SOBRE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES DO TIPO TIMOSHENKO, BASEADO NA EQUAÇÃO DE CARRIER. Vando Narciso

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SOBRE UM SISTEMA DE EQUAC

¸ ˜

OES DO

TIPO TIMOSHENKO, BASEADO NA

EQUAC

¸ ˜

AO DE CARRIER

Vando Narciso

Centro de Ciências Exatas Universidade Estadual de Maringá Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática

(Mestrado)

Orientador: Alfredo Tadeu Cousin

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SOBRE UM SISTEMA DE EQUAC

¸ ˜

OES DO

TIPO TIMOSHENKO, BASEADO NA

EQUAC

¸ ˜

AO DE CARRIER

Vando Narciso

Tese submetida ao corpo docente do Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Estadual de Maringá - UEM-PR, como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do grau de Mestre.

Aprovada por:

Prof. Alfredo Tadeu Cousin - UEM ... (Orientador)

Prof. Gleb Germanovitch Doronin - UEM ...

Prof. Juan Bautista Limaco Ferrel - UFF ...

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Agradecimentos

`

A Deus, por Ele ter me dado for¸cas para cumprir mais esta etapa.

Ao meu orientador, Alfredo Tadeu Cousin, pela orienta¸c˜ao na elabora¸c˜ao deste trabalho.

`

A minnha esposa L´eia, amiga e parceira em todos os momentos, sempre com seu apoio e compreens˜ao.

Aos meus colegas e amigos, pela amizade sincera e pelo muito que aprendemos juntos.

`

A Lucia, por sua aten¸c˜ao e paciˆencia.

Aos professores do DMA-UEM, que contribu´ıram para o meu crescimento profis-sional.

`

A CAPES, pelo apoio financeiro.

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Resumo

Neste trabalho, estudaremos o sistema de equa¸cões hiperbólicas que é análogo ao sistema de Timoshenko ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ utt− M(x, t, ku(t)k2)∆u + |ut|ρut+ n X i=1 ∂v ∂xi = f, vtt− ∆v + n X i=1 ∂u ∂xi = g, em Q = Ω ∩ (0, T ) u|Σ = 0, v|Σ = 0, u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = v0(x), ut(x, 0) = u1(x), vt(x, 0) = v1(x).

Aqui; M ´e uma fun¸c˜ao positiva e M ∈ C1_(Q×R+_)∩C(Q×R+_{), k·k =}¡R

Ω| · |2dx ¢1 2 _, ∆ =Pn_i=1 ∂2 ∂x2 i, |ut| ρ_u

té uma fun¸cão continuamente diferenciável com ρ > 1, Ω é um

subconjunto aberto limitado do Rn _{e Γ ´e a fronteira de Ω, Σ = Γ × (0, T ).}

(6)

Abstract

In this work, we study the system of hiperbolic equations, that is an analogue to the Timoshenko system

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

utt− M(x, t, ku(t)k2)∆u + |ut|ρut+

n X i=1 ∂v ∂xi = f, vtt− ∆v + n X i=1 ∂u ∂xi = g, in Q = Ω ∩ (0, T ) u|Σ = 0, v|Σ = 0, u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = v0(x), ut(x, 0) = u1(x), vt(x, 0) = v1(x).

Where M is a nonnegative function and M ∈ C1_{(Q × R}+_{) ∩ C(Q × R}+_{), k · k =}

¡R Ω| · |2dx ¢1 2 _{, ∆ =} Pn i=1 ∂ 2 ∂x2 i, |ut| ρ_u

t is a continuously differentiable function with ρ > 1, Ω is a open bounded subset of Rn_{and Γ is the boundary of Ω, Σ = Γ × (0, T ).}

(7)

(8)

Introdu¸c˜

ao

G. Carrier em [3] deduz a equa¸cão que modela vibra¸cões de uma corda elástica quando as mudan¸cas nas tensões não são pequenas

ρutt− µ 1 + EA LT0 Z _L 0 u2_dx ¶ uxx = 0.

Aqui u(x, t) é o deslocamento do ponto x no instante de tempo t, T0 é a tensão

axial inicial, E é o modulo de Young de um material, A é a se¸cão transversal de uma corda, L é o comprimento da corda e ρ é a densidade do material. Claramente, se as propriedades do material variam com x e t, então temos uma equa¸cão hiperbólica quase linear do tipo

utt− M(x, t, ku(t)k2)∆u = 0.

Além disso, o material da corda admite friçcão interna, que pode ser uma fun¸cão não linear de ut e também pode depender de x e t.

Larkin em [13] estudou a equa¸cão não homogênea de Carrier

utt− M(x, t, ku(t)k2)∆u + g(x, t, ut) = f (x, t).

(9)

O sistema de Timoshenko ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ utt− M(k∇u(t)k2)∆u + n X i=1 ∂v ∂xi = f, vtt− ∆v + n X i=1 ∂u ∂xi = g

foi proposto por S. Timoshenko para descrever as vibra¸cões transversais de uma viga quando são levados em considera¸cão a inércia e as deforma¸cões. Este sistema foi estudado por Tucsnak [27] no espa¸co uni-dimensional, onde provou a existência de solu¸cões locais. A contralabilidade exata para o sistema quando M(λ) = 1, foi estudado por Medeiros [17], Prates [23] e outros autores.

Cousin e Larkin em [6], estudaram o problema unilateral associado ao sistema de Timoshenko sob uma pertuba¸c˜ao F (u)

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ utt− M(k∇u(t)k2)∆u + n X i=1 αi ∂v ∂xi + F (u) ≥ f, vtt− ∆v + n X i=1 γi ∂u ∂xi = g.

Eles provoram a existência e unicidade de solu¸cões globais para este sistema, quando a fun¸cão M(λ) é não negativa, sem dissipatividade de F (u) e com condi¸cões de que os dados iniciais são suficientemente pequenos.

Recentemente, foi publicado o trabalho de Parente, Milla Miranda e San Gil Jutuca [22] onde provaram o decaimento exponencial da energia para o sistema de Timoshenko.

(10)

estudar o seguinte sistema ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ utt− M(x, t, ku(t)k2)∆u + |ut|ρut+ n X i=1 ∂v ∂xi = f, vtt− ∆v + n X i=1 ∂u ∂xi = g, em Q = Ω × (0, T ) u|Σ = v|Σ = 0, u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = v0(x), ut(x, 0) = u1(x), vt(x, 0) = v1(x).

Aqui, M ´e uma fun¸c˜ao positiva com M ∈ C1_{(Q × R}+_{) ∩ C(Q × R}+_),

k · k = µZ Ω | · |2_dx ¶1 2 , ∆ = n X i=1 ∂2 ∂x2 i , ρ > 1,

|ut|ρut é uma fun¸cão continuamente diferenciável, Ω é um aberto limitado do Rn e

Γ ´e fronteira de Ω, Σ = Γ × (0, T ). Assumimos que Γ ´e suficientemente suave, e portanto existe uma base regular em H2_{(Ω) ∩ H}1

0(Ω).

(11)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

1.1 Espa¸cos Funcionais

Neste cap´ıtulo ser˜ao apresentados os espa¸cos funcionais envolvidos no problema em estudo. Apresentaremos tamb´em a estrutura desses espa¸cos e algumas propriedades importantes.

Seja Ω um subconjunto aberto limitado do Rn_{. Denotaremos por L}p_{(Ω), 1 ≤ p <} ∞, ao Espa¸co de Banach das fun¸c˜oes u mensur´aveis definidas em Ω com valores em

R, tais que |u|p _{´e integr´avel no sentido de Lebesgue em Ω, ou seja,}

Lp(Ω) = ½ u : Ω −→ R; u ´e mensur´avel e Z Ω |u(x)|pdx < ∞ ¾ munido da norma kukp = µZ Ω |u(x)|pdx ¶_1/p .

Se p = ∞, o conjunto das fun¸cões mensuráveis e essencialmente limitadas em Ω é representado por L∞_{(Ω). Para uma fun¸cão u ∈ L}∞_{(Ω), define-se a norma de u por}

(12)

Se p = 2 tem-se o Espa¸co de Hilbert L2_{(Ω), com produto interno dado por} (u, v) = Z Ω u(x)v(x) dx. Dados x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn e α = (α1, α2, · · · , αn) ∈ Nn, definem-se |α| = n X i=1 αi e xα = n Y i=1 xαi_. Denotaremos por Dα ₌ ∂|α| ∂α1∂α2· · · ∂αn

o operador deriva¸c˜ao de ordem |α|. Se α = (0, 0, · · · , 0), define-se D0_{u = u.}

Denotaremos por C∞

0 (Ω) o conjunto das fun¸c˜oes u : Ω −→ R que s˜ao

infinita-mente diferenci´aveis com suporte compacto contido em Ω. Denotaremos por D(Ω) o espa¸co topol´ogico (C∞

0 (Ω), D), onde D representa a topologia do limite indutivo.

Isto é, muniremos D(Ω) da seguinte no¸cão de convergência

uν −→ u em D(Ω)

se, e somente se, existe um subconjunto compacto K de Ω, tal que: (i) supp(uν) ⊂ K, ∀ν ∈ N e supp(u) ⊂ K.

(ii) ∀α ∈ Nn_{, D}α_u

ν −→ Dαu uniformemente em K.

