetordeslocamento D com um elemento de área dA normal à superfície e orientada positivamente para fora.
Se escolhemos a fonte geradora como as cargas elétricas q suas linhas de força atravessam a superfície gaussiana fechada com intensidade de fluxo proporcional à carga elétrica contida dentro da superfície. Se a carga envolvida pela superfície for positiva, então o vetor deslocamento D é dirigido para fora com um ângulo com a normal menor do que 90 graus, deixando o produto escalar e o fluxo positivos. No caso da carga elétrica ser negativa, o vetor deslocamento é voltado para o interior da superfície tornando o produto escalar e o fluxo negativos.
q a d D
O material elétrico preenchido ao redor desta carga elétrica sofre sua influência e ao mesmo tempo torna-se polarizada. Por uma escolha de um material dielétrico de permissividade elétrica no vácuo o.
E D o
Que finalmente apresenta a lei de Gauss para o estudo de eletrostática como,
o
a q d E
O fluxo do campo elétrico, produzido por uma distribuição de carga q, através de uma superfície fechada que envolve a carga q, é igual à razão entre a carga q e a permissividade elétrica do meio ao qual pertence a superfície.
O significado do produto escalar permite concluir que cada elemento de área da superfície gaussiana é projetado na direção transversal ao vetor campo elétrico conduzindo para uma simetria esférica. Como cada elemento de área à tem um crescimento r2 com a distância r; o fluxo é mantido constante porque a diminuição do campo elétrico atuante neste elemento de área com o inverso do quadrado da distância, 1/r2, que compensa o aumento de área com o quadrado da distância r2. Desta forma, qualquer que seja o formato ou a distância da superfície gaussiana, como a carga elétrica no interior é constante, o fluxo também é o mesmo, ainda que a posição da carga elétrica seja alterada no interior da superfície gaussiana.
A figura mostra que o fluxo das linhas de força de 6 retas que atravessam duas superfícies gaussianas em um mesmo número de pontos, qualquer que seja o formato ou a dimensão da superfície que envolve a carga elétrica localizada no centro.
Por meio desta lei de Gauss, podemos determinar o campo elétrico se conhecida a carga que o produziu, ou ainda, podemos determinar a carga elétrica geradora se conhecida o campo elétrico produzido.
Portanto, pode-se determinar adequadamente o campo elétrico de uma distribuição de cargas elétricas fazemos uso de superfícies que apresentam simetria esférica ou cilíndrica, conforme a distribuição de cargas elétricas.
Aplicações da Lei de Gauss
A lei de Gauss é considerada uma das quatro equações de Maxwell reunidas por James Clerk Maxwell que constituem os pilares do eletromagnetismo.
Os exemplos a seguir nos mostrarão a conveniência do uso da lei de Gauss nos casos em que os campos elétricos apresentem uma adequada simetria.
a) Lei de Coulomb
Consideremos uma carga elétrica puntiforme positiva no centro de uma superfície esférica gaussiana de raio r onde o vetor campo elétrico está sendo determinado.
Foi escolhida uma superfície esférica simétrica com vetor campo elétrico na mesma direção do vetor elementar normal adotado para fora da superfície gaussiana.
o
o
q
dA
E
cos 0
o
dA q E
O campo elétrico E tem seu módulo constante e o restante da integral corresponde a área da superfície esférica 4πr2. Assim, a expressão do campo elétrico para a lei de Coulomb pode ser confirmada pela aplicação da lei de Gauss,
o
r q E 4
2
4
21 r E q
o
b) Fio Infinito
Para o tratamento do campo elétrico de um fio infinito, eletrizado uniformemente com densidade linear positiva,
escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica, de raio r e altura h, concêntrico com o fio e contendo uma carga elétrica em seu interior de q = h. O campo elétrico ao redor do fio infinito é
A superfície cilíndrica é dividida em três partes a saber, duas bases circulares e a lateral do cilindro.
o
a q d E
B B L o
a q d E
L o
a q d E
As linhas de força não atravessam as superfícies das bases uma vez que os elementos de área são perpendiculares aos vetores campos elétricos e seus produtos escalares são nulos. Restando apenas o fluxo na superfície lateral do cilindro, o módulo do campo elétrico na lateral do cilindro é constante e o resultado da integral é a área lateral de 2πrh. A carga elétrica contida no cilindro é q=λh, Portanto, o campo elétrico do fio infinito diminui com a distância ao fio.
o
da h
E
o
rh h
E
2
E r
o
1
2
2
c) Plano Infinito
O campo elétrico gerado por um plano infinito eletrizado uniformemente com densidade superficial pode ser analisado utilizando-se um cilindro reto de área da base igual a A e de altura h. O cilindro é posicionado perpendicularmente à superfície do plano, com a metade do cilindro acima e outra metade abaixo da superfície.
A porção de carga q =A, está contida no interior do cilindro. A integral da lei de Gauss é dividida em duas bases e a lateral do cilindro.
o
dA q E
o
dA q E
chegamos a
o
EA A
o
E
As linhas de força são perpendiculares às bases do cilindro e portanto o fluxo elétrico lateral é nulo.
