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Aula 07 RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TODOS OS CARGOS DA PC-BA. Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima

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Aula 07

RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TODOS OS CARGOS DA PC-BA

Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima

(2)

Sumário

SUMÁRIO... 2

PROBABILIDADE ... 3

NOÇÕESBÁSICAS ... 4

EVENTOSINDEPENDENTES... 8

EVENTOSMUTUAMENTEEXCLUDENTES ...10

PROBABILIDADEDAUNIÃODEDOISEVENTOS ...10

EVENTOSCOMPLEMENTARES ...12

REPOSIÇÃO...14

PROBABILIDADECONDICIONAL ... 17

INDEPENDÊNCIAESTATÍSTICA...19

QUESTÕES DE PROVA COMENTADAS ... 21

LISTA DE QUESTÕES ... 42

GABARITO ... 52

RESUMO DIRECIONADO ... 53

(3)

Probabilidade

Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima.

É com muita alegria que inicio mais essa aula.

Vamos tratar sobre os seguintes tópicos neste encontro:

Probabilidade.

Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo:

(4)

NOÇÕES BÁSICAS

Imagine que você possui um dado e vai lançá-lo uma vez. Os resultados possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

Isso é o que chamamos de espaço amostral – o conjunto dos resultados possíveis de um determinado experimento aleatório. Chamamos este experimento de aleatório pois: antes de executá-lo (jogar o dado) não podemos prever o resultado que será obtido; podemos repetir este experimento indefinidamente; e após executá-lo várias vezes, esperamos ver um certo padrão (neste caso, esperamos que após vários lançamen tos tenhamos um número parecido de resultados 1, 2, 3, 4, 5 e 6).

Digamos que só nos interessam os resultados pares. Isto é, apenas os resultados 2, 4 e 6. Esse subconjunto do espaço amostral é chamado de Evento, sendo composto apenas daqueles resultados que nos são favoráveis.

Conhecendo essas duas definições, podemos definir a probabilidade de obter o nosso Evento em um determinado experimento aleatório como:

n(Evento) Probabilidade do Evento=

n(Espaço Amostral)

Na fórmula acima, n(Evento) é o número de elementos do subconjunto Evento, isto é, o número de resultados favoráveis; e n(Espaço Amostral) é o número total de resultados possíveis no experimento aleatório.

Por isso, costumamos dizer também que:

número de resultados favoráveis Probabilidade do Evento=

número total de resultados

Em nosso exemplo, n(Evento) = 3 possibilidades, e n(Espaço Amostral) = 6 possibilidades. Portanto:

3 1

Probabilidade do Evento= 0,50 50%

6

= =

2

=

Uma propriedade importante do espaço amostral é: a probabilidade de ocorrência do próprio espaço amostral é 100%. No caso do dado, a probabilidade de obter um dos 6 números existentes é de 100%, pois isso sempre vai ocorrer. Na fórmula, teríamos:

n(Espaço Amostral)

Probabilidade do Espaço Amostral= 1 100%

n(Espaço Amostral)

= =

Observe que, sabendo o número total de resultados e o número de resultados favoráveis, o cálculo da probabilidade é muito simples. Portanto, normalmente a dificuldade dos exercícios está justamente no cálculo dessas duas parcelas. Em alguns casos (como no exemplo do dado) é possível simplesmente contar os casos possíveis e os casos favoráveis. Entretanto, na maioria das vezes será necessário lembrar os conceitos de princípios de contagem / análise combinatória para resolver a questão.

Veja este primeiro exemplo, onde as probabilidades podem ser calculadas sem recorrer à análise combinatória:

FCC – AL/MS – 2016) A tabela a seguir indica o número de filhos dos funcionários de uma empresa. Sabe-se, ainda, que não há filho que seja de mais de um dos funcionários, nem funcionário e filho que trabalhem juntos na empresa.

(5)

Sorteando-se ao acaso um dos funcionários indicados na tabela, a probabilidade de que ele tenha menos do que três filhos é igual a

a) 67,50%.

b) 86,25%.

c) 23,75%.

d) 36,40%.

e) 58,75%.

RESOLUÇÃO:

O número TOTAL de funcionários será: 14 + 21 + 19 + 15 + 11 = 80. Esses são os casos possíveis.

O número de pessoas com menos de três filhos é a soma das pessoas que têm 0, 1 e 2 filhos. Logo: 14 + 21 + 19 = 54. Esse é o número de casos FAVORÁVEIS.

A probabilidade, então, será:

P = casos favoráveis/casos possíveis P = 54/80

P = 0,675 P = 67,5%

Resposta: A

CESPE – ABIN – 2018) Como forma de melhorar a convivência, as famílias Turing, Russell e Godel disputaram, no parque da cidade, em um domingo à tarde, partidas de futebol e de vôlei. O quadro a seguir mostra os quantitativos de membros de cada família presentes no parque, distribuídos por gênero.

(6)

A partir dessa tabela, julgue o item subsequente.

( ) Considere que, em eventual sorteio de brindes, um nome tenha sido retirado, ao acaso, do interior de uma urna que continha os nomes de todos os familiares presentes no evento. Nessa situação, sabendo-se que o sorteado não é uma mulher da família Godel, a probabilidade de ser uma mulher da família Russel será superior a 20%.

RESOLUÇÃO:

Sabe-se que são 5 mulheres na família Russel (casos favoráveis). No total das três famílias, temos 37 pessoas. Porém, o enunciado restringe o universo dessas escolhas: o sorteado não é uma mulher da família Godel (que tem 9 mulheres). Logo, os casos possíveis serão 37 – 9 = 28. A probabilidade será:

P = casos favoráveis/ casos possíveis P = 5/28 = 0,178 = 17,8%

Portanto, a probabilidade NÃO é superior a 20%. Item ERRADO.

Resposta: E

Veja mais este exercício. Nele você pode recorrer à análise combinatória para conseguir calcular todos os casos (embora seja possível listar todos à mão):

CESPE – POLÍCIA FEDERAL – 2018) Em um aeroporto, 30 passageiros que desembarcaram de determinado voo e que estiveram nos países A, B ou C, nos quais ocorre uma epidemia infecciosa, foram selecionados para ser examinados. Constatou-se que exatamente 25 dos passageiros selecionados estiveram em A ou em B, nenhum desses 25 passageiros esteve em C e 6 desses 25 passageiros estiveram em A e em B.

Com referência a essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.

( ) Se 2 dos 30 passageiros selecionados forem escolhidos ao acaso, então a probabilidade de esses 2 passageiros terem estado em 2 desses países é inferior a 1/30.

RESOLUÇÃO:

Veja que temos 25 passageiros que estiveram APENAS em A ou B, de modo que os outros 5 passageiros estiveram APENAS em C. Veja ainda que 6 passageiros estiveram A e B. Somente estes 6 de um total de 30 pessoas estiveram em dois países, como quer o enunciado deste item.

(7)

O número de casos FAVORÁVEIS pode ser obtido combinando-se as 6 pessoas que estiveram em dois países em grupos de 2 pessoas:

FAVORÁVEIS = C (6,2) = 6x5 / (2x1) = 15 casos

O número TOTAL de casos é obtido combinando-se todas as 30 pessoas disponíveis em grupos de 2:

TOTAL = C(30,2) = 30x29 / (2x1) = 435 A probabilidade buscada é, portanto:

𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =𝐹𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 15

435= 3 87= 1

29

Este número é SUPERIOR a 1/30, visto que o seu denominador é menor. Item ERRADO.

Resposta: E

FCC – ISS/SÃO LUIS – 2018) As 6 vagas da garagem de um pequeno edifício recém-construído serão sorteadas entre os proprietários dos 6 apartamentos, de modo que cada apartamento terá direito a uma vaga. As vagas ficam localizadas lado a lado ao longo de uma parede. Dois irmãos, proprietários dos apartamentos 1 e 2, gostariam que suas vagas ficassem localizadas lado a lado. A probabilidade de que isso aconteça é igual a (A) 1/2

(B) 1/3 (C) 1/4 (D) 1/5 (E) 1/6

RESOLUÇÃO:

O total de formas de distribuir as 6 vagas entre os apartamentos é dado pela permutação:

Total = P(6) = 6! = 720

Como dois apartamentos precisam ficar juntos, podemos transformar as suas duas vagas em 1 só. Assim, ficamos com 5 vagas. O total de permutações que temos é:

P(5) = 5! = 120

Em cada um destes 120 casos, sabemos que os dois irmãos podem permutar entre si, num total de 2 x 120

= 240 formas.

A probabilidade que estamos buscando é:

𝑃 = 240 720=24

72=12 36=1

3 Resposta: B

(8)

EVENTOS INDEPENDENTES

Qual seria a probabilidade de, em dois lançamentos consecutivos do dado, obtermos um resultado par em cada um deles? Veja que temos dois experimentos independentes ocorrendo: o primeiro lançamento e o segundo lançamento do dado. O resultado do primeiro lançamento em nada influencia o resultado do segundo.

