Exercícios de exames e provas oficiais

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Exercícios de exames e provas oficiais

1. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal de valor médio 10.

Sabe-se que ^P  ^{10  X  15}  ^{ 0, 4}

Qual é o valor de ^{P X}  ^{  5 X  15}  ^?

(A) 0,68 (B) 0,34 (C) 0,32 (D) 0,16

matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2017

2. Considere duas caixas, C

e C

. A caixa C

tem 12 bolas, das quais cinco são brancas e as restantes são pretas, A caixa C

tem sete bolas, umas brancas e outras pretas.

Considere agora a caixa C

com a sua constituição inicial (12 bolas, das quais cinco são brancas e sete são pretas).

Retira-se, ao acaso, uma bola dessa caixa, regista-se a sua cor e coloca-se novamente a bola na caixa. Repete-se esta experiência seis vezes.

Determine a probabilidade de, nessas seis vezes, sair bola branca, pelo menos, duas vezes.

Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas.

Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2017

3. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável X é a seguinte.

x

1 2 3 4





P X  x 1

3

1 4

1 6

1 4 Qual é o valor da probabilidade condicionada ^{P X}  ^{ 1| X  3}  ^?

(A) 3

4 (B) 1

4 (C) 8

9 (D) 5

9

matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2017

4. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal de valor médio 2 e desvio padrão 0,5.

Qual é o valor, arredondado às centésimas, de P X   2,5  ?

(A) 0,68 (B) 0,34 (C) 0,32 (D) 0,16

matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2016

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5. O Carlos joga basquetebol na equipa da sua escola.

Admita que, em cada lance livre, a probabilidade de o Carlos encestar é 0,4.

Num treino, o Carlos vai executar uma série de cinco lances livres.

Qual é a probabilidade de o Carlos encestar exatamente quatro vezes?

(A) 0,01536 (B) 0,05184 (C) 0,0768 (D) 0,2592

matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2016

6. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal de valor médio 10.

Sabe-se que ^P  ^{7  X  10}  ^{ 0,3 .}

Qual é o valor de ^{P X}  ^{ 13}  ^?

(A) 0,1 (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0,4

matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2016

7. Considere nove bolas, quatro numeradas com o número 1, quatro com o número 2 e uma com o número 4.

Colocam-se as nove bolas, que são indistinguíveis ao tato, num saco vazio. Em seguida, retiram-se, simultaneamente e ao acaso, duas bolas desse saco.

Seja X a variável aleatória: «produto dos números das duas bolas retiradas».

Construa a tabela de distribuição de probabilidade da variável X.

Apresente as probabilidades na forma de fração irredutível.

matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2016

8. Um saco contém nove bolas numeradas de 1 a 9, indistinguíveis ao tato.

Considere a seguinte experiência aleatória: retiram-se simultaneamente e ao acaso, duas bolas do saco, adicionam-se os respetivos números e colocam-se novamente as bolas no saco.

Considere que esta experiência é repetida dez vezes.

Seja X o número de vezes em que a soma obtida é igual a 7.

A variável aleatória X tem distribuição binomial, pelo que

 

^{1 11}

  ^0,1,...,10  

12 12

n n

P X n C

n

   

          

Elabore uma composição em que explique:

• como se obtém 1

12 (probabilidade de sucesso);

• o significado de 11

12 , no contexto da situação descrita;

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• o significado da expressão

C

, tendo em conta a sequência das dez repetições da experiência.

matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2015

9. A tabela de distribuição de probabilidades de uma certa variável aleatória X é

x

1 2 3





P X  x a 2a 0,4

(a designa um número real)

Qual é o valore médio desta variável aleatória?

(A) 2,1 (B) 2,2 (C) 2,3 (D) 2,4

matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2015

10. Uma caixa tem seis bolas distinguíveis apenas pela cor: duas azuis e quatro pretas.

Considere a experiência aleatória que consiste em retirar dessa caixa, simultaneamente e ao acaso, três bolas.

Seja X a variável aleatória «número de bolas azuis que existem no conjunto das três bolas retiradas».

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X.