O espa¸co D(Ω) ´e denomindado espa¸co das fun¸c˜oes testes. Representa-se por

D0_{(Ω), o espa¸co das distribui¸c˜oes vetoriais sobre Ω, isto ´e, o espa¸co vetorial}

for-mado por todas as aplica¸c˜oes lineares e cont´ınuas de D(Ω) em R (no sentido da convergˆencia de D(Ω)).

Sejam m ∈ N e 1 ≤ p < ∞. Representa-se por Wm,p_{(Ω) o espa¸co de todas as}

fun¸cões mensuráveis u pertencentes a Lp_{(Ω), tais que ∀α ∈ N}n _{com |α| ≤ m, tem-se} Dα_{u ∈ L}p_{(Ω), sendo D}α_{u a derivada no sentido das distribui¸cões sobre Ω. Ou ainda,}

(13)

Para cada u ∈ Wm,p_{(Ω), definimos a norma de u por} kukm,p =  X |α|≤m Z Ω |Dαu(x)|pdx   1/p . O espa¸co (Wm,p_{(Ω), k · k}

m,p) ´e um Espa¸co de Banach, denominado Espa¸co de

Sobolev. Quando p = 2, Wm,p_{(Ω) ´e um Espa¸co de Hilbert e ser´a denotado por} Wm,2_{(Ω) = H}m_(Ω).

Define-se o espa¸co W₀m,p(Ω) como sendo o fecho de C∞

0 (Ω) em Wm,p(Ω), isto ´e,

C∞

0 (Ω)

Wm,p_(Ω)

= W₀m,p(Ω).

Em particular, denotaremos por

C∞ 0 (Ω) Hm_(Ω) = Hm 0 (Ω) o fecho de C∞

0 (Ω) em Hm(Ω). O dual topol´ogico de H0m(Ω) ser´a denotado por

H−m_(Ω).

Dado H um Espa¸co de Banach, se T > 0 é um número real e 1 ≤ p < ∞, representa-se por Lp_{(0, T ; H) o Espa¸co de Banach das fun¸cões u : (0, T ) −→ H tais}

que u ´e mensur´avel e ku(t)kH ∈ Lp(0, T ), munido da norma kukLp_{(0,T ;H)}= µZ _T 0 ku(t)kp_Hdt ¶1/p .

Se 1 < p < ∞ e H é reflexivo, demonstra-se que Lp_{(0, T ; H) também é reflexivo.}

Obtem-se que o dual topol´ogico de Lp_{(0, T ; H) ´e o espa¸co L}p0

(0, T ; H0_{), sendo H}0

o dual topol´ogico de H e p0 _{o conjugado de p, isto ´e,} 1

p+ p10 = 1. Se p = 2 e H ´e um

Espa¸co de Hilbert, ent˜ao L2_{(0, T ; H) ´e um Espa¸co de Hilbert com produto interno}

(14)

Quando p = ∞ tem-se o Espa¸co de Banach L∞_{(0, T ; H) formado pelas fun¸cões} u : (0, T ) −→ H mensuráveis e essencialmente limitadas em H, isto é,

supessku(t)kH < ∞

munido da norma

kukL∞_{(0,T ;H)}= supessku(t)k_H.

Se H é um Espa¸co de Banach separável e 1 ≤ p ≤ ∞, então Lp_{(0, T ; H) também}

´e um Espa¸co de Banach separ´avel.

Representa-se por D0_{(0, T ; H) o espa¸co das distribui¸c˜oes vetoriais sobre (0, T )}

com valores em H, ou seja, o espa¸co da aplica¸c˜oes lineares e cont´ınuas de D(0, T ) em H.

Se u ∈ Lp_{(0, T ; H), 1 ≤ p < ∞, associa-se a u a distribui¸c˜ao ˜}_{u, definida por} h˜u, ϕi =

Z _T

0

u(t)ϕ(t) dt, ϕ ∈ D(0, T ).

Demonstra-se que ˜u ´e univocamente definida por u.

Identificando-se u com ˜u, podemos dizer que Lp_{(0, T ; H) ⊂ D}0_{(0, T ; H).}

Seja u ∈ D0_{(0, T ; H), define-se a derivada de ordem m de u, no sentido das}

distribui¸c˜oes, como sendo a distribui¸c˜ao ∂m_u

(15)

1.2 Resultados B´

asicos

Nesta se¸cão, reuniremos os resultados básicos necessários para obtermos a existência e unicidade de solu¸cões para problema proposto.

Defini¸c˜ao 1.1 Dizemos que uν −→ u quase sempre em Ω se uν(t) −→ u(t) para quase todo t ∈ Ω.

Teorema 1.2 (Teorema de Lebesgue) Seja (uν)ν∈N uma sucess˜ao de fun¸c˜oes

integráveis num aberto Ω ⊂ Rn_{, convergente quase sempre para a fun¸cão u. Se} existir uma fun¸cão u0 tal que |uν| ≤ u0 quase sempre ∀ν ∈ N, então u é integrável

e tem-se Z Ω u = lim ν−→∞ Z Ω uν.

Proposi¸c˜ao 1.3 (Desigualdade de Young) Seja 1 < p, p0 _{< ∞,} 1

p + p10 = 1. Ent˜ao ab ≤ a p p + bp0 p0 (a, b > 0).

Proposi¸c˜ao 1.4 (Desigualdade de Holder) Se u ∈ Lp_{(Ω) e v ∈ L}p0

(Ω) ent˜ao uv ∈ L1_{(Ω) e tem-se a desigualdade} Z Ω |uv| ≤ kukLp_(Ω)kvk_Lp0_(Ω), onde 1 ≤ p ≤ ∞ e 1 p + 1 p0 = 1.

Proposi¸c˜ao 1.5 (Teorema da Representa¸c˜ao de Riesz) Sejam 1 < p < ∞,

ϕ ∈ (Lp_(Ω))0 _e 1

p +

1

p0 = 1. Ent˜ao existe uma ´unica u ∈ Lp 0 (Ω) tal que hϕ, vi = Z Ω u(x)v(x)dx, ∀ v ∈ Lp(Ω) e kuk_Lp0_(Ω) = kϕk(Lp_(Ω))0.

(16)

Se (xn)n∈N´e uma sucess˜ao de E a qual converge para x em E na topologia fraca

σ(E, E0_{), dizemos que}

xn* x em E.

Proposi¸c˜ao 1.7 Seja (xn)n∈N uma sucess˜ao em E. Ent˜ao verifica-se:

(i) xn * x em E se, e somente se, hf, xni −→ hf, xi ∀f ∈ E0.

(ii) Se xn −→ x em E, ent˜ao xn* x em E.

(iii) Se xn * x em E, ent˜ao kxnkE ´e limitada e kxkE ≤ lim inf kxnkE.

(iv) Se xn * x em E e fn−→ f em E0, ent˜ao hfn, xni −→ hf, xi.

Seja E um Espa¸co de Banach e seja x ∈ E fixo. Definamos Jx : E0 −→ R por hJx, f i = hf, xi.

As aplica¸c˜oes Jx s˜ao lineares e cont´ınuas, portanto Jx ∈ E00, ∀x ∈ E.

Definamos agora, J : E −→ E00 _{tal que J(x) = J} x.

Defini¸c˜ao 1.8 A topologia fraca ∗ também designada por σ(E0_{, E) é a topologia} menos fina sobre E0 _{que torna cont´ınua todas as aplica¸cões J}

x.

Quando (fn)n∈N´e uma sucess˜ao de E0, a qual converge para f em E0 na topologia

fraca ∗ σ(E, E0_{), denotaremos}

fn * f em E∗ 0.

Proposi¸c˜ao 1.9 Seja (fn)n∈N uma sucess˜ao em E0. Ent˜ao se verifica:

(i) fn* f em E∗ 0 _{se, e somente se, hfn, xi −→ hf, xi ∀x ∈ E.}

(ii) Se fn −→ f em E0, ent˜ao fn * f em E0.

(17)

Lema 1.10 Seja E um Espa¸co de Banach reflexivo e seja (xn)n∈N uma sucess˜ao

limitada em E. Ent˜ao, existe uma subsucess˜ao (xnk)k∈N tal que

xnk * x em E.

Lema 1.11 Seja E um Espa¸co de Banach separ´avel e seja (fn)n∈N uma sucess˜ao

limitada em E0_{. Ent˜ao, existe uma subsucess˜ao (f}

nk)k∈N tal que

fnk

∗

* f em E0_.

Lema 1.12 (Lema de Du Bois Raymond) Seja Ω um subconjunto aberto do Rn e seja f ∈ L1

loc(Ω) tal que

Z

Ω

f (x)ϕ(x)dx = 0, ∀ϕ ∈ D(Ω). Ent˜ao f = 0 quase sempre em Ω.

Teorema 1.13 (Imers˜ao de Sobolev) Seja Ω um subconjunto aberto do Rn_. Ent˜ao

Hm(Ω) ,→ Ck( ¯Ω), se m > n 2 + k. Obs.: ,→ indica imers˜ao cont´ınua.

Teorema 1.14 (Teorema de Rellich Kondrachov) Seja Ω um subconjunto

aber-to limitado do Rn_{, Ω de classe C}1 _{e 1 ≤ p ≤ ∞. Ent˜ao}

se p < n ent˜ao W1,p_(Ω)_{,→ L}c q_{(Ω), ∀q ∈ [1, p}∗_{[ donde} 1

p∗ = 1_p − 1_n,

se p = n ent˜ao W1,p_(Ω)_{,→ L}c q_{(Ω), ∀q ∈ [1, +∞[,} se p > n ent˜ao W1,p_(Ω)_{,→ C(Ω).}c

(18)

Teorema 1.15 (Desigualdade de Poincar´e) Suponhamos que Ω seja um aberto

limitado do Rn_{. Ent˜ao para todo 1 ≤ p < ∞, existe uma constante C (dependendo} da medida de Ω e de p) tal que

kukp ≤ Ck∇ukp, ∀u ∈ W01,p(Ω).