Quando temos experimentos independentes, a probabilidade de ter um resultado favorável em um E um resultado favorável no outro é dada pela multiplicação das probabilidades de cada experimento:

P(2 lançamentos) =P(lançamento 1) P(lançamento 2)

 Em nosso exemplo, teríamos:

P(2 lançamentos) =0,50 0,50

 =

0,25

=

25%

Portanto, a chance de obter dois resultados pares em dois lançamentos de dado consecutivos é de 25%.

Generalizando, podemos dizer que a probabilidade de dois eventos independentes A e B acontecerem é dada pela multiplicação da probabilidade de cada um deles:

P (A e B) = P(A) x P(B)

Sendo mais formal, também é possível escrever

P(A

B)=P(A) P(B)

 , onde  simboliza a intersecção entre os eventos A e B.

Analise essas questões:

CETRO – ISS/SP – 2014) Em determinada cidade, a probabilidade de um indivíduo possuir casa própria é de 0,10. Ao se fazer uma pesquisa com 4 moradores dessa cidade, a probabilidade de que todos tenham casa própria é de

(A) 0,5%.

(B) 0,2%.

(C) 0,1%.

(D) 0,04%.

(E) 0,01%.

RESOLUÇÃO:

A probabilidade de cada morador ter casa própria é de 0,10. Como a probabilidade de um morador ter casa própria NÃO DEPENDE da probabilidade dos outros terem casa própria, estamos diante de eventos independentes. Basta, portanto, multiplicarmos as probabilidades:

P = 0,10 x 0,10 x 0,10 x 0,10 P = 1/10000

P = 0,01 / 100 P = 0,01%

Resposta: E

(9)

IDECAN – Bombeiros/DF – 2017) No estoque de uma papelaria há canetas azuis e vermelhas sendo que dentre as azuis 25% estão com defeito e dentre as vermelhas, 5% estão com defeito. Retirando-se ao acaso uma caneta azul e uma caneta vermelha do estoque dessa papelaria, a probabilidade de que ambas estejam defeituosas é:

A) 1/60.

B) 1/80.

C) 1/125.

D) 1/150.

RESOLUÇÃO:

A probabilidade de a caneta azul retirada ser defeituosa é de 25%. A probabilidade de a caneta vermelha retirada ser defeituosa é de 5%. Como essas duas probabilidades são INDEPENDENTES entre si, podemos multiplicá-las:

Probabilidade de ambas serem defeituosas = 5% x 25%

Probabilidade de ambas serem defeituosas = 1005 𝑥10025 Probabilidade de ambas serem defeituosas = 201 𝑥1

4

Probabilidade de ambas serem defeituosas = 801 Resposta: B

FGV – ICMS/RJ – 2007) Sejam A e B dois eventos definidos em um espaço amostral S de modo que P(A) = 0,70, P(B) = 0,20 e P(A ∩ B) = 0,14. Então, pode-se dizer que A e B são eventos:

(A) mutuamente exclusivos.

(B) complementares.

(C) elementares.

(D) condicionais.

(E) independentes.

RESOLUÇÃO:

Observe que 0,14 = 0,70 x 0,20. Isto é,

P(A ∩ B) = P(A) x P(B) Isto caracteriza eventos independentes.

Resposta: E

(10)

CESPE – TRT/CE – 2017) Se, na presente prova, em que cada questão tem quatro opções de resposta, um candidato escolher ao acaso uma única resposta para cada uma das quatro primeiras questões, então a probabilidade de ele acertar exatamente duas questões será igual a

A) 1/2.

B) 9/16.

C) 27/128.

D) 9/256 RESOLUÇÃO:

A chance de acertar cada questão é de ¼ e de errar é de 3/4, afinal temos 1 alternativa correta e 3 erradas em cada questão.

A chance de acertar as 2 primeiras E errar as 2 seguintes, é dada pela multiplicação dessas probabilidades, pois temos quatro eventos independentes entre si:

(1/4) x (1/4) x (3/4) x (3/4) = 9/256

Podemos permutar o resultado acima (ACERTO-ACERTO-ERRO-ERRO), uma vez que não precisamos que os acertos e erros ocorram nesta ordem. Trata-se da permutação de 4 resultados com a repetição de 2 acertos e de 2 erros, isto é:

P(4; 2 e 2) = 4! / (2!x2!) = 24/(2×2) = 6 Obtemos a probabilidade final multiplicando 6 x 9/256 = 27/128 Resposta: C

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES

Existem certos eventos que, se ocorrerem, excluem a possibilidade de ocorrência de outro. Por exemplo, imagine que A é o evento “obter um resultado par no lançamento de um dado”, e B é o evento “obter um resultado ímpar”. Veja que, se A ocorrer, ele impossibilita a ocorrência simultânea de B (afinal, não há um número que seja par e ímpar ao mesmo tempo).

Chamamos esses eventos de mutuamente exclusivos, pois A exclui a possibilidade de ocorrer B, e B exclui a possibilidade de ocorrer A. Quando tempos eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrência simultânea é nula:

( ) 0

P AB =

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS

Dados dois eventos A e B, chamamos de AB o evento que ocorre quando ocorrem A, B ou ambos.

(11)

Se A = probabilidade de obter um número par no lançamento de um dado e B = probabilidade de obter o número 5, ABocorre se o resultado do dado for {2, 4, 5, 6}. Portanto, a probabilidade do evento AB é:

4 2

( )

6 3

P AB = =

Essa probabilidade pode ser calculada também através da seguinte expressão:

( ) ( ) ( ) ( )

P AB = P A + P BP AB

Neste caso, veja que P(A) = 3/6 e P(B) = 1/6. Note ainda que A e B são eventos mutuamente exclusivos, pois o número 5 não é par. Portanto, P A

(

B

)

=

0

, como vimos logo acima.

Assim,

( ) ( ) ( ) ( )

3 1 4 2

( ) 0

6 6 6 3

P A B P A P B P A B P A B

 = + − 

 = + − = =

Note, portanto, que a probabilidade do evento A OU do evento B ocorrerem é simplesmente igual à soma das probabilidades, caso sejam eventos mutuamente exclusivos.

Vamos exercitar a fórmula da probabilidade da união de eventos com esta questão:

FCC – ALESE – 2018) Segundo a previsão do tempo, a probabilidade de chuva em uma cidade é de 50% no sábado e 30% no domingo. Além disso, ela informa que há 20% de probabilidade de que chova tanto no sábado quanto no domingo. De acordo com essa previsão, a probabilidade de que haja chuva nessa cidade em pelo menos um dos dois dias do final de semana é igual a

(A) 100%.

(B) 80%.

(C) 70%.

(D) 60%.

(E) 50%.

RESOLUÇÃO:

Sendo S a probabilidade de chuva no sábado e D a probabilidade de chuva no domingo, podemos dizer que:

P(S ou D) = P(S) + P(D) – P(S e D) O enunciado nos disse que:

P(S) = 50%

P(D) = 30%

P(S e D) = 20%

Logo,

(12)

P(S ou D) = 50% + 30% - 20% = 60%

Resposta: D

EVENTOS COMPLEMENTARES

O lançamento de um dado só pode ter resultados pares ou ímpares. Portanto, somando a probabilidade de obter resultados pares com a probabilidade de obter resultados ímpares, teremos 100%. Se já calculamos a probabilidade de ter resultados pares (50%), podemos obter a probabilidade de ter resultados ímpares segundo a fórmula abaixo:

Probabilidade(ímpares) = 1 - Probabilidade(pares)

O subconjunto dos resultados pares é o complemento do subconjunto dos resultados ímpares, pois unindo esses dois subconjuntos obtemos o espaço amostral. Em outras palavras, o que estamos dizendo aqui é que a probabilidade de um evento ocorrer é igual a 100% menos a probabilidade do seu complemento ocorrer.

Portanto, podemos utilizar a expressão abaixo:

Probabilidade(E) = 1 - Probabilidade(Ec)

Nesta fórmula, E é o Evento procurado e Ec o seu complemento. Vamos utilizar essa propriedade para resolver o seguinte problema: qual a probabilidade de, efetuando duas vezes o lançamento de um dado, obter pelo menos um resultado par?

Neste caso, o nosso Evento é: “obter pelo menos um resultado par”. O seu complemento é “não obter nenhum resultado par”, ou simplesmente “obter apenas resultados ímpares”. A propriedade vista acima nos diz que:

Probabilidade(pelo menos 1 par) = 1 - Probabilidade(só ímpares)

Usamos a propriedade pois é bem fácil calcular a probabilidade de ter apenas resultados ímpares.