Apresente as probabilidades na forma de fração.

matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2014

11. Uma caixa tem nove bolas distinguíveis apenas pela cor: seis pretas, duas brancas e uma amarela.

Considere a experiência aleatória que consiste em retirar dessa caixa uma bola de cada vez, ao acaso e sem reposição, até ser retirada uma bola preta.

Seja X a variável aleatória «número de bolas retiradas dessa caixa».

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X.

Apresente as probabilidades na forma de fração.

matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2014

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12. A tabela de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é a seguinte.

x

0 2 4





P X  x a b 0,3

Sabe-se que:

• a e b designam números reais positivos;

• o valor médio da variável X é igual a 2,2 Qual é o valor de a?

(A) 0,1 (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0,4

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 29-11-2013

13. Uma variável aleatória X tem distribuição normal.

Sabe-se que P X   40  é inferior a P X   30 

Qual dos números seguintes pode ser o valor médio da variável aleatória X?

(A) 32 (B) 35 (C) 38 (D) 41

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 29-11-2013

14. Numa caixa, estão cinco bolas, indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a 5.

Considere a experiência aleatória que consiste em retirar ao acaso e em simultâneo três bolas da caixa e observar os seus números.

Sejam X e Y as variáveis aleatórias seguintes.

X: «o número de bolas retiradas com número ímpar»;

Y: «soma dos números das bolas retiradas».

Construa a tabela de distribuição de probabilidade da variável aleatória X.

Apresente as probabilidades na forma de fração irredutível.

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 29-11-2013

15. O João tem uma coleção de dados, uns com a forma de um cubo (dados cúbicos) e os outros com a forma de um octaedro (dados octaédricos).

Os dados cúbicos são equilibrados e têm as faces numeradas de 1 a 6.

O João lança oito vezes um dos dados cúbicos.

Qual é a probabilidade de a face com o número 1 sair pelo menos duas vezes?

Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas.

Nota – Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 29-11-2013

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16. As classificações obtidas pelos alunos de uma escola num teste de Português seguem, aproximadamente, uma distribuição normal, de valor médio 11,5 valores. Vai ser escolhido, ao acaso, um desses testes. Considere os acontecimentos seguintes.

I: «a classificação do teste é superior a 12 valores»;

J: «a classificação do teste é superior a 16,5 valores»;

K: «a classificação do teste é inferior a 9 valores».

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) ^{P J}   ^{ P K}   ^{ P I}   ^{(B) P K}   ^{ P I}   ^{ P J}  

(C) ^{P I}   ^{ P K}   ^{ P J}   ^{(D) P K}   ^{ P J}   ^{ P I}  

matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2013

17. Num saco estão doze bolas, indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a 12.

17.1. O João retira três bolas do saco, ao acaso, de uma só vez.

Seja X a variável aleatória «número de bolas retiradas com um número múltiplo de 5».

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X.

Apresente as probabilidades na forma de fração.

17.2. Considere agora o saco com a sua constituição inicial.

O João retira, ao acaso, uma bola do saco, regista o número da bola retirada e repõe essa bola no saco. Em seguida, retira, ao acaso, uma segunda bola do saco, regista o número da bola retirada e repõe essa bola no saco, e assim sucessivamente, até registar uma série de 8 números.

Considere a afirmação seguinte:

«A probabilidade de o João registar exatamente 5 números que sejam múltiplos de 3 é dada por

5 3

8 5

1 2

3 3 C

     

   

    , aplicando o modelo binomial.»

Elabore uma composição na qual:

• apresente um raciocínio que justifique a veracidade da afirmação;

• refira as condições de aplicabilidade do modelo binomial.

matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2013

18. Numa conferência de imprensa, estiveram presentes 20 jornalistas.

Considere a experiência aleatória que consiste em escolher, ao acaso, um dos 20 jornalistas presentes nessa conferência de imprensa.

Seja X a variável aleatória «número de jornalistas do sexo feminino escolhidos». A tabela de distribuição de probabilidades da variável X é a seguinte.

x

0 1





P X  x 2

5

3

5

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Considere agora a experiência aleatória que consiste em escolher, ao acaso, dois dos 20 jornalistas presentes nessa conferência de imprensa.