Como consequência da desigualdade de Poincaré, a expressão k∇ukp é uma

nor-ma em W₀1,p(Ω), equivalente a norma kuk1,p. Em H01(Ω) a express˜ao

Z Ω ∇u(x)∇v(x)dx = n X i=1 Z Ω ∂u(x) ∂xi ∂v(x) ∂xi dx

define um produto interno que induz a norma k∇uk2 equivalente a norma de kukH1.

Estes resultados acima podem ser encontrados em [1].

Teorema 1.16 (Teorema de Strauss) Seja (un)n∈N uma sucess˜ao de fun¸c˜oes

mensuráveis num aberto limitado Ω do Rn_{. Para cada n ∈ N, sejam Fn} _{e Gn} fun¸cões tais que as fun¸cões compostas Fn◦ un e Gn◦ un sejam mensuráveis em Ω. Suponhamos que:

(i) (Fn◦ un) converge quase sempre em Ω para uma fun¸c˜ao v.

(ii) Existe uma constante C tal que R_Ω(|Fn◦ unkGn◦ un|)dx < C para todo n.

(iii) Para cada M > 0 existe um N > 0 (independente de n) tal que para

to-do x ∈ Rn_{, onde se verifica a desigualdade |Gn}_{(x)| ≤ M, tem-se necessariamente} |Fn(x)| ≤ N, exeto por um n´umero finito de ´ındices n.

Ent˜ao

(iv) v ∈ L1_(Ω).

(v) (Fn◦ un) converge para u na norma de L1(Ω).

Corol´ario 1.17 Seja 1 < p < ∞ e (un)n∈N uma sucess˜ao de fun¸c˜oes em Lp(Ω) tais

que kunkp ≤ C para todo n, onde C ´e uma constante e Ω ´e um aberto limitado do

Rn_{. Se u}

(19)

Estes dois resultados acima podem ser encontrados em [19].

Lema 1.18 (Lema de Gronwall) Sejam ϕ ∈ L∞_{(0, T ) e β ∈ L}1_{(0, T ) tais que}

β > 0, ϕ ≥ 0 e K ≥ 0 uma constante. Se ϕ(t) ≤ K + Z _t 0 β(s)ϕ(s) ds, ∀t ∈ [0, T ], ent˜ao tem-se ϕ(t) ≤ KeR0tβ(s) ds, ∀t ∈ (0, T ).

Demonstra¸c˜ao: Ver [7].

Lema 1.19 Sejam X e Y Espa¸cos de Banach tais que X ,→ Y. Se

u ∈ L1_{(0, T ; X) e u}0 _{∈ L}1_{(0, T ; Y ),}

ent˜ao

u ∈ C([0, T ]; Y ).

Um resultado importante a respeito dos espa¸cos Lp_{(0, T ; H) ´e o que permite fazer}

a identifica¸c˜ao (Lp_{(0, T ; H))}0 _{∼ L}p0

(0, T ; H0_{). Para o caso em que p = 1, identifica-se}

(L1_{(0, T ; H))}0 _{∼ L}∞_{(0, T ; H}0_{). An´alizemos agora o caso em que p = 1 e H = L}2_(Ω).

Para isso defina

(20)

F ´e linear, cont´ınua e bijetiva. Desse modo fazemos a identifica¸c˜ao: L∞(0, T ; L2(Ω)) ∼¡L1(0, T ; (L2(Ω))0)¢0,

e os elementos de L∞_{(0, T ; L}2_{(Ω)) podem ser vistos como elementos do dual de}

L1_{(0, T ; (L}2_(Ω))0_{). Ent˜ao quando dizemos que}

um * u em L∗ ∞(0, T ; L2(Ω)),

temos que

hum, ξi → hu, ξi(L1_{(0,T ;(L}2_(Ω))0₎₎0_×L1_{(0,T ;(L}2_(Ω))0₎, ∀ξ ∈ L1(0, T ; (L2(Ω))0),

o que significa que Z _T 0 hξ(t), um(t)i(L2_(Ω))0_×L2_(Ω)dt → Z _T 0 hξ(t), u(t)i_(L2_(Ω))0_×L2_(Ω)dt, (1.1)

∀ξ ∈ L1_{(0, T ; (L}2_(Ω))0_{). A proposi¸c˜ao seguinte, relaciona a convergˆencia fraca ∗}

acima, com a convergˆencia fraca.

Proposi¸c˜ao 1.20 Se um * u em L∗ ∞(0, T ; L2(Ω)), ent˜ao um * u em L2(0, T ; L2(Ω)).

Demonstra¸c˜ao: Dada h ∈ (L2_{(0, T ; L}2_(Ω)))0_{, pelo teorema de Riesz existe uma}

´unica ϕh ∈ L2(0, T ; L2(Ω)) tal que

(21)

Então ξ ∈ L1_{(0, T ; (L}2_(Ω))0_{). Pela hipótese e considerando em (1.1) afun¸cão ξ acima}

definida, segue que

Z _T 0 (ϕh, um(t)) dt → Z _T 0 (ϕh, u(t)) dt.

(22)

1.3 Resultados da Teoria Espectral

A seguir será apresentado o Teorema Espectral, essencial na obten¸cão do problema aproximado, isto é, na obten¸cão da proje¸cão do problema em estudo, em um es-pa¸co de dimensão finita. Para maiores detalhes, bem como as demonstra¸cões dos resultados aqui apresentados, remetemos o leitor ao texto de Milla Miranda [20].

Sejam V e H dois Espa¸cos de Hilbert complexos, cujos produtos internos e normas ser˜ao denotados por ( · , · )V, | · |V e ( · , · )H, | · |H, respectivamente.

Suponhamos que:

(1) V ´e denso em H;

(2) V ,→ H com imers˜ao compacta;

(3) est´a definida uma forma sesquilinear e cont´ınua a(u, v) em V × V ; (4) existem α0 e α em R, com α > 0, tais que

Re[a(v, v) + α0(v, v)] ≥ α|v|2V, ∀v ∈ V ;

(5) a(u, v) ´e hermitiana;

(6) A denota o operador definido pela terna (V, H, a(u, v));

Teorema 1.21 (Teorema Espectral) Nas hip´oteses estabelecidas acima obtemos:

(i) A é auto-adjunto e existe um sistema ortonormal e completo (ων)ν∈N (os ων formam uma cole¸cão enumerável) de H constitu´ıdos por vetores próprios de A.

(ii) Se (λν)ν∈N são os valores próprios de A correspondentes a sucessão (ων)ν∈N

ent˜ao

0 < λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λν ≤ · · · e λν −→ ∞ quando λ → ∞.

(23)

(iv) Au = ∞ X ν=1 λν(u, ων)ων.

Corol´ario 1.22 Se a(u, v) ´e coersiva, o sistema (ων)ν∈N´e ortogonal e completo em

V. Al´em disto a(u, v) define um produto interno em V, equivalente ao produto interno

(24)

1.4 Teorema do Prolongamento de Solu¸c˜

oes para

Equa¸c˜

oes Diferenciais Ordin´

arias

Para obtermos a solu¸cão para o problema aproximado, o qual será utilizado no cap´ıtulo seguinte para resolver o problema em questão, necessitaremos dos resultados a seguir, os quais podem ser encontrados em [4] e [8].

Seja Ω um subconjunto aberto de Rn+1 _{cujos elementos s˜ao denotados por (t, x),} t ∈ R, x ∈ Rn _{e seja f : Ω −→ R}n _{uma fun¸c˜ao.}

Consideremos o problema de valor inicial ½

x0_{(t) = f (t, x(t))}

x(t0) = x0. . (1.2)

Diz-se que f : Ω −→ Rn _{satisfaz as condi¸c˜oes de Caratheodory sobre Ω se:}

(i) f (t, x) é mensurável em t para cada x fixado; (ii) f (t, x) é cont´ınua em x para quase todo t fixado;

(iii) para cada compacto K ⊂ Ω, existe uma fun¸c˜ao real mK(t) integr´avel tal

que

|f (t, x)|_Rn ≤ m_K(t), ∀(t, x) ∈ K.

Teorema 1.23 (Teorema de Caratheodory) Seja f : Ω −→ Rn _{satisfazendo as} condi¸cões de Caratheodory sobre Ω. Então existe uma solu¸cão x(t) de (1.2) sobre algum intervalo |t − t0| ≤ β (β > 0).