Sabemos que, no primeiro lançamento, a chance de ter um resultado ímpar é de 50%, e no segundo lançamento, outros 50%. Para que o resultado seja ímpar no primeiro E no segundo lançamentos, basta multiplicar essas duas probabilidades: 50% x 50% = 25%. Portanto:

Probabilidade(pelo menos 1 par) = 1 - Probabilidade(só ímpares) Probabilidade(pelo menos 1 par) = 1 - 25%=75%

Vamos trabalhar isso nos exemplos abaixo:

FCC – SEFAZ/SP – 2010) O total de funcionários em uma repartição pública é igual a 6. João e sua esposa trabalham nesta repartição em que será formada uma comissão de 3 funcionários escolhidos aleatoriamente.

A probabilidade de que no máximo um deles, João ou sua esposa, faça parte da comissão é a) 1/5

b) 2/5

(13)

c) 3/5 d) 4/5 e) 3/10

RESOLUÇÃO:

Veja que queremos calcular a probabilidade do evento “no máximo um fazer parte”. Ao invés disto, podemos calcular a probabilidade do seu complemento, isto é, “os dois fazerem parte” da comissão. Podemos dizer que:

P (no máximo um fazer parte) = 100% - P (os dois fazerem parte)

Para que ambos façam parte da comissão de 3 funcionários, veja que 2 vagas já estão reservadas para o casal. Falta escolher apenas mais 1 elemento, em um total de 6 – 2 = 4 pessoas disponíveis. Isto é, podemos formar 4 comissões diferentes contendo o casal e mais uma pessoa. Esses são os casos FAVORÁVEIS. O TOTAL de comissões com 3 pessoas que podemos formar a partir de um grupo de 6 é dado por C(6,3) = 6x5x4/(3x2x1)

= 20. Portanto,

P(os dois fazerem parte) = 4/20 = 1/5 Assim, podemos encontrar o que buscamos:

P (no máximo um fazer parte) = 100% - P (os dois fazerem parte) P (no máximo um fazer parte) = 1 – 1/5

P (no máximo um fazer parte) = 4/5 Resposta: D

FCC - ISS/Teresina - 2016) Em uma repartição pública os processos que chegam para análise e deferimento são distribuídos com igual probabilidade para 4 auditores: A, B, C e D. Sabe-se que as probabilidades dos auditores A, B, C e D não deferirem um processo são dadas, respectivamente, por 30%, 35%, 22% e 33%. Nessas condições, a probabilidade de um processo, escolhido ao acaso, ser deferido é igual a

(A) 65%.

(B) 60%.

(C) 70%.

(D) 72%.

(E) 75%.

RESOLUÇÃO:

Como cada auditor tem a mesma probabilidade de receber o processo, podemos dizer que cada um deles tem chance de 100% / 4 = 25% de receber o processo.

Uma vez recebido, a chance de cada um deles DEFERIR é achada pelas suas probabilidades complementares:

A = 100 – 30 = 70%

(14)

B = 100 – 35 = 65%

C = 100 – 22 = 78%

D = 100 – 33 = 67%

Assim, a probabilidade de um processo ser deferido é:

P = 25%x70% + 25%x65% + 25%x78% + 25%x67%

P = 25% x (70% + 65% + 78% + 67%) P = 25% x 280%

P = 280% / 4 P = 70%

Resposta: C

REPOSIÇÃO

Um problema muito comum em questões de concursos segue o seguinte modelo: você possui uma urna com 2 bolas brancas, 3 bolas pretas e 2 bolas azuis. Você retira uma bola, vê a sua cor, coloca-a de volta na urna retira outra bola. Qual a probabilidade das duas bolas retiradas serem brancas?

Veja que, após retirar a primeira bola, você a colocou de volta no saco, ou seja, você a repôs. Estamos diante de um cálculo de probabilidades com reposição. A probabilidade de ter retirado uma bola branca do saco é de 2 em 7, isto é, 2

7. Como você devolveu esta bola ao saco, a probabilidade de retirar outra bola branca é novamente de 2

7. Temos dois eventos independentes, portanto a probabilidade combinada será a multiplicação dessas duas: 2 2 4

7 7= 49.

Agora, e se o exercício dissesse que você não coloca de volta na urna a bola que retirou? Estaríamos diante de um cálculo de probabilidades sem reposição. Neste caso, a probabilidade de retirar uma bola branca inicialmente continua igual: 2

7. Já no momento de retirar a segunda bola, teremos apenas 6 bolas dentro da urna, sendo que destas apenas 1 é branca. Portanto, a probabilidade de retirá-la não é mais de 2

7, e sim 1

6. Assim, a probabilidade de retirar duas bolas brancas da urna será: 2 1 2 1

7 6= 42= 21.

Outra forma de efetuar esse cálculo último cálculo é observando que o número de conjuntos de 2 bolas que podemos formar com 7 bolas é igual a combinação de 7, 2 a 2: C(7,2) = 21. E o número de conjuntos de 2 bolas que podemos formar apenas com as 2 bolas brancas é igual a C(2,2) = 1. Portanto, a probabilidade de tirar exatamente duas bolas brancas, sem reposição, é P = 1/21.

Para finalizar, vejamos uma variação do problema envolvendo a urna: qual seria a probabilidade de se retirar uma bola branca ou retirar uma bola preta?

(15)

Veja que, das 7 bolas, 2 são brancas e 3 são pretas. A probabilidade de se retirar uma bola branca já foi calculada anteriormente, e é igual a 2

7. Analogamente, a probabilidade de se retirar uma bola preta é de 3 7 . A probabilidade de ocorrer um evento (bola branca) OU o outro evento (bola preta) é dada por:

( Pr ) ( ) (Pr ) - ( Pr )

P Brancaeta =P Branca +P eta P Brancaeta

Sabemos que a probabilidade de uma bola ser branca e preta ao mesmo tempo é nula, ou seja,

( Pr ) 0

P Brancaeta = . Isto é, estamos diante de eventos mutuamente excludentes.

Portanto, bastaria somar 2 7+3

7=5 7.

Dica: repare que quando utilizamos o E (probabilidade dos eventos A e B acontecerem) basta multiplicar as probabilidades de cada evento. Já quando utilizamos o OU (probabilidade dos eventos A ou B), basta somar as probabilidades de cada evento. Isso só vale para probabilidade de eventos independentes (no caso do E) ou mutuamente excludentes (no caso do OU) – mas a grande maioria dos exercícios de concurso são assim.

Vamos exercitar esse assunto nas questões a seguir:

ESAF – ANAC – 2016) Uma caixa contém seis bolas brancas e quatro pretas. Duas bolas serão retiradas dessa caixa, uma a uma e sem reposição, então a probabilidade de uma ser branca e a outra ser preta é igual a a) 4/15.

b) 7/15.

c) 2/15.

d) 8/15.

e) 11/15.

RESOLUÇÃO:

Veja que temos 10 bolas. Para conseguir o que queremos (uma branca e uma preta), temos duas possibilidades:

- tirar uma branca e depois tirar uma preta:

A probabilidade de a primeira bola retirada ser branca é de 6 em 10, ou seja, 6/10. Feito isso, restam 9 bolas na caixa, sendo 4 delas pretas. A probabilidade de tirar uma preta é de 4/9. Portanto, a probabilidade de tirar uma branca E então tirar uma preta é:

𝑃(𝐵𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎 𝑒 𝑃𝑟𝑒𝑡𝑎) = 6 10𝑥4

9=24 90

- tirar uma preta e depois tirar uma branca:

A probabilidade de a primeira bola ser preta é de 4 em 10, ou seja, 4/10. Feito isso, restam 9 bolas na caixa, sendo 6 delas brancas. A probabilidade de tirar uma branca é de 6/9. Portanto, a probabilidade de tirar uma preta E então tirar uma branca é:

(16)

𝑃(𝑃𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑒 𝐵𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎) = 4 10𝑥6

9=24 90

Como os dois casos acima são mutuamente excludentes, podemos somar as probabilidades, obtendo:

𝑃 =24 90+24

90 =48 90=24

45= 8 15 Resposta: D

Vamos refazer o exercício acima, mudando apenas a expressão “sem reposição” para “com reposição”.

Veja como fica:

ESAF – ANAC – 2016 – adaptada) Uma caixa contém seis bolas brancas e quatro pretas. Duas bolas serão retiradas dessa caixa, uma a uma e COM REPOSIÇÃO, então a probabilidade de uma ser branca e a outra ser preta é igual a

a) 4/15.

b) 7/15.

c) 2/15.

d) 8/15.

e) 12/25.