Seja Y a variável aleatória «número de jornalistas do sexo feminino escolhidos».

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável Y.

Apresente as probabilidades na forma de fração.

matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2013

19. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte.

x

0 1 2 3





P X  x a 2a b b

Sabe-se que:

• a e b são números reais;

• ^{P X}  ^{  1}  ^{P X}  ^{ 2} 

Qual é o valor médio da variável aleatória X?

(A) 3

2 (B) 7

5 (C) 17

9 (D) 19

12

matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2013

20. Considere uma variável aleatória X com distribuição normal de valor médio 11 e desvio padrão  .

Sabe-se que  é um número natural e que ^{P X}  ^{ 23}  ^{ 0,02275 .}

Qual é o valor de  ?

(A) 12 (B) 11 (C) 6 (D) 4

matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2013

21. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal de valor médio  e desvio padrão

 

 ^{X ~ N ,} 

   .

Sabe-se que:

•   5

• ^P  ^{4,7  X   5}  ^0,3

Qual dos números seguintes pode ser o valor de  ?

(A) 0,1 (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0,4

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 28-02-2013

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22. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte.

x

0 1 2





P X  x b

a 2a

Sabe-se que:

• a e b são números reais;

• o valor médio da variável aleatória X é 35 24 Qual é o valor de b?

(A) 1

4 (B) 1

3 (C) 1

2 (D) 1

5

matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2012

23. A empresa AP comercializa pacotes de açúcar.

Seja Y a variável aleatória «massa, em gramas, de um pacote de açúcar comercializado pela empresa AP».

A variável aleatória Y segue uma distribuição normal de valor médio 6,5 gramas e desvio padrão 0,4 gramas.

Um pacote de açúcar encontra-se em condições de ser comercializado se a sua massa estiver compreendida entre 5,7 gramas e 7,3 gramas.

Determine o valor aproximado da probabilidade de, em 10 desses pacotes de açúcar, exatamente oito estarem em condições de serem comercializados.

Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às milésimas.

matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2012

24. Num saco estão cinco bolas, indistinguíveis ao tato, cada uma delas numerada com um número diferente: -2, -1, 0, 1 e 2.

Extraem-se, ao acaso e em simultâneo, quatro bolas do saco.

Seja X a variável aleatória «produto dos números inscritos nas bolas extraídas».

A tabela de distribuição de probabilidades da variável X é a seguinte.

Elabore uma composição na qual:

• Explique os valores da variável X

• Justifique cada uma das probabilidades

matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2012

x

0 4





P X  x 4

5

1

5

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25. Uma caixa, que designaremos por caixa 1, tem uma bola branca e duas bolas pretas.

Considere a experiência que consiste em tirar, ao acaso, uma bola da caixa 1, observar a sua cor e voltar a colocar a bola na caixa. Efetua-se esta experiência cinco vezes.

Qual é a probabilidade de sair bola preta pelo menos quatro vezes?

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 24-05-2012

26. Uma turma de 12º ano é constituída por 14 raparigas e 10 rapazes.

Vão ser escolhidos aleatoriamente dois jovens desta turma, para constituírem uma comissão que participará num congresso.

Seja X o número de raparigas que integram a comissão.

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X Apresente as probabilidades na forma de fração irredutível.

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 13-03-2012

27. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte.

x

0 1 2 3 4 5





P X  x 2a a b b b 1

10 Sabe-se que:

• a e b são números reais;

• ^{P X}  ^{  1}  ^{3 P X}  ^{ 5} 

Qual é o valor de b?

(A) 1

10 (B) 4

15 (C) 7

30 (D) 1

5

matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2011

28. Seja a um número real positivo e seja X uma variável aleatória com distribuição Normal

  ^0,1

N .

Qual das igualdades seguintes é verdadeira?