Lema 1.24 Seja Ω = [0, T ) × B com T > 0 e B = {x ∈ Rn_{; |x| ≤ b}, b > 0.} Seja f : Ω −→ Rn _{nas condi¸cões de Caratheodory sobre Ω. Suponhamos que x(t)} é uma solu¸cão de (1.2) tal que |x0| ≤ b e que em qualquer intervalo I, onde x(t)

(25)

Cap´ıtulo 2

Existˆ

encia e Unicidade de Solu¸c˜

ao

2.1 Teorema de Existˆ

encia e Unicidade

Seja Ω ⊂ Rn_{, onde Ω ´e um aberto limitado com fronteira bem regular Γ. Em} Q = Ω × (0, T ) considere o seguinte sistema

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ utt− M(x, t, ku(t)k2)∆u + |ut|ρut+ n X i=1 ∂v ∂xi = f, vtt− 4v + n X i=1 ∂u ∂xi = g, u|Σ= v|Σ = 0, Σ = Γ × (0, T ), u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = v0(x), ut(x, 0) = u1(x), vt(x, 0) = v1(x). (2.1)

Mt, Mxidenotam as derivadas parciais da fun¸c˜ao M(t, x, λ) com respeito aos

cor-responentes parˆametros e Mλ = _∂λ∂ (M(x, t, λ)). Formulamos a seguir as hip´oteses,

sob as quais obteremos a existência de solu¸cões para o problema (2.1). Hipóteses 2

(2.1) M ∈ C1_{(Q × R}+_{) ∩ C(Q × R}+_), _R+ _{= [0, ∞),}

(2.2) existe uma fun¸c˜ao cont´ınua φ(λ) tal que

∀(x, t) ∈ Q, 0 < m0 ≤ φ(λ) ≤ M(x, t, λ) ≤ C0φ(λ),

(2.3) |Mλλ

1

2| ≤ C₁M(x, t, λ),

(26)

(2.5) |Mxi(x, t, λ)| ≤ C3M(x, t, λ) ∀i = 1, ..., n,

onde C0, C1, C2, C3, m0 s˜ao constantes positivas e ρ > 1.

O Teorema principal deste cap´ıtulo ´e enunciado a seguir.

Com efeito de simplicidade, indicaremos a derivada com rela¸c˜ao ao parˆametro t como aqui: ut = u0.

Teorema 2.1 : Suponhamos v´alidas as hip´oteses 2 dadas acima; Sejam u0, v0 ∈

H2_{(Ω) ∩ H}1

0(Ω), u1 ∈ H01(Ω) ∩ L2ρ+2(Ω) e v1 ∈ H01(Ω). Ent˜ao para quaisquer f, g ∈

H1_{(0, T ; L}2_{(Ω)) existe um ´unico par {u, v} de solu¸c˜ao forte para o sistema (2.1) tal}

que u, v ∈ L∞_{(0, T ; H}2_{(Ω) ∩ H}1 0(Ω)), u0_{, v}0 _{∈ L}∞_{(0, T ; H}1 0(Ω)), u00_{, v}00 _{∈ L}∞_{(0, T ; L}2_(Ω)), u0 _{∈ L}ρ+2_(Q). Demonstra¸c˜ao:

Para provarmos a existência de solu¸cão para o problema acima, utilizaremos o método de Galerkin, o qual consiste em obter, usando o Teorema Espectral, o pro-blema projetado em um espa¸co de dimenão m, para cada m ∈ N. Obtemos assim um problema de valor incial equivalente envolvendo apenas equa¸cões ordinárias. Uti-lizando o Teorema de Caratheodory, segue que, ∀m ∈ N, o problema correspondente possui solu¸cão local, a qual, atravês das estimativas a prioi, independentes de t, nos permite extender as solu¸cões locais ao intervalo (0, T ), ∀T > 0. Desta forma obtemos um par de sucessões de fun¸cões {(um), (vm)}m∈N as quais, em seguida mostraremos

(27)

2.2 Solu¸c˜

oes Aproximadas

Na presente se¸cão, utilizaremos o Teorema Espectral para projetarmos o problema em estudo, em espa¸cos de dimensão finita, obtendo um problema mais simples que terá solu¸cão garantida pelo Teorema de Caratheodory.

O Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos garante a existˆencia de um sistema ortonormal (wj)j∈N de L2(Ω) constitu´ıdo pelas auto-fun¸c˜oes do operador

−∆, solu¸c˜oes do problema de Dirichlet:

¯ ¯ ¯

¯ −∆w_w_j_|_Γj = λ_{= 0}jwj em Ω onde (λj)j∈N s˜ao os correspondentes autovalores de −∆

0 < λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λj ≤ ... e λj → ∞ quando j → ∞.

Al´em disso, segue que Ã wj p λj ! j∈N

´e um sistema ortonormal e completo em H1 0(Ω) e µ wj λj ¶ j∈N

´e um sistema ortonormal e completo em H1

0(Ω) ∩ H2(Ω).

Para cada m denotamos por Vm = [w1, w2, ..., wm] o espa¸co gerado pelas m

primeiras auto-fun¸c˜oes do sistema (wj)j∈N. Queremos encontrar um par de fun¸c˜oes

(28)

que satisfa¸ca o seguinte problema aproximado ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ µ u00 m(t) M(x, t, kum(t)k2) , wj ¶ + (−∆um(t), wj) + µ |u0 m(t)|ρu0m(t) M(x, t, kum(t)k2) , wj ¶ +     n P i=1 ∂vm(t) ∂xi M(x, t, kum(t)k2) , wj     = µ f (t) M(x, t, kum(t)k2) , wj ¶ , (v00 m(t), wj) + (−∆vm(t), wj) + n X i=1 µ ∂um(t) ∂xi , wj ¶ = (g(t), wj), j = 1, ..., m, (2.2) com ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ um(0) = u0m = m X j=1 (u0, wj)wj → u0 vm(0) = v0m = m X j=1 (v0, wj)wj → v0            em H1 0(Ω) ∩ H2(Ω), u0 m(0) = u1m= m X j=1 (u1, wj)wj → u1 em H01(Ω) ∩ L2ρ+2(Ω), v_m0 (0) = v1m= m X j=1 (v1, wj)wj → v1 em H01(Ω). (2.3)

Queremos agora encontrar um problema equivalente ao problema (2.2)−(2.3), e que satisfa¸ca as hip´oteses do Teorema de Caratheodory.

(29)

(30)

Por i, . . . , vii obtemos o seguinte sistema, que ´e equivalente ao problema aproxi-mado (2.2) − (2.3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ m X i=1 g00 im(t)    µ wi M µ x, t,Pm k=1 g2 km(t) ¶¶, wj     = −λjgjm(t) − m X i=1 g_i0_m(t)     ¯ ¯ ¯ ¯ m P i=1 g0 im(t)wi ¯ ¯ ¯ ¯ ρ wi µ M µ x, t,Pm k=1 g2 km(t) ¶¶, wj     − m X i=1 him(t)     n P k=1 ∂wi ∂xk µ M µ x, t,Pm k=1 g2 km(t) ¶¶, wj     +    µ f (t) M µ x, t,Pm k=1 g2 km(t) ¶¶, wj     , h00_j_m(t) = −λjhjm(t) − m X i=1 gim(t) Ã _n X k=1 ∂wi ∂xk , wj ! + (g(t), wj), gjm(0) = (u0, wj), hjm(0) = (v0, wj), g0 jm(0) = (u1, wj), h 0 jm(0) = (v1, wj), (2.4) j = 1, ..., m.

Este sistema de Cauchy para EDO’s tem solu¸c˜ao local em algum intervalo (0, tm),

garantida pelo Teorema de Caratheodory e com as estimativas a priori poderemos estender esta solu¸c˜ao ao intervalo (0, T ) e passar o limite em (2.2) − (2.3) com

m → ∞.

Estimativa I:

No que segue, para efeito de simplicidade, denotaremos M(x, t, kum(t)k2),

sim-plesmente por M.

Multiplicando as equa¸c˜oes (2.2) por g0

jm(t) e h

0

(31)

ambas desde j = 1, ..., m, obtemos ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¡ u00 m(t)M−1, u0m(t) ¢ + (∇um(t), ∇u0m(t)) + ¡ |u0 m(t)|ρu0m(t)M−1, u0m(t) ¢ + n X i=1 µ ∂vm(t) ∂xi M−1, u0_m(t) ¶ =¡f (t)M−1, u0_m(t)¢, (v_m00(t), v0_m(t)) + (∇vm(t), ∇v0m(t)) + n X i=1 µ ∂um(t) ∂xi , v_m0 (t) ¶ = (g(t), v_m0 (t)) . (2.5) Note que, I1 = (u00m(t)M−1, u0m(t)) = Z Ω u00 m(x, t)u0m(x, t)M−1dx = 1 2 Z Ω d dt(u 0 m(x, t))2M−1dx Como d dt((u 0 m(t))2M−1)) = d dt(u 0 m(t))2M−1− (u0m(t))2(Mt+ Mλ2(u0m(t), um(t)))M−2 temos que I1 = 1 2 d dt((u 0 m(t))2, M−1) + 1 2(MtM −2_{, (u}0 m(t))2) + (MλM−2(um0 (t), um(t)), (u0m(t))2). Substituindo I1 em (2.6) vem ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 d dt ©¡ (u0 m(t))2, M−1 ¢ + k∇um(t)k2 ª +¡|u0 m(t)|ρu0m(t)M−1, u0m(t) ¢ =¡f (t)M−1, u0_m(t)¢− n X i=1 µ ∂vm(t) ∂xi M−1, u0_m(t) ¶ −1 2 ¡ MtM−2, ((u0_m(t))2¢ −¡MλM−2(u0_m(t), um(t)), (u0m(t))2 ¢ , 1 2 d dt © kv0 m(t)k2 + k∇vm(t)k2 ª = (g(t), v0 m(t)) − n X i=1 µ ∂um(t) ∂xi , v 0 m(t) ¶ . (2.6)

(32)

(33)

De maneira an´aloga, mostra-se que I6 = − n X i=1 µ ∂um(t) ∂xi , v_m0 (t) ¶ ≤ n 2 ¡ k∇um(t)k2+ kv_m0 (t)k2¢.