RESOLUÇÃO:

Veja que temos 10 bolas. Para conseguir o que queremos (uma branca e uma preta), temos duas possibilidades:

- tirar uma branca e depois tirar uma preta:

A probabilidade de a primeira bola retirada ser branca é de 6 em 10, ou seja, 6/10. Como temos reposição, para a segunda retirada continuamos com 10 bolas na caixa, sendo 4 delas pretas. A probabilidade de tirar uma preta é de 4/10. Portanto, a probabilidade de tirar uma branca E então tirar uma preta é:

𝑃(𝐵𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎 𝑒 𝑃𝑟𝑒𝑡𝑎) = 6 10𝑥 4

10= 24 100

- tirar uma preta e depois tirar uma branca:

A probabilidade de a primeira bola ser preta é de 4 em 10, ou seja, 4/10. Continuamos com 10 bolas na caixa, sendo 6 delas brancas. A probabilidade de tirar uma branca é de 6/10. Portanto, a probabilidade de tirar uma preta E então tirar uma branca é:

𝑃(𝑃𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑒 𝐵𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎) = 4 10𝑥 6

10= 24 100

(17)

Como os dois casos acima são mutuamente excludentes, podemos somar as probabilidades, obtendo:

𝑃 = 24 100+ 24

100= 48 100=24

50 =12 25

No caso COM REPOSIÇÃO temos uma solução mais rápida. Veja:

- casos favoráveis = tirar uma branca E uma preta OU uma preta E uma branca = 6 x 4 + 4x6 = 48 - total de casos = retirar uma das 10 bolas e depois mais uma das 10 bolas = 10 x 10 = 100

Logo,

𝑃 = 48 100=24

50 =12 25 Resposta: E

PROBABILIDADE CONDICIONAL

Neste tópico vamos tratar sobre outro tipo muito comum de questões em concursos. Imagine que vamos lançar um dado, e estamos analisando 2 eventos distintos:

A → sair um resultado par B → sair um resultado inferior a 4

Para o evento A ser atendido, os resultados favoráveis são 2, 4 e 6. Para o evento B ser atendido, os resultados favoráveis são 1, 2 e 3. Vamos calcular rapidamente a probabilidade de cada um desses eventos:

( ) 3 50%

6

( ) 3 50%

6

P A

P B

= =

= =

A pergunta em sua prova pode ser: no lançamento de um dado, qual é a probabilidade de obter um resultado par, dado que foi obtido um resultado inferior a 4?

Em outras palavras, essa pergunta é: qual a probabilidade do evento A, dado que o evento B ocorreu?

Matematicamente, podemos escrever P(A/B) (leia “probabilidade de A, dado B”).

Aqui já sabemos de antemão que B ocorreu. Portanto, o resultado do lançamento do dado foi 1, 2 ou 3 (três resultados possíveis). Destes resultados, apenas um deles (o resultado 2) atende o evento A. Portanto, a probabilidade de A ocorrer, dado que B ocorreu, é simplesmente:

( / ) 1 33,3%

P A B = =

3

E se nos fosse perguntado qual a probabilidade de obter um resultado inferior a 4, dado que o resultado do lançamento foi um número par? Isto é, qual a probabilidade de B ocorrer, dado que A ocorreu?

(18)

Veja que, se A ocorreu, o resultado foi 2, 4 ou 6. Destes, apenas o resultado 2 atende o evento B (é inferior a 4). Portanto,

( / ) 1 33,3%

P B A = =

3

Coincidentemente, obtivemos o mesmo resultado para P(A/B) e P(B/A). A probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro ocorreu, é chamada de probabilidade condicional. Uma outra forma de calculá-la é através da seguinte divisão:

( )

( / )

( )

P A B P A B

P B

= 

A fórmula nos diz que a probabilidade de A ocorrer, dado que B ocorreu, é a divisão entre a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente e a probabilidade de B ocorrer.

Para que A e B ocorram simultaneamente (resultado par e inferior a 4), a única possibilidade é o resultado igual a 2. Isto é, apenas 1 dos 6 resultados nos atende. Assim,

1

( )

P AB =

6

.

Para que B ocorra (resultado inferior a 4), já vimos que 3 resultados atendem. Portanto,

( ) 3

P B =

6

Logo, usando a fórmula acima, temos:

( ) 1 6 1

( / ) 33,3%

( ) 3 3

6

P A B P A B

P B

=  = = =

Veja comigo essa questão:

CESPE – SEDF – 2017) Iniciado em 2007, o processo gradativo de substituição do sinal de TV analógico pelo digital no Brasil começou a concretizar-se em 2016. Nesse período, intensificou-se o uso da TV por assinatura, segundo dados do IBGE. A tabela a seguir mostra o percentual aproximado de domicílios brasileiros que dispunham de diferentes modalidades de acesso à TV em 2014. Considerando essas informações e o fato de que, em 2014, 86% dos domicílios brasileiros situavam-se na zona urbana, julgue o item subsequente.

(19)

( ) Caso, em uma campanha publicitária nacional, um domicílio que, em 2014, dispunha do sinal digital de TV aberta fosse sorteado, a probabilidade de esse domicílio ser da zona rural seria superior a 0,2.

RESOLUÇÃO:

Queremos a probabilidade de um domicílio ser de zona rural SABENDO QUE ele dispunha de sinal digital de TV aberta. Isto é, a probabilidade de A (ser de zona rural) sabendo que B aconteceu (tem sinal digital de TV aberta).

A fórmula da probabilidade condicional é:

( )

( / )

( )

P A B P A B

P B

= 

A tabela nos mostra que a probabilidade de ser de zona rural (A) e, ao mesmo tempo, ter sinal digital de tv aberta (B) é 16%, isto é,

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 16%

Também vemos que a probabilidade de ter sinal digital de tv aberta (B) é dado pela soma da primeira coluna, ou seja,

P(B) = 44% + 16% = 60%

Logo,

𝑃(𝐴/𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵) =16%

60%= 4

15 = 0,266 Item CERTO.

Poderíamos calcular sem olhar para a fórmula da probabilidade condicional. Basta dividir os casos favoráveis (ser de zona rural e ter sinal digital de tv aberta = 16%) pelo total de casos (ter sinal digital de tv aberta = 60%).

Resposta: C

INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA

Vimos acima que, quando dois eventos A e B são independentes, podemos dizer que:

P(A

B)=P(A) P(B)

 Por outro lado, vimos que:

( )

( / )

( )

P A B P A B

P B

= 

Substituindo a primeira equação nesta segunda, temos:

(20)

( ) ( ) ( ) ( / )

( ) ( )

( / ) ( )

P A B P A P B P A B

P B P B

P A B P A

 

= =

=

Esta última equação nos diz que, se A e B são dois eventos independentes, a probabilidade de A ocorrer dado que B ocorreu é igual aprópria probabilidade de A ocorrer. Isto é, o fato de B ter ocorrido em nada altera a probabilidade de A ocorrer ou não. Da mesma forma, podemos dizer que:

P(B/A) = P(B)

Exemplificando, sejam os eventos A = obter o número 2 no primeiro lançamento de um dado; e o evento B = obter o número 6 no segundo lançamento. Qual a probabilidade de obter o número 6 no segundo lançamento, dado que foi obtido o número 2 no primeiro?

Sabemos que esses dois eventos são independentes, afinal o fato de ter saído o número 2 no primeiro lançamento em nada altera a probabilidade de sair o número 6 no segundo lançamento. Portanto, a probabilidade de B ocorrer, dado que A ocorreu (P(B/A)), é simplesmente a probabilidade de B ocorrer (isto é, P(B)). Como P(B) = 1/6, podemos dizer que:

P(B/A) = P(B) = 1/6

Portanto, a probabilidade de obter 6 no segundo lançamento, dado que foi obtido 2 no primeiro, é igual a 1/6.

Vejamos essa questão:

FGV – ICMS/RJ – 2010) Se A e B são eventos independentes com probabilidades P[A] = 0,4 e P[B] = 0,5 então P[A U B] é igual a:

(A) 0,2.

(B) 0,4.

(C) 0,5.

(D) 0,7.

(E) 0,9.

RESOLUÇÃO:

Se os eventos são independentes, sabemos que 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑥 𝑃(𝐵) = 0,4 𝑥 0,5 = 0,2. Assim, 𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵) = 0,4 + 0,5 − 0,2 = 0,7 Resposta: D

Chega de teoria! Que tal praticarmos um pouco de tudo o que vimos até aqui?

(21)

Questões de prova comentadas

1.

VUNESP - PC/BA – 2018 – adaptada)

Necessita-se identificar uma senha composta de cinco elementos distintos, sendo, cada elemento, um número de 1 a 9 ou uma das 26 letras do nosso alfabeto. Uma investigação revelou que o primeiro elemento é um número múltiplo de 3, o segundo elemento é uma vogal, o terceiro é um número par e os últimos dois elementos são um número e uma letra, ou vice-versa. Com apenas essas informações, a probabilidade de se identificar essa senha, aleatoriamente, na primeira tentativa, é de 1 para

(A) 18080.

(B) 18560.

(C) 19040.

(D) 19250.

(E) 20000.

RESOLUÇÃO:

Para o primeiro elemento temos 3 possibilidades (3, 6 ou 9).

Para o segundo elemento temos 5 possibilidades (A, E, I, O, U).

Para o terceiro elemento, temos:

4 possibilidades (2, 4, 6, 8), caso o primeiro elemento NÃO seja 6;

3 possibilidades (2, 4, 8), caso o primeiro elemento seja 6.