Por exemplo o tambor condutor da máquina de fotocópia de uma copiadora tem uma carga elétrica de 3,2 x 10─7 C e gera um campo elétrico imediatamente próxima da sua superfície de módulo igual a 2,3x 105N/C.
d) Esfera Condutora
Vamos usar a lei de Gauss para determinar o campo elétrico dentro e fora de uma esfera metálica, de raio a, eletrizada com densidade superficial elétrica σ.
Para uma superfície gaussiana de raio r menor do que a esfera condutora não apresenta nunhuma carga elétrica em seu interior. Portanto, o fluxo elétrico nesta superfície gaussiana de raio r é nulo e o campo elétrico em todos os pontos interiores da esfera condutora, r < a, é zero,
E1 = 0.
A superfície gaussiana na parte externa, r>a, da esfera condutora, apresenta o vetor campo elétrico paralelo ao elemento de área da superfície gaussiana de módulo do constante,
o
dA a
E
2
2
4
e o restante da integral igual à área da superfície esférica, 4πr2. A carga elétrica no interior da gaussiana é a carga contida na superfície da esfera de q = 4πa2σ.
Portanto o campo elétrico num ponto da superfície gaussiana é
o
r a
E
2
22
4 4
2 2 2
1 r E a
o
Quando se estabelece o equilíbrio eletrostático na eletrização de um condutor de qualquer formato, a densidade superficial de cargas elétricas é mais intensa nas regiões pontiagudas do que nas regiões lisas.
e) Condutor qualquer
O campo elétrico próximo à superfície do condutor tem direção perpendicular à superfície do condutor, pelo fato de não existir uma corrente superficial. Usaremos um pequeno cilindro de área de base A e altura h, com sua metade no interior do condutor e outra metade fora do condutor. A base do cilindro no interior do condutor não apresenta um fluxo elétrico pois o campo elétrico dentro do condutor é nulo. Somente a base do cilindro do lado de fora contribui com um campo elétrico .
o
a q d E
o
EA A
o
E
Exercícios Propostos
P01
. Uma esfera dielétrica de raio, a, está eletrizada com densidade volumétrica (C/m3) de carga positiva.Usando a lei de Gauss. Mostrar que o campo elétrico, a) dentro da esfera E1 ( 0 < r < a) ;
r E
o
1
3
b) fora da esfera E2 ( r > a ).
r E a
o 3 2
3
Esboçar o seu gráfico
P02
. A figura mostra uma casca esférica com densidade de carga uniforme. Mostrar que o campo elétricoa) na região de raio menor do que a, 0< r < a ; E1=0 b) na casca dielétrica, E2( a < r < b) ;
2 3 3
2
3 r
a E r
o
c) fora da casca dielétrica, E3 (r > b);
2 3 3
3
3 r
a E b
o
d) esboçar um gráfico do espaço.
P03
. A figura ao lado mostra uma carga +q, uniformemente distribuída sobre uma esfera não condutora de raio a e localizada no centro de uma casca esférica, condutora, de raio interno b e raio externo c.A casca externa possui uma carga q. Mostrar que o campo elétrico
a) no interior da esfera, E1 (0< r < a) ;
1 3
4 a
r E q
o
b) entre a esfera e a casca, E2 (a < r <b) ;
2 2
4 1
r E q
o
c) dentro da casca, E3 (b < r < c) ; E3 = 0
d) fora da casca, E4 (r > c) ; E4 = 0
e) a carga q surge sobre a superfície interna .
P04
. Uma esfera maciça, não condutora, de raio a, possui uma distribuição de carga não uniforme, com densidade de cargas
r a
o
onde 0 é uma constante e r é a distância ao centro da esfera. Mostrar que,
a) a carga total da esfera;
a
3q
ob) o campo elétrico no interior da esfera, E1(0< r < a) ; 2
1
4 r
E a
o o
c) o campo elétrico fora da esfera, E2(r > a) ;
2 3 2
1 4 r E a
o o
Esboçar o seu gráfico
P05
. Um cilindro dielétrico de raio, a, e comprimento infinito está eletrizado com densidade volumétrica de carga elétrica positiva (C/m3) constante.Mostrar que o campo elétrico,
a) no interior do cilindro E1 ( 0< r < a ) ;
r E
o
1
2
b) fora do cilindro E2 ( r > a ).
r E a
o 2 2
2
Esboçar o gráfico em todo o espaço.
P06
. Um cilindro condutor muito longo, de raio a, eletrizado com uma densidade de carga elétrica de + é envolvido por uma casca cilíndrica condutora, de raio interno b e raio externo c, carregado com densidade linear de carga elétrica negativa 2, conforme a figura. Use a Lei de Gauss e mostrar que o campo elétricoa) no interior do condutor cilíndrico E1 ( 0 <r < a ) ; E1 = 0
b) no espaço E2 ( a < r <b ) ;
E r
o
1
2
2
c) dentro da casca condutora E3 ( b < r < c ) ; E3 = 0
d) fora da casca condutora E4 ( r > c ) ;
E r
o
1
4
2
e) que a distribuição de carga elétrica será -λ no raio r=b e também - no raio r = C.
Esboçe o seu gráfico
Resumo