Por outro lado,

I7 = − 1 2 ¡ MtM−2, (u0m(t)2 ¢ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯1₂ ¡ MtM−2, (u0m(t))2 ¢¯¯ ¯ ¯ = 1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ Z Ω MtM−2(u0m(x, t))2dx ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ 1₂ Z Ω |Mt|M−2(u0m(x, t))2dx ≤ C2 2 Z Ω (u0_m(x, t))2M−1dx = C2 2 ¡ (u0_m(t))2, M−1¢.

Finalmente, usando que Lρ+2_{(Ω) ,→ L}2_{(Ω) e a desigualdade de Young temos}

(34)

De I1, . . . , I8 e escolhendo convenientemente ε = _2C1₀, chegamos `a seguinte desigual-dade 1 2 d dt ©¡ (u0 m(t))2, M−1 ¢ + k∇um(t)k2+ kvm0 (t)k2+ k∇vm(t)k2 ª + 1 2C0φ(kum(t)k2) Z Ω |u0 m(x, t)|ρ+2dx ≤ K2 ¡ 1 +¡(u0 m(t))2, M−1 ¢ + k∇um(t)k2 + kv0 m(t)k2+ k∇vm(t)k2+ kf (t)k2+ kg(t)k2 ¢ .

Multiplicando por 2 e integrando de 0 at´e t obtemos ¡ (u0 m(t))2, M−1 ¢ + k∇um(t)k2+ kv0m(t)k2+ k∇vm(t)k2 + 1 C0φ(kum(t)k2) Z _t 0 Z Ω |u0 m(x, σ)|ρ+2dxdσ ≤ ¡¡ (u0 m(0))2, M−1 ¢ + k∇um(0)k2 + kv0 m(0)k2+ k∇vm(0)k2 ¢ + 2K2 Z _t 0 ¡ 1 +¡(u0 m(σ))2, M−1 ¢ + k∇um(σ)k2 + kv0 m(σ)k2+ k∇vm(σ)k2+ kf (σ)k2+ kg(σ)k2 ¢ dσ.

Usando as convergencias de (2.3), do fato que f, g ∈ H1_{(0, T ; L}2_{(Ω)), temos}

¡ (u0 m(t))2, M−1 ¢ + k∇um(t)k2+ kvm(t)k2+ k∇vm(t)k2 + 1 C0φ(kum(t)k2) Z _t 0 Z Ω |u0 m(x, σ)|ρ+2dxdσ ≤ K3 · 1 + Z _t 0 ¡ (u0 m(σ))2, M−1 ¢ + k∇um(σ)k2+ kvm0 (σ)k2+ k∇vm(σ)k2 ¤ dσ. (2.7)

Pelo Lema de Gronwall, seque que ¡

(u0_m(t))2, M−1¢+ k∇um(t)k2+ kvm0 (t)k2+ k∇vm(t)k2 ≤ K4,

onde K4 ´e uma constante positiva independente de m e t ∈ (0, tm).

Da Desigualdade de Poincar´e, segue que

kum(t)k2 ≤ CΩk∇um(t)k2,

onde a constante CΩ depende somente de Ω.

Disto e da hip´otese (2.2) segue que

(35)

Retornando a (2.8) resulta que

ku0_m(t)k2+ k∇um(t)k2+ kv0m(t)k2+ k∇vm(t)k2+

Z _t

0

ku0_m(σ)kρ+2_ρ+2dσ ≤ K5, (2.8)

onde K5 ´e uma constante positiva e independente de m e t ∈ (0, tm).

Com este resultado, usando o Teorema de Prolongamento, podemos estender o par de solu¸c˜oes aproximadas {um, vm} ao intervalo (0, T ).

Estimativa II: Derivando o sistema (2.2) em rela¸c˜ao a t, em seguida multi-plicando a primeira e segunda equa¸c˜ao do sistema resultante por g00

jm(t) e h

00 jm(t),

respectivamente, somando ambas desde j = 1, ..., m chegamos a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¡ u000 m(t)M−1, u00m(t) ¢ −¡MtM−2, (u00m(t))2 ¢ −¡MλM−22(um0 (t), um(t)), (u00m(t))2) ¢ +(∇u0 m(t), ∇u00m(t)) + ¡ (ρ + 1)|u0 m(t)|ρu00m(t)M−1, u00m(t) ¢ −¡|u0 m(t)|ρu0m(t)MtM−2, u00m(t) ¢ −¡|u0 m(t)|ρu0m(t)MλM−22(u0m(t), um(t)), u00m(t) ¢ + n X i=1 µ ∂v0 m(t) ∂xi M−1, u00_m(t) ¶ − n X i=1 µ ∂vm(t) ∂xi MtM−2, u00_m(t) ¶ − n X i=1 µ ∂vm(t) ∂xi MλM−22(u0_m(t), um(t)), u00m(t) ¶ =¡f0(t)M−1, u00_m(t)¢ −¡f (t)MtM−2, u00m(t) ¢ −¡f (t)MλM−22(u0m(t), um(t)), u00m(t) ¢ , (v000 m(t), v00m(t)) + (∇vm0 (t), ∇v00m(t)) + n X i=1 µ ∂u0 m(t) ∂xi , v00 m(t) ¶ = (g0_{(t), v}00 m(t)) . (2.9) De modo an´alogo a I1 temos que,

I9 = ¡ u000 m(t)M−1, u00m(t) ¢ = 1 2 d dt ¡ (u00 m(t))2, M−1 ¢ + 1 2 ¡ MtM−2, (u00m(t))2 ¢ + ¡MλM−2(u0m(t), um(t)), (u00m(t))2 ¢ .

Observe, tamb´em que

I10 = ¡ (ρ + 1)|u0 m(t)|ρu00m(t)M−1, u00m(t) ¢ = (ρ + 1) Z Ω (|u0 m(x, t)|ρ/2u00m(x, t))2M−1dx.

Por outro lado,

(36)

Logo, I10 = ¡ (ρ + 1)|u0 m(t)|ρu00m(t)M−1, u00m(t) ¢ = (ρ + 1) (ρ/2 + 1)2 Z Ω µ d dt(|u 0 m(x, t)|ρ/2u0m(x, t)) ¶₂ M−1dx.

Substituindo I9 e I10 em (2.10) temos que

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 d dt ©¡ (u0 m(t))2, M−1 ¢ + k∇u0 m(t)k2 ª + ρ + 1 (ρ 2 + 1)2 Z Ω µ d dt(|u 0 m(x, t)|ρ/2u0m(x, t)) ¶₂ M−1_dx =¡f0(t)M−1, u00_m(t)¢−¡f (t)MtM−2, u00_m(t)¢−¡f (t)MλM−22(u0_m(t), um(t)), u00m(t) ¢ +1 2 ¡ MtM−2, (u00m(t))2 ¢ +¡MλM−2(u0m(t), um(t)), (u00m(t))2 ¢ +¡|u0_m(t)|ρu0_m(t)MtM−2, u00_m(t)¢+¡|u0_m(t)|ρu0_m(t)MλM−22(u0_m(t), um(t)), u00m(t) ¢ − n X i=1 µ ∂v0 m(t) ∂xi M −1_{, u}00 m(t) ¶ + n X i=1 µ ∂vm(t) ∂xi MtM −2_{, u}00 m(t) ¶ + n X i=1 µ ∂vm(t) ∂xi MλM −2_2(u0 m(t), um(t)), u00m(t) ¶ , 1 2 d dt © kv00 m(t)k2+ k∇vm0 (t)k2 ª = (g0_{(t), v}00 m(t)) − n X i=1 µ ∂u0 m(t) ∂xi , v00 m(t) ¶ . (2.10) Somando ambas equa¸c˜oes de (2.11) resulta

(37)

Temos que I11 = (ρ + 1) (ρ₂ + 1)2 Z Ω µ d dt(|u 0 m(x, t)| ρ 2u0 m(x, t)) ¶₂ M−1_dx ≥ (ρ + 1) C0(ρ₂ + 1)2φ(kum(t)k2) Z Ω µ d dt(|u 0 m(x, t)| ρ 2u0 m(x, t)) ¶₂ .

De modo an´alogo a I3, temos que

I12 = ¡ f0_(t)M−1_{, u}00 m(t) ¢ ≤ K6 ¡ kf0_(t)k2_{+ ((u}00 m(t))2, M−1) ¢ , onde K6 = max n 1 2m0, 1 2 o

. De modo an´alogo a I12 temos

I13= (g0(t), vm00(t)) ≤

1 2 ¡

kg0(t)k2+ kv_m00(tk2¢.

Agora temos que

(38)

≤ µ K5C12 Z Ω |f (x, t)|2 M dx + Z Ω |u00 m(x, t)|2 M dx ¶ ≤ K5C12 m0 Z Ω |f (x, t)|2_{dx +} Z Ω (u00 m(x, t))2 M dx ≤ K8 ¡ kf (t)k2+¡(u00_m(t))2, M−1¢¢, onde K8 = max n K5C12 m0 , 1 o .

De maneira an´aloga a I7 temos

I16 = 1 2 ¡ MtM−2, (u00m(t) ¢ ≤ C2 2 ¡ (u00 m(t))2, M−1 ¢ .