(A) ^{P X}  ^{ a}  ^{ P X}  ^{   a}  ^{0 (B) P X}  ^{ a}  ^{ P X}  ^{  a} 

(C) ^{P X}  ^{ a}  ^{ P X}  ^{   a}  ^{1 (D) P X}  ^{ a}  ^{ P X}  ^{ a} 

matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2011

29. Uma companhia aérea vende bilhetes a baixo custo exclusivamente para viagens cujos destinos sejam Berlim ou Paris.

Nove jovens decidem ir a Berlim e escolhem essa companhia aérea. Cada jovem paga o

bilhete com cartão multibanco, ou não, independentemente da forma de pagamento utilixada

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pelos outros jovens. Considere que a probabilidade de um jovem utilizar cartão multibanco, para pagar o seu bilhete, é igual a 0,6.

Determine a probabilidade de exatamente 6 desses jovens utilizarem cartão multibanco para pagarem o seu bilhete.

Apresente o resultado com arredondamento às centésimas.

matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2011

30. Para um certo número real a, a tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte.

x

 1 0 1





P X  x 1

2

1

3 a

Qual é o valor de a?

(A) 1

3 (B) 1

4 (C) 1

5 (D) 1

6

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 26-05-2011

31. A Filipa pratica atletismo.

O tempo X, em segundos, que a Filipa demora a correr os 400 metros é uma variável aleatória bem modelada por uma distribuição normal de valor médio 80.

Sabe-se que P  76  X  80   0, 4 .

Para um certo valor de a, tem-se P X   a   0,1 . Qual é o valor de a?

(A) 78 (B) 82 (C) 84 (D) 88

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 19-01-2011

32. Um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, é lançado quinze vezes.

Indique qual dos acontecimentos seguintes tem probabilidade igual a

15 14

15 1

5 1 5

1        6  C   6       6 (A) A face 4 sai pelo menos uma vez

(B) A face 4 sai pelo menos duas vezes (C) A face 4 sai no máximo uma vez (D) A face 4 sai no máximo duas vezes

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 19-01-2011

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33. Uma caixa contém quatro bolas brancas e quatro bolas pretas.

Considere a experiência seguinte.

«Tira-se, ao acaso, uma bola da caixa. Se a bola for branca, repõe-se na caixa; se a bola for preta, deixa-se ficar fora da caixa.

Em seguida, tira-se, também ao acaso, uma segunda bola da caixa, e procede-se do mesmo modo: se a bola for branca, repõe-se na caixa; se a bola for preta, deixa-se ficar fora da caixa.»

Seja X o número de bolas que, no final da experiência, estão fora da caixa.

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X.

Apresente as probabilidades na forma de fração.

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 19-01-2011

34. As figuras abaixo representam, respetivamente, as planificações de dois dados cúbicos equilibrados, A e B.

Dado A Dado B

Lançam-se, simultaneamente, os dois dados.

Seja X a variável «soma dos números saídos nas faces voltadas para cima, em cada um dos dados».

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X.

Apresente as probabilidades na forma de fração.

matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2010

35. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte.

x

0 1 2 3





P X  x 1

5

1

2 2a a

Qual das igualdades seguintes é verdadeira, considerando os valores da tabela?

(A) ^{P X}  ^{ 0}  ^{ P X}  ^{ 1}  ^{(B) P X}  ^{ 0}  ^{ P X}  ^{ 2} 

(C) ^{P X}  ^{ 0}  ^{ P X}  ^{ 3}  ^{(D) P X}  ^{ 2}  ^{ P X}  ^{ 3} 

matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2010

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36. Considere uma variável aleatória X, cuja distribuição de probabilidade é dada pela tabela seguinte.

x

4 5 6





P X  x

8

k 1

4 4

k

Qual é o valor de k?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2009

37. Um variável aleatória X tem distribuição normal.

Sabe-se que ^{P X}  ^{ 50}  é inferior a ^{P X}  ^{ 40} 

Qual dos seguintes pode ser o valor médio da variáel aleatória X?

(A) 42 (B) 45 (C) 48 (D) 51

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 04-02-2009

38. A estatística revela que o basquetebolista Zé Mão Quente falha 10% dos lances livres que executa.

Num treino, o Zé Mão Quente vai executar uma série de oito lances livres.

Indique qual dos acontecimentos seguintes tem probabilidade igual a

8 8 7

1 0,9   C

 0,9  0,1 (A) O Zé Mão Quente concretiza pelo menos seis lances livres.