Veja que já usamos 2 números, restando 7 possibilidades, e 1 letra, restando 25 possibilidades. Para os dois últimos dígitos, podemos ter letra-número, nesta ordem, num total de 25x7 possibilidades, ou número-letra, num total de 7x25 possibilidades. Ao todo temos, para os dois últimos dígitos, 2 x 25 x 7 = 350 possibilidades.

Assumindo que o primeiro elemento é o SEIS, temos 1 possibilidade para ele, 5 para o segundo, 3 para o terceiro e 350 para os dois últimos, totalizando 1 x 5 x 3 x 350 = 5.250 possibilidades.

Assumindo que o primeiro elemento NÃO é o seis, temos 2 possibilidades para ele, 5 para o segundo, 4 para o terceiro, e 350 para os dois últimos, totalizando 2 x 5 x 4 x 350 = 14.000 possibilidades.

Ao todo temos 14.000 + 5.250 = 19.250 possibilidades.

A chance de acertar, de primeira, é de 1 em 19.250.

Resposta: D.

2.

VUNESP – OFICIAL PM/SP – 2017)

(22)

Considere a elaboração, pelo Centro de Inteligência da Polícia Militar (CIPM), de um planejamento estratégico para a deflagração de uma operação policial ostensiva em uma região R, com alta incidência do tráfico de drogas. A questão tem como referência essa proposição.

Um centro de meteorologia informou ao CIPM que é de 60% a probabilidade de chuva no dia programado para ocorrer a operação. Mediante essa informação, o oficial no comando afirmou que as probabilidades de que a operação seja realizada nesse dia são de 20%, caso a chuva ocorra, e de 85%, se não houver chuva. Nessas condições, a probabilidade de que a operação ocorra no dia programado é de

a) 59%.

b) 46%.

c) 41%.

d) 34%.

e) 28%.

RESOLUÇÃO:

Se a probabilidade de chover é de 60%, então a probabilidade de não chover é de 40%. Para que a operação ocorra no dia programado, temos duas situações:

- chove (60%) e ocorre a operação (20%) = 60% x 20% = 12%

- não chove (40%) e ocorre a operação (85%) = 40% x 85% = 34%

Somando as probabilidades desses dois cenários, temos: 12% + 34% = 46%.

Resposta: B

3.

VUNESP – TJ/SP – 2015)

Três dados são lançados simultaneamente. A probabilidade de que saiam dois números pares e um número impar é

a) 1/8 b) 1/4 c) 3/8 d) 1/6 e) 2/3

RESOLUÇÃO:

A probabilidade de obter a sequência PAR-PAR-IMPAR é dada por ½ x ½ x ½ = 1/8. Como a ordem não precisa ser exatamente esta, devemos permutar esses 3 resultados, notando a repetição de 2 pares, o que nos dá P(3, 2) = 3! / 2! = 3. Portanto, ao todo temos 3 x 1/8 = 3/8 de probabilidade.

(23)

Resposta: C

4.

VUNESP – TJ/SP – 2015)

Três dados são lançados simultaneamente. A probabilidade de que os três números sejam diferentes entre si é a) 2/5

b) 35/256 c) 5/9 d) 5/56 e) 35/216 RESOLUÇÃO:

O total de resultados que podemos obter lançando 3 dados em sequência é dado por 6 x 6 x 6 = 216. Os resultados com números distintos são 6 x 5 x 4 = 120. Logo, a probabilidade de obter um destes resultados é:

P = 120 / 216 = 40 / 72 = 20 / 36 = 10 / 18 = 5 / 9 Resposta: C

5.

VUNESP – TJ/SP – 2015)

Em um processo seletivo, três candidatos disputam uma vaga. Em um dos testes, o coordenador de RH mostra - lhes 5 adesivos, 2 pretos e 3 brancos, e coloca um adesivo nas costas de cada candidato. Cada um deles sabe a cor dos outros dois, mas não sabe a sua própria. Raciocinando em termos de probabilidade sobre a cor atribuída a um dos candidatos, é correto afirmar que:

a) se os outros dois são pretos, a probabilidade de ele ser branco é 1/2 . b) se os outros dois são brancos, a probabilidade de ele ser preto é 2/5 .

c) se os outros dois são de cores diferentes, a probablidade de ele ser branco é 2/3.

d) se um dos dois é branco, a probabilidade de ele ser branco é 2/5.

e) se um dos dois é preto, a probabilidade de ele ser preto é 1/2.

RESOLUÇÃO:

Temos 2 adesivos pretos e 3 brancos. Se eu for um dos candidatos e ver dois adesivos pretos nas costas dos demais concorrentes, isto garante que eu tenho um adesivo branco nas minhas costas, ou seja, há 100% de probabilidade do meu adesivo ser branco. Se eu ver dois adesivos brancos nas costas dos demais concorrentes, resta 1 adesivo branco e 2 pretos, de modo que eu tenho 1/3 de probabilidade de ter um adesivo preto e 2/3 de ter um adesivo branco. Já se os adesivos dos meus concorrentes forem de cores diferentes (1 preto e 1 branco), restam 1 preto e 2 brancos, de modo que tenho 1/3 de chance de estar com um adesivo preto e 2/3 de estar com um adesivo branco. Este último caso (sublinhado) é retratado pela alternativa C, que é o gabarito.

(24)

Resposta: C

6.

VUNESP – TJ/SP – 2015)

Uma urna contém 3 bolas brancas e duas bolas pretas. Retira-se dela uma bola ao acaso que, em seguida, é devolvida e misturada entre as demais. Retira-se, então, uma segunda bola também ao acaso. A probabilidade de que a segunda bola seja branca é de

a) 12/25 b) 9/25 c) 6/25 d) 3/5 e) 2/5

RESOLUÇÃO:

Veja que a primeira bola foi devolvida à urna. Deste modo, no momento de retirar a segunda bola temos 5 bolas ao todo na urna, das quais 3 são brancas. A probabilidade de que esta seg unda bola seja branca é de 3 em 5, ou 3/5.

Resposta: D

7.

VUNESP – TJ/SP – 2015)

Uma pesquisa com uma amostra de jovens entre 18 e 25 anos de uma comunidade revelou que 70% deles estudam e que 50% deles trabalham. A pesquisa mostrou ainda que 40% desses jovens trabalham e estudam.

Escolhido um jovem entre 18 e 25 anos dessa comunidade, a probabilidade de que seja estudante, sabendo-se que não trabalha, é de

a) 30%

b) 40%

c) 50%

d) 60%

e) 70%

RESOLUÇÃO:

Se tivermos 100 jovens, vemos que 70 deles estudam e 50 trabalham, e vemos que 40 estudam e trabalham. Portanto, dos 70 que estudam sabemos que 40 também trabalham, de modo que 30 somente estudam e NÃO trabalham. E dos 50 que trabalham, sabemos que 40 também estudam, de modo que 10 somente trabalham e NÃO estudam.

(25)

Até aqui temos 30 jovens que só estudam, 10 que só trabalham, 40 que fazem as duas coisas. Somamos 30 + 10 + 40 = 80, de modo que faltam ainda outros 20 jovens para totalizar o grupo de 100 (estes 20 não trabalham e nem estudam).

Assim, ao todo o número de jovens que não trabalham é de 30 (só estudam) + 20 (não est udam e nem trabalham) = 50. Destes, sabemos que 30 são estudantes, portanto a probabilidade de pegar um desses 50 que não trabalham e ele estar entre os 30 que estudam é de 30 em 50, ou 30/50 = 60/100 = 60%.

Resposta: D

8.

VUNESP – TJ/SP – 2015)

Uma pesquisa com uma amostra de jovens entre 18 e 25 anos de uma comunidade revelou que 70% deles estudam e que 50% deles trabalham. A pesquisa mostrou ainda que 40% desses jovens trabalham e estudam.

Escolhendo-se, ao acaso, dois jovens entre 18 e 25 anos dessa comunidade, a probabilidade de que pelo menos um deles seja estudante é de

a) 91%

b) 70%

c) 49%

d) 30%

e) 9%

RESOLUÇÃO:

Como vimos no exercício anterior, temos 30 jovens que só estudam, 10 que só trabalham, 40 que fazem as duas coisas, e 20 que não fazem nada.

Queremos a probabilidade de que pelo menos 1 dos 2 jovens selecionados seja estudante. Vamos começar calculando a probabilidade de nenhum deles ser estudante.

Ao todo temos 30 jovens que não estudam (os 10 que só trabalham e os 20 que não fazem nada). As formas de selecionar dois deles somam C(30,2). O total de formas de selecionar dois dos 100 jovens é de C(100,2).

Assim, a probabilidade de selecionar 2 jovens e eles não estudarem é dada por:

P = C(30,2) / C(100,2) P = (30x29/2!) / (100x99/2!)