Por outro lado,

(39)

I19 = ¡ |u0_m(t)|ρu0_m(t)MλM−22(u0_m(t), um(t)), u00m(t) ¢ ≤ 2ku0 m(t)kkum(t)k Z Ω |u0 m(x, t)| ρ 2|u0 m(x, t) |u0m(x, t)| ρ 2|u00 m(x, t)| |Mλ| M−2dx ≤ 2ku0 m(t)k Z Ω ³ |u0 m(x, t)| ρ 2|u0 m(x, t)| ´ ³ |u0 m(x, t)| ρ 2|u00 m(x, t)| ´ |Mλkum(t)k | M−2dx ≤ 2K12 5C1 Z Ω µ |u0 m(x, t)| ρ 2|u0 m(x, t)| M12 ¶ µ |u0 m(x, t)| ρ 2|u00 m(x, t)| M12 ¶ dx ≤ 2 µ K5C12 Z Ω µ |u0 m(x, t)|ρ+2 M ¶ dx ¶1 2 ÃZ Ω µ |u0 m(x, t)| ρ 2|u00_m(x, t)| M ¶2 dx !1 2 = 2 µ K5C12 ε Z Ω µ |u0 m(x, t)|ρ+2 M ¶ dx ¶1 2 Ã ε Z Ω µ |u0 m(x, t)| ρ 2|u00 m(x, t)| M ¶2 dx !1 2 ≤ K5C12 εm0 Z Ω |u0 m(x, t)|ρ+2dx + ε (ρ 2 + 1)2φ(kum(t)k2) Z Ω µ d dt ³ |u0 m(x, t)| ρ 2u0 m(x, t) ´¶2 dx ≤ L(ε)ku0_m(t)kρ+2+ ε (ρ₂ + 1)2_φ(ku m(t)k2) Z Ω µ d dt ³ |u0_m(x, t)|ρ2u0 m(x, t) ´¶2 dx, onde L(ε) = K5C 2 1 εm0 . I20 = − n X i=1 µ ∂v0 m(t) ∂xi M −1_{, u}00 m(t) ¶ ≤ n X i=1 Z Ω   ¯ ¯ ¯∂vm0 (x,t)| ∂xi ¯ ¯ ¯ M12   µ |u00 m(x, t)| M12 ¶ dx ≤ n X i=1    Z Ω ¯ ¯ ¯∂vm0 (x,t) ∂xi ¯ ¯ ¯2 M dx    1 2 µZ Ω |u00 m(x, t)|2 M dx ¶1 2 ≤ 1 2    n X i=1 Z Ω ¯ ¯ ¯∂vm0 (x,t) ∂xi ¯ ¯ ¯2 M dx + n Z Ω |u00 m(x, t)|2 M dx    ≤ K9 ¡ k∇v0 m(t)k2+ ((u00m(t))2, M−1) ¢ , onde K9 = max n 1 2m0, n 2 o .

De modo an´alogo a I20 mostra-se que

(40)

(41)

resulta que 1 2 d dt ©¡ (u00 m(t))2, M−1 ¢ + k∇u0 m(t)k2+ kvm00(t)k2+ k∇vm0 (t)k2 ª + (ρ + 1) 2(ρ₂ + 1)2_φ(ku m(t)k2) Z Ω µ d dt(|u 0 m(x, t)| ρ 2u0 m(x, t)) ¶₂ dx ≤ K12 ¡ 1 +¡(u00 m(t))2, M−1 ¢ + k∇u0_m(t)k2+ kv00_m(t)k2+ k∇v0_m(t)k2+ kf (t)k2+ kf0(t)k2+ kg(t)k2 + kg0(t)k2+ ku0_m(t)kρ+2_ρ+2¢. (2.12)

Multiplicando por 2 e integrando (2.13) de 0 at´e t ≤ T temos ¡ (u00_m(t))2, M−1¢+ k∇u0_m(t)k2+ kv_m00(t)k2+ k∇v_m0 (t)k2 + (ρ + 1) (ρ 2 + 1)2φ(kum(t)k2) Z _t 0 Z Ω µ d dσ(|u 0 m(x, σ)| ρ 2u0 m(x, σ)) ¶₂ dxdσ ≤ ¡(u00 m(0))2, M−1 ¢ + k∇u0 m(0)k2+ kvm00(0)k2 + k∇v0m(0)k2 + 2K12 Z _t 0 ¡ 1 +¡(u00 m(σ))2, M−1 ¢ + k∇u0 m(σ)k2+ kv00m(σ)k2 + k∇v_m0 (σ)k2+ kf (σ)k2+ kf0(σ)k2+ kg(σ)k2+ kg0(σ)k2 + ku0_m(σ)kρ+2_ρ+2¢dσ.

Note que, ainda n˜ao temos limita¸c˜ao para (u00

m(0)) e (vm00(0)). Fazendo t = 0 e wj = u00m(0) na primeira equa¸c˜ao de (2.2) temos que

ku00 m(0)k2 = (f (0), u00m(0)) + ¡ M(x, 0, kum(0)k2)∆um(0), u00m(0) ¢ − ³ |u0 m(0)| ρ 2u0 m(0), u00m(0) ´ − n X i=1 µ ∂vm(0) ∂xi , u00 m(0) ¶ ≤ £kf (0)k + kM(x, 0, ku0mk2)∆u0mk + k|u1m|ρu1mk + n X i=1 k∂v0m ∂xi k # ku00 m(0)k. Logo, ku00 m(0)k ≤ ¡ kf (0)k + kM(x, 0, ku0mk2)∆u0mk + ku1mkρ+12ρ+2+ k∇v0mk ¢ .

Usando as convergencias de (2.3) e do fato que M ∈ C1_{(Q × R}+_{) ∩ C(Q × R}+_{) segue}

que

(42)

De modo an´alogo mostra-se que

kv00

m(0)k ≤ C, independente de m.

Disto, da primeira estimativa, das convergencias de (2.3) e da hip´otese que f, g ∈

H1_{(0, T ; L}2_{(Ω)), resulta que} ¡ (u00 m(t)2, M−1 ¢ + k∇u0 m(t)k2+ kvm00(t)k2+ k∇vm0 (t)k2 + (ρ + 1) (ρ₂ + 1)2_φ(kum_(t)k2₎ Z _t 0 Z Ω µ d dσ(|u 0 m(x, σ)| ρ 2u0 m(x, σ)) ¶₂ dxdσ ≤ K13 · 1 + Z _t 0 ¡ ((u00_m(σ))2, M−1) + k∇u0_m(σ)k2+ kv00_m(σ)k2 + k∇v0 m(σ)k2 ¢ dσ¤. (2.13)

Pelo Lema de Gronwall segue que ((u00

m(t), M−1) + k∇u0m(t)k2+ kvm00(t)k2+ k∇vm0 (t)k2 ≤ K14,

onde K14 ´e uma constante positiva e independente de m e t ∈ (0, T ).

Usando que m0 ≤ M(x, t, kum(t)k2) ≤ M1 < ∞. Retornando a (2.14) temos que

ku00 m(t)k2+ k∇u0m(t)k2+ kvm00(t)k2+ k∇vm0 (t)k2 + Z _t 0 Z Ω µ d dσ(|u 0 m(x, σ)| ρ 2u0 m(x, σ)) ¶₂ dxdσ ≤ K15, (2.14)

onde K15 ´e uma constante positiva e independente de m e t ∈ (0, T ).

Estimativa III:

Multiplicando as equa¸c˜oes (2.2) por λj, em seguida multiplicando-as por gj0m(t)

e h0

jm(t), respectivamente, somando ambas desde j = 1, ..., m, obtemos

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¡

∇(u00_m(t)M−1), ∇(u0_m(t))¢+ (∆um(t), ∆u0m(t)) +

(43)

Note que, I24 = ¡ ∇(u00 m(t)M−1), ∇(u0m(t)) ¢ = n X i=1 Z Ω ∂u0 m(x, t) ∂xi ∂(u00 m(x, t)M−1) ∂xi dx = n X i=1 Z Ω ∂u0 m(x, t) ∂xi ∂u00 m(x, t) ∂xi M−1_{dx −} n X i=1 Z Ω ∂u0 m(x, t) ∂xi u00 m(x, t)MxiM −2_dx = 1 2 n X i=1 Z Ω d dt µ ∂u0 m(x, t) ∂xi ¶₂ M−1_{dx −} n X i=1 Z Ω ∂u0 m(x, t) ∂xi u00 m(x, t)MxiM −2_dx.

Por outro lado,

d dt Ãµ ∂u0 m(t) ∂xi ¶₂ M−1 ! = d dt µ ∂u0 m(t) ∂xi ¶₂ M−1 − µ ∂u0 m(t) ∂xi ¶₂ (Mt+ 2Mλ(u0m(t), um(t))) M−2. Logo, I24 = 1 2 d dt ¡ |∇u0 m(t)|2, M−1 ¢ +1 2 ¡ |∇u0 m(t)|2, MtM−2 ¢ + 1 2 ¡ |∇u0 m(t)|2, MλM−22(u0m(t), um(t)) ¢ − Ã ∇u0 m(t), n X i=1 MxiM −2_u00 m(t) ! .