(B) O Zé Mão Quente concretiza pelo menos sete lances livres.

(C) O Zé Mão Quente concretiza no máximo seis lances livres.

(D) O Zé Mão Quente concretiza no máximo sete lances livres.

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 04-02-2009

39. Lança-se um dado não equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.

Seja X a variável aleatória «número saído no lançamento efetuado».

Admita que, para certos números reais a e b, a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X é

x

1 2 3 4 5 6





P X  x 0,2 a 0,2 b 0,1 0,15

39.1. Determine a e b, sabendo que o valor médio da variável aleatória X é 3,4

39.2. Em relação ao lançamento deste dado não equilibrado, sejam C e D os acontecimentos:

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C: «Sair um número ímpar»;

D: «Sair um número maior do que 4».

Averigue se os acontecimentos C e D são independentes.

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 04-02-2009

40. Efetua-se um único lançamento de um dado tetraédrico, com as faces numeradas de 1 a 4.

Considere-se que o «número que sai» é o número que está na face que fica voltada para baixo.

O dado não é equilibrado, pelo que os quatro números não têm a mesma probabilidade de sair.

Sejam A e B os acontecimentos seguintes:

A: «sair número ímpar»;

B: «sair número maior do que 2».

Sabe-se que:

• ^{P A}  ^{ B}  ^{ 0, 4}

• ^{P A}   ^{ P A}  

• P A   B   0,8

Seja X a variável aleatória «número saído no lançamento efetuado».

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X.

Nota: apresente todas as justificações e todos os cálculos que efetuar na determinação dos valores da probabilidades.

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 27-05-2009

41. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é

x

0 1 2





P X  x a b 0,5

(a e b designam números reais)

O valor médio desta variável aleatória é 1,4.

Qual é o valor de a?

(A) 0,1 (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0,5

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 10-12-2008

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42. O diâmetro, em milímetros, dos parafusos produzidos por uma certa máquina é uma variável aleatória X com distribuição normal, de valor médio 9.

Qualquer parafuso produzido por essa máquina passa por um controle de qualidade. Ao passar por esse controle, o parafuso é aprovado se o seu diâmetro estiver compreendido entre 8,7 e 9,3 milímetros. Caso contrário, é rejeitado.

Sabe-se que 99,73% dos parafusos são aprovados.

Qual é o desvio padrão da variável aleatória X?

(A) 0,1 (B) 0,3 (C) 0,6 (D) 0,9

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 10-12-2008

43. Na figura está representado um dado equilibrado, bem como a respetiva planificação.

Conforme se pode observar na figura, existem três números em cada face.

Lança-se este dado uma só vez e observam-se os números da face que fica voltada para cima. Diz-se então que saíram esses três números.

43.1. Seja X a variável aleatória «produto dos três números saídos». Construa a tabela de distribuição de

probabilidades da variável aleatória X. Apresente as probabilidades na forma de fração.

43.2. Seja R o acontecimento «os números saídos são todos iguais». Seja S o acontecimento «a soma dos números saídos é igual a 3».

Os acontecimentos R e S são independentes? Justifique.

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 10-12-2008

44. Ao disputar um torneio de tipo ao alvo, o João tem de atirar sobre o alvo quatro vezes. Sabe- se que, em cada tiro, a probabilidade de o João acertar no alvo é 0,8.

Qual é a probabilidade de o João acertar sempre o alvo, nas quatro vezes em que tem de atirar?

(A) 0,0016 (B) 0,0064 (C) 0,0819 (D) 0,4096

matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2008

45. Numa caixa temos três fichas com o número 1 e quatro com o número 2, indistinguíveis ao tato. Retiram-se, ao acaso e de uma só vez, duas fichas.

Seja X a variável aleatória: «a soma dos números inscritos nas duas fichas».

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X.

Indique, justificando, o valor mais provável da variável X.

Apresente as probabilidades na forma de fração irredutível.

matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2008

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46. Admita que a variável peso, expressa em gramas, das maçãs de um pomar é bem modelada por uma distribuição normal ^N  ^60;5  , em que 60 é o valos médio e 5 é o desvio padrão da distribuição.