P = 30x29 / 100x99 P = 10x29 / 100x33 P = 290 / 100x33

P = 0,0878 P = 8,78%

(26)

Esta é a probabilidade de ambos os jovens não estudarem. Logo, a probabilidade de pelo menos um deles estudar é de P = 100% - 8,78% = 91,22%.

Resposta: A

Obs.: veja que eu calculei o caso sem reposição, ou seja, onde escolhemos os dois jovens sem retorná-los à população. Se calcularmos o caso com reposição, onde selecionamos um jovem, vemos se ele estuda ou não, retornamos ele à amostra, e selecionamos outro jovem, teremos exatamente 91%. Isto porque a probabilidade de um jovem estudar é 70%, de modo que a probabilidade de ele não estudar é 30%. Assim, a probabilidade de dois não estudarem é de 30%x30% = 9%, de modo que a probabilidade de pelo menos um estudar é de 100% - 9% = 91%.

9.

VUNESP – TJ/SP – 2015)

Uma urna contém 3 bolas brancas e duas bolas pretas. Retira-se dela uma bola ao acaso que, em seguida, é devolvida e misturada entre as demais. Retira-se, então, uma segunda bola também ao acaso.

A probabilidade de que as duas bolas retiradas tenham cores diferentes é a) 24/25

b) 12/25 c) 8/25 d) 5/25 e) 3/ 5

RESOLUÇÃO:

Podemos considerar dois casos onde tiramos bolas com cores diferentes: a primeira preta e a segunda branca, e a primeira branca e a segunda preta. Vejamos as probabilidades:

- primeira preta e segunda branca: 2/5 x 3/5 = 6/25 - primeira branca e segunda preta: 3/5 x 2/5 = 6/25

Ao todo temos 12/25, que é a probabilidade das duas bolas terem cores diferentes. Veja que eu somei as probabilidades pois os dois eventos que considerei acima são mutuamente excludentes.

Resposta: B

10.

VUNESP – TJ/SP – 2015)

Ao iniciar a conferência de uma lista, contendo 10 valores lançados, um contador não identificou erro nos dois primeiros lançamentos conferidos, mas sim, no terceiro lançamento. Supondo-se haver dois, e somente dois, valores lançados de forma incorreta nessa lista, a probabilidade de o próximo valor a ser conferido pelo contador, de forma aleatória, estar incorreto pode ser representada pela fração:

(27)

a) 2/7 b) 2/10 c) 1/7 d) 1/10 e) 1/2

RESOLUÇÃO:

Veja que falta conferir 7 lançamentos (os 3 primeiros já foram), e só há 1 erro, logo a probabilidade de o próximo estar errado é de 1 em 7, ou 1/7.

Resposta: C

11.

VUNESP – PREF. SJC – 2015)

Dos 20 funcionários de uma empresa multinacional, 9 fazem curso de inglês, 8 fazem curso de francês, 6 fazem curso de alemão, e 2 não fazem curso de línguas. Sabe-se ainda que 5 fazem apenas curso de francês, 6 fazem apenas curso de inglês, 3 fazem apenas curso de alemão, e 1 faz cursos de inglês, francês e alemão. Sorteando - se ao acaso um dos 20 funcionários dessa empresa, a probabilidade de que ele faça exatamente dois cursos das três línguas citadas é de

a) 10%

b) 12%

c) 15%

d) 20%

e) 25%

RESOLUÇÃO:

Podemos começar desenhando o seguinte diagrama:

(28)

Veja que já comecei representando os 2 funcionários que não fazem nenhum curso, o 1 funcionário que faz os 3 cursos, e aqueles funcionários que fazem apenas uma língua. Veja que até aqui já representamos 6 + 1 + 5 + 3 + 2 = 17 dos 20 funcionários, e falta apenas preencher aquelas regiões que fazem parte de dois conjuntos, ou seja, os funcionários que fazem dois idiomas. Eles são 20 – 17 = 3 funcionários ao todo.

A probabilidade de escolher um deles é de 3 em 20, ou seja, 3/20 = 15/100 = 15%.

Resposta: C

12.

VUNESP – SP-URBANISMO – 2014)

Duas variáveis aleatórias, x e y, são independentes. A variável x tem 60% de probabilidade de valer 1 e 40% de probabilidade de valer 0, enquanto a variável y tem 30% de probabilidade de valer 1 e 70% de probabilidade de valer 0. Suponha uma variável z = xy. A variável z tem

a) 0% de probabilidade de valer 1.

b) 9% de probabilidade de valer 1.

c) 18% de probabilidade de valer 1.

d) 70% de probabilidade de valer 1.

e) 100% de probabilidade de valer 1.

RESOLUÇÃO:

(29)

Como z é a multiplicação entre x e y, ela só será igual a 1 quando tanto x como y forem iguais a 1. Como as probabilidades de x e y serem iguais a 1 são, respectivamente, 60% e 30%, então a probabilidade de z ser igual a 1 é:

Probabilidade (z = 1) = 60% x 30% = 18%

Resposta: C

13.

VUNESP – SP-URBANISMO – 2014)

Dois eventos, A e B, cujas probabilidades são P(A) = a e P(B) = b, são exaustivos. Então a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B é dada por:

a) zero.

b) um.

c) 1 – a – b.

d) a + b – ab.

e) ab.

RESOLUÇÃO:

Se dois eventos são exaustivos, isto significa que juntos eles abrangem todo o universo de probabilidade. Isto é, P(A U B) = 100% = 1. Portanto, podemos marcar a alternativa B.

Resposta: B

14.

VUNESP – TJ/PA – 2014)

Dois eventos A e B são independentes, sendo que suas probabilidades são, respectivamente, P(A) = 0,5 e P(B)

= 0,4. Tem-se que a) P(A ou B) = 0,9.

b) P(A ou B) = 0,7.

c) P(A e B) = 0.

d) P(A ou B) = 0,2.

e) P(A e B) = 0,9.

RESOLUÇÃO:

Sendo independentes, temos que:

P(A e B) = P(A) x P(B) = 0,5 x 0,4 = 0,2 e

P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) = 0,5 + 0,4 – 0,2 = 0,7

(30)

Resposta: B

15.

VUNESP – TJ/PA – 2014)

As probabilidades de três times de futebol A, B e C vencerem seus jogos na próxima rodada de um campeonato, considerando-se o time que cada um deles vai enfrentar, são independentes e são dadas por: p(A) = 2/5; p(B) = 3/8 e p(C) = 1/2. Ocorrendo os três jogos, a probabilidade de que apenas A vença o seu jogo é:

a) 0,4%.

b) 1,25%.

c) 4%.

d) 12,5%.

e) 40%.

RESOLUÇÃO:

Precisamos calcular a seguinte probabilidade:

A vencer E B perder E C perder Ou seja,

(2/5) x (1 – 3/8) x (1 – 1/2) = (2/5) x (5/8) x (1/2) = (2/1) x (1/8) x (1/2) = (1/1) x (1/8) x (1/1) =

1/8 = 0,125 =

12,5%

Resposta: D

16.

VUNESP – TJ/PA – 2014)

Um dado viciado funciona de tal modo que as faces com os valores 4, 5 e 6 têm o dobro da probabilidade das faces 1, 2 e 3. O valor esperado de uma jogada desse dado é

a) 1.

b) 2.

c) 3.

d) 4.

e) 5.

(31)

RESOLUÇÃO:

Sendo P a probabilidade de cada face 1, 2 e 3, podemos chamar de 2P (o dobro) as probabilidades das faces 4, 5 e 6. A soma das probabilidades das faces deve ser 100%, ou seja,

P + P + P + 2P + 2P + 2P = 100%

9P = 100%

P = 100% / 9

Esta é a probabilidade de cada face 1, 2 e 3. Para as demais faces, a probabilidade será o dobro, ou seja, 200% / 9. Podemos obter o valor esperado (ou valor médio) de uma jogada deste dado multiplicando cada resultado pela sua respectiva probabilidade. Veja:

Valor esperado = 1 x100%/9 + 2x100%/9 + 3x100%/9 + 4x200%/9 + 5x200%/9 + 6x200%/9 Valor esperado = 6x100%/9 + 15x200%/9

Valor esperado = 600%/9 + 3000%/9 Valor esperado = 3600% / 9

Valor esperado = 36 / 9 Valor esperado = 4 Resposta: D

17.

VUNESP – TJ/PA – 2014)

Jogam-se três dados. A probabilidade de que a soma dos pontos seja igual a 15, sabendo -se que no primeiro dado já saiu a face 6 é:

a) 4/5.

b) 2/3.

c) 1/2.

d) 1/4.

e) 1/9.

RESOLUÇÃO:

Os dois dados restantes precisam somar 9 pontos, afinal já temos 6 pontos no primeiro lançamento. As possibilidades existentes para esta soma são 4:

6 + 3, 5 + 4, 4 + 5, 3 + 6

O total de possibilidades para estes dois lançamentos são 6 x 6 = 36. A probabilidade de obter uma das combinações que nos interessam é de 4 / 36 = 1 / 9.