Tamb´em observe que

(44)

Substituindo I24 e I25 em (2.16) temos que

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 d dt ©¡ |∇u0 m(t)|2, M−1 ¢ + k∆um(t)k2 ª + (ρ + 1) (ρ 2 + 1)2 n X i=1 Z Ω µ ∂(|u0 m(x, t)| ρ 2u0 m(x, t)) ∂xi ¶2 M−1_dx =¡f (t)M−1_{, −∆u}0 m(t) ¢ − n X i=1 µ ∂vm(t) ∂xi M−1_{, −∆u}0 m(t) ¶ − 1 2 ¡ |∇u0 m(t)|2, MtM−2 ¢ −¡|∇u0 m(t)|2, MλM−2(u0m(t), um(t)) ¢ + Ã ∇u0 m(t), n X i=1 MxiM −2_u00 m(t) ! + Ã n X i=1 MxiM −2_|u0 m(t)|ρu0m(t), ∇u0m(t) ! , 1 2 d dt{k∇v 0 m(t)k2+ k∆vm(t)k2} = (g(t), −∆v0m(t)) − n X i=1 µ ∂um(t) ∂xi , −∆v0 m(t) ¶ . (2.16) Somando as equa¸c˜oes de (2.17), obtemos

(45)

Agora, observe que − d dt ¡ f (t)M−1_{, ∆u} m(t) ¢ = −¡f0_(t)M−1_{, ∆u} m(t) ¢ +¡f (t)MtM−2, ∆um(t) ¢ + ¡f (t)MλM−22(u0m(t), um(t)), ∆um(t) ¢ −¡f (t)M−1_{, ∆u}0 m(t) ¢ . Assim, I27 = − ¡ f (t)M−1, ∆u0_m(t)¢= −d dt ¡ f (t)M−1, ∆um(t)¢+¡f0(t)M−1, ∆um(t)¢

− ¡f (t)MtM−2, ∆um(t)¢−¡f (t)MλM−22(u0_m(t), um(t)), ∆um(t)

¢

.

Os três últimos termos que aqui aparecem serão analisados separadamente, como segue (i) ¡f0(t)M−1, ∆um(t)¢ ≤ 1 2m0 ¡ kf0(t)k2+ k∆um(t)k2 ¢ . (ii) −¡f (t)MtM−2, ∆um(t) ¢ ≤ C2 2m0 ¡ kf (t)k2_{+ k∆u} m(t)k2 ¢ .

(iii) −¡f (t)MλM−22(u0m(t), um(t)), ∆um(t)

¢ ≤ K 1 2 5 m0 ¡ kf (t)k2_{+ k∆u} m(t)k2 ¢ .

De (i), (ii) e (iii) vem que

(46)

Como, (g0_{(t), ∆v} m(t)) ≤ 1 2 ¡ kg0_(t)k2_{+ k∆v} m(t)k2 ¢ , segue que I28= − (g(t), ∆v0m(t)) ≤ − d dt(g(t), ∆vm(t)) + 1 2 ¡ kg0(t)k2+ k∆vm(t)k2 ¢ .

Observemos ainda que,

d dt µ ∂vm(t) ∂xi M−1, ∆um(t) ¶ = µ ∂v0 m(t) ∂xi M−1, ∆um(t) ¶ − µ ∂vm(t) ∂xi MtM−2, ∆um(t) ¶ − µ ∂vm(t) ∂xi MλM−22(u0m(t), um(t)), ∆um(t) ¶ + µ ∂vm(t) ∂xi M−1, ∆u0_m(t) ¶ . Disto, I29 = n X i=1 µ ∂vm(t) ∂xi M−1_{, ∆u}0 m(t) ¶ = n X i=1 d dt µ ∂vm(t) ∂xi M−1_{, ∆u} m(t) ¶ − n X i=1 µ ∂v0 m(t) ∂xi M−1_{, ∆u} m(t) ¶ + n X i=1 µ ∂vm(t) ∂xi MtM−2, ∆um(t) ¶ + n X i=1 µ ∂vm(t) ∂xi MλM−22(u0m(t), um(t)), ∆um(t) ¶ .

Analisemos separadamente os trˆes ´ultimos termos de I29.

(47)

(48)

(49)

De I26, . . . , I34 e tomando ε = (ρ+1)_C₀ , segue de (2.18) que 1 2 d dt ©¡ |∇u0_m(t)|2, M−1¢+ k∆um(t)k2+ k∇vm0 (t)k2+ k∆vm(t)k2 ª + (ρ + 1) 2C0(ρ₂ + 1)2φ(kum(t)k2) Z Ω n X i=1 µ ∂ ∂xi(|u 0 m(x, t)| ρ 2u0 m(x, t)) ¶₂ dx ≤ −d dt " ¡ f (t)M−1_{, ∆v} m(t) ¢ + (g(t), ∆vm(t)) − n X i=1 µ ∂vm(t) ∂xi M −1_{, ∆u} m(t) ¶ − n X i=1 µ ∂um(t) ∂xi , ∆vm(t) ¶# + K19 £ 1 +¡|∇u0 m(t)|2, M−1 ¢ + k∆um(t)k2 + k∇v0 m(t)k2+ k∆vm(t)k2+ kf (t)k2+ kf0(t)k2 + kg0(t)k2+ ku0m(t)kρ+2ρ+2 ¤ . (2.18) Multiplicando (2.19) por 2 e integrando de 0 at´e t resulta que

¡ |∇u0 m(t)|2, M−1 ¢ + k∆um(t)k2+ k∇vm0 (t)k2+ k∆vm(t)k2 + (ρ + 1) C0(ρ₂ + 1)2φ(kum(t)k2) Z _t 0 Z Ω n X i=1 µ ∂ ∂xi (|u0_m(x, σ)|ρ2u0 m(x, σ)) ¶₂ dxdσ ≤ ¡|∇u1m|2, M−1 ¢ + k∆u0mk2+ k∇v1mk2+ k∆v0mk2+ 2 £¡ f (0)M−1_{, ∆u} 0m ¢ + (g(0), ∆v0m) − n X i=1 µ ∂u0m ∂xi , ∆v0m ¶ − n X i=1 µ ∂v0m ∂xi M−1_{, ∆u} om ¶ − ¡f (t)M−1, ∆um(t) ¢ − (g(t), ∆vm(t)) + n X i=1 µ ∂um(t) ∂xi , ∆vm(t) ¶ − n X i=1 µ ∂vm(t) ∂xi M−1, ∆um(t) ¶# + 2K19 Z _t 0 £ 1 +¡|∇u0_m(σ)|2, M−1¢ + k∆um(σ)k2+ k∇v0m(σ)k2+ k∆vm(σ)k2+ kf (σ)k2 + kf0(σ)k2 + kg0_(σ)k2_{+ ku}0 m(σ)kρ+2ρ+2 ¤ dσ. (2.19)

Mas note que,

(50)

= 1 (2²)12 kg(t)k(2²)12k∆v_m(t)k ≤ 1 4²kg(t)k 2_{+ ²k∆v} m(t)k2. I37 = n X i=1 µ ∂vm(t) ∂xi M−1, ∆um(t) ¶ ≤ 1 m0 n X i=1 Z Ω ¯ ¯ ¯ ¯∂vm_∂x(x, t) i ¯ ¯ ¯ ¯ |∆um(x, t)|dx ≤ 1 m0 n X i=1 ÃZ Ω ¯ ¯ ¯ ¯∂vm_∂x(x, t) i ¯ ¯ ¯ ¯ 2 dx !1 2 µZ Ω |∆um(x, t)|2dx ¶1 2 = n X i=1 Ã 1 m2 02δ Z Ω ¯ ¯ ¯ ¯∂vm_∂x(x, t) i ¯ ¯ ¯ ¯ 2 dx !1 2 µ 2δ Z Ω |∆um(x, t)|2dx ¶1 2 ≤ 1 4m2 0δ k∇vm(t)k2+ nδk∆um(t)k2. I38 = n X i=1 µ ∂um(t) ∂xi , ∆vm(t) ¶ ≤ n X i=1 Z Ω ¯ ¯ ¯ ¯∂um_∂x(x, t) i ¯ ¯ ¯ ¯ |∆vm(x, t)|dx ≤ n X i=1 ÃZ Ω ¯ ¯ ¯ ¯∂um_∂x(x, t) i ¯ ¯ ¯ ¯ 2 dx !1 2 µZ Ω |∆vm(x, t)|2dx ¶1 2 = n X i=1 Ã 1 2² Z Ω ¯ ¯ ¯ ¯∂um_∂x(x, t) i ¯ ¯ ¯ ¯ 2 dx !1 2 µ 2² Z Ω |∆vm(x, t)|2dx ¶1 2 ≤ 1 4²k∇um(t)k 2_{+ n²k∆v} m(t)k2.

De I35, . . . , I38, tomando δ e ² convenientes, usando as estimativas (i) e (ii), as

convergencias de (2.3) e do fato que f, g ∈ H1_{(0, T ; L}2_{(Ω)), segue de (2.20) que}

¡ |∇u0_m(t)|2, M−1¢+ k∆um(t)k2+ k∇vm0 (t)k2+ k∆vm(t)k2 + 1 φ(kum(t)k2) Z _t 0 Z Ω µ ∂ ∂xi (|u0 m(x, σ)| ρ 2u0 m(x, σ)) ¶₂ dxdσ ≤ K20 · 1 + Z _t 0 ¡ (|∇u0 m(σ)|2, M−1) + k∆um(σ)k2+ k∇vm0 (σ)k2+ k∆vm(σ)k2 ¢ dσ ¸ . (2.20)

Pelo Lema de Gronwall ¡

|∇u0

m(t)|2, M−1

¢

+ k∆um(t)k2+ k∇vm0 (t)k2+ k∆vm(t)k2 ≤ K21,

(51)

(52)

2.3 Passagem ao Limite

A seguir mostraremos que o limite da sucessão de solu¸cões dos problemas aproxi-mados, obtidas na se¸cão 2.2, é solu¸cão do problema (2.2).