Retira-se, ao acaso, uma dessas maçãs.

Considere os acontecimentos:

A: «o peso da maçã retirada é superior a 66 gramas»

B: «o peso da maçã retirada é inferior a 48 gramas»

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) P A    P B  

(B) P A    P B  

(C) P B    P A  

(D) P A    P B    1

matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2008

47. Lança-se cinco vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.

Seja p a probabilidade de, nos cinco lançamentos, sair face 6 exatamente duas vezes.

Qual é o valor de p arredondado às centésimas?

(A) 0,12 (B) 0,16 (C) 0,23 (D) 0,27

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 29-04-2008

48. A curva de Gauss representada na figura está associada a ma variável aleatória X, com distribuição Normal.

Tal como a figura sugere, a curva é simétrica relativamente à reta de equação x  2 Para uma certo valor de a, tem-se que P X   a   15%

Qual dos seguintes pode ser o valor de a?

(A) 1 (B) 1,5 (C) 2 (D) 2,5

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 17-01-2008

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49. O Jorge tem seis moedas no bolso.

Ele retira, simultaneamente e ao acaso, duas dessas seis moedas.

Seja X a quantia, em cêntimos, correspondente às duas moedas retiradas.

Sabe-se que a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X é

x

20 30 40 60 70





P X  x

2

3

C

6

C

1

C

3

C

2 C Quais poderiam ser as seis moedas que o Jorge tinham inicialmente no bolso?

(A)

(B)

(C)

(D)

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 15-03-2007

50. Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades:

x

0 a 2a





P X  x 0,2 0,4 b

(a e b designam números reais positivos)

Sabe-se que o valor médio da variável aleatória X é 2,4.

Qual é o valor de a?

(A) 3 (B) 2,5 (C) 2 (D) 1,5

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 07-12-2006

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51. Admita que a variável altura, em centímetros, dos rapazes de 13 anos de um certo país, é bem modelada por uma distribuição normal, de valor médio 140.

Escolhido, ao acaso, um rapaz de 13 anos desse país, sabe-se que a probabilidade de a sua altura pertencer a um determinado intervalo [a, b] é igual a 60%.

Quais dos seguintes podem ser os valores de a e de b?

(A) a  140 e b  170 (B) a  120 e b  140 (C) a  130 e b  150 (D) a  150 e b  180

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 07-12-2006

52. Um saco contém dez bolas.

Quatro bolas estão numeradas com o número 1, cinco com o número 2 e uma com o número 3.

Extrai-se, ao acaso, uma bola do saco.

Seja X o número da bola extraída.

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X, apresentando as probabilidades na forma de dízima.

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 07-12-2006

53. Na figura está representado um dado equilibrado, bem como a respetiva planificação.

Lança-se este dado duas vezes.

Seja X a variável aleatória: soma dos números saídos nos dois lançamentos.

Indique o valor de k tal que   ¹

P X  k  9

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 17-03-2006

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54. A tabela de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é

x

0 1 2





P X  x a a 0,4

(a designa um número real)

Qual é o valor médio desta variável aleatória?

(A) 1,1 (B) 1,2 (C) 1,3 (D) 1,4

matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2006

55. Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades:

x

0 1





P X  x

100

C

C

a C Indique o valor de a.

(A)

C

(B)

C

(C)

C

(D)

C

matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2006

56. O João vai lançar seis mil vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, e vai adicionar os números saídos.

De qual dos seguintes valores é de esperar que a soma obtida pelo João esteja mais próxima?

(A) 20000 (B) 21000 (C) 22000 (D) 23000

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 07-12-2005

57. Admita que a variável peso, em quilogramas, das raparigas de 15 anos, de uma certa escola, é bem modelada por uma distribuição normal, de valor médio 40.

Sabe-se ainda que, nessa escola, 20% das raparigas de 15 anos pesam mais de 45 kg.

Escolhida, ao acaso, uma rapariga de 15 anos dessa escola, qual é a probabilidade de o seu peso estar compreendido entre 35 kg e 40 kg?