(32)

Resposta: E

18.

VUNESP – TJ/PA – 2014)

Em uma fábrica, 30% das funcionárias e 50% dos funcionários são sindicalizados. Nessa fábrica 60% dos funcionários são do sexo masculino.

Escolhendo-se um funcionário (homem ou mulher) ao acaso e verificando-se que é sindicalizado, a probabilidade de que seja homem é de aproximadamente:

a) 61%.

b) 64%.

c) 84%.

d) 79%.

e) 71%.

RESOLUÇÃO:

Imagine que a fábrica tem 100 trabalhadores ao todo. Sabemos que 60 são do sexo masculino (60% de 100) e as demais 40 são do sexo feminino. Das mulheres, 30% são sindicalizadas, ou seja, 30% x 40 = 12 mulheres são sindicalizadas e 28 não. Dos homens, 50% são sindicalizados, ou seja, 50% x 60 = 30 homens são sindicalizados e 30 não.

Portanto, ao todo temos 12 + 30 = 42 funcionários (homens ou mulheres) sindicalizados, dos quais 30 são homens. Se escolhermos um desses 42 sindicalizados, a probabilidade de ser um dos 30 homens é de 30/42

= 10/14 = 5/7 = 0,714 = 71,4%.

Resposta: E

19.

VUNESP – PC/SP – 2014)

Sabe-se que o sistema de jogo desenvolvido por Pedro acerta o prêmio menor de determinada loteria em 80%

dos testes sorteados. Desse modo, é correto afirmar que a probabilidade de Pedro acertar esse prêmio em pelo menos um dos dois próximos testes dessa loteria é de

a) 80%.

b) 96%.

c) 100%.

d) 74%.

e) 68%.

RESOLUÇÃO:

(33)

A probabilidade de Pedro errar em um sorteio é de 100% = 80% = 20%. Assim, a probabilidade de ele errar nos DOIS próximos sorteios é de 20% x 20% = 4%. Logo, a probabilidade de ele acertar pelo menos um dos próximos sorteios é de 100% - 4% = 96%.

Resposta: B

20.

VUNESP – PC/SP – 2014)

A tabela a seguir apresenta dados dos ingressantes em uma universidade, com informações sobre área de estudo e classe socioeconômica.

Classe A Classe B Classes C ou D Exatas 300 200 150 Humanas 250 150 150 Biológicas 450 250 100

Se um aluno ingressante é aleatoriamente escolhido, é verdade que a probabilidade de ele a) pertencer à classe B é de 40%.

b) estudar na área de Biológicas é de 40%.

c) pertencer à classe B e estudar na área de Biológicas é de 25%.

d) pertencer à classe B é de 20%.

e) estudar na área de Biológicas é de 22,5%.

RESOLUÇÃO:

Somando os números, temos um total de 2000 ingressantes. Vamos calcular as probabilidades relativas a cada alternativa de resposta:

a) pertencer à classe B é de 40%.

P = (200+150+250) / 2000 = 600/2000 = 30%. ERRADO.

b) estudar na área de Biológicas é de 40%.

P = (450 + 250 + 100) / 2000 = 800 / 2000 = 40%. CORRETO.

c) pertencer à classe B e estudar na área de Biológicas é de 25%.

P = 250 / 2000 = 125 / 1000 = 12,5 / 100 = 12,5%. ERRADO.

(34)

d) pertencer à classe B é de 20%.

P = (200+150+250) / 2000 = 600/2000 = 30%. ERRADO.

e) estudar na área de Biológicas é de 22,5%.

P = (450 + 250 + 100) / 2000 = 800 / 2000 = 40%. ERRADO.

Resposta: B

21.

VUNESP – PC/SP – 2014)

A sequência 1, 2, 4, 8, 16, ..., 262.144, 524.288 tem 20 elementos. Cada elemento dessa sequência está escrito em uma única bolinha, e em nenhuma bolinha estão gravados mais que um número da sequência. As 20 bolinhas, e somente elas, estão no interior de uma urna, interior esse que não se pode enxergar. Uma dessas bolinhas é retirada da urna, aleatoriamente. A probabilidade de, na bolinha retirada, estar escrito um número divisível por 256, ou seja, um número que dividido por 256 resulta em quociente inteiro e deixa resto zero, é a) 55%

b) 50%

c) 60%

d) 45%

e) 40%

RESOLUÇÃO:

Veja que os números da sequência são as potências de 2: 20, 21, 22, 23, 24, ..., 218, 219.

Veja ainda que 256 = 16 x 16 = 24x24 = 28. Os números divisíveis por 256 serão, portanto, todas aquelas potências de 2 maiores ou iguais a 28, isto é, de 28 até 219. Veja que estamos falando de 12 dos 20 números da sequência. Assim, a chance de selecionar um número divisível por 256 é de 12 em 20, ou 12/20 = 6/10 = 60 / 100

= 60%.

Resposta: C

22.

VUNESP – SEFAZ/SP – 2013)

Um teste de conhecimento tem 10 questões do tipo verdadeiro ou falso. Suponha que uma pessoa entre para esse teste disposta a “chutar” todas as questões. Desse modo, a probabilidade de que essa pessoa acerte a metade das questões é

(A) a mesma probabilidade de errar a metade delas.

(B) de mais de 50%.

(35)

(C) de exatamente 16%.

(D) de exatamente 50%.

(E) de exatamente 20%.

RESOLUÇÃO:

A probabilidade de acertar cada questão é de 1 em 2, ou seja, ½. E a probabilidade de errar cada questão também é de 1 em 2, ou seja, ½.

Para acertar metade das questões é preciso errar a outra metade. E para errar metade, é preciso acertar metade. Ou seja, a probabilidade de acertar metade é exatamente igual à probabilidade de errar metade.

Resposta: A

23.

VUNESP – SEFAZ/SP – 2013)

Levando em conta os fatores, propaganda, preço e qualidade, especialistas mediram o potencial de venda de um certo tipo de produto fabricado por apenas três empresas concorrentes, denominadas aqui de empresa A, empresa B e empresa C. As conclusões foram as seguintes: i) o produto fabricado em A tem 1/3 da probabilidade de venda do produto fabricado em B, ii) o produto fabricado em C tem 2 vezes a probabilidade de venda do produto fabricado em B. Se um produto é vendido no mercado, a probabilidade de que seja da empresa C é de (A) 30%.

(B) 75%.

(C) 45%.

(D) 60%.

(E) 10%.

RESOLUÇÃO:

Chamando de A, B e C a probabilidade de venda de cada produto, temos que:

A = (1/3) x B C = 2 x B

Como só existem os 3 produtos, a soma das probabilidades de venda de A, B e C é igual a 100%, ou seja, A + B + C = 100%

A + B + C = 1 B/3 + B + 2B = 1 B/3 + 3B/3 + 6B/3 = 1

10B/3 = 1 10B = 3

(36)

B = 3/10 B = 0,3 = 30%

Logo, C = 2 x B = 2 x 30% = 60%.

Resposta: D

24.

VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013)

São Paulo é uma cidade com inúmeros eventos que atraem muitos visitantes estrangeiros. Visando qualificar o atendimento a esses visitantes, a Polícia Militar do Estado de São Paulo promove cursos de aperfeiçoamento em idiomas para membros da corporação. A tabela mostra distribuição de integrantes de quatro cursos em relação ao sexo:

Sorteando-se dois nomes desse grupo, com reposição, a probabilidade de que ambos sejam de pessoas do mesmo sexo é de

a) 16%.

b) 36%.

c) 40%.

d) 52%.

e) 60%.

RESOLUÇÃO:

O total de formas de selecionar 2 das 200 pessoas é:

C(200,2) = 200x199/2! = 100x199 = 19900

O total de formas de selecionar 1 homem e 1 mulher é simplesmente 120x80 = 9600. Veja que todos os demais casos serão formados por duas pessoas do mesmo sexo (2 homens ou 2 mulheres), portanto esses casos somam 19900 – 9600 = 10300.

A probabilidade de selecionar um desses casos é:

P = 10300 / 19900 = 103 / 199 = 51,7%

(aproximadamente 52%)

(37)

Resposta: D

25.

VUNESP – MPE/ES – 2013)

Suponha que um dado é honesto, ou seja, que a probabilidade de sair cada face é de 1/6. A probabilidade de se lançar esse dado três vezes e sairem três faces iguais, sendo que as três faces possuem o mesmo número par, é

a) 1/36.

b) 1/12.

c) 1/72.

d) 1/216.

e) 1/108 RESOLUÇÃO:

Calculando a probabilidade de sair 3 vezes a face com valor igual a 2, temos:

1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/216

O mesmo pode acontecer com as faces 4 e 6. Como qualquer um desses três casos nos atende, e são mutuamente excludentes, podemos somar as probabilidades, ficando com 3/216 = 1/72.

Resposta: C

26.

