INTRODUÇÃO
Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade.
Uma inequação é a representação de um pensamento matemático identificado pelos seguintes sinais: (maior) ou (menor) ou (menor ou igual) ou (maior ou igual) e ainda (diferente).
Assim podemos concluir que resolver uma inequação consiste em encontrar os valores que satisfazem determinada desigualdade.
INEQUAÇÃO DO 1° GRAU:
As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas:
, , , , como e reais ( ).
Estas são inequações matemáticas de 1° grau com uma incógnita.
De modo geral podemos resolver inequações do 1° grau aplicando as propriedades das desigualdades que veremos abaixo:
Considere os números ( é o conjunto dos reais), temos:
Propriedades Exemplos: a=3, b=2, c=5 ou c=(-4) e d=1
(i) Se a > b e b > c, então a >
c. 3 > 2 e 2 > 1, então 3 > 1.
(ii) Se a > b e c > 0, então ac >
bc.
3 > 2 e c = 5 > 0, então 3·5 > 2·5
⇔ 15 > 10.
(iii) Se a > b e c < 0, então ac
< bc.
3 > 2 e c=(-4)< 0, então 3·(-4)<2·(-4)⇔(-12)<(-8).
(iv) Se a>b, então a+c>b+c para todo c real.
3 > 2 e c=(-4), então 3+(-4)>2+(-4)⇔(-1)>(-2).
(v) Se a > b e c > d, então a+c
> b+d.
3 > 2 e 5 > 1, então 3+5 > 2+1 ⇔ 8
> 3.
(vi) Se a > b > 0 e c > d > 0, então ac > bd.
3 > 2 > 0 e 5 > 1 > 0, então 3·5 >
2·1 ⇔ 15 > 2.
Exemplo:
Quais os valores reais possíveis para na desigualdade
?
Os valores de para que a desigualdade seja satisfeita estão definidas
por{ }
Multiplicação por um número negativo:
Na resolução das inequações podemos multiplicar ambos os membros de uma inequação por um n.º positivo, mantendo o sinal da
desigualdade, que obtemos uma inequação equivalente à primeira.
Porém se multiplicarmos ambos os membros por um n.º negativo, inverteremos o sinal da desigualdade, para que assim possamos obter uma inequação equivalente à primeira.
Isso porque dados tais que , se multiplicarmos ambos os lados da desigualdade por (-1) teremos .
Vejamos um exemplo:
= 1 e a = 3 temos:
1 < 3
Quando multiplicarmos ambos os lados por (-1) teremos:
-1 > -3
SISTEMAS DE INEQUAÇÃO DO 1° GRAU
Os sistemas são conjuntos de inequações cuja solução satisfaz a todas, simultaneamente.
Para resolver um sistema de inequações procedemos da seguinte maneira:
• Resolvemos individualmente cada inequação;
• O conjunto-solução do sistema é o conjunto resultado da intersecção das inequações resolvidas individualmente.
Exemplo:
Encontrar o conjunto solução do sistema de inequações:
Chamaremos de inequação a e de inequação b:
Inequação a:
Observe que o conjunto solução que satisfaz essa a é definido por { }
Inequação b:
,
observe que multiplicaremos ambos os termos da inequação por um número negativo, sendo assim inverteremos o sinal da desigualdade, assim o resultado será:
O conjunto solução que satisfaz b é { }.
A solução do sistema é obtida fazendo a intersecção (∩) das soluções individuais, ou seja das soluções da Inequação a e b:
Analisando o intersecção dos resultados de cada inequação do intervalo real temosque a solução da desigualdade é S = { }
INEQUAÇÃO PRODUTO QUOCIENTE DO 1° GRAU
As inequações produto e quociente, são as sentenças matemáticas constituídas por desigualdades com produto ou quociente de funções.
Essas inequações em geral, tem sua solução baseada no estudo da
variação do sinal de uma função do 1° grau e nas propriedades dos sinais do produto e do quociente dos números reais.
Estudo dos sinais:
Para resolver uma inequação produto do 1° grau dada por f( ).g( ) podemos estudar o sinal das funções separadamente, isso consiste em determinar os intervalos nos quais a função tem imagem negativa e os intervalos nos quais a função tem imagem positiva.
Exemplo:
Encontre o conjunto solução da inequação produto do 1° grau
Cada termo do produto representa uma função do 1° grau.
Assim, iniciamos pelo estudo dos sinais dessas funções que chamamos de f(x) e g(x), respectivamente.
Se f( ) = -4 então sua raiz é obtida fazendo -4 = 0 ⇔ = 4.