(A) 0,2 (B) 0,25 (C) 0,3 (D) 0,35

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 07-12-2005

58. Uma caixa, que designamos por caixa 1, contém duas bolas pretas e três bolas verdes.

Uma segunda caixa, que designamos por caixa 2, contém duas bolas pretas e uma bola verde.

Considere a seguinte experiência: retirar, ao acaso, uma bola de cada caixa.

Seja X a variável aleatória «número de bolas verdes que existem no conjunto das duas bolas

retiradas».

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Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X, apresentando as probabilidades na forma de fração irredutível.

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 07-12-2005

59. O João tem, no bolso, seis moedas: duas moedas de 1 euro e quatro moedas de 50 cêntimos.

O João retira, simultaneamente e ao acaso, duas moedas do bolso.

Seja X a quantia, em euros, correspondente às moedas retiradas pelo João. Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X, apresentando as probabilidades na forma de fração irredutível.

matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2004

60. A Patrícia tem uma caixa com cinco bombons de igual aspeto exterior, mas só um é que tem licor. A Patrícia tira, ao acaso, um bombom da caixa, come-o e, se não for o que tem licor, experimenta outro. Vai procedendo desta forma até encontrar e comer o bombom com licor.

Seja X a variável aleatória «número de bombons sem licor que a Patrícia come».

Qual é a distribuição de probabilidades da variável X?

(A) x

0 1 2 3 4





P X  x 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

(B) x

0 1 2 3 4





P X  x 0,1 0,1 0,2 0,2 0,4

(C) x

1 2 3 4 5





P X  x 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

(D) x

1 2 3 4 5





P X  x 0,1 0,1 0,2 0,2 0,4

matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2003

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61. Numa caixa estão três cartões, numerados de 1 a 3.

Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, dois cartões da caixa.

Seja X o maior dos números saídos.

Qual é a distribuição de probabilidades da variável aleatória X?

(A)

x

2 3





P X  x 1

3

2 3

(B)

x

2 3





P X  x 1

2

1 2

(C)

x

1 2 3





P X  x 1

3

1 3

1 3

(D)

x

1 2 3





P X  x 1

6

1 3

1 2

matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2003

62. Na figura abaixo está representado um dado equilibrado e a sua respetiva planificação.

Lança-se este dado duas vezes.

Considere as seguintes variáveis aleatórias, associadas a esta experiência:

X

: número saído no primeiro lançamento;

X

: quadrado do número saído no segundo lançamento;

X

: soma dos números saídos nos dois lançamentos;

X

: produto dos números saídos nos dois lançamentos.

Uma destas quatro variáveis tem a seguinte distribuição de probabilidades:

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x

 1 0 1





P X  x 2

9

5 9

2 9 Qual delas?

(A) X

(B) X

(C) X

(D) X

matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2002

63. Na figura estão representados os gráficos de duas distribuições normais.

Uma das distribuições tem valor médio a e desvio padrão b.

A outra distribuição tem valor médio c e desvio padrão d.

Os gráficos são simétricos em relação à mesma reta r.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) a c  e b  d (B) a  c e b  d (C) a  c e b  d (D) a  c e b  d

matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2002

64. A tabela de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é:

x

1 2 3





P X  x a 2a a

Qual é o valor de a?

(A) 1

5 (B) 1

4 (C) 1

3 (D) 1

2

matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2002

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65. Uma caixa tem cinco bombons, dos quais apenas dois têm licor.

Tira-se da caixa, ao acaso, uma amostra de três bombons.

Considere que X designa a variável «número de bombons com licor existentes nessa amostra».

Qual das seguintes distribuições de probabilidade pode ser a da variável X?

(A)

x

0 1 2





P X  x

3

1

C

6

C

3 C

(B)

x

0 1 2





P X  x

3

3

C

6

C

1 C

(C)

x

1 2 3





P X  x

3

1

C

6

C

3 C

(D)

x

1 2 3





P X  x

3

3

C

6

C

1 C

matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2001

66. Admita que, numa certa escola, a variável «altura das alunas do 12º ano de escolaridade»

segue uma distribuição aproximadamente normal, de média 170 cm.

Escolhe-se, ao acaso, uma aluna do 12º ano dessa escola.