VUNESP – TJ/SP – 2013)

Um campo de uma planilha pode ser preenchido com um número inteiro de 1 até 96. Se esse campo for preenchido aleatoriamente com um desses números, a probabilidade de que o número não tenha algarismo igual a 2 será de, aproximadamente,

a) 82,4%.

b) 80,2%.

c) 82,8%.

d) 84,6%.

e) 86,6%.

RESOLUÇÃO:

Temos 96 números de 1 a 96. Destes, os que possuem um algarismo 2 são:

2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92

(38)

Ou seja, temos 19 números que possuem 2, de modo que 96 – 19 = 77 não possuem 2. A probabilidade de obter algum deles é 77 / 96 = 0,802 = 80,2%.

Resposta: B

27.

VUNESP – PC/SP – 2013)

Em um saco opaco, foram colocadas 64 bolas, sendo 48 amarelas e 16 brancas. A seguir, as bolas foram bem misturadas e retiradas 10 bolas do saco, ao acaso. Sem recolocá-las de volta, o conteúdo do saco foi novamente misturado e a probabilidade de se retirar uma bola branca diminuiu em 1/36. O número de bolas brancas retiradas foi

a) 3.

b) 2.

c) 1.

d) 4.

e) 0.

RESOLUÇÃO:

A probabilidade de tirar uma bola branca era, inicialmente, de 16 em 64, ou 16 / 64 = 4 / 16 = 1 / 4. Essa probabilidade caiu em 1/36, ou seja, ela passou a ser de 1/4 - 1/36 = 9/36 – 1/36 = 8/36 = 2/9.

Sendo B o número de bolas brancas retiradas. Assim, o total de bolas restante passou a ser de 64 – 10

= 54, das quais as bolas brancas são 16 – B. A probabilidade de tirar uma bola branca ficou sendo:

P = (16 – B) / 54 2/9 = (16 – B) / 54

2/9 x 54 = 16 – B 2 x 6 = 16 – B

12 = 16 – B B = 16 – 12 B = 4 bolas Resposta: D

28.

VUNESP – CETESB – 2009)

Uma fábrica tem 3 máquinas, A, B e C, que produzem respectivamente, 35%, 45% e 20% de uma determinada peça. A produção conjunta é armazenada em um almoxarifado comum. Se os lotes produzidos por estas

(39)

máquinas têm respectivamente 4%, 6% e 1% de peças defeituosas, então, a probabilidade de que uma peça ao acaso dessa produção conjunta seja defeituosa é de

(A) 3,3%.

(B) 2,8%.

(C) 4,3%.

(D) 3,8%.

(E) 4,8%.

RESOLUÇÃO:

A probabilidade de uma peça ter sido fabricado na máquina A e, além disso, ser defeituosa, é de:

PA = 35% x 4%

Analogamente, temos:

PB = 45% x 6%

PC = 20% x 1%

Como estamos diante de eventos mutuamente exclusivos (afinal, se uma peça for produzida por A, ela não pode ter sido produzida por B ou C), basta somarmos as probabilidades:

P = 35% x 4% + 45% x 6% + 20% x 1%

P = 0,043 = 4,3%

Resposta: C

29.

VUNESP – CETESB – 2009)

Considerando as informações constantes na questão anterior, suponha que uma peça foi escolhida ao acaso e é defeituosa. Então, a probabilidade, a posteriori, de que esta peça tenha vindo da máquina A sabendo-se que é defeituosa é de, aproximadamente,

(A) 33%.

(B) 42%.

(C) 25%.

(D) 38%.

(E) 30%.

RESOLUÇÃO:

Sejam os eventos X = “peça ter sido produzida por A” e Y = “peça ser defeituosa”.

(40)

No exercício anterior calculamos que P(Y) = 4,3%. Foi dito também que P(X) = 35%. Vimos também que a probabilidade de uma peça ter sido fabricado na máquina A e, além disso, ser defeituosa, é P X( Y) = 35%

x 4%.

O enunciado nos pede P (X/Y), que pode ser calculada assim:

( )

( / )

( ) P X Y P X Y

P Y

= 

35% 4%

( / ) 0, 325 32, 5%

4, 3%

P X Y

= = =

Resposta: A

30.

VUNESP – UNIFESP – 2007)

Três dados honestos são lançados. A probabilidade de que os três números sorteados possam ser posicionados para formar progressões aritméticas de razão 1 ou 2 é

a) 1/36 b) 1/9 c) 1/6 d) 7/36 e) 5/18

RESOLUÇÃO:

Os valores obtidos em um dado vão de 1 a 6. Assim, para estarem numa progressão aritmética de razão 1, as possibilidades são:

- 1, 2, 3 - 2, 3, 4 - 3, 4, 5 - 4, 5, 6

E para ficarem numa progressão aritmética de razão 2, as possibilidades são:

- 1, 3, 5 - 2, 4, 6

Assim, note que existem 6 casos “favoráveis”, ou seja, conjuntos de 3 lançamentos cujos valores que formam progressões de razão 1 ou 2. Como os números não precisam ser sorteados exatamente na ordem da progressão aritmética, note que, por exemplo, o conjunto 2, 4, 6 pode ser fruto de 6 sorteios distintos:

- 2, 4, 6

(41)

- 2, 6, 4 - 4, 2, 6 - 4, 6, 2 - 6, 2, 4 - 6, 4, 2

De maneira análoga, cada um dos 6 casos favoráveis pode ser sorteado de 6 maneiras distintas, totalizando 6 x 6 = 36 sorteios distintos.

Já o total de possibilidades para 3 lançamentos é de 6 x 6 x 6 = 216.

Assim, a probabilidade de obter um dos 36 sorteios distintos com resultado favorável é de:

P = 36 / 126 = 1 / 6 Resposta: C

(42)

Lista de questões

1.

VUNESP - PC/BA – 2018 – adaptada)

Necessita-se identificar uma senha composta de cinco elementos distintos, sendo, cada elemento, um número de 1 a 9 ou uma das 26 letras do nosso alfabeto. Uma investigação revelou que o primeiro elemento é um número múltiplo de 3, o segundo elemento é uma vogal, o terceiro é um número par e os últimos dois elementos são um número e uma letra, ou vice-versa. Com apenas essas informações, a probabilidade de se identificar essa senha, aleatoriamente, na primeira tentativa, é de 1 para

(A) 18080.

(B) 18560.

(C) 19040.

(D) 19250.

(E) 20000.

2.

VUNESP – OFICIAL PM/SP – 2017)

Considere a elaboração, pelo Centro de Inteligência da Polícia Militar (CIPM), de um planejamento estratégico para a deflagração de uma operação policial ostensiva em uma região R, com alta incidência do tráfico de drogas. A questão tem como referência essa proposição.

Um centro de meteorologia informou ao CIPM que é de 60% a probabilidade de chuva no dia programado para ocorrer a operação. Mediante essa informação, o oficial no comando afirmou que as probabilidades de que a operação seja realizada nesse dia são de 20%, caso a chuva ocorra, e de 85%, se não houver chuva. Nessas condições, a probabilidade de que a operação ocorra no dia programado é de

a) 59%.

b) 46%.

c) 41%.

d) 34%.

e) 28%.

3.

VUNESP – TJ/SP – 2015)

Três dados são lançados simultaneamente. A probabilidade de que saiam dois números pares e um número impar é

a) 1/8 b) 1/4

(43)

c) 3/8 d) 1/6 e) 2/3

4.

VUNESP – TJ/SP – 2015)

Três dados são lançados simultaneamente. A probabilidade de que os três números sejam diferentes entre si é a) 2/5

b) 35/256 c) 5/9 d) 5/56 e) 35/216

5.

VUNESP – TJ/SP – 2015)

Em um processo seletivo, três candidatos disputam uma vaga. Em um dos testes, o coordenador de RH mostra - lhes 5 adesivos, 2 pretos e 3 brancos, e coloca um adesivo nas costas de cada candidato. Cada um deles sabe a cor dos outros dois, mas não sabe a sua própria. Raciocinando em termos de probabilidade sobre a cor atribuída a um dos candidatos, é correto afirmar que:

a) se os outros dois são pretos, a probabilidade de ele ser branco é 1/2 . b) se os outros dois são brancos, a probabilidade de ele ser preto é 2/5 .

c) se os outros dois são de cores diferentes, a probablidade de ele ser branco é 2/3.

d) se um dos dois é branco, a probabilidade de ele ser branco é 2/5.

e) se um dos dois é preto, a probabilidade de ele ser preto é 1/2.

6.

VUNESP – TJ/SP – 2015)

Uma urna contém 3 bolas brancas e duas bolas pretas. Retira-se dela uma bola ao acaso que, em seguida, é devolvida e misturada entre as demais. Retira-se, então, uma segunda bola também ao acaso. A probabilidade de que a segunda bola seja branca é de

a) 12/25 b) 9/25 c) 6/25 d) 3/5

Referências

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