Das estimativas temos que

(um), (vm) são limitadas em L∞ ¡ 0, T ; H1 0(Ω) ∩ H2(Ω) ¢ , (2.22) (u0_m), (v_m0 ) são limitadas em L∞¡0, T ; H₀1(Ω)¢, (2.23) (u0_m) é limitada em Lρ+2(Q), (2.24) (u00 m), (vm00) são limitadas em L∞ ¡ 0, T ; L2_(Ω)¢_, _(2.25) ³ |u0 m| ρ 2u0 m ´ é limitada em H1_(Q). _(2.26)

De (2.23), (2.24) e (2.26) existe uma subsucess˜ao de (um)m∈N, que ainda

denotare-mos por (um)m∈N, e u, v e w tais que

um * u em L∗ ∞(0, T ; H₀1(Ω) ∩ H2(Ω)), u0 m ∗ * v em L∞_{(0, T ; H}1 0(Ω)), u00 m ∗ * w em L∞_{(0, T ; L}2_(Ω)).

Agora, desde que L∞_{(0, T ; H}1

0(Ω) ∩ H2(Ω)) ,→ L∞(0, T ; H01(Ω)) ,→ L∞(0, T ; L2(Ω)),

pela proposi¸c˜ao (1.20), podemos concluir que

um * u, u0_m * v, u00_m * w em L2(0, T ; L2(Ω)).

Como L2_{(0, T ; L}2_{(Ω)) ,→ D}0_{(Q) e o operador deriva¸c˜ao ´e cont´ınuo em D}0_(Q),

(53)

De modo an´alogo mostra-se que vm * v em L∗ ∞(0, T ; H01(Ω) ∩ H2(Ω)), (2.30) v0 m ∗ * v0 _{em L}∞_{(0, T ; H}1 0(Ω)), (2.31) v_m00 * v∗ 00 em L∞(0, T ; L2(Ω)). (2.32) Por outro lado

(um) é limitada em L∞(0, T ; H01(Ω) ∩ H2(Ω)) ,→ L2(0, T ; H01(Ω) ∩ H2(Ω)), (u0 m) é limitada em L∞(0, T ; H01(Ω)) ,→ L2(0, T ; H01(Ω)), (u00 m) é limitada em L∞(0, T ; L2(Ω)) ,→ L2(0, T ; L2(Ω)). Como H₀1(Ω) ∩ H2(Ω),→ Hc ₀1(Ω),→ Lc 2(Ω)),

pelo Teorema da Compacidade de Aubin-Lions, resulta que existem subsucess˜oes de (um)m∈N e (u0m)m∈N, que ainda continuaremos denotando por (um)m∈N e (u0m)m∈N,

respectivamente, tais que

um → u em L2(0, T ; H01(Ω)), (2.33) u0 m → u0 em L2(0, T ; L2(Ω)). (2.34) Temos que u00 m

M(x, t, kumk2₎ ´e limitada em L

(54)

Provemos que

ψ = u00

M(x, t, kuk2₎.

Com efeito, seja

I = Z _T 0 Z Ω µ u00 m M(x, t, kumk2₎ − u00 M(x, t, kuk2₎ ¶ wjθdxdt = Z _T 0 Z Ω u00 m− u00 M(x, t, kumk2) wjθdxdt + Z _T 0 Z Ω u00 µ wjθ M(x, t, kumk2) − wjθ M(x, t, kuk2₎ ¶ dxdt.

Agora, aplicando o Teorema do Valor Médio na última variável da fun¸cão M temos que M(x, t, kumk2) → M(x, t, kuk2) uniformemente em Q. Logo 1 M(x, t, kumk2) → 1 M(x, t, kuk2₎.

Como wjθ ∈ L2(0, T ; L2(Ω)), segue que wjθ

M(x, t, kumk2)

→ wjθ

M(x, t, kuk2₎ em L

2_(Q). _(2.35)

Por outro lado, usando (2.35) e do fato que (u00 m− u) * 0 em L2(Q). segue que Z _T 0 Z Ω (u00 m− u00) wjθ M(x, t, kumk2) → 0. (2.36)

Assim, de (2.35) e (2.36) resulta que

(55)

Logo, ψ = u 00 M(x, t, kuk2₎ e portanto, u00 m M(x, t, kumk2) * u00 M(x, t, kuk2₎ em L 2_(Q). _(2.37)

De modo an´alogo mostra-se que

|u0 m|ρu0m M(x, t, kumk2₎ * |u0 m|ρu0 M(x, t, kuk2₎ em L ρ+2 ρ+1(Q), (2.38) 1 M(x, t, kumk2) f * 1 M(x, t, kuk2₎f em L 2_(Q) _(2.39) e 1 M(x, t, kumk2) n X i=1 ∂vm ∂xi * 1 M(x, t, kuk2₎ n X i=1 ∂v ∂xi em L2_(Q). _(2.40)

Com as convergˆencias obtidas, passando o limite na primeira equa¸c˜ao do problema aproximado tem-se Z _T 0 Z Ω u00 M(x, t, kumk2) wjθdxdt + Z _T 0 Z Ω ∆uwjθdxdt + Z _T 0 Z Ω |u0_|ρ_u0 M(x, t, kuk2₎wjθdxdt + Z _T 0 Z Ω 1 M(x, t, kuk2₎ n X i=1 ∂v ∂xi wjθdxdt = Z _T 0 Z Ω f M(x, t, kuk2₎wjθdxdt, ∀wj ∈ H 1 0(Ω) ∩ H2(Ω) e θ ∈ L2(0, T ). (2.41) Logo por densidade tem-se de (2.41) que

(56)

+ Z _T 0 Z Ω |u0_|ρ_u0 M(x, t, kuk2₎φdxdt + Z _T 0 Z Ω 1 M(x, t, kuk2₎ n X i=1 ∂v ∂xi φdxdt = Z _T 0 Z Ω f M(x, t, kuk2₎φdxdt, ∀φ ∈ L 2_{(0, T ; L}2_(Ω)). Se φ = ϕM (x, t, kuk2_{) ∈ L}2_{(0, T ; L}2_{(Ω)) ent˜ao} Z _T 0 Z Ω u00ϕdxdt − Z _T 0 Z Ω M(x, t, kuk2)∆uϕdxdt + Z _T 0 Z Ω |u0|ρu0ϕdxdt + Z _T 0 Z Ω n X i=1 ∂v ∂xi ϕdxdt = Z _T 0 Z Ω f ϕdxdt, ∀ϕL2_(Q). (2.42)

De modo an´alogo passando o limite na segunda equa¸c˜ao do nosso problema aproxi-mado temos Z _T 0 Z Ω v00ϕdxdt − Z _T 0 Z Ω ∆vϕdxdt + Z _T 0 Z Ω n X i=1 ∂u ∂xi ϕdxdt = Z _T 0 Z Ω gϕdxdt, ∀ϕ ∈ L2_(Q). _(2.43) Como,

|u0_|ρ_u0 _{= −u}00_{+ M(x, t, ku(t)k}2_{)∆u −}

n X i=1 ∂v ∂xi + f ∈ L 2_(Q), v00 _{− ∆v +} n X i=1 ∂u ∂xi = g ∈ L2_(Q)

(57)

2.4 Condi¸c˜

oes Iniciais

Seja ϕ = θv com θ ∈ C([0, T ]), θ(0) = 1, θ(T ) = 0 e v ∈ L2_{(Ω). Das estimativas}

temos que um * u em L2(0, T, L2(Ω)), (2.44) u0 m * u0 em L2(0, T ; H01(Ω)) ,→ L2(0, T ; L2(Ω)). (2.45) De (2.45) segue que Z _T 0 (u0 m(t), ϕ(t)) dt −→ Z _T 0 (u0_{(t), ϕ(t)) dt,} ou seja, Z _T 0 (u0 m(t), v)θ(t) dt −→ Z _T 0 (u0_{(t), v)θ(t) dt.}

Integrando por partes obtemos

−(um(0), v) − Z _T 0 (um(t), v)θ0(t) dt −→ −(u(0), v) − Z _T 0 (u(t), v)θ0_{(t) dt.} Disto e de (2.44) resulta (um(0), v) −→ (u(0), v) ∀v ∈ L2(Ω), ou seja, um(0) * u(0) em L2(Ω).

Por outro lado,

um(0) = u0m−→ u0 em L2(Ω),

pois H1

0(Ω) ∩ H2(Ω) ,→ L2(Ω), o que implica que

(58)

Portanto

u(0) = u0 em L2(Ω),

como u0 ∈ H01(Ω) ∩ H2(Ω) segue-se que

u(0) = u0 em H01(Ω) ∩ H2(Ω). Utilizando que u00 m * u00 em L2(0, T, L2(Ω)) obtemos que u0_{(0) = u} 1 em H01(Ω) ∩ L2ρ+2(Ω).

De maneira an´aloga mostra-se que

v(0) = v0 em H01(Ω) ∩ H2(Ω),