Relativamente a essa rapariga, qual dos seguintes acontecimentos é o mais provável?

(A) A sua altura é superior a 180 cm. (B) A sua altura é inferior a 180 cm.

(C) A sua altura é superior a 155 cm. (D) A sua altura é inferior a 155 cm.

matemática A – 12º ano, exame 435, prova modelo, 2001

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67. Lança-se duas vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.

Seja X o número de vezes que sai a face 6 nos dois lançamentos.

Qual é a distribuição de probabilidades da variável X?

(A)

x

0 1 2





P X  x 5

6

   

 

1 5 2   6 6

1

6

   

 

(B)

x

0 1 2





P X  x

1

6

   

 

1 5 2   6 6

5

6

   

 

(C)

x

0 1 2





P X  x 5

6

1 5

6  6 1

6

(D)

x

0 1 2





P X  x 1

6

1 5

6  6 5

6

matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2000

68. Acabou o tempo de um jogo de basquetebol, e uma das equipas está a perder por um ponto, mas tem ainda direito a dois lances livres.

O Manuel vai tentar encestar.

Sabendo que este jogador concretiza, em média, 70% dos lances livres que efetua e que cada lance livre concretizado corresponde a um ponto, qual é a probabilidade de o jogo terminar empatado?

(A) 0,14 (B) 0,21 (C) 0,42 (D) 0,7

matemática A – 12º ano, exame 135, 2ª fase, 1999

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69. Uma nova marca de gelados oferece, em cada gelado, um de três bonecos: Rato Mickey, Peter Pan ou Astérix.

Sete amigos vão comprar um gelado cada um.

Supondo que os três bonecos têm igual probabilidade de sair, qual é a probabilidade de o Rato Mickey sair exatamente a dois dos sete amigos?

(A)

2 5

7 2

1 2

3 3

C    

   

    (B)

7 2

7!

C

(C)

5 2

7 2

1 2

3 3

C    

   

    (D)

7 2

7!

A

matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 2ª chamada, 1999

Bom trabalho!!

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Principais soluções 1. (B)

2. 0,79 3. (D) 4. (D) 5. (C) 6. (B) 7.

x

1 2 4 8





P X  x 1

6

4 9

5 18

1 9 8.

9. (B) 10.

x

0 1 2





P X  x 1

5

3 5

1 5 11.

x

1 2 3 4





P X  x 2

3

1 4

1 14

1 84 12. (B)

13. (A) 14.

x

0 1 2





P X  x 3

10

3 5

1 10 15. 0,4

16. (A) 17.

17.1.

x

0 1 2





P X  x 6

11

9 22

1 22 17.2.

18.

x

0 1 2





P X  x 14

95

48 95

33 95

19. (D) 20. (C) 21. (D) 22. (C) 23. 0,064 24.

25. 112 243

26.

x

0 1 2





P X  x 15

92

35 69

91 276 27. (D)

28. (B) 29. 0,25 30. (D) 31. (C) 32. (B) 33.

x

0 1 2





P X  x 1

4

15 28

3 14 34.

x

-3 -2 -1 0 1





P X  x 1

36 1 36

1 4

5 36

5 9 35. (B)

36. (B) 37. (A) 38. (C) 39.

39.1. a  0,1 ; b  0, 25 39.2. Não são independentes 40.

x

1 2 3 4





P X  x 0,1 0,2 0,4 0,3 41. (A)

42. (A) 43.

43.1.

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x

0 1 8





P X  x 2

3

1 6

1 6 43.2. Não são independentes

44. (D) 45.

x

2 3 4





P X  x 1

7

4 7

2 7 3 é o valor mais provável

46. (C) 47. (B) 48. (D) 49. (D) 50. (C) 51. (C) 52.

x

1 2 3





P X  x 0,4 0,5 0,1

53. (B) 54. (A) 55. (B) 56. (B) 57. (C) 58.

x

0 1 2





P X  x 4

15

8 15

1 5 59.

x

0 1,5 2





P X  x 2

5

8 15

1 15 60. (A)

61. (A)

62. (D)

63. (B)

64. (B)

65. (A)

66. (C)

67. (A)

68. (C)

69. (A)