Como o coeficiente angular de f( ) é positivo temos uma função
crescente, portanto teremos uma reta cortando o eixo x em 4 onde para todos os valores de > 4 teremos uma imagem positiva, e para < 4 teremos imagem negativa. Podemos representar essas conclusões graficamente da seguinte forma:
Se g( ) = +2 então sua raiz é obtida fazendo +2 = 0 ⇔ = -2.
Novamente temos uma função com o coeficiente angular positivo, assim uma reta cortará o eixo em -2, e os valores da imagem serão positivos para > -2 e negativos para < -2. Vejamos:
A solução da inequação produto é obtida a partir da integração das análises das variações
de sinais das funções f( ) e g ( ), representadas acima. Após, aplicamos a regra de sinais do
produto dos números reais e analisamos o resultado final encontrado.
Podemos concluir que a inequação produto está definida no intervalo no intervalo real: { ou }
Podemos avaliar uma inequação quociente de uma maneira análoga, vejamos:
Exemplo:
Encontre o conjunto solução da inequação quociente do 1° grau
A resolução da inequação quociente do 1° grau é similar ao da inequação produto pois no conjunto dos
números reais, a divisão ou multiplicação de dois números apresenta a mesma regra de sinais.
Assim, cada termo do quociente representa uma função do 1°
grau.Iniciamos pelo estudo dos sinais dessas funções que chamamos de f(x) e g(x),
respectivamente.
Se f(x) = x-1 então sua raiz é obtida fazendo x-1 = 0 ⇔ x = 1.
Se g(x) = x+5 então sua raiz é obtida fazendo x+5 = 0 ⇔ x = -5.
A solução da inequação quociente é obtida a partir da integração das análises das
variações de sinais das funções f(x) e g(x), representadas acima. Após, aplicamos a regra de
sinais do quociente dos números reais e analisamos o resultado final encontrado.
Assim, a inequação quociente está definida no intervalo real{
}
INEQUAÇÃO DO 2° GRAU
São inequações do 2° grau ou quadrática, as inequações constituídas pela forma de ax² + bx + c , onde a, b e c são números reais e a 0,
acompanhada do sinal de desigualdade, conforme as sentenças apresentadas abaixo.
ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c ≥ 0 ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c ≤ 0 ax² + bx + c ≠ 0 com {a, b, c} e a ≠ 0.
Assim, é uma inequação do 2° grau, por exemplo, 3 ²+ 2 -5 > 0 onde a
= 3, b = 2 e c = -5.
A resolução desse tipo de inequação é fundamentada no estudo da variação de sinal da função do 2º grau.
Exemplo:
Considere a inequação do 2° grau . Encontre o conjunto solução.
Devemos encontrar os valores reais para x, que tornam os valores de y positivos da função quadrática, (maior que zero). Para isso, devemos:
• Determinar as raízes da função;
As raízes encontradas são: ’=2 e ”=1. Representam os pares ordenados (2,0) e (1,0).
• Representar graficamente a função a partir dos pontos determinados com o cálculo das raízes e com a análise do coeficiente angular a.
• Aplicar os conceitos de estudo do sinal trabalhado nas funções quadráticas.
• Analisar os resultados e obter a resposta da inequação.
Para o esboço do gráfico necessitamos de uma importante informação que diz respeito à concavidade da parábola. Obtemos a resposta, observando o sinal do coeficiente
angular da função, se o valor de a é um número positivo, a parábola tem a concavidade voltada para cima, se o valor de a é um número negativo, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Observe a expressão nos remete um coeficiente angular positivo,
portanto teremos a concavidade voltada para cima, cortando o eixo em dois pontos, que obtivemos por meio do cálculo das raízes.
A solução da inequação do 2°grau é obtida a partir da analise da parábola.
Como buscamos f( )>0, ou seja, os valores de modo que f( )=y seja positivo, na parábola, os valores que representam a exigência são e
.
Assim a solução da inequação do 2° é S = { ou
}
SISTEMAS DE INEQUAÇÃO DO 2° GRAU
Assim como nas inequações do 1° grau os sistemas representam a integração de duas ou mais sentenças matemáticas.
Para resolver um sistema de inequação procedemos da seguinte maneira:
• Resolver individualmente cada inequação do 2° grau por meio da resolução da equação quadrática.
• Montar um esquema de intersecção das soluções das inequações e analisar o resultado da intersecção das inequações resolvidas
individualmente.
Exemplo:
Resolver o sistema de inequação do 2°grau:
será a inequação a e será a inequação b.
Resolvendo a inequação a obteremos:
Vejamos a inequação